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Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas Facultad de Cs. de la Salud FMM 134 - C´ alculo Aplicado Tecnolog´ıa M´ edica

GUIA CIRCUNFERENCIA

1. En los siguientes casos decida si la ecuaci´on representa una circunferencia. En caso afirmativo determine su centro y su radio. (a) 2x2 + 2y 2 − 6x + 10y + 7 = 0. (b) 4x2 + 4y 2 + 28x − 8y + 53 = 0. (c) 16x2 + 16y 2 − 64x + 8y + 177 = 0. 2. Hallar la longitud y el ´area delimitada por la circunferencia de ecuaci´on 9x2 +9y 2 +72x−12y +103 = 0. 3. Demostrar que las circunferencias 4x2 + 4y 2 − 16x + 12y + 13 = 0 y 12x2 + 12y 2 − 48x + 36y + 55 = 0 son conc´entricas. 4. Demostrar que las circunferencias x2 + y 2 + 4x + 6y − 23 = 0 y x2 + y 2 − 8x − 10y + 25 = 0 son tangentes. 5. Demostrar de dos formas diferentes que las circunferencias x2 + y 2 + 2x − 8y + 13 = 0 y 4x2 + 4y 2 − 40x + 8y + 79 = 0 no se cortan. 6. En los casos siguientes encuentre la circunferencia que pasa por los tres puntos dados. Resuelva primero usando las mediatrices del tri´angulo, y luego planteando el sistema que deben verificar los coeficientes de la ecuaci´on general. (a) (0, 0), (3, 6), (7, 0). (b) (2, −2), (−1, 4), (4, 6). (c) (4, −1), (0, −7), (−2, −3). 7. Las ecuaciones de dos circunferencias son x2 + y 2 + D1 d + E1 y + F1 = 0 y x2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 = 0. Hallar la condici´on que deben cumplir para ser conc´entricas. 8. Encuentre la ecuaci´on de la circunferencia tangente a la recta 5x − 12y = 1 y que es conc´entrica con la circunferencia de ecuaci´on 4x2 + 4y 2 − 16x + 20y + 25 = 0. 9. Hallar la ecuaci´on de la tangente a la circunferencia x2 + y 2 + 2x − 2y − 39 = 0 en el punto (4, 5). 10. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (11, 4) y es tangente a la circunferencia x2 + y 2 − 8x − 6y = 0. 11. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos (−1, −4), (2, −1) y cuyo centro est´ a sobre la recta 4x + 7y + 5 = 0. 12. Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x − 4y − 1 = 0 en el punto (3, 2). Halle su ecuaci´on. √ 13. Una circunferencia de radio 13 es tangente a la circunferencia x2 + y 2 − 4x + 2y − 47 = 0 en el punto (6, 5). Hallar su ecuaci´on.

14. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por el punto (1, 4) y es tangente a la circunferencia x2 + y 2 + 6x + 2y + 5 = 0 en el punto (−2, 1). 15. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por el punto (5, 9) y es tangente a la recta x+2y−3 = 0 en el punto (1, 1). 16. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0, 2) y (7, 3). Encuentre su ecuaci´on. 17. Dibujar las dos circunferencias cuyas ecuaciones son C1 : x2 + y 2 + 4x − 8y + 7 = 0 y C2 : x2 + y 2 − 16x − 4y + 3 = 0. Dibujar algunos elementos de la familia C1 + kC2 . Demostrar que sus centros est´ an sobre la recta que une los centros de C1 y C2 . 18. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por el punto (−8, 5) y por la intersecci´on de las circunferencias x2 + y 2 − 8x − 6y + 17 = 0 y x2 + y 2 − 18x − 4y + 67 = 0. 19. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que tiene su centro sobre la recta 2x + y − 14 = 0 y pasa por la intersecci´on de las circunferencias x2 + y 2 − 8x − 4y + 11 = 0 y x2 + y 2 − 4x + 4y − 8 = 0. √ 20. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia de radio 52 2 y que pasa por las intersecciones de las circunferencias x2 + y 2 + 2x − 6y − 16 = 0 y x2 + y 2 − 6x + 2y = 0. 21. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por las intersecciones de las circunferencias x2 + y 2 − 6x + 4 = 0 y x2 + y 2 − 2 = 0 y que es tangente a la recta x + 3y − 14 = 0. 22. Demostrar que las circunferencias C1 : x2 + y 2 − 3x − 6y + 10 = 0 y C2 : x2 + y 2 − 5 = 0 son tangentes. (a) Hallar la circunferencia tangente a C1 y a C2 en su punto com´ un, y que pasa por el punto (7, 2). Demostrar que el centro de esta circunferencia esta en la recta de los centros de C1 y C2 . (b) Hallar la ecuaci´on de la circunferencia tangente a C1 y a C2 en su punto com´ un y cuyo centro est´ a sobre la recta 3x + y + 5 = 0. (c) Hallar la ecuaci´on de la circunferencia tangente a C1 y a C2 en su punto com´ un y cuyo radio es √ 3 5. 2 (d) Hallar la ecuaci´on de la circunferencia tangente a C1 y a C2 en su punto com´ un y es tangente a la recta x − 2y − 1 = 0. 23. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por el punto (−10, −2) y por las intersecciones de la circunferencia x2 + y 2 + 2x − 2y − 32 = 0 y la recta x − y + 4 = 0. 24. Hallar la ecuaci´on y la longitud de la cuerda com´ un a las circunferencias x2 + y 2 − 8y + 6 = 0 y 2 2 x + y − 14x − 6y + 38 = 0. 25. Hallar la longitud de la tangente trazada del punto (3, 4) a la circunferencia 3x2 +3y 2 +12x+4y−35 = 0. 26. Hallar la ecuaci´on de la tangente a la circunferencia x2 + y 2 − 2x − 6y − 3 = 0 en el punto (−1, 6) de las siguientes formas: (a) Usando que la tangente es perpendicular al radio trazado desde el punto de contacto. (b) Planteando la ecuaci´on de una recta gen´erica y − y0 = m(x − x0 ), que pasa por el punto (x0 , y0 ) = (−1, 6) y encontrando el m tal que la intersecci´on de dicha recta con la circunferencia sea un u ´nico punto. 27. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (−2, 7) a la circunferencia x2 + y 2 + 2x − 8y + 12 = 0, de las formas descritas en el ejercicio 26. 28. Hallar la ecuaci´on de la tangente a la circunferencia x2 + y 2 − 8x + 3 = 0 en el punto (6, 3). 29. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia x2 + y 2 + 4x − 10y + 21 = 0 que son paralelas a la recta 5x − 5y + 31 = 0.