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ÁLGEBRA

ÍNDICE Pág. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p.

8

Historia del Álgebra - Números Enteros ............................................................................. Adición y Sustracción de Números Enteros ......................................................................... Adición y Sustracción de Monomios ................................................................................... Adición y Sustracción de Polinomios .................................................................................. Multiplicación de Números Enteros .................................................................................... División de Números Enteros ............................................................................................ Potencia con Números Enteros ......................................................................................... Repaso ..........................................................................................................................

9

Potencia de Exponente Entero .......................................................................................... 65

1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

Multiplicación Algebraica .................................................................................................. 71

1 2 3 4 5 6 7

Valor Numérico ............................................................................................................... Gráficas lineales .............................................................................................................. Gráficas de Polinomios Cuadráticos ................................................................................... Productos Notables I ........................................................................................................ Productos Notables II ....................................................................................................... Repaso ..........................................................................................................................

Departamento

5 17 25 31 37 41 51 59

77 83 91 99 105 111

ÁLGEBRA  2 0 1 2 - TR IL CE de Publicaciones Lima - Perú TRCO1SLIAL1B-12.pmd

1er año de secundaria

Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p. Ca p.

1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1

Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita ................................................................... Planteo de Ecuaciones I ................................................................................................... Planteo de Ecuaciones II .................................................................................................. Sistema de Ecuaciones I .................................................................................................. Sistema de Ecuaciones II ................................................................................................. Sistema de Ecuaciones III ................................................................................................ Planteo de Sistema de Ecuaciones .................................................................................... Repaso .......................................................................................................................... . Polinomios con Coeficientes Fraccionarios y Valores Numéricos Fraccionarios........................ Ecuaciones con Números Fraccionarios .............................................................................. Problemas de texto con Ecuaciones Fraccionarias ............................................................... Manejo de Fórmulas ........................................................................................................ Inecuaciones de Primer Grado .......................................................................................... Sistemas de Inecuaciones de Primer Grado ........................................................................ Repaso .......................................................................................................................... .

119 125 131 135 141 147 153 157 163 173 181 191 197 205 215

1

Historia del álgebra Números enteros

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

Síntesis Histórica del Álgebra 1. Una Aclaración Necesaria.

simplificación y la generalización que al álgebra le hacían falta para emprender su vuelo incontenible, la organización de la teoría de las ecuaciones plasmada por primera vez al Álgebra en un libro, el libro se llamó Aritméticas .

Para ocuparnos de la evolución algebraica es necesario tener una idea clara y precisa de lo que es el álgebra. Por que si vamos a incluir dentro del Números Enteros álgebra cualquier problema que resolviéramos ahora por procedimientos algebraicos, diríamos que 1. Conexión con la Historia su origen se pierde más allá del siglo XVIII AC. Si vamos a considerar como Álgebra el primer esfuerzo Desde hace mucho tiempo, los chinos utilizaban sería por tratar de encontrar un lenguaje y un bastoncillos de bambú o de madera para representar simbolismo algebraico aunque muy imperfectos; los números y realizar, en todavía diríamos que su origen está alrededor del especial, cálculos comerciales siglo III D.C. Pero, el álgebra como generalización de una manera práctica, de la Aritmética – tal como lo consideraba Newton pero también para tratar ya como sistema orgánico de expresión simbólica y cuestiones relacionadas con los de gran perfección operatoria; sólo podemos aumentos y disminuciones de encontrarla recién en las cercanías del siglo XVII D.C. magnitudes, o con distancias recorridas en 2. ALJUARIZMI. (Siglo IX) sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades Dio a la incógnita el nombre de ‘‘XAI’’, cuyo positivas o negativas. significado en árabe es «cosa» con el tiempo en vez Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan de la palabra también el uso de números negativos para tratar este ‘‘XAI’’, se uso abreviadamente su inicial ‘‘X’’. Para tipo de problema. Los antiguos griegos, por el representar a la incógnita la cual se consagró a contrario, rechazaron que pudieran existir tales través de los siglos. números. 3. El Origen de la Palabra Álgebra. El matemático árabe Abuadala Mohamed Ibn Musa, más comúnmente llamado ALJUARIZMI, después de estudiar en la India y asimilar la ciencia hindú escribe su famoso libro ‘‘Al' Djabr W' Al Mukabala’’ que quiere decir ‘‘transposición y reducción de términos semejantes’’. Al principio esta nueva disciplina se designó con el nombre completo de la obra de Aljuarizmi, pero ya en el siglo XVI se suprimía la segunda parte para llamarle simplemente ‘‘Al' djabr’’ o sea Álgebra, a la Teoría de las Ecuaciones. Nota: Aljuarizmi se le considera padre del Álgebra 4. Aportes griegos Diofanto llego a resolver perfectamente los sistemas de ecuaciones que tienen más ecuaciones que incógnitas y consideraba solamente las soluciones positivas, aún cuando no ignoraba la existencia de soluciones negativas, tuvo verdadera predilección por las ecuaciones indeterminadas. Diofanto inicia el verdadero simbolismo, el método analítico en la resolución de los problemas, la Organización Educativa TRILCE

En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas. El alemán Michael Stifel (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos ( - ) para designar la resta; de hecho, los signos "+" y "-" estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades ne ga ti va s co mo c or re sp on di en te s a nú me ro s matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.

5

H is to ri a del álgebr a - nú mero s en tero s

6

Primer Año de Secundaria

ÁLGEB RA En la matemática actual el conjunto de los números enteros abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales). 2 . P o si ti v o s q u e n o A l c a n z a n

2 , 3 , 4 . . . . . . . } Luego, necesitó expresar con cifras el conjunto vacío, es decir, identificar que no había nada, no quedaba nada o no faltaba nada. Entonces, apareció el 0, y formó así otro conjunto numérico, el de los números cardinales: N o = { 0 ,

Para el ser humano es importante contar lo que tiene, lo que quiere, lo que necesita, lo que comparte, lo que da. Esa fue la razón que tuvo para crear números y formó el conjunto de los números naturales:

1 , 2 , 3 ,

¿ C ó mo i n d i ca r t e mp e r a t u ra s b a jo 0 ? ¿ C óm o diferenciar altura y profundidades de la Tierra? ¿Cómo expresar que quedó debiendo algo? a) Si un día oímos decir que la temperatura en Puno es de cuatro grados, nos quedará la duda de si se trata de cuatro grados bajo cero o sobre cero. Para expresar cuatro grados sobre cero se escribe +4° y bajo cero 4°.

b) Las fechas referidas a la Era Cristiana: El año -450 significa el año 450 antes de Cristo y el año +180 significa el año 180 después de Cristo. Positivos y Negativos en la línea del tiempo. a)

Las cantidades de dinero que posee o que gana una persona se consideran positivas, y las cantidades que debe, gasta o paga se consideran negativas. SENTIDO NEGATIVO SENTIDO POSITIVO

Nacimi de Cri

450 Antes

Eladio ha ganado 1800 soles se escribe: +1800 soles. Pedro ha gastado 4600 soles se escribe: - 4600 soles. POSITIVOS Y NEGATIVOS EN EL DEBE Y EN EL HABER.

4

N

. . . }

= { 1 ,

numéricos, resolvió operaciones: agregó, quitó, dividió, multiplicó. Sin embargo, se le presentaron otros problemas:

Contando con estos conjuntos

Organización Educativa TRILCE

Debe () Ganancia de Eladio Gasto de Pedro

 4600

Hay magnitudes que varían en dos sentidos. Por convenio diremos

7

H is to ri a del álgebr a - nú mero s en tero s que uno es positivo y el otro negativo.

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Primer Año de Secundaria

ÁLGEB RA

Organización Educativa TRILCE

9

H is to ri a del álgebr a - nú mero s en tero s Los números positivos son mayores que cero. Se escriben precedidos por el signo más ( + ) e indican:       

Los números negativos son menores que cero. Se escriben precedidos por el signo menos ( - ) e indican:

Hacia la derecha. Hacia delante. Al norte del Ecuador. Tiempo posterior al despegue. Sobre el nivel del mar. Temperatura sobre cero. Tengo dinero.

      

Hacia la izquierda. Hacia atrás. Al sur del Ecuador. Tiempo anterior al despegue. Bajo el nivel del mar. Temperatura bajo cero. Debo dinero.

Para expresar las cantidades positivas se utilizan los números naturales con el signo ( + ). Para expresar las cantidades negativas se utilizan los números naturales con el signo menos ( - ). 3. Conjunto de los Números Enteros Para indicar si un objeto se encuentra a la derecha o a la izquierda de un punto de referencia, podemos indicar con un signo «+» si está hacia la derecha y con un signo "-" si se ubica hacia la izquierda. De ésta forma obtenemos dos conjuntos:

Z  Conjunto de números negativos.

+ Z  Conjunto de números positivos. -

+

-

0 +1 +2 +3 +4 +5

+ -5 -4 -3 -2 -1 0

El conjunto formado por los números positivos, los números negativos y el cero se llama conjunto de números enteros. ZZ = {.....-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, .....}

-

+ -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2

1 0

+4

Primer Año de Secundaria

4. Valor Absoluto de un Número Entero Se llama valor absoluto de un número entero al número cardinal que resulta de prescindir su signo, también se le considera como la distancia del número dado al cero. El valor absoluto de un número se expresa encerrando este número entre dos barras. El valor absoluto de +5 es 5, y se escribe |+5| = 5. El valor absoluto de –6 es 6, y se escribe |–6| = 6. El valor absoluto de

0 es 0, y se escribe | 0 | = 0.

NOTA: Al valor absoluto también se le llama módulo. 5. El Opuesto de un número entero. El opuesto de un número entero es el número que tiene el mismo valor absoluto, pero diferente signo; por ejemplo: El opuesto de +8 es –8 El opuesto de –15 es + 15 -49 y +49 son números opuestos. NOTA: Definimos el opuesto de "n" como op(n) = -n 6. Relación de Orden en Z Z es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores que otros. Un número entero es menor que otro, si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica; y es mayor, cuando está a su derecha. Analicemos los siguientes ejemplos: • Ordenaremos de menor a mayor +7, -6, +4 y -2 en la recta numérica, a partir del 0. Así, tenemos que: -

+

-7

-6

-5 -4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+4 +5 +6 +7 +8

El número menor es -6, porque es el que está más a la izquierda; luego viene el -2, el +4 y el +7. En símbolos queda: -6 < -2 < +4 < +7. • En el siguiente ejemplo, ordenaremos de mayor a menor -1, +2, +5, 0 y -3. Tenemos: +

- -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+4 +5 +6 +7 +8

El número mayor es +5 y el menor es -3. Nos queda: +5 > +2 > 0 > -1 > -3

CONCLUSIONES ÚTILES Analizando los ejemplos anteriores, podemos sacar algunas conclusiones muy importantes. Estas nos servirán : p

* * * *

a

r

a

o

r

d

e

Todo Todo Todo Todo

n

a

r

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ú

m

número número número número

e

r

o

s

e

entero entero entero entero

n

t

e

r

o

s

s

i

n

d

i b

u

j

a

r

l a

r

e

c

t

a

n

u

m

é

r

i c

a

positivo es mayor que 0. positivo es mayor que cualquier número entero negativo. negativo es menor que 0. negativo es menor que cualquier entero positivo.

Ejemplos: a) +7 > +2 d) –45 > –72

b) +87 > +54 e) +51 > 0

c) –5 > –9 f) 0 > –6

 Entre enteros positivos, es mayor el que tiene un valor absoluto mayor. Por ejemplo, si ordenamos +40, +9, +300 de mayor a menor, tenemos que: el mayor valor absoluto lo tiene 300, luego sigue 40 y finalmente 9. Entonces decimos: +300 > +40 > +9 Mientras más lejos de 0 esté un número entero positivo, su valor es mayor, porque está más a la derecha.

En los enteros negativos sucede lo contrario; mientras más lejos de 0 esté un número, su valor es menor, porque está más a la izquierda en la recta numérica. Esta conclusión nos permite determinar que en los enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto. Por ejemplo, ordenaremos de menor a mayor -40, -9, -300. El menor es -300, porque tiene el valor absoluto mayor, le sigue -40 y luego -9. -300 < -40 < -9

ANTECESOR

Y

SUCESOR

Otra característica que presenta un conjunto numérico ordenado es que cada número tiene antecesor y sucesor. Para cualquier número, es antecesor el que se ubica inmediatamente a la izquierda de él y es sucesor, el que está inmediatamente a su derecha. Observa:

Número -

+

Antecesor

8

7

Antecesor

6

5

4

Sucesor Número

3

2

Sucesor

1

0

+1 +2 +3 +4

+5 +6 +7

Antecesor

Sucesor Número

Test de Aprendizaje Efectuar los siguientes ejercicios 1. |+7| =

2. |-8| =

3. |0| =

4. |-15| =

5. |20| =

6. op (+3) =

7. op (-5) =

8. op (op (-20)) =

9. op (op (5)) =

10. |op (-100)| =

10

Primer Año de Secundaria

Practiquem os

Organización Educativa TRILCE

11

b) ¿Qué número esta más alejado del origen?

Nivel I

b) Richard

1. ¿Cuál es el número entero que separa los números positivos de los negativos?

tiene una

S/. 3219. c)

7 ; +1 ; 0 ; –13 ;

2. ¿Cuál es el número opuesto a –20?

El año 1243

+8 ; +6 ; –11 a)

antes de

¿Cuál es el

cristo.

número más

3. ¿Cuál es el opuesto de 30? 4. Si ‘‘x’’ es un número entero; ¿qué valor puede tomar ‘‘x’’ de modo que: 2 < x < 4? 5. Responde las siguientes preguntas: a) Si: 32 grados sobre cero son representados por +32º C. ¿Cómo se representa 5º bajo cero? b) Si: 20 puntos ganados se representa por +20 puntos. ¿Cómo se representa 9 puntos perdidos? c) Si Elena deposita S/. 5000 en su cuenta de ahorros, se representa por +5000 nuevos soles. ¿Cómo se representa un retiro de S/. 600? 6. Expresa con números enteros: a) Un submarino se encuentra 85m bajo el nivel del mar.

12

9.

Representa en una recta numérica los siguientes números:

ganancia de

7. Contesta las siguientes preguntas: a) Si: 12m bajo el nivel son indicados por – 12m. ¿Cómo se puede indicar 35m sobre el nivel del mar? b) Si: 25m a la izquierda son indicados por –25m. ¿Cómo pueden indicarse 45m a la derecha? c) Si: 3 pisos abajo son indicados por –3 pisos. ¿Cómo puede indicarse 5 pisos para arriba? 8. Representar en una recta numérica los siguientes números:

+4 ; –6 ; –5 ; –

cercano a – 3? b) ¿Qué número esta más alejado de –3? 10.Ordena los siguientes números de mayor a menor. –6 ; +8 ; –4 ; +12 ; 0 ; – 1 ; +15 ; –100 ; +23 ; – 16 Nivel II 11. Completa: a )

| + 4 |

=

+4 ; –7 ; +9 ; – 5 ; +11 ; –6 ; 8 ; –15 ; +6 ; –2 a) ¿Cuál es el

| – 4 |

número más próximo al origen?

=

b Primer Año de Secundaria

)

< x

|