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• Alejandra Tejeda

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• Estimador
• Muestreo (Estadísticas)
• Teoría de la estimación
• Intervalo de confianza
• Análisis estadístico

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Inferencia Estadística

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Inferencia Estadística

¿Qué es estadística?

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Inferencia Estadística

¿Qué es estadística? • La ciencia utiliza modelos para describir fenómenos.

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Inferencia Estadística

¿Qué es estadística? • La ciencia utiliza modelos para describir fenómenos. • Un modelo es una explicación teórica del fenómeno objeto de estudio. Esta explicación suele expresarse en forma verbal, muchas veces mediante ecuaciones matemáticas.

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Inferencia Estadística

¿Qué es estadística? • La ciencia utiliza modelos para describir fenómenos. • Un modelo es una explicación teórica del fenómeno objeto de estudio. Esta explicación suele expresarse en forma verbal, muchas veces mediante ecuaciones matemáticas.

• Existen modelos determinísticos y modelos no determinísticos. 5

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¿Qué es estadística? • Modelo determinístico:

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Inferencia Estadística

¿Qué es estadística? • Modelo determinístico: Es posible conocer un valor preciso de la variable de interés a partir de otras.

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¿Qué es estadística? • Modelo determinístico: Es posible conocer un valor preciso de la variable de interés a partir de otras. • Modelo no determinístico:

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¿Qué es estadística? • Modelo determinístico: Es posible conocer un valor preciso de la variable de interés a partir de otras. • Modelo no determinístico: No es posible determinar un valor preciso de la variable de interés pues está presente la incertidumbre.

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No determinísticos

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No determinísticos • Duración de la batería de litio de una laptop.

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No determinísticos • Duración de la batería de litio de una laptop. • Cantidad de personas que compran con tarjeta de crédito en una tienda en un período determinado.

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No determinísticos • Duración de la batería de litio de una laptop. • Cantidad de personas que compran con tarjeta de crédito en una tienda en un período determinado.

• Promedio de notas en los estudios universitarios (conocido el promedio de notas en secundaria). 13

Inferencia Estadística

¿Qué es estadística? La Estadística nos enseña cómo realizar juicios inteligentes y tomar decisiones en presencia de incertidumbre. Los métodos estadísticos están ideados para permitir evaluar el grado de incertidumbre de los resultados. La Estadística se ocupa de fenómenos no determinísticos.

modelos

y 14

Inferencia Estadística

¿Qué es estadística? Asociado a modelos no determinísticos está el concepto de probabilidad. Existe la Estadística Descriptiva Estadística Inferencial.

y

la

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¿Qué es estadística? Estadística Descriptiva: Técnicas para describir o representar conjuntos de datos (gráficos y cálculo de medidas numéricas).

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¿Qué es estadística? Estadística Descriptiva: Técnicas para describir o representar conjuntos de datos (gráficos y cálculo de medidas numéricas).

Estadística Inferencial: Métodos para derivar conclusiones acerca de un gran grupo de objetos al observar una parte de ellos. 17

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Población y muestra POBLACIÓN:

Es todo conjunto de elementos, definido por una o más características, de las que gozan todos los elementos que lo componen, y sólo ellos.

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Población y muestra POBLACIÓN:

Es todo conjunto de elementos, definido por una o más características, de las que gozan todos los elementos que lo componen, y sólo ellos. En muestreo, se entiende por población a la totalidad del universo que interesa conocer, y que es necesario que esté bien definido para que se sepa en todo momento qué elementos lo componen. Conviene recordar que población es el conjunto de elementos a los cuales se quieren inferir los resultados.

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Población y muestra MUESTRA:

En todas las ocasiones en que no es posible o conveniente realizar un censo, lo que hacemos es trabajar con una muestra, entendiendo por tal una parte representativa y adecuada de la población.

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Población y muestra MUESTRA:

En todas las ocasiones en que no es posible o conveniente realizar un censo, lo que hacemos es trabajar con una muestra, entendiendo por tal una parte representativa y adecuada de la población. Para que una muestra sea representativa, y por lo tanto útil, debe de reflejar las semejanzas y diferencias encontradas en la población, ejemplificar las características y tendencias de la misma. Cuando decimos que una muestra es representativa indicamos que reúne aproximadamente las características de la población que son importantes para la investigación.

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Población y muestra MUESTRA:

En todas las ocasiones en que no es posible o conveniente realizar un censo, lo que hacemos es trabajar con una muestra, entendiendo por tal una parte representativa y adecuada de la población. Para que una muestra sea representativa, y por lo tanto útil, debe de reflejar las semejanzas y diferencias encontradas en la población, ejemplificar las características y tendencias de la misma. Cuando decimos que una muestra es representativa indicamos que reúne aproximadamente las características de la población que son importantes para la investigación. Cuando decimos que una muestra es adecuada, nos referimos a que contiene el número de unidades de estudio, tal que permita aplicar pruebas estadísticas que den validez a la inferencia de los resultados a la población. 22

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Ventajas del muestreo

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Ventajas del muestreo • Costos reducidos.

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Ventajas del muestreo • Costos reducidos. • Mayor rapidez para obtener resultados.

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Ventajas del muestreo • Costos reducidos. • Mayor rapidez para obtener resultados. • Mayor exactitud o mejor calidad de la información debido a los siguientes factores:

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Ventajas del muestreo • Costos reducidos. • Mayor rapidez para obtener resultados. • Mayor exactitud o mejor calidad de la información debido a los siguientes factores: a) Volumen de trabajo reducido.

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Ventajas del muestreo • Costos reducidos. • Mayor rapidez para obtener resultados. • Mayor exactitud o mejor calidad de la información debido a los siguientes factores: a) Volumen de trabajo reducido. b) Puede existir mayor supervisión en el trabajo.

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Ventajas del muestreo • Costos reducidos. • Mayor rapidez para obtener resultados. • Mayor exactitud o mejor calidad de la información debido a los siguientes factores: a) Volumen de trabajo reducido. b) Puede existir mayor supervisión en el trabajo. c) Se puede dar más entrenamiento al personal.

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Ventajas del muestreo • Costos reducidos. • Mayor rapidez para obtener resultados. • Mayor exactitud o mejor calidad de la información debido a los siguientes factores: a) Volumen de trabajo reducido. b) Puede existir mayor supervisión en el trabajo. c) Se puede dar más entrenamiento al personal. d) Menor probabilidad de cometer errores durante el procesamiento de la información.

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Ventajas del muestreo • Costos reducidos. • Mayor rapidez para obtener resultados. • Mayor exactitud o mejor calidad de la información debido a los siguientes factores: a) Volumen de trabajo reducido. b) Puede existir mayor supervisión en el trabajo. c) Se puede dar más entrenamiento al personal. d) Menor probabilidad de cometer errores durante el procesamiento de la información. • Factibilidad de hacer el estudio cuando la toma de datos implica técnicas destructivas, por ejemplo:

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Ventajas del muestreo • Costos reducidos. • Mayor rapidez para obtener resultados. • Mayor exactitud o mejor calidad de la información debido a los siguientes factores: a) Volumen de trabajo reducido. b) Puede existir mayor supervisión en el trabajo. c) Se puede dar más entrenamiento al personal. d) Menor probabilidad de cometer errores durante el procesamiento de la información. • Factibilidad de hacer el estudio cuando la toma de datos implica técnicas destructivas, por ejemplo: a) Pruebas de germinación.

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Ventajas del muestreo • Costos reducidos. • Mayor rapidez para obtener resultados. • Mayor exactitud o mejor calidad de la información debido a los siguientes factores: a) Volumen de trabajo reducido. b) Puede existir mayor supervisión en el trabajo. c) Se puede dar más entrenamiento al personal. d) Menor probabilidad de cometer errores durante el procesamiento de la información. • Factibilidad de hacer el estudio cuando la toma de datos implica técnicas destructivas, por ejemplo: a) Pruebas de germinación. b) Análisis de sangre. 33

Inferencia Estadística

Ventajas del muestreo • Costos reducidos. • Mayor rapidez para obtener resultados. • Mayor exactitud o mejor calidad de la información debido a los siguientes factores: a) Volumen de trabajo reducido. b) Puede existir mayor supervisión en el trabajo. c) Se puede dar más entrenamiento al personal. d) Menor probabilidad de cometer errores durante el procesamiento de la información. • Factibilidad de hacer el estudio cuando la toma de datos implica técnicas destructivas, por ejemplo: a) Pruebas de germinación. b) Análisis de sangre. c) Control de calidad. 34

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Desventajas del muestreo

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Desventajas del muestreo • Siempre está presente el error de muestreo producto de la variabilidad intrínseca de los elementos del universo, existen diferencias entre las medidas muestrales (estadísticos) y los parámetros poblacionales llamada Error de Muestreo.

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Desventajas del muestreo • Siempre está presente el error de muestreo producto de la variabilidad intrínseca de los elementos del universo, existen diferencias entre las medidas muestrales (estadísticos) y los parámetros poblacionales llamada Error de Muestreo. El término error no debe entenderse como sinónimo de equivocación.

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Inferencia Estadística

Desventajas del muestreo • Siempre está presente el error de muestreo producto de la variabilidad intrínseca de los elementos del universo, existen diferencias entre las medidas muestrales (estadísticos) y los parámetros poblacionales llamada Error de Muestreo. El término error no debe entenderse como sinónimo de equivocación. También suelen introducirse errores por otras vías, los cuales se denominan errores sistemáticos: Los cuales son: - Imputables al observador. - Imputables al método de observación o medición. - Imputables a lo observado (unidad de muestreo).

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Parámetro y estadístico

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Parámetro y estadístico PARAMETRO: Son las medidas o datos que se obtienen sobre la población.

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Parámetro y estadístico PARAMETRO: Son las medidas o datos que se obtienen sobre la población. ESTADISTICO: Los datos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lo tanto una estimación de los parámetros.

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Parámetro y estadístico PARAMETRO: Son las medidas o datos que se obtienen sobre la población. ESTADISTICO: Los datos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lo tanto una estimación de los parámetros. ERROR MUESTRAL, de estimación o standard: Es la diferencia entre un estadístico y su parámetro correspondiente.

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Tipos de muestreo • PROBABILISTICO

• NO PROBABILISTICO

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Muestreo probabilístico

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Muestreo probabilístico Los métodos de muestreo probabilístico son aquellos que se basan en el principio de equiprobabilidad.

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Inferencia Estadística

Muestreo probabilístico Los métodos de muestreo probabilístico son aquellos que se basan en el principio de equiprobabilidad. Es decir, aquellos en los que todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras de tamaño n tienen la misma probabilidad de ser elegidas.

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Inferencia Estadística

Muestreo probabilístico Los métodos de muestreo probabilístico son aquellos que se basan en el principio de equiprobabilidad. Es decir, aquellos en los que todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras de tamaño n tienen la misma probabilidad de ser elegidas.

Sólo estos métodos de muestreo probabilístico nos aseguran la representatividad de la muestra extraída y son, por tanto, los más recomendables

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Inferencia Estadística

Muestreo no probabilístico A veces, para estudios exploratorios, el muestreo probabilístico resulta excesivamente costoso y se acude a métodos no probabilístico, aun siendo conscientes de que no sirven para realizar generalizaciones, pues no se tiene certeza de que la muestra extraída sea representativa, ya que no todos los sujetos de la población tienen la misma probabilidad de se elegidos.

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Inferencia Estadística

Muestreo no probabilístico A veces, para estudios exploratorios, el muestreo probabilístico resulta excesivamente costoso y se acude a métodos no probabilístico, aun siendo conscientes de que no sirven para realizar generalizaciones, pues no se tiene certeza de que la muestra extraída sea representativa, ya que no todos los sujetos de la población tienen la misma probabilidad de se elegidos. En general se seleccionan a los sujetos siguiendo determinados criterios procurando que la muestra sea representativa.

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Métodos de muestreo probabilístico •

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

•

MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO

•

MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO

•

MUESTREO ALEATORIO POR CONGLOMERADOS

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Métodos de muestreo no probabilístico •

MUESTREO POR CUOTAS

•

MUESTREO OPINÁTICO O INTENCIONAL

•

MUESTREO CASUAL O INCIDENTAL

•

BOLA DE NIEVE

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EJERCICIO 1 Decida, para cada uno de los problemas siguientes, si es apropiado un estudio estadístico o no. En caso afirmativo explique la razón de su respuesta e identifique la población:

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EJERCICIO 1 Decida, para cada uno de los problemas siguientes, si es apropiado un estudio estadístico o no. En caso afirmativo explique la razón de su respuesta e identifique la población: 1. Se investigará la opinión de 50000 trabajadores que se verán afectados por el cambio de la jornada laboral tradicional, de ocho horas diarias durante cinco días a la semana, a la de diez horas diarias por espacio de cuatro días a la semana.

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Inferencia Estadística

EJERCICIO 1 Decida, para cada uno de los problemas siguientes, si es apropiado un estudio estadístico o no. En caso afirmativo explique la razón de su respuesta e identifique la población: 1. Se investigará la opinión de 50000 trabajadores que se verán afectados por el cambio de la jornada laboral tradicional, de ocho horas diarias durante cinco días a la semana, a la de diez horas diarias por espacio de cuatro días a la semana. 2. Un despacho de arquitectos debe presentar una cotización para un proyecto de cableado. Están disponibles siete contratistas eléctricos para la tarea. Se pretende determinar el costo promedio estimado del proyecto y el tiempo promedio proyectado que se requeriría para que cualquiera de los contratistas realice el proyecto.

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Inferencia Estadística

EJERCICIO 1 Decida, para cada uno de los problemas siguientes, si es apropiado un estudio estadístico o no. En caso afirmativo explique la razón de su respuesta e identifique la población: 1. Se investigará la opinión de 50000 trabajadores que se verán afectados por el cambio de la jornada laboral tradicional, de ocho horas diarias durante cinco días a la semana, a la de diez horas diarias por espacio de cuatro días a la semana. 2. Un despacho de arquitectos debe presentar una cotización para un proyecto de cableado. Están disponibles siete contratistas eléctricos para la tarea. Se pretende determinar el costo promedio estimado del proyecto y el tiempo promedio proyectado que se requeriría para que cualquiera de los contratistas realice el proyecto. 3. Un sistema de cómputo está conectado a cierto número de terminales distantes. A fin de decidir si se aumenta dicho número o no, es necesario estudiar la variable aleatoria X, el tiempo por sesión de cada usuario en las terminales actualmente instaladas.

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EJERCICIO 2 Se quiere estimar la cantidad de tiempo promedio que los profesores del INTEC emplean calificando las tareas de cierta semana. Describa una forma de obtener a) Una muestra aleatoria simple b) Una muestra sistemática c) Una muestra estratificada

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Distribuciones muestrales de medias y de proporciones

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Inferencia Estadística

Distribución muestral de medias Considere la población

1, 3, 5, 7

Se desea obtener una muestra de tamaño 2, mediante muestreo aleatorio simple, sin reemplazamiento y sin importar el orden. a) b) c) d)

¿Cuántas muestras posibles hay? Encuentre la distribución muestral de medias. Calcule la media de la población. Calcule la media de todas las medias muestrales. 58

Inferencia Estadística

Distribución muestral de medias Considere la población

1, 3, 5, 7

Se desea obtener una muestra de tamaño 2, mediante muestreo aleatorio simple, con reemplazamiento y se considera el orden. a) ¿Cuántas muestras posibles hay? b) Encuentre la distribución muestral de medias. c) Calcule la media de todas las medias muestrales. 59

Inferencia Estadística

EJERCICIO 1 Una marca particular de jabón para lavadora de platos se vende en tres tamaños: 25 oz, 40 oz y 65 oz. El 20% de todos los compradores seleccionan la caja de 25 oz, el 50% seleccionan una caja de 40 oz y el 30% restante selecciona una caja de 65 oz. Sean X1 y X2 los tamaños de paquete seleccionados por dos compradores independientemente seleccionados. Determine la distribución muestral de medias.

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Inferencia Estadística

Teorema del límite central Sea X1, X2, … Xn es una muestra aleatoria de una distribución con media μ y varianza σ².

Entonces,

si

n

es

suficientemente

grande,

X

tiene

aproximadamente una distribución normal con μ =μ X σ σ = X √n 61

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EJERCICIO 2 Se tiene un lote de 12 artículos, el cual tiene 4 defectuosos. Se van a seleccionar 5 artículos al azar de ese lote sin reemplazo. Genere la distribución muestral de proporciones para el número de piezas defectuosas.

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Estimación

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Inferencia Estadística

Estimación En Inferencia Estadística, a través de una muestra se trata de:

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Inferencia Estadística

Estimación En Inferencia Estadística, a través de una muestra se trata de: • Estimar un parámetro desconocido

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Inferencia Estadística

Estimación En Inferencia Estadística, a través de una muestra se trata de: • Estimar un parámetro desconocido (ESTIMACION)

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Inferencia Estadística

Estimación En Inferencia Estadística, a través de una muestra se trata de: Estimación puntual • Estimar un parámetro desconocido (ESTIMACION)

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Estimación En Inferencia Estadística, a través de una muestra se trata de: Estimación puntual • Estimar un parámetro desconocido (ESTIMACION) Estimación por intervalos

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Inferencia Estadística

Estimación En Inferencia Estadística, a través de una muestra se trata de: Estimación puntual • Estimar un parámetro desconocido (ESTIMACION) Estimación por intervalos • Verificar si el parámetro es o no igual a cierto valor 69

Inferencia Estadística

Estimación En Inferencia Estadística, a través de una muestra se trata de: Estimación puntual • Estimar un parámetro desconocido (ESTIMACION) Estimación por intervalos • Verificar si el parámetro es o no igual a cierto valor (PRUEBA DE HIPOTESIS) 70

Inferencia Estadística

Estimación Para estimar el parámetro poblacional θ se utiliza el estadístico θ.

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Inferencia Estadística

Estimación Para estimar el parámetro poblacional θ se utiliza el estadístico θ. Ejemplos

Parámetro

Estimador

μ

x

σ²

s²

σ

s

p

p

72

Inferencia Estadística

Estimación El estimador no tiene que ser único.

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Inferencia Estadística

Estimación El estimador no tiene que ser único. Por ejemplo, en una distribución simétrica, otro estimador

de μ es la mediana.

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Inferencia Estadística

Estimación El estimador no tiene que ser único. Por ejemplo, en una distribución simétrica, otro estimador

de μ es la mediana. Otro estimador pudiera ser la media 10% recortada.

75

Inferencia Estadística

Estimación El estimador no tiene que ser único. Por ejemplo, en una distribución simétrica, otro estimador

de μ es la mediana. Otro estimador pudiera ser la media 10% recortada. min + max Y otro estimador podría ser 2

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Inferencia Estadística

Estimación El estimador no tiene que ser único. Por ejemplo, en una distribución simétrica, otro estimador

de μ es la mediana. Otro estimador pudiera ser la media 10% recortada. min + max Y otro estimador podría ser 2 En general se cumple que

θ = θ + error de estimación 77

Inferencia Estadística

Propiedades de un buen estimador

78

Inferencia Estadística

Propiedades de un buen estimador 1. Ausencia de sesgo o imparcialidad, es decir, que sea insesgado. Esto es E( θ ) = θ

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Inferencia Estadística

Propiedades de un buen estimador 1. Ausencia de sesgo o imparcialidad, es decir, que sea insesgado. Esto es E( θ ) = θ

2. Eficacia o eficiencia, esto significa que su varianza es mínima.

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Inferencia Estadística

Propiedades de un buen estimador 1. Ausencia de sesgo o imparcialidad, es decir, que sea insesgado. Esto es E( θ ) = θ

2. Eficacia o eficiencia, esto significa que su varianza es mínima.

3. Consistencia o coherencia. Un estimador es consistente cuando su valor tiende a acercarse al correspondiente valor del parámetro.

81

Inferencia Estadística

Propiedades de un buen estimador 1. Ausencia de sesgo o imparcialidad, es decir, que sea insesgado. Esto es E( θ ) = θ

2. Eficacia o eficiencia, esto significa que su varianza es mínima.

3. Consistencia o coherencia. Un estimador es consistente cuando su valor tiende a acercarse al correspondiente valor del parámetro.

4. Suficiencia, o sea, que agota toda la información sobre el parámetro contenida en la muestra.

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Inferencia Estadística

Propiedades de un buen estimador La media muestral y la varianza corregida son buenos estimadores de la media poblacional y la varianza poblacional.

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Intervalos de confianza para la media poblacional

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Inferencia Estadística

La estimación puntual, o sea, estimar un parámetro a través de un único valor no es muy conveniente pues con ella no se puede determinar el error de muestreo, ni la precisión de la estimación, ni la confianza que merece tal estimación.

85

Inferencia Estadística

Existen otros métodos para estimar parámetros poblacionales, que son mucho más precisos. Por ejemplo,

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Inferencia Estadística

Existen otros métodos para estimar parámetros poblacionales, que son mucho más precisos. Por ejemplo, • Método de los mínimos cuadrados

87

Inferencia Estadística

Existen otros métodos para estimar parámetros poblacionales, que son mucho más precisos. Por ejemplo, • Método de los mínimos cuadrados • Método de los momentos

88

Inferencia Estadística

Existen otros métodos para estimar parámetros poblacionales, que son mucho más precisos. Por ejemplo, • Método de los mínimos cuadrados • Método de los momentos • Método de la máxima verosimilitud

89

Inferencia Estadística

Existen otros métodos para estimar parámetros poblacionales, que son mucho más precisos. Por ejemplo, • Método de los mínimos cuadrados • Método de los momentos • Método de la máxima verosimilitud • Método de estimación por intervalos de confianza 90

Inferencia Estadística

Algunos conceptos

91

Inferencia Estadística

Algunos conceptos α = probabilidad de que el intervalo NO incluya al verdadero valor del parámetro.

92

Inferencia Estadística

Algunos conceptos α = probabilidad de que el intervalo NO incluya al verdadero valor del parámetro.

1 – α = probabilidad de que el intervalo incluya al verdadero valor del parámetro = nivel de confianza

93

Inferencia Estadística

Algunos conceptos α = probabilidad de que el intervalo NO incluya al verdadero valor del parámetro.

1 – α = probabilidad de que el intervalo incluya al verdadero valor del parámetro = nivel de confianza Ejemplo: α = 5% = 0.05 1 – α = 95% = 0.95 94

Inferencia Estadística

Teorema del límite central

95

Inferencia Estadística

Teorema del límite central Sea X1, X2, … Xn es una muestra aleatoria de una distribución con media μ y varianza σ².

Entonces,

si

n

es

suficientemente

grande,

X

tiene

aproximadamente una distribución normal con μ =μ X σ σ = X √n 96

Inferencia Estadística

Tabla de la distribución normal estándar

97

Inferencia Estadística

Intervalo de confianza al 95% (para la media μ siendo σ conocida)

x - 1.96

σ

√n

≤ μ ≤ x + 1.96

σ

√n

98

Inferencia Estadística

Tabla de la distribución normal estándar

99

Inferencia Estadística

Algunos niveles de confianza Nivel de confianza

α

Normal estándar

z

95%

0.95

0.05

0.975

1.96

97%

0.97

0.03

0.985

2.17

99%

0.99

0.01

0.995

2.58

90%

0.90

0.10

0.959

1.65

100

Inferencia Estadística

Ejercicio 1 Un grupo de investigadores en medicina desean estimar el cambio medio de presión sanguínea por paciente en un sanatorio. Se ha seleccionado una muestra al azar de 30 pacientes y se halló una media de 5 puls/seg. Los investigadores saben que, según estudios anteriores, la desviación estándar de los cambios de presión sanguínea para todos los pacientes es de 3 puls/seg. Se desea estimar el cambio medio de la presión sanguínea por paciente con un intervalo del 95% de confianza, suponiendo que la variable aleatoria “cambios de presión sanguínea” tiene una distribución normal. 101

Inferencia Estadística

Intervalo de confianza al 95% (para la media μ para σ desconocida)

x - 1.96

s

√n

≤ μ ≤ x + 1.96

s

√n

Como generalmente la desviación estándar poblacional es desconocida, se sustituye por la desviación estándar de la muestra. 102

Inferencia Estadística

Ejercicio 2 Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 personas en una escala de depresión (mayor puntaje significa mayor depresión). 2

5

6

8

8

9

9

10

11

11

11

13

13

14

14

14

14

14

14

15

15

16

16

16

16

16

16

16

16

17

17

17

18

18

18

19

19

19

19

19

19

19

19

20

20

Construir un intervalo de confianza para la depresión promedio de la población a un nivel de confianza del 95%. 103

Intervalos de confianza para proporciones

104

Inferencia Estadística

Intervalo de confianza al 95% para la proporción

p - 1.96 √

p (1-p )

n

≤ p ≤ p + 1.96

p (1-p )

√

n

105

Inferencia Estadística

Ejercicio 1 En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una cohorte de 412 mujeres mayores de 15 años en cierta región se encontró que el 17.6% eran hipertensas. Determine un intervalo de confianza al 95% para la proporción de mujeres hipertensas en la región estudiada.

106

Inferencia Estadística

Ejercicio 2 En cierta población se seleccionó aleatoriamente una muestra de 300 personas a las que se les sometió a cierto test cultural. De ellas resultaron aprobadas 225. Teniendo en cuenta esta información estimar el porcentaje de personas de esa población que resultarían aprobados si se les sometiera a dicho test cultural. Obtener con un nivel de confianza del 97% un intervalo de confianza para la proporción. 107

Inferencia Estadística

Ejercicio 3 Estamos interesados en conocer el consumo diario medio de cigarrillos entre los alumnos de cierta universidad. Seleccionada una muestra aleatoria de 100 alumnos se observó que fumaban una media de 8 cigarrillos diarios. Si admitimos que la varianza de dicho consumo es de 16 cigarrillos 2 en el colectivo total, estime dicho consumo medio con un nivel de confianza del 90%.

108

Inferencia Estadística

Ejercicio 4 Tomada al azar una muestra de 120 estudiantes de una universidad se encontró que 54 de ellos hablaban inglés. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo para estimar la proporción de estudiantes que habla el idioma inglés entre los estudiantes de esa universidad.

109

Inferencia Estadística

Ejercicio 5 Un diseñador industrial quiere determinar la cantidad promedio de tiempo que tarda un adulto en ensamblar un juguete “fácil de ensamblar”. Use los datos siguientes (en minutos), una muestra aleatoria, para construir un intervalo de confianza del 95% para la media de la población muestreada. 17 13 18 19 17 21 29 22 16 28 21 15 26 23 24 20

8

17 17 21 32 18 25 22

16 10 20 22 19 14 30 22 12 24 28 11 110

Intervalos de confianza para la diferencia de medias y la diferencia de proporciones

111

Inferencia Estadística

Intervalo de confianza para la diferencia de medias Si x 1 y x 2

son los valores de las medias de muestras

aleatorias independientes de tamaños n y n de poblaciones 1

2

normales con las varianzas conocidas σ 12 y σ22 entonces un intervalo de confianza para la diferencia entre las dos medias de las poblaciones es

112

Inferencia Estadística

Intervalo de confianza para la diferencia de medias 2

( x1 - x2 ) - z √

σ1

n1

2

+

σ2

≤ μ 1 - μ2 ≤

n2

2

( x1 - x2 ) + z √

σ1 n1

2

+

σ2 n2 113

Inferencia Estadística

Intervalo de confianza para la diferencia de medias En virtud del teorema del límite central esta fórmula puede usarse también para muestras aleatorias independientes de

poblaciones no normales con varianzas conocidas cuando los valores de n 1 y n2 son grandes (mayores que 30).

114

Inferencia Estadística

Intervalo de confianza para la diferencia de medias Si las varianzas σ12 y σ22 son desconocidas, entonces se sustituyen sus valores en la fórmula por s 2y s 2 y se procede 1

2

como antes.

115

Inferencia Estadística

Ejercicio 1 Construya un intervalo de confianza al 94% para la diferencia entre las vidas medias de dos clases de bombillos dado que una muestra aleatoria de 40 bombillos de la primera clase duró un promedio de 418 horas de uso continuo y 50 bombillos de la segunda clase duraron en promedio 402 horas de uso continuo. Las desviaciones estándar de las poblaciones se sabe que son σ1 = 26 y σ2 =22 (en horas).

116

Inferencia Estadística

Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones Si p1

y p2

son los valores de las proporciones de dos

muestras tamaños grandes n 1y n2 entonces un intervalo de

confianza para la diferencia de proporciones p – p 1

2

es

117

Inferencia Estadística

Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones

( p1 - p2 ) - z √

p1 (1- p 1) + n1

( p1 - p2 ) + z √

p2(1- p2)

n2

p1 (1- p1) n1

+

≤ p 1 - p2 ≤

p2(1- p2 ) n2 118

Inferencia Estadística

Ejercicio 2 Si 132 de 200 votantes hombres y 90 de 159 votantes mujeres están a favor de cierto candidato que hace campaña, encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia entre las proporciones reales de votantes hombres y votantes mujeres que están a favor del candidato.

119

Inferencia Estadística

Ejercicio 3 Un estudio del crecimiento anual de ciertos cactus mostró que 64 de ellos, seleccionados aleatoriamente en una región desértica, crecieron en promedio 52.80 mm con una desviación estándar de 4.5 mm. Construya un intervalo de confianza del 99% para el verdadero promedio de crecimiento anual de la clase dada de cactus.

120

Inferencia Estadística

Ejercicio 4 Un estudio de dos clases de equipos de fotocopiado muestra que 61 averías del equipo de la primera clase se llevaron en promedio 80.7 minutos en ser reparados, con una desviación estándar de 19.4 minutos, mientras que 61 averías del equipo de segunda clase se llevaron en promedio 88.1 minutos en ser reparados, con una desviación estándar de 18.8 minutos. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia entre los verdaderos promedios del tiempo que toma reparar las averías de las dos clases de equipo de fotocopiado. 121

Inferencia Estadística

Ejercicio 5 En una muestra aleatoria de 300 personas que comen en una cafetería de una tienda departamental solo 102 pidieron postre. Si usamos 102/300 = 0.34 como una estimación de la verdadera proporción correspondiente, ¿con qué confianza podemos afirmar que nuestro error es menor que 0.05?

122

Límites de confianza para la varianza poblacional y para el cociente de dos varianzas

123

Inferencia Estadística

Intervalo de confianza para la varianza poblacional

2

Si s es el valor de la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal, entonces un intervalo de confianza del (1-α)100% 2

para σ es

124

Inferencia Estadística

Intervalo de confianza para la varianza poblacional

2

Si s es el valor de la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal, entonces un intervalo de confianza del (1-α)100% 2

para σ es 2 (n-1) s χ

2

α , n-1 2

2

< σ
σ²0

χ² ≥ χ²

Para H1: σ² < σ²

χ²≤χ²

0

α , n-1 2

χ²≤χ²

1- α , n-1 2

α , n-1

1-α , n-1

184

Inferencia Estadística

Ejercicio Suponga que las mediciones del espesor de una muestra aleatoria de 18 partes usadas de un semiconductor tiene la varianza s²=0.68, donde las mediciones son en milésimas de pulgada. El proceso se considera que está bajo control si la variación del espesor está dada por una varianza no mayor que 0.36. Suponga que las mediciones constituyen una muestra aleatoria de una población normal, pruebe la hipótesis nula σ²=0.36 contra la hipótesis alternativa σ²>0.36 en el nivel 0.05 de significación.

185

Inferencia Estadística

Pruebas de hipótesis sobre la razón de varianzas Dadas dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1

y n2 de dos poblaciones normales con las varianzas σ1² y σ2²

Usaremos el estadístico

s1² s2²

(Nota:Es más simple si calculamos el cociente de la mayor entre la menor)

186

Inferencia Estadística

Ejercicio Al comparar la variabilidad de la resistencia a la tracción de dos clases de acero estructural, un experimento dio los resultados siguientes: n1=13, s1²=19.2, n2=16 y s2²=3.5, donde las unidades de medición son 1000 libras por pulgada cuadrada. Suponga que las mediciones constituyen variables aleatorias independientes de dos poblaciones normales, prueba la hipótesis nula σ1²=σ2² contra la alternativa σ1²≠σ2² en el nivel 0.02 de significación.

187

Ajuste a distribuciones teóricas. Tablas de contingencia. Prueba de chi-cuadrado

188

Inferencia Estadística

Prueba de bondad de ajuste Una distribución de frecuencias es la representación empírica, y por tanto una aproximación, de una distribución teórica (distribución de probabilidades).

189

Inferencia Estadística

Prueba de bondad de ajuste Una distribución de frecuencias es la representación empírica, y por tanto una aproximación, de una distribución teórica (distribución de probabilidades). Se trata de decidir si la distribución de frecuencia muestral se ajusta bien o no a la distribución de probabilidades (frecuencia) hipotética de la población en estudio. 190

Inferencia Estadística

Prueba de bondad de ajuste H0: las frecuencias observadas coinciden con las frecuencias esperadas H1: las frecuencias observadas no coinciden con las frecuencias esperadas

191

Inferencia Estadística

Prueba de bondad de ajuste H0: fij = eij para todo i,j

H1: fij ≠ eij

i=1,2,3,…,r j=1,2,3,…,c

para algún i

192

Estadística No Paramétrica

Ejercicio 1 Se pidió a 35 niños de manera independiente que nombraran su día favorito de la semana. Las elecciones fueron: Día

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Fr.

1

3

7

8

5

Sábado Domingo

11

0

Analice si estos datos son consistentes con un muestreo de niños cuyas preferencias se distribuyeron uniformemente entre todos los días de la semana. 193

Inferencia Estadística

Prueba de chi-cuadrado Estadístico de prueba r c Χ² =

ΣΣ

i=1 j=1

(fij – eij)² = eij

Σ todas las celdas

(f – e)² e

194

Inferencia Estadística

Prueba de chi-cuadrado Rechazamos H0 cuando Χ² ≥ Χ²

α , (r -1)(c -1)

195

Inferencia Estadística

Tabla de contingencia

r

11 21 31 41

12 22 32 42

13 23 33 43 c

14 24 34 44

15 25 35 45 196

Inferencia Estadística

Ejercicio 1 Use los datos mostrados en la siguiente tabla para probar en el nivel 0.01 de significación si la habilidad de una persona en matemáticas es independiente de su interés en estadística. Habilidad en Matemáticas Interés en Estadística

Bajo

Promedio

Alto

Bajo

63

42

15

Promedio

58

61

31

Alta

14

47

29

197

Inferencia Estadística

Ejercicio 2 Las muestras de un material experimental se producen mediante tres diferentes prototipos de procesos y se les hace una prueba de conformidad con un estándar de resistencia. Si las pruebas mostraron los resultados siguientes, ¿se puede decir en el nivel 0.01 de significación que los tres procesos tienen la misma probabilidad de aprobar con este estándar de resistencia? Pasan la prueba No pasan la prueba

Proceso A

Proceso B

Proceso C

45 21

58 12

49 35 198

Función de potencia de una prueba

199

Inferencia Estadística

Función de potencia Para evaluar los méritos de un criterio de prueba o una región crítica tenemos que considerar las probabilidades α(θ) de cometer error de tipo I para todos los valores de θ dentro del dominio especificado bajo la hipótesis nula H0 y las probabilidades β(θ) de cometer error de tipo II dentro del dominio especificado bajo la hipótesis alternativa H1.

200

Inferencia Estadística

Función de potencia Recordemos que: α : probabilidad de rechazar H0 siendo verdadera probabilidad de cometer error de tipo I β : probabilidad de no rechazar H0 siendo falsa probabilidad de cometer error de tipo II

201

Inferencia Estadística

Función de potencia Recordemos que: α : probabilidad de rechazar H0 siendo verdadera probabilidad de cometer error de tipo I β : probabilidad de no rechazar H0 siendo falsa probabilidad de cometer error de tipo II

Entonces 1 – β : probabilidad de rechazar H0 siendo falsa probabilidad de no cometer error de tipo II 202

Inferencia Estadística

Función de potencia La función de potencia de una prueba de hipótesis estadística H0 contra una hipótesis alternativa H1 está dada por

π(θ) =

α(θ)

para los valores de θ bajo H0

1- β(θ) para los valores de θ bajo H1

203

Inferencia Estadística

Función de potencia Los valores de la función de potencia son las probabilidades de rechazar la hipótesis nula H0 para los diferentes valores del parámetro θ.

π(θ) =

α(θ)

para los valores de θ bajo H0

1- β(θ) para los valores de θ bajo H1

204

Inferencia Estadística

Función de potencia Ejemplo Supongamos que el fabricante de un nuevo medicamento quiere decidir, sobre la base de muestras, si el 90% de todos los pacientes que reciben ese nuevo medicamento se recuperarán de cierta enfermedad. Su estadístico de prueba es X, el número de éxitos observados (recuperaciones) en 20 intentos. Consideremos H0: θ = 0.90 H1: θ < 0.90 Investigue la función de potencia correspondiente al criterio de prueba “aceptar la hipótesis nula si X>14 y rechazarla si X≤14”

205

Inferencia Estadística

Función de potencia Ejemplo Calculemos las probabilidades α(θ) de rechazar H0 siendo verdadera. Si H0 es verdadera, entonces p(X≤14) = p(X=0) + p(X=1) + p(X=2) + … + p(X=14)

Siendo p(X=a) =

20 a

a

(0.90) (1 – 0.90)

Obtenemos p(X ≤14) = 0.0113

20-a

206

Inferencia Estadística

Función de potencia Ejemplo Calculemos las probabilidades β(θ) de no rechazar H0 (aceptar H0) siendo H0 falsa (H1 verdadera). Si H1 es verdadera, entonces θ < 0.90.

Calculemos β(θ) para algunos valores de θ, por ejemplo, θ=0.85, 0.80, 0.75, … , 0.45

207

Inferencia Estadística

Función de potencia Ejemplo Si θ=0.85 p(X>14) = p(X=15) + p(X=16) + p(X=17) + … + p(X=20)

Siendo p(X=a) =

20 a

a

(0.85) (1 – 0.85)

20-a

Obtenemos p(X >14) = 0.9252 208

Inferencia Estadística

Función de potencia

θ 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50 0.45

probabilidad probabilidad prob. error tipo I error tipo II rech. Ho α(θ) β(θ) π(θ) 0.0113 0.0113 0.9252 0.0748 0.7952 0.2048 0.6093 0.3907 0.4110 0.5890 0.2423 0.7577 0.1242 0.8758 0.0548 0.9452 0.0205 0.9795 0.0064 0.9936 209

Inferencia Estadística

Función de potencia π(θ)

Curva de potencia

1.0000 0.9000

0.8000

Las funciones de potencia son las probabilidades de tomar la decisión correcta.

0.7000 0.6000 0.5000 0.4000 0.3000 0.2000 0.1000

0.0000 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 θ

210

Inferencia Estadística

Curva característica de operación Pudieran graficarse las probabilidades de aceptar H0, que sería la función 1-π(θ). Obtendríamos entonces la CURVA CARACTERISTICA DE OPERACIÓN (o curva CO) prob. No θ 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90

rechazar Ho 0.0064 0.0205 0.0548 0.1242 0.2423 0.4110 0.6093 0.7952 0.9252 0.9887

211

Inferencia Estadística

Curva característica de operación 1- π(θ)

1.0000 0.9000 0.8000 0.7000 0.6000

0.5000 0.4000 0.3000 0.2000 0.1000

0.0000 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 θ

212

Correlación y regresión lineal

213

Inferencia Estadística

Análisis de regresión y correlación Un objetivo importante de muchas investigaciones estadísticas es establecer las relaciones que hagan posible predecir una o más variables en términos de otras. Ejemplos • ventas potenciales de un nuevo producto en función de un precio. • gastos familiares en entretenimiento en función del ingreso familiar. • consumo percápita de ciertos alimentos en función de sus valores nutricionales y la cantidad de dinero que se gasta en hacerles publicidad en la televisión.

214

Inferencia Estadística

Análisis de regresión y correlación El análisis de regresión es la parte de la estadística que se ocupa de investigar la relación entre dos o más variables relacionadas en una forma no determinística. En la regresión simple hay solo dos variables: • la variable cuyo valor fija el investigador, se denota por X, se llama variable independiente, pronosticadora, explicativa. • la variable Y que depende de X, se llama variable dependiente o de respuesta. En la regresión múltiple hay una variable dependiente y más de una variable independiente.

215

Inferencia Estadística

Regresión lineal simple

216

Inferencia Estadística

Ejemplo Consideremos los datos siguientes sobre el número de horas que diez personas estudiaron para una prueba de francés y sus calificaciones en dicha prueba. Horas

4

9

10

14

4

7

12

22

1

17

Nota

31

58

65

73

37

44

60

91

21

84

217

Inferencia Estadística

Ejercicio Los siguientes datos corresponden al cloro residual en una piscina en diferentes momentos después de haberse tratado con químicos Número de horas

Cloro residual (partes por millón)

2

1.8

4

1.5

6

1.4

8

1.1

10

1.1

12

0.9 218

Inferencia Estadística

Ejercicio a) Calcule el coeficiente de correlación lineal entre las horas transcurridas y el cloro residual. b) Ajuste una recta de mínimos cuadrados (recta de regresión) con la cual podamos predecir el cloro residual en términos del número de horas transcurridas, luego de haberse tratado con químicos. c) Use la ecuación de la recta de regresión para estimar el cloro residual 5 horas después de haberse tratado con químicos el agua de la piscina.

219

Inferencia Estadística

Coeficiente de correlación lineal Existen situaciones en las cuales el objetivo al estudiar el comportamiento conjunto de dos variables es ver si están relacionados en lugar de utilizar una para predecir el valor de la otra.

220

Inferencia Estadística

Ejercicio Una prueba de rendimiento es confiable si el estudiante que tomar la prueba varias veces obtendrá consistentemente puntuaciones altas (bajas). Una forma de verificar la confiabilidad de una prueba es dividirla en dos partes, por lo general problemas con numeración par y problemas con numeración impar, y observar la correlación entre las puntuaciones que los estudiantes obtienen. Los datos siguientes son las calificaciones de una muestra de 20 estudiantes en una prueba, x para las preguntas impares, y para las preguntas pares. Calcule el valor del coeficiente de correlación r. X

27

36

44

32

27

41

38

44

30

27

y

29

44

49

27

35

33

29

40

27

38

X

33

39

38

24

33

32

37

33

34

39

y

42

31

38

22

34

37

38

35

32

43

221

Regresión múltiple

222

Inferencia Estadística

Regresión lineal simple

223

Inferencia Estadística

Regresión múltiple Si la variable y depende no solo de x sino de más variables tendríamos en lugar del modelo de regresión simple (lineal) y = a + bx el modelo de regresión lineal múltiple y = a + b1 x1 + b2 x2 + … + bk xk

224

Inferencia Estadística

225

Ejemplo

Inferencia Estadística

Los datos siguientes muestran el número de habitaciones, el número de baños y los precios a los que se vendió una muestra aleatoria de casas unifamiliares. Encuentre la ecuación de la recta de regresión lineal múltiple que permite predecir el precio de una casa en función del número de habitaciones y el número de baños. Número de habitaciones

Número de baños

X1

Precio (dólares)

X2

Y

X11

3

X12

2

78800

X21

2

X22

1

74300

X31

4

X32

3

83800

X41

2

X42

1

74200

X51

3

X52

2

79700

X61

2

X62

2

74900

X71

5

X72

3

88400

X81

4

X82

2

82900 226

Análisis de varianza (ANOVA)

227

Inferencia Estadística

Análisis de varianza El análisis de varianza, o más brevemente, ANOVA, es un método estadístico para decidir si las diferencias entre dos o más medias muestrales se puede atribuir al azar o si hay diferencias reales entre las medias de las poblaciones muestreadas.

228

Inferencia Estadística

Análisis de varianza Ejemplos • ¿Hay diferencias en la eficacia de tres métodos para enseñar una lengua extranjera? • ¿Hay diferencias en los efectos de cinco marcas diferentes de gasolina con respecto a la eficiencia de operación de un motor? • ¿Hay diferencias en cuanto al crecimiento de bacterias en cuatro soluciones azucaradas: glucosa, fructosa, sucrosa y una mezcla de las tres? 229

Inferencia Estadística

Análisis de varianza de un factor También se llama unifactorial, unidireccional, en un sentido. Hay un solo factor. Hay varios niveles o tratamientos.

230

Inferencia Estadística

Origen de la variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Tratamientos

SCTr

k-1

Error

SCE

k(n-1)

Total

STC

kn-1

Cuadrado medio

F

231

Inferencia Estadística

Análisis de varianza de un factor Se quiere comparar la acción limpiadora de tres detergentes. Se tomaron 15 muestras de tela blanca, que se mancharon con tinta china y luego se lavaron a máquina usando los tres tipos de detergente. Los resultados de las lecturas de blancura fueron: Detergente A

77

81

71

76

80

Detergente B

72

58

74

66

70

Detergente C

76

85

82

80

77

Pruebe, en el nivel 0.01 de significación, si las diferencias entre las medias de las lecturas de blancura son significativas.

232

Inferencia Estadística

Análisis de varianza de un factor Tres grupos de seis conejillos de indias se inyectaron, cada uno, con respectivamente 0.5 miligramos, 1.0 miligramos, 1.5 miligramos de un nuevo tranquilizante. A continuación se muestra el número de minutos que tardaron en quedarse dormidos 0.5 miligramos

21

23

19

24

25

23

1.0 miligramos

19

21

20

18

22

20

1.5 miligramos

15

10

13

14

11

15

Pruebe, en el nivel 0.05 de significación, si se puede rechazar la hipótesis nula de que las diferencias en dosificación no tienen efecto.

233

Inferencia Estadística

Origen de la variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Tratamientos

SCTr

k-1

Bloques

SCB

n-1

Error

SCE

(k-1)(n-1)

Total

STC

kn-1

Cuadrado medio

F

B

234

Inferencia Estadística

ANOVA bifactorial Los datos sobre los tiempos (en minutos) que le tomó a cierta persona conducir su vehículo hasta su trabajo, de lunes a viernes, por cuatro rutas diferentes, fueron las siguientes: Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Ruta 1

22

26

25

25

31

Ruta 2

25

27

28

26

29

Ruta 3

26

29

33

30

33

Ruta 4

26

28

27

30

30

¿Hay diferencias entre los promedios verdaderos de tiempo que tarda la persona en conducir al trabajo teniendo en cuenta las cuatro rutas y los cinco días de la semana? Considere el nivel de significación 0.05 235

Inferencia Estadística

ANOVA bifactorial Considere los siguientes datos de un experimento para comparar tres marcas diferentes de plumas y cuatro tratamientos de lavado distintos con respecto a su capacidad de eliminar manchas en un tipo particular de tela. La variable de respuesta es un indicador cualitativo del cambio de color total de la tela, mientras más bajo es este valor más manchas fueron eliminadas. ¿Existe alguna diferencia entre el cambio de color promedio verdadero debido a las diferentes marcas de pluma o a los distintos tratamientos de lavado? Considere α=0.05 Tratamiento 1

Tratamiento 2

Tratamiento 3

Tratamiento 4

Marca de pluma 1

0.97

0.48

0.48

0.46

Marca de pluma 2

0.77

0.14

0.22

0.25

Marca de pluma 3

0.67

0.39

0.57

0.19 236