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PARÁMETROS DE UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN. ECUACIONES DE CARSON Vallejo David Seminario III, Departamento de Energía Eléctrica, Escuela Politécnica Nacional Quito, Ecuador [email protected] 

Resumen— Este trabajo presenta el análisis y cálculos de los parámetros de una línea de transmisión, las impedancias de un circuito, considerando el efecto de retorno por tierra, a través de las ecuaciones de Carson. De igual manera se presenta el cálculo en Matlab de los valores característicos que representan la matriz de secuencia positiva, negativa y cero. Y a través de estos análisis se realizará una comparación con los valores obtenidos en el software de simulación DIGSilent Powerfactory.

I. INTRODUCCIÓN

E

l análisis de parámetros en una línea de transmisión es uno

de los temas más importantes en el campo de la generación, transmisión y distribución de energía eléctrica, ya que de estos parámetros dependerán el tipo de red eléctrica y el manejo adecuado de la energía para obtener un sistema mucho mejor balanceado y con la menor cantidad de pérdidas de posibles. El principal objetivo de este trabajo será implementar un programa en Matlab que pueda ser aprovechado para facilitar la cantidad de cálculos necesarios para el análisis de las matrices de impedancia de un circuito y poder compararles con el sistema simulado en Powerfactory.

II. ECUACIONES DE CARSON Hasta ahora se ha considerado el suelo con unas características ideales, es decir de una conductividad infinita. Partiendo del hecho de que no es posible resolver el problema teniendo en cuenta las características desiguales de la superficie del suelo, y capas con diferentes resistividades, Carson estudió el problema considerando la tierra como un plano sólido semi-

infinito y homogéneo. Las soluciones que obtuvo Carson son correcciones a las que se han obtenido considerando suelo ideal. Carson supone que la tierra es una superficie uniforme, plana, sólida e infinita con una resistividad constante. Cualquier efecto en los extremos de la línea en los puntos de aterrizamiento son despreciables para frecuencias de estado estacionario. Las ecuaciones de Carson son las siguientes: Para la inductancia propia: 𝑍𝑖𝑖 = 𝑟𝑖 + 4𝜔𝑃𝑖𝑖 𝐺 + 𝑗 (𝑋𝑖 + 2𝜔𝐺 ∗ ln

𝑆𝑖𝑖 Ω + 4𝜔𝑄𝑖𝑖 𝐺) [ ] 𝑅𝐷𝑖 𝑘𝑚

Para la inductancia mutua: 𝑍𝑖𝑗 = 4𝜔𝑃𝑖𝑗 𝐺 + 𝑗 (2𝜔𝐺 ∗ ln

𝑆𝑖𝑖 Ω + 4𝜔𝑄𝑖𝑖 𝐺) [ ] 𝐷𝑖𝑗 𝑘𝑚

Donde: Zii = impedancia propia del conductor i Zij = impedancia mutua entre los conductores i y j ri = resistencia del conductor ω = frecuencia en rad/s Ω G = 1 x 10^-4 𝑘𝑚 Ri = radio exterior del condutor i Di = distancia entre el conductor i y j Si= distancia entre el conductor i y la imagen j RDi = radio del conductor i

Donde las series de P y Q se determinan mediante:

𝑃=

𝜋 𝑘 𝑘2 2 − cos 𝜃 + (0.6728 + ln ) 𝑐𝑜𝑠2𝜃 8 3√2 16 𝑘 𝑘2 𝑘3 + 𝜃 sin 2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠3𝜃 16 45√2 𝜋 𝑘4 − 𝑐𝑜𝑠4𝜃 1536 1

2

𝑘

2 𝑘4𝜃

𝑘

3√2 𝑘4

𝑄 = −0.0386 + ∗ ln + 𝑘3 45 √2

𝑐𝑜𝑠3𝜃 −

384

𝑠𝑖𝑛4𝜃 −

384

𝑐𝑜𝑠𝜃 −

𝜋 𝑘2 64 2

R= 1.52 ohm.m Resistividad del suelo = 100 [ohm.m] Para resolver el ejercicio usaremos el método de ecuaciones de Carson que hace el uso del método de las imágenes para poder representar el circuito de la línea de transmisión.

𝑐𝑜𝑠2𝜃 +

𝑐𝑜𝑠4𝜃 (ln + 1.0895)

A continuación, se muestra la disposición geométrica:

𝑘

𝑘 = 2.8099 ∗ 10−4 𝑆𝑖𝑗 √

𝑓 𝜌

Donde: Sij: Distancias totales de cada conductor a sus respectivas imágenes. f: frecuencia en Hz 𝜌 : Resistividad del suelo en [ohm/m3]

III. DESARROLLO DEL PROBLEMA La línea de trasmisión simulada en Powerfactory es la presentada en la Fig. 1.

Fig.2 Representación geométrica de la disposición de conductores y cables de guardia con sus respectivas imágenes. Fig.1 L/T simulada en Powerfactory

Los datos de la Línea de transmisión son: Voltaje nominal: 765 kV. Frecuencia: 60 Hz 1 circuito de 4 subconductores por fase. Conductores por fase: ACSR 954 MCM, 54/7 d= 45.7 cm r= 1.519 cm r’= 1.229 cm R= 0.0701 ohm/km Cables de guardia: Alumoweld 7, #8 r= 0.489 cm r’= 0.0636 cm

Las matrices utilizadas en el desarrollo del programa se presentan a continuación: Matriz de distancias de conductores a imágenes: 46 47.99677 𝑆𝑖𝑗 = 53.54213 56.56447 [61.66311

47.99677 46 47.99677 57.56083 57.56083

53.54213 47.99677 46 61.66311 56.56447

56.56447 57.56083 61.66311 67 70.51950

61.66311 57.56083 56.56447 70.51950 67 ]

Matriz de distancias entre conductores propios: 0 13.7 24.7 10.84 26.84 13.7 0 13.7 15.21 15.21 𝐷𝑖𝑗 = 24.7 13.7 0 26.84 10.84 10.84 15.21 26.84 0 22 [26.84 15.21 10.64 22 0 ]

Matriz de ángulos:

0 0.28946 𝜃 = 0.53721 0.04775 [0.41213

0.28946 0 0.28946 0.19228 0.19228

0.53721 0.28946 0 0.41213 0.04775

0.04775 0.19228 0.41213 0 0.31726

0.41213 0.19228 0.04775 0.31726 0 ]

A partir de estas matrices es posible determinar las series de P y Q que nos permitirán calcular los elementos de las matrices de impedancia a través de las ecuaciones de Carson.

IV. RESULTADOS

matriz de impedancias reducidas y los promedios de los valores de impedancia. La matriz de distancias Sij es la principal en el proceso del cálculo ya que de ésta dependen los siguientes cálculos desarrollados de los valores de k, P y Q. Existen distintas aproximaciones y variaciones de las ecuaciones de Carson, que simplifican o modifican un poco los resultados, pero li importante es que se debe tener relación con las unidades utilizadas.

El programa realizado en Matlab muestra los siguientes resultados: VI. REFERENCIAS

A. Resultados Zii z_ii = [ 0.1252 + 0.8282i 0.1252 + 0.8282i 0.1252 + 0.8282i 1.5747 + 0.9152i 1.5747 + 0.9152i]

B. Resultados Zij

[1] Programa para el cálculo digital de los parámetros de líneas de transmisión de Energía Eléctrica. Jorge René Santillán Basantes, Quito, Septiembre, 2004. [2] http://www.sectorelectricidad.com/8548/modelado -de-lineas-de-transmision-parte-1/ [3] DIGSilent Powerfactory

C. Resultados Ztotal

D. Resultados ZABC

E. Valores características de impedancia de secuencia.

V. CONCLUSIONES Los resultados calculados de la matriz de impedancia varían respecto a los simulados debido a que algunos parámetros utilizados en el software DIGSilent no los tomamos en cuenta o los tomamos distintos a los que éste utiliza. Por ejemplo, las variaciones de la resistencia mediante la corrección del factor de temperatura, ya que este valor es aproximado. La matriz de secuencia positiva, negativa y cero van a tener valores igualmente aproximados ya que toma como base la

[4] Interfaz para el cálculo de parámetros eléctricos de redes de distribución aéreas y subterráneas. Adenit Morales Arce. Ciudad Universitaria Rodrigo Facio. Julio, 2012.