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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINÍ EN EL ESTADO DE CAMPECHE

Comportamiento Mecánico de los materiales

Dr. Emilio Pérez Pacheco

APORTACIÓN DE LA ASIGNATURA AL PERFIL DEL EGRESADO

Proporciona los elementos y fundamentos necesarios para:  Evaluar e interpretar las propiedades mecánicas de los diferentes materiales utilizados en ingeniería.  Analizar el comportamiento mecánico de los materiales.  Seleccionar el material adecuado, en relación a sus propiedades mecánicas y en función de su aplicación.  Predecir la falla de los materiales cuando son sometidos a la acción de cargas.

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Objetivo General El alumno comprenderá y predecirá el comportamiento mecánico de los materiales, mediante la teoría de la elasticidad, plasticidad y en las técnicas de evaluación de las propiedades mecánicas para los diferentes materiales.

Temario Unidad I. Fundamentos del comportamiento mecánico de los

materiales. Unidad II. Teoría de la elasticidad. Unidad III. Teoría de la plasticidad. Unidad IV. Tribología. Unidad V. Ensayos mecánicos. Unidad VI. Mecánica de fractura. Unidad VII. Análisis de falla.

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Bibliografía recomendada 1. Hibbeler, R. C. Mecánica de Materiales. Prentice Hall, Tercera edición. 2. Dieter, George E. Mechanical Metallurgy. McGraw –Hill, Third edition, Series in Materials Science and Engineering. 3. Popov, Egor P. Mecánica de Materiales. LIMUSA, Segunda edición. 4. Callister, William D. Introducción a la Ciencia e Ingeniería de los Materiales. Reverté, S. A. 5. Askeland, R. Donald y Phulé, Pradeep P. Ciencia e Ingeniería de los Materiales. Thomson Editores, Cuarte edición. 6. Mangonon, Pat L. Ciencia de los Materiales: Selección y Diseño. Prentice – Hall.

Evaluación

20% 20%

Examen Departamental

60%

Trabajo Documental

Participación

3

Criterio de evaluación Trabajo Documental La forma de evaluación correspondiente al 20 % de Trabajo Documental es: 1) Resolución de ejercicios extraclase 15% 2) Participación en clase 5%

Participación La forma de evaluación correspondiente al 20 % de Participación es: 1) Examen 10% 2) Examen sorpresa 10%

Examen departamental

Un requisito para presentar el examen departamental es que el alumno tenga como mínimo 80% de asistencia.

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BIMESTRE I Fundamentos del comportamiento mecánico de los materiales.

DIVISIÓN DE LOS MATERIALES

METALES

POLÍMEROS

CERÁMICOS

MATERIALES

COMPUESTOS

SEMICONDUCTORES

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¿Qué es la mecánica de materiales*?  Es la disciplina que estudia las solicitaciones internas y las deformaciones que se producen en el cuerpo sometido a cargas exteriores.  Trata del comportamiento de los cuerpos sólidos bajo la acción de fuerzas.

* Otros nombres: Resistencia de materiales, Mecánica de los cuerpos deformables

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Finalidad La Resistencia de Materiales tiene como finalidad elaborar métodos simples de cálculo, aceptables desde el punto de vista práctico, de los elementos típicos más frecuentes de las estructuras, empleando para ello diversos procedimientos aproximados. La necesidad de obtener resultados concretos al resolver los problemas prácticos nos obliga a recurrir a hipótesis simplificadas, que pueden ser justificadas comparando los resultados de cálculo con los ensayos, o los obtenidos aplicando teorías más exactas, las cuales son más complicadas y por ende usualmente poco expeditivas.

Objeto de la resistencia de materiales La resistencia de materiales tiene por objeto el estudio de sólidos deformables que por sus características de forma geométrica y forma de carga, admitan hipótesis simplificada en relación a su estado tensional y deformacional.

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Clasificación Mecánica del punto material y de los sistemas de puntos materiales Teoría de elasticidad (comportamiento elástico)

Mecánica racional

Mecánica de los cuerpos rígidos

Mecánica de los medios continuos

Mecánica de los sólidos

Teoría de la plasticidad, viscoelasticidad y viscoplasticidad (Comportamiento no elástico)

Resistencia de Materiales (Cualquier tipo de comportamiento bajo hipótesis simplificativa) Mecánica de los fluidos

División de la física

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División de la mecánica

Para conveniencia dividiremos, a groso modo, los miembros transmisores de fuerza, en tres clases:

 Elementos  Componentes  Sistemas

9

Miembros transmisores de fuerzas  La palabra elemento se refiere, generalmente, a un cuerpo pequeño de materia o una pequeña sección a través de una componente.  Una componente de un sistema estructural es un miembro aislado de dimensiones finitas.  Un sistema estructural consiste de un conjunto de componentes, unidos convenientemente por articulaciones o acoplamientos.

“La función primordial de una componente o sistema estructural es la transmisión de fuerzas o cargas.”

Clasificación de estados de carga Para miembros esbeltos un estado general de cargas se puede dividir en los siguientes estados simples:  Axial (tensión o compresión)  Transversal (cortante)  Momento (Flexión)  Torsión (Alabeo)

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Cargas en una sección aislada

(a)

(b)

Los vectores de fuerza y momento se muestran separadamente en (a) y (b), pero todos actúan simultáneamente en la misma sección transversal. Una flecha de doble punta se usa para momentos.

Cargas en una sección aislada

(a)

(b)

La fuerza Fx representa la carga axial. Cuando tal carga (tensión o compresión) actúa a través de un eje únicamente, se llama uniaxial. Al eje x se le puede considerar como eje de transmisión de las fuerzas. Las fuerzas Fy y Fz actúan normales al eje longitudinal. Tal carga se llama transversal o cortante. Estas dos fuerzas son componentes de una sola fuerza resultante transversal.

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Cargas en una sección aislada

(a)

(b)

El momento Mx produce torsión. Los momentos My y Mz producen flexión: esos momentos son componentes de un solo momento de flexión resultante.

Concepto de sólido La Mecánica teórica considera los cuerpos indeformables, ya se encuentren en estado de movimiento o de reposo. Esta propiedad no es, en el fondo, más que una abstracción, ya que no corresponde en la realidad a material alguno. Sin embargo, es de gran utilidad por la comodidad y simplificación que introduce.

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Concepto de sólido La idea de sólido que se usa con frecuencia en física y principalmente en mecánica, evoluciona a medida que se efectúa un estudio más profundo de los problemas que se derivan de la estática aplicada. Siguiendo la evolución del sólido, se realizará las tres siguientes consideraciones: Sólido rígido Sólido elástico Sólido verdadero

Concepto de sólido  Sólido rígido es aquel que ante cualquier esfuerzo (por grande que sea) a que está sometido, la distancia entre dos moléculas cualquiera permanece invariable.  Sólido elástico es aquel que ante un esfuerzo exterior se deforma y recupera su forma primitiva al cesar la causa exterior.  Sólido verdadero es aquel que resulta de considerarlo como deformable ante los esfuerzos a que esta sometido.

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Elasticidad

Photo © Vol. 10 PhotoDisk/Getty

El salto BUNGEE utiliza una larga cuerda elástica que se estira hasta que llega a una longitud máxima que es proporcional al peso del saltador. La elasticidad de la cuerda determina la amplitud de las vibraciones resultantes. Si se límite excede el elástico de la cuerda, ésta se romperá.

Propiedades elásticas de la materia Un Un cuerpo cuerpo elástico elástico es es aquel aquel que que regresa regresa aa su su forma original después de una deformación. forma original después de una deformación.

Bola de golf

Banda de goma

Balón de soccer

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Propiedades elásticas de la materia Un Un cuerpo cuerpo inelástico inelástico es es aquel aquel que que no no regresa regresa aa su su forma forma original original después después de de una una deformación. deformación.

Masa o pan

Barro

Bola inelástica

¿Elástico o inelástico?

Una colisión elástica no pierde energía. La deformación en la colisión se restaura por completo.

En una colisión inelástica se pierde energía y la deformación puede ser permanente. (Clic aquí.)

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Un resorte elástico Un resorte es un ejemplo de un cuerpo elástico que se puede deformar al estirarse. Una Unafuerza fuerza restauradora, restauradora, F, actúa en la F, actúa en ladirección dirección opuesta opuesta al al desplazamiento desplazamiento del del cuerpo cuerpo en en oscilación. oscilación.

F

x

FF == -kx -kx

Relaciones fuerza - Desplazamiento Considérese el miembro cargado axialmente con una fuerza P que actúa en tensión.

  L f  Lo Lo Lf

P



 L0



L f  L0 L0

Donde: L0= Longitud inicial Lf= Longitud final = Incremento o cambio de longitud ε= Deformación unitaria (adimensional)



P

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Ley de Hooke Experimentos realizados sometiendo ha tensión miembros estructurales han hecho ver que entre ciertos límites el alargamiento de la barra es proporcional a la fuerza extensora. Esta sencilla relación lineal entre fuerzas y deformaciones fue enunciada por primera vez por el investigador Inglés Robert Hooke en 1678. La ley de Hooke se expresa por la siguiente relación: Donde:

Pl  AE

P: Fuerza total de extensión l: Longitud de la barra A: Área de la sección transversal

: Alargamiento total de la barra E: Constante elástica del material, llamada módulo de elasticidad

Sección transversal

 l m

n

a

Pl AE

b A=(a)(b)

P Para encontrar la magnitud de las fuerzas interiores imaginemos la barra dividida en dos partes por una sección recta mn y consideremos el equilibrio de la barra. En el extremo inferior de este trozo se tiene la fuerza P. En la parte superior actúan fuerzas que representan la acción de las partículas de la parte superior de la barra cargada sobre las partículas de la parte inferior. Estas fuerzas están distribuidas de modo continuo sobre la sección recta.

σ m

n

P

17

Esfuerzos actuantes en la sección transversal

σ m

n

P

La suma de las fuerzas σ para cumplir las condiciones de equilibrio deben ser igual a la fuerza P. Recuérdese que la fuerza σ es una fuerza que actúa en un área.



P A

A esta fuerza por unidad de área se llama esfuerzo

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 

 L0

Pl AE 



L f  L0

Ley de Hooke

Deformación unitaria

L0

P A



P 1  l A E 1    E   E 

Donde: E: Módulo de elasticidad σ: Esfuerzo ε: Deformación unitaria

Ley de Hooke

Tipos de esfuerzo F

Un esfuerzo de tensión ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas se dirigen alejándose mutuamente. Un esfuerzo de compresión ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas se dirigen una hacia la otra.

W Tensión

W F Compresión

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Resumen de definiciones Esfuerzo es la razón de una fuerza aplicada F al área A sobre la que actúa: Esfuerzo 

F A

Unidades : Pa 

N m2

o

lb in 2

Deformación es el cambio relativo en las dimensiones o forma de un cuerpo como resultado de un esfuerzo aplicado:

Ejemplos: Ejemplos: Cambio Cambio en en longitud longitud por por unidad unidad de de longitud; longitud; cambio cambio en en volumen volumen por por unidad unidad de de volumen. volumen.

Esfuerzo y deformación longitudinales

L

A A

F

L

Esfuerzo 

F A

Para alambres, varillas y barras, existe un esfuerzo longitudinal F/A que produce un cambio en longitud por unidad de longitud. En tales casos:

Deformación 

 L L

20

Ejemplo 1. Un alambre de acero de 10 m de largo y 2 mm de diámetro se une al techo y a su extremo se une un peso de 200 N. ¿Cuál es el esfuerzo aplicado? Primero encuentre el área del alambre:

L L

Esfuerzo 

A A

F

A

 D2 4



 (0.002 m) 2 4

A = 3.14 x 10-6 m2

F 200 N  A 3.14 x 10 6 m 2

Esfuerzo 6.37 x 107 Pa

Ejemplo 1 (Cont.) Un alambre de acero de 10 m se estira 3.08 mm debido a la carga de 200 N. ¿Cuál es la deformación longitudinal?

Dado: L = 10 m; L = 3.08 mm L L

Deformació n 

L 0.00308 m  L 10 m

Deformación longitudinal 3.08 x 10-4

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El límite elástico El límite elástico es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede experimentar sin quedar deformado permanentemente.

2m

2m

F

F Esfuerzo  A

Bien

W

W W

Más allá del límite

Si el esfuerzo supera el límite elástico, la longitud final será mayor que los 2 m originales.

Resistencia a la rotura La resistencia a la rotura es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede experimentar sin romperse. 2m

F Esfuerzo  A

F

W

W W

W W

Si el esfuerzo supera la resistencia a la rotura, ¡la cuerda se rompe!

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Ejemplo 2. El límite elástico para el acero es 2.48 x 108 Pa. ¿Cuál es el peso máximo que puede soportar sin superar el límite elástico? Recuerde: A = 3.14 x 10-6 m2 L

A A

F

Esfuerzo 

F  2.48 x 108 Pa A

F = (2.48 x 108 Pa) A

L

F = (2.48 x 108 Pa)(3.14 x 10-6 m2)

FF == 779 779 N N

Ejemplo 2 (Cont.) La resistencia a la rotura para el acero es 4089 x 108 Pa. ¿Cuál es el peso máximo que puede soportar sin romper el alambre? Recuerde: A = 3.14 x 10-6 m2 L L

A A

F

Esfuerzo 

F  4.89  10 8 Pa A

F = (4.89 x 108 Pa) A

F = (4.89 x 108 Pa)(3.14 x 10-6 m2)

FF == 1536 1536 N N

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Reacciones en los soportes

Ejercicio1. Una barra prismática con sección transversal rectangular (20 x 40 mm) y longitud L= 2.8 m está sometida a una fuerza de tensión axial de 70 KN, como se muestra en la figura. El alargamiento medido de la barra es de 1.2 mm. Calcular los esfuerzos de tensión y la deformación unitaria de la barra.

2.8 m

87.5 MPa, 429x10-6

24

Ejercicio. Se realiza una prueba de tensión sobre un espécimen de latón de 10 mm de diámetro y se utiliza una longitud calibrada de 50 mm (ver figura). Al aplicar una carga P=25 KN se aprecia que la distancia entre marcas de calibración se incrementa en 0.152 mm. Calcular el módulo de elasticidad del latón.

105 GPa

Diagramas Esfuerzo-Deformación Las propiedades mecánicas de los materiales usuales en ingeniería se determinan mediante pruebas efectuadas sobre muestras pequeñas del material. Acero

Material compuesto fibra de carbón

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Diagramas Esfuerzo-Deformación

Propiedades de los materiales  Esfuerzo último a la tensión (u). Es el esfuerzo correspondiente a la carga máxima alcanzada en la prueba a tensión.  Límite de proporcionalidad (p). Es el esfuerzo para el cual la deformación deja de ser proporcional al esfuerzo (el límite de la parte recta del diagrama).  Esfuerzo de fluencia (r). El esfuerzo determinado para alguna deformación permanente arbitraria. El esfuerzo de fluencia, más comúnmente usado, es el determinado por la línea paralela a la línea elástica que pasa por una deformación de 0.002. El límite de fluencia representa un límite práctico superior para el esfuerzo real desarrollado en una estructura.

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Propiedades de los materiales  Elongación. La deformación total normal que ocurre a la falla (es medida generalmente como la deformación total permanente después de la falla). La elongación se especifica comúnmente como un por ciento y se considera una medida de la ductilidad del material.

 Ductilidad. Son materiales que soportan grandes deformaciones plásticas antes de su falla.  Módulo de elasticidad o Módulo de Young (E). La relación de esfuerzodeformación, en el rango elástico. La cantidad E se puede considerar como la pendiente de la porción recta del diagrama esfuerzo-deformación. Es

una medida de la resistencia que opone un material a la deformación.

E

 

Los materiales, en su totalidad, se deforman a una carga externa. Se sabe además que, hasta cierta carga límite el sólido recobra sus dimensiones originales cuando se le descarga. La recuperación de las dimensiones originales al eliminar la carga es lo que caracteriza al comportamiento elástico. La carga límite por encima de la cual ya no se comporta elásticamente es el límite elástico. Al sobrepasar el límite elástico, el cuerpo sufre cierta deformación permanente al ser descargado, se dice entonces que ha sufrido deformación plástica. El comportamiento general de los materiales bajo carga se puede clasificar como dúctil o frágil según que el material muestre o no capacidad para sufrir deformación plástica. Los materiales dúctiles exhiben una curva Esfuerzo - Deformación que llega a su máximo en el punto de resistencia a la tensión. En materiales más frágiles, la carga máxima o resistencia a la tensión ocurre en el punto de falla.

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Equipo de pruebas universales Con el fin de que los resultados de las pruebas se comparen fácilmente, el tamaño de las muestras y los métodos de aplicación de las cargas se tendrán que uniformar. Una de las principales organizaciones de estandarización es la Sociedad Americana de Pruebas y Materiales ASTM, por sus siglas en ingles: American Standards Association

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Estricción de una barra en tensión P

P

En la cercanía del esfuerzo último, la disminución del área se aprecia claramente y ocurre un estrechamiento pronunciado de la barra, conocido como estricción.

Endurecimiento por deformación Después de sufrir las grandes deformaciones que se presentan durante la fluencia, el acero empieza a mostrar un endurecimiento por deformación. Durante este proceso, el material sufre cambios en su estructura cristalina y atómica, lo que origina un incremento en la resistencia del material a futuras deformaciones.

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Relación de Poisson Cuando una barra prismática se carga a tensión, el alargamiento axial va acompañado de una contracción lateral (perpendicular a la dirección de la carga aplicada)

P

P

La deformación (unitaria) lateral es proporcional a la deformación axial en el margen elástico lineal, siempre y cuando el material sea homogéneo e isótropo.

El cociente de la deformación en dirección lateral entre la deformación en dirección axial se conoce como relación de Poisson y se denota por la letra griega  (nu); entonces:

= -

deformación transversal deformación longitudinal

 transversal   longitudinal

30

Ejercicio. Una barra prismática de sección transversal circular se carga con fuerzas a tensión P= 85 KN, tal como se ilustra en la figura. La barra tiene una longitud L= 3.0 m y un diámetro d= 30 mm. Esta hecha de aluminio con un módulo de elasticidad E= 70 GPa y un módulo de Poisson = 1/3. Calcular el alargamiento , la disminución del diámetro Δd. P

P

30 mm

L=3.0 m

5.14 mm; 0.0171

Ejercicio. Los datos de la tabla anexa se obtuvieron de una prueba tensión de un espécimen de aleación de aluminio. Grafique los datos y luego determine el módulo de elasticidad E y el límite de proporcionalidad para la aleación.

10700 MPa; 60 MPa

Esfuerzo (MPa)

Deformación

8

0.0006

17

0.0015

27

0.0024

35

0.0032

43

0.0040

50

0.0046

58

0.0052

62

0.0058

64

0.0062

65

0.0065

67

0.0073

68

0.0081

31

Resistencia a la tensión (MPa)

70 60 50 40 30 20 10 0 0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

Deformación

Ejercicio. Una barra redonda de 1.5 plg de diámetro se carga en tensión con una fuerza P, tal como se ilustra en la figura. Se mide la variación en el diámetro y resulta 0.0031 plg. Se supone E= 400000 psi y = 0.4. Determinar la fuerza axial P en la barra. 1.5 Plg

P

P

3650 lb

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 Trans 

D0  D f 0.0031in  1.5in D0

 Trans  2.066 x10 3  Trans  Trans 2.066 x10 3     Long     5.166 x10 3  Long  0.4   E  4000005.166 x10 3   2066lb / in 2 







F  F  A  2066lb / in 2 1.7671in 2  3650.8lb A

Ejercicio. Al probar a compresión un cilindro de concreto (ver figura), el diámetro original de 6 plg se incrementó en 0.0004 plg y la longitud original de 12 plg se redujo en 0.0065 plg bajo la acción de la carga de compresión P= 52000 lb. Calcular el módulo elástico y el módulo de Poisson . P

12 plg

3.4 x 106 psi; = 0.12

6 plg

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Un tubo de acero de L= 40 pies de longitud, diámetro externo d2= 6 pulg y diámetro interno d1= 4.5 pulg se comprime con una fuerza axial P= 140 Klb, tal como se ilustra en la figura. El módulo de elasticidad del material es E= 30,000 Klb/pulg2 y la relación de Poisson es 0.30. Determinar el acortamiento de la barra. P

L

-0.18 pulg

d1 d2

Una barra homogénea AB (de 1000 Kg. de masa) pende de dos cables AC y BD, cada uno de los cuales tiene un área transversal de 400 mm2, como se observa en la figura. Determine la magnitud de P, así como la ubicación de la fuerza adicional máxima que se puede aplicar a la barra. Los esfuerzos en los cables AC y BD tienen un límite de 100 MPa y 50 MPa, respectivamente.

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Esfuerzo cortante Hasta ahora se han descrito los efectos de esfuerzos normales producidos por cargas axiales que actúan sobre barras rectas. Estos esfuerzos se llaman esfuerzos normales porque actúan en direcciones perpendiculares a la superficie del material. Existen otra clase de esfuerzos, llamado esfuerzo cortante, esfuerzo de corte o esfuerzo de cizallamiento, que actúa en dirección tangencial a la superficie del material.

P

P

Esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante Como ilustración de los esfuerzos cortantes, se examinará la conexión atornillada de la figura. Esta conexión consiste de una barra plana A, una horquilla C, y un tornilla B que pasa por barrenos en la barra y en la horquilla. Por la acción de las cargas de tensión P, la barra y la horquilla oprimen al tornillo en compresión y se desarrollan los esfuerzos de contacto, llamados esfuerzos de compresión. Además, la barra y la horquilla tienden a cortar o cizallar el tornillo, y los esfuerzos cortantes resisten esa tendencia.

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Esfuerzos cortantes En la figura se observa que hay una tendencia a cortar el tornillo en los cortes transversales mn y pq. También se observa que sobre las superficies de corte del tornillo actúan las fuerzas cortantes V. Existen dos planos de corte (mn y pq), por lo que se dice que el tornillo esta bajo doble cortante. En el doble cortante, cada una de las fuerzas cortantes es igual a la mitad de la carga transmitida por el tornillo, esto es:

V

P 2

Las fuerzas cortantes V son las resultantes de los esfuerzos cortantes distribuidos sobre el área transversal del tornillo.

Esfuerzos cortantes En la figura se observa una conexión atornillada en corte simple, en donde la fuerza axial P en la barra metálica se transmite a la brida de la columna de acero a través de un tornillo. Un corte transversal de la columna muestra con más detalle la conexión. De la misma manera, en un esquema de tornillo se ve la distribución supuesta de los esfuerzos de carga que actúan sobre el tornillo.

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Esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante El esfuerzo cortante promedio sobre el área transversal de un tornillo se obtiene dividiendo la fuerza total de corte V entre el área A de la sección transversal sobre la cual actúa, como sigue:

 prom 

V A

Donde: V = Fuerza Cortante A = Área  = Esfuerzo de corte

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Ley de Hooke en Corte Sometemos a un estado de cortadura pura una zona rectangular de un material determinado. Medimos los esfuerzos cortantes () y las deformaciones angulares () que se producen, y las representamos gráficamente.

En la zona lineal se cumple:

   G

(G= cte.)

G = Modulo de elasticidad en (o al) corte (llamado también módulo de rigidez o coeficiente de rigidez

G

E 21   

Ejercicio: Si se requiere una fuerza P= 110 KN para realizar un agujero, ¿Cuál es el esfuerzo cortante promedio en la placa y el esfuerzo de compresión promedio en el punzón?

= 218.8 MPa; = 350 MPa

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Ejercicio: Una placa de apoyo de las que se usan para soportar máquinas y vigas de puente consiste en un material linealmente elástico (por lo general un elastómero, como hule) recubierto de una placa de acero (ver figura). Suponer que el espesor del elastómero es h, las dimensiones de la placa son a x b, y que la placa de apoyo esta sujeta a una fuerza cortante horizontal V. Deducir las formulas de esfuerzo cortante promedio, prom, en el elastómero, y el desplazamiento horizontal d de la placa (ver figura (b)).

La masa de una barra homogénea AB mostrada en la figura es de 2000 Kg. La barra esta apoyada mediante un perno en B y mediante una superficie vertical lisa en A. Determine el diámetro del Perno mas pequeño que puede usarse en B si su esfuerzo cortante esta limitado a 60 MPa.

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La palanca acodada que representa la figura esta en equilibrio: a) Determine el diámetro de la barra AB si el esfuerzo normal está limitado a 100 MN/m2. b) Determine el esfuerzo cortante en el pasador situado en D, de 20 mm de diámetro.

Factor de seguridad Si se tiene que evitar una falla estructural, las cargas que una estructura es capaz de soportar deben ser mayores que las cargas a las que se va a someter cuando esté en servicio. Como la resistencia es la capacidad de una estructura para resistir cargas, el criterio anterior se puede replantear como sigue: “la resistencia real de una estructura debe ser mayor que la resistencia requerida.” La relación de la resistencia real entre la resistencia requerida se llama factor de seguridad n:

Factor de seguridad n =

Resistencia real Resistencia requerida

El factor de seguridad debe ser mayor a 1 para evitar la falla

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Esfuerzos sobre secciones inclinadas En las explicaciones previas de tensión y compresión en una barra únicamente se consideraron los esfuerzos normales que actúan sobre secciones transversales, tales como la sección transversal mn de la barra AB mostrada en la figura. Ahora se revisarán los esfuerzos que actúan en secciones inclinadas respecto al eje tal como la sección pq.

Esfuerzos sobre secciones inclinadas Para iniciar el estudio cabe recordar que los esfuerzos normales que actúan sobre secciones transversales, tales como la sección mn pueden calcularse a partir de la formula:



P A

Una forma conveniente de representar los esfuerzos en la barra es aislar un pequeño elemento del material, tal como el elemento C y luego indicar los esfuerzos que actúan sobre todos los lados de este elemento. Nos referiremos a tal elemento como elemento esforzado. El elemento esforzado del punto C tiene la forma de un paralelepípedo rectangular y su cara derecha (o sea la cara x positiva) esta en la sección transversal mn.

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Esfuerzos sobre secciones inclinadas Desde luego, se supone que las dimensiones de un elemento esforzado son infinitesimalmente pequeñas, pero por claridad se dibujará el elemento amplificado. Las aristas del elemento son paralelas a los ejes x, y y z y los únicos esfuerzos que actúan en el elemento son los esfuerzos normales sobre la caras x, designado por x. Por conveniencia, a menudo se usará solo un esquema bidimensional del elemento, como el mostrado en la figura.

Esfuerzos sobre secciones inclinadas La sección inclinada pq se corta a través de la barra a un ángulo  entre el eje x y la normal al plano. Así, la sección transversal mn tiene un ángulo  igual a cero, y una sección longitudinal tendría un ángulo  igual a 90° o /2 radianes. Ya que todas las partes de las barras tienen las mismas deformaciones axiales, los esfuerzos que actúan sobre la sección pq deben ser uniformemente distribuidos. La resultante de estos esfuerzos debe ser una fuerza de igual magnitud que la fuerza P a fin de mantener el equilibrio de la porción izquierda de la barra. Esta resultante puede resolverse en dos componentes, una fuerza normal N y una fuerza cortante V, que son normal y tangencial respectivamente, al plano inclinado pq.

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Esfuerzos sobre secciones inclinadas Estas componentes son:

N  P cos  V  Psen Con las fuerzas N y V se relacionan los esfuerzos normales  y los esfuerzos cortantes , respectivamente, que se distribuyen uniformemente sobre la sección inclinada. Estos esfuerzos se muestran cuando actúan en sus direcciones positivas; esto es,  es positivo en tensión, y  es positivo cuando tiende a producir un giro del material en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Esfuerzos sobre secciones inclinadas

Considérese el equilibrio del elemento esforzado en el punto D de la figura. El elemento tiene forma de cuña con una de sus caras a lo largo de la sección inclinada pq.

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Esfuerzos sobre secciones inclinadas En la figura se muestra una ampliación del punto D, con los esfuerzos  y  que actúan sobre la cara inclinada y el esfuerzo x actuando en la cara del lado izquierdo. Para obtener  y  se considerará el equilibrio del elemento.

El área de la sección cortada es:

A0 

A cos 

Esfuerzos sobre secciones inclinadas La fuerza normal es:

P cos  N P cos  P 1    cos 2    A A A0 A cos  cos  

 

P cos 2    x cos 2  A

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Esfuerzos sobre secciones inclinadas

La fuerza cortante es:

Psen V Psen P   1   sen cos       A A A0 A cos  cos  

  

P sen cos    x sen cos  A

Cambios de longitud de barras no uniformes

Cuando una barra prismática de un material linealmente elástico se carga sólo en los extremos, se determina su cambio de longitud con la ecuación =PL/EA. Ahora, se analizará como se aplica esta ecuación a casos más generales

45

Barras con cargas axiales indeterminadas Supóngase que una barra prismática se carga con una o más cargas axiales que actúan en puntos intermedios, a lo largo del eje. Se determina el cambio de longitud de esta barra sumando algebraicamente los alargamientos y acortamientos de los segmentos individuales. El procedimiento es como sigue: Identificar los segmentos de la barra (segmentos AB, BC y CD) Determinar las fuerzas axiales internas, N1, N2, y N3 en los segmentos 1, 2 y 3, respectivamente, a partir de los diagramas de cuerpo libre. Obsérvese que las fuerzas axiales internas se representan con la letra N, para diferenciarlas de las cargas externas P. Si se suman las fuerzas en dirección vertical, se obtendrán las siguientes ecuaciones de las fuerzas axiales:

N1   PB  PC  PD N 2  PC  PD N 3  PD

Esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante Hasta ahora se han analizado situaciones en donde intervienen esfuerzos normales producidos por cargas axiales que actúan sobre barras rectas. Estos esfuerzos se llaman “esfuerzos normales” porque actúan en direcciones perpendiculares a la superficie del material

P

P

Compresión

P

P

Tensión

46

Análisis de fuerzas internas Considérese un material sólido de forma cualquiera en el que actúan una serie de fuerzas, tal como se ilustra en la figura. En mecánica, se determinaría la resultante de las fuerzas aplicadas para averiguar si el sólido se encuentra o no en equilibrio. Si la resultante es nula existe equilibrio estático, condición que, en general debe existir en las estructuras.

F1

F3

F2 F4

Análisis de fuerzas internas Y

F1

Pxy

O

F2

Pxx

X

Pxz Z

La resistencia de materiales estudia la distribución interna de esfuerzos que produce un sistema de fuerzas exteriores aplicada. Para ello, se suele hacer un corte ideal en el sólido por una sección de exploración, buscando que fuerzas deben actuar en esta sección para mantener el equilibrio del cuerpo en cada una de las dos partes en que ha quedado dividido el cuerpo. En general, el sistema de fuerzas internas equivale a una fuerza y un par resultantes que, por conveniencia, se descomponen según la normal y la tangente a la sección como se ilustra en la figura.

47

Y

F1

Pxy

O

Pxx

X

Pxz

F2

Z

Pxx = Fuerza axial (σ). Esta componente corresponde a la acción de tirar (o de empujar)

Pxy, Pxz

sobre la sección. Tirar (o jalar) representa una fuerza de extensión o tracción que tiende a alargar el sólido, mientras que empujar representa una fuerza de compresión que tiende a acortarlo. = Fuerzas cortantes (). Son componentes de la resistencia total al deslizamiento de la porción del sólido a un lado de la sección de exploración respecto de la otra porción.

Y y

yz x

xz xy

Esfuerzos normales yx

zy

xy

x zx

xz

X

z Z

Esfuerzos Cortantes

1. Los esfuerzos cortantes sobre las caras opuestas (y paralelas) de un elemento son de igual magnitud y de dirección opuesto. 2. Los esfuerzos cortantes sobre las caras adyacentes (y perpendiculares) de un elemento son de igual magnitud y sus direcciones son tales que ambos esfuerzos apuntan se alejan de la línea de intersección de las caras.

48



q

p 



 

 s

 2

2

r 



Debido a las deformaciones cambian los ángulos entre las caras laterales. los ángulos en los puntos q y s que eran /2 antes de la deformación, se reducen en un ángulo  pequeño a /2 - . Al mismo tiempo, los ángulos de los vértices p y r aumentan /2 + . El ángulo gamma es una medida de la distorsión, o cambio de forma del elemento, y se llama deformación unitaria cortante. Cómo es un ángulo, se suele medir en grados o radianes.

 

Los esfuerzos normales se denotan por:

Y y

yz x

xz xy

Esfuerzos normales yx

zy

xy

x zx

xz

X

z Z

i (i =x, y, z) en donde el índice i indica el eje el cual son paralelos y se les asigna el signo positivo si son de tensión y negativo si son de compresión. Los esfuerzos tangenciales se representan por:

ij (ij = x, y, z); i≠j Esfuerzos Cortantes

El primer índice i indica la dirección normal al plano en que actúa y el segundo j la dirección del eje al cual es paralela.

49

Y y

yz x

xz xy

Esfuerzos normales yx

zy

xy

Planteando el equilibrio de fuerzas que actúan sobre este paralelepípedo y despreciando las fuerzas de volumen si existen se obtiene que:

x zx

xz

X

z Z

Esfuerzos

 yz   zy ; zx   xz ; xy   yx Estas igualdades expresan el llamado teorema de reciprocidad de los esfuerzos tangenciales

Cortantes

Materiales Poliméricos

50

¿Qué es un polímero? Una definición general de polímero es: a cualquier sustancia natural o sintética que posee un alto peso molecular, comúnmente superior a 10000, se le da el nombre de sustancia macromolecular o polímero.

Etimológicamente la palabra polímero esta constituida por las raíces griegas poli, que significa muchos, y mero, que significa parte; es decir, los polímero son moléculas de alto peso molecular integradas por muchas partes o elementos unidos por enlaces covalentes.

Monómero

51

¿Cómo se hace un polímero? Se realiza a través de una polimerización que es un proceso mediante el cual se unen moléculas orgánicas formando moléculas gigantes.

Grado de Polimerización Es el número de unidades de repetición dentro de la cadena. Se calcula como:

Grado de polimerización =

Peso molecular del polímero Peso molecular de la unidad de repetición

52

¿Cómo se clasifican los polímeros? Los polímeros pueden clasificarse de diferente manera: En función de su origen Por su comportamiento térmico-mecánico Por su composición química Por su relación producción-costo En su estructura

Por su comportamiento térmico-mecánico Termoplástico Son aquellos materiales que pueden suavizarse, procesarse y reprocesarse mediante la aplicación de temperatura y presión, lo que permite darles la forma deseada.

Termofijos Son aquellos materiales que no se transforman con la aplicación de calor y presión, ya que tienen estructuras reticulares que no se modifican por estos medios. En consecuencia, estos polímeros deben formarse durante el proceso de polimerización.

53

Elastomeros

 Los elastómeros, incluyendo el caucho, tienen una estructura intermedia, en la cual se permite que ocurra una ligera formación de enlaces cruzados entre las cadenas. Los elastómeros tienen la capacidad de deformarse elásticamente en grandes cantidades sin cambiar de forma permanentemente.

Comparación de las tres clases de polímeros

54

Polímeros cristalinos vs polímeros amorfos

Todos los materiales sólidos pueden clasificarse de acuerdo a su estructura molecular en cristalinos y amorfos.

En los sólidos cristalinos, las moléculas se encuentran ordenadas en las tres dimensiones. En los polímeros las moléculas se enmarañan y, además, en el estado fundido se mueven en un medio muy viscoso así que no puede esperarse en ellos un orden tan perfecto, pero de todas maneras, algunos polímeros exhiben ordenamiento parcial en regiones llamadas cristalitos

Efecto de la temperatura en el comportamiento de los polímeros

55

Curva Esfuerzo-Deformación de un material polimérico termoplástico típico 12000

Resistencia a la tensión

Esfuerzo de cedencia

10000

Encuellamiento Esfuerzo (psi)

8000

6000

Deformación elástica no lineal

4000

Deformación elástica lineal

2000

0

0

100

200

300

Deformación (%)

56

Estado de esfuerzo Un cuerpo que transmite fuerzas se le puede cortar a través de cualquier sección, y las fuerzas internas pueden remplazarse por un vector resultante de fuerzas, junto con un vector de momento resultante.

Estado de esfuerzo Si todo el cuerpo está en equilibrio estático cada porción aislada permanecerá en equilibrio, bajo la acción combinada de las fuerzas externas, y las resultantes de los esfuerzos actuando en la sección aislada, como se muestra en la figura.

57

Estado de esfuerzo Para determinar el estado de esfuerzo en un punto dentro de un cuerpo que está transmitiendo fuerzas, imagínese que un elemento cúbico infinitesimal se aísla en el punto en cuestión como se ilustra en la figura.

Estado de esfuerzo Y yy

yx xy

yz zy

xx X zx

En la figura se observa una vista aumentada de ese elemento. El estado de esfuerzos se describe entonces al establecer los valores de los esfuerzos normal y cortante, en las tres caras adyacentes del cubo. (Solamente se necesita el análisis de tres caras, porque los esfuerzos en las caras opuestas deben ser iguales y opuestos)

xz

zz Z

58

Estado de esfuerzo Y yy

Los esfuerzos xx, yy y zz están mostrados como positivos y representan tensión. Se usa un sistema de doble subíndice para identificar fuerzas y esfuerzos.

yx xy

yz zy

xx X zx

xz

zz

El primer índice indica la superficie bajo esfuerzo al establecer el eje normal a ella. El segundo índice se refiere a la dirección de la fuerza o esfuerzo. Por ejemplo xx representa un esfuerzo actuando sobre una superficie que es normal al eje x.

Z

Estado de esfuerzo Se muestran dos componentes de esfuerzo cortante para cada superficie. No hay diferencia física que distinga los esfuerzos cortantes positivos de los negativos.

Y yy

yx xy

yz zy

xx X zx zz Z

xz

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio a las fuerzas que actúan sobre el elemento de la figura, se encuentra que el par representado por las fuerzas cortantes actuando en dos caras opuestas del cubo debe ser equilibrado por otro par igual y opuesto en las caras contiguas. De esta manera se encuentra que:

 xy   yx  yz   zy  xz   zx

59

Para demostrar que las relaciones mostradas abajo son iguales e independientes considere el paralelepípedo de la figura.

 xy   yx  yz   zy  xz   zx

Estado de esfuerzo

Y yy

yx xy

yz zy

yx c

xx X zx

xz

b a Pyx=abyx

zz Z

xy

Pxy=bcxy

-Pxy

Primeramente, los esfuerzos se convierten en fuerzas al multiplicarlos por la magnitud del área de la superficie sobre la que actúa cada esfuerzo.

-Pyx

60

Estado de esfuerzo Recuérdese que para mantener el equilibrio del sistema la suma de fuerzas horizontales y verticales debe ser igual acero. Asimismo, los momentos actuantes deben ser igual a cero. Obsérvese en la figura 2 que existe un par desequilibrado Pxy y –Pxy actuando en el elemento lo que produce rotación en el sistema. Por lo tanto:

Figura 1 yx

xy

c

b

M  0

a

Pxy a  Pyx c  0

Pyx=abyx

abc xy  abc yx  0

Pxy=bcxy

-Pxy

Despejando abc xy  abc yx

 xy 

abc yx abc

Figura 2

 xy   yx

-Pyx

Estado de esfuerzo Los nueve esfuerzos mostrados en la figura se pueden acomodar en un arreglo ordenado (matriz) llamado tensor de esfuerzos, que representa el estado general de esfuerzos en un punto.

Y yy

yx xy

yz zy

xx X zx zz Z

xz

 xx  zy  xz    T   yx  yy  yz    zx  zy  zz   

La primera fila horizontal muestra los esfuerzos que actúan sobre la cara x, la segunda, aquellos que actúan sobre la cara y, la tercera los que actúan sobre la cara z.

61

Estado de esfuerzo  xx  zy  xz    T   yx  yy  yz    zx  zy  zz    En este tensor hay solamente seis cantidades independientes en virtud de las igualdades dadas:

 xy   yx

 yz   zy  xz   zx Ellos son los esfuerzos normales xx, yy, zz y los esfuerzos cortantes xy, yz xz. El tensor es simétrico con referencia a la diagonal que contiene a los esfuerzos normales.

Estado de esfuerzo Direcciones principales y esfuerzos principales

El estado de esfuerzos en un punto, nos da una visión clara de la manera en la cual las fuerzas se transmiten por el elemento de material. Los teoremas y definiciones siguientes aclararán la situación:

1. En cualquier estado de esfuerzo en un punto, un elemento se puede orientar de tal forma que los esfuerzos cortantes se conviertan en cero sobre todas sus superficies. 2. Las tres direcciones normales a las superficies del elemento así orientadas se llaman direcciones principales. 3. Los tres esfuerzos normales (1, 2, 3), que actúan en tal elemento, se llaman esfuerzos principales.

62

Estado de esfuerzo Direcciones principales y esfuerzos principales Tipos de transmisión de fuerzas

2

2 1

1

3

Triaxial

Biaxial (3=0)

Uniaxial (2=3=0)

1

La figura muestra tres tipos diferentes de transmisión de fuerzas, uniaxial, biaxial y triaxial. El tipo biaxial se designa comúnmente como un estado plano de esfuerzo.

Estado plano de esfuerzo (carga biaxial)

y

2 yx

1

xy x

La figura muestra un elemento en un estado plano de esfuerzo (dos lados opuestos están libres de esfuerzo). Tal estado se encuentra frecuentemente en las estructuras. Como previamente se mostró, esto es equivalente a un estado biaxial de esfuerzo.

63

Estado plano de esfuerzo (carga biaxial)

En forma tensorial, el estado biaxial se describe como sigue: General

 xx  xy T   yx  yy  0 0

0 0 0

 1 0   0  2  0 0

0 0 0

Referida a los ejes principales

T , prin

Estado plano de esfuerzo (carga biaxial) Considérese el elemento de la figura sujeto a un estado plano de esfuerzo, en el cual zz=0, yz=0 y zx=0. Otro elemento es aislado de forma tal que los ejes x’ y y’ sean girados un ángulo , alrededor del eje z. Para encontrar los esfuerzos en la cara x’ del elemento girado, se usa una porción triangular como se muestra en la figura.

64

Estado plano de esfuerzo (carga biaxial) Los lados tienen longitudes dx, dy y dz. En la figura (b) se observan las fuerzas que actúan.

Estado plano de esfuerzo (carga biaxial) Las ecuaciones de equilibrio se escribirán con respecto a los ejes x’ y y’. Para la dirección x’ (P’=0)

y’ xx tdy

’xx tds yx tdx

 xy tdy

’xx tds

x’ 

yy tdx

65

Estado plano de esfuerzo (carga biaxial) Las ecuaciones de equilibrio se escribirán con respecto a los ejes x’ y y’. Para la dirección x’ (Px’=0)

 xx' tds   xxtdy cos    yy tdxsen   xy tdysen   yxtdx cos   0

y’ xx tdy

Dividiendo la ecuación entre t ds y nótese también que sen = dx/ds, cos = dy/ds y yx=xy, se obtiene:

’xx tds yx tdx

 xy tdy

’xx tds

x’ 

yy tdx

 xx'   xx cos 2    yy sen 2  2 xy sen cos 

Estado plano de esfuerzo (carga biaxial) Para la dirección y’ (Py’=0)

 xy'    xx   yy sen cos    xy cos 2   sen 2 

y’ xx tdy

Esta ecuación se simplifica al usar la siguiente identidad trigonométrica

’xx tds yx tdx

 xy tdy yy tdx

’xx tds

x’ 

cos 2  1 2 1  cos 2 2 sen   2 2sen cos   sen2

cos 2  

cos 2   sen 2  cos 2

66

Estado plano de esfuerzo (carga biaxial) Al sustituir las identidades trigonométricas en las ecuaciones obtenidas se obtiene:

 xx'   xx cos 2    yy sen 2  2 xy sen cos   xy'    xx   yy sen cos    xy cos 2   sen 2 

   yy cos 2   xy sen2  xx 2 2    yy   xx sen2   xy cos 2 2

 xx'   xy'

 xx   yy

Ecuaciones de transformación para el esfuerzo plano

Estado plano de esfuerzo Ejes y esfuerzos principales (esfuerzo plano) Por definición, todos los esfuerzos cortantes en la superficie del elemento se cancelan, cuando al elemento se le orienta en las direcciones principales. En el estado de esfuerzo plano, uno de los ejes principales es normal a la superficie de esfuerzo cero. Las otras dos direcciones principales se pueden encontrar al hacer el esfuerzo cortante igual a cero y resolver para .



 xx   yy

sen2   xy cos 2  0

2

 xy cos 2 

 xx   yy 2

cos 2  xx   yy  2 xy sen2 2 xy sen2  cos 2  xx   yy tan 2 

sen2

Dos ángulos que difieren por  radianes, tienen el mismo valor de la tangente. Por lo tanto la ecuación anterior representa dos ángulos, 1 y 2, que están separados 90°. Estos dos ángulos sitúan los otros dos ejes principales, los cuales están en el plano xy.

2 xy

 xx   yy

67

Estado plano de esfuerzo Ejes y esfuerzos principales (esfuerzo plano) Para probar que los esfuerzos normales tienen valores máximos y mínimos con respecto a los ejes principales se derivará la ecuación obtenida (mostrada a continuación) con respecto de .

 xx'   xx cos 2    yy sen 2  2 xy sen cos 

 xx'   xx cos 2    yy sen 2  2 xy sen cos  d xx'   xx  2 cos sen    yy 2 sen cos    2 xy sen  sen   cos  cos    0 d  2 xx cos sen  2 yy sen cos   2 xy cos 2   sen 2  0







 2 sen cos   xx   yy   2 xy cos 2   sen 2  0



Re cuerde que cos 2   sen 2  cos 2 2 sen cos   sen2 La ecuación obtenida es idéntica a la  obtenida, probando así que, en un    sen2  xx   yy  2 xy cos 2  0 estado plano de esfuerzo, los esfuerzos máximos y mínimos ocurren en las 2 xy cos 2  sen2  xx   yy  superficies que son normales a los ejes cos 2  xx   yy  principales  sen2 2 xy 2 xy sen2  cos 2  xx   yy  tan 2 



2 xy xx

  yy 

68

Estado plano de esfuerzo Ejes y esfuerzos principales (esfuerzo plano) Los valores de los esfuerzos principales, se encuentran al sustituir los valores de 2 en la ecuación que se muestra.

 xx' 

 xx   yy



2

 xx   yy 2

cos 2   xy sen2

 xy

sen2  

  xx   yy      xy2 2   1  xx   yy  2 cos 2   2   xx   yy      xy2 2   x

y   xx   yy  2    xy  2   2

xy 2

 xx   yy

2

2

Estado plano de esfuerzo Ejes y esfuerzos principales (esfuerzo plano) Sustituyendo estas identidades en la ecuación se obtiene:

 xx' 

 xx   yy 2

sen2  



 xx   yy 2

cos 2   xy sen2

 xy

  xx   yy      xy2 2   1  xx   yy  2 cos 2   2   xx   yy      xy2 2   2

 max,min 

 xx   yy 2

    yy  2    xy   xx 2  

Cuando esta ecuación se calcula con signos positivo y negativo, respectivamente obtenemos los valores de los dos esfuerzos principales en un estado plano de esfuerzos. El tercer valor es cero.

69

Estado plano de esfuerzo Ejes y esfuerzos principales (esfuerzo plano) El esfuerzo cortante máximo en cualquier plano cortado paralelamente al eje z se encuentra al igualar a cero la derivada de la ecuación que se muestra a continuación.

 xy'  

 xx   yy 2

sen2   xy cos 2

Esto da los valores de  para los que ’xy tiene valores extremos, como sigue:

tan 2  

 xx   yy 2 xy

Por un procedimiento similar al que se uso para derivar max, valores para max, min

min

se obtienen los

    yy     xy2    xx 2   2

 max,min

Estado plano de esfuerzo Ejes y esfuerzos principales (esfuerzo plano) La comparación de las ecuaciones que se exhiben a continuación muestra que los valores de 2 para esfuerzo normal máximo y cortante máximo, respectivamente, difieren en 90°. En consecuencia “los planos de esfuerzo cortante máximo están localizados a 45° de los planos principales; esto es, un plano de esfuerzo cortante máximo (o mínimo) bisecta el ángulo de 90° que forman los dos planos principales”

70

Ejercicio. Un elemento en esfuerzo plano está sometido a los esfuerzos x=6500 psi y= 1700 psi y xy=2750 psi, como se ilustra en la figura. Determine los esfuerzos que actúan sobre un elemento orientado a un ángulo  =60º respecto al eje x, donde el ángulo  es positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj. Muestre estos esfuerzos sobre un croquis de un elemento orientado según el ángulo .

Solución

71

Ejercicio.

Resuelva el problema anterior para x= 80 MPa, y= 52 MPa, xy= 48 MPa y  = 25 º

Solución

72

Ejercicio: Los esfuerzos que actúan en el elemento A en el alma de un riel de tren son de 42 MPa en tensión en dirección horizontal y de 140 MPa en compresión en dirección vertical (véase la figura). Los esfuerzos cortantes son de 60 MPa de magnitud y actúan en los sentidos mostrados. Determine los esfuerzos que actúan sobre un elemento orientado a un ángulo contrario a las manecillas del reloj de 48º desde la horizontal. Muestre los esfuerzos sobre un croquis de un elemento orientado según este ángulo.

Solución

73

Ejercicio: Resuelve el problema anterior si los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre el elemento A son de 7500, 20500 y 4800 psi (en las direcciones que se muestran en la figura) y el ángulo es de 30º (en sentido contrario a las manecillas del reloj).

Solución:

74

Circulo de Mohr para el esfuerzo plano Las ecuaciones de transformación para el esfuerzo plano pueden representarse en forma gráfica por medio de un trazado conocido como circulo de Mohr. Esta representación gráfica es de gran utilidad porque permite visualizar las relaciones entre los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre diferentes planos inclinados en un punto de un cuerpo sometido a esfuerzos.

Circulo de Mohr para el esfuerzo plano Las ecuaciones del circulo de Mohr pueden deducirse de las ecuaciones de transformación para el esfuerzo plano. Las dos ecuaciones se observan abajo con un reordenamiento de la primera expresión.   y  x  y cos 2   xy sen2  x1  x  2 2   y  x1 y1   x sen2   xy cos 2 2 Por la geometría analítica, se observa que ambas son las ecuaciones de un círculo en forma paramétrica, donde el ángulo 2 es el parámetro y los esfuerzos ’xx y ’xy son las coordenadas.

75

Circulo de Mohr para el esfuerzo plano Para suprimir el parámetro 2, elevamos al cuadrado ambos lados de cada ecuación y luego sumamos ambas. El resultado es la ecuación:

  y      y   x1  x    x21 y1   x 2    2 2

2

    xy2 

Esta ecuación puede escribirse en forma más simple usando la siguiente notación:

 prom 

 x  y

  x  y     xy2 R    2  2

2

  y     y      xy2    x21 y1   x   x1  x 2   2   2

 prom 

2

 x  y



  y     xy2 R   x 2   2

2



  prom   x21 y1  R 2 2

x1

Esta última es la ecuación algebraica de un círculo. Las coordenadas son x1 y x1y1, el radio es R y el centro del círculo tiene las coordenadas x1=prom y x1y1=0

76

Construcción del círculo de Mohr El círculo de Mohr puede construirse de varias maneras, de cuales esfuerzos se conozcan y cuáles se desconozcan. Para propósitos didácticos y que se puedan mostrar las propiedades básicas del círculo, se supondrá que se conocen los esfuerzos x, y xy que actúan sobre los planos x y y de un elemento en el esfuerzo plano.

Con x, y y xy conocidos, el procedimiento para construir el círculo de Mohr es como se muestra a continuación:  Dibuje un sistema de ejes coordenados con x1 como abscisa (positivo hacia la derecha) y x1y1 como ordenada (positivo hacia abajo).  Localice el centro C del círculo en el punto con coordenadas x1=prom y x1y1=0.  Localice el punto A, que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara x del elemento mostrado en la figura 7.15a marcando sus coordenadas x1=x y x1y1=xy. Observe que el punto A en el círculo corresponde a q=0. Observe también que la cara x del elemento (figura 715a) esta marcada “A” para mostrar su correspondencia con el punto A sobre el círculo.  Localice el punto B que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara y del elemento mostrado en la figura 7-15a, trazando sus coordenadas x1=y x1y1=-xy. Observe que el punto B sobre el círculo corresponde a =90º. Además, la cara y del elemento (figura 7-15a) esta marcada “B” para mostrar su corresppondencia con el punto B en el diagrama.

77

 Dibuje una línea en el punto A al punto B. Esta línea es un diámetro del círculo y pasa por el centro C. Los puntos A y B, que representan los esfuerzos sobre planos a 90º uno del otro (figura 715a), están en extremos opuestos del díametro (y, por lo tanto, están a 180º uno del otro sobre el círculo).  Con el punto C como centro, trace el círculo de Mohr por los puntos A y B. El círculo dibujado de esta manera tiene radio R.

78