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• Hans Carlos Marcelo Carhuaricra

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Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Mecánica

Laboratorio N°1 Profesor: Ugarte Palacin Francisco Curso: Física II (MB 224) Sección: A Integrantes: Experimentos:  Péndulo físico

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

Objetivos:  

Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico Comparar los datos experimentales con los teóricos y calcular el grado de error

Materiales:     

Una barra metálica de longitud L con agujeros circulares Un soporte de madera con chilla Dos mordazas simples Un cronometro digital Una regla milimétrica

Fundamento Teórico Todo cuerpo solido que puede oscilar alrededor de un eje cualquiera, paralelo al eje que pasa por el centro de masa del sólido, tiene un periodo de oscilación dado por la expresión:

Cuando las oscilaciones del cuerpo son de pequeña amplitud angular (𝜃 ≪ 15°).

En la ecuación anterior, 𝐼0 es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje que pasa por O (el cual hallaremos mediante el Teorema de los Ejes Paralelos o de Steiner), M es la masa del sólido y l es la distancia del centro de gravedad del cuerpo (CG) al eje que pasa por O. Teorema de los Ejes Paralelos o de Steiner Si se conoce el momento de inercia de un sólido-rígido respecto de un eje que pasa por el centro de gravedad de la figura, I_G, se puede hallar el momento de inercia respecto a otro eje que sea paralelo al anterior, I, sumando al primer momento de inercia el producto de la masa, M, por el cuadrado de la distancia existente entre los dos ejes, d^2. Es decir que el momento con respecto a un eje paralelo a otro que pasara por el centro de gravedad sería: 𝐼 = 𝐼𝐺 + 𝑀𝑑2

Procedimiento: 1. Sobre la mesa y apoyado sobre su base mayor, sujete al soporte de madera con las mordazas simples. 2. Ubique el centro de masa ce la barra, suspendiendo ésta horizontalmente en la cuchilla. El punto de apoyo de la barra en equilibrio será el centro de gravedad de la barra. 3. Suspenda la barra verticalmente por cada uno de los huecos en la cuchilla y hágala oscilar separándola ligeramente de su posición de equilibrio (Cuanto más 15°), tome nota del tiempo que emplea en 20 oscilaciones y mida también la distancia l. 4. Repita esta operación dos veces más. Nota: para los tres agujeros más cercanos al CG solo considere 10 oscilaciones. 5. Mida las dimensiones de la barra y su masa.

TABLA DE DATOS

#agujero #oscilaciones

l(cm)

d(cm)

t1(s)

t2(s)

t3(s)

tpromedio(s) Tpromedio (s)

1

20

51.2

50.35

33.50

33.53 33.60

33.54

1.677

2

20

46.2

45.35

32.78

32.78 32.83

32.80

1.64

3

20

41.2

40.35

32.32

32.45 32.26

32.34

1.617

4

20

36.2

35.35

32.07

32.06 32.10

32.08

1.604

5

20

31.3

30.45

32.31

32.10 32.12

32.18

1.609

6

20

26.3

25.45

32.38

32.40 32.33

32.37

1.6185

7

20

21.2

20.35

33.35

33.09 33.52

32.32

1.616

8

10

16.3

15.45

18.02

17.87 18.00

17.96

1.796

9

10

11.2

10.35

20.63

20.03 20.28

20.31

2.31

10

10

6.2

5.35

26.20

26.90 26.73

26.61

2.661

CÁLCULOS 

MOMENTO DE INERCIA DE LA BARRA CON HUECOS RESPECTO Al EJE QUE PASA POR SU CENTRO DE MASA.

Sabemos que: 𝐿 = 1.101𝑚, 𝑎 = 0.037𝑚, ℎ = 0.006𝑚, 𝑚𝑏 = 1.8554𝐾𝑔, 𝜌 = 𝐹𝑒 𝐾𝑔⁄ 7874 𝑚3 , 𝑅 = 0.0085𝑚 Momento de inercia de la barra sin huecos (sólida y completa) respecto a su 1

centro de masa es: 𝐼0 = 12 𝑚𝑏 (𝐿2 + 𝑎2 ) 𝐼0 = 0.1876 𝐾𝑔. 𝑚2 …….. (1) Momento de inercia de los cilindros respecto al centro de masa de la barra: 1

2 𝐼𝐶 = 21𝑥 2 𝑚𝑐 𝑅 2 + 2 ∑𝑖=1 ……… (2) 𝑖=10 𝑚𝑐 𝑑𝑖

Pero la masa del cilindro es: 𝑚𝑐 = 𝜌 𝑥 𝑉 𝐹𝑒

;

𝑉 = 𝜋𝑅 2 ℎ

Entonces: 𝑚𝑐 = 0.0107𝐾𝑔 …….. (3) 2 2 ∑𝑖=1 𝑖=10 𝑚𝑐 𝑑𝑖 = 0.0105 𝐾𝑔. 𝑚 …..…(4)

(4) y (3) en (2) 𝐼𝑐 = 21 𝑥 3.87 𝑥 10−7 𝐾𝑔. 𝑚2 + 2 𝑥 0.010521272 𝐾𝑔. 𝑚2

;

𝑑𝑖 = 𝑙 𝑖 − 𝑅

𝐼𝑐 = 0.021050671 𝐾𝑔. 𝑚2 …. (5) Por lo tanto, el momento de inercia de la barra con huecos respecto al eje que pasa por su centro de masa: 𝐼𝑅 = 𝐼0 − 𝐼𝑐 ; De (5) y (1) 𝐼𝑅 = 0.1876 𝐾𝑔. 𝑚2 − 0.021050671 𝐾𝑔. 𝑚2 𝐼𝑅 = 0.166549329 𝐾𝑔. 𝑚2 …… (6)

Ahora pasamos a hallar los momentos respecto a los ejes de rotación en cada agujero evaluado: 𝐼1 = 𝐼𝑅 + 𝑚𝑏 𝑑1 2 = 0.636915957 𝐾𝑔. 𝑚2 𝐼2 = 𝐼𝑅 + 𝑚𝑏 𝑑2 2 = 0.548135067 𝐾𝑔. 𝑚2 𝐼3 = 𝐼𝑅 + 𝑚𝑏 𝑑3 2 = 0.468631177 𝐾𝑔. 𝑚2 𝐼4 = 𝐼𝑅 + 𝑚𝑏 𝑑4 2 = 0.398404287 𝐾𝑔. 𝑚2 𝐼5 = 𝐼𝑅 + 𝑚𝑏 𝑑5 2 = 0.33858248 𝐾𝑔. 𝑚2 𝐼6 = 𝐼𝑅 + 𝑚𝑏 𝑑6 2 = 0.28672405 𝐾𝑔. 𝑚2 𝐼7 = 𝐼𝑅 + 𝑚𝑏 𝑑7 2 = 0.243385617 𝐾𝑔. 𝑚2 𝐼8 = 𝐼𝑅 + 𝑚𝑏 𝑑8 2 = 0.21083819 𝐾𝑔. 𝑚2 𝐼9 = 𝐼𝑅 + 𝑚𝑏 𝑑9 2 = 0.186424837 𝐾𝑔. 𝑚2 𝐼10 = 𝐼𝑅 + 𝑚𝑏 𝑑10 2 = 0.171859947 𝐾𝑔. 𝑚2



HALLANDO LOS PERIODOS TEÓRICOS

Sabemos que: 𝑇 = 2𝜋√𝑚

𝐼𝑛

𝑏 𝑔𝑑𝑛

Comenzamos a hallar los periodos teóricos: 𝐼1 𝑇1 = 2𝜋√ = 1.6564 𝑠 𝑚𝑏 𝑔𝑑1 𝐼2 𝑇2 = 2𝜋√ = 1.6191 𝑠 𝑚𝑏 𝑔𝑑2 𝐼3 𝑇3 = 2𝜋√ = 1.5872 𝑠 𝑚𝑏 𝑔𝑑3

𝑇4 = 2𝜋√

𝐼4 = 1.5635 𝑠 𝑚𝑏 𝑔𝑑4

𝐼5 𝑇5 = 2𝜋√ = 1.5530 𝑠 𝑚𝑏 𝑔𝑑5 𝐼6 𝑇6 = 2𝜋√ = 1.5632 𝑠 𝑚𝑏 𝑔𝑑6 𝐼7 𝑇7 = 2𝜋√ = 1.6106 𝑠 𝑚𝑏 𝑔𝑑7 𝐼8 𝑇8 = 2𝜋√ = 1.7204 𝑠 𝑚𝑏 𝑔𝑑8

𝑇9 = 2𝜋√

𝐼9 = 1.9766 𝑠 𝑚𝑏 𝑔𝑑9

𝐼10 𝑇10 = 2𝜋√ = 2.6396 𝑠 𝑚𝑏 𝑔𝑑10



COMPARACIONES DE LOS PERIODOS

Teniendo los periodos experimentales (trabajados en el laboratorio) y los periodos hallando teóricamente, procedemos a hallar el porcentaje de error: %𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑇1 =

𝑇1𝑒𝑥𝑝 − 𝑇1𝑡𝑒𝑜 𝑥100% = 1.24% 𝑇1𝑡𝑒𝑜

%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑇2 =

𝑇2𝑒𝑥𝑝 − 𝑇2𝑡𝑒𝑜 𝑥100% = 1.29% 𝑇2𝑡𝑒𝑜

𝑇3𝑒𝑥𝑝 − 𝑇3𝑡𝑒𝑜 %𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑇3 = 𝑥100% = 1.88% 𝑇3𝑡𝑒𝑜 𝑇4𝑒𝑥𝑝 − 𝑇4𝑡𝑒𝑜 %𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑇4 = 𝑥100% = 2.59% 𝑇4𝑡𝑒𝑜 𝑇5𝑒𝑥𝑝 − 𝑇5𝑡𝑒𝑜 %𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑇5 = 𝑥100% = 3.61% 𝑇5𝑡𝑒𝑜 𝑇6𝑒𝑥𝑝 − 𝑇6𝑡𝑒𝑜 %𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑇6 = 𝑥100% = 3.54% 𝑇6𝑡𝑒𝑜 𝑇7𝑒𝑥𝑝 − 𝑇7𝑡𝑒𝑜 %𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑇7 = 𝑥100% = 0.34% 𝑇7𝑡𝑒𝑜 %𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑇8 =

𝑇8𝑒𝑥𝑝 − 𝑇8𝑡𝑒𝑜 𝑥100% = 4.39% 𝑇8𝑡𝑒𝑜

𝑇9𝑒𝑥𝑝 − 𝑇9𝑡𝑒𝑜 %𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑇9 = 𝑥100% = 16.87% 𝑇9𝑡𝑒𝑜 𝑒𝑥𝑝

%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑇10

𝑡𝑒𝑜 𝑇10 − 𝑇10 = 𝑥100% = 0.81% 𝑡𝑒𝑜 𝑇10

GRAFICA T vs d d(m) 0.5035

Tpromedio (s) 1.677

0.4535

1.64

0.4035

1.617

2.5

0.3535

1.604

2

0.3045

1.609

0.2545

1.6185

0.2035

1.616

1

0.1545

1.796

0.5

0.1035

2.31

0.0535

2.661

T vs d 3

T(S)



y = 12.024x2 - 8.4567x + 2.9903 1.5

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

d (m)

Donde: T: periodo (s) d: distancia del centro de un agujero al centro de masa de la barra (m)

OBSERVACIONES 







Al momento de soltar la barra para que oscile, nos percatamos que no sigue un movimiento bidimensional sino tridimensional, y ello puede generar incertidumbres en nuestros cálculos. Antes del agujero 5 el periodo comienza a descender, pero después del agujero 5 el periodo asciende. Eso nos indica que la dependencia cuadrática del gráfico T vs d es correcta. En la medición del periodo respecto al agujero 9 nos percatamos que tiene un alto porcentaje de error. Eso se debe a que ese agujero tuvo un movimiento tridimensional y un mal uso del cronómetro. Respecto a los demás periodos, nos percatamos que tiene un porcentaje de error óptimo del cual nos habla de una correcta medición.

CONCLUSIONES

0.5

0.6

Mediante este experimento se ha podido determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico en diversos casos. Los cuales no difieren en gran magnitud del periodo teórico, obtenido mediante las formulas y proceso anteriormente expuesto. Sin embargo se aprecian pequeñas y regulares magnitudes de incertidumbres, ello es producto de los factores ambientales, errores instrumentales de poca precisión (cronometro pulsador). También, mediante el experimento se ha podido apreciar la relación del periodo con la distancia 𝑙 del cetro de masa al eje de rotación. Se aprecia que una relación cuadrática acorde a la ecuación teórica obtenida. Además, se aprecia que el periodo es descendente hasta el agujero 5 pero luego comienza a aumentar, ello es debido a que el periodo no solo depende de la distancia l sino también del momento de inercia. Para lograr obtener un error mínimo lo más recomendable es trabajar con un vernier o pie de rey con el fin de obtener mejores dimensiones de los orificios. Asimismo, si se quiere obtener resultados que se aproximen más a los ideales, se recomienda trabajar con barras homogéneas con un solo pequeño agujero donde colocar el eje para que oscile.

Biliografia Raymond A. Serway; John W. Jewett, Jr. Física para ciencias e ingeniería. Volumen 1 . 7ª Ed. Mc Graw Hill Interamericana de México S.A. de C.V., México. 2008. Francis W. Sears; Mark W. Zemansky; Hugh D. Young, Roger A. Freedman. Física Universitaria. Volumen 1 . 12ª Ed. Pearson Educación de México S.A. de C.V., México. 2009. (2018). Web.mit.edu. Extraído el 18 de Abril del 2018, de http://web.mit.edu/8.01t/www/materials/modules/chapter23.pdf