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CALCULO DIFERENCIAL Tarea 2: limites y continuidad.

TUTOR: EDGAR ORLEY MORENO

HEIDY VIVIANA GUTIERREZ

GRUPO: 100410_15

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD FUNZA, CUNDINAMARCA OCTUBRE DE 2020

EJERCICIO 1: Graficar en GeoGebra la siguiente función a trozos, y de acuerdo con ella determinar los límites dados, presentar la gráfica y la respuesta a cada inciso.

lim f ( x ) a. x→−∞

Estudiante 1



x 2−3 x 3

{

lim

c.

x→ 3 f ( x ) ¿

d.

x→ 2 f ( x ) ¿

e.

x→ 2 f ( x ) ¿

lim f ( x )

x→−∞

lim f ( x ) =∞

x→−∞

b)

lim f ( x )

x→+∞

lim f ( x )=∞

x→+∞

c)



lim

¿

x→ 3−¿f ( x ) ¿

se toma la función x−1, se remplaza la x por el valor de 3.

lim

¿

x→ 3−¿3−1=2 ¿

d)

lim

¿

x→ 2−¿f ( x ) ¿

se toma la función x 2−3, se remplaza la x por el valor de 2.

¿

−¿

lim

¿

−¿

lim +¿

Remplazamos los valores de x en cada una de las funciones dependiendo de si es en la izquierda o derecha

a)



lim f ( x ) b. x→+∞

¿

lim 2

x→ 2−¿2 −3¿

e)



lim

¿ =

lim

¿

x→ 2−¿4−3=1 ¿

¿

+¿

x→ 2 f ( x ) ¿

se toma la función x−1, se remplaza la x por el valor de 2.

lim x→ 2+¿2−1 ¿

¿=1

EJERCICIO 2: Calcular el siguiente límite indeterminado de la forma 0/0 presentado el paso a paso del desarrollo y su respuesta.

Estudiante 1

lim

x →2

x →2

x →2

x2−4 x 2−5 x+ 6

x2−4 x 2−5 x+ 6



lim

lim

Reemplazamos x por 2.

22−4 22−5 (2)+6

4−4 0 = = indeterminado 4−10+6 0



Descomponer en factores los polinomios, tanto numerador como denominador.

x 2−4=(x +2)(x −2) x 2−5 x+ 6=( x−2)(x−3) 

lim

x →2

Sustituir polinomios por 2

( x +2)(x−2) (2+2) 4 = reemplazamos x por 2 = = = -4 (x−2)(x −3) (2−3) −1

EJERCICIO 3: Calcular el siguiente límite al infinito y comprobar en GeoGebra que el límite existe, presentar la gráfica de donde se evidencie la existencia del límite y el paso a paso del desarrollo analítico del ejercicio.

Estudiante 1

√3 x + √ x 3 x→ ∞ −3 √ x +10 √ x−1 lim

√3 x + √ x 3 x→ ∞ −3 √ x +10 √ x−1 lim



Reemplazamos por x por ∞

3 0 ∞ +√ ∞ √ lim = indeterminación 3 0 x→ ∞ −3 √ ∞+10 √ ∞−1



Dividimos por el mayor grado el numerador y denominador. Multiplicamos raíz cuadra por raíz cubica en el numerador.

1 +1 x √ lim x→ ∞ 10 3 x−1 −3+ √ √x 6



lim

x→ ∞



Reemplazamos en el numerador la x por ∞ y se realiza la operación.

1 +1=1 √∞ 6

Reemplazamos en el denominador la x por ∞ y se realiza la operación.

lim −3+ x→ ∞

¿

10(∞ ) 10 √3 ∞−1 = −3+ = −3+0=−3 ∞ √∞

1 =−0,333 −3

EJERCICIO 4: Evaluar el siguiente límite trigonométrico presentado el paso a paso del desarrollo y su respuesta.

Estudiante 1 

lim

x →0

4 x2 2−2cos x

Reemplazamos x por 0

lim

x →0

o 4 (0)2 = Indeterminación, 2−2cos 0 0



Aplicamos regla de L hopital.

4∗lim x → 0

x2 2−2 cosx

4∗lim x → 0

22 2 sinx



Simplificamos

4∗lim x → 0 

x sinx

Aplicamos nuevamente la regla de L hopital.

4∗lim x → 0

1 =sec ⁡(x ) cos ( x )

4∗lim x → 0(sec ( x ) )



Sustituimos por 4

4 ( sec ( 0 )) = 4

EJERCICIO 5: Graficar en Geogebra cada función a trozos dada encontrando los valores de a y/o b que hace que la función sea continua. Demostrar Matemáticamente que la función es continua en el valor hallado. Presentar la gráfica de comprobación en GeoGebra y el paso a paso con el desarrollo y su respuesta.

Estudiant e1

x x ≤−1 f ( x )= 2 a+7 2 x −6 a x>−1

{

a x 2−bx +2 x ≤−1 f ( x )= x2−2a−1< x −1

{

lim (x 2−6 a)

lim (2 a+7 x )

x→−1

x→−1



Se igualan las ecuaciones.

2 a+7 x=x 2−6 a 

Se reemplaza x por -1 2

2 a+7 (−1 )= (−1 ) −6 a 2 a−7=1−6 a 

Se pasa las a al lado izquierdo y se realiza la operación.

2 a+6 a=1+7 8 a=8 se pasa 8 a dividir para hallar el valor de a. 8 a= =1 8

a x 2−bx +2 x ≤−1 f ( x )= x2−2a−1< x 200

{

b. Realice la gráfica.

Distancia (en km) si 0 < x ≤ 50 si 50 < x ≤200 si x > 200

c. Calcule el costo de transportar la mercancía 40 kilómetros. Se procede a multiplicar el costo de la mercancía por el numero de kilómetros.

200 .000 x 40=8.000 .000 d. Determine el valor del costo para transportar la mercancía 150 kilómetros.

2 50 x 150=3 ´ 75 0. 0 0 0 e. ¿Es continua la función costo? Justifique la respuesta. Presenta discontinuidades de salto en x = 50 y en x = 200