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Ecuaciones de Euler-Lagrange Introducción: Las ecuaciones de Euler-Lagrange se utilizan para describir cualquier sistema mecánico por medio de coordenadas generalizadas de posición. El lagrangiano se utiliza para los sistemas conservativos y es un caso particular de las ecuaciones de Euler-Lagrange. En esta sección aprenderemos la deducción de las ecuaciones de Euler-Lagrange y algunas de las aplicaciones geométricas y mecánicas con las que cuenta. Definiciones Mecánica Lagrangiana

Introducida por Joseph Louis Lagrange en 1788. Es la reformulación de la mecánica clásica. Coordenadas Generalizadas

Se definen como un sistema de coordenadas curvilíneas sobre la variedad de configuración de un sistema físico. Supongamos que una partícula o un sistema de N partículas se mueven sujetas a posibles condiciones, como por ejemplo: 

Una partícula que se mueve a lo largo de un alambre circular.



Un cuerpo rígido que se mueve a lo largo de un plano inclinado.

Se necesita un número mínimo de coordenadas independientes para especificar el movimiento. Estas coordenadas son denotadas por:

(1) Pueden ser:



Distancias



Ángulos



Cantidad es que las relacionan.

Ecuaciones de Transformación

Sea

el vector de posición de la v-ésima partícula con

respecto a un sistema de coordenadas xyz. Las relaciones de las coordenadas generalizadas (1) a las coordenadas de posición están dadas por las: Ecuaciones de posición:

(2) 

En forma vectorial (2) se puede escribir así: (3)

Sistemas Conservativos y No Conservativos 

Conservativo: Si todas las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas se pueden obtener de una función potencial " V”.



No Conservativo: Al caso contrario.

Fuerzas Generalizadas 

Son las fuerzas aplicadas en un sistema de partículas.

2da. Ley de Newton Donde W es el trabajo total realizado sobre un sistema de partículas por las fuerzas Fv que actúan que actúan sobre la v-ésima partícula.

(4)

(5)

Es la coordenada generalizada

Es la fuerza generalizada asociada a la coordenada generalizada.

Energía Cinética

"El trabajo necesario para acelerar un cuerpo" se puede escribir como una forma cuadrática de las velocidades generalizadas.

(6) Ecuaciones de Euler-Lagrange 

La fuerza generalizada se puede relacionar con la energía cinética.

(7) 

Si el sistema es conservativo se puede escribir a (7) como:

(8) 

Donde:

Se llama: Función Lagrangiana del sistema.

Obtención de la ecuación de Euler-Lagrange Vectores base y recíprocos

Un conjunto de tres vectores µ1,µ2,µ3 no nulos constituyen una base ortogonal si y sólo si son mutuamente ortogonales, es decir:

Si el conjunto de estos vectores

es unitario, es decir:

Definiendo un sistema coordenado, al cual llamaremos generalizado, con representación q1,q2,q3. Las coordenadas cartesianas son función de dichas coordenadas generalizadas, esto es:

Entonces el vector de posición r lo podemos expresar como:

A partir de la definición anterior se construye una nueva base de vectores como:

(2)

Este vector base generalizado, en coordenadas cartesianas es:

(3)

Como el vector anterior no es unitario, deberemos dividir entre su propia magnitud, la cual se conoce como coeficiente métrico o factor de escala, y se representa por:

Por lo cual el vector unitario queda expresado como:

(4)

Adicional a esta base existe otra que se conoce como la base recíproca cuyos vectores se representan por

, con la siguiente propiedad:

Se observa que el vector recíprocas:

tiene la misma dirección de

pero sus magnitudes son

(5)

Otra forma de escribir al vector recíproco es:

(6) Componente covariante y contravariante de la velocidad

Bajo la notación de vectores base y recíprocos, el vector velocidad se representa como:

Es claro que el vector velocidad tiene dos formas equivalentes de escribirse, una en función de la base

y otra en función de la base recíproca

. La primera forma es:

(7)

Obteniendo el producto punto de los vectores velocidad y base. Tomando en cuenta la ecuación (5), la velocidad es

(8)

El término entre paréntesis es una componente vectorial de la velocidad en la dirección de , pero se encuentra definida ahora en función de las coordenadas generalizadas q1,q2,q3 y se le conoce como la componente covariante de la velocidad, es decir: (9)

En coordenadas cartesianas es:

Realizando el producto punto y sustituyendo v 1 ,v2 ,v3 por covariante de la velocidad como:

nos queda la componente

(10)

Observemos que las coordenadas cartesianas x, y, z son funciones de las coordenadas generalizadas q1,q2,q3, pero no son funciones explícitas del tiempo. Por lo que si derivamos cualquiera de ellas respecto de t, aplicando la regla de la cadena, se obtiene:

Es decir que la velocidad en coordenadas generalizadas es:

Podemos ver que el término de la derivada parcial de x, depende de las coordenadas generalizadas, pero no de las velocidades generalizadas , entonces, si derivamos parcialmente respecto de estas velocidades generalizadas, se obtiene:

(11)

Sustituyendo la ec. (11) en la componente covariante de la velocidad, ec. (10):

(12)

La cual podemos factorizar como un producto punto de la siguiente manera:

Para obtener una relación equivalente derivemos parcialmente el producto punto del vector velocidad por si mismo, respecto de la coordenada generalizada

:

Al ser el producto punto conmutativo, los dos términos son iguales, además de que el producto escalar de un vector por si mismo es el vector elevado al cuadrado:

(13)

Así, la componente covariante de la velocidad se puede escribir como:

(14)

Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por la masa nos queda, en el lado izquierdo el momento generalizado y en el lado derecho la derivada parcial de la energía cinética respecto de la velocidad generalizada:

(15)

Lo cual nos muestra una metodología de solución de los problemas de mecánica en cualquier sistema de coordenadas, partiendo de una descripción en coordenadas cartesianas, ya que la magnitud de la velocidad total es:

El método opera de la siguiente manera, se describe el movimiento de los objetos que interactúan en un momento t cualquiera a partir de sistema de coordenadas cartesianas fijo. Se derivan las componentes cartesianas respecto del tiempo y finalmente la magnitud de la velocidad es la suma de estas derivadas elevadas al cuadrado. De esta descripción se obtienen las coordenadas generalizadas, que serán los parámetros del movimiento. Al multiplicar esta velocidad generalizada por la masa, nos quedan los momentos generalizados. Si modificamos la ec. (5), insertando el factor de escala, dentro del paréntesis, se obtiene:

(16)

En la que el producto punto está ahora en función del vector recíproco, el cual se conoce como la componente contravariante del vector velocidad, esta componente se representa por:

(17)

Siguiendo el mismo procedimiento que en la componente covariante, se obtiene:

(18)

Escribiendo las velocidades en coordenadas cartesianas, como derivadas parciales:

(19)

Se puede ver que esto es solamente la aplicación de la regla de la cadena, por lo que se escribe como:

(20)

Es decir que la componente contravariante de la velocidad es la velocidad generalizada Aceleraciones covariantes, contravariantes y fuerzas generalizadas

De la misma manera que con la velocidad se obtienen las componentes contravariante y covariante, obtenemos para la aceleración,

En la que si tomamos el resultado de la ec. (11), se expresa como:

Es decir, la aceleración contravariante es igual a la aceleración generalizada. Para la aceleración covariante se tiene:

(21)

Haciendo la derivada respecto del tiempo de la coordenada cartesiana x, y generalizando a las otras coordenadas.

(22)

Despejando la ec. (22) y sustituyendo el resultado obtenido en la ec. (11), se obtiene:

(23)

Agrupando los términos de la aceleración covariante,

(24)

Hagamos la derivada parcial del producto punto del vector velocidad por si mismo, respecto de la coordenada generalizada qi:

(25)

En la que la ec. (25) se simplifica como:

(26)

Sustituyendo en la ec. (24), y utilizando el resultado obtenido en la ec. (13),

(27)

Así, la aceleración covariante queda expresada en función de la velocidad total. Si además multiplicamos ambos lados de la igualdad por la masa, en el lado izquierdo nos queda la fuerza covariante o generalizada, y en el lado derecho una expresión que depende de la energía cinética traslacional (T).

(28)

Escribamos la componente covariante de la fuerza, como el producto punto del vector fuerza y el vector base (29)

Si ahora expresamos la fuerza como menos el gradiente de la energía potencial (U):

(30)

Lo que muestra que la componente covariante de la fuerza es menos la derivada parcial de la energía potencial respecto de la coordenada generalizada qi:

(31)

Si ponemos la condición de que se utilicen solo fuerzas conservativas, es decir fuerzas que dependen únicamente de la posición o coordenada generalizada U =U(qi), entonces si derivamos parcialmente la energía potencial respecto de las velocidades generalizadas, se obtiene:

(32)

Rescribiendo la ec. (28) tomando en cuenta la ec. (31),

(33)

Organizando los términos en (33),

(34)

Si en la parte que corresponde a la derivada respecto de la velocidad generalizada sustituimos el resultado obtenido en la ec. (32), el resultado no cambia.

(35)

Si ahora llamamos L = T −U , al término de la diferencia de energías, se obtiene la ecuación de Euler-Lagrange, la cual es:

(36)

Esta ecuación, tiene la restricción de que sólo se puede aplicar a fuerzas conservativas, ya que así se incluyó la parcial de la energía potencial respecto de la velocidad generalizada. Si existen pérdidas éstas se reflejan igualando la ecuación de Euler-Lagrange a Q i , donde Qi representa la suma de todas las fuerzas no conservativas.

Aplicaciones de las Ecuaciones de Euler Aplicación Mecánica Determinar la lagrangiana de un péndulo simple, obtener la ecuación que describe su movimiento



Escogemos como coordenada generalizada el ángulo que forma la cuerda del péndulo OB y la vertical OA donde es la longitud OB, entonces la energía cinética es:

(1) 

La energía potencial de la masa , está dada por:

(2)  Así la lagangriana es:

(3)

Para la ecuación del movimiento tenemos que la ecuación de Lagrange es:

De (3) tenemos que:

Aplicaciones Geométricas 

Problema de la Braquistocrona

Hallar la curva a lo largo de la cual una partícula que cae bajo la acción de la gravedad lo hace en el menor tiempo posible.

Si la velocidad de la partícula a lo largo de la curva es v, el tiempo requerido para recorrer un arco de longitud ds/v. El problema consistirá entonces en hallar el mínimo de la integral:

La conservación de la energía para la partícula en cualquier punto es:

Lo cual nos permite expresar la integral anterior, utilizando la expresión para la velocidad en la forma:

Por lo tanto en este caso debemos aplicar el principio variacional a:

Calculemos por separado los dos miembros de la ecuación de Euler-Lagrange. El resultado es

Igualando ambas ecuaciones y simplificando obtenemos:

Integrando:

Siendo c la constante de integración. Para resolver la ecuación diferencial es útil hacer el cambio y = c sen2 u, en cuyo caso obtenemos para x la expresión:

Basta ya redefinir u=2t y c=2ª para obtener las ecuaciones paramétricas para la curva

Las constantes de integración a y b se determinarán a partir de las condiciones iniciales. Por ejemplo, si para t=0 x=0, se tendrá que b=0. Por lo tanto la ecuación de la curva buscada es la de la cicloide que hará que la partícula caiga a través de ella en un tiempo mínimo cuando está sometida únicamente a la gravedad.



Problema de la Catenaria

Demostrar que la curva cuya revolución genera una superficie de área mínima es la catenaria.

Supongamos que la ecuación de la curva que buscamos es y=y(x) (es decir, z=z(ρ)

El elemento diferencial de superficie que esta curva engendra al girar alrededor del eje Z es:

Siendo z' =dz/dρ. La superficie engendrada estará entonces definida por medio de la integral:

Para que la superficie sea mínima deberemos aplicar el principio variacional a F=ρ(1+z' 2)½, es decir:

Y el resultado es:

Si integramos entonces:

Siendo a una primera constante de integración. Esta puede ser integrada para obtener el siguiente valor:

Donde b es la segunda constante de integración. Ambas constantes pueden determinarse en cada caso de las condiciones de los extremos, es decir, z1=z(ρ1), z2=z(ρ2). La expresión anterior puede escribirse como:

Y por lo tanto

Concluimos entonces que la curva que genera una superficie de área mínima al girar alrededor del eje Z es la catenaria.