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• Javier Lopez

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GUIA DE EJERCICIOS. VECTORES. 1-. Calcule la dirección de los siguientes vectores: a) v = (2, 2) d) v = (-3, -3) b) v = (-2 3 , 2) e) v = (6, -6) c) v = (2, 2 3 ) f) v = (0,3) 3-. Para los siguientes vectores encuentre un vector unitario v cuya dirección sea opuesta a la del vector dado u. La dirección de v es opuesta a la dirección del vector u si, dirección de v = dirección de u + π . a) u = i + j c) u = 2i – 3j b) u = - 3i + 4j d) u = - 2i + 3j 4-. Sean u = (2, 0, -1, 3), v = (5, 4, 7, -2), w = (6, 2, 0, 9). Determine el vector x que satisface a: 2u – v + x = 7x + w. 5-. En cada caso hallar un vector s, que tenga la magnitud y direcciones dadas. π π a) s =8 ; θ = b) s =3 ; θ = 3

6-. Sean los vectores u = 3i + 4j y v = i + a) u y v sean ortogonales

6

α j. Determine α tal que:

b) u y v sean paralelos

7-. Sean P = (2, 1, 4) y Q = (3, -2, 8). Halle un vector unitario en la dirección dirección opuesta a la de PQ .

PQ y

en la

8-. Para cada uno de los siguientes vectores calcule su magnitud. a) v = - 2i - 3j - 4k d) v = i + 2k b) v = 2i + 5j – 7k e) v = - 3i – 3j + 8k c) v = 3j f) v = 4i – j 9-. Sean los vectores u = 2i – 3j + 4k, v = - 2i -3j + 5k, w = i -7j + 3k, t = 3i + 4j + 5k. Calcular. a) u + v e) el ángulo entre u y w b) t + 3w - v f) 2u – 7w +5v c) 2v + 7t - w g) el ángulo entre t y w d) u . v h) u . w – w .t 10-. Calcular el producto vectorial para los siguientes vectores a) u = - 2i + 3j; v = - 7i + 4j c) u = i + 7j – 3k; v = - i – 7j + 3k b) u = 10i + 7j - 3k; v = - 3i + 4j – 3k d) u = 2i + 4j - 6k; v = - i – j + 3k 11-. Halle dos vectores unitarios ortogonales tanto a w = 2i – 3j como a v = 4j + 3k.

12-. En cada caso calcule el producto escalar de los dos vectores. a) u = 2i + 5j; v = 5i + 2j c) u = - 5i; v = 18j b) u = -3i + 4j; v = - 2i - 7j d) u = 4i + 5j; v = 5i – 4j 13-. Determina si los vectores son paralelos, ortogonales o ninguno de los dos casos. Luego dibuje cada par. a) u = 3i + 5j; v = - 6i -10j c) u = 2i +3j; v = - 6i + 4j b) u = 2i + 3j; v = 6i + 4j d) u = 2i - 6j; v = - i + 3j 14-. Sea V el conjunto de puntos de R 2 que se hallan en el semiplano superior (primero y segundo cuadrante) del los ejes coordenados. V = [ ( x, y ) : y ≥ 0 ]

Verificar que no se cumplen los axiomas siguientes: - Si x ∈ a V, existe un vector –x, que ∈ a V, tal que x + (-x) = 0 - Si x ∈ a V y α es un escalar (un número real), entonces α.x ∈ a V Aclaratoria: - V es el conjunto de todos los vectores en R 2, x = (a, b), donde la coordenada x puede ser positiva o negativa y la coordenada y es un número positivo. 15-. Sea V el conjunto de pares ordenados de números reales V = [ ( x, y ) : x, y ∈ R ] , demostrar que V no es un espacio vectorial con respecto a cada una de las siguientes operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar K: 1-. (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) y K(a, b) = (Ka, b) 2-. (a, b) + (c, d) = (a, b) y K(a, b) = (Ka, Kb) 3-. (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) y K(a, b) = (K2 a, K2 b)