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• Luis Bruno

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INECUACIONES RACIONALES RELACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

 tiene las siguientes propiedades: Propiedad Reflexiva: 1  1 ; 3  3 Propiedad antisimétrica: 1  2  2 no es menor e igual a 1 ;

La relación a) b)

2 

3 

3 no es menor e igual a 2 c) Propiedad transitiva 4  6 y 6  10  4  10 Por cumplir “  “ estas 3 propiedades, se dice que es de orden total en R.

AXIOMA DE ORDEN: En el conjunto de los números reales: a) Si a es cualquier número real, se cumple exactamente una de las tres posibilidades : Ley de Tricotomía. a < b; a = b; a > b b) La suma de dos números reales positivos es un número real positivo. c) El producto de dos números reales positivos es un número real positivo. RELACIONES MAYOR, MENOR, MAYOR IGUAL y MENOR IGUAL a) a < b si y sólo si b – a es un número positivo. b) a > b si y solo sí a - b es un número positivo. c) a  b si y sólo si a < b o a = b d) a  b si y sólo si a > b o a = b PROPIEDADES DE LA RELACION “MENOS O IGUAL” (  )

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DE DESIGUALDAD EN R 1. Si a < b y b < c , entonces a < c 2. Si a < b , entonces a + c < b + c 3. Si a + c < b + c , entonces a < b 4. Si a < b y c < d , entonces a + c < b + d 5. Si a < b y c > 0 , entonces ac < bc 6. Si a < b y c < 0 , entonces ac > bc 7. Si 0 < a < b y 0 < c < d , entonces ac < bd 8. Si ac < bc y c > 0 , entonces a < b 9. Si ac < bc y c < 0 , entonces a > b 10. Si a < b , entonces -a > -b 11. Si 0 < a < b , entonces 1/a > 1/b

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Definición: Las desigualdades de tipo : ax2 + bx + c > 0 ; ax2 + bx + c  0 ax2 + bx + c < 0 ; ax2 + bx + c  0 se denominan desigualdades de segundo grado o cuadráticas. Ejemplos: x2 + x – 6 > 0 ; 2x2 – 5x – 3 < 0 5x2 – 8x + 3  0 ; 2x2 + 4x + 5  0 Resolución de Inecuaciones de Segundo Grado Sea el polinomio de segundo grado: ax2 + bx + c Se verifica que “a” sea positivo, si a es negativo se cambia el signo a todos los términos de la desigualdad. Ejemplo: Resolver -2x2 + 5x + 3 < 0 cambiando el signo 2x2 – 5x – 3 > 0 Se calcula el discriminante para ver el tipo de raíces :  = (-5)2 – 4(2) (-3)   = 49 Se calculan las raíces factorizando por aspa simple o por fórmula general : 2x2 – 5x – 3 = (2x + 1) (x - 3) = 0  x = -1/2 ; x = 3 A estos valores se les conoce como “puntos críticos”. Se ubican los puntos críticos en la recta numérica para analizar los signos del trinomio : P = 2x2 – 5x – 3

+

+ CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN LINEAL Es el conjunto formado por las soluciones particulares de dicha inecuación . Si una inecuación no tiene solución particular, su conjunto solución se define como el conjunto vacio. Existen propiedades de las relaciones de desigualdad muy usadas en la solución de inecuaciones. A continuación anotamos sólo las propiedades de la relación “menor” ( < ), siendo las mismas o muy similares las de las otras relaciones. Para obtener el intervalo al que pertenece la incógnita de tal manera que verifique la desigualdad propuesta será suficiente despejar la incógnita aplicando los teoremas de desigualdades Ejemplo: Resolver : 4x + 13 > x + 22 Resolución : 4x + 13 > x + 22 4x – x > 22 - 13 3x > 9  x > 3  C.S. = -∞

3

+∞

-

-

3

-

Como P > 0 entonces la respuesta es la Zona positiva. Se escribe el intervalo solución: x   INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Se resuelven teniendo en cuenta las propiedades: 1. a < b  b > 0 y -b < a < b 2. a

 b



b  0 y -b  a  b



a 

3.

a < b

y

b < 0

4

a > b



a > b ó a < -b

5.

a  b



a  b ó a

6.

a  b

y

b < 0



 -b

 a R

+

PROBLEMAS DE INECUACIONES 1. Resolver: 2(x - 3) + 3(x - 2) > 4(x - 1) .Indicando el menor valor entero que adopta “x”. a) 1 b) 8 c) 7 d) 10 e) 9 x 1 x 1  6 3 2. Resolver: 2 indicando el intervalo solución. a) x  [7; +> d) x  R 3.

b) x  [1; +> e) x  

c) x  [-1; 1]

x2 x6 x3   5 5 7 Resolver: 3 Indicando el intervalo no solución.

35 1 2 0  x  3x  2 8  5. Al resolver el sistema: 1 2 35 1  x  3x  8 2

3x 2 - 12x - 15 0 6. Al resolver el sistema:  el CS es : [a, b] - x 2 + 4x - 3 0

El conjunto de soluciones es: (-∞ , ∞) b) x2 - 1 < 3 ⇔ x2 - 4 < 0 x2 - 4 = 0 ⇔ x = ± √4 = ± 2 Factorizamos la inecuación: (x - 2)(x + 2) < 0 Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , -2) , (-2 , 2) , (2 , ∞) • (-∞ , -2): x = - 3 ⇒ (x - 2)(x + 2) = (-3 - 2)(-3 + 2) > 0 • (-2 , 2): x = 0 ⇒ (x - 2)(x + 2) = (- 2)(2) < 0 • (2 , ∞): x = 3 ⇒ (x - 2)(x + 2) = (3 - 2)(3 + 2) > 0

 [c, d].

PROBLEMAS RESUELTOS DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 8. Resolver 2x – 3 < 7 Respuesta:  2,5



10.Resolver:|x - 3| < 5 11.Resolver: |2x - 1| >



 









R:  ,2 U 4 / 5,  = R -  2, 4 / 5 Respuesta: x 

x 2

2

+

Calcular el valor de: E = 2a + b – 3c + d a) –5 b) –3 c) 0 d) 1 e) 8 7. Hallar el menor de los números “M” que cumple la siguiente condición:  x  R, 4x – x2 – 12  M Respuesta: -8.

 3

- 8;

3 13.Resolver: |x - 5| > |2x + 3| Respuesta: x  14. Resuelve 3|2 - x| - 15 ≥ 0 Respuesta: x ∈ (-∞ , - 3] ∪ [7 , ∞) 15. Resuelve |x - 1| ≤ 5x – 2 Resp: x ∈[1/2 , ∞)∩[1/4 ,∞)=[1/2 , ∞) 16. Resuelve 4 + |x| ≥ 3x Resp: x ∈ (-∞ , 1] ∪ (-∞ , 2] = (-∞ , 2] 17. Resolver |x + 1| ≥ |1 - 2x| Respuesta: x ∈ [0 , 2]

(- ∞, ∞)

Se pide dar la suma de todos los números enteros que lo satisfagan. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

5x – 1

Respuesta: x  U

18. Resuelve Respuesta: x ∈ (- 3 , - 2) ∪ (-2 , -7/5) 19. Resuelve la siguiente inecuación: |x2 - 1| < 3 - 3 < x2 - 1 < 3 Resolvemos las dos inecuaciones por separado: a) x2 - 1 > -3 ⇔ x2 + 2 > 0 ⇒ x > ± √-2 La inecuación no se puede factorizar, así que estudiamos el signo en todo R = (-∞ , ∞): damos un valor cualquiera en este intervalo, por ejemplo x =0 ⇒ x2 + 2 = 2 > 0

a) b) c) d) e) N.A. 3 2 4. Resolver:(x + 1)(x + 2)(x + 3)  x + 6x + 10x + 12 a) x  10 b) x  4 c) x  6 d) x  6 e) x  

9.Resolver

1 | 2 x - 3| < 1 12.Resolver:

Respuesta: x  [2/5;2/3]

(- ∞, - 2)

(- 2 , 2)

(2 , ∞)

+

-

+

El conjunto de soluciones es: (-2 , 2) La solución será el conjunto de valores de x que cumplan ambas inecuaciones, es decir, será la intersección de los dos conjuntos. S = (-∞ , ∞) ∩ (-2 , 2) = (-2 , 2) 20. Resuelve |x2 - 9| ≥ 7 Resp: x ∈ (-∞ , - 4] ∪ [-√2 , √2] ∪ [4 , ∞)

PROBLEMAS RESUELTOS DE INECUACIONES RACIONALES 5. Resolver: 2(x - 3) + 3(x - 2) > 4(x - 1) .Indicando el menor valor entero que adopta “x”. a) 1 b) 8 c) 7 d) 10 e) 9 Solución: Reduciendo obtenemos 2x-6+3x-6 > 4x-4  5x-12 > 4x-4  x > 8  C.S = El menor es 9 x 1 x 1  6 3 6. Resolver: 2 indicando el intervalo solución. a) x  [7; +> d) x  R

b) x  [1; +> e) x  

Solución: Reduciendo obtenemos 5x+1 7.

c) x  [-1; 1]

3x  3  2 x  2 6 6

 36  5x  35  x  7

 C.S = [ 7; + >

x2 x6 x3   5 5 7 Resolver: 3 Indicando el intervalo no solución.

a) b) c) d) e) N.A. Solución: Reduciendo obtenemos 35x+70+21x+126+15x+45  5 71x +241  525  71x  284  x  4  C.S.= 0 (1) 4x2 – 24x+35 < 8 (2)

2

Completando cuadrados 4x2 –24x+35=(2x-6) -1 2 Reemplazamos en (1) y (2)  00 y 2

x  x  -  2x - 1   2  2

Graficando:

-

2 5

2 3

+

x  [2/5;2/3] 1 12.Resolver: | 2 x - 3 | < 1

Solución: Entonces tenemos: |2x - 3| > 1 2x - 3 > 1 U 2x - 3 < -1 Uniendo: x  U

2

3 De donde: x  14. Resuelve 3|2 - x| - 15 ≥ 0 3|2 - x| ≥ 15  |2 - x| ≥ 5 2-x≤-5 ó 2-x≥5 2-x≤-5 ⇔ -x≤-5-2 ⇔ -x≤-7 x≥7 2-x≥5 ⇔ -x≥5-2 ⇔ -x≥3 x≤-3 La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la primera desigualdad ó la segunda. x ∈ (-∞ , - 3] ∪ [7 , ∞) 15. Resuelve |x - 1| ≤ 5x - 2 - (5x - 2) ≤ x - 1 ≤ 5x - 2 - 5x + 2 ≤ x - 1 ≤ 5x - 2 a) - 5x + 2 ≤ x - 1 ⇔ 2 + 1 ≤ x + 5x ⇔ 3 ≤ 6x ⇔ 1/2 ≤ x b) x - 1 ≤ 5x - 2 ⇔ - 1 + 2 ≤ 5x - x ⇔ 1 ≤ 4x ⇔ 1/4 ≤ x La solución será el conjunto de valores de x que cumplan a) y b), por tanto, es la intersección de los intervalos. x ∈ [1/2 , ∞) ∩ [1/4 , ∞) = [1/2 , ∞) 16. Resuelve 4 + |x| ≥ 3x |x| ≥ 3x - 4 x ≤ - (3x - 4) ó x ≥ 3x - 4 x ≤ - (3x - 4) ⇔ x ≤ - 3x + 4 ⇔ 4x ≤ 4 ⇔ x≤1 x ≥ 3x - 4 ⇔ - 2x ≥ - 4 ⇔ 2x ≤ 4 ⇔ x≤2 La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la primera desigualdad ó la segunda. x ∈ (-∞ , 1] ∪ (-∞ , 2] = (-∞ , 2] 17. Resolver |x + 1| ≥ |1 - 2x| (|x + 1|)2 ≥ (|1 - 2x|)2  (x + 1)2 ≥ (1 - 2x)2 2 2 x + 2x + 1 ≥ 1 - 4x + 4x  0 ≥ 3x2 - 6x  0 ≥ 3x(x - 2) Tenemos: 3x = 0 ⇔ x=0

x-2=0 ⇔ x=2 • (-∞ , 0): x=-1 ⇒ 3x = - 3 < 0 ⇒ x-2=-1-2 0 ⇒ x-2=1-2 0 ⇒ x-2=3-2>0 También se puede hacer estudiando el signo del numerador y del denominador y después del cociente entre ambos. (- ∞ , 0)

(0 , 2)

(2, ∞)

3x

-

+

+

x-2

-

-

+

3x(x - 2)

+

-

+

El conjunto de soluciones es: [0 , 2] Incluimos los valores x = 0 y x = 2 , puesto que la desigualdad requiere que el producto sea menor o igual que 0.

18. Resuelve la siguiente inecuación:

• (-∞ , - 2):

 5x + 7 = 0 ⇔ x = - 7/5 x+2=0 ⇔ x=-2 x=-3 ⇒ 5x + 7 = - 15 + 7 < 0 ⇒ x+2=-3+2 0 • (-7/5, ∞): x = 0 ⇒ 5x + 7 = 7 > 0 ⇒ x+2=2>0 También se puede hacer estudiando el signo del numerador y del denominador y después del cociente entre ambos. • (-2 , -7/5):

x = -3/2

(- ∞ , - 2)

(-2 , -7/5)

(-7/5, ∞)

5x + 7

-

-

+

x+2

-

+

+

+

-

+

Para que el cociente sea negativo:

x ∈ (-2 , -7/5)

⇔ - 3x = 9 ⇔ x=-3 x+2=0 ⇔ x=-2 • (-∞ , - 3): x = -4 ⇒ - 3x - 9 = - 3(-4) - 9 > 0 ⇒ x + 2 = - 4 + 2< 0 • (- 3 , - 2): x = - 5/2 ⇒ - 3x - 9 = - 3(-5/2) - 9 < 0 ⇒ x + 2 = - 5/2 + 2 < 0 • (- 2, ∞): x = 0 ⇒ - 3x - 9 = - 9< 0 ⇒ x+2=2>0 También se puede hacer estudiando el signo del numerador y del denominador y después del cociente entre ambos.  - 3x - 9 = 0

(- ∞ , - 3)

(-3 , -2)

(-2, ∞)

- 3x - 9

+

-

-

x+2

-

-

+

-

+

-

Para que el cociente sea positivo: x ∈ (- 3 , - 2) La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la desigualdad a) ó la desigualdad b) , es decir, la unión de sus soluciones.

x ∈ (- 3 , - 2) ∪ (-2 , -7/5)

+

19. Resuelve la siguiente inecuación: |x2 - 1| < 3 - 3 < x2 - 1 < 3 Resolvemos las dos inecuaciones por separado: a) x2 - 1 > -3 ⇔ x2 + 2 > 0 ⇒ x > ± √-2 La inecuación no se puede factorizar, así que estudiamos el signo en todo R = (-∞ , ∞): damos un valor cualquiera en este intervalo, por ejemplo x =0 ⇒ x2 + 2 = 2 > 0 (- ∞, ∞) + El conjunto de soluciones es: (-∞ , ∞) b) x2 - 1 < 3 ⇔ x2 - 4 < 0 x2 - 4 = 0 ⇔ x = ± √4 = ± 2 Factorizamos la inecuación: (x - 2)(x + 2) < 0 Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , -2) , (-2 , 2) , (2 , ∞) • (-∞ , -2): x = - 3 ⇒ (x - 2)(x + 2) = (-3 - 2)(-3 + 2) > 0 • (-2 , 2): x = 0 ⇒ (x - 2)(x + 2) = (- 2)(2) < 0 • (2 , ∞): x = 3 ⇒ (x - 2)(x + 2) = (3 - 2)(3 + 2) > 0 (- ∞, - 2)

(- 2 , 2)

(2 , ∞)

+

-

+

El conjunto de soluciones es: (-2 , 2) La solución será el conjunto de valores de x que cumplan ambas inecuaciones, es decir, será la intersección de los dos conjuntos. S = (-∞ , ∞) ∩ (-2 , 2) = (-2 , 2) 20. Resuelve la siguiente inecuación: |x2 - 9| ≥ 7 a) x2 - 9 ≤ - 7 ó b) x2 - 9 ≥ 7 2 a) x - 2 ≤ 0 ó b) x2 - 16 ≥ 0 2 a) x - 2 ≤ 0 x2 - 2 = 0 ⇔ x = ± √2 Factorizamos la inecuación: (x - √2)(x + √2) ≤ 0 Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , -√2) , (-√2 , √2) , (√2 , ∞) • (-∞ , -√2): x = - 2 ⇒ (x - √2)(x + √2) = (- 2 - √2)(- 2 + √2) > 0 • (-√2 , √2): x = 0 ⇒ (x - √2)(x + √2) = (- √2)(√2) < 0 • (√2 , ∞): x = 2 ⇒ (x - √2)(x + √2) = (2 - √2)(2 + √2) > 0 (- ∞, - √2)

(- √2 , √2)

(√2 , ∞)

-

+

El conjunto de soluciones es: [-√2 , √2] b) x2 - 16 ≥ 0 x2 - 16 = 0 ⇔ x2 = 16 ⇔ x=±4 Factorizamos la inecuación: (x - 4)(x + 4) ≥ 0 Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , - 4) , (- 4 , 4) , (4 , ∞) • (-∞ , - 4): x = - 5 ⇒ (x - 4)(x + 4) = (- 5 - 4)(- 5 + 4) > 0 • (- 4 , 4): x = 0 ⇒ (x - 4)(x + 4) = (- 4)(4) < 0 • (4, ∞): x = 5 ⇒ (x - 4)(x + 4) = (5 - 4)(5 + 4) > 0 (- ∞, - 4)

(- 4 , 4)

(4 , ∞)

+

-

+

El conjunto de soluciones es: (-∞ , - 4] ∪ [4 , ∞) La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la desigualdad a)ó la desigualdad b) , es decir, la unión de sus soluciones. x ∈ (-∞ , - 4] ∪ [-√2 , √2] ∪ [4 , ∞) 21. Resuelve la siguiente inecuación: |x2 - 9| ≥ 7 a) x2 - 9 ≤ - 7 ó b) x2 - 9 ≥ 7 2 a) x - 2 ≤ 0 ó b) x2 - 16 ≥ 0 2 a) x - 2 ≤ 0 x2 - 2 = 0 ⇔ x = ± √2 Factorizamos la inecuación: (x - √2)(x + √2) ≤ 0 Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , -√2) , (-√2 , √2) , (√2 , ∞) • (-∞ , -√2): x = - 2 ⇒ (x - √2)(x + √2) = (- 2 - √2)(- 2 + √2) > 0 • (-√2 , √2): x = 0 ⇒ (x - √2)(x + √2) = (- √2)(√2) < 0 • (√2 , ∞): x = 2 ⇒ (x - √2)(x + √2) = (2 - √2)(2 + √2) > 0 (- ∞, - √2)

(- √2 , √2)

(√2 , ∞)

+

-

+

El conjunto de soluciones es: [-√2 , √2] b) x2 - 16 ≥ 0 x2 - 16 = 0 ⇔ x2 = 16 ⇔ x=±4 Factorizamos la inecuación: (x - 4)(x + 4) ≥ 0 Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , - 4) , (- 4 , 4) , (4 , ∞) • (-∞ , - 4): x = - 5 ⇒ (x - 4)(x + 4) = (- 5 - 4)(- 5 + 4) > 0 • (- 4 , 4): x = 0 ⇒ (x - 4)(x + 4) = (- 4)(4) < 0 • (4, ∞): x = 5 ⇒ (x - 4)(x + 4) = (5 - 4)(5 + 4) > 0

(- ∞, - 4)

(- 4 , 4)

(4 , ∞)

+

-

+

El conjunto de soluciones es: (-∞ , - 4] ∪ [4 , ∞) La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la desigualdad a)ó la desigualdad b) , es decir, la unión de sus soluciones. x ∈ (-∞ , - 4] ∪ [-√2 , √2] ∪ [4 , ∞) 22. Resuelve la siguiente inecuación: |x2 - 9| ≥ 7 a) x2 - 9 ≤ - 7 ó b) x2 - 9 ≥ 7 2 a) x - 2 ≤ 0 ó b) x2 - 16 ≥ 0 2 a) x - 2 ≤ 0 x2 - 2 = 0 ⇔ x = ± √2 Factorizamos la inecuación: (x - √2)(x + √2) ≤ 0 Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , -√2) , (-√2 , √2) , (√2 , ∞) • (-∞ , -√2): x = - 2 ⇒ (x - √2)(x + √2) = (- 2 - √2)(- 2 + √2) > 0 • (-√2 , √2): x = 0 ⇒ (x - √2)(x + √2) = (- √2)(√2) < 0 • (√2 , ∞): x = 2 ⇒ (x - √2)(x + √2) = (2 - √2)(2 + √2) > 0 (- ∞, - √2)

(- √2 , √2)

(√2 , ∞)

+

-

+

El conjunto de soluciones es: [-√2 , √2] b) x2 - 16 ≥ 0 x2 - 16 = 0 ⇔ x2 = 16 ⇔ x=±4 Factorizamos la inecuación: (x - 4)(x + 4) ≥ 0 Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , - 4) , (- 4 , 4) , (4 , ∞) • (-∞ , - 4): x = - 5 ⇒ (x - 4)(x + 4) = (- 5 - 4)(- 5 + 4) > 0 • (- 4 , 4): x = 0 ⇒ (x - 4)(x + 4) = (- 4)(4) < 0 • (4, ∞): x = 5 ⇒ (x - 4)(x + 4) = (5 - 4)(5 + 4) > 0 (- ∞, - 4)

(- 4 , 4)

(4 , ∞)

+

-

+

El conjunto de soluciones es: (-∞ , - 4] ∪ [4 , ∞) La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la desigualdad a)ó la desigualdad b) , es decir, la unión de sus soluciones. x ∈ (-∞ , - 4] ∪ [-√2 , √2] ∪ [4 , ∞) 23. Resuelve la siguiente inecuación:

Resuelve la siguiente inecuación: 1 ≤ |x| ≤ 4 Resolvemos las dos inecuaciones por separado: • |x| ≥ 1 ⇔ x ≤ -1 ó x ≥ 1 ⇔ x ∈ (-∞ , -1] ∪ [1 , +∞) • |x| ≤ 4 ⇔ -4≤x≤4 ⇔ x ∈ [-4 , 4] La solución será el conjunto de valores de x que cumplan ambas desigualdades, es decir, será la intersección de los intervalos. S = [-4 , -1] ∪ [1 , 4]