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RESISTENCIA DE MATERIALES II

DOCENTE:  ING. VILLAVICENCIO GONZÁLEZ, Felipe

AUTORES:    

MATTOS BEJAR, Rosa QUISPE CIRILO, Ioel REQUE VALQUI, Jaiver VELÁSQUEZ ARELLANO, Williams Iván

CICLO:  SEXTO

2014

Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO

NUEVO CHIMBOTE – PERÚ I.

OBJETIVOS

I.1 OBJETIVO GENERAL Hacernos conocer acerca del comportamiento de las columnas al ser sometidas a esfuerzos se compresión, flexión, tracción y el movimiento lateral, vertical como su comportamiento y estudio; Los temas a tratar son:

II.



Estabilidad y pandeo.



Diseño de columnas.



Comportamiento elástico.

MARCO TEÓRICO COLUMNAS ESTABILIDAD Y PANDEO La carga máxima que puede soportar una pieza sin dejar de funcionar satisfactoriamente en la estructura de la maquina (es decir, que no falle estructuralmente), está limitada por la deformación elástica de la misma. El pandeo elástico es una forma de comportamiento de una pieza, para las cuales la deformación elástica puede limitar la capacidad portante de la misma. Este caso puede ocurrir en piezas que tienen ciertas dimensiones relativas, llamadas frecuentemente piezas de pared delgada o piezas delgadas e incluyen columnas esbeltas; cilindros de pared delgada bajo compresión axil, presión externa uniforme radial, o torsión; vigas doble T de alas anchas; placas delgadas comprimidas de canto, o sometidas a corte. Una característica del pandeo es que las deformaciones y tensiones no son proporcionales a las cargas actuantes, aun cuando el material se comporte elásticamente (las tensiones son proporcionales a las deformaciones especificas). Frecuentemente se refiere al pandeo como a un fenómeno de inestabilidad estructural, además la carga de pandeo o crítica representa por lo general la carga práctica máxima que es capaz de soportar la pieza, aun cuando la tensión en el material no supere el límite elástico de compresión. Según el tipo de vínculos en sus extremos de la pieza, existen cuatro tipos de pandeo: articulado-articulado (1), empotrado libre (2), empotrado-empotrado (3), empotrado-articulado (4).

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1

2

3

4

Para podemos definir los conceptos fundamentales de pandeo y estabilidad analizaremos la estructura idealizada o modelo de pandeo en la figura (A). Esta estructura hipotética consta de dos barras rígidas AB y BC cada una de longitud L/2 unidas en B por un pasador y mantenidas en posición vertical por un resorte rotatorio con rigidez este estructura es análoga a la columna de la figura (C) por que ambas tienen soportes simples en los extremos y están comprimidas por una carga axial

P:

sin

embrago,

la

elasticidad

de

la

estructura

idealizada

esta

“CONCENTRADA” en el resorte rotatorio , mientras que una columna real puede flexionarse en toda su longitud figura (D). En al estructura idealizada, las dos barras están perfectamente alineadas y la carga axial P tiene su línea de acción a lo largo del eje longitudinal (figura A), en consecuencia, el resorte no está sometida a esfuerzos y las barras están en compresión directa. Supongamos ahora que la estructura esta perturbada por alguna fuerza estrena que desplaza lateralmente al punto B una pequeña distancia en la figura (B), las barras rígidas giran un ángulo pequeño

y en el resorte se desarrollan un momento. La

dirección de este momento se tal que tienda a regresar la estructura a su posición original recta, por lo cual se llama momento RESTITUTIVO, Al mismo tiempo la tendencia de la fuerza axial de comprensión aumenta el desplazamiento lateral por lo que vemos que estas dos acciones tienen efectos opuestos, la fuerza axial aumenta y el momento disminuye el desplazamiento.

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Consideremos ahora que pasa cuando se elimina la fuerza perturbadora si la fuerza axial P es más pequeña, la acción del momento restituido se prevalecerá sobre la acción de la fuerza axial y la estructura retomara a su posición inicial recta. En estas condiciones, diremos que la estructura es ESTABLE en cambio, si la fuerza axial P es grande el desplazamiento del punto B aumenta y las barras giraran un ángulo cada vez mayor hasta que la estructura se colapse.

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COLUMNAS CON EXTREMOS ARTICULADOS Para estudiar el comportamiento y la estabilidad de las columnas, inicialmente se considerará una columna esbelta con extremos articulados. La columna está cargada por una fuerza vertical P que se aplica en el centroide de la sección de la sección transversal y que está alineada en el eje longitudinal de la columna. La columna misma es perfectamente recta y está hecha de un material linealmente elástico que satisface la ley de Hooke. Cuando la carga axial P tiene un valor pequeño, la columna permanece recta y sólo experimenta compresión axial. Los esfuerzos uniformes de compresión se obtienen de la ecuación P/A. Esta forma de recta de equilibrio es estable, lo cual significa que la columna regresa a su posición recta después de una modificación. Según se incremente gradualmente la carga P, se llega a una situación de equilibrio neutro en la que la columna puede adoptar una forma flexionada. El valor correspondiente de la carga es la carga crítica Pcr. Para valores mayores de la carga, la columna es inestable y se colapsará por flexión.

El comportamiento de una columna ideal comprimida por una fuerza axial P puede resumirse como sigue: 

Si P < Pcr, la columna está en equilibrio estable en la posición recta.



Si P = Pcr, la columna está en equilibrio neutro en la posición recta o en la posición levemente flexionada.



Si P > Pcr, la columna está en equilibrio inestable en la posición recta, y por lo tanto se pandea.

Para determinar la carga crítica y el perfil deflexionado de la columna pandeada, se utiliza una de las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión de una viga. Estas ecuaciones son aplicables a una columna porque, cuando ocurre el pandeo,

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se desarrollan momentos flexionantes en la columna, la cual se flexiona como si fuera una viga. La ecuación es: EIv” = – M En la que v es la deflexión lateral en la dirección y. Se corta la columna a una distancia x desde el apoyo A y se observa del equilibrio estático que en la sección transversal del corte deben actuar una fuerza vertical P y un momento flexionante M (igual a Pv). Por lo tanto la ecuación diferencial resulta: EIv” = – M = – Pv O sea: EIv” + Pv = 0 ............... (1) La cantidad EI es la rigidez a flexión para la flexión en el plano xy, el cual se supone es el plano de pandeo. Por conveniencia en la formulación de la solución general de la ecuación, se utiliza la notación: 2

k = P / EI Entonces podemos replantear la ec. (1) en: 2

EIv” + k v = 0 .............. (2) La solución general de esta ecuación es: v = C1sen kx + C2 cos kx

(3)

Donde C1 y C2 son constantes que deben evaluarse a partir de las condiciones de frontera (o condiciones de extremos) de la columna. Para evaluar las constantes de integración, se emplean las condiciones de frontera en los extremos: v(0) = 0 y v(L) = 0 La primera condición da C2, y la segunda da: C1sen kL = 0 ....................................... (a) De esta ecuación se concluye que C 1 = 0, o sea que senkL = 0. si C1 = 0, la deflexión v es cero y la columna permanece recta. Por lo tanto, la carga axial P puede tener cualquier valor. Esta solución de la ecuación diferencial se representa mediante el eje vertical del diagrama carga – deflexión mostrada a continuación. Esta solución corresponde a una columna ideal que esté en equilibrio (estable o inestable) bajo la acción de la carga de compresión P. La porción del diagrama carga – deformación que corresponde a Pcr es una línea recta horizontal. El punto de bifurcación B está en la carga crítica; encima del punto B el equilibrio es inestable y por debajo de él es estable.

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La otra posibilidad para satisfacer la ecuación (a) es satisfacer la siguiente condición: Sen kL = 0 .......................................... (b) Esta ecuación se satisface cuando kL = 0, asi como kL = 0 significa que P=0, esta solución no es de interés. Por lo tanto, las soluciones que se considerarán son:



KL  n * O sea: 2

P=(n



n = 1, 2, 3,. . .

2

EI )/ L

2

n = 1,2,3, . . .

... (c)

Esta ecuación proporciona los valores de P que satisfacen la ecuación (a) y en consecuencia proporcionan soluciones a la ecuación diferencial. Luego, la ecuación de la curva de deflexión es: v = C1 sen kL = C1 sen(n



x/L)

n = 1,2,3, . . .(d)

Únicamente cuando P tiene uno de los valores dados por la ecuación (c) es teóricamente posible que la columna tenga una forma flexionada; para todos los demás valores de P, la columna está en equilibrio sólo si permanece recta. Por lo tanto, los valores de P dados por la ecuación (c) son las cargas críticas para la columna. La menor carga crítica para la columna se obtiene cuando n = 1:

Pcr = (



2

2

EI)/L ...................................... (4)

La forma pandeada correspondiente (a veces llamada forma modal o modo de pandeo) es. v = C1 sen (



x/L) ................................ (5)

La constante C1 representa la deflexión del punto medio de la columna y puede ser positiva o negativa. El pandeo de una columna de extremos articulados en el primer modo (n = 1) se denomina caso fundamental de pandeo de columnas. La carga crítica para una columna elástica ideal también se conoce como carga de Euler.

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COLUMNAS CON OTRAS CONDICIONES DE APOYO: El pandeo de una columna con extremos articulados a menudo se denomina caso fundamental de pandeo. Sin embargo, muchas otras condiciones, tales como extremos empotrados, soportes elásticos y extremos libres, se encuentran en la práctica. Las cargas críticas para columnas con varios tipos de apoyos se determinan a partir de la ecuación diferencial de la curva de deflexión, en forma similar a la de una columna articulada. Se empieza por dibujar los diagramas de cuerpo libre de la columna a fin de obtener expresiones para el momento flexionante. Para evaluar las constantes arbitrarias y algunas otras incógnitas que aparecen en la solución, se usan las condiciones de frontera como la deflexión v y la dependiente v”. La solución final consiste en obtener la carga crítica Per y la forma deflexionada de la columna pandeada.

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Para explicar este procedimiento, analicemos una columna elástica ideal empotrada en su base, libre en su otro extremo, y sometida a una carga axial vertical P. Esta columna en particular es de importancia histórica ya que representa la primera columna analizada por Euler en 1744. La columna deflectada se muestra, y de esta figura se aprecia que el momento flexionante a una distancia x desde la base es M = - P ( - V) Donde  es la deflexión en el extremo libre. La ecuación diferencial de la curva de deflexión, resulta entonces. Elv” = - M = P ( - v)

(a)

Donde I es el momento de inercia para pandeo en el plano xy. Utilizando la notación k² = P/EI , podemos escribir la Ec. (a) en la forma v” + k² v = K²

(b)

Esta ecuación es otra ecuación diferencial lineal de segundo grado con coeficientes constantes. Sin embargo es más complicada que la ecuación para una columna con extremos articulados, porque tiene un término diferente de cero en el miembro del lado derecho. Su solución general consta de dos partes (1) la solución homogénea, que es la solución de la ecuación homogénea correspondiente obtenida igualando a cero el segundo miembro, y (2) la solución particular, la cual es una solución de la ecuación que origina el miembro del lado derecho real. La solución homogénea VH (también llamada solución complementaria); luego vH = C1 sen kx + C2 cos kx

(c )

En donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Cuando vH se sustituye en el miembro del lado izquierdo de la ecuación diferencial (Ec. b), resulta cero. La solución particular es. vp = 

(d)

Cuando vp se sustituye en el lado izquierdo de la ecuación diferencial, genera el miembro del derecho. Por lo tanto, la solución general de la ecuación es la suma de vH y vp: v = C1 sen kx + C2 cos kx + 

(e)

Esta ecuación contiene tres incógnitas, C1, C2 y ; luego, son necesarias tres condiciones de frontera para obtener la solución. En la base empotrada de la columna, tenemos dos condiciones: v (O) = O

v’ (O) = O

La primera condición da: C2 = - 

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(f)

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Para emplear la segunda condición diferenciamos primero la Ec (e) para obtener la pendiente: V’ = C1 k cos kx – C2 k sen kx Entonces la segunda condición da C1 = O. Sustituyendo los valores de C1 y C2 en la solución general, obtenemos la ecuación de la curva de deflexión: v =  (1 – cos kx)

(g)

Esta ecuación proporciona la forma de la curva de deflexión pero está indefinida la amplitud de la deflexión. La tercera condición de frontera está en el extremo superior de la columna donde la deflexión v es igual a : v (L) =  Usando esta condición con la Ec. (g), obtenemos:  cos kL = 0

(h)

De donde se concluye que  = 0 o que cos kL = 0. Si  = 0, no se presenta deflexión en la barra, y por tanto no ocurre pandeo. En tal caso, la Ec. (h) se satisfará con cualquier valor de la cantidad kL. Por lo tanto, la carga P también puede tener cualquier valor. Este resultado está representado por el eje vertical del diagrama carga – deflexión mostrado. La otra posibilidad es que cos Kl = O. En este caso, la Ec. (h) se satisface sin importar el valor de la deflexión; luego,  está indefinida y puede tener cualquier valor (pequeño). La condición cos Kl = 0 requiere que:

KL 

n 2

n = 1, 3,5....

(i)

La fórmula correspondiente para las cargas críticas es

Pper 

n 2 *  2 * EI 4 L2

n = 1, 3,5,......

(11-10)

También, las formas modales de pandeo (véase Ec. G) están dadas por la siguiente ecuación: v =  (1 - Cos ( nx)) n = 1,3,5 ....

(11-11)

2L La carga crítica más pequeña (n = 1) es la única carga de interés práctico: Pcr = ² EI

(11-12)

4L² La forma pandeada correspondiente es: v =  (1 – cos ( x))

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(11-13)

Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO Como se mencionó previamente, la deflexión  está indefinida; luego, obtenemos una línea horizontal en el diagrama carga deflexión. Tomando valores más altos del índice n, se obtiene un número infinito de cargas críticas. Las formas modales de pandeo correspondientes tienen más y más ondas en ellos. Cuando n = 3, Pcr es nueve veces mayor que para n = 1, y la forma pandeada se muestra. De modo semejante, el perfil para n = 5 se muestra en la parte (d) de la figura.

LONGITUD EFECTIVAS DE COLUMNAS: Las cargas críticas para columnas con varias condiciones de apoyo pueden relacionarse con la carga crítica de columna de extremos articulados mediante el concepto de la longitud efectiva. Para explicar esta idea, obsérvese el perfil deformado de una columna fija en su base y libre en su cima. Esta columna se pandea en una curva que es la cuarta parte de una onda senoidal completa. Si se amplía la curva de deflexión, se observa que resalta la curva de deflexión para una columna de extremos articulados, o la mitad de una onda senoidal. La longitud efectiva Lc es la longitud de la columna de extremos articulados equivalente, o la distancia entre los puntos de inflexión en la curva de deflexión. Luego, para la columna empotrada con un extremo libre, la longitud efectiva es Le = 2L

(j)

Como la longitud efectiva es la longitud de una columna de extremos articulados equivalente, se puede escribir una fórmula general para la carga crítica como sigue: Pcr = ² EI

(11-14)

L²C Sustituyendo Le = 2L, obtenemos a carga crítica para una columna empotrada con un extremo libre. La longitud efectiva se expresa a menudo en términos de un factor de longitud efectiva. Le = KL

(11-15)

Luego, la carga crítica es:

Pper 

 2 * EI ( KL ) 2

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(11-16)

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El factor K es igual a 2 para una columna empotrada en su base y libre en su cima y es igual a 1 para una columna de extremos articulados.

COLUMNA CON EXTREMOS EMPOTRADOS: Considérese ahora una columna con ambos extremos empotrados para evitar rotaciones. Supóngase que los extremos de la columna pueden desplazarse libremente entre sí. Entonces, cuando se aplica la carga axial P en la parte superior, se desarrolla en la base una fuerza reactiva igual. Cuando ocurre el pandeo, en los empotramientos se desarrollan también momentos reactivos M o.

La curva de

deflexión para el primer modo de pandeo es una curva trigonométrica que tiene puntos de inflexión a una distancia L/4 desde los extremos. Luego, la longitud efectiva, igual a la distancia entre los puntos de inflexión es

Le 

L 2

Sustituyendo en la Ec. (11-13) se obtiene la carga crítica:

Pcr 

4 2 EI L2

(11-17)

Se observa que la carga crítica para una columna con extremos empotrados es cuatro veces la carga crítica para una columna con extremos articulados. Este resultado puede obtenerse también resolviendo la ecuación diferencial de la curva de deflexión.

COLUMNAS EMPOTRADA EN SU BASE Y ARTICULADA EN SU CIMA: La carga crítica y el perfil modal de pandeo para una columna que está empotrada en su base y articulada en su cima, no puede determinarse mediante inspección del perfil modelo de pandeo, ya que la localización del punto de inflexión no es evidente. Luego, se debe resolver la ecuación diferencial a fin de encontrar Pcr. Cuando la columna se pandea se desarrollan fuerzas reactivas horizontales R en los apoyos, así como un momento reactivo Mo en la base. Del equilibrio estático se sabe que las fuerzas horizontales son de igual magnitud y dirección opuesta, de tal forma que

M o  RL El momento flexionante en la columna pandeada, a una distancia x desde la bae, es

M  Pv  RL  x  Página 12

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Procediendo como en los análisis anteriores, se obtiene la siguiente ecuación diferencial:

v ''  k 2 v 

R L  x  EI

k2 

En donde

(l)

P EI

La solución general de la ecuación diferencial es:

V  C1senkx  C2 coskx 

R L  x  P

(m)

La cual tiene tres constantes desconocidas (C1, C2 y R). Las tres condiciones de frontera requeridas son:

v0  0

vL   0

v ' 0   0

Aplicando estas condiciones a la Ec. (m) se obtiene

Ce 

RL 0 P

C1k 

RL  C1 tanKI   C2  0 P

(n)

Las tres ecuaciones se satisfacen si C1 = C2 = R = 0, en cuyo caso tenemos la solución trivial y la deflexión es cero. A fin de obtener la solución para pandeo, se deben resolver las ecuaciones en una forma más general. Un método de solución es eliminar R de las dos primeras ecuaciones, obteniéndose.

C1kL  C2  0  Sea C2 = C1kL. Ahora sustituimos C2 por esta expresión en la tercera de las Ec. (n) y obtenemos la ecuación de pandeo:

kL  tankL

(o)

La solución de la ecuación de pandeo representa la carga crítica. Dado que la ecuación de pandeo es una ecuación trascendente, no puede resolverse explícitamente. Sin embargo, el valor de kL puede determinar mediante prueba y error o por medio de una calculadora con programa para determinar raíces de ecuaciones. El valor de kL más pequeño y distinto de cero que satisface la Ec (o) es:

kL  4.4934

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(p)

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La carga crítica correspondiente es

Pcr 

20 .19 EI 2.046  2 EI  L2 L2

(11-17)

La cual está entre los valores de las cargas críticas para columnas con extremos articulados y las de columnas con extremos empotrados. La longitud efectiva para la columna, se determina:

Le  0.699 L  0.7 L

(q)

Esta longitud representa la distancia desde el extremo articulado de la columna hasta el punto de inflexión en el perfil pandeado. La ecuación del perfil modal de pandeo se obtiene sustituyendo

C 2  C1kL y

R P  kC1 en la solución general (Ec. m):

V  C1 senkx  kLcoskx  k L  x 

(11-18)

En la cual k = 4.4934 /. El término entre corchetes proporciona la forma modal para la deflexión de la columna pandeada, pero la amplitud de la deflexión está indefinida porque C1 puede tener cualquier valor (con la limitación de que v debe permanecer pequeña).

COLUMNAS LARGAS CON CARGAS EXCENTRICAS: Efecto de Esbeltez:

P  = 2 A 1 +  /18 000

 =

P 2 (1 + ) A 18 000

Efecto de excentricidad:

 =

=

Mv PeV PeV = = 2 I I A

P eV 2 (1 + + 2)  A 18 000

Dónde:  = Esbeltez e = Distancia Excéntrica  = Radio de Giro

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Se debe tomar el radio de giro (), según donde se encuentre la excentricidad, para tomar así el radio de giro que soporta el momento de flexión.

DISEÑO DE COLUMNAS Las columnas son los miembros verticales a compresión de los marcos estructurales, que sirven para apoyar a las vigas cargadas. Transmiten las cargas de los pisos superiores hasta la planta baja y después al suelo, a través de la cimentación. Puesto que las columnas son elementos a compresión, la falla de una columna en un lugar crítico puede causar el colapso progresivo de los pisos concurrentes y el colapso total último de estructura completa.

En términos económicos y de pérdidas humanas, la falla estructural de una columna es un evento de principal importancia. Es por esto que se debe tener un cuidado extremo en el diseño de las columnas, que deben tener una reserva de resistencia más alta que las vigas o cualquier otro elemento estructural horizontal, especialmente porque las fallas de compresión proporcionan muy poca advertencia visual.

El reglamento del ACI requiere que en el diseño de miembros a compresión se utilicen factores de reducción de la resistencia ф, considerablemente menores que los factores ф para la flexión, el cortante o la torsión.

En el caso de las vigas, la cantidad de refuerzo se controla para obtener un comportamiento de falla dúctil. En el caso de las columnas, ocasionalmente dominará la carga axial; por lo que no se puede evitar un comportamiento de falla por compresión para los casos en que existe una relación grande de carga axial momento flexionante.

A medida que la carga en una columna se incrementa, el agrietamiento se intensifica en los lugares de los amarres transversales, en toda su altura. En el estado límite de falla, el recubrimiento de concreto de las columnas con estribos o la capa de concreto que cubre las espirales de las columnas confinadas con espirales, se desprende y las varillas longitudinales que dan expuestas. Las cargas adicionales conducen a la falla y al pandeo local de las varillas longitudinales individuales, en las partes sin soporte entre los estribos. Se debe notar que en el estado límite de falla, el recubrimiento de concreto del refuerzo se desprende primero antes de que se destruya la adherencia.

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Para hacer un buen diseño de las columnas se debe saber la resistencia de las columnas en la que se calculan con los principios básicos siguientes: 1. Existe una distribución lineal de las deformaciones en la sección transversal de la columna. 2. No hay deslizamiento entre el acero y el concreto (esto es, la deformación en el acero y en el concreto en contacto es la misma). 3. Para el propósito de los cálculos de la resistencia, la deformación máxima permisible del concreto en la falla es = 0.003 in/in. 4. La resistencia en tensión del concreto es despreciable y no se considera en los cálculos.

Las columnas se pueden clasificar con base a su forma y la disposición del refuerzo, con la posición de la carga en la sección transversal y por la longitud de la columna en relación con sus dimensiones laterales. La forma y el arreglo del refuerzo, identifican a los tipos de columnas: 1. Columnas rectangulares o cuadradas con refuerzo longitudinal de varillas y estribos laterales.

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2. Columnas circulares con refuerzo longitudinal y refuerzo en espiral o con estribos.

Aunque las columnas con estribos son las que se usan con más frecuencia por sus costos menores de construcción, cuando se requiere un incremento en la ductilidad, como en las zonas sísmicas, también se usan columnas rectangulares o circulares con refuerzo espiral. La habilidad de las columnas con espirales para soportar la carga máxima con deformaciones excesivas evita el colapso total de la estructura antes de que se complete la distribución total de los momentos y los esfuerzos. En base a la posición de la carga en la sección transversal, se puede clasificar a las columnas como cargadas axialmente o excéntricamente. Las columnas cargadas axialmente, no soportan momento. Sin embargo, en la práctica se debe diseñar a todas las columnas para resistir alguna excentricidad no prevista o accidental que se puede producir por causas como las variaciones en el alineamiento vertical de la cimbra. Las columnas con carga excéntrica, están sujetas a momento además de la fuerza axial. El momento se puede convertir en una carga P y una excentricidad e. El momento puede ser uniaxial, como es el caso en una columna exterior del marco de un edificio de varios niveles, o cuando dos tableros adyacentes no están cargados

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de modo similar. Se considera que una columna está cargada biaxialmente cuando existe flexión con respecto a los dos ejes X y Y.

La falla en las columnas se puede presentar como resultado de una falla en el material por la fluencia inicial del acero en la cara de tensión o por el aplastamiento inicial del concreto en la cara de compresión, o por la pérdida de la estabilidad lateral estructural (esto es, por pandeo).

PROCEDIMIENTO PARA EL DISEÑO DE COLUMNAS NO ESBELTAS

Para diseñar las columnas no esbeltas, en las que el comportamiento está controlado por la falla del material, se pueden utilizar los siguientes pasos 1.

Calcule la carga axial externa factorizada Pu y el momento factorizado Mu. Obtenga Mu la excentricidad e = Pu.

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2.

Suponga la sección transversal y el tipo de refuerzo vertical que se usará. Al seleccionar los tamaños de las columnas, se deben evitar dimensiones fraccionales.

3.

Suponga una relación de refuerzo p entre 1 y 4% y obtenga el área del refuerzo.

4.

Calcule Pnb (condición balanceada de falla) para la sección supuesta y determine el tipo de falla, sea por la fluencia inicial del acero o por el aplastamiento inicial del concreto.

5.

Revise si la sección supuesta es adecuada. Si la sección no puede soportar a la carga factorizada o si es demasiado grande y por lo tanto no es económica, modifique la sección transversal y/o el refuerzo y repita los pasos 4 y 5.

6.

Diseñe el refuerzo lateral.

FORMULAS PARA EL DISEÑO DE COLUMNAS

Un procedimiento común es emplear fórmulas de diseño empíricas que se ajusten a los datos de pruebas del comportamiento de columna en el margen inelástico y usar fórmulas de Euler para la carga critica

El uso de las fórmulas de diseño empíricas es completamente satisfactorio dentro de los límites a las cuales ha sido establecida, a partir de estos datos experimentales, luego se debe observar las siguientes restricciones: 

La fórmula es válida solo para un material determinado



La fórmula solo es válida para un margen específico de esbeltez



La fórmula puede especificar el esfuerzo permisible o puede especificar el esfuerzo máximo en este último caso, debe aplicarse un factor de seguridad para obtener el esfuerzo permisible

Los siguientes ejemplos de fórmula de diseño para columnas son aplicables a columnas cargadas centralmente. Por supuestos muchos otros factores, además de los que aquí explicados intervienen en el diseño de columnas.

El diseño

de columnas mediante de estas fórmulas empíricas

implican error,

conociendo la carga axial de compresión empezamos por estimar el esfuerzo permisible σperm y calcular aproximadamente el área de sección trasversal requerida. Entonces se selecciona una sección a partir de tablas adecuadas. Esta sección se verifica mediante las fórmulas de diseño apropiadas para comprobar si es adecuada para soportar la carga. si no lo es , se selecciona una sección mayor y se procede a repetir el proceso , si la sección está sobredimensionada se selecciona otra más pequeña .

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ACERO ESTRUCTURAL:

Para el diseño de columnas de acero estructural cargadas centralmente, el estructural stability research council (ssrc) propuso fórmulas que actualmente están en uso común, esta fórmula proporciona el esfuerzo máximo o crítico de la columna.

Cuando la relación de esbeltez L/r es grande, el esfuerzo máximo se basa en la carga de Euler: σmax =π²E(Kl./r)²

En donde se aplica la fórmula de la longitud efectiva KL a fin de la que la formula pueda ser aplicada a una gran variedad de condición de apoyo. Para acero estructural suponemos que el límite de proporcionalidad es igual al esfuerzo de fluencia σy. Sin embargo para secciones laminadas

tales como secciones de patín ancho)

tienen grandes esfuerzos residuales en ella; los esfuerzos residuales pueden ser tan grandes como la mitad de los esfuerzos de fluencia. Luego para tales columnas el límite de proporcionalidad es: σip =σy – σrc =0.5 σy

En donde σrc representa los esfuerzo residuales de compresión en la columna y se supone a 0.5 σy Para determinar la esbeltez, mínima para la cual es aplicable la Ec. se hace σmax igual a σip y se despeja el valor correspondiente de KL/r denotado por (Kl./r)c : (Kl./r)c = ( 2π²E)/ σy)½

Si la relación de esbeltez efectiva es mayor o igual que (Kl./r)c puede utilizarse la fórmula de Euler para el esfuerzo crítico : σmax σy

=

π²E

=

σy Kl./r)²

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(Kl./r)² c 2Kl./r)²

KL r

≥ ( KL )c rc

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La Ec se grafica en la figura designada como curva de Euler. Para la región de pandeo inelástico, esto es, esfuerzo máximo se representa mediante una curva parabólica: σmax

= 1-

σy

(Kl./r)² c 2Kl./r)²

KL r

≤ ( KL )c rc

Esta fórmula también se grafica la curva tiene una tangente horizontales KL/r =0 en donde el esfuerzo máximo es igual a

σy para

KL/r = (KL/r) c la curva se une

con la de Euler.

El AISC, ha adoptado las fórmulas para

σmax propuestas por el SSRC para

determinar el esfuerzo permisible, el AISC especifica que los esfuerzos máximos se dividen entre los siguientes factores de seguridad:

n1

=

5 + 3

n2

= 23

3 ( KL/r) 8 (KL/r) c

-

(KL/r)³ 8 (KL/r)³c

= 1.92

KL r

KL

12

r

Página 21

≤ ( KL )c rc ≥ ( KL )c rc

Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO

Luego el factor de seguridad es 5/3 cuando kl/r = 0 y se incrementa gradualmente hasta 23/12 cuando kl/r = (kl/c) para relaciones de esbeltez mayores, el factor de seguridad permanece constante en tal valor. Las formulas AISC para los esfuerzos permisibles se obtiene, dividiendo los esfuerzos máximos entre los factores de seguridad apropiados.

Aluminio:

Muchas aleaciones de aluminio están disponibles para el uso en la construcción estructural y de máquinas para cada aleación las especificaciones de la Aluminum Association proporcionan tres ecuaciones para el esfuerzo admisible en las columnas bajo carga céntrica. Para las columnas cortas σ columnas intermedias, se usa una relación lineal entre σ

adm

adm

es constante, para

y L /r , y para columnas

largas se utiliza una ecuación del tipo de Euler. Abajo se dan las especificaciones específicas para el uso en edificios y estructuras similares en unidades del SI y americanas para las aleaciones comúnmente utilizadas. Las fórmulas para los esfuerzos admisibles o permisibles son:

Página 22

Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO

Aleación 6061-T6: L /r 9.5:

σ adm= 19 ksi = 131 Mpa

9.5  L /r  66 :

σ adm= [20.2-0.126(L /r )] ksi =[139-0.868(L /r )] Mpa

L /r 66:

2

3

σ adm=51.000 ksi/(L /r ) =372x10 Mpa/(L /r )

2

Aleación 2014-T6 (Alclad): L /r 9.5: 12  L /r  55 :

σ adm= 28 ksi = 193 Mpa σ adm= [30.7-0.23(L /r )] ksi =[212-1.585(L /r )] Mpa

L /r 66:

2

3

σ adm=54.000 ksi/(L /r ) =372x10 Mpa/(L /r )

2

Los factores de seguridad varían de 1.65 a 2.20.

MADERA

Para el diseño de columnas de madera, las especificaciones del American Institute of Timber Construction (AITC) proporcionan ecuaciones para el esfuerzo admisible en columnas cortas, intermedias y largas bajo cargas céntricas. Para una columna con sección rectangular de lados b y d, donde db la variación de Para columnas cortas σ

adm

σ adm con L /d

es constante e igual al esfuerzo admisible para

compresión paralela a la fibra σ’ adm Las fórmulas para los esfuerzos permisibles en columnas de madera, para cortas intermedias , y largas son las siguientes:

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Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO

El esfuerzo F, es el valor de diseño en compresión paralela a las fibras y modificado por la duración de carga y otros factores de servicio ; los valores comunes de F c para madera estructural son 700 a 1800 psi.la relación de esbeltez L/d es la longitud efectiva L de la columna para el pandeo en un plano principal dividida entre las dimensiones d de la sección transversal en ese mismo plano. El factor K es la relación de esbeltez que separa las columnas intermedias de las columnas largas:

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Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO

COMPORTAMIENTO ELÁSTICO E INELÁSTICO DE COLUMNAS

El comportamiento elástico e inelástico de una columna ideal se representa mediante la curva de Euler. Sobre el diagrama de esfuerzo de compresión medio (P/A) y la relación de esbeltez (L/r).

Esta cuerva solo es válida en la región CD, por debajo del límite de proporcionalidad σ1P del material. La relación:

 2E L     1P  r c

Si tomamos en cuenta los efectos de excentricidades el material satisface la ley de Hooke, obtenemos una curva como la denominada fórmula de la secante, esta curva está trazada por un esfuerzo máximo igual al límite de proporcionalidad σ 1P. Luego según nos movemos desde C hasta D, tanto la carga P como el esfuerzo máximo disminuyen en las mismas proporciones.

De la curva de Euler; las columnas cuya relación de esbeltez es grande se pandea a bajos valores de esfuerzos de compresión P/A.

Cuando un miembro de compresión es muy corto, falla por fluencia o por aplastamiento del material de modo que no se considera el pandeo o la estabilidad

Página 25

Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO en tal caso; podemos definir un esfuerzo de compresión máximo σ u como esfuerzo de falla del material. Este esfuerzo establece un límite de resistencia representado sobre la línea horizontal AB (fig. A).

Entre las regiones de columnas cortas y largas; existe un margen de relaciones de esbeltez intermedias y muy pequeñas para que predomine la estabilidad elástica y muy grandes para que prevalezcan únicamente las condiciones de esfuerzo. Tal columna de longitud intermedia falla por pandeo inelástico, por lo que la carga crítica para pandeo inelástico es menor que la carga de Euler. Las pruebas de columna muestran una concordancia apropiada con curva ABCD, generalmente forman una banda que queda debajo de la curva ABCD; es de esperarse una gran dispersión en los resultados, para cuantificar esta variabilidad tenemos los esfuerzos permisibles para una columna dividiendo el esfuerzo máximo de la columna ABCD entre un factor de seguridad adecuado.

FÓRMULAS DE DISEÑO PARA COLUMNAS:

El diseño de las columnas mediante estas fórmulas implica cálculos de prueba de error, conociendo la carga axial de compresión comenzamos a estimar el esfuerzo permisible. Realizando un gran número de pruebas experimentales en un gran número de columnas axialmente cargadas, los resultados pueden graficarse y desarrollarse una fórmula de diseño ajustando la curva a la media de los datos. cr Fórmula de Euler

y

KL/r Columna corta

Columna intermedia

FIGURA (1)

Página 26

Columna larga

Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO

En la figura (1) se muestra un ejemplo de dichas pruebas para columnas se acero de patín ancho.

Para considerar el comportamiento de columnas de diferente longitud, los códigos de diseño casi siempre especifican varias fórmulas que se ajustarán mejor a los datos en el intervalo de columnas cortas, intermedias y largas. Por consiguiente, cada fórmula será válida sólo para un intervalo específico de relaciones de esbeltez, y por tanto es importante que el ingeniero observe con cuidado los límites de KL/r dentro de los cuales una fórmula particular es válida.

A continuación se analizaran algunas fórmulas de diseño para columnas de acero, aluminio y madera actualmente en uso.

Columnas de Acero: Las columnas de acero estructural se diseñan con base en fórmulas propuestas por el Structural Stability y Research Council (SSRC). A estas fórmulas se les aplicaron factores de seguridad y han sido adoptadas como especificaciones en la industria de la construcción, estas especificaciones estipulan dos fórmulas para el diseño de columnas, cada una de las cuales da el esfuerzo permisible máximo en la columna para un intervalo específico de relaciones esbeltez. Para columnas largas se propone la fórmula de Euler, es decir:

 m ax 

 2E  KL     r 

2

,

La aplicación de esta fórmula se requiere que se aplique un factor de seguridad F.S. = 23/12 = 1.92 Por tanto, para diseño,

 per 

12 2 E

KL  KL   200    r  r c

23KL / r 

2

…(1)

Según lo expuesto, esta ecuación es aplicable para una relación de esbeltez limitada por 200 y (KL/r)c. si se requiere usar la fórmula de Euler sólo para comportamiento elástico del material, se obtiene un valor específico de (KL/r) c. Mediante experimentos se ha determinado que en secciones de acero laminadas pueden existir esfuerzos residuales de compresión cuya magnitud puede ser hasta de la mitad del esfuerzo de fluencia. Por consiguiente, si el esfuerzo en la fórmula de Euler

Página 27

Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO es mayor que σy. La ecuación no será válida. Por tanto, el valor de (KL/r) c puede ser determinado como sigue:

1  2E y  2 ( KL / r ) 2

… (2)

2 2 E  KL     y  r c

Las columnas cuyas relaciones de esbeltez son menores que (KL/r) c se diseñan con base en una formula empírica que es parabólica y que tiene la forma:



 max  1  

( KL / r ) 2   y ( KL / r ) c2 

Como existe más incertidumbre en el uso de esta fórmula para las columnas más largas, se divide por un factor de seguridad definido como sigue:

F .S . 

5 3 ( KL / r ) ( KL / r ) 3   3 8 ( KL / r ) c 8( KL / r ) 3c

Aquí se ve que F.S. = 5/3 =1.67 cuando KL/r=0 y se incrementa a F.S.=23/12=1.92 en (KL/r)c. Por tanto, para propósitos de diseño,

 perm

 ( KL / r ) 2  1   y 2( KL / r ) c2    5 / 3  3 / 8KL / r  / KL / r c   KL / r 3 / 8KL / r 3c





 KL   KL      r   r c

Página 28



… (3)

Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO

En la figura (1) están graficadas las ecuaciones (1) y (3). Cuando se aplica cualquiera de estas ecuaciones, pueden utilizarse para los cálculos unidades del sistema inglés o del SI.

Columnas de aluminio: Las Aluminium Association especifica espe3cifica el diseño de columnas de aluminio por medio de tres ecuaciones, cada una aplicable dentro de un intervalo específico de relaciones de esbeltez. Como existen varios tipos de aleaciones de aluminio, hay un juego único de fórmulas para cada tipo. Para una aleación común (2014-T6) usada en la industria de la construcción, las fórmulas son:

 perm  28ksi

0



KL  11 r

 KL 

 perm  30.7  0.23  ksi  r    perm 

54000 ksi

KL / r 

KL  26 r

12 

55 

2

…(4)

KL r

…(5)

…(6)

Estas ecuaciones están graficadas en la figura 2. Como se ve, las dos primeras representan líneas rectas y se usan para moldear los efectos de columnas en el intervalo corto e intermedio. La tercera tiene la misma forma que la fórmula de Euler y se usa para columnas largas.

Columnas de Madera: Las columnas de madera usadas en construcciones de madera se diseñan con base en fórmulas publicadas por la National Forest Products Association (NFPA) y el American Institute of Timber Construction (AITC). Por ejemplo, las fórmulas de la NFPA para el esfuerzo permisible en columnas cortas, intermedias y largas de sección transversal rectangular de dimensiones b por d, donde d es la dimensión menor, son:

 perm  1.20ksi 

0 1  KL / d   3  26 .0 

 perm  1.20 1   

 perm 

540 ksi

KL / d 

2

KL  11 d

  ksi  26 

2

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11 

KL  26 d

KL  50 r

…(7)

…(8)

…(9)

Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO

3

En este tipo de madera tiene un módulo de elasticidad Emad (10 ) ksi y un esfuerzo de compresión permisible de 1.2 ksi paralelo a grano. En particular, la ecuación (9) es simplemente la ecuación de Euler con un factor de seguridad de 3.

III. EJERCICIOS: EJERCICIO 01

Determine la carga crítica de pandeo para cada una de las columnas usando la ecuación de Euler Límite proporcional = 30000 psi. Suponga extremos simplemente apoyados y una relación de esbeltez permisible L/ r =200.

Para una barra sólida cuadrada de 1.0 pulg. X 1.0 pulg. a) L = 3 pie 0 pulg. b) L = 4 pie 6 pulg.

Solución a) L = 3 pie 0 pulg.

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Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO

EJERCICIO 02 Determine la carga crítica de pandeo para una columna cuadrada de 1.0pulg. x 1.0pulg. Usando la ecuación de Euler . Límite proporcional =30000 psi. Suponga extremos simplemente apoyados y una relación de esbeltez permisible L/ r =200. L = 3 pie 0pulg

.

Página 31

Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO

Solución: Por definición:

(

√

(

)

(

√

)

Página 32

)

Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO

EJERCCIO 03: Una columna de acero está constituida con un perfil W 10 x 60 denle T. Suponga que la columna está articulada en sus extremos y que puede pandearse en cualquiera dirección. Suponga también que el acero tiene módulo de elasticidad E = 29000ksi y la tensión de fluencia σy = 36ksi. a) Si la longitud de la columna es L = 20 ft. ¿Cuál es la carga axial administrable? b) Si la columna está siendo sometida a una carga axial P = 200 k, ¿Cuál es la longitud admisible máxima?

P

L

P

Solución: Usaremos las fórmulas AISC al analizar esta columna. Como tiene soportes de pasador, el factor de longitud efectiva K = 1. Además, puesto que se pandeará respecto al eje débil de flexión, usaremos el menor radio de giro.

r  2.57in valor obtenido en la tabla E-1 del apéndice E. la relación de esbeltez crítica es:

 KL      r c a)

2 2 E

y



2 2 29000ksi  126.1 36ksi

(a)

Carga axial admisible. Si la longitud L = 20 ft, la relación de esbeltez de la columna es:

L 20 ft12in ft   93.4 r 2.57in

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Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO

que es menor que la relación crítica (ec. a); por tanto, usaremos ecuaciones para obtener el factor de seguridad y la tensión admisible, respectivamente:

KL / r   5  393.4  93.4  1.89 5 3KL / r  n1    3 8KL / r c 8KL / r 3c 3 8126.1 8126.13 3

2 2  prom 1    KL / r   1  93.4   1   1    0.384 y n1  2KL / r c2  1.89  2126.12 

 prom  0.384  y  0.384 36 ksi  13 .8ksi 2

Como el área de la sección transversal de la columna es A = 17.6 in , la carga axial admisible es:

Pprom   prom A  13.8ksi17.6in2   243k b) Longitud admisible máxima. Para determinar la longitud máxima cuando la carga axial P = 200k, comenzamos con un valor estimado de la longitud y usamos un procedimiento de ensayo y error. Note que cuando la carga P = 200k, la longitud máxima es mayor que 20 ft (porque la longitud de 20ft corresponde una carga axial de 243k); por tanto, como el valor de prueba supondremos L = 25 ft. La relación de esbeltez correspondiente es:

L 25 ft12in ft   116.7 r 2.57in que es menor que la relación crítica. Así pues, usaremos ecuaciones para obtener el factor de seguridad y la tensión admisible:

5 3KL / r  KL / r  5 3116.7  116.7        1.915 3 3 8KL / r c 8KL / r c 3 8126.1 8126.13 3

n1 

3

2 2  perm 1    KL / r   1  116.7    1   1    0.299 y n1  2KL / r c2  1.915  2126.12 

 perm  0.299  y  0.299 36 ksi  10 .8ksi

La carga axial admisible correspondiente a una longitud L = 25 ft es entonces:

Pperm   perm A  10.8ksi17.6in 2   190k

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Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO

que es menor que la carga dad de 200 k. en consecuencia la longitud admisible es menor que 25ft.

Efectuamos cálculos similares para L = 24.0 ft y L = 24.5 ft, con lo cual obtenemos los siguientes resultados:

L  24.0 ft

Pperm  201 k

L  24.5 ft

Pperm  194 k

L  25.0 ft

Pperm  190 k

Al interpolar entre estos resultados, vemos que una carga de 200k corresponde a una longitud de 24.1ft. la longitud admisible máxima de la columna es entonces:

Lmáx  24 .1 ft

EJERCICIO 04: Un poste de madera de sección transversal rectangular (figura 2), está construido de madera de pino Douglas de grado estructural (Fc= 15MPa.,

E= 14Gpa). Las

dimensiones transversales son b =120mm y h=160mm. Suponga que los soportes proporcionan condiciones de extremo articulado cuando el poste es comprimido por las cargas P.

Pperm

a)

Determine la carga axial admisible

b)

Determine la longitud admisible máxima Lmáx si la carga axial P=140KN.

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si la longitud L=1.8m.

Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO

Solución:

Usaremos la fórmula AFPA, al analizar este poste. La relación crítica L/d es:

KC 

0.45E  FC

0.45(14GPa)  20.5 15MPa

Puesto que el pandeo puede presentarse en cualquier dirección, la relación L/d real es: L L  d 0.120m

En donde L tiene unidades de metro y d es la dimensión mínima de la sección transversal, es decir, d=b.

a)

Carga axial admisible. Puesto que la longitud L =1.8m, la relación L/d es

L 1.8m   15 d 0.120m Que está entre 11 y Kc; por tanto, usamos las ecuaciones para obtener la tensión admisible:

 perm

 1  L d 4   1 15      (15MPa) 1    Fc 1   4  13.6MPa  3  Kc    3  20.5  

Conocida la tensión admisible, podemos calcular la carga axial admisible:

Pperm   perm A   permbh  (13 .6 MPa )(120 mmx 160 mm )  261 kN

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Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO

b) Longitud máxima admisible. Como desconocemos la longitud de la columna en esta etapa, ignoramos la relación L/d; por tanto, No sabemos qué fórmula usar para la tensión admisible. Como tanteo, usaremos la ecuación, para la cual L/d está entre K C y 50:

 perm  Ahora reemplazamos

0 .3 E ( L d )2

 perm con la tensión real P/A, que es : P 0 .3 E  A ( L d )2

o

L  d

0.3EA P

Sustituyendo los valores numéricos, tenemos:

L  d Que está entre

KC

(0.3)(14 GPa )(120 mm )(160 mm )  576  24 140 kN Y 50, como se supuso; por tanto, la longitud admisible

máxima es:

Lmáx  24 d  24 (120 mm )  2.88 m

EJERCICIO 05: Un tubo de aluminio (aleación2014-T6) con longitud efectiva L=16.0 in está comprimido por una fuerza axial P=5.0K (Fig. 1). Determine el diámetro exterior mínimo requerido “d” si el espesor “t”, es igual a un décimo del diámetro exterior.

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Solución: Usaremos las fórmulas de la Aluminum Asociación para la aleación 2914-T6 al analizar esta columna; sin embargo, precisamos un tanteo inicial respecto a qué fórmula es aplicable, porque cada fórmula se aplica a un intervalo diferente de relaciones de esbeltez. Supongamos que la relación de esbeltez del tubo está entre 12 y 55, en cuyo caso usamos la ecuación (1):

L r

 perm  30 .7  0.23 ksi

(c)

En esta ecuación podemos reemplazar la tensión admisible con la tensión real P/A; es decir, con la carga axial dividida entre el área de la sección transversal. La carga axial P=5.0k y el área de la sección transversal es

A

 4

d

2

 4 d

 (d  2t ) 2 

2



 (0.8d ) 2  0.2827d 2

(d)

Por tanto, la tensión P/A es

P 5.0k 17.69   2 A 0.2827d d2 En donde P/A tiene unidades de kips por pulgada cuadrada (ksi) y d tiene unidades de pulgadas (in). Sustituimos en la ecuación (c) y obtenemos

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Resistencia de Materiales II: DISEÑO DE COLUMNAS, COMPORTAMIENTO

17 .69 L  30 .7  0.23 ksi 2 d r

(e)

La relación de esbeltez L/r también puede expresarse en términos del diámetro d. encontramos primero el momento de inercia de la sección transversal y radio de giro de la columna:

I

 64 d 

4



 ( d  2r ) 4  r

 64

d

4



 (0.8d ) 4  0.02898d 4

0.02898d 4  0.3202d 0.2827d 2

I  A

Por tanto, la relación de esbeltez es

L 16.0in 49.97in   r 0.3202d d

(f)

Donde (igual que antes) el diámetro d tiene unidades de pulgadas. Sustituimos en la ecuación (e) y obtenemos la siguiente ecuación, en donde d es la única incógnita: 17 .69  49 .97   30 .7  0.23  d2  d 

Con un pequeño reordenamiento de los términos, resulta:

30.7d 2  11.49d  17.69  0 En donde encontramos

d  0.97in Este resultado es satisfactorio, siempre que la relación de esbeltez esté entre 12 y 55, como supusimos al seleccionar la ecuación (c). Para confirmar que este es el caso, calculamos la relación de esbeltez de la ecuación (f):

L 49.97in 49.97in    51.5 r d 0.97in

Por tanto, la solución es válida y el diámetro mínimo requerido es

d min  0.97 in

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III.

BIBLIOGRAFÍA  Robert Mott – Resistencia de Materiales.  Timoshenko – Resistencia de Materiales.

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