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FUERZA AÉREA BOLIVIANA DEPARTAMENTO V - EDUCACIÓN EMGFAB

GUÍA DE ESTUDIO MATEMÁTICAS

LA PAZ - BOLIVIA

GUIA DE ESTUDIOS

DPTO. V - EDUCACIÓN EMGFAB

INDICE INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA

1

SIMBOLOS ALGEBRAICOS BASICOS

2

I. ALGEBRA

4

1. CONCEPTOS BASICOS

4

2. TERMINO

4

A. TIPO DE TERMINOS

5

a) Enteros:

5

b) Fraccionarios:

5

c) Racionales:

5

d) Irracionales:

5

e) Semejantes:

5

3. POLINOMIO

6

B. TIPO DE POLINOMIOS

7

a) Enteros:

7

b) Fraccionarios:

7

c) Racional:

7

d) Irracional:

7

e)

Entero de una Letra:

7

f)

Completo con Relación a una Letra:

8

g) Ordenado:

8

II. OPERACIONES CON POLINOMIOS:

9

A. ADICION

9

1. REGLA PRACTICA

9

B. SUSTRACCION

10

1. REGLA PRACTICA

10

C. SUSTRACCIÓN

11

1. REGLA PRACTICA

11

2. ELIMINACIÓN DE LOS PARÉNTESIS

11

D. MULTIPLICACION

12

1. ELIMINACION DE LOS PARENTESIS:

12

a)

Los Coeficientes:

12

b)

Los pares variables:

13

2. ELIMINACION DE POLINOMIO POR MONOMIO

14

3. ELIMINACION DE POLINOMIOS ENTRE SI:

14

4. PRODUCTOS NOTABLES:

16

a)

El Cuadrado de un Binomio:

16

b)

Producto de la suma por la Diferencia de dos cantidades:

16

c)

El Cubo de un Binomio:

17

1 de 4

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E. MULTIPLICACIÓN

19

1. DIVISION DE MONOMIOS ENTRE SI:

19

a)

Los Coeficientes:

19

b)

Los Coeficientes:

19

2. DIVISION DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO:

20

3. DIVISION DE POLINOMIOS ENTRE SI:

21

III. FACTORIZACION

23

A. PRUEBA GENERAL DE LOS FACTORES:

23

B. POR DIVISOR COMUN:

23

C. POR PRODUCTOS NOTABLES:

25

D. TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO:

25

E. SUMA Y DIFERENCIA DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE:

26

1. E. REGLA DE RUFFINI:

27

IV. FRACCIONES ALGEBRAICAS:

31

A. PROPIEDAD FUNDAMENTAL:

31

B. PROPIEDAD FUNDAMENTAL:

32

V. RADICALES

34

A. SIMPLIFICACION DE RADICALES:

34

B. AMPLIFICACION DE RADICALES:

35

1. OPERACIONES CON RADICALES a)

Adición y Sustracción:

35 35

b) Multiplicación:

36

c) División:

37

VI. IGUALDADES Y ECUACIONES:

39

A. IGUALDAD

39

B. PROPIEDAD FUNDAMENTAL:

39

C. ECUACION:

39

1. CONCEPTOS BASICOS

40

a) Igualdad:

40

b) Identidad:

40

c) Ecuación:

40

d) Miembros:

40

e) Términos:

41

f) Grado:

41

g) Raíz:

41

h)

Conjunto Solución:

41

i)

Comprobación de Ecuaciones:

41

j)

Clasificación:

42

k)

Por el Numero de Incógnitas:

42

l)

Por el Grado de Incógnita:

42

m) Por el Numero de Términos:

MATEMÁTICAS

2 de 4

43

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n)

De Acuerdo a su Conjunto Solución:

43

o)

Por su Estructura:

43

2. ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA

44

3. ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCOGNITA

45

VII. CONJUNTOS NUMERICOS:

53

A. CLASIFICACION DE LOS NUMEROS:

53

1. NATURALES

53

2. ENTEROS NEGATIVOS:

54

3. EL CERO:

54

4. ENTEROS:

54

5. FRACCIONARIOS:

55

6. RACIONALES:

56

7. IRRACIONALES:

57

8. REALES:

58

a)

La Recta Real:

58

b)

Intervalos En Los Números Reales:

59

9. IMAGINARIOS:

60

a)

Unidad Imaginaria:

61

b)

Potencias de i:

62

10. COMPLEJOS:

62

VIII. DESIGUALDADES E INECUACIONES:

67

A. RAMAS DE LA LINGÜÍSTICA

67

B. INECUACIONES NO LINEALES:

71

IX. VALOR ABSOLUTO:

76

A. CONCEPTO:

76

B. DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO:

76

C. IGUALDADES Y DESIGUALDADES QUE CONTIENEN VALOR ABSOLUTO:

76

X. FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA:

80

A. EXPONENTES

80

B. FUNCION EXPONENCIAL

80

1. ECUACIONES EXPONENCIALES

81

2. FUNCION LOGARITMICA:

84

XI. LOGARITMOS

86

A. DEFINICION

86

1. CAMBIO DE BASE:

89

XII. TRIGONOMETRIA:

93

A. ANGULOS

93

a) Sexagesimal:

93

b) Circular o Radianico:

93

B. TRIANGULO RECTANGULO:

94

1. TEOREMA DE PITAGORAS:

94

3 de 4

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C. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS:

95

D. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS:

97

1. FUNCIONES DE ANGULOS SIMPLES:

97

2. FUNCIONES DE ANGULOS COMPUESTOS:

98

E. TRIANGULOS RECTANGULOS:

101

F. TRIANGULOS OBLICUANGULOS:

103

1. LEY DE SENOS

103

2. LEY DE COSENOS:

103

a)

Teorema de Cosenos:

104

XIII. GEOMETRÍA ANALITICA:

107

A. CONCEPTO DE GEOMETRÍA:

107

B. CONCEPTOS BASICOS:

107

1. PUNTO:

107

2. LINEA:

107

3. PERPENDICULAR:

107

4. MEDIATRIZ:

107

5. PARALELAS:

107

6. FUGURA GEOMETRICA:

107

C. LA RECTA:

107

1. ECUACIONES DE LA RECTA: a)

108

Ecuaciones Paramétricas

108

D. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA:

111

E. LA PARABOLA:

113

1. ECUACIÓN GENERAL DE 2° GRADO CON 2 INCÓGNITAS:

113

F. ELIPSE:

115

G. LA HIPERBOLA:

115

1. HIPERBOLAS EQUILATERAS:

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MATEMÁTICAS INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA El Álgebra es muy divertida – ¡puedes resolver acertijos con ella! Un Acertijo ¿Cuál es el número que falta? -

2

=

4

Bueno pues, la respuesta es 6, ¿no? Porque 6-2=4. Bien, en Álgebra no usamos espacios vacíos o cajas sino que usamos una letra (normalmente una x o una y, pero cualquier letra está bien). Entonces escribiríamos: X

-

2

=

4

Es así de sencillo. La letra (en este caso una x) sólo quiere decir “aún no lo sabemos” y se la llama frecuentemente incógnita o variable. Y una vez que la resuelves, escribes: x

=

6

¿Por qué usar una letra? Porque: 

Es más fácil escribir “x” que dibujar cajitas vacías (y más fácil decir “x” que “caja vacía”).



Si hubiera muchas cajitas vacías (muchas “incógnitas”) podríamos utilizar una letra diferente para cada una.

El álgebra es como un acertijo donde empiezas con algo como “x-2=4” y quieres llegar a algo como “x=6”. Pero en lugar de decir “obviamente x=6”, usa el siguiente método paso a paso: 

Piensa qué es lo que debes quitar para llegar a “x=…”



Quítalo haciendo lo opuesto (sumar es opuesto a restar)



Esto último hazlo en ambos lados

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Aquí tienes un ejemplo: Para quitarlo, haz lo opuesto, en este caso suma 2.

Queremos quitar el “-2”

Lo cual es ...

Hazlo en ambos lados:

¡Resuelto!

¿Por qué agregamos 2 a ambos lados? Para “mantener el equilibrio”… Agregar a la izquierda

Equilibrada

Agregar a la derecha

¡Desequilibrada!

Equilibrada de nuevo

Acuérdate de esto: Para mantener el equilibrio, ¡lo que se hace a un lado del “=” también debe hacerse al otro lado! Otro Acertijo : Resuelve éste: x

+

5

=

12



Comienza con:

x + 5 = 12



Lo que estás buscando es una respuesta como “x=…” ¡y el +5 está molestando!



Si restas 5, puedes cancelar el +5 (porque 5-5=0)



Entonces, intentemos restar 5 en ambos lados:



Un poquito de aritmética (5-5=0 y 12-5=7) da como resultado: cual es simplemente:



x=7

(chequeo rápido: 7+5=12)

SÍMBOLOS ALGEBRAICOS BÁSICOS 

Suma

+



Resta

-



Multiplicación

MATEMÁTICAS

x, ( )( ), • , 2 de 118

¡Resuelto!

x+5 -5 = 12 -5 x+0 = 7 Lo

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

División

÷, /



Radicación

√



Agrupación

( ), { }, [ ], ¯



Es igual a =



Es mayor que

>



Es menor que


0 .



Para factorizar este tipo de trinomios, vamos a plantear un método práctico a través de los siguientes pasos:



El trinomio se descompone en dos factores binomios lineales, cuyos términos de primer grado serán “ax” . O sea los factores tomarán la forma: ( ax



) ( ax )

Los términos independientes son dos números enteros que sumados algebraicamente (sumados o restados) den “b” y que multiplicados de el producto “a• b” .



Para concluir, la expresión obtenida se debe dividir entre “a”

Ejemplo: Factorizar: 11x + 6 - 10x2 Solución: Ordenando:

- 10x2 + 11x + 6

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Sabemos que “a” siempre debe ser positivo, por tal motivo debemos cambiar el signo introduciendo todo en un paréntesis negativo:

- 10x2 + 11x + 6

=

- ( 10x2 - 11x – 6 )

Construyendo los factores binomicos, sin olvidar de anotar el signo negativo por delante: = - ( 10x ) ( 10x ) Ahora buscamos dos números enteros que sumados algebraicamente dos den - 11 y multiplicados - 60 . Esos números son: -15 y 4. Por tanto tendremos: = - ( 10x - 15 ) ( 10x + 4 ) Dividimos ahora todo por 10. Como ninguno de los factores es divisible por 10, entonces dividimos el primero por 5 y el segundo por 2, que equivale a lo mismo:



Dividiendo:

10x 15 10x  4 5

2

= - ( 2x – 3 ) ( 5x + 2 )

Para eliminar el signo negativo, lo multiplicamos por cualquiera de los dos factores, evitando en lo posible la presencia de signos negativos: = ( 3 - 2x ) ( 5x + 2 ) E. SUMA Y DIFERENCIA DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE: Al respecto podemos plantear las fórmulas: an + bn = an – bn

( a + b ) ( an-1 – an-2 b + an-3 b2 – . . . . – a bn-2 + bn-1 ) =

( a – b ) ( an-1 + an-2 b + an-3 b2 + . . . .+ a bn-2 + bn-1 )

Los segundos factores son polinomios P(a,b) ordenables de grado “ n-1 ” cuyos coeficientes todos son igual a la unidad. Los signos son alternados: positivo, negativo, etc. en el caso de la suma de potencias y todos son positivos en el caso de la diferencia. También debemos aclarar que para el caso de la suma, “ n ” no puede ser par.

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Ejemplo: Factorizar: m4n8 – 81 Solución: Inicialmente expresamos como diferencia de potencies de igual exponente: m4n8 – 81

=

( mn2 )4 – 34

Aplicando la fórmula: = ( mn2 – 3 ) [ (mn2)3 + (mn2)2• 3 + (mn2)• 32 + 33] Haciendo operaciones: = ( mn2 – 3 ) ( m3n6 + 3m2n4 + 9mn2 + 27 ) El segundo factor podemos volver a factorizar por agrupación: = ( mn2 – 3 ) [ m2n4 ( mn2 + 3) + 9 ( mn2 + 3 ) ] = ( mn2 – 3 ) ( mn2 + 3) ( m2n4 + 9 ) También en este caso se puede factorizar por “diferencia de cuadrados”. Ejemplo: Factorizar: 8 + x3y3

Solución:

1.

8 + x3y3

= 23 + x3y3

=

( 2 + xy ) ( 22 - 2xy + x2y2 )

=

( 2 + xy ) ( 4 - 2xy + x2y2 )

REGLA DE RUFFINI:

Esta regla nos permite descomponer polinomios P(x) en general, en factores binómicos de la forma general ( x – a ) . Lo explicaremos a través del siguiente: Ejemplo: Factorizar: 36 + x4 – 13x2

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Solución: Anotamos los coeficientes del polinomio previamente ordenado x4 – 13x2 + 36, llenando con ceros los coeficientes de los términos

faltantes: 1

0

– 13 0

36

Para calcular la constante “a” del binomio ( x – a ) buscado, intentamos con los divisores del último coeficiente 36. Tomemos por ejemplo el 2, disponiéndolo como se indica a continuación. En la fila superior están los coeficientes del polinomio:

El primer coeficiente 1 se ha bajado a la tercera fila y multiplicado por “a” ; este producto 2 se ha colocado en la segunda fila debajo del siguiente coeficiente para sumarlo con él, esta suma 0+ 2 = 2 se coloca más abajo en la tercera fila. Con esta suma se hace lo mismo, es decir se multiplica por “a” y luego se suma con el siguiente coeficiente: -13+ 4 = - 9. Así sucesivamente se continúa hasta llegar al último coeficiente Para que el número “ a“ tomado sea válido, es necesario que la última suma sea cero tal como ocurre en nuestro ejemplo: 36 – 36 = 0; o sea como a = 2 es válido y nuestro primer factor será: ( x – 2 ). Para calcular el segundo factor repetimos los mismos pasos, tomando los valores de la fila inferior como si fueran los coeficientes dados. Así podemos tomar otros valores para “a”, como ser - 2 , 3, 3 etc. siempre cuidando que la última suma sea cero.

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Como podemos ver hemos obtenido cuatro valores para “a”, por tanto tenemos cuatro binomios de La forma (x – a) que son los que estábamos buscando. Por tanto el polinomio P(x) dado, ha quedado factorizado así:

Eliminando los paréntesis internos:

EJERCICIOS PROPUESTOS Descomponer en factores primos los siguientes polinomios, utilizando cualquiera de los casos estudiados: 1. 9a3x2 – 18ax3

Resp: 9ax2 ( a2 – 2x )

2. x (a + 1) – 2a - 2

Resp: ( a + 1 )( x – 2 )

3.

2am - 2an + 2a - m + n – 1

Resp: ( m-n+1)(2a-1)

4. 3ax - 2by - 2bx - 6a + 3ay + 4b

Resp: (x+y-2)(3a-2b)

5. x8 + x4 – 240

Resp: (x4+16)(x4-15)

6.

a2 - m2 - 9n2 - 6mn + 4ab + 4b2

Resp: (a+2b+m-3n)(a+2b-m+3n)

7.

a3x + b3 x

8.

6x2 - 2 + 8x4

9. 15a2b - 5ab2 10. 3a3b + 6ab 11. ab3 – a3b

Resp: ab (a+b) (b-a)

12. 3 ax3 - 3a3x

Resp: 3ax (a+x) (x-a)

13. 5k3 – 54k + 2k4 -135

Resp: (2k+5) (k-3) (k2+3k+9)

14. 10ax2 + 5ax3 – 10a – 5ax

Resp: 5a (x+1) (x–1) (x+2)

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15. 144m – 40m3 + m5

Resp: m (m+6) (m-6) (m+2) (m-2)

16. 4a3x4 + 2a2x3 - 8ax2

Resp: 2ax2 (ax+2) (2ax–2)

17. 21ax - 8b3y + 8b2y + 24ab2y – 7bx + 7x

Resp: (7x+8b2y) (3a-b+1)

18. m3 – 6m2 – 7m

Resp: m (m-7) (m+1)

19. 4w4–113w2+ w6–108w -36+ 6w5– 42w3 Resp:

(w+1)2

(w+2)2

(w+3) (w-3) 20. m4n – m3n2 – m2n3 + mn4

Resp: mn (m-n)2 (m+n)

21. a4 + 64x4

Resp: (a2+ 4ax+ 8x2) (a2-

4ax+ 8x2) 22. a2y6 - a2x6

Resp: a2 (x+y) ( y - x)

(x2+ xy+ y2) (x2 - xy+ y2) 23. a4 – 2a2b2 + b4

Resp: (a + b)2( a - b)2

24. a7 + a4 – 81a3 – 81

Resp:

(a2-a+1)

(a2+9)

(a+3) (a-3) (a+1) 25. 3x – 8x4 – 12 + 2x5

Resp: (x–4) (2x4+ 3)

26. m18- m2

Resp: m2 (m8+1) (m4+1)

(m2+1) (m+1) (m -1) 27. 1200 – 75y4 + 3y6 – 48y2

Resp: 3(y2+4) (y+2) (y-2)

(y+5) (y-5) 28. m8 – 25a4 + 144

Resp: (m2+4) (m2+3) (m2

-3) (m+2) (m-2)

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IV.

FRACCIONES ALGEBRAICAS: Expresión racional o fracción algebraica es toda expresión de la forma:

Donde P(x)

y Q(x)

son

polinomios

enteros cualesquiera, P(x)

es el

numerador y Q(x) es el denominador. Además debe ser Q(x) ≠ 0 (el denominador nunca debe ser cero). A. PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En toda expresión racional o fracción algebraica, se pueden multiplicar el numerador y denominador por un mismo factor H(x), y la fracción no varía”. Es decir:

Esta propiedad nos permite amplificar fracciones. Expresada a la inversa:

O sea: “A toda fracción algebraica se pueden suprimir o quitar factores iguales (dividir), al numerador y denominador y la fracción no varía”. Planteada así nos permite simplificar fracciones que es una operación muy frecuente. Ejemplo: Reducir a su expresión más simple (simplificar):

Solución: Factorizamos numerador y denominador:

Aplicando la propiedad planteada, dividimos numerador y denominador por el factor ( m – 2a ). 31 de 118

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Luego eliminando paréntesis obtenemos la fracción simplificada:

B. PROPIEDAD FUNDAMENTAL: Las operaciones de adición, sustracción,

producto

y

cociente de

fracciones algebraicas, las vamos a resumir a través de las siguientes reglas:

Ejemplo: Simplificar:

Solución: Factorizando denominadores y reduciendo a común denominador como indica la regla (2):

Eliminando paréntesis, reduciendo términos y factorizando en el numerador:

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De acuerdo a la propiedad fundamental, simplificamos eliminando el factor (x 3) obteniendo el resultado final:

EJERCICIOS PROPUESTOS:

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V.

RADICALES Se llama radical a toda cantidad expresada por intermedio del signo radical: .√

Así por ejemplo son radicales: √

En todo radical: √

√

√



“a” = es la cantidad subradical o radicando



“n” es el índice.

√

Definición.- Recordemos que el símbolo radical se origina en una potencia de exponente fraccionario, así:

Propiedad fundamental: Todo radical subradical ó radicando “a”. O sea: elevado al exponente “n” equivale a la cantidad subradical ó radicando “a”. O sea:

A. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES: La anterior propiedad nos permite simplificar radicales, es decir extraer o sacar del radical factores con exponente igual o superior al índice. Ejemplo: Simplificar el radical:

Solución: Expresamos el radicando 200a5b4y en factores en lo posible elevados al exponente “3” que es el índice del radical:

Extraemos del radical aquellos factores cuyo exponente es “3” y finalmente operamos tanto dentro como fuera del radical:

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B. AMPLIFICACION DE RADICALES: La propiedad fundamental planteada, también nos permite amplificar radicales, es decir introducir factores dentro del radical, que es el paso inverso a la simplificación. Cuando se hace esta operación, en compensación el factor introducido se debe elevar a un exponente igual al índice del radical. Ejemplo: Introducir la expresión de afuera en el signo radical.

Introducimos teniendo el cuidado de elevar al cuadrado la expresión introducida. Luego operamos dentro del radical:

1.

OPERACIONES CON RADICALES Para operar con radicales se procede en forma semejante como se opera con polinomios. a) Adición y Sustracción: Para sumar dos o más radicales, no hay más que reunirlos en un solo polinomio y luego se reducen los radicales semejantes. En caso de la resta, previamente se cambia el signo del sustraendo; luego se procede como en la suma. Ejemplo: Operar y simplificar la siguiente expresión:

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Solución: Primero simplificamos los radicales y luego reducimos radicales semejantes:

Ejemplo: Operar y simplificar la siguiente expresión:

Solución: Introduciendo factores que convienen en el primero y tercer radical; además simplificando el segundo radical:

Simplificando fracciones dentro de los radicales:

Reduciendo radicales semejantes, o lo que es lo mismo sacando factor común:

Finalmente:

b) Multiplicación: Para multiplicar dos o más radicales, éstos en primer lugar deben tener el mismo índice (común índice); luego se multiplican entre sí por un lado las

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cantidades subradicales y por otro los coeficientes o cantidades que están fuera de los radicales. Es decir:

c) División: Para dividir dos radicales monómicos, éstos necesariamente deben tener común índice. Luego basta dividir los coeficientes por una parte y los radicandos por la otra. Es decir:

Racionalización.- En la división de radicales es muy importante liberar el denominador del radical, lo que nos permite usar con más facilidad los resultados obtenidos. A esta operación se la conoce con el nombre de racionalización del denominador y que es lo que a continuación nos vamos a abocar. En general, la división de radicales ya sean monómicos o no, consiste en racionalizar el denominador, y para ello se aconseja multiplicar dividendo y divisor por un factor clave, de modo que el divisor o denominador quede libre del radical. Ejemplo: Dividir: 3

Solución: Escribimos como una fracción:

Luego dividimos, simplificamos y racionalizamos el denominador:

Para racionalizar el denominador ( si es monómico) se multiplica numerador y denominador por el denominador que se encuentra dentro del radical, tantas veces como sean necesarias para igualar su exponente con el índice, y así de

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ese modo aplicar la propiedad fundamental. En este caso multiplicamos por 2b(m-2) es suficiente una vez para igualar al índice que es “2”:

El denominador, que es lo que más nos interesa, se puede sacar del radical porque su exponente es “ 2 ” igual que el índice:

Ejemplo: Racionalizar el denominador en la expresión:

Solución: En este caso, como el denominador no es monomio, nos conviene multiplicar por el mismo denominador binómico con uno de sus signos cambiado. Podía ser por

Vamos a adoptar la primera opción que viene a ser lo que se llama “conjugada” del denominador. Multiplicamos numerador y denominador por esta expresión, y en el denominador obtendremos siempre diferencia de cuadrados, que es un producto notable:

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VI.

IGUALDADES Y ECUACIONES: A. IGUALDAD En términos matemáticos, se llama igualdad a la relación que se establece entre dos cantidades “a” y “b”, que se supone deben tener el mismo valor o son idénticas entre sí. Simbólicamente se escribe:

Donde “a” se llama primer miembro y “b” segundo miembro. No es el objetivo de este tema hacer un estudio minucioso de la igualdad y de sus propiedades, sino más bien hacer un repaso necesario de lo que son las ecuaciones. Antes de hacer esto, debemos mínimamente mencionar una propiedad importante sobre igualdades: B. PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En toda igualdad, se pueden hacer en ambos miembros operaciones iguales con cantidades iguales, sin alterar la relación de igualdad. Es decir: Si a = b y “c” un número real cualquiera, entonces: 1. a + c

=

b +c

2. a - c

=

b - c

3. a • c

=

b•c

4. a ÷ c

=

b ÷ c para c 

0

C. ECUACIÓN: Se llama ecuación a toda igualdad que contenga cantidades desconocidas “x”, “y”, “z”, etc. llamadas incógnitas o variables. Las ecuaciones se clasifican de acuerdo al grado de sus variables y se denominan de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc. respectivamente; las de primer grado también se llaman lineales y las de segundo cuadráticas. También se pueden clasificar de acuerdo al número de sus variables. Resumiremos a continuación los tipos de ecuaciones más importantes: La intensión de resolver las ecuaciones es encontrar sus raíces o soluciones de la ecuación.

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Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra. D'Alembert fue el primer matemático que dio una demostración, pero no era completa. Se considera a Gauss como el primer matemático que dio una demostración rigurosa. 1.

CONCEPTOS BÁSICOS a)

Igualdad: Es la expresión en la cual se indica que una expresión tiene el mismo valor que otra. La igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión. 5 + 10 = 3*5

2m +8 = 12

b) Identidad: Es la expresión en la cual se indica que dos expresiones son iguales para cualquier valor que se ponga en lugar de las letras que figuran en la expresión

c)

Ecuación: Es la expresión de igualdad condicionada por cantidades conocidas y cantidades desconocidas o incógnitas, que se cumplen únicamente para determinados valores. Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto. Y -2 = 6

se cumple si

Y=8

3x + 5y = 23y

se cumple si

x = 6y

d) Miembros: Miembros de una ecuación son las expresiones colocadas a la derecha y a la izquierda del signo igual (=). 3x = 5 5 el segundo miembro.

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donde 3x es el primer miembro y

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e)

Términos: Términos de una ecuación, son cada una de las expresiones que están conectadas con otra por los signos de suma y resta (+, –).

f)

Grado: El grado de una ecuación con una incógnita es el mayor exponente de esa incógnita.

g) Raíz: Se le llama raíz de una ecuación a cualquier valor numérico que al sustituirse por la incógnita satisfaga la ecuación. 3x = 15

la raíz es 5 pues 3(5) = 15 y cumple la condición.

h) Conjunto Solución: Es el conjunto de todos los números que satisfacen la igualdad en una ecuación. Es el conjunto de todas las raíces de la ecuación. 3x2 = 12 {2, -2} son el conjunto solución pues ambos cumplen la condición Debemos

distinguir

entre identidades y ecuaciones.

Cuando dos

expresiones son iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es una ecuación. i)

Comprobación de Ecuaciones: La comprobación se realiza sustituyendo la raíz obtenida en la ecuación original, si ambos miembros dan el mismo resultado se confirma la respuesta.

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j)

Clasificación: Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:

k)

Por el Numero de Incógnitas: Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres incógnitas. Las ecuaciones con una incógnita se pueden imaginar cómo puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.

l)

Por el Grado de Incógnita: Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita). 

Si el exponente más alto es uno entonces la ecuación es de primer grado.



Si el exponente más alto es dos entonces la ecuación es de segundo grado o cuadrática.



Si el exponente más alto es tres entonces la ecuación es de tercer grado o cúbica. Y así sucesivamente.

Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma: Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes ecuaciones: x1 + x2 + ... + xn = -a1 x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2 x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = a3 .................................. x1x2...xn = (-1)nan

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Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones. m) Por el Numero de Términos: 

Ecuaciones binómicas: Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicas.



Ecuaciones polinómicas: Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar polinómicas.

n) De Acuerdo a su Conjunto Solución: 

Ecuación identidad: Es la que se cumple para cualquier valor de la variable.



Ecuación condicionada: Es cuando se le añade a la ecuación una condición adicional. 5x + 2y = 9 tal que “x” y “y” pertenecen a N; la pertenencia a los números Naturales es la condición.



Ecuaciones equivalentes: Cuando el conjunto solución de una ecuación es igual al de otra ecuación se dice que estas ecuaciones son equivalentes.

o) Por su Estructura: 

Ecuación entera: Es aquella en que todos sus términos son enteros. 6y + 4x – 5 = 3x – 2 ;



2x – 3y = 9

Ecuación fraccionaria: Es aquella en que uno o mas de sus términos poseen denominador.



Ecuación racional: Es en la que ninguno de sus términos lleva la incógnita bajo un radical. 2x – 3y = 9 ; √2 – 5m√32 = 7



Ecuación irracional: Es en la que al menos uno de sus términos lleva la incógnita bajo un radical. 2√x – 3y = 9 ;

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√x – 5m√m = 7 - m

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2.

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA Las ecuaciones lineales o de primer grado con una incógnita, presentan la forma general:

Donde “a” y “b” son coeficientes reales cualesquiera. Además debe ser a  0 La solución de las ecuaciones lineales viene dada por la fórmula:

Ejemplo: Resolver la ecuación: 3 x (2 - x) - (x + 1) 2 + 2 =

4 – ( 2x - 3)( 2x + 3)

Solución: Eliminando paréntesis: 6x - 3x2-x2-2x–1+2

=

4-4x2+9

Reduciendo términos semejantes, igualando a cero y ordenando obtenemos la expresión: 4 x - 12 = 0 Que corresponde a la forma general lineal, donde: a = 4 Aplicando la fórmula dada y simplificando:

Que es la solución buscada. Escrita como conjunto solución: conj.sol. = { 3 } Gráficamente:

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y

b

=

-12

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Nota: En la práctica es poco común utilizar la fórmula x = - b/a . Mayormente se hace

un despeje de “x” por simple transposición de cantidades de un

miembro a otro, aplicando reglas como: “Toda cantidad que está sumando en un miembro, pasa al otro miembro a restar” (si está restando pasa a sumar), “Toda cantidad que está multiplicando en uno de los miembros, pasa al otro miembro a dividir” (si está dividiendo, pasa a multiplicar), etc.; reglas que a su vez derivan de la propiedad fundamental de igualdades dada anteriormente. Verificación: Reemplazando x = 3 en la ecuación dada: 3 • 3 (2 - 3) - (3 + 1) 2 + 2 Operando en cada miembro:

=

4 – ( 2 • 3 - 3)( 2 •3+ 3)

-9 - 16 + 2 = 4 - 3 •9 -23 = 4 – 27 -23 = - 23

La última igualdad es una verdad, es decir x = 3 verifica la ecuación dada, por tanto constituye el conjunto solución; todo valor ajeno a éste conjunto con seguridad no verificará la ecuación, es decir saldrá falso. Dejamos para el C.C. la comprobación de ésta falsedad. 3.

ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCOGNITA Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, son aquellas que presentan la forma general:

Donde “a”, “b”, “c” son coeficientes reales cualesquiera. Además debe ser a 0 La forma más importante de resolver ecuaciones cuadráticas, viene dada por la siguiente fórmula, que es muy utilizada y conocida:

Ejemplo: Resolver la ecuación fraccionaria:

Solución: Eliminando denominadores y operando lo necesario:

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2x - x2-5 +5x

=3x-3x2

Llevando a la forma general cuadrática: 2x2+4x-5=0 Dónde:

a=2; b=4; c=-5

Reemplazando en la respectiva fórmula; operando; simplificando el radical y la fracción:

Descomponiendo en dos soluciones:

Que son las soluciones buscadas. Escritas como conjunto solución:

Gráficamente:

La verificación de éste conjunto solución, dejamos para el C.C. como ejercicio. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Se tratan de ecuaciones a más de una variable; generalmente éste tipo de ecuaciones vienen acompañadas, formando grupos o sistemas de ecuaciones, de este modo las soluciones son puntuales. Se conocen varios métodos de solución: igualación, sustitución, reducción, etc.

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Solución: Resolvamos el sistema dado por ejemplo por el método de sustitución: Despejando “y” en

(1)

y = 2x+ 4

(3)

Sustituyendo (3) en (2) x 2 + 2 x + ( 2 x + 4) = 1 Resolviendo ésta ecuación cuadrática con una sola variable, obtenemos soluciones para “x”: x1

=-3

x2

= -1

Para obtener las respectivas “y” reemplazamos estos valores en cualquiera de las ecuaciones dadas (1) o (2), o más fácilmente en (3) y = 2(-3) + 4 = - 2

y1=-2

y = 2(-1) + 4 = 2

y2

=2

Apareando convenientemente las “x” con las “y” obtenemos finalmente el conjunto solución del sistema de ecuaciones (1) y (2) dado: conj. sol. = {(-3 , -2) ; (-1 , 2)} Como quiera que las ecuaciones dadas son a dos variables, es de suponer que en la interpretación gráfica o geométrica, necesitamos dos ejes: “x” e “y” , es decir el sistema de coordenadas cartesiana para el plano ( a dos dimensiones) tal como se muestra en el siguiente gráfico.

Verificación: Reemplazando cada uno de los puntos del conjunto solución, en cada una de las ecuaciones del sistema dado: Para (-3,- 2) : 2(-3) – (-2) 47 de 118

= -4 MATEMÁTICAS

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(- 3) 2 + 2 (-3) + (-2)

=

1

Operando obtenemos las igualdades: - 4 = - 4 (Verdad) 1 = 1

(Verdad)

EJERCICIOS PROPUESTOS IGUALDADES y ECUACIONES: Demostrar las siguientes identidades algebraicas: 1. (x2 + xy + y2)(x- y) = (x2 - xy + y2)(x +y) - 2y3 2. (x3 + x2y + xy2 + y3) (x - y) = ( x3- x2y + xy2 – y3)(x + y) 3. (x2 -y2 )2 = (x - y)2 (x + y)2 4. x2 - (y + z)2 = (x – y - z)(x + y +z) 5. (a - 2)(a + 3) + a + 7 = (a + 1)2 6. (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) 7. 3(x2 + y2 + z2) - (x + y + z)2 = (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 8. 6x - 3(x + 1)2 + 12x2 = 3(3x2 - 1) 9. (2x + 1)(x - 3) + 7 = x(x - 1) + (x - 2)2 10. (9x2 - 25) : (3x + 5) = 3x – 5 Resolver los siguientes problemas relativos a ecuaciones lineales: 1. Hallar un número cuya tercera parte sumada con el triple de dicho número, es 40. Resp: 12 2. Descomponer el número 133 en dos partes tales que, al dividir la parte mayor por la menor, nos dé 4 de cociente y 8 de resto. Resp: 25 y 108 3. Calcular dos números enteros consecutivos tales que la diferencia entre la tercera parte del mayor y la séptima del menor, sea igual a la quinta parte del menor. Resp: 35 y 36 4. Tres socios han de repartirse 1 500 000 bs. Calcular lo que corresponde a cada uno, si el primero ha de tener 2 veces más que el segundo, y éste tres veces más. Resp: 900 000,

50 000 y 150 000 bs.

5. Un hijo tiene 30 años menos que su padre y éste tiene 4 veces la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene cada uno? Resp: 40 y 10 años 6. Hace dos años, un padre tenía el triple de la edad de su hijo y dentro de once sólo tendrá el doble. Hallar la edad que tienen ahora. Resp: 41 y 15 años MATEMÁTICAS

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7. Un padre tiene 37 años, y las edades de sus tres hijos suman 25. ¿dentro de cuántos años las edades de los hijos sumarán como la edad del padre? Resp: 6 años. 8. La edad de un hijo es la quinta parte de su padre, y dentro de 7 años el padre tendrá el triple de la edad de su hijo. Calcula las edades de cada uno. Resp: 7 y 35 años 9. En un corral hay conejos y gallinas. En total son 53 cabezas y 176 patas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay? Resp: 35 conejos y 18 gallinas 10. Hallar un número de dos cifras cuya suma es 10 y tal que el doble de dicho número supera en una unidad al número obtenido invirtiendo sus cifras. Resp: 37 11. La edad de un padre es “a” y la de su hijo “b”. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será “m” veces la del hijo?

Resp: 12. Repartir 455 000 bs entre dos personas, de modo que la primera reciba los segunda.

Resp:2/5 de la segunda respuesta.

13. Busca dos números consecutivos tales que, añadiendo al mayor la mitad del menor, el resultado excede en 13 a la suma de la quinta parte del menor con la onceava parte del mayor. Resp: 10 y 11 14. De la mitad de un número restamos una unidad. De la tercera parte de esta diferencia restamos la unidad, y de la cuarta parte de la nueva diferencia volvemos a restar una unidad y nos queda así otra unidad. Hallar dicho número. Resp: 56 15. Si se aumenta la longitud de un cuadrado en 4 m, y el ancho en 1.5 m, resulta un rectángulo cuya área es igual a al del cuadrado aumentado en 28 m2. ¿Cuál era inicialmente el lado del cuadrado? Resp: 4 m 16. El perímetro de un rectángulo mide 38.4 m. Determinar sus lados, sabiendo que el menor es 7/9 del mayor. Resp: 10.8 y 8.4 m 17. Calcular los ángulos de un triángulo sabiendo que uno es la mitad del otro, y que el tercero es la cuarta parte de la suma de los dos primeros. 18. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 24 cm y la hipotenusa supera en 18 cm al otro cateto. Hallar el perímetro y el área del triángulo. Resp: 56 cm

y

84 cm2

19. El perímetro de un trapecio isósceles mide 196 m y cada lado oblicuo mide 34 m. Calcular el área del trapecio, sabiendo que una base es 3/5 de la otra. Resp: 1920 m2 Construir las ecuaciones cuyas raíces son:

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1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones irracionales:

1. 2. 3. 4. 5. 6. Resolver los siguientes problemas relativos a ecuaciones cuadráticas: 1. Calcular dos números impares naturales consecutivos, cuyo producto sea 323. Resp: 17 y 19 2. Hallar un número que sumado con el doble de su raíz cuadrada nos dé 24. Resp: 16 3. Un ciclista en un recorrido de 150 Km , llegaría dos horas y media antes si llevase una media de 5 Km más por hora. Calcular el tiempo que tarda en el recorrido. Resp: 10 hs. 4. Un Barquero sube por un rió 1800 metros. Para bajar emplea 9 minutos menos que para subir, pues la corriente le hace aumentar 100 metros respecto de la subida.¿Cual es el tiempo empleado en la subida y cual en la bajada? Resp: 18 y 9 minutos

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5. Calcular 3 números pares consecutivos cuya suma de sus cuadrados sea 1736. Resp: 22 , 24 y 26 6. Dentro de 11 años la edad de Luis será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Hallar la edad actual de Luís.Resp: 21 años 7. Tres segmentos miden respectivamente 8, 22 y 24 centímetros. Si a los tres les añadimos una misma longitud, el triangulo construido con ellos es rectángulo. Calcular dicha longitud.Resp: 2 cm. 8.

Las dos cifras de un número suman 12. Si al cuadrado de dicho número se le suma 48, se obtiene un tercio del cuadrado del número que resulta al invertir el orden de las cifras del primero.¿Cual es el número? Resp: 48

9. Las dos cifras de un número suman 11 y el producto de dicho número por el que se obtiene de invertir sus cifras es 3154. Hallar dicho número. Resp: 83 y 38 10. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 13 cm. Averigua las longitudes de los catetos, sabiendo que su diferencia es de 7 cm. 11. El perímetro de un triángulo rectángulo es 90 m y el cateto mayor tiene 3 m menos que la hipotenusa. Halla los tres lados del triángulo. Resp: 15, 36 y 39 metros 12. Determinar las dimensiones de un rectángulo cuya superficie es de 8 m2 y la diagonal mide 2 raiz de 5m.Resp: 4 y 2 m 13. La razón entre los lados de dos cuadrados es 3 y la suma de los cuadrados de sus diagonales es 100 cm2. Averigua dichos lados. Resolver los siguientes problemas relativos a ecuaciones con más de una incógnita: 1. Calcular dos números cuya suma sea -2 y su diferencia 44. Resp: 21 y -23 2. Calcular dos números que sumen 150 y que su diferencia sea cuádruple del menor. 3. Dos capitales se diferencian en $ 94 500.- Se sabe que si se colocan a interés simple al mismo tanto por ciento, el primero durante cuatro meses y el segundo durante 13, ambos producen el mismo interés. Calcular dichos capitales.

Resp: $ 136 500 y 42 000

4. En un corral hay gallinas y conejos; si se cuentan las cabezas son 50, si se cuentan las patas son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase en el corral? Resp: 17 conejos y 33 gallinas

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5. En un depósito existen 22 vehículos entre bicicletas y triciclos. ¿Cuántas bicicletas y cuántos triciclos existen en el depósito, si contando las ruedas éstas totalizan 52? Resp: 14 bicicletas y 8 triciclos 6. El producto de dos números naturales es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?

Resp: 4 y 1

7. Calcular una fracción equivalente a 5/7 cuyos términos elevados al cuadrado sumen 1 8. La suma de un número y el recíproco de otro es igual a 10.25 y la suma del segundo y el recíproco del primero equivale a 4.1. ¿Cuáles son esos números? 9.

El perímetro de un triángulo isósceles es 16 dm y la altura 4. Calcular los lados de dicho triángulo.

Resp: Base:10 dm ; lados iguales: 3 dm

10. En un triángulo rectángulo, un cateto es 5/13 de la hipotenusa y el otro cateto mide 48 cm. Hallar el perímetro y el área del triángulo. Resp: 120 cm y 480 cm2 11. Los radios de dos circunferencias concéntricas difieren en 24 cm y uno es 5/7 del otro. Calcular el área de la corona circular limitada por las dos circunferencias (π = 3.14). Resp: 10851.84 cm2

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VII.

CONJUNTOS NUMÉRICOS: A. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS: 1.

NATURALES Resolver los siguientes problemas relativos a ecuaciones con más de una incógnita: Los números naturales N son aquellos que se utilizan para contar o enumerar las cosas y objetos de la naturaleza. No cometemos error si a este conjunto numérico lo denominamos “enteros positivos” y lo simbolizamos por Z + . En notación de conjuntos lo expresamos: N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......} Gráficamente:

Diremos que en N están definidas las operaciones de adición (+) y producto (•) (suma y multiplicación) porque:

Ejemplo:

En cambio no están definidas en N la sustracción a – b (resta) ni el cociente a  b (división), porque no siempre se pueden hacer estas operaciones en N: a – b no es posible si a < b; a  b no es posible si “a” no es divisible por “b”. Ejemplos:

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2.

ENTEROS NEGATIVOS: Los enteros negativos

Z , son aquellos números que implican un sentido

contrario al de los N, lo que se expresa colocando el signo negativo delante de cada uno de ellos:

Z =

{ . . . . . –6, -5, -4, -3, -2, -1}

Gráficamente:

3.

EL CERO: Tratando de obtener un concepto de este elemento numérico, diremos que es un número que representa ausencia de cantidad positiva y/o negativa; es el límite entre los N y los Z. Es neutro para la adición por lo que se denomina neutro aditivo. En efecto:

4.

4 +

0

=

4

8 +

0

=

8

a +

0

=

a

ENTEROS: El conjunto de los enteros Z , resulta de la unión de los tres anteriores conjuntos numéricos: los naturales, los enteros negativos y el cero. Es decir:

Z =

N

Z  { 0 }

Escrito de otra manera: Z = { . . . . . . –5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . . . .} Gráficamente:

Con la creación de los Z , ya es posible efectuar todo tipo de sustracciones. Así las sustracciones planteadas anteriormente en N , ya tienen solución. Es decir: 8

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Resumiendo diremos que en la ampliación numérica Z, están definidas la adición, la sustracción y el producto. 5.

FRACCIONARIOS: El conjunto de los números fraccionarios (no enteros), resultan ser la negación de los enteros Z. Se obtienen al realizar divisiones ab donde a , b  Z , además “a” no es divisible por “b” y b  0. Estas divisiones no son posibles en Z, motivo por el que se tiene que hacer esta nueva ampliación. Los fraccionarios, se escriben generalmente en forma de razón a / b donde “a” se llama numerador y “b” denominador. La división 228 que no tenía solución en N ni en Z, ahora ya lo tiene en el fraccionario Fr.

Existen infinitas formas de expresar un número fraccionario. Así el anterior 22/8 se podrá expresar simplificado como 11/4 ; como fracción decimal 2.75 ; como número mixto 2 ¾; amplificado 44/16 ; etc. Ejercicio: Expresar como fracciones decimales los siguientes números fraccionarios dados en forma de razón: a) 7/25

b) 5/11

Solución: Efectuamos las divisiones respectivas y obtenemos: a) 7/25 = 0.28

b) 5/11 = 0.4545454......

El primer ejemplo corresponde a una fracción decimal finita; en cambio el segundo corresponde a una fracción decimal infinita periódica, cuyo periodo es 45 ó 54. Simbólicamente se escribe: 0.45 ó 0.454. Ejercicio: Expresar las siguientes fracciones decimales, como la razón a/b de dos enteros (simplifique). a) 3.54

b) 0.0532

c) 3.54

d) 0.0532

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Solución: Las dos primeras, son fracciones finitas y para transformarlas a la forma de razón, basta suprimir el punto decimal y luego dividirlo entre 10, 100, 1000,

etc.

según

expresen

décimas,

centésimas,

milésimas,

etc.

respectivamente. De este modo las soluciones serán: a) 3.54 = 354 / 100 = 177 / 50

b) 0.0532 = 532 /10000 = 133 / 2500

Solución: Las dos últimas corresponden a fracciones infinitas periódicas. Resolviendo la última d): Llamamos “n” al número dado y obtenemos la igualdad (*): n = 0.05323232 . . . . . (*) Multiplicando convenientemente ambos miembros de esta igualdad, por 1, 10, 100, 1000, etc., obtenemos dos igualdades nuevas cuyos puntos decimales quedarán

situados

inmediatamente

después

del

primer

periodo,

e

inmediatamente antes de dicho primer periodo respectivamente. Es decir: 

Multiplicando (*) por 10000 :

10000 n =

532.32323 . . . . .



Multiplicamos ( *) por 100 :

100 n

5.32323 . . . . .

=

Restando miembro a miembro estas dos igualdades: 9900 n = 527 Finalmente despejando “n” n = 6.

527 / 9900

RACIONALES: Los números racionales Q resultan de la unión de los enteros Z con la última ampliación numérica, es decir con los fraccionarios Fr. en símbolos:

Q

= Z  Fr

Es decir los racionales Q comprenden a todos los números estudiados anteriormente en éste capítulo. Tienen la particularidad de poder ser expresados como la razón a / b de dos enteros, hecho en el cual se origina el nombre de racionales.

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Ejercicio: Sean los siguientes números racionales: 4, -9, 0.36 , -5.2 , 0 . Expresar cada uno de ellos, en más de una manera, como la razón a/b de dos enteros. Solución: 

4 = 4 / 1 = -4 /-1 = 8 / 2 = -8 /-2 = -532 /-133 = 532 / 133 = . . . . .etc.



9 = 18 /-2 = -18 / 2 = -45 / 5 = 99 /-11 = 9 /-1 = . . . . . etc.



0.36 = 36/100 = -18/-50 = 9/25 = -27/-75 = . . . . . etc.



- 5.2 = 47/-9 = -235/45 = -470/90 = 94/-18 =.....etc. 0 = 0/8 = 0/14 = 0/-4 = 0/185 =.....etc.

Como podemos ver, todo número racional se puede expresar como una razón a / b de dos enteros y resumiendo diremos que  a, b  Q se puede sumar, restar, multiplicar y dividir en todos los casos, con una pequeña excepción en la división: el divisor debe ser diferente de cero (b  0). Operaciones en Q: A continuación vamos a enumerar algunas propiedades que se cumplen en Q, y que nos permiten operar y manejar estos números:

Lógicamente con la conformación de los racionales, no todo está solucionado, existen otras operaciones como la radicación que no es posible realizarla  a , b  Q. Para resolver estos casos se tuvo que ampliar nuevamente el campo numérico, como veremos a continuación: 7.

IRRACIONALES: Los números irracionales Q’ resultan de raíces inexactas, cuando al extraer una raíz no podemos obtener ningún número racional, es decir ningún número capaz de poder expresarse como la razón a /b de dos enteros, por lo cual reciben el nombre de irracionales y resultan ser la negación de los números racionales. Los siguientes son ejemplos de números irracionales: 

6 = 2.449489743 . . . . .

9 = 2.080083823 . . . . .

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

8 = 2.828427125 . . . . .

2 / 5 = 4.472135955 . . . . .



 = 3.141592654 . . . . .

e

=

2.718281828 . . . . .

Nota: circunferencia, o lo que es lo mismo es el número de radios que caben en media circunferencia. El número e es la base de los logaritmos naturales o neperianos. Como podemos apreciar en los ejemplos, los números irracionales Q’ escritos en su forma decimal, tienen infinitas cifras, que a diferencia de los Q no están ordenados en periodos. 8.

REALES: Los números reales R resultan de la unión de los racionales con los irracionales, es decir: R =

Q  Q’

El conjunto de los números reales R, constituye el universo de los conjuntos numéricos hasta ahora estudiados en este capítulo, es decir todos son necesariamente reales. Los números reales, resultan ser el conjunto numérico más importante del Cálculo, con características muy especiales, entre ellas: -Es un conjunto ordenado que se extiende desde –  hasta +  . -Es un conjunto cuyos elementos son infinitamente continuos, o dicho de otro modo: para dos números reales “a” , “b” tan próximos como se pueda imaginar, existe por lo menos un tercer número “c” comprendido entre ellos. -Existe una correspondencia biunívoca entre los elementos de R y los puntos geométricos de una línea recta. Es decir a cada número real le corresponde uno y solo un punto de la recta y viceversa, a cada punto de la recta le corresponde uno y solo un número real. a)

La Recta Real: La representación gráfica de los números reales es una línea recta completa, sombreada desde -oo hasta +oo como se muestra en el gráfico, esa es la recta real.

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b) Intervalos En Los Números Reales: Intervalos en los números reales: En este curso llamaremos intervalo, a todo subconjunto especial de los R, cuyos elementos son continuos, ordenados y están limitados por dos extremos: uno inferior y otro superior. Cada extremo es un punto que puede estar o no incluido en el intervalo, y de acuerdo a eso el extremo se denomina cerrado o abierto respectivamente. Simbólicamente un intervalo se representa escribiendo sus dos extremos encerrados en paréntesis cuadrados (corchetes), cerrados o abiertos según corresponda. Así un intervalo con extremos

“a”

y

“b”

puede

presentar

las siguientes alternativas:

El gráfico de los cuatro primeros intervalos constituyen segmentos rectilíneos; en cambio los dos últimos en donde uno de los dos extremos es

El intervalo que contiene a todos los demás, es decir el intervalo universo, es la recta real de la que hemos hablado anteriormente:

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Aclaración: También se acostumbra a usar paréntesis comunes ( ) ó para




expresar extremos abiertos. Así los intervalos dados como ejemplos y

que tienen extremos abiertos, se pueden también escribir: 

]a,b[

=

( a , b,) =



[a,b[

=

[ a , b )=

[a,b>



]a,b]

=

( a , b ]=

( –  , a ) = < - , a >

Con los intervalos, se pueden realizar todas las operaciones conjuntistas de unión ( ), intersección ( ) diferencia ( - ) , complemento ( ' ), etc. Ejercicio: Se tienen los siguientes conjuntos numéricos: A = ]-3 , 5 ]

B = [ -6 , 4 [

C = {-3 , 4 }

D’ = ]-3 , oo [ U =R



Representar gráficamente cada uno de ellos.



Calcular gráficamente el siguiente conjunto: [ ( B – A’ )  C ]  D

Solución: Vamos graficando por partes:

9.

IMAGINARIOS: Los números imaginarios I constituyen la última ampliación numérica hasta ahora conocida. Aparecen como una necesidad de extraer raíces de índice par de cantidades negativas.

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Los números reales son cantidades de la forma general: a ; donde “n” es par a < 0 Son ejemplos de números imaginarios:

Estas expresiones no tienen solución en los números reales, no por el valor numérico absoluto de las cantidades subradicales, sino más bien por su condición negativa; no existe un número (positivo ni negativo) que elevado a un exponente par nos resulte negativo.

a)

Unidad Imaginaria: En el campo de los números imaginarios, se adopta como unidad la más sencilla de estas expresiones, es decir la raíz cuadrada de la unidad negativa: √

y simbólicamente se la representa con “i”. Es decir: i=√

En base a esta definición, todo número imaginario se puede expresar en función de “i”. Así por ejemplo:

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b) Potencias de i: Vamos a obtener las cuatro primeras potencias de “i” que son las más útiles:

Los números imaginarios representados gráficamente en su totalidad, completan una línea recta semejante a la recta real, se denomina la recta imaginaria.

10. COMPLEJOS: Los números complejos C resultan de la unión o combinación de un número real con uno imaginario, formando pares de la forma: a + b i , donde “a” es la parte real y “b” la parte imaginaria. Para representar gráficamente un número complejo a + bi, utilizamos las dos rectas: real e imaginaria como ejes coordenados, y a + bi resulta ser un par ordenado cuya representación gráfica será un punto ubicado en el plano “complejo” C o lo que es lo mismo R  I.

Ejercicio: Representar gráficamente los siguientes números complejos: 3 – 5i; 6i – 2;

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7/5 + 10 i - 6/5 i - 13;

6;

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2i.

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Como podemos observar todos los números sin excepción: naturales, enteros, fraccionarios, racionales, irracionales, reales, imaginarios, etc. son complejos. Operaciones en C : En los números complejos están definidas todas las operaciones: adición, sustracción, producto, cociente, potencia y raíz. Diremos en general que para operar con números complejos, no hay más que aplicar las reglas elementales del álgebra de monomios, binomios y polinomios, etc. no olvidando tomar en cuenta las potencias de “i” establecidas: Ejercicio 8: Simplificar y expresar en la forma binómica a + b i

Eliminamos paréntesis:

Reemplazando i 2 = -1 e

i3 =-i

y

operando

Multiplicando numerador y denominador por el binomio

–

10

+

3i(conjugada del denominador) :

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Finalmente dándole la forma binómica:

Ejercicio: Calcular y simplificar:

( 2i – 1 ) 12

Solución: = {[( 2 i – 1 ) 2 ] 2 } 3

=

{[ 4i 2 – 4i + 1] 2 } 3

=

{[ – 4 – 4i + 1]

= {[ – 3 – 4i ]

=

{9 + 24i + 16i 2 } 3

=

{9 + 24i – 16 }3

= {24 i – 7} 3

2

}3 =

24 3 i 3 – 3• 24 2 • i 2 • 7 + 3•24i•7 2 – 7 3

2

}3

=

= -13824 i + 12096 + 3528 i - 343 Finalmente: = – 11753 – 10296 i Ejercicio: En la siguiente igualdad de números complejos, calcular “x” e “y” 2x –3i + yi–5–x

= 2 i x – 3y + 5i

Solución: Llevando a la forma binómica cada miembro de la igualdad dada: 2 x – x – 5 – 3i+yi

=–3y+2xi+5i

(x–5)– (3–y)i=

–3y+(2x+5)i

Igualamos entre sí las partes reales y hacemos lo propio con las partes imaginarias: x –5

= –3y

–(3–y) =2x +5 Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos las soluciones finales: x = – 19 / 7 y = 18 / 7 Ahora que hemos concluido con la clasificación general, nos permitimos presentar el resumen de ésta clasificación, ayudados por los conocidos

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diagramas de Venn, que nos permitirán tener una idea más clara del concepto numérico.

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EJERCICIOS PROPUESTOS CONJUNTOS NUMÉRICOS: Encerrar en un círculo el inciso a), b), c) ó d) de la respuesta que considere correcta en los ejercicios del 1 al 10: 1. Decir número fraccionario equivale a decir número: a)natural

b) complejo

c) no entero

d) irracional

2. Aquellos números que se pueden expresar como la razón a / b de dos enteros, se llaman: a) naturales

b) enteros

c) no enteros d) racionales

3. El cero es un número: a) imaginario b) complejo

c) no entero

d) irracional

4. El conjunto numérico cuya representación gráfica son puntos aislados se trata de los: a) enteros

b) reales

c) complejos d) imaginarios

5. Un conjunto numérico cuya representación gráfica es una línea recta se trata de los: a) enteros

b) reales

c) complejos d) fraccionarios

6. El conjunto numérico cuya representación gráfica es un plano, se trata de los: a) enteros

b) reales

c) complejos d) fraccionarios

7. El conjunto numérico en el cual sólo se puede sumar, restar y multiplicar, se llama: a) enteros

b) reales

c) complejos d) fraccionarios

8. Los irracionales Q , son un subconjunto de los: a) enteros

b) reales

c) naturales

d) fraccionarios

9. La unión de los enteros con los fraccionarios son los: a) racionales

b) irracionales c) reales

d) complejos

10. La diferencia C – R entre los complejos y los reales nos da los: a) racionales

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b) irracionales c) imaginarios d) fraccionarios

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11. Se tienen los siguientes números:

Seleccione en la línea de puntos el tipo de números que indica cada ejercicio: 

a) naturales

b) enteros



c) fraccionarios

d) racionales



e) irracionales

f) reales



g) imaginarios

h) complejos

12. Se tienen los siguientes números fraccionarios, expresarlos como la razón a / b de dos enteros (simplifique): 

a) 2.45

b) 2.45



c) 2.45

d) 0.56



e) 0.8333…. f) 0.8333



g) 7.08

h) 7.08

13. Se tienen los siguientes conjuntos numéricos: 

A = { -1 , 3 } B = [ -1 , 3 [ C' =



D =

]–1,[

]-,3[

M = { -1 , 0, 1 , 2 , 3 }

U =

R

Calcular gráficamente y expresar la solución en notación de conjuntos: a) D – C b) b) D  B c) M – A d) d) A  B

VIII.

e) (D – C) '  B

c.sol = {-1}

f)

c.sol = ]-1,3[

C'–D'

g) (D' – A) 

c.sol = ]-  ,-1[ [3,  [

h) (A' – C')'  (B  D)

c.sol = ]-1,3[

DESIGUALDADES E INECUACIONES: A. RAMAS DE LA LINGÜÍSTICA Se llama desigualdad, a la relación que se establece entre dos cantidades “a” y negación de la igualdad a = b .La relación de desigualdad nos presenta dos opciones:

Y

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Donde “a” se domina primer miembro y “b” segundo miembro Propiedad fundamental: “En toda desigualdad a < b, se pueden realizar en ambos miembros operaciones iguales con cantidades iguales”. Es decir: Si a < b y “c” un número real cualquiera, entonces: a) a + c




b ÷ c para c < 0

a ÷ c

Se cumplen también las mismas propiedades para la otra alternativa: a > b Inecuaciones: Se llaman inecuaciones, a aquellas desigualdades que contienen cantidades desconocidas “x” , “y”, ”z”, etc., denominadas variables o incógnitas. Podemos distinguir tipos de inecuaciones semejantes a los de las ecuaciones: Las inecuaciones lineales o de primer grado, presentan las formas generales:

ó Las inecuaciones cuadráticas o de segundo grado, presentan las formas generales:

ó También pueden presentarse inecuaciones de grado superior al segundo, inecuaciones fraccionarias y otras. Trataremos de explicarlas a través de ejemplos cada uno de éstos casos: Ejercicio 1: Resolver la siguiente inecuación, graficar el conjunto solución y escribirlo en notación de conjuntos:

Solución: Así como en ecuaciones, sacamos común denominador en ambos miembros y lo eliminamos. Luego eliminamos paréntesis:

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

-36x -3(1 – 2x) 

2x - 24



-36x -3 + 6x



2x - 24

Agrupamos términos en “x” en el primer miembro y términos independientes en el segundo, para trasladar términos de un miembro a otro, aplicamos la regla: “Si una cantidad está sumando a uno de los miembros, pasa a restar al otro miembro; si está restando pasa a sumar”, regla que a su vez deriva de la propiedad fundamental presentada más arriba. - 32 x

 - 21

Para despejar totalmente “x” el coeficiente -32 que está multiplicando al primer miembro pasamos a dividir al segundo, basados en una regla muy utilizada que dice: “Si una cantidad está multiplicando a uno de los miembros, pasa a dividir al otro miembro”. (Si es negativa dicha cantidad, cambia el sentido de la desigualdad). Esta regla también deriva de la propiedad fundamental de desigualdades. La inecuación quedará así:

Finalmente:

Gráficamente:

Como conjunto:

Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación, graficar el conjunto solución y escribirlo en notación conjuntista: 2 x (1 - 3x) – (x + 3)(x - 3)

>

6 - (3x + 2) 2 + 2 x 2

Solución: Eliminando paréntesis: 2x - 6x 2 - x 2 + 9

>

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6 - 9 x 2 - 12 x - 4 + 2 x 2

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Transponiendo y reduciendo términos semejantes; - 6x 2 - x 2 + 9 x 2 - 2 x 2 + 2 x + 12 x

>

6 - 4 - 9

14x > - 7 Despejando “x” :

Simplificando:

Gráficamente:

Ejercicio: Resolver la inecuación dada, graficar el conjunto solución y escribirlo en notación de conjuntos:

Solución: Este ejercicio tiene doble signo de desigualdad, es decir tiene tres miembros. Se puede resolver de dos maneras: a) Como la conjunción de dos desigualdades:

b) En forma más sencilla, trabajando con los tres miembros simultáneamente. Por ejemplo para eliminar denominador, multiplicamos por 2 los tres miembros, o lo que es lo mismo el 2 que está dividiendo en el segundo miembro, pasa a multiplicar al primero y

tercer miembros. Así sucesivamente continuamos

transponiendo cantidades hasta despejar “x” en el miembro central: - 8

1 - 3x < 10

El 1 que está sumando en el segundo miembro, pasa a restar al primero y tercer miembro: -8-1

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 70 de 118

- 3x

< 10 - 1

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- 9

- 3x




-3

- 3
10x 5. x 2 - 8x 0

conj.sol. = [0 , 8]

6. x 2 + 6x  0 7. x 2 + 5x  0

Conj.sol. = ]- ∞,-5]  [0, ∞[

8. x 2  4x 9. x 2  9

conj.sol. = [-3 , 3]

10. x 2 > 4 11. x 2 + 4  4x

conj.sol. = R

12. 6x  x 2 + 9 13. x 2 + 4 < 4x 14. 34.- x 2 + 9 < 6x 15. x 2 < 2 16. x 2  3 17. x 2 + 1 4x

conj.sol. = ]-∞ , 2- /3]  [2+ /3 , ∞[

18. x 2  2x + 1 19. x 2 + 3 2x

conj.sol. = R

20. x < x 2 + 1

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IX.

VALOR ABSOLUTO: A. CONCEPTO: Normalmente todo número está formado por dos elementos: 1) el signo y 2) la cantidad en sí del número. Esta cantidad, desprovista del signo es lo que llamaremos valor absoluto. Simbólicamente el valor absoluto de “a” se escribe |a| Ejemplos: 

|-5|=5



|+5|=5



|0|=0



| - 3.6 | = 3.6

Como podemos observar el valor absoluto nunca es negativo, mas bien diremos que siempre coincide con el positivo. Definición de valor absoluto: B. DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO:  a R 

|a|= a

si

a>0



|a|=0

si

a=0



|a|=a

si

a b



[ a > b a < -b ]

5. | a | < | b |



(a + b)(a - b) < 0

6. | a | > | b |



(a x b)(a v b) > 0

Λ

(se lee “y”) ; V

Nota.- Los símbolos:

[a 1

decreciente si a < 1

Ejercicio: Hacer la gráfica de las siguientes funciones: g(x) =

(0.6)

f(x) = ( 5 / 4 )

x

y

x

Solución: Trazamos el gráfico con ayuda de una tablita de valores para cada función:

1.

ECUACIONES EXPONENCIALES Las ecuaciones exponenciales, son aquellas cuya incógnita o incógnitas se encuentran en el exponente. Un camino muy práctico y útil es el de obtener en lo posible, en cada miembro potencias de igual base: am = an Se eliminan las bases y quedan los exponentes iguales: m=n Igualdad que con seguridad nos brindará una ecuación mucho más fácil de resolver. Ejercicio: Resolver la siguiente ecuación exponencial:

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Solución: Hacemos los cambios necesarios en las bases tratando de igualarlas entre sí, luego operando exponentes:

Eliminando las bases iguales y resolviendo la ecuación obtenida: 6 – 10 x = – 8 – 3 x – 7 x = – 14 x =2 Ejercicio: Resolver la ecuación exponencial: (4x + 4x-1)× 6 = 3x-1 + 3x + 3x+1 + 3x+2 Solución: En esta ecuación, es necesario

hacer desaparecer las sumas

tratando de factorizar. Antes hacemos algunos cambios con los exponentes:

Sacamos factor común 4 x y 3 x respectivamente en cada miembro. Operando:

Agrupando convenientemente los factores:

Aplicando la propiedad 5) sobre exponentes en el primer miembro y simplificando el segundo miembro:

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Nuevamente la propiedad distributiva de exponentes y se llegan a igualar las bases en ambos miembros:

De donde finalmente: x=2 Ejercicio 5: Resolver la siguiente ecuación exponencial: 5 × 4x = 2 × 42x-1 + 8 Solución: Aplicamos la propiedad

2)

de exponentes; simplificamos y

eliminamos denominadores:

En esta ecuación no es posible sacar factor común, pero si es posible llevar la ecuación a la forma cuadrática ya conocida:

2

ax +bx +c = 0 , de la siguiente

manera: 2 (4 x ) -10(4 x )+ 16 = 0 Donde la variable es la expresión: 4 x. Por comodidad podemos hacer un cambio de variable provisional, reemplazamos la expresión 4 x por una variable cualquiera, por ejemplo “u”. O sea hacemos la sustitución: 4x = u ( * )

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Reemplazando tendremos: u 2 - 10u + 16 = 0 Resolviendo esta ecuación cuadrática por cualquier método tenemos: u 1 = 8 y u2 = 2 Reemplazamos cada una de estas soluciones en la sustitución ( * ) que hicimos: x

4 =8

;

x

4 =2

Resolviendo cada una de estas pequeñas ecuaciones exponenciales.

conj. sol. = { 3/2 , ½ } 2.

FUNCIÓN LOGARÍTMICA: La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial, cuyos conjuntos de partida y de llegada, ahora son de llegada y de partida respectivamente. Daremos la siguiente: Definición: La función logarítmica es una función f : ] 0 ,  [  R ; está definida de la siguiente manera:

Donde “a” es la base ; 

“x” es el número (antes se llamaba potencia );



“y” es el logaritmo (antes se llamaba exponente).

Además debe ser:

a > 0 ; a  1

y desde luego x > 0

La expresión: log a x ; se lee: “logaritmo en base a de x ” “logaritmo de x en base a “ .

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ó

también

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A continuación en el siguiente gráfico podemos apreciar tanto la función x exponencial: y = a como la logarítmica: y = log a x y verificar que son inversas entre sí, ya que presentan simetría con eje de simetría y = x

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XI.

LOGARITMOS A. DEFINICIÓN Dado como base un "b" positivo y diferente de uno, se llama logaritmo de un número real y positivo " N", con respecto a dicha base, al exponente " x" al cual se debe elevar la base para obtener el número " N". Esto es, si b x = N diremos que " x" es el logaritmo de " N" en base "b", lo cual indicaremos brevemente escribiendo:

Ejemplos: 3

a) puesto que 10 = 1000 diremos que el logaritmo de 1000 en base 10 es 2, y escribiremos: Log 101000 = 2 b) de igual manera, puesto que 4 3 = 64 diremos que Log 4 64 = 3 c) Hallar el valor de Log 3 81, para resolver este simple ejercicio el estudiante deberá preguntarse: ¿qué exponente deberá tener 3 para que dicha potencia se haga 81? d) La respuesta es tan simple que se lo puede hacer mental… 4, pues 3 4 = 81, así el estudiante concluye instantáneamente: Log 3 81 = 4 ¡muy fácil! Ejercicios: resuelve mentalmente los siguientes logaritmos: 

Log 5 25 =

..............



Log 6 216=

..............



Log22=

..............



Log3 1 / 9=

..............



Log 1 / 100 =

..............



Log 1/4 64 =

..............



4Log1/3 1 / 27=

..............



3 Log16 4 =

..............



Log51 =

..............



Log6 6 =

..............



Log10 0,0001 = ..............

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

Log31 =

..............

De todo lo expuesto se desprenden las siguientes propiedades: 1. Logb N = x  b 2. a) Logb b = 1 3. b

Logb A

x

=N

b) Logb 1 = 0

c) Logb0 =  (- ) d ) Logb (-a) = 

=A

Notas: 1. Cuando el logaritmo es vulgar (de base 10) se acostumbra a omitir, por brevedad, la indicación de la base, escribiendo LogN en vez de Log10 N . 2. Los logaritmos naturales tienen por definición la base e = 2,71828. Para John Nepper , el matemático inglés que los inventó: Ln x = Loge x. 3. Los logaritmos naturales o neperianos tiene las mismas propiedades que los logaritmos vulgares. En general no importando la base, los logaritmos comparten las mismas propiedades. 4. Las propiedades 2c y 2d se entiende mejor al trazar la gráfica de la función logarítmica: Sea graficar

y = Log2 x

Tracemos la gráfica: y = f (x) = Log2 x Para tal efecto construyamos una tabla de valores y tracemos el grafico. x

y = Log2 x

0,25

-2

0,5

-1

1

0

2

1

4

2

Existen otras propiedades de logaritmos:

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Estas propiedades son muy útiles a la hora de resolver ecuaciones. Ejemplo: Resolver

(

)

Log10 x 2 + 7x -17 = 0 Aplicando antilogaritmo en base 10 a ambos lados de la igualdad, tenemos:

Aplicando la propiedad del factor nulo: x+9=0

x-2=0 

x=-9



x=2

Descartamos la primera solución por ser negativa, así que la solución del ejercicio propuesto es 2. Otra forma de resolver el ejercicio es la simple interpretación de la propiedad P*: P* Logb N = x



bx = N

Es decir la ecuación directamente Log10 ( x2 + 7x -17 ) = 0 se convertirá por la propiedad anterior, en

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x2 + 7x -17 = 100 .

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Los alumnos suelen preferir

esta manera de solucionar

ecuaciones

logarítmicas, sin embargo no se debe pasar por alto la primera forma de resolver ecuaciones logarítmicas. Ejemplo: Resuelve

Aplicando la propiedad P2:

Eliminamos el logaritmo con la propiedad P*:

1.

CAMBIO DE BASE: Existen ecuaciones donde las bases de los logaritmos son distintas, en tal caso se procede a realizar un cambio de base pues de lo contrario no se puede aplicar las propiedades P1, P2, P3 y P4. Ejemplo: ¿Qué numero representa a Log 5 8?

Llevemos a base 10 Aplicando la

propiedad P5:

Que con la calculadora equivale a 1,292 Ejercicios propuestos: Resuelve

y

verifica

las

siguientes

ecuaciones

logarítmicas:

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Ejemplo: Hallar “x” en:

Aplicamos logaritmos base 10 a ambos términos:

Ahora podemos aplicar

la propiedad de logaritmo

( P 6 ) y bajamos los

exponentes:

Haciendo la sustitución algebraica: Logx = u obtenemos: u Factorizando: (u + 4)× (u -1) = 0; Aplicamos la propiedad del factor nulo: u + 4 =0 y 

u u Volviendo a la variable x:

Finalmente

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2

+ 3u - 4 = 0

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EJERCICIOS PROPUESTOS ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS:

Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas: 1.

2log3 (2x + 3)- log3 (6 - x) = 3

2.

log2 (2x +1) + log2 (x + 3) = 2

3.

log3 (x - 2) - log9 (x - 2) = 4

Sol.

4.

log2 (4x - 7) = log2 (3x -1)- log2 5

Sol. 2

5.

log8 x + log 4 x + log 2 x = 11

Sol. 64

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Sol. 3 Sol. 0.1375

38 + 2

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Resolver los siguientes sistemas de Ecuaciones

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XII.

TRIGONOMETRIA: A. ANGULOS En trigonometría, el concepto de ángulo está mayormente relacionado con el giro de un segmento rectilíneo llamado radio vector. El ángulo es positivo si el giro es en sentido contrario al de las agujas del reloj; es negativo si el giro es en el mismo sentido al de las agujas del reloj.

; Los dos sistemas de unidades de ángulos más conocidos son el: a) Sexagesimal: Cuya unidad principal es el grado sexagesimal ( ° ), que es la 360 ava parte de una circunferencia o giro completo. Éste se divide en sesenta minutos sexagesimales ( ' ) y éste a su vez en sesenta segundos sexagesimales ( " ). Es decir: 1° = 60 ' 1' = 60 " b) Circular o Radianico: Cuya unidad principal es el radián, que es un ángulo central cuyo arco es en longitud igual a un radio.

Las equivalencias de unidades entre estos dos sistemas son muy útiles y podemos apreciar en estos esquemas:

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Las equivalencias que más debemos resaltar son:

360° = 2π 180° =

π Recordemos que: π  3.14159….

y por tanto será:

2 π  6.28318….

Por tanto 360° equivalen aproximadamente a 6.28 radianes. B. TRIANGULO RECTANGULO: Un triángulo se denomina rectángulo cuando uno de sus ángulos es recto (90°); los otros dos ángulos  y  serán necesariamente agudos (menores de 90°) y la suma de ellos igual a otro ángulo recto 90°. Los lados adyacentes al ángulo recto se denominan catetos. El tercer lado, opuesto al ángulo recto, se llama hipotenusa.

1.

TEOREMA DE PITAGORAS: En todo triángulo rectángulo ABC, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. En símbolos:

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Razones trigonométricas: En todo triángulo rectángulo ABC, las seis razones o cocientes: a/c , b/c , a/b , b/a , c/b y c/a que resultan de combinar sus tres lados de dos en dos,

originan respectivamente las conocidas seis razones

trigonométricas, que se definen con relación a uno de los ángulos agudos del triángulo de la siguiente manera: C

B

A

Siendo las tres primeras: seno, coseno y tangente las directas; las tres últimas: cosecante, secante y cotangente, sus respectivas inversas. C. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS: Los conceptos anteriores de razones trigonométricas, podemos ampliarlos si tomamos el ángulo central x

de un círculo trigonométrico, para un giro

completo 0º  x  360º ó para infinitos giros. En todo círculo trigonométrico el radio debe ser igual a la unidad: R = 1 . Para esto no hay mas que tomar un triángulo rectángulo diferente, para cada una de las infinitas posiciones que toma “x”, tal como se intenta mostrar en los siguientes círculos trigonométricos:

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En cada posición debemos tomar en cuenta que el radio es la hipotenusa del triángulo, y tiene un valor igual a la unidad R = 1 , además cada cateto constituye una abscisa o una ordenada y por tanto tiene un signo: positivo o negativo. De este modo hemos obtenido las llamadas funciones trigonométricas: 

f (x) = sen x



f (x) = cot x



f (x) = cos x



f (x) = sec x



f (x) = tan x



f(x) = csc x

Cuyos valores se pueden obtener por tablas y en forma más practica a través de calculadoras. A continuación planteamos la siguiente tabla que contiene el valor de las funciones de los ángulos más utilizados:

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D. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS: En trigonometría se conocen muchas identidades o fórmulas; a continuación nos permitiremos presentar un formulario mínimo, conteniendo identidades cuyas demostraciones mayormente dejaremos como ejercicio para los CC.CC. 1.

FUNCIONES DE ÁNGULOS SIMPLES: Fórmulas fundamentales: Son cinco las llamadas fórmulas fundamentales, y que son la base de una gran cantidad de otras similares que se presentan en trigonometría. Estas son:

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De la (1) aconsejamos despejar unas cuantas que son de gran utilidad:

2.

FUNCIONES DE ÁNGULOS COMPUESTOS: Adición y sustracción de ángulos:

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Ejercicio: Haciendo cambios en uno de los miembros solamente y con ayuda del formulario anterior, verificar (o demostrar) la identidad:

1+ cot 2 x = csc2 x Solución: Si a esta identidad cuya veracidad desconocemos, aplicamos verdades que son las fórmulas que vamos a utilizar, y llegamos a una verdad final indudable, habremos verificado (o demostrado) la identidad. Haciendo cambios en el primer miembro. Reemplazamos la fórmula (3)

Eliminando paréntesis y sacando común denominador:

Aplicando la fórmula (1) en el numerador:

Aplicando la propiedad de exponentes:

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csc2 x = csc2 x

Aplicando fórmula (5):

Esta última igualdad es una verdad indiscutible, por tanto hemos verificado la 2

2

identidad dada 1+ cot x = csc x . Ejercicio: Verificar la siguiente identidad utilizando las fórmulas dadas:

Solución: Es más conveniente transformar el segundo miembro. Utilizamos fórmula (5):

Multiplicamos numerador y denominador de la última fracción por el factor:1-cos m

En el último denominador aplicamos una de las fórmulas despejadas de la fórmula (1)

Simplificando sen m y sumando las fracciones:

Reduciendo términos semejantes:

Aplicando la fórmula (5):

csc m  csc m Esta última igualdad es una verdad absoluta, por tanto queda verificada la identidad dada.

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EJERCICIOS PROPUESTOS IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS: Utilizando las fórmulas dadas, verificar las siguientes identidades:

E. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: Toda resolución de triángulos consiste en hallar las longitudes de los lados y la medida de los ángulos interiores a partir de otros lados y/o ángulo conocidos. Para tal efecto será necesaria la aplicación de tres conceptos: 

el teorema de Pitágoras (si son conocidos dos lados del triángulo)



las razones trigonométricas seno, coseno y tangente



la suma de los tres ángulos interiores es 180º, es decir la suma de los ángulos agudos es 90º

Ejemplo: Resolver el siguiente triángulo rectángulo: Como son conocido dos lados del triángulo, el tercer lado lo obtendremos utilizando el teorema de Pitágoras: c2  a 2  b2

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Para encontrar los ángulos utilizamos las funciones trigonométricas:

El cálculo del ángulo B es mucho más directo:

Ejemplo: Resolver el siguiente triángulo rectángulo:

Aquí Pitágoras no nos puede ayudar, pero si las funciones trigonométricas:

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El ángulo lo hallamos directamente con la relación:

F.

TRIANGULOS OBLICUANGULOS: Para la resolución de triángulos oblicuángulos basta aplicar la Ley de Senos y la Ley de Cosenos. Así para el triángulo oblicuángulo

1. LEY DE SENOS “Las longitudes de los lados todo triángulo son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”

2.

LEY DE COSENOS: “El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados, multiplicado por el coseno del ángulo comprendido”

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a)

Teorema de Cosenos: El teorema de Cosenos: esta ley se aplicará en los casos siguientes:



LAL (se conocen dos lados del triángulo y la mediada del ángulo entre ellos).



LLL (se conocen las longitudes de los tres lados del triángulo).

De tener otros datos, se aplicara directamente el teorema de Senos. Ejemplo: Resolver el siguiente triángulo oblicuángulo: En este triángulo los datos se acomodan perfectamente para utilizar el teorema del coseno (LAL)

Para encontrar el ángulo A, utilizaremos el teorema de senos:

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El ángulo B se calcula a partir de la relación: B = 180º-70º-73,34º » 36,66º Ejemplo: Resolver el siguiente triángulo oblicuángulo:

Los datos que se tienen en este triángulo se acomodan al teorema del coseno (LLL): Cálculo del ángulo A:

Cálculo del ángulo B:

El ángulo C se lo calcula directamente

C = 180º- A - B C = 180º-34,77º-86,42º C  58,81º EJERCICIOS PROPUESTOS: Resolver los siguientes triángulos rectángulos: 1)

a = 6 Km

;

b = 8 Km

2)

a = 10

;

cm A = 40º

3)

a = 23 cm

;

B = 27º

4)

c = 9 pies

;

A = 40º

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Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos: 1)

A = 30º

;

B = 70,5º

;

a=9m

2)

a = 15 km

;

b = 25 km

;

C = 60º

3)

a = 10 cm

;

b =9 cm

;

c =3 cm

Resuelve los siguientes triángulos:

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XIII.

GEOMETRÍA ANALITICA: Este tema constituye una introducción a la geometría analítica del plano. Se definirán las coordenadas de un punto del plano respecto a un sistema de referencia cualquiera, como generalización de lo ya visto sobre coordenadas cartesianas. A. CONCEPTO DE GEOMETRÍA: Es la parte de las matemáticas que se encarga de estudiar el espacio en que vivimos a través de su medida y sus relaciones. B. CONCEPTOS BASICOS: 1.

PUNTO: Es un lugar en el espacio que podemos señalar en el papel como una interacción de dos o más líneas.

2.

LINEA: Es una sucesión ordenada de puntos que puede ser recta, curva o mixta.

3.

PERPENDICULAR: Es una línea recta que se traza a 90 grados con respecto a otra formando un ángulo recto.

4.

MEDIATRIZ: A la perpendicular que corta un segmento por su parte media se le conoce como mediatriz.

5.

PARALELAS: Son dos líneas rectas que están separadas a la misma distancia una de otra en todos sus puntos y que sus prolongaciones nunca se unen.

6.

FUGURA GEOMETRICA: Es el espacio en el plano que esta limitado por líneas, llamadas lados, entre las cuales se forman ángulos.

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C. LA RECTA: 1.

ECUACIONES DE LA RECTA: Las coordenadas de cada recta deben satisfacer la ecuación de estas y si encontramos una pareja de puntos que satisfagan la ecuación ese punto pertenece a la curva o recta. Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es lineal porque representa rectas: Ax + By + C = 0 Proyección de un segmento sobre los ejes coordenados. Segmento : línea recta con principio ( o origen) y un fin (extremo)

Abscisa coordenada de x

Distancia entre dos puntos del plano A(XA,YA)

a)

B(XB,YB)

Ecuaciones Paramétricas En la ecuación vectorial sustituimos los vectores por sus coordenadas:

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(x, y ) = ( p1 , p2 ) + k (v1 , v2 ) Y expresamos las variables por separado:

Pendiente:

mx0  1  n  mx0  n  mx0  m  n  mx0  n  m

; tg  m

Para obtener la pendiente de una r a partir de 2 puntos: Puntos:

P1 x1 , y1  y P2 x 2 , y 2 

Forma punto pendiente de la ecuación de una recta: Conocemos un punto Px0 , y 0 y su pendiente m , la ecuación es:

Paralelismo: Si d 1 , d 2  de u n

de la recta r y k  0,

Cualquier recta con

vd

= d 1 , d 2  o proporcional kd1 , kd 2  , es paralela o

coincide con r. Perpendicularidad Cualquier recta con

vd

=

d 2 ,d1 

o proporcional kd 2 ,kd1



es

perpendicular a r. Ángulo de dos rectas a partir de la pendiente:  

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente m1  m2 En general: tg 

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Extremos = A(x A , y A ), B(x B , y B )

Punto medio = M

Ejemplo: Por el punto A(-4,0) se traza una paralela a la recta que une los puntos B(0,4) y C(4,0) En la recta que pasa por A hallar los dos puntos que distan de A el doble de la distancia BC

Abscisa de P1 P1A=2BC  P1’A’=2B’C’  -x1=12



-4-x1=2(4-0)  -4-x =8

x1=-12

Ordenada de P1 P1”A”=2B”C”



0--y1=2(0-4)

y1=8



P1=(12,8)



-y1=-8

Abscisa de P2 AP2=2BC

x2+4=2(4-0)



Ordenada de P2

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A”P2”=2B’C’



y2-0=2(0-4)

y2=-8



P2=(4, -8)

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

x2+4=8



x2=4

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Ejemplo: Determinar el valor de k para que la recta 4x+5y+k=0 forme con los ejes coordenados de un triángulo rectángulo de A=2.5m

;

2

;

Con el eje x: (y=0) 4x+K=0 x= - K /4 Con el eje y: (x=0)

K2   

20

K 2  100 K  10 4x  5 y  10  0 4x  5 y  10  0 D. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA: La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro, de coordenadas C(h,k). La distancia al centro se llama radio y se denota r. P( x , y ) / PC = r

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C (h, k )

;

radio = r

Donde h y k son coordenadas del centro de circunferencia Forma ordinaria o estándar Se leen las coordenadas del centro y del radio x2 - 2hx + h2 + y2 - 2ky + k2 = r2 

x2 - 2hx + h2 + y2 - 2ky + k2 = r2



Ax2 - Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0



x2 - y2 - 2hx – 2ky + h2 + k2 - r2 = 0

Condiciones para que una ecuación de segundo grado en forma general represente una circunferencia: B=0yA=C Ejemplo: Dada la ecuación de una circunferencia en la forma general representarla en la forma normal. 4x2 + 4y2 – 16x + 24y + 27 = 0 4x2 + 4y2 – 16x + 24y = -27 4(x2 + 4x) + 4(y2 +6y) = -27 4(x2 + 4x + 4) + 4(y2 +6y + 9) = -27 +16 -36

 x  h 2   y  k 2 C(3,-5)

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;

 r2 radio = r = 5 / 2

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E. LA PARÁBOLA: La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan de la propiedad de equidistar de un punto fijo llamado foco y de una recta fija, que no pasa por el punto, llamada directriz. Condiciones para que una ecuación de 2do grado con 2 incógnitas represente una parábola de eje paralelo a los coordenados.

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 ( y – k )2 = 4p ( x – h ) eje paralelo a x ( x - h )2 = 4p( y - k ) eje paralelo a y y2 - 2yk + k2 + = 4px - 4ph y2 - 4px - 2yx + k2 + 4ph = 0

;

B = 0, A = 0

x2 - 2hx + h2 = 4py - 4pk x2 - 2hk - 4py + h2 + 4pk = 0 ;

B = 0, C = 0

Ejemplo: Expresar en la forma ordinaria y obtener las coordenadas del vértice. 2 Y = ax + bx + c

( x – h ) 2 = 4p ( y – k ) ax2+ bx2 = y – c a ( x2 + bx / a + ( b / 2a) 2 ) = y – c + a ( b / 2 a ) 2 a ( x + b / 2a ) 2 = y + ( - 4ac + b2 / 4a ) ( x – h ) 2 = 4p ( y – k ) V ( [ - b / 2a] , [ 4ac - b2 / 4a ] )

1.

ECUACIÓN GENERAL DE 2° GRADO CON 2 INCÓGNITAS: 2

2

Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0

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Cónicas de ejes paralelos a los coordenados Ax2 +Cy2+Dx+Ey+F=0 

Si A=C es una circunferencia



Si A  C es una elipse.



Si A y C tienen diferente signo es una hipérbola



Si A=0 ó C=0 es una parábola.

2

2

Ax + Bxy + Cy

;

xy =0, y=0

2

B -4AC  Discriminante. 2

2

2x -3xy+y -6x-8=0 2

b - 4ac = 1

;

;

a=2, b=-3, c=1

1>0 por lo tanto es una hipérbola.

Parábola casos 2

2

3x –6xy +3y - 2x + 5y – 4 = 0 2

2

b – 4ac = (-6) - 4(3)(3)=0

;

a = 3, b = -6, c = 3

;

a = 3, b = - 6x + 5, c = 3x2 - 2x -

0=0

3y2-6xy+5y+3x2-2x-4=0 2

2

3y +y (– 6x+5) + 3x -2x-4=0 4



si a = 0, b 0 es una parábola real



si a=0, b=0 c>0 son 2 rectas paralelas



si a=0, b=0,c