• Author / Uploaded
• Therion456

Citation preview

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

FIEE - UNMSM

FACULTAD :

INGENIERIA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA

CURSO

:

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

TEMA

:

ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADOS

PROFESOR :

ING. JEAN CARLOS MALCA FERNANDEZ

ALUMNO

:

JARA CANTO ANTHONY JOSEU

CODIGO

:

13190011

2017 - II 1

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

FIEE - UNMSM

LABORATORIO N°4

ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADOS

PROCEDIMIENTO a. Parte l Suponga que se quiere estudiar el comportamiento de las variables VR(t) e iL(t) en el circuito de la figura 1. Se puede observar que en este circuito RLC serie el comportamiento queda determinado por V(t) y los valores iniciales de iL(t) y VC(t); por ello es que se pueden considerar a estas dos últimas como variables de estado.

%Parte 1 % Definiremos los valores de R, L, C para hallar % las matrices A, B, C y D R = 1200; %1.2k ohm L = 0.0002; % 0.2 mH C = 0.000001; %1uF A = [-1/R -1/L; 1/C 0] B = [1/L; 0] C = [ R 0; 1 0] D = 0

2

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

i.

FIEE - UNMSM

Para establecer matrices A, B, C y D como elementos de la ecuacion de estados de un sistema, se utiliza el siguiente comando Sys=ss(A,B,C,D) % Ecuacion de estados de un sistema Sys = ss(A,B,C,D)

3

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

ii.

FIEE - UNMSM

Para la obtención de la respuesta del sistema ante un escalon unitario step(A,B,C,D) % Respuesta del sistema ante un escalon unitario step(A,B,C,D)

iii.

Obtención de la grafica de Bode Bode(A,B,C,D) %% Obtencion de la grafica de Bode bode(A,B,C,D)

4

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

FIEE - UNMSM

b. Parte ll i.

Considerando la siguiente función de transferencia: 𝐺(𝑠) =

ii.

𝑠 3 + 8𝑠 2 + 17𝑠 + 10 𝑠 4 + 7𝑠 3 + 15𝑠 2 + 14𝑠 + 8

Halle la mínima representación en espacio de estado canoníca controlable, observable. Debemos saber que teniendo la siguiente función de transferencia:

Su representación en el espacio de estados en la forma canoníca controlable es:

Teniendo la misma función de transferencia, su representación en el espacio de esta en la forma canoníca observable es:

5

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

FIEE - UNMSM

Sabiendo esto, procedemos a calcular las matrices A, B, C y D de nuestro proceso: % Parte 2 num = [0 1 8 17 10]; den = [1 7 15 14 8]; sys = tf(num,den)



Obtenemos la siguiente función de transferencia

% Funcion de transferencia msys = minreal(tf(num,den)) [Nu,De] = tfdata(msys,'v')



Obtenemos la mínima representación de la función de transferencia.

% Forma canonica controlable b0=Nu(1); b1=Nu(2); b2=Nu(3); b3=Nu(4); a1=De(2); a2=De(3); a3=De(4); A=[0 1 0;0 0 1; -a3 -a2 -a1]; B=[0;0;1]; C=[b3-a3*b0 b2-a2*b0 b1-a1*b0]; D=b0; mcsys = ss(A,B,C,D) figure (2) step(mcsys)



Obtenemos la representación en espacio de estados en la forma canoníca controlable:

6

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

FIEE - UNMSM

% Forma canonica observable A=[-a1 1 0;-a2 0 1; -a3 0 0]; B=[b1-a1*b0; b2-a2*b0; b3-a3*b0]; C=[1 0 0]; D=b0; mcsys = ss(A,B,C,D) figure (3) step(mcsys) Obtenemos la representacion en espacio de estados en la forma canonica observable:

iii.

Comparar la respuesta ante un escalón de las 2 representaciones, tanto en Matlab como en Simulink Para la siguiente función de transferencia:

7

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

FIEE - UNMSM

Su diagrama de bloques en la forma canoníca controlable es:

Entonces para nuestra función de transferencia reducida:

𝑠 2 + 6𝑠 + 5 𝐺𝑟 (𝑠) = 3 𝑠 + 5𝑠 2 + 5𝑠 + 4 Tenemos: 𝑏0 = 5 , 𝑏1 = 6 , 𝑏2 = 1 𝑎0 = 5 , 𝑎1 = 5 , 𝑎2 = 4

Entonces, en Simulink su diagrama de bloques de Gs :

8

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

FIEE - UNMSM

Obtenemos la siguiente respuesta a una entrada escalón unitario:

De igual manera, para la siguiente función de transferencia:

Su diagrama de bloques en la forma canoníca observable es :

9

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

FIEE - UNMSM

Entonces, para nuestra función de transferencia reducida Gr(s) y con los coeficientes hallados en el paso anterior, tenemos en Simulink :

Obtenemos la siguiente respuesta a una entrada escalón unitario:

10

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

FIEE - UNMSM

En Matlab, obtenemos lo siguiente: Donde la Figura 2 es la forma canoníca controlable

Y la Figura 3 la forma canoníca observable.

c. Parte lll i. Considera el diagrama de la figura 2:

11

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

ii.

FIEE - UNMSM

Como se puede observar, el sistema tiene como salida Y(s) y como entrada R(s). Obtenga la ecuación de estados del sistema. Reconocemos la similitud entre el sistema de la Figura 2 con el sistema representado en el espacio de estados de la forma canoníca controlable:

Donde:

Entonces, de esa similitud y por algebra de bloques, obtenemos los coeficientes del numerador y el denominador de la función de transferencia del sistema de la siguiente manera:

𝑏2= 1 𝑏 1 = 0.25 × 16 = 4 𝑏 0 = 0.09375 × 16 × 2 = 3 𝑎2 = −8 𝑎1 = −1 × 16 = −16 𝑎0 = −0.1875 × 16 × 2 = −6 Entonces:

𝑌(𝑠) 𝑠 2 + 4𝑠 + 3 = 3 𝑅′ (𝑠) 𝑠 − 8𝑠 2 − 16𝑠 − 6 Notamos que

𝑅′ (𝑠) = 2 ∗ 𝑅(𝑠)

entonces obtenemos:

𝑌(𝑠) 2𝑠 2 + 8𝑠 + 6 = 3 𝑅(𝑠) 𝑠 − 8𝑠 2 − 16𝑠 − 6 12

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

FIEE - UNMSM

Entonces, procedemos a calcular las matrices A, B, C, D de nuestro sistema: 𝑏0 = 0 , 𝑏1 = 2 , 𝑏2 = 8, 𝑏3 = 6 𝑎1 = −8 , 𝑎2 = −16, 𝑎3 = −6

𝐴=

0 1 0 0 0 0 1 = 0 −𝑎3 −𝑎2 −𝑎1 6

1 0 0 1 16 8

𝟎 𝟏 𝟎 𝑨= 𝟎 𝟎 𝟏 𝟔 𝟏𝟔 𝟖 𝟎 𝑩= 𝟎 𝟏

𝐶 = 𝑏3 − 𝑎3 ∗ 𝑏0 𝑏2 − 𝑎2 ∗ 𝑏0 𝑏1 − 𝑎1 ∗ 𝑏0 𝐶 = 6 − (−6) ∗ 0 8 − (−16) ∗ 0 2 − (−8) ∗ 0 𝑪= 𝟔 𝟖 𝟐 𝐷 = 𝑏0 𝑫=𝟎 Entonces las ecuaciones de estados del sistema son: 0 𝑥1̇ (𝑥̇ 2 ) = (0 6 𝑥̇ 3

1 0 𝑥1 0 0 1) ∗ (𝑥2 ) + (0) ∗ 𝑢 16 8 𝑥3 1

𝑦 = (6 8

iii.

𝑥1 𝑥 2) ∗ ( 2 ) 𝑥3

Defina la ecuación de espacio de estados en Matlab. %Parte 3 A = [0 1 0; 0 0 1; 6 16 8]; B = [0; 0; 1]; C = [6 8 2]; D = 0; G = ss(A,B,C,D)

13

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

FIEE - UNMSM

Y obtenemos:

iv.

Obtenga la respuesta del sistema ante un escalón unitario.

14

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

FIEE - UNMSM

v.

Obtenga el diagrama de bode del sistema

vi.

Obtenga la representación en función de transferencia del sistema. Esto ya lo hemos hecho previamente, la función de transferencia es:

𝑌(𝑠) 2𝑠 2 + 8𝑠 + 6 = 3 𝑅(𝑠) 𝑠 − 8𝑠 2 − 16𝑠 − 6 vii.

En Simulink, represente el sistema en espacio de estados y el diagrama de la figura 2, y compare las respuestas ante un escalón unitario. En Simulink , el sistema en espacio de estados :

15

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

FIEE - UNMSM

Nos da como respuesta:

En Simulink, el sistema de la Figura 2:

16

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL II

FIEE - UNMSM

Nos da como respuesta:

17