Guia II - Sistemas de Control II (1)

Laboratorio de Sistemas de Control II 2018-I SISTEMAS DE CONTROL II GUÍA II REGLAS DE SINTONÍA PARA CONTROLADORES PID

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Laboratorio de Sistemas de Control II

2018-I

SISTEMAS DE CONTROL II

GUÍA II REGLAS DE SINTONÍA PARA CONTROLADORES PID 1-Objetivo El objetivo de esta práctica es que el estudiante aplique el diseño de un controlador mediante la configuración IMC o de Control por Modelo Interno. Se formula el problema del diseño de un controlador mediante un modelo de referencia para el sistema en lazo cerrado resultante.

2-Introducción El controlador Proporcional, Integral Derivativo (PID) es el más utilizado en el ámbito del control de procesos industriales. Y a pesar de que fue introducido hace más de 70 años, aún sigue siendo objeto de un estudio intenso en el área académica. El lazo de control realimentado más simple vendría dado por:

Figura 1: Lazo cerrado de control

En términos generales, el controlador PID tiene el siguiente algoritmo de control

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑃 (𝑒(𝑡) +

1 𝑇𝑖

𝑡

∫0 𝑒(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑇𝑑

𝑑𝑒(𝑡) 𝑑𝑡

)… (1)

Donde: 𝒆(𝒕): la señal de error, es decir, la diferencia entre la salida medida de la planta y el valor deseado y la salida medida en la planta 𝑒(𝑡) = 𝑟(𝑡) − 𝑦(𝑡) 𝒖(𝒕): es la señal de salida del controlador y entrada de la planta 𝑲𝑷 , 𝑻𝒊 y 𝑻𝒅 : son los parámetros del controlador: Ganancia proporcional, Tiempo Integral y Tiempo derivativo respectivamente. Al proceso de seleccionar los parámetros (Kp, Ti y Td) del controlador se le denomina sintonización del controlador. El desarrollo de métodos de sintonización ha sido extensa. En esta práctica se estudiarán dos de estos métodos. Para los cuales, tomaremos como

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𝟖

proceso a: 𝑮(𝒔) = 𝒔𝟐 +𝟔𝒔+𝟖 , y una representación de este proceso con un sistema de primer orden más tiempo muerto. Para el desarrollo de esta práctica, el alumno deberá revisar el procedimiento de identificación de modelos de primer orden más tiempo muerto.

3- Métodos de Sintonización 3.1-Método de Ziegler-Nichols[1] Este método está basado en la curva de reacción del proceso (G(s)). Considerando que el proceso puede ser identificado por un modelo de primer orden más tiempo muerto dado por: 𝒀(𝒔) 𝒌𝒆−𝒕𝒎 𝒔 = … . (2) 𝑼(𝒔) 𝝉𝒔 + 𝟏 Donde : 𝑘 es la ganancia del proceso, 𝜏 es la constante de tiempo y 𝑡𝑚 es el retardo del proceso. Entonces, los parámetros del controlador PID se pueden encontrar siguiendo la Tabla 1. Controlador P PI PID

Kp 𝜏 𝑘𝑡𝑚 0.9𝜏 𝑘𝑡𝑚 𝟏. 𝟐𝝉 𝒌𝒕𝒎

Ti

Td

infinito

0

𝑡𝑚 0.3

0

𝟐𝒕𝒎

𝟎. 𝟓𝒕𝒎

Tabla 1:Parámetros del método de Ziegler-Nichols En la práctica para encontrar los parámetros del controlador PID para nuestro proceso G(s), se utilizará su modelo de primer orden más tiempo muerto y luego aplicar las ecuaciones de la tabla 1. 3.2-Sintonización del controlador PID utilizando IMC (Internal Model Control) 3.2a- IMC De acuerdo con [2] , “la filosofía IMC se basa en el Principio del Modelo Interno que dice que el control puede ser alcanzado sólo si el sistema de control encapsula alguna representación del proceso a ser controlado”. Es más, si se diseña el controlador como el inverso de la planta, alcanzaríamos un “control perfecto” a lazo abierto. La idea entonces del IMC, es encontrar controladores que cumplan con el principio del Modelo Interno, pero con plantas funcionando en realimentación. No obstante, la inversión de la planta es imposible, ya sea por información limitada o porque la inversión

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implicaría la creación de un sistema que no sea físicamente realizable. La estrategia de IMC se observa en la Figura 2

Figura 2: Control IMC

Siguiendo el desarrollo en nos damos cuenta que, para este sistema:

𝒀 (𝒔 ) =

̃ (𝒔)]𝒅(𝒔) 𝑪𝑰𝑴𝑪 (𝒔)𝑮(𝒔)𝑹(𝒔)+[𝟏−𝑪𝑰𝑴𝑪 (𝒔)𝑮 … (𝟑) ̃ (𝒔)]𝑪𝑰𝑴𝑪 (𝒔) 𝟏+[𝑮(𝒔)−𝑮

Donde: 𝐺̃ (𝑠) es el modelo del proceso 𝐺(𝑠) es el proceso 𝑅(𝑠) es el valor deseado 𝑑(𝑠) es la perturbación

Si hacemos 𝐶𝐼𝑀𝐶 (𝑠) = 𝐺̃ (𝑠)−1 y 𝐺̃ (𝑠) = 𝐺(𝑠) teóricamente tendríamos un control perfecto. Pero 𝐺̃ (𝑠) puede incluir una parte no invertible como ceros con parte real positiva y/o retardos puros. Por lo que dividimos nuestro modelo en un parte invertible (𝐺̃ + (𝑠)), y otra (𝐺̃ − (𝑠)) que no se puede invertir, de manera que: 𝐺̃ = 𝐺̃ + (𝑠)𝐺̃ − (𝑠) … . (4) Por otro lado, debido a las diferencias entre el proceso y el modelo del proceso, se suele utilizar un filtro 𝐺𝑓 (𝑠) para atenuar los errores en el modelado. 𝐺𝑓 (𝑠) =

1 … (5) (1 + 𝑡𝑓 𝑠)𝑛

Donde n nos ayuda a hacer que GIMC sea propia, es decir, que el orden del denominador sea mayor que el del numerador. Para el desarrollo de la práctica 4, el valor de n se tomará igual a 1 mientras que el valor de  f se tomará como la mitad de  , para que el filtro sea más rápido que la dinámica del proceso. De manera que el controlador queda de la siguiente manera:

̃ + (𝒔)) 𝑪𝑰𝑴𝑪 (𝒔) = (𝑮

−𝟏

𝑮𝒇 (𝒔) … . (6)

3.2b – Aplicación del IMC para la sintonización de Controladores PID

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Si nuestro proceso puede ser representado por un modelo de primer orden con retardo. Y a este retardo se le aplica la aproximación de Padé. Entonces, a partir de la estrategia de control IMC se podría hallar una sintonía para controladores PID. Veámoslo en el siguiente ejemplo: En la figura 3 se muestra la estructura general IMC. La cual puede ser reducida a una estructura convencional de lazo cerrado, reordenando los bloques de la estructura tal como se muestra en las figuras 4 y 5.

Figura 3– Esquema general del IMC

Figura 4. Reordenamiento del esquema del IMC

Figura5. Lazo Cerrado Donde : 𝐶 ∗ (𝑠) =

𝐺̃ + (𝑠)−1 𝐺𝑓 (𝑠) 𝐶𝐼𝑀𝐶 (𝑠) = … . (7) 1 − 𝐶𝐼𝑀𝐶 (𝑠)𝐺̃ (𝑠) 1 − 𝐺̃ − (𝑠)𝐺𝑓 (𝑠)

Si el modelo del proceso viene dado como un modelo de primer orden con retardo, es decir: 𝑘𝑒 −𝑡𝑚 𝑠 ̃ 𝐺= … . (8) 𝜏𝑠 + 1 Tenemos: 𝑘 𝐺̃ + = …(9) 𝜏𝑠+1 𝐺̃ − = 𝑒 −𝑡𝑚𝑠 … (10)

Y reemplazamos el término de retardo por su aproximación de Padé en la ecuación 10, obtenemos:

𝐺̃ + = 𝑒 −𝑡𝑚𝑠 ≈

𝑡 1− 𝑚 𝑠 2

𝑡 1+ 𝑚 𝑠

…(11)

2

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Reemplazando las ecuaciones 6,9 y 11 en la ecuación 7:

𝒕 ̃ + (𝒔)−𝟏 𝑮𝒇 (𝒔) (𝟏 + 𝝉𝒔)(𝟏 + 𝟐𝒎 𝒔) 𝑮 𝑮𝑷𝑰𝑫 (𝒔) = = … . (𝟏𝟐) 𝒕 ̃ − (𝒔)𝑮𝒇 (𝒔) 𝟏−𝑮 𝒌(𝝉𝒇 + 𝟐𝒎 )𝒔

Teniendo en cuenta la función de transferencia del controlador PID ideal: 𝟏 𝑮𝑷𝑰𝑫 (𝒔) = 𝑲𝑷 (𝟏 + + 𝒔𝑻𝒅 ) … (𝟏𝟑) 𝑻𝒊 𝒔 Comparando la ecuación 12 con la ecuación 13, se obtienen los parámetros 𝐾𝑃 , 𝑇𝑖 y 𝑇𝑑 , los cuales se muestran en la Tabla 2. Aproximación del retardo

Controlador

Padé de primer orden

PID

KP

𝒕𝒎⁄ 𝟐) 𝒕 𝒌(𝝉𝒇 + 𝒎⁄𝟐) Tabla 2: Control PID-IMC (𝝉 +

Ti

Td

𝒕 𝝉 + 𝒎⁄𝟐

𝒕𝒎 𝝉 𝒕 𝟐(𝝉𝒇 + 𝒎⁄𝟐)

4-Referencias [1] Ogata Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderna. [2]Ming T. Tham (2002) Internal Model http://lorien.ncl.ac.uk/ming/robust/imc.pdf

Control.

Disponible

en

Informe Previo 1. Describa los métodos de Identificación de Sistemas (Repase Guía 6 del Laboratorio Sistema de Control I). 2. Describa el controlador PID. 3. Describa el Control por Modelo Interno (IMC).

Ejercicios 8

1. En Matlab®/Simulink halle la respuesta de nuestro proceso 𝐺(𝑠) = 𝑠2 +6𝑠+8 2. En Matlab®/Simulink programe el lazo de control realimentado de la figura 1 considerando la ley de control del controlador PID según con la ecuación 1. 3. Sintonización del controlador PID I. Método de Ziegler-Nichols i. Con el modelo de primer orden con tiempo muerto de nuestro proceso, encuentre los parámetros del controlador PID usando el método de ZieglerNichols 𝐾𝑃 =_____, 𝑇𝑖 =_____y 𝑇𝑑 =_____ ii. Realice una simulación del comportamiento del sistema de control ante un cambio en la consigna (escalón unitario) usando la sintonía obtenida.

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iii. Grafique la salida del sistema junto con la consigna del sistema. iv. De obtener un sobre impulso mayor al 25%. Realice un ajuste fino de los parámetros. II. Método de IMC i. Con el modelo de primer orden con tiempo muerto de nuestro proceso, encuentre los parámetros del controlador PID usando el método del IMC, considerando f=/2. 𝐾𝑃 =_____, 𝑇𝑖 =_____y 𝑇𝑑 =_____ ii. Realice una simulación del comportamiento del sistema de control ante un cambio en la consigna (escalón unitario) usando la sintonía obtenida. iii. Grafique la salida del sistema junto con la consigna del sistema. iv. Repita la simulación considerando f=/8 y f=2 .¿Cuál es el efecto en la respuesta del sistema? 4. Ahora en el lazo de control realimentado programado en el ejercicio 2, agregue una entrada de perturbación en la entrada del proceso. 5. Simule el sistema con una perturbación escalón de magnitud 0.2 tanto para la sintonía obtenida por el método Ziegler-Nichols como para la obtenida usando IMC. 6. Compare estas dos respuestas ¿Cuál tiene un mejor desempeño?.

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