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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CEPUNS

Sen 2 x  1  Cos 2 x  Sen 2 x  Cos 2 x  1 ; x  R  Cos 2 x  1  Sen 2 x

Ciclo 2013-III

TRIGONOMETRÍA

2 2    Sec x  Tan x  1 Sec 2 x  Tan 2 x  1 ; x  R  (2n  1)  ; n  Z  2   Tan 2 x  Sec 2 x  1  2 2  C sc x  Cot x  1 Csc 2 x  Cot 2 x  1 ; x  R  n  ; n  Z  Cot 2 x  Csc 2 x  1

“Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos”

Semana Nº 8

Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.

Objetivos:  

Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para problemas con Identidades trigonométricas. Aplicar técnicas de comprobación en diversas identidades trigonométricas.

resolver

En el presente capítulo realizaremos el estudio de las razones trigonométricas de aquellos ángulos que a su vez están constituidas por la suma o resta de otros 2 ángulos. Iniciaremos el estudio del presente capitulo con la demostración de las principales Identidades para ángulos compuestos que son:

También observamos: Cos(+) = OP = OQ - PQ = OQ - SR; (PQ = SR)

* Sen( + ) = Sen.Cos + Cos.Sen

Procedemos ahora a obtener la Tg(+) de la siguiente manera: Sabemos que: sen   sen cos   cos sen  cos   cos  cos   sensen Tg(+) =

En el

OQR  OQ = ORCos = Cos.Cos; (OR = Cos)

En el MSR  SR = MRSen = Sen.Sen; (MR = Sen) Reemplazamos: Cos(+) = Cos. Cos - Sen.Sen .......(Demostrado)

* Cos( + ) = Cos.Cos-Sen.Sen Demostración: A partir del grafico:

Y B

Dividimos a la expresión por (Cos.Cos) sen cos     cos    sen  cos  cos     cos     cos  cos     cos     sensen      cos     cos  cos  Tg(+) = cos

M

1

S

R

Simplificando obtendremos: sen sen  Tg  Tg cos  cos   sen sen 1  Tg. Tg 1 . cos  cos  Tg(+) =

 0 Se observa:

P

Q

A

X

Tg + Tg 1 * Tg(+) =  Tg. Tg

Sen ( + ) = MP = PS + SM = QR + SM; (PS = QR) En el OQR  QR = ORSen = Sen.Cos; (OR = Cos)

(Demostrado)

Tomaremos en cuenta para las demás razones trigonométricas que:

En el MSR  SM = RMCos = Cos.Sen; (RM = Sen) Reemplazando Sen (+) = Sen Cos + Cos.Sen …….. Demostrado

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1

S-08

Ingreso Directo

Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.

Trigonometría. e) Cos( + ).Cos(-) = cos² - Sen²

1 Tg   1 Sec    Cos   1 Csc    Sen   Ctg   

f) Si: +  +  =180°Ctg.Ctg+Ctg.Ctg+Ctg.Ctg=1 g)

Identidades Trigonométricas para la Diferencia de Ángulos:

h)

Usando las Identidades para la suma de ángulos (ya demostrados), deducimos las identidades para la diferencia de ángulos, utilizando el siguiente artificio. * Sen( - ) = sen(+(-))  Sen(+(-)) =

j)

Demostrado

* Cos(-) = Cos(+(-))  Cos(+(-)) = Cos . Cos(-) - SenSen(-) - Sen

1 Sen  

2

2

 tg

B

 Ctg

Tgx  tgy 

2

A 2

.tg

C

 Ctg

2

 tg

C 2

B

.tg

2

 Ctg

A 2

C 2

1

.Ctg

B 2

.Ctg

C 2

sen (x  y ) cos x . cos y

Ctgx  Ctgy 

tgx  Ctgy 

Sen 

sen (x  y ) Senx .Seny

Cos (x  y ) Cosx .Seny

b a b 2

2

Cos 

a a b2 2

n) Si: f (x )  a .senx  b . cos x ; x  R

De igual manera tomar en cuenta que: 1 Ctg    Tg  

Csc   

A

Donde:

Tg(-) = Tg Tg 1 Tg Tg . 

1 Cos  

Ctg

B

m) a .senx  b .Cosx  a 2  b 2 .Sen (x   )

(Demostrado)

Sec   

k)

l)

 cos    cos  cos   sensen

*

.tg

2

 sen

 sen    sen cos   cos sen

Cos

A

i) Tg - Tg - Tg( - ).Tg.Tg = Tg(  - )

sen cos   cos  sen       cos 

tg

Se cumple:  a 2  b 2  f (x )  a 2  b 2 Demostremos las propiedades a) “sen(+).sen(-) = Sen² - sen²” Sabemos que: Sen(+) = Sencos + cossen ..(I) Sen(-) = sencos - cossen ..(II) Multiplicamos Miembro a miembro: sen(+).sen(-) = sen².cos²- cos².sen² Reemplazamos:

Algunas Propiedades de Importancia a) Sen( + ).Sen(-) = Sen² - Sen²

Cos² = 1 – sen2 Cos² = 1 - sen²

b) Tg + Tg + Tg(+).Tg.Tg = Tg(+)

sen(+) sen(-) = sen² (1 - sen²) - (1 - sen²)sen² = sen² - sen².sen² - [sen² - sen².sen²] = sen² - sen².sen² - sen² + sen².sen² sen(+).sen(-) = sen² - sen²..............(Demostrado)

c) Si:  +  +  = 180°  Tg + Tg+ Tg = Tg.Tg.Tg d) Si:  +  +  = 90°  Tg.Tg +Tg.Tg + Tg.Tg = 1

b) “Tg  + Tg + Tg( + ).Tg Tg = Tg( + )”

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2

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Trigonometría.

Sabemos que:

*

Tg( + ) = tg  tag

*

1  tg .tg

*

Multiplicamos (1-Tg.Tg) a ambos miembros:

(1 - Tg.Tg)Tg( + ) = tg  tag (1 – Tg.Tg)

tg(3x  2y)  4  tg   4

tg(2x  3y)  5  tg   5 tg  x  y   ?  tg      = ? “  ”

1  tg .tg

Tg( + ) -Tg.Tg.Tg( + ) = Tg + Tg Ordenamos convenientemente: Tg  + Tg + Tg( + ).Tg Tg = Tg( + ) …Demostrado





tg       tg       

tg   tg  45  1  tg  tg  1  4 5

1 21 RPTA.: D

c) Si: “ +  +  = 180° Tg + Tg + Tg = Tg.Tg.Tg” 3. Sabemos que:  +  +  = 180°   +  = 180° -  Tomamos tangente a ambos miembros: Tg( + ) = Tg(180° - )

tg  tag = -Tg 1  tg .tg

3 B) 2  3 C) 2 3 D)

3 2

E)



3 6

4.

RESOLUCIÓN



P



A) 17 21

B) 19 C) 20 D) 22 E) 23 21 21 21 21

7  ctgb 3

tg  a  b  

cos  cos 15º    sen  sen 15º   

P

son ángulos complementarios y

Se pide:

sen 15º    cos   cos 15º    sen



b

tg a 

Simplifique:

A) 2 

y

a + b =90º  senb= cos a 3 sen a  7 cos a

PROBLEMAS RESUELTOS

P

a

además: 3 sena  7 senb . Halle: tg (a-b)

RESOLUCIÓN Si:

 Tg  + Tg = -Tg (1 - Tg.Tg)  Tg  + Tg = -Tg + Tg.Tg.Tg Ordenamos convenientemente: Tg  + Tg + Tg = Tg.Tg.Tg (Demostrado)

1.

Si

sen 15º        

tg  a  b  

tg a  tgb  1  tg a tgb

20 21

7 3  3 7  7  3 1      3  7 RPTA.: C

Halle “ tg  ” de la figura.

53º

cos     15º    

sen 15º  tg 15º cos 15º



P  2 3 RPTA.: B

2.

B)  1 C) 18 D) 1 18 18 4k RESOLUCIÓN A) -18

Siendo:

tg 3x  2y   4  tg 2x  3y   5

Halle: “ A) 1

tg  x  y  ”

B) -1 C) 1

21

10

E) 1

53º

D)  1

21

E)  1

3k

3k 

10

RESOLUCIÓN



2k

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3

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4k

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37º 2k

Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.

Trigonometría.

Se observa:

PROBLEMAS DE CLASE

3k 3 tg    tg   2k 2 ii)     37º  tg     tg    37º  i)





1.

3 3  tg   tg 37º tg    tg   2 4 3 3 1  tg  tg 37º 1 2 4

calcular: k=tg(10)+(6) A)



7 9

B)

25 9

3 11

C)

D)3

E)

26 9

tg   18

RPTA.: A 5.

Si: tg(5+ 3)= 5 . . . (1) tg(5– 3)= 2 . . . (2)

2.

Si A y B son ángulos agudos y se cumple que senA = 5/13 y cosB =4/5 , calcule el valor de F = 130 cos(A + B). A) 22 B) 33 C)44 D) 55 E)66

3.

Si

De la figura mostrada, calcular: tg 

3 

tg      

E  tg    

A) 1/5

1 1 y tg     3 4 , se pide hallar:

B)1/7

C)1/9 D) 1/11

E) 1/13

4 4.

5 A)  5

3

B)  55

C) 5

3

D) 55

A) 1

3

3

3

E) 4

Si x + y + z =  , se pide reducir: 2 2 2 E   Tgx.Tgy Tgx.Tgz Tgz.Tgy

RESOLUCIÓN

5.

B) 2

C) 6

D)

E) ½

Evaluar:

S= tg22º+tg23º+tg22º.tg23º A) tg 22º D) 2tg 23º

3 

6.

4

4 



a) 

7 4 tg   tg   5 5 tg   tg     

7.

tg   

55 3

11 tg   5 3  25

8.

RPTA.: B

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3.Sen 12ºCos 12º  k ,

2 k 2

b)  2 k c)  k d)

4

5

2 e) 2 k k 6 2

Si:

(m  n).sen     (m  n).sen    tg determinar: tg m b) n c) m d) n e) m  n a)   m n n m m n

tg   tg  1  tg  tg 

4 7  tg   5 5 4 7 1  5 5

C) 2tg 22º E) 1

Calcular: W  sen 27 º cos 27 º

5

tg  

Si:

B) tg 23º

Der la figura mostrada ; calcular tg 2  a) Tg .tg 2

4

S-08

b) Tg .tg 3

c) Tg .tg 4

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;

Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. d) Tg 2 .tg 3

Trigonometría. a)

e) Tg 2 .tg 4

1

b) 2

c)3

d) ½

e) 3/2

2. Sabiendo que:

cot(3x  2y  5z) 

1 3

cot(2x  3y  6z) 

1 2

Halle: tg(x + y + z) a)

9.

Si:

M

x 

e) 2

 14

a)

Calcular Sen 2A

1 c) 2 d) 2  1 e) 2  1 2 2 1

e) 2

1

2



b)2

 28

c)3

d) ½



e) 1/3

5. Del gráfico, calcular: T an B

P

C

c)–16

d)- 9 e)32



11. Si:





tg (x  y )  tg 25ºtg 10 º 2  3 tg 25º.tg 10 º Y tg (x  y )  0. Calcular tg  x  y    a) 6  2  3  2 c) 6  2  3  2 e) 6  2  3  2

1 7

e)

4. Si: Tg    x   1 ; Calcular Ctg  5  x     

SenA CosA  2.SenC y  2.CosC SenB CosB b)

1

d) 6

x  1  tg y 2 1  tg 2 a)tg x b) tg y c) tg y .tg x d) 1 2 2 2 2

k ; k  Z , ¿Cuál es el valor de M para 4

1 2 1

1

c) 5

m

10. En un triángulo ABC, se cumple que:

a)

b)-1

3. Si “x” e “y” son ángulos complementarios (x > 0º), calcular el valor de “m” de modo que se verifique la identidad.

a .tg 2x b tal que  tg 2x  tgx 1  tgx .tg 2x

que M sea independiente de x? a)-1 b)- 1/3 c) 1/3 d) 1

1

b) d)

37º

 2  6 2 3  2 6 2 3  2

a) – 4

A

D

b) – 8

6. Si:

(m  n )senx .seny  (m  n ) cos x .coxy  0

; determinar: M  cos(x  y )

PROBLEMA DE REPASO

cos(x  y )

1. Dado el cuadrado ABCD, calcule “K”

a)

m n

b)

n m

c)



m n

d)



n m

e)

 m.n

7. Determina el valor mínimo de F, si F = a(Senx - cosx) +b(Senx + cosx); 0 < a < b 1 a) a 2  b 2 b) ab c) a .b 2 d) a + b

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5

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2 2 e)  2a  b 

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Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.

Trigonometría.

8. Calcular el valor de: Tan13º + Tan32º + Tan13º Tan32º a) 2  2 9. Si:

b) 1  2 c)

1 2 2

15. 2 2

d)

Del grafico mostrado, calcular x

e) 1

5

  2 tg      ; calcular: tg      20   3 5 

a) 1/5 10. Si

b) 1/3 y

c) 3

d) 5

14

son las raíces de la ecuación:

Calcular el valor de: a) -1/5 b) 1/5 d) 5 e) 1

a)1/3 d) 1

c) -5

a) -1 d) 3

b) -1 e) 2

c) 0

c) 8 d) 16

e) 20

c) 1

b) e)

c)

18. En el grafico mostrado se cumple que:

13. Si se cumple:

¿A que es igual?

Además: Calcular el valor de: a) 1/2 b) 2/3 d) 2 e) 3

β

c) 3/2 α

14. Calcular el valor aproximado de: √ a) 7,1 d) 8,3

b) 2 e) 0

a) d)

Calcular el valor: b) 4

c) 3/4

17. Si ¿A que es igual?

12. En un triángulo ABC, se sabe que:

a) 2

b) 1/2 e) 4/3

16. De un triángulo ABC, reducir:

11. Si Calcular el valor de: a) 2 d) 1

2

45˚

e) 6

b) 7,2

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θ x

c) 7,3 e) 8,7

a) Senx d)Cotx

6

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b) Cosx e) Secx

c) Tanx

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