• Author / Uploaded
• Jorge Luis Betancurt

• Categories
• Ecuaciones diferenciales
• Ecuaciones
• Cálculo
• Análisis
• Objetos matemáticos

Citation preview

Informe Método de Euler

Wendy Julieth Hernández Franco 315027 Jorge Luis Betancurt Bermúdez 315007

Profesora, Aymara Martínez Aragón

Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales Ecuaciones Diferenciales Ingeniería Química 2016-II

Aproximaciones numéricas método de Euler para resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden

El método de Euler o el método de la recta tangente, rara vez se utiliza en la práctica para obtener la solución aproximada de un problema de valor inicial, pero se estudia por su simplicidad en la derivación de la fórmula y de la determinación del error. Los métodos de orden superior utilizan las mismas técnicas, pero el álgebra que requieren es mucho más complicada. Con el método de Euler se obtiene una solución aproximada de un problema de valor inicial como el que se muestra en la ecuación (1), en un conjunto finito de puntos.

(1)

Para empezar, se determina la malla {t0, t1, ..., tN} de paso h, donde t0 = a y tN = b. En estos puntos es donde se va a obtener la aproximación de la solución. Para determinar la fórmula del método, se parte de un desarrollo de Taylor de la función solución y(t), alrededor de un punto de la malla, t i, suponiendo que la función y(t) posee derivadas primera y segunda continuas en (a, b):

(2)

Evaluando esta expresión en t = ti+1, para cualquier i, se tiene:

(3)

Pero como ti+1- ti = h, resulta:

(4)

Como y(t) satisface la ecuación diferencial, en particular es y'(t i) = f(ti, yi), entonces reemplazando en la fórmula (4) resulta:

(5)

Si se elimina de la fórmula anterior el término del error, se puede escribir:

(6)

Resultando así la fórmula del método de Euler para aproximar la solución en un punto de la malla, teniendo una aproximación en el punto inmediato anterior. Como la condición en el punto a del problema de valor inicial da el valor inicial y(t 0) =, se tiene entonces la solución aproximada en todos los puntos de la malla. Si se llaman y i = y(ti), se tiene entonces la fórmula de Euler dada en la fórmula (7):

(7)

Algoritmo de Solución en MATLAB como herramienta informática de programación:

Resultados (valores dados en clase)

Solución analítica (Excel)

t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

y 1 1.33663689 1.64802624 1.936239629 2.203167649 2.450536331

Solución Numérica (Matlab) t y

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

1 1.35 1.673 1.971 2.247 2.501

%Error * y 0 0.989859968 1.492753154 1.763590596 1.950705443 2.01773965

Si se dan condiciones diferentes es posible dar a conocer los resultados de dichos cálculos de dos maneras; la primera utilizando el método numérico de Euler y el segundo, hallando los valores con la solución analítica de la ecuación. No obstante, es posible hallar el porcentaje de error entre ambos métodos. El ejercicio anterior resuelto analítica y numéricamente: dy y −t =3+e − dt 2

1. Método de Euler (usando el programa): Con valores iniciales:

a.

h=0.01t ( o )=0 y ( o )=0 n=52

b.

h=0.005t ( o ) =0 y ( o )=0 n=104

2. Solución analítica:

Teniendo en cuenta que es una ecuación lineal de primer orden, para una constante C= -3; la solución particular encontrada es:

−t e

y (t )=6−3 e −2e−t

El porcentaje de error se da por:

¿ %E=

Valor analítico−Valor numérico x100 Valor analítico

Para a:

Solución analítica (Excel)

t 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

y 1 1.034862895 1.069453152 1.103773114 1.137825102 1.171611415 1.205134332 1.238396111 1.27139899

Solución Numérica (Matlab) t y

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

1 1.035 1.07 1.104 1.138 1.172 1.206 1.239 1.272

%Error y 0 0.013246867 0.051107277 0.02055126 0.015368913 0.033155724 0.071780084 0.048739999 0.047249232

0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49

1.304145184 1.33663689 1.368876286 1.400865526 1.432606748 1.464102069 1.495353588 1.526363383 1.557133514 1.587666021 1.617962929 1.64802624 1.67785794 1.707459998 1.736834363 1.765982968 1.794907726 1.823610536 1.852093276 1.880357811 1.908405986 1.936239629 1.963860555 1.991270559 2.018471421 2.045464905 2.072252758 2.098836714 2.125218487 2.15139978 2.177382277 2.203167649 2.22875755 2.254153622 2.27935749 2.304370764 2.32919504 2.353831901 2.378282915 2.402549633 2.426633597

0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49

1.305 1.338 1.37 1.402 1.434 1.466 1.497 1.528 1.559 1.59 1.62 1.65 1.68 1.71 1.74 1.769 1.798 1.827 1.855 1.884 1.912 1.94 1.967 1.995 2.022 2.049 2.076 2.103 2.129 2.155 2.182 2.207 2.233 2.259 2.284 2.309 2.334 2.358 2.383 2.407 2.431

0.065503145 0.10187665 0.082022953 0.080918273 0.097158436 0.1294632 0.109980751 0.107108448 0.11972331 0.146791109 0.125745141 0.119621834 0.127503554 0.148538118 0.181933145 0.170550157 0.171984088 0.185520765 0.156696697 0.193322139 0.187971469 0.193833538 0.15960574 0.186939401 0.174509353 0.172527834 0.180502974 0.197968919 0.177619203 0.167063585 0.211628009 0.173645279 0.189988782 0.214536412 0.203262258 0.20048662 0.205868017 0.176764144 0.197947354 0.18489268 0.179613455

0.5 0.51 0.52

2.450536331 2.474259348 2.497804147

0.5 0.51 0.52

2.455 2.479 2.503

0.181819497 0.191232413 0.207585032

Para b: Solución analítica (Excel)

t 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12 0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15

y 1 1.017465674 1.034862895 1.052191956 1.069453152 1.086646774 1.103773114 1.12083246 1.137825102 1.154751325 1.171611415 1.188405656 1.205134332 1.221797724 1.238396111 1.254929774 1.27139899 1.287804035 1.304145184 1.320422712 1.33663689 1.352787992 1.368876286 1.384902041 1.400865526 1.416767006 1.432606748 1.448385015 1.464102069 1.479758174 1.495353588

Solución Numérica (Matlab) t y

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12 0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15

1 1.018 1.035 1.052 1.07 1.087 1.104 1.121 1.138 1.155 1.172 1.189 1.206 1.222 1.239 1.255 1.272 1.288 1.305 1.321 1.337 1.353 1.37 1.386 1.402 1.418 1.433 1.449 1.465 1.481 1.496

%Error y 0 0.052487778 0.013246867 0.0182468 0.051107277 0.03249545 0.02055126 0.014945541 0.015368913 0.021530324 0.033155724 0.049986843 0.071780084 0.016552885 0.048739999 0.005595683 0.047249232 0.015214702 0.065503145 0.043700858 0.027158532 0.0156695 0.082022953 0.079217819 0.080918273 0.086953005 0.027442566 0.042442044 0.061292185 0.08385052 0.043209347

0.155 0.16 0.165 0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.2 0.205 0.21 0.215 0.22 0.225 0.23 0.235 0.24 0.245 0.25 0.255 0.26 0.265 0.27 0.275 0.28 0.285 0.29 0.295 0.3 0.305 0.31 0.315 0.32 0.325 0.33 0.335 0.34 0.345 0.35 0.355

1.510888572 1.526363383 1.541778278 1.557133514 1.572429344 1.587666021 1.602843799 1.617962929 1.633023659 1.64802624 1.662970918 1.67785794 1.692687552 1.707459998 1.722175521 1.736834363 1.751436766 1.765982968 1.780473209 1.794907726 1.809286757 1.823610536 1.837879298 1.852093276 1.866252704 1.880357811 1.894408828 1.908405986 1.92234951 1.936239629 1.950076569 1.963860555 1.977591811 1.991270559 2.004897022 2.018471421 2.031993975 2.045464905 2.058884427 2.072252758 2.085570116

0.155 0.16 0.165 0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.2 0.205 0.21 0.215 0.22 0.225 0.23 0.235 0.24 0.245 0.25 0.255 0.26 0.265 0.27 0.275 0.28 0.285 0.29 0.295 0.3 0.305 0.31 0.315 0.32 0.325 0.33 0.335 0.34 0.345 0.35 0.355

1.512 1.527 1.543 1.558 1.573 1.589 1.604 1.619 1.634 1.649 1.664 1.679 1.694 1.709 1.724 1.738 1.753 1.767 1.782 1.796 1.811 1.825 1.839 1.854 1.868 1.882 1.896 1.91 1.924 1.938 1.952 1.966 1.979 1.993 2.007 2.02 2.034 2.047 2.061 2.074 2.087

0.073507153 0.041690707 0.079178337 0.055615301 0.036278226 0.083950827 0.072082332 0.064056287 0.059751578 0.059051562 0.061843875 0.068020232 0.077476252 0.090111282 0.105828239 0.067067706 0.089174814 0.057557005 0.085678525 0.060817032 0.094602067 0.076135034 0.060940852 0.102843783 0.093538353 0.087257657 0.083922548 0.083456256 0.085784298 0.090834398 0.098536406 0.108822223 0.071156613 0.086775767 0.10478216 0.075672234 0.09862461 0.074992443 0.102647907 0.084245021 0.068513868

0.36 0.365 0.37 0.375 0.38 0.385 0.39 0.395 0.4 0.405 0.41 0.415 0.42 0.425 0.43 0.435 0.44 0.445 0.45 0.455 0.46 0.465 0.47 0.475 0.48 0.485 0.49 0.495 0.5 0.505 0.51 0.515 0.52

2.098836714 2.112052766 2.125218487 2.138334088 2.15139978 2.164415773 2.177382277 2.1902995 2.203167649 2.21598693 2.22875755 2.241479713 2.254153622 2.266779481 2.27935749 2.291887851 2.304370764 2.316806428 2.32919504 2.3415368 2.353831901 2.366080542 2.378282915 2.390439214 2.402549633 2.414614364 2.426633597 2.438607523 2.450536331 2.462420211 2.474259348 2.486053932 2.497804147

0.36 0.365 0.37 0.375 0.38 0.385 0.39 0.395 0.4 0.405 0.41 0.415 0.42 0.425 0.43 0.435 0.44 0.445 0.45 0.455 0.46 0.465 0.47 0.475 0.48 0.485 0.49 0.495 0.5 0.505 0.51 0.515 0.52

2.101 2.114 2.127 2.14 2.153 2.166 2.179 2.192 2.205 2.218 2.231 2.244 2.256 2.269 2.282 2.294 2.307 2.319 2.331 2.344 2.356 2.368 2.381 2.393 2.405 2.417 2.429 2.441 2.453 2.465 2.477 2.489 2.5

0.102964606 0.092111331 0.083757068 0.077846361 0.07432514 0.073140675 0.07424154 0.077577572 0.083099832 0.090760573 0.100513201 0.112312243 0.081842976 0.097863342 0.115797983 0.092072751 0.113967753 0.094591303 0.077432841 0.105085341 0.092024555 0.08105821 0.114115307 0.107011528 0.101886354 0.098702369 0.097422935 0.098012168 0.100434922 0.10465677 0.110643985 0.118363527 0.087834134

Conclusión Por teoría se conoce que el método analítico es más exacto que el numérico. En el método numérico si h, y a su vez t, tiene valores pequeños el error es despreciable, lo cual se evidenció anteriormente, al darle una variación de 0.01 a 0.005 no se evidenció un cambio significativo de error, sin embargo, como se puede observar el valor de h= 0.1 comparado con h=0.005 con respecto a los porcentajes de error es muy significativo.

Webgrafía http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/mnedo/32_Euler.html