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• Juan Pablo Contreras Fernández

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Universidad del Desarrollo Facultad de Ingenier´ıa Segundo Semestre 2019

Guia: Modelos de programaci´ on lineal Profesor: Juan-Pablo Contreras. 1. Una f´abrica confecciona cable el´ectrico de alta calidad utilizando dos tipos de aleaciones met´ alicas, A y B. La aleaci´ on A contiene un 80 % de cobre y un 20 % de aluminio, mientras que la B incluye un 68 % de cobre y un 32 % de aluminio. La aleaci´on A se vende a un precio de 80 euros por tonelada, y la B se vende a 60 euros por tonelada. Para asegurar un est´andar de calidad, se requiere que los cables est´en hechos de al menos un 75 % de cobre. Cu´al es el menor costo a pagar en insumos para fabricar una tonelada de cable que cumpla el est´andar de calidad? 2. Una empresa transnacional exportadora de frutas que opera en Am´erica del Sur desea determinar un plan de distribuci´ on de la fruta desde las plantas empacadoras hasta los centros de distribuci´ on para el periodo de verano. Las plantas se encuentran ubicadas en Rancagua, Sao Paulo y Bogot´ a. El mercado se ha agrupado en cuatro regiones, siendo cada una de ellas atendida por un distribuidor. Los centros de distribuci´ on est´ an localizados en Santiago, R´ıo de Janeiro, Quito y Caracas. En la siguiente tabla se se˜ nalan los costos unitarios de transporte, los requerimientos de cada regi´ on y la producci´on de fruta y la producci´ on de fruta en las plantas, para el per´ıodo de verano. La siguiente tabla resume los requerimientos de los distribuidores, la capacidad de producci´ on y los costos de transporte.

Rancagua Sao Paulo Bogot´ a Requerimientos

Santiago 3 15 45 120

R´ıo de Janeiro 20 5 25 300

Quito 30 35 10 80

Caracas 35 40 12 200

Producci´ on 300 250 200

Formule un modelo y resuelva usando alguna aplicaci´on. 3. Una empresa produce y vende dos productos distintos. La demanda por cada producto es ilimitada, pero la empresa est´ a restringida por la disponibilidad de efectivo y por la capacidad de sus m´ aquinas. Cada unidad del primer y segundo producto requieren 3 y 4 horas de m´aquina respectivamente. En el per´ıodo actual de producci´ on hay una disponibilidad de 20000 horas de m´aquina. Los costos de producci´on son de 3 y 2 por unidad del primer y segundo producto respectivamente. Los precios de venta del primer y segundo producto son 6 y 5.40 por unidad, respectivamente. La disponibilidad de efectivo es 4000; y mas a´ un, el 45 % de los ingresos por ventas del primer producto, y el 30 % de los ingresos por ventas del segundo producto quedar´an disponibles para financiar operaciones durante el per´ıodo actual. a) Formule un problema de programaci´on lineal que tenga como objetivo maximizar la ganancia, respetando la disponibilidad de efectivo y la capacidad de sus m´aquinas. b) Suponga que la empresa puede aumentar la disponibilidad de horas de m´aquina en 2000 si invierte 400 en ciertas reparaciones. ¿ Deber´ıa hacer la inversi´on? 4. El gerente de una refiner´ıa de hidrocarburos tiene alocados 8 millones de barriles de crudo de tipo A y 5 millones de barriles de crudo de tipo B para la producci´on durante el pr´oximo mes. Estos recursos pueden ser usados ya sea para hacer gasolina, que se vende a $ 38 por barril, o gas licuado que se vende a $ 33 por barril. Se dispone de tres procesos de producci´on con caracter´ısticas descritas en la siguiente tabla:

Entrada de crudo A Entrada de crudo B Salida de gasolina Salida de gas licuado Costo

Proceso 1 3 5 4 3 $ 51

Proceso 2 1 1 1 1 $ 11

Proceso 3 5 3 3 4 $ 40

Donde las cantidades est´ an medidas en barriles. Plantee y resuelva el problema. 5. La empresa SPEED S.A. es una filial de una importante f´abrica de autom´oviles y es la encargada de confeccionar dos elementos del u ´ltimo modelo de auto deportivo. Las partes se producen en cuatro departamentos distintos. En SPEED S.A. las horas-m´aquina son suficientes para la producci´ on, aunque si tienen una fuerte limitaci´ on en la mano de obra calificada. Es por eso que la empresa piensa que las horas-hombre disponibles restringen su capacidad de producci´on. Las horas-hombre consumidas por cada parte en cada departamento junto con las horas disponibles en cada departamento est´ an detalladas a continuaci´ on, : Departamento 1 2 3 4

Parte I 0.10 0.20 0.10 0.05

Parte II 0.40 0.15 0.3 0.10

H-H adicionales disponibles 480 400 500 200

Adem´as, la empresa cuenta con la libertad de asignar 350 horas-hombre extras que pueden ser distribuidas tanto en el departamento 1 como en el departamento 2 (en conjunto). De la misma forma, tambi´en tiene a su disposici´ on 370 horas hombre para los departamentos 3 y 4, en conjunto. Estas horas extras no tienen costo adicional para la empresa. Formule un modelo y resuelva usando alguna aplicaci´on. 6. Una f´abrica tiene tres bodegas: B1 , B2 y B3 , donde tiene almacenadas b1 , b2 y b3 sillas respectivamente. Se tienen adem´ as cuatro puntos de venta: V1 , V2 , V3 y V4 , donde se requieren v1 , v2 , v3 y v4 sillas respectivamente. Suponga que es posible enviar sillas desde cualquier bodega a cualquier punto de venta. Considere que el costo de llevar una silla de la bodega Bi al punto de venta Vj es cij . Se desea satisfacer las demandas minimizando el costo de transporte. Plantee este problema como un problema de programaci´ on lineal. Suponga que por problemas con el sindicato de camioneros, no se puede llevar m´ as que dij sillas desde Bi hasta Vj . Agregue estas restricciones a la formulaci´ on anterior. 7. Una industria que fabrica papel y lo distribuye en rollos debe determinar la mejor forma e realizar sus procesos de corte. Los rollos de papel que se producen tienen un ancho de 100 cm; Sin embargo los clientes demandan rollos de 30 cm, 45 cm y 50 cm de ancho. Por lo tanto, al cortar los rollos se incurre en una p´erdida de material que depender´a de la forma en que se corten los rollos. Existen 6 tipos de corte los cuales tienen un costo fijo ci (costo por programar el corte en la maquina) y un costo por unidad cortada di . Se desea determinar un plan de corte que maximice las utilidades de empresa y satisfaga la demanda. Sabiendo que el pedido para esta semana es de 800 rollos de 30 cm, 500 rollos de 45 cm y 1000 rollos de 50 cm y que los precios son de 100, 120 y 150 pesos para los rollos de 30, 45 y 50 cent´ımetros respectivamente. Plantee y resuelva el modelo. 8. Considere un conjunto N = {1, 2, ..., n} de localizaciones posibles para instalar |P | plantas de producci´on (|P | ≤ n una planta por localizaci´on). Cada planta tiene una capacidad de producci´ on Kp . Adem´as, considere un conjunto de |M | de clientes que demandan Dm unidades del producto. Sea

dim la distancia entre desde el cliente m y la localizaci´on i. Plantee un PL que lo ayude a determinar cu´al es la mejor ubicaci´ on de las plantas de manera que la demanda de los clientes pueda satisfacerse al menor costo. Considere costos fijos por instalar las plantas en las localizaciones. 9. Una empresa minera que opera en el norte del pa´ıs est´a actualmente extrayendo roca desde 3 puntos geogr´aficos distintos. La roca extra´ıda debe ser trasladada a centros especializados para realizar el proceso de lixiviaci´ on con el fin de extraer el mineral. En este momento la empresa tiene habilitados 4 centros donde se puede realizar el proceso. Cada uno de estos centros tiene una capacidad limitada de material que puede recibir. Se desean determinar los tonelajes que se deben cargar desde cada punto de extracci´on hacia cada centro de lixiviaci´ on de forma que el costo de transporte sea m´ınimo. La siguiente tabla resume las capacidades de los centros, la cantidad de roca extra´ıda desde cada punto de extracci´on y los costos de transporte que existen (por tonelada) desde los puntos de extracci´on a los centros

Punto extracci´ on 1 Punto extracci´ on 2 Punto extracci´ on 3 Capacidad centro

Centro 1 3 15 45 120

Centro 2 20 5 25 300

Centro 3 30 35 10 80

Centro 4 35 40 12 200

Tonelaje extra´ıdo 300 250 200

Formule un modelo de programaci´ on lineal y resuelva 10. Noble Amazon vende libros en linea. La administraci´on intenta determinar cu´ales son los mejores sitios para los almacenes de la compa˜ n´ıa. Se est´an considerando cinco ubicaciones posibles. La mayor´ıa de las ventas se hace a clientes en Estados Unidos. La demanda semanal promedio de cada una de las regiones del pa´ıs, el costo promedio de env´ıo desde cada almac´en a cada regi´ on del pa´ıs, el costo fijo semanal de cada almac´en si est´a en funcionamiento y la capacidad m´ axima de cada almac´en (si est´a en funcionamiento) se muestran en la siguiente tabla: Ubicaci´ on del almac´en Spokane, WA Reno, NV Omaha, NE Harrisburg, PA Jacksonville, FL Demanda de clientes (por semana)

Costo Promedio de env´ıo (d´ olares/libro) Noroeste Suroeste Medio Oeste Sureste Noreste $2.40 $3.50 $4.80 $6.80 $5.75 $3.25 $2.30 $3.40 $5.25 $6.00 $4.05 $3.25 $2.85 $4.30 $4.75 $5.25 $6.05 $4.30 $3.25 $2.75 $6.95 $5.85 $4.80 $2.10 $3.50 8000

12000

9000

14000

Costo fijo (por semana) $40 000 $30 000 $25 000 $40 000 $30 000

Capacidad del almac´en (libros/semana) 20 000 20 000 15 000 25 000 15 000

17000

Formule un problema de programaci´ on lineal mixto que le permita determinar qu´e sitios de almac´en le convienen a Noble Amazon y c´ omo se deben distribuir los libros desde cada almac´en a cada regi´ on del pa´ıs para minimizar el costo total. 11. Una empresa minera con 4 tipos de minadores. Como algunos son m´as antiguos que otros, sus capacidades de trabajo son distintas y tambi´en sus costos de manutenci´on. La maquinaria es utilizada para excavaci´on subterranea que puede ser sobre roca blanda o gruesa. Cada tonelada de roca triturada toma una cierta cantidad de tiempo que depender´a de la tecnolog´ıa de la maquinaria y del tipo de roca. En la tabla siguiente se muestran las horas que necesita cada una de las minadoras para excavar una tonelada de roca de cada tipo, junto con las horas que puede trabajar la maquina antes de requerir manutenci´on para que no se produzcan da˜ nos mayores en sus partes.

Minadoras 1 2 3 4

Roca blanda 0.10 0.20 0.10 0.05

Roca gruesa 0.40 0.15 0.3 0.10

Horas de trabajo seguro 480 400 500 200

Adem´as la empresa considera factible asumir el costo por da˜ nos en las minadoras siempre y cuando la producci´ on que se obtenga de ellas sea lo suficiente provechosa. Para ello se determina que cada minadora puede exceder su tiempo de trabajo en cierta cantidad de horas. Por cada hora excedida el costo de manutenci´ on aumenta ya que se producen mayores da˜ nos. La siguiente tabla entrega informaci´on sobre las horas y los costos de excedencia. Minadoras 1 2 3 4

Tiempo posible de exceso 156 148 170 130

Costo por hora excedida 2400 1400 2200 1600

Se desea determinar la cantidad de toneladas de cada tipo que debe extraer cada minadora y las horas de trabajo que realizara cada maquina con el fin de maximizar las ganancias netas (utilidades menos costos). Suponga que por cada tonelada blanda extra´ıda la empresa tiene una utilidad de 200 y por cada tonelada dura triturada se ganan 300. 12. Usted tiene cuatro posibilidades de inversi´on A, B, C y D. Puede invertir en A y/o B al principio de cualquiera de los cinco a˜ nos siguientes. Por cada d´olar invertido en A obtiene 1, 5 d´olares dos a˜ nos despu´es (a tiempo para inmediatas inversiones). Por cada d´olar invertido en B obtiene 1, 8 d´ olares tres a˜ nos despu´es. En C se aceptan inversiones s´olo al principio del segundo a˜ no y se obtiene el doble de lo invertido tras un periodo de cuatro a˜ nos. En D puede invertirse al principio del quinto a˜ no y se obtiene un 50 % sobre lo invertido un a˜ no despu´es. Suponga que dispone de 10.000 d´olares Genere un plan de inversi´ on que maximize las ganancias al final del sexto periodo. 13. Con el fin de mantener bien alimentados a los estudiantes secundarios, JUNAEB desea determinar la composici´on de 1000 kg de alimento que cumpla con los requerimientos nutritivos establecidos, que aseguran una dieta balanceada y buen rendimiento. En la elaboraci´on de la comida pueden utilizarse los siguientes ingredientes cuyas caracter´ısticas nutritivas y costos se entregan en la siguiente tabla. Ingredientes Harina de Soya Harina de pescado Trigo Avena Verduras

Prote´ınas( %) 9 55 7 8,5 12

Fibra( %) 12 6 11 25

H. de Carbono( %) 50 4 66 58 35

Calor´ıas(/kg) 1000 1950 1750 1700 450

Costo($/kg) 45 100 70 80 45

Estudios anteriores dicen que una dieta correcta para estudiantes en edad de desarrollo requiere Prote´ına Fibra H. de Carbono Calor´ıas Harina de pescado

15 % m´ınimo 25 % m´ınimo 20 % y m´aximo 40 % m´ınimo 800/kg y m´aximo 1800/kg m´aximo 10 %

Formule un modelo de programaci´ on lineal que le permita determinar una receta para proveer una correcta alimentaci´ on a sus empleados al menor costo posible.

14. Una importadora recibe ma´ız a granel en tres puertos I = {1, 2, 3}. Desde estos lugares, distribuye directamente a sus clientes. La empresa cuenta con una cartera de clientes, J = {1, 2, ..., 30} Cada uno de ellos le ha solicitado dj toneladas. De acuerdo a los contratos, la importadora tiene dos alternativas: enviarle el total solicitado o no enviarle nada. Por cada tonelada transportada del puerto i al cliente j, la empresa recibe un beneficio bij , mientras que por las entregas que no realiza no tienen ni costo ni beneficio. La importadora recibir´ a un total de ri toneladas en el puerto i que podr´a enviarle a sus clientes. Plantee un modelo de programaci´on entera mixta que permita maximizar los beneficios totales para la importadora. Supongamos ahora que la empresa recibe una multa Mj por no satisfacer la demanda del cliente j ∈ J. ¿C´ omo podemos modelar esta condici´on?. 15. El jefe de turno de un hospital necesita proveer a sus empleados de equipamiento adecuado. Cada equipo m´edico est´ a compuesto por delantal, guantes, mascarilla y gorra. El jefe cuenta con el plan de turnos semanal, por lo que sabe exactamente cuantos equipos requiere cada d´ıa.

D´ıa # de empleados

L 150

M 125

M 135

J 140

V 120

S 100

D 55

Los equipos usados deben ser enviados a procesos de esterilizaci´on donde son limpiados y reparados en caso de que tengan da˜ nos. Existen 2 procesos de esterilizaci´on: uno r´apido que demora 8 horas y que es realizado durante la noche; otro normal que demora 1 d´ıas y que se efect´ ua durante el d´ıa. Es decir, lo que se env´ıa a lavado r´ apido esta disponible al d´ıa siguiente mientras lo que se env´ıa a esterilizaci´ on normal normas est´ a disponible al d´ıa subsiguiente. Adem´as de la esterilizaci´ on puede optarse por traer equipamiento nuevo, eso si, a un costo m´ as elevado. Los costos asociados a la esterilizaci´on y equipamiento nuevo son: Mantenci´on r´apida Mantenci´on normal Equipo nuevo

$ 1000 $ 600 $3000

El problema del jefe de turno consiste en determinar la cantidad de equipos nuevos a utilizar, la cantidad que debe enviar a esterilizaci´on r´apida y normal de manera que ning´ un trabajador se quede sin el equipo necesario. Adem´ as, el jefe debe reducir el costo todo lo posible. 16. El juego del sudoku consiste en llenar las casillas de una grilla de 9x9, que ya tiene algunas casillas llenas, con n´ umeros de 1 a 9 de forma que se cumplan las siguientes condiciones: Cada fla debe tener todas sus casillas distintas. Cada columna debe tener todas sus casillas distintas. Si dividimos la grilla de 9x9 en 9 sub-grillas de 3x3, entonces cada una de estas sub-grillas debe tener todas sus casillas distintas. Si usted tiene un conjunto de casillas completadas C, con cada casilla (i, j) ∈ C tomando el valor ci,j , ¿c´ omo formular´ıa un problema de optimizaci´on lineal entera para encontrar una soluci´ on a este sudoku? 17. La divisi´on de investigaci´ on y desarrollo de una empresa automotriz ha desarrollado cuatro nuevos modelos de autos. Sin embargo, para evitar una diversificaci´on excesiva de la l´ınea de productos de la compa˜ n´ıa, la administraci´ on ha impuesto la siguiente restricci´on: Requerimiento 1: de los cuatro nuevos modelos de autos posibles, deben escogerse a lo m´ as dos para producci´ on.

Se dispone de dos plantas que pueden producir los autos elegidos. Por razones administrativas, la administraci´ on impuso una segunda restricci´on a este respecto: Requerimiento 2: s´ olo una de las dos plantas debe asignarse para la producci´on de los nuevos autos. El costo unitario de producci´ on de cada modelo de auto ser´ıa en esencia el mismo en las dos plantas, pero por diferencias en las instalaciones de producci´on, el n´ umero de horas de producci´on por unidad de cada auto puede diferir entre ellas. Estos datos se muestran en la tabla, junto con el n´ umero total de horas de producci´ on disponibles a la semana en cada planta, la ganancia unitaria por cada auto y las estimaciones del departamento de mercadotecnia del n´ umero de unidades de cada modelo de auto que se pueden vender a la semana si se producen.

Planta 1 Planta 2 Ganancia unitaria Ventas potenciales

Tiempo de producci´on utilizado por cada unidad producida Auto 1 Auto 2 Auto 3 Auto 4 3h 2h 2h 1h 4h 3h 1h 2h 5 7 3 4 700 500 900 850

horas disponibles por semana 30 horas 40 horas (miles de dolares) (unidades por semana)

(a) Formule un modelo de programaci´ on lineal mixta que permita seleccionar los modelos de autos, la planta en la que se van a producir y las tasas de producci´on de los autos elegidos de manera que se maximice la ganancia total. (b) Dada las buenas condiciones del mercado, la empresa estima que el n´ umero de unidades de cada modelo que se pueden vender a la semana aumentar´a en un 10 % por lo que est´a considerando la opci´ on de invertir 3 millones de d´olares en la construcci´on de una nueva planta, cuyas caracter´ısticas ser´ıan: El n´ umero de horas de producci´on por unidad de cada modelo de auto es de 1 hora, 0.5 horas, 0.7 horas y 1.2 horas para los autos de los modelos 1, 2 3 y 4, respectivamente. El n´ umero total de horas de producci´on disponibles a la semana es de 50 horas. Reformule su modelo de programaci´ on lineal mixta del item anterior, de manera tal que considere adem´ as la posibilidad de invertir en la nueva planta y que se maximice la ganancia total. El Requerimiento 2 se mantiene vigente, es decir, si se decide construir la nueva planta entonces s´ olo a una de las tres plantas se le debe asignar la producci´ on de los nuevos autos. 18. Antes de las elecciones se asigna a los partidos pol´ıticos que van a participar un determinado tiempo para transmitir sus anuncios de campa˜ na en el horario electoral gratuito. Previo a una elecci´ on presidencial, en la cual tambi´en se eligen diputados, un partido debe decidir c´omo utilizar el tiempo que le ha sido asignado. En particular, se desean filmar anuncios en donde aparezcan el candidato a presidente solo, cada uno de los C candidatos a diputados (c = 1, . . . , C) solos y anuncios en los que aparezca el candidato a diputado acompa˜ nado por el candidato presidencial. No se planean filmar anuncios donde aparezcan dos o m´as candidatos a diputados. Para filmar los anuncios, el partido cuenta con un presupuesto de B pesos (recuerde que la televisaci´ on es gratuita) y ha contratado una agencia que le cobra U pesos por segundo de anuncio donde aparece un u ´nico candidato (que puede ser el candidato presidencial o uno de los candidatos a diputado), y D pesos por segundo de anuncio en los que aparecen dos candidatos (el candidato a presidente y uno de los candidatos a diputado). El bloque en el horario electoral que le fue asignado al partido es de un total de S segundos. En ese intervalo deben ser transmitidos los anuncios de todos los candidatos. El objetivo de la campa˜ na

es maximizar la exposici´ on del candidato presidencial asegurando una exposici´ on m´ınima para los candidatos a diputados. Espec´ıficamente, considere que se quiere garantizar que el candidato diputado c tiene una exposici´ on de, al menos, Ec puntos. Para los candidatos a diputado la exposici´ on se calcula contando un punto por cada segundo que el candidato aparece en un anuncio solo y, con dos puntos por cada segundo que aparece en un anuncio con el candidato presidencial. Por su parte, la exposici´on del candidato presidencial se calcula considerando un punto por cada segundo que aparece en un anuncio solo, y medio punto por cada segundo que aparece en un anuncio acompa˜ nando a un candidato a diputado. a) Formule un modelo de programaci´on lineal que permita determinar la duraci´on de los anuncios de campa˜ na que se deben filmar y transmitir, de manera que cumpliendo con el presupuesto y asegurando una exposici´ on m´ınima Ec para el candidato a diputado c, se maximice la exposici´ on del candidato presidencial. Considere que para cada candidato a diputado se filman dos anuncios: solo y acompa˜ nado del candidato presidencial, aunque posiblemente la duraci´on de alguno de ellos puede ser 0. El anuncio del candidato presidencial solo, debe tener una duraci´on m´ınima de P segundos. b) Considere el siguiente caso en el que est´an participando 10 candidatos a diputados por diferentes distritos. El partido dispone de un tiempo total de 20 minutos (S = 1200 segundos). Se tiene un presupuesto total (B) de 25 millones de pesos y los costos por filmar los avisos son de U = 20 000 pesos/segundo si aparece un solo candidato y, de D = 30 000 pesos/segundo si aparece un candidato a diputado y el candidato presidencial. La tabla muestra los candidatos y la exposici´on m´ınima requerida. Distrito 5 8 10 15 20 21 22 24 31 33

Candidato Juan Dom´ınguez Margarita Acosta Esteban White Christian Mota Josefina Miranda Andr´es Pe˜ na Luis Gonzaga Aurora Marino Nicol´ as Tagle Olivia Grasso

Exposici´on m´ınima (puntos) 160 140 110 160 130 120 150 120 140 170

Considere que el anuncio donde aparece el candidato presidencial solo debe tener una duraci´ on, de al menos, P = 100 segundos. c) El comando de campa˜ na se quiere asegurar que los anuncios que se transmitan no sean demasiados y que ninguno sea demasiado largo. Para esto ha impuesto las condiciones adicionales: Los anuncios en que aparece solamente el candidato a diputado deben durar, a lo m´ as, Q segundos. Los anuncios en que aparece un candidato a diputado junto con el candidato presidencial, deben durar, como m´ aximo, R segundos. Se pueden filmar y transmitir hasta V anuncios de diputados solos y hasta W anuncios de diputados y candidato presidencial juntos. Modifique el modelo de la parte (a) para incorporar estas nuevas condiciones. 19. La Fly Right Airplane Company construye aviones peque˜ nos que vende a compa˜ n´ıas para uso de sus ejecutivos. A fin de satisfacer las necesidades de estos ejecutivos, a veces los clientes de la compa˜ n´ıa

ordenan un dise˜ no especial de los aviones que compran. Cuando esto sucede se incurre en importantes gastos de preparaci´ on para comenzar la producci´on de estos aviones. Recientemente, Fly-Right recibi´ o solicitudes de compra de tres clientes con tiempos cortos de entrega. Sin embargo, debido a que las instalaciones de fabricaci´on est´an casi totalmente comprometidas con pedidos anteriores, no podr´ a aceptar los tres pedidos. Por ello se debe tomar una decisi´on respecto al n´ umero de aviones que la compa˜ n´ıa aceptar´a fabricar (si lo hace) para cada uno de estos tres clientes. En la tabla que sigue se proporsionan algunos datos relevantes. En el primer rengl´on se dan los costos de preparaci´ on requeridos para iniciar la producci´on de los aviones para cada cliente. Una vez que ´esta comienza, el ingreso marginal neto (que es el precio de compra menos el costo marginal de producci´ on) de cada avi´ on construido se muestra en el segundo rengl´on. En el tercero se da el porcentaje de la capacidad disponible de producci´on que se utilizar´ıa para cada avi´on producido. En el u ´ltimo se indica el n´ umero m´ aximo de aviones solicitados por cada cliente (pero se aceptar´ıan menos).

Costo de inicio Ingreso marginal neto Capacidad utilizada por avi´ on Pedido m´ aximo

Cliente 1 3 millones de d´ olares 2 millones de d´ olares 20 % 3 aviones

Cliente 2 2 millones de d´ olares 3 millones de d´ olares 40 % 2 aviones

Cliente 3 0 0.8 millones de d´ olares 20 % 5 aviones

Ahora, Fly-Right quiere determinar cu´antos aviones debe fabricar para cada cliente (si lo hace) a fin de maximizar la utilidad total de la compa˜ n´ıa (ingreso total neto menos costos de preparaci´ on). Formule un modelo de programaci´ on lineal que permita resolver este problema. 20. El consejo directivo de educaci´ on de la municipalidad ha decidido cerrar una de sus escuelas de educaci´on secundaria (s´eptimo, octavo y noveno grado) al terminar este a˜ no escolar y reasignar todos los estudiantes de estos grados a las otras tres escuelas de educaci´on secundaria. El distrito escolar proporciona autobuses para todos los estudiantes de educaci´on secundaria que tengan que viajar m´as de un kilometro, por lo que el consejo desea un plan para reasignar a los estudiantes que minimice el costo total del transporte por autob´ us. El costo anual (en miles de pesos) por estudiante transportado en autob´ us desde cada una de las seis ´areas residenciales del municipio a cada una de las escuelas se muestra en la siguiente tabla (junto con otros datos b´asicos para el a˜ no pr´ oximo), donde 0 indica que no se requiere transporte y un gui´on indica que hay una asignaci´on no factible. Costo de transporte por estudiante ´ Area 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

N´ umero de Estudiantes 450 600 550 350 500 450 250 300 200 150

Porcentaje en 7mo grado 32 37 30 28 39 34 30 27 41 40

Porcentaje Porcentaje en 8vo grado en 9no grado 38 30 28 35 32 38 40 32 34 27 28 38 36 34 39 34 19 40 30 30 Capacidad escolar

Escuela 1 $300 600 200 0 500 200 400 300 1200

Escuela 2 $0 400 300 500 300 400 500 300 400 1200

Escuela 3 $700 500 200 400 0 700 400 200 1400

El consejo municipal tambi´en ha impuesto la restricci´on de que cada grado debe constituir entre 30 y 36 % de la poblaci´ on de cada escuela. La tabla anterior muestra el porcentaje de poblaci´ on de educaci´on secundaria de cada ´ area para el a˜ no siguiente que estar´a en cada uno de los tres grados.

Es posible trazar fronteras de zona para la asignaci´on a la escuela a fin de dividir el ´area dada en m´ as de una escuela, pero suponga que los porcentajes en la tabla se mantienen para cualquier asignaci´ on parcial de un ´ area a una escuela. Usted est´a contratado como consultor para ayudar al consejo directivo a determinar cu´antos estudiantes de cada ´ area deben asignarse a cada escuela. Formule este problema como un problema de programaci´ on lineal mixta. 21. Una empresa productora de celulosa produce 3 productos diferentes i = {1, 2, 3}. Esta empresa cuenta con un proceso productivo que tiene un costo de ci pesos por cada unidad del producto i que se produce hasta las primeras Ui unidades (primer nivel de costo), y de gi por cada unidad del producto i que se produzca por sobre este l´ımite (segundo nivel de costo). En la siguiente tabla se muestran los costos de cada producto y la cantidad de unidades m´aximas posibles de cada producto que se producen al costo del primer nivel:

Producto 1 Producto 2 Producto 3

Costo por unidad

Costo por unidad

primer nivel (ci ) 40 55 50

segundo nivel (gi ) 25 30 20

Producto 1 Producto 2 Producto 3

Cantidad de unidades al costo del primer nivel (Ui ) 250 300 375

Se sabe que la empresa debe satisfacer la demanda, que es conocida e igual a dit por cada uno de los i productos y para los pr´ oximos 4 periodos t = {1, 2, 3, 4}. Para ello, la empresa cuenta con 100, 150 y 175 unidades del producto 1, 2 y 3 respectivamente, al inicio de este horizonte (t = 0). En la siguiente tabla se muestran la demanda de cada producto para cada etapa:

etapa etapa etapa etapa

1 2 3 4

Producto 1 300 750 650 500

Producto 2 380 600 550 580

Producto 3 500 400 600 350

Finalmente, se tiene un almac´en (considere que es todo lo grande que se necesite), de manera tal que le permite almacenar productos producidos en una etapa para satisfacer demanda en la subsiguiente, a un costo de 10$, 12$ y 20$ por unidad almacenada del producto 1, 2 y 3 respectivamente. Formule un modelo de programaci´ on lineal mixto que le permita determinar la cantidad de producto i que se debe producir en cada periodo al primer y al segundo nivel de costos.