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• Pilar Almachi

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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ECONÓMICAS, ADMINISTRATIVAS Y DEL COMERCIO

ASIGNATURA: INVESTIGACIÓN OPERATIVA ESTUDIANTE: GUAMAN TOAPANTA KATTY ESTEFANIA PROFESOR(A): ING. BYRON COCHA

ABRIL – AGOSTO 2017

PRIMER PARCIAL

MATERIA INVESTIGACIÓN OPERTATIVA

Conjunto de técnicas que me permite ligar la teoría con la práctica para dar solución a los problemas. Aparece a raíz de la segunda guerra mundial como una estrategia. Aspectos fundamentales: Estrategia: objetivo. Logística: recursos disponible. Táctica: habilidad, destreza.

FASES DE LA INVESTIGACION OPERATIVA

1) Formulación de Problema 2) Construcción de un Modelo Representativo al modelo de estudio 3) Búsqueda de una solución 4) Prueba del modelo y de la solución 5) Establecimiento de controles sobre la solución 6) Ejecución (poner a trabajar la solución)

CONSULTA N°1

EVOLUCIÓN DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA

La investigación operativa es tan antigua como la conducta del hombre, pues el avance científico es consecuencia de diferentes investigaciones en las ciencias aplicadas. Nace como una estrategia Militar, para que los barcos lleguen a su destino. Al inicio de la Segunda Guerra Mundial los mandos militares pidieron ayuda a un grupo de científicos en diferentes áreas para resolver problemas estratégicos y tácticas, estos fueron los primeros equipos de la Investigación Operativa procedentes de diferentes disciplinas en donde surgieron tres elementos básicos para una operación de ataque militar: 1. Estrategia: Es el objetivo al que se quiere llegar 2. Logística: Son los recursos con los que cuenta la empresa. 3. Táctica: Es la forma, habilidad para llegar a los objetivos planteados con los recursos disponibles. FASES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La investigación operativa aspira tener una mejor solución (óptima) para un problema de decisión con la restricción de los recursos limitados. En la investigación Operativa utilizaremos herramientas que nos permite tomar una decisión a la hora de resolver un problema, tal es el caso de los modelos matemáticos que se empleen según la necesidad. Para llevar a cabo el estudio de investigación de Operaciones, es necesario cumplir con una serie de etapas o fases entre las cuales podemos anotas las siguientes:

1. Formulación de Problema 2. Construcción de un modelo matemático 3. Búsqueda de una solución 4. Prueba de la solución 5. Establecimiento de controles sobre la solución 6. Ejecución (Poner en marcha la solución)

1. Formulación de Problema: Deben estar perfectamente establecidos los objetivos, los cursos alternativos de acción, las restricciones y los efectos de sistema de estudio. Debe tomarse en cuenta que es casi imposible dar solución correcta a un problema incorrectamente planteado,

OBJETI VOS

MAXIMIZAR: producción, ventas, utilidades, entre otros. MINIMIZAR: recursos, costos, tiempos entre otros.

2. Construcción de un Modelo Matemático: Las características esenciales de los modelos describirlos de diferente manera. Pueden clasificarse por sus dimensiones, funciones, propósitos, temas o grados de abstracción, entre otros. Entre los modelos básicos tenemos los siguientes: 

Icónicos (planos, fotos, mapas)



Analógicos (diagramas, curvas, estadígrafos)



Simbólicos o Matemáticos (símbolos, ecuaciones)

3. Búsqueda de una Solución: Una vez establecido el modelo, el siguiente paso es obtener una solución al problema a partir del modelo. Este paso se los desarrolla determinando la solución óptima de modelo y luego ampliando esta solución al problema real. Algunas ocasiones las complejidades matemáticas del modelo impiden obtener una solución óptima, en estos casos una buena respuesta es suficiente. 4. Prueba de la Solución : Se puede hacer en 2 pasos 1. Tomando datos del pasado, haciendo una comparación entre el rendimiento lineal del sistema con la realidad de la empresa.

2. Permite operar el sistema sin cambios y comparando su rendimiento con el del modelo. 5. Establecimiento de Controles: Debe colocarse controles sobre la solución con el objeto de detectar cualesquier cambio en las condiciones en las cuales se basa el modelo, obviamente si cambian tanto el modelo, que el modelo ya no es una representación precisa del sistema, el modelo debe ser invalidado, en esta fase ese explica la solución o la administración o gerencia responsable del sistema en estudio, es importante que la explicación de la solución se haga en función de los procedimientos basados en el sistema real. 6. Ejecución: Consiste en traducir los resultados del modelo validado en instrucciones para el usuario a los ejecutivos responsables que serán los que tomen las decisiones .

PROGRAMACION LINEAL OBJETIVOS: 

Proponer en forma cuantitativa acciones o decisiones a tomar para optimizar sistemas donde existan escasos recursos y se presentan relaciones lineales, mediante la teoría y la práctica de la técnica de programación lineal.



Entender las hipótesis y propiedades básicas de la programación lineal.



Resolver gráficamente cualquier problema de programación lineal de solo dos variables, por medio del método gráfico.



Formular y resolver modelos matemáticos a partir de las limitaciones de los problemas planteados.



Determinar las soluciones óptimas para problemas de programación lineal utilizando el criterio; pesimista, optimista y el valor esperado.



Entender temas de programación lineal tales como la infactibilidad, ilimitación, redundancia y soluciones óptimas alternativas.



Utilizar software para resolver problemas de programación lineal.

La programación lineal pretende asignar eficientemete los recursos limitados con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (maximizar produccion, maximizar utilidades, minimizar costos, minimizar tiempo, entre tros) Las características distintas de los modelos de programación lineal son las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales es decir las ecuaciones o inecuaciones de primer grado. El objetivo básico de la programación lineal es encontrar soluciones de los problemas matemáticos utilizando problemas lineales a problemas de carácter técnico y económico que se presentan por las limitaciones de los recursos El modelo de Programación Lineal es un modelo matemático con variables de decisión, coeficientes y/o parámetros, restricciones y una función objetivo. Es determinístico porque todos los datos relevantes utilizados son conocidos. Es Lineal porque las restricciones y el objetivo son funciones lineales. La contribución de cada variable al valor total del objetivo y al lado derecho de cada restricción es proporcional al valor de la variable. Es aditivo porque los términos de sus restricciones y objetivos pueden sumarse o restarse. La contribución de cada variable al valor total del objetivo, y a lado derecho de cada restricción es proporcional al valor de la variable. Es divisible porque las variables de decisión pueden aceptar valores fraccionarios, en caso de no aceptar valores fraccionales, se recomienda aceptar la Programación Lineal entera.

CONCEPTOS BASICOS DE PROGRAMACION LINEAL Linealidad: Todo proceso, actividad o relación lineal utilizada, se identifica con la cantidad unitaria de cada uno de los factores con respecto a los demás y las cantidades de cada uno de los productos.

Mesa cuadrado -> x -> x1 Mesa redonda -> y -> x2   Madera Hierro Pintura

P1 2

1m 2.50 m ¼ galon

P2 1.50 m2 3.00 m ½ galon

Disponibles ≤150 ≥300 =20

Disponibilidad de madera 1x1 +1.50x2 ≤ 150 Disponibilidad de hierro 2.50x1+ 3.00x2 ≥3.00 Disponibilidad de pintura 1/4x1 + 1/2x2 = 20

EL PROBLEMA GENERAL DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL El problema de la programación lineal se presenta por los limitados recursos que se tratan de distribuir en la mejor forma. Los recursos que a la vez son limitados pueden ser distribuidos en formas como combinaciones matemáticas permitan realizarlos y relacionarlos con el mismo objetivo, de ahí que es necesario distribuirlos adecuadamente en forma equilibrada y armónica entre los factores que intervienen en el problema. Los problemas de programación lineal resueltos por cualquiera de las técnicas deben cumplir los siguientes requisitos. 1. Función Objetiva Z(Max)= C1X1 + C2X2 + C3X3 +……..CnXn Z(Min)= C1X1 + C2X2 + C3X3 +……..CnXn En donde C1, C2, C3… en son los coeficientes de la función objetiva que pueden ser márgenes de utilidades, precios, costos, satisfacción entre otros. X1, X2, X3… Xn, son las variables que intervienen en el problema, es decir lo que vamos a calcular.

2. Limitaciones o Restricciones: Son el conjunto de ecuaciones o inecuaciones que expresan las condiciones infinitas del problema, denominadas también coeficientes técnicos de producción, tecnológicos, de transporte, entre otros según el caso de estudio:

A11X1 + A12X2 + A13X3 + ……..A1nXn T1b1 A21X1 + A22X2 + A23X3 +……..+ A2nXn T2b2 A31X1 + A32X2 + A33X3 +………..+ A3nXn T3b3 An1X1 + An2X2 + An3X3 + ……….AnnXn Tnbn Dónde; 

A11, A12, A13, Anm son los coeficientes técnicos de las restricciones del problema.



X1, X2, X3, Xn son las variables del problema.



T1, T2, T3, Tn son la relación entre los coeficientes y las variables y los términos independientes que pueden ser ≤, ≥ ó =.



B1, B2, B3, Bn : Son losTérminos Independientes de cada uno de los recursos que intervienen o también se conocen como disponibles.

3. Variables de no negatividad: Son las variables que intervienen X1; X2; X3; Xn ≥O, no van a ver variables negativas

4. Condiciones de optimización Se va obteniendo por aproximaciones sucesivas estas pueden ser: 

Solución factible o solucion básica o zona factible: Esta solución satisface las limitaciones y restricciones del problema.

DEBER N°1 17. La firma Kelson Sporting Equipment, Inc., fabrica dos modelos de guantes para beisbol: uno normal, y una manopla de cátcher. La empresa tiene disponibles 900 horas de tiempo de producción en su departamento de corte y costura, 300 horas disponibles en su departamento de terminado y 100 horas disponibles en su departamento de empaque y embarque. Los requerimientos de tiempo de producción y la contribución a la utilidad por cada guante son las que se presentan en la siguiente tabla:   Modelo

Tiempo de producción (horas)

Utilidad/Guant e

 

Corte y costura

Terminad o

Empaque y embarque

 

Guante normal

1

1

1

$5

Guante de cátcher

3

1

1

$8

⁄2

⁄2 ⁄3

⁄8 ⁄4

  a. Suponiendo que la compañía desea maximizar las utilidades. ¿Cuántos guantes de cada modelo debe fabricar? La empresa debe fabricar modelo normal: 500 unidades Modelo cátcher: 150 unidades

b. ¿Cuál es la utilidad que Kelson puede obtener con las anteriores cantidades de producción? Para obtener una ganancia de $ 3700 c. ¿Cuántas horas de producción se programan en cada departamento? Corte y costura: 725 Terminado: 300 Empaque y envió: 100 d. ¿Cuál es el tiempo de holgura en cada departamento? Corte y costura: 725 ≤900 Holgura 175 Terminado: 300 ≤300 no hay holgura Empaque y envió: 100≤100 no hay holgura

Función objetivo: 5x1+8x2 Restricciones: X1 + 3/2x2 ≤ 900 1/2x1 + 1/3x2 ≤ 300 1/8x1 + 1/4x2 ≤ 100 Desarrollo: 2x1 + 3x2 = 1800 3x1 + 2x2 = 1800 X1 + 2x2 = 800 Ecuaciones: 2 y 3 3x1+2x2=1800 (-3) x1+2x2=800 2x1=1000 X1=500 2x2=1800-1500 X2=150 Z (máx.)=5(500)+8(150) =3700 Gráfico:

18. la firma Erlanger Manufacturing Company fabrica dos productos. Las estimaciones de las utilidades son de $ 25(dólares) por cada unidad que se venda del producto 1, y $ 30 por cada unidad que se venda del producto 2. En seguida se resumen los requerimientos de mano de obra por hora para los productos en cada uno de los tres departamentos:

Departamento A Departamento B Departamento C

Producto 1 1.50 2.00 0.25

Producto 2 3.00 1.00 0.25

Los supervisores de producción de cada departamento han estimado que estarán disponibles las siguientes cantidades de mano de obra para el siguiente mes: 450 horas en el departamento A, 350 horas para el departamento B, Y 50 horas en el departamento C. suponiendo que a la empresa le interesa maximizar las utilidades, responda lo siguiente: a. ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? Es la maximización b. Obtenga la solución óptima. ¿Qué cantidad debe fabricar de cada producto y cual es la utilidad que se proyecta? 50 del producto 1 y 50 del producto 2.

Función objetivo: Z (máx.)=25x1+30x2 Restricciones: Disponibilidad de mano de obra: 1.5x1 + 3x2 ≤ 450 Disponibilidad de mano de obra: 2x1+x2≤350 Disponibilidad de mano de obra: 0.25x1+0.25x2≤50 3x1+6x2=1350 2x1+x2=350 X1+x2=50 Z (máx.) =25(50)+30(50) Gráfico:

19. La Yard Care Inc., fabrica diversos productos para jardín, incluyendo dos fertilizantes muy conocidos. Cada uno de los fertilizantes es una mezcla de dos materias primas conocidas como K40 y K50. Durante el periodo de fabricación actual existen disponibles 900 libras de K40 y 400 libras de K50. Cada libra del producto llamado “jardín verde” utiliza 3 /5 de libra de K40 y 2 /5 de K50. Cada libra del producto designado como “atención al jardín” utiliza 3 /4 de libra de K40 y 1 /4 de libra de K50. Además, un determinado limite sobre la disponibilidad en materiales de empaque restringe la producción de “atención al jardín” a un máximo de 500 libras. a. Si la contribución a las utilidades para ambos productos es de $3 dólares por libra, ¿Cuántas libras debe fabricar la compañía de cada producto? b. debe preocuparle a l compañía que la disponibilidad de materiales de empaque este restringiendo la producción de “Atención al jardín” ¿Qué sucedería con las cantidades de producción y con las utilidades esperadas si la empresa pudiera eliminar la restricción sobre la cantidad de Atención al jardín que se puede fabricar?

Función objetivo: Z (máx.) =3x1+3x2 K40=900 K50=400 Restricciones: Disponibilidad de productos: 3/5x1+1/4x2≤900 Disponibilidad de productos: 2/5x1+1/4x2≤400 Disponibilidad de materiales: X2≤500 12x1+52=18000 8x1+5x2=8000 X2=500

Ecuaciones 2 y 3 8x1+5x2=8000 0+ 5x2=500 (-2500)

8x1=5500 X1=687.50 X2=500

Z (máx.)= 3(687.50)+3(500) Z (máx.)=3562,50

Gráfico

20. Investment Advisors, Inc., es una empresa de corretaje que administra carteras de acciones para diversos clientes. Un nuevo cliente ha solicitado a la empresa manejar una cartera de inversiones de $80.000. Como estrategia inicial de inversión, al cliente le gustaría restringir la cartera a una mezcla de las siguientes acciones: Acción

Precio por acción

U.S Oíl Hub Properties

$25 $50

Rendimiento anual Estimado por acción $3 $5

Índice de Riesgo Por Acción 0.50 0.25

El índice de riesgo para las acciones es una calificación sobre el riesgo relativo de las dos alternativas de inversión. Para los datos que se proporcionan, se considera que la inversión en U.S Oil es la más riesgosa. Al limitar el riesgo total de la cartera, la empresa de inversiones evita colocar cantidades excesivas de la cartera en inversiones que pudieran potencialmente producir altos rendimientos, pero que también implican altos riesgos. Para esta cartera se ha fijado un límite superior de 700 para el índice de riesgo total de todas las inversiones.  Además, la empresa ha fijado un límite superior de 1000 acciones pertenecientes a la U.S. Oil, que son las más riesgosas. ¿Cuántas acciones de cada tipo se deben comprar con objeto de maximizar el rendimiento anual total? Función objetivo: Z (máx.)=3x1+5x2 Restricciones:

Cartera de inversión: 25x1 + 50x2 = 80000 Límite de riego: 0.50x1 + 0.25x2 ≤ 700 X1≤1000 Ecuaciones = 1 y 3 25x1+50x2=80000 X1+x2=100

X1=900 X2=1000 Z (máx.)=3(900)+5(1000) Z (máx.)=8400 Gráfico:

21. considere el siguiente programa lineal: Min= 3x1+4x2 Sujeto a: X1+3x2≥6 X1+x2≥4 X1, x2≥0 Identifique la región factible y obtenga la solución óptima. ¿Cuál es el valor de la fábrica objetivo? Ecuaciones: 1 y 2 X1+3x2=6

X1+x2=4 (-3) X1+3x2=6 -3x1-3x2=-12 X1=3 X2=1 Z (min)=3(3)+4(1) Z (min)=13 Gráfico:

23. .Greentree Kennels proporciona alojamiento por una noche para mascotas. Una característica particular en Greentree es la calidad del cuidado que reciben las mascotas, incluyendo una excelente alimentación. La comida para perros de la perrera se elabora mezclado dos alimentos de marca para perros a fin de obtener lo que la perrera identifica como una “dieta para perros bien balanceada”. Los datos para las dos comidas con las siguientes:

Si Greentree desea asegurarse de que los perros reciban por lo menos 5 onzas de proteínas y como mínimo 3 onzas de grasas cada día, ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo de los alimentos para perros? Formulación del modelo: X1 = Cantidad de onzas de comida Bark Bits

X2 = Cantidad de onzas de comida Canine Chow Función Objetivo Z (min) = 0.06X1 + 0.05X2 Restricciones 0.3X1 + 0.2X2 ≥ 5 contenido de proteínas 0.15 X1 + 0.3 X2 ≥ 3 contenido de grasas No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Eciaciones 1 y 2 (-0.5) 0.3x1+0.2x2=5 0.15x1+0.3x2=3 Se produce de x1=15 X2=2.5 Gráfico:

24. Jack Kamer ha estado tratando de determinar la cantidad correcta que debe utilizar de fertilizante en su jardín. Después de hacer que la agencia agrícola local enlizara el suelo, se le aconsejo poner cuando menos 60 libras de nitrógeno, 24 libras de compuestos d fosforo y 40 libras de compuesto de potasio durante la estación. Se debe aplicar en mayo un tercio de la mezcla, otro tercio en julio, y otro tercio a finales de septiembre. Después de verificar en las tiendas locales de descuento Jack encuentra que en esos momentos una tienda tiene una venta especial de fertilizante empacado. Un tipo de los que están en venta es la mezcla 20-3-20 que contiene el 20% de nitrógeno, 5% de compuesto de fosforo, y el 20% de compuesto de potasio y se vende a $ 4 la bolsa de 20 libras. El otro tipo que está en venta es una mezcla de 10-10-5 que se vende en $ 5 la bolsa de 40 libras. A Jack le gustaría saber cuántas bolsas de cada tipo debe comprar de manera que pueda combinar los ingredientes y formar una mezcla que satisfaga los

requerimientos mínimos aconsejados por la agencia agrícola. Al igual que todos los propietarios de casas con jardines grandes, le gustaría gastar lo menos posible que fuera para mantener a su jardín en buen estado. ¿Qué es lo que debe hacer nuestro amigo? Mezcla 1 Mezcla 2

Nitrógeno 20% 10%

Fosforo 5% 10%

Potasio 10% 5%

Precio 4 5

Función objetivo: Z (máx.) =4X1+5X2 Restricciones: (120) 0.20X1+0.10X2≥60 (20) 0.05X1+0.10X2≥24 (120) 0.20X1+0.05≥40

Debe comprar 12 libras de la mezcla 1 y 3 libras de la mezcla 2 para lograr un costo mínimo de 63. Gráfico:

26) Cats es un nuevo producto alimenticio para mascotas. Cada bote de 16onz de cats es una mezcla o combinación de los ingredientes alimenticios para mascotas. Sean: x 1=numero de onzas delingrediente A en la latade 16 onz x 2=numero de onzas del ingrediente B en lalata de 16 onz

Cada onza dl ingrediente A contiene ½ de onza de proteína y 1/8 de onza de grasa, cada onza del ingrediente B contiene 1/10 de onza de proteína y 1/3 onza de grasa. La restricción implica que un bote de 16 onzas de cats debe contener cuando menos 4 onzas de proteínas y 2,5 onzas de grasas. Si el ingrediente A cuesta $0,04 por cada onza y el ingrediente B cuesta $ 0,03 la onza, ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo de los ingredientes A y B para cada lote de 16 Onzas? Identifica a e interprete las variables de excedentes para este problema. Ingredientes A B

Proteínas 1/2 1/10

grasas 1/8 1/3

precio 0,04 0,03

Z(min)=0,04 x 1 +0,03 x2 1 1 x 1+ x 2 ≥4 dip. proteina 2 10 1 1 x 1 + x2 ≥ 2,5 disp.grasas 8 3 x 1+ x2 ≤16 cant.bote

LA mezcla de costo mínimo de los ingredientes es de 0,027 de A y 4,865 onzas de B con un costo de $ 0,43 Disponible proteína 4≥42 Grasas 2,5≥2,5 No existe excedente en las variables ya que todas las onzas de proteínas y grasas se utilizaron para elaborar el producto.

27) La empresa Innis Investements, administra los fondos de diversas compañías y clientes de alto poder económico. La estrategia de inversión se diseña en especial para las necesidades de cada cliente. Un cliente nuevo a autorizado a la Innis hasta 1.2 millones de dólares en dos fondos de inversión: uno de acciones y uno de mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta $50 dólares y ofrece una tasa anual de rendimiento del 10%, cada unidad del fondo de mercado cuesta $100 y ofrece una tasa de rendimiento anual de 4%. El cliente desea minimizar el riesgo, sujeto al requisito de que los ingresos anuales de la inversión sean de cuando menos de $60000. De acuerdo con el sistema de medición de Innis, cada unidad invertida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo de 8 y cada unidad que se invierte en el fondo de mercado de dinero tiene un índice de riego de 3. El índice mayo asociado al fondo de acciones simplemente señala que el riesgo de la inversión es mayor. El cliente Innis también ha especificado que se debe invertir cuando menos $300000 al fondo de mercado de dinero. a) Determine cuantas utilidades de cada fondo debe adquirir Innis para que el cliente pueda minimizar el índice de riesgo total de la cartera. b) ¿Cuántos ingresos anuales se generarán en esta estrategia de inversión? c) Supóngase que el cliente desea maximizar el rendimiento anual. ¿Cómo se deben invertir los fondos? Fondos Acción Mercado

Valor unidad 50 100

rendimiento 10% 4%

Z(min)=8 x 1+ 3 x 2 50 x 1+100 x 2 ≤ 1200000 5 x 1+ 4 x 2 ≥ 60000 100 x 2 ≥ 300000

Riesgo 8 3

a) Se debe adquirir 400 unidades del fondo de acciones y 10000 unidades al fondo del mercado de dinero para minimizar el riesgo. b) Con una estrategia de inversión se genera 62000 en ingresos anuales. c) Se debe adquirir 18000 en unidades de fondo de acciones y 3000 unidades del fondo de mercado de dinero para minimizar el rendimiento anual.

28) Bryant´s pizza Inc. Fabrica pizzas congeladas. La compañía tiene una utilidad de $1 por cada pizza normal que se fabrica y $1.50 por cada pizza de lujo cada artículo contiene una combinación de mezcla de masa y mezcla de aderezo. En estos momentos la empresa tiene 100 libras de masa y 50 libras de aderezo. Cada pizza regular utiliza 1lb y 4 onza de aderezo. La pizza de lujo utiliza 1lb de masa y 8 onzas de aderezo. En base en demandas pasadas, Bryant´s estima que ‘puede vender cuando menos 50 pizzas regulares y cuando menos 25 de lujo. ¿Cuántas pizzas regulares y de lujo deben fabricar la compañía con objeto de maximizar las utilidades? a) Exprese el problema anterior en forma estándar. Pizza Regular Lujo

Z(max )=1 x 1 +1.5 x2

Masa 1 lb 1.4 lb 100 lb

Aderezo ¼ (4 onzas) ½ (8 onzas) 50 lb

Utilidad $1 $1.5

1 x1 +1.4 x 2 ≤ 100 1 1 x 1+ x 2 ≤ 50 4 2 1 x1 ≥50 x 2 ≥ 25

b) ¿Qué restricciones acotan la solución óptima? Las restricciones que utiliza la solución óptima son 1 x1 +1.4 x 2 ≤ 100 1 x1 ≥50 29) Wilkinson Motors, Inc. Vende automóviles estándar y camionetas. La empresa obtiene una utilidad de $400 por cada automóvil que vende y $500 por cada camioneta. La compañía está planeando el pedido para el siguiente trimestre, del cual el fabricante manifiesta que no puede exceder de 300 automóviles y 150 camionetas, el tiempo de preparación que requiere el distribuidor es de 2 horas por cada automóvil y 3 hora por cada camioneta, para el siguiente trimestre la compañía dispone de 900 horas de tiempo de taller para la preparación de los automóviles. ¿Cuántos automóviles y cuantas camionetas se deben pedir para maximizar las utilidades?

a) b) c) d)

Mostrar el modelo de programación lineal para el problema anterior. Mostrar la forma estándar he identificar las variables de holgura. Identificar los puntos extremos de la región factible Encontrar la solución optima

Z(max )=400 x 1+ 500 x 2 1 x1 ≤300 x 2 ≤ 150 2 x1 + x 2 ≤ 900

b) 300 ≤300 no existe holgura en los autos 100 ≤150 existe holgura de 50 en las camionetas 900 ≤ 900 no existe holguraen el tiempo de produción c) x 1=( 300,0 ) x 2=( 0,100 ) d) La solución óptima es de $ 170000 con una maximización de las ganancias con 300 automóviles y 100 camionetas.

30. Ryland Farms, en el noreste este del estado Indiana, se cultiva frijol de soya y maíz en 500 acres de terreno. Un acre de frijol de soya produce utilidades de $100 y un acre de maíz produce utilidades de $200. Debido a un programa gubernamental no se puede plantar más de 200 acres de frijol de soya. Durante la época de siembra se dispondrá de 1200 horas de tiempo para sembrar Cada acre de frijol de soya requiere de 2 hora mientras que cada acre de frijol de maíz requiere de 6 horas. ¿Cuántos acres de frijol de soya y acres de maíz se deben plantar con el objeto de maximizar las utilidades? a) Muestre el modelo de programación lineal para el problema anterior.

Z(max )=100 x1 +200 x 2 x 1+ x2 ≤500 x 1 ≤ 200 2 x1 +6 x 2 ≤ 1200

EJERCICIOS EN CLASES

El Banco del Pacifico está asignado un máximo de 200000 dólares para préstamo personal y automóviles durante el próximo mes. El banco cobra 14% por préstamo personal y 12% por préstamo para automóviles. Ambos tipos de préstamos se liquidan al final de un periodo de un año. La experiencia muestra que alrededor del 3% de los préstamos, personales y el 2% de los préstamos de automóviles nunca se liquidan. Por lo común, el banco asigna cuando menos el doble de los préstamos personales a los préstamos para automóviles. Determinar la asignación óptima de fondos para los dos tipos de préstamo, Variables: x 1= préstamo personal x 2= préstamo automóviles Función Objetivo Z ( MAX )=0,14 ( 0,97 ) x 1+0,12 ( 0,98 ) x 2−(0,003 x 1 +0,002 x 2 )(0,1056 x1 +0,0976 x 2) Restricciones o Limitaciones  

Disponibilidad x 1+ x2 ≤200000 Asignación doble 2 x1 ≥ x 2

Variables de No Negatividad x1 , x2 ≥ 0 Abstracciones x 1+ x2=2000000

2 x1 ≥ x 2

1 ˄2 x 1+ x2=200000 2 x1 −x2 =0 x 1+ x2=200000 2 x1 −x2 =0 3 x 1+ 0=200000 x 2=

200000 3

x 2=66666,66 x 1+ x2=200000 x 1=133333,33 Z=0,010412 x 1 +0,115648 x 2 Z=0,010412 (133333,33 )+ 0,115648 ( 66666,66 ) Z=16113,87 CONCLUSIÓN La asignación óptima para el préstamo personal es de 66666,66 y para el Préstamo de automóviles es de 133333,33



Una empresa planea una compania de publicidad para un nuevo producto se establecen como metas el que la publicidad llegue por lo menos a 320 mil individuos audiencia A, de los cuales menos 120 mil tengan un ingreso mínimo anual de 500 mil dó lares, y al menos 80 mil sean solteros se desea utilizar ú nicamente la radio y la televisió n como medios de publicidad. Un anuncio de televisió n cuesta 10 mil dó lares y se estima que llegue a un promedio de 40 mil individuos audiencia A, de los cuales un 25% tienen ingresos superiores a 500 mil dó lares anuales y un 20% son solteros. Un anuncio por radio FM cuesta 6 mil dó lares y llega a un auditorio promedio de 10 mil oyentes clase A, de los cuales el 80% tienen ingresos superiores a los 5 mil dó lares anuales y 4 mil son solteros. Hallar el nú mero de anuncios por cada medio para minimizar el costo.

Anuncio TV

X1

Anuncio Radio

X2

Función Objetivo Z ( Min )=10000 X 1 +6000 X 2 Restricciones Audiencia

40000 X 1+10000 X 2 ≥ 320000

Ingresos mayor a $5000

1000 0 X 1 +8000 X 2 ≥120000

Solteros

8000 X 1 + 4000 X 2 ≥ 80000

Variable de no Negatividad X1 ≥ 0 ; X2≥ 0 Condiciones de Optimización 1.-

40000 X 1+10000 X 2 ≥ 320000

X 2 =32

40000 X 1 ≥ 320000

2.- 1000 0 X 1 +8000 X 2 ≥120000

X 1 =8

1000 0 X 1 ≥120000

10000 X 2 ≥320000

X 1 =12

8000 X 2 ≥120000

3.-

8000 X 1 + 4000 X 2 ≥ 80000

8000 X 1 ≥ 80000 X 1 =10 4000 X 2 ≥ 80000 X 2 =20

X 2 =15

(2)y(3) 2.- 1000 0 X 1 +8000 X 2 ≥120000 3.-

8000 X 1 + 4000 X 2 ≥ 80000

X 1 ≤ 6.67 X 2 =6.67 Z ( Min )=10000 X 1 +6000 X 2 Z ( Min )=10000 ( 6.67 ) +6000 ( 6.67 ) Z ( Min )=106720 (1)y(3) 1.-

40000 X 1+10000 X 2 ≥ 320000

3.-

8000 X 1 + 4000 X 2 ≥ 80000

X 1 =6 X 2 =8 Z ( Min )=10000 X 1 +6000 X 2 Z ( Min )=10000 ( 6 ) +6000 ( 8 ) Z ( Min )=108000 SOLUCION: La empresa debe realizar 7 anuncios de televisió n y 7 anuncios en la radio para minimizar los costos a $ 106720

SEGUNDO PARCIAL

MÉTODO SIMPLEX  Para iniciar se debe tener en cuenta quien fue el creador de este método mundialmente conocido “Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables”. [ CITATION ing16 \l 3082 ] El Método Simplex es un método iterativo, es decir son pasos repetitivos que se realizan mediantes tablas hasta que lograr encontrar la respuesta que satisfaga tanto a la función objetivo como a todas las restricciones, ya sea en caso de minimización o maximización, si se realiza el proceso y las operaciones correctamente, se llegara a la solución indicada. Matriz de identidad La matriz de identidad es usada en el método simplex, dado que se van formando filas y columnas según el tipo de restricciones que existan en determinado problema. El concepto de matriz de identidad nos dicen que es “Ordenación rectangular de elementos, (o listado finito de elementos), los cuales pueden ser números reales o complejos, dispuestos en forma de filas y de columnas”.[ CITATION ing16 \l 3082 ] Tabla 1: Matriz de identidad 1 0 0 …0 0 1 0 …0 ln = 0 0 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋮⋱⋮ 0 0 0 1

(

)

; l2 = 1 0 0 1

1 0 0 ; l3 = 0 1 0 2∗2 0 0 1

( )

(

)

3∗3

n∗n

Fuente: [ CITATION ing16 \l 12298 ] Recopilado por: (Ocapana D. 2017)

La importancia de la teoría de matrices en el Método Simplex es fundamental, dado que el algoritmo se basa en dicha teoría para la resolución de sus problemas. El método simplex debe cumplir con ciertas condiciones que son:

1. El objetivo consistirá en maximizar o minimizar el valor de la función objetivo (por ejemplo, incrementar ganancias o reducir pérdidas, respectivamente). 2. Todas las restricciones deben ser ecuaciones de igualdad (identidades matemáticas). 3. Todas las variables (xi) deben tener valor positivo o nulo (condición de no negatividad). 4. Los términos independientes (bi) de cada ecuación deben ser no negativos.

Normalización de las restricciones Otra de las condiciones del modelo estándar del problema es que todas las restricciones sean ecuaciones de igualdad.

Restricción de tipo "≤" Para normalizar una restricción con una desigualdad del tipo "≤", según [ CITATION php10 \l 12298 ], hay que añadir una nueva variable, llamada variable

de holgura xs (con la condición de no negatividad: xs ≥ 0). Esta nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y sumando en la ecuación correspondiente a11•x1 + a12•x2 ≤ b1 a11•x1 + a12•x2 + 1•xs = b1

Restricción de tipo "≥" Para el caso de restricciones "≥", también es necesario añadir una nueva variable llamada variable de exceso xs (con la condición de no negatividad: xs ≥ 0). Esta nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y resta en la ecuación correspondiente. Surge ahora un problema con la condición de no negatividad con esta nueva variable del problema. Las inecuaciones que contengan una desigualdad de tipo "≥" quedarían: a11•x1 + a12•x2 ≥ b1

a11•x1 + a12•x2 - 1•xs = b1

Al realizar la primera iteración con el método Simplex, las variables básicas no estarán en la base y tomarán valor cero. En este caso la nueva variable xs,

tras hacer cero a x1 y x2, tomará el valor -b1 y no cumpliría la condición de no negatividad. Es necesario añadir otra nueva variable xr, llamada variable artificial, que también aparecerá con coeficiente cero en la función objetivo y sumando en la restricción correspondiente. Quedando entonces de la siguiente manera: a11•x1 + a12•x2 ≥ b1 a11•x1 + a12•x2 - 1•xs + •xr = b1

Restricción de tipo "=" Para este caso es necesario agregar variables artificiales xr. Como en el caso anterior, su coeficiente será cero en la función objetivo y aparecerá sumando en la restricción correspondiente. a11•x1 + a12•x2 = b1 a11•x1 + a12•x2 + 1•xr = b1 En la siguiente tabla se resume las variables a utilizar, dependiendo del tipo de desigualdad a aplicar en los problemas que se resuelvan Tipo de Tipo de variable que desigualdad aparece ≥ = ≤

- exceso + artificial + artificial + holgura

Desventaja Se podría decir que la única desventaja que presenta este método es que toma más tiempo llegar a la solución a comparación de otros métodos que también se puede aplicar para hallar la solución favorable. Sin embargo se tratan de pequeñas operaciones que no resulta difícil, sino que más bien toma tiempo.

MÉTODO DUAL SIMPLEX  Según [ CITATION Inv10 \l 3082 ] El método simplex dual resulta ser una estrategia algorítmica eficiente cuando luego de llevar un modelo de programación lineal a su forma estándar, la aplicación del método simplex no es inmediata o más bien compleja, por ejemplo, puede requerir la utilización del método simplex de 2 fases. El nuevo algoritmo fue desarrollo en 1954 por C. E. Lemke y se conoce con el nombre de Método Dual-Simplex.

Importancia Según [ CITATION ing12 \l 3082 ] La resolución de los problemas duales respecto a los primales se justifica dada la facilidad que se presenta dados problemas donde el número de restricciones supere al número de variables. Además de tener gran aplicación en el análisis económico del problema. Otra de las ventajas que presenta es que dado a que el número de restricciones y variables entre problema dual y primal es inverso, se pueden resolver gráficamente problemas que presenten dos restricciones sin importar el número de variables. Aplicación Según [ CITATION pol14 \l 3082 ] Se aplica a problemas que tienen factibilidad dual inicial, es decir, que son óptimos pero infactibles simples. La factibilidad dual se reconoce expresando las restricciones en la forma canónica. La función objetivo puede ser de maximización o minimización. Condiciones:

Factibilidad

La variable de salida es la variable básica que tiene el valor más negativo, en caso de empate procedemos de forma arbitraria, y si todas las variables básicas son no negativas, el proceso finaliza y la solución factible óptima se encuentra. Optimalidad 

La variable de entrada es seleccionada de las variables no básicas, se hacen cocientes cuyos denominadores serán necesariamente negativos y se toman de la ecuación pivote. Los numeradores serán los números correspondientes en la función objetivo.

Se escoge el cociente más próximo a 0 para minimización. No toma en cuenta cocientes asociados con denominadores positivos o ceros. Y si todos los denominadores son 0 o positivos, el problema no tiene solución factible, los empate se deciden arbitrariamente. Relaciones entre problemas primales y duales Según [ CITATION ing12 \l 3082 ] 

El número de variables que presenta el problema dual se ve determinado por el número de restricciones que presenta el problema primal.



El número de restricciones que presenta el problema dual se ve determinado por el número de variables que presenta el problema primal.



Los coeficientes de la función objetivo en el problema dual corresponden a los términos independientes de las restricciones (RHS), que se ubican del otro lado de las variables.



Los términos independientes de las restricciones (RHS) en el problema dual corresponden a los coeficientes de la función objetivo en el problema primal.



La matriz que determina los coeficientes técnicos de cada variable en cada restricción corresponde a la transpuesta de la matriz de coeficientes técnicos del problema primal.

El sentido de las igualdades y desigualdades se comporta según la tabla de TUCKER, presentada a continuación. Tabla 2 Tabla de Tucker

Fuente: [ CITATION ing12 \l 3082 ] Recopilador por: (Ocapana D. 2017)

EJERCICIO EN CLASES Se fabrican 2 clases de muebles A y B, se dispone de madera para 80 muebles por lo menos; toma 2 horas preparar 10 muebles tipo A y 4 horas en preparar 10 muebles tipo B, se dispone hasta de 20 horas. La demanda de A es de un total de 70. Cada mueble tipo A deja una utilidad DE 10 DÓLARES y 8 dólares cada mueble de tipo B. ¿Cuántos muebles tipo A y B se deben fabricar para obtener la máxima ganancia? PRIMAL: Variables x 1=mueble tipo A x 2=mueble tipo B Función Objetivo Z ( MAX )=10 x 1 +8 x 2

Restricciones x 1+ x2 ≥ 80 2 4 x + x 2 ≤20(10) 10 1 10 x 1=70

Requerimiento mínimo de madera Disponibilidad de tiempo Demanda de mueble tipo A

x 1 ≤ 70 x 1=70 x 1 ≥ 70

x 1+ x2 ≥ 80(−1) 2 x1 + 4 x 2 ≤ 200 x 1 ≥ 70(−1) x 1 ≤ 70 −x 1−x 2 ≥−80 2 x1 + 4 x 2 ≤ 200 −x 1 ≥−70 x 1 ≤ 70

Variables de no negatividad x1 , x2 ≥ 0 DUAL: Función Objetivo Z ( MIN )=−80 Y 1 +200 Y 2−70 Y 3 +70 Y 4 +0 S1 +0 S2 + Mm1 + Mm2 Restricciones −Y 1 +2 Y 2−Y 3 +Y 4 ≥ 10 −Y 1 +4 Y 2+ 0Y 3+ 0Y 4 ≥8 Abstracciones −Y 1 +2 Y 2−Y 3 +Y 4 −S 1 +m 1=10 −Y 1 +4 Y 2+ 0Y 3+ 0Y 4−S 2+m2=8

DEBER SEGUNDO PARCIAL 

La firma Kelson Sporting Equipment fabrica dos modelos de guantes de beisbol: uno normal, y una manopla de cátcher. La empresa tiene disponibles 900 horas de tiempo de producción en su departamento de corte y costura, 300 horas disponibles en su departamento de terminado y 100 horas disponibles en su departamento de empaque y embarque. Los requerimientos de tiempo de producción y la contribución a la utilidad de cada uno de los productores está representada en la siguiente tabla:

  Modelo   Guante

Tiempo de producción (horas) Corte y

Terminad

Empaque y

costura 1

o 1 ⁄2

embarque 1 ⁄8

Utilidad/Guant e   $5

normal Guante de

3

1

⁄2

cátcher

1

⁄3

⁄4

$8

a) Suponemos que la empresa está interesada en maximizar la contribución total a la utilidad ¿ cuantos guantes de cada modelo debe fabricar?. b) Cuál es la utilidad que kelson puede obtener con las anteriores cantidades de producción c) Cuantas horas de produccion se programaran en cada departamento d) Cuál es el tiempo de holgura en cada departamento  

Desarrollo   a.     Sea x1 : el número de unidades del modelo normal        x2 : el número de unidades del modelo de cátcher   Se debe maximizar la función objetivo Z (MÁX)= 5 x1 + 8 x2    Las restricciones son: x1  +  3⁄2 x2   ≤   900 disponibilidad máxima dpto de corte y costura  (1)   1

⁄2 x1  +  1⁄3 x2 ≤ 300  disponibilidad máxima dpto de terminado (2)

  1

⁄8 x1  +  1⁄4 x2 ≤ 100  disponibilidad máxima dpto. de empaque y envio (3)  

V.N.N. x1  ,  x2  ≥  0 ABSTRACCIONES x1  +  3⁄2 x2   + S1≤   900   1

⁄2 x1  +  1⁄3 x2 + S2 ≤ 300

  1

⁄8 x1  +  1⁄4 x2 + S3 ≤ 100 

TABLA DEL SIMPLEX

ANALISIS: a) La compañía debe fabricar 500 guantes de modelo normal y 150 guantes de modelo para cátcher b) Kelson tiene una utilidad de $3700 al fabricar 500 guantes de modelo normal y 150 guantes de modelo para cátcher c) Departamento de corte y costura tiene 300 horas, de terminado 1150 y empaque 4500 

La firma Erlanger Manufacturing Company fabrica dos productos. Las estimaciones de las utilidades son de $25 dólares por cada unidad que se venda del producto 1, y $30 por cada unidad que se venda del producto 2. en seguida se resumen los requerimientos de mano de obra por hora para los productos en cada uno de tres departamentos: Producto 1

Producto 2

Departamento A

1.50

3.00

Departamento B

2.00

1.00

Departamento C

0.25

0.25

Los supervisores de producción de cada departamento han estimado que estarán disponibles las siguientes cantidades de mano de obra para el siguiente mes: 450 hrs. En el departamento A, 350 hrs. En el departamento B, y 50 hrs. En el departamento C. Suponiendo que a la empresa le interesa maximizar utilidades, responda lo siguiente: ¿Qué cantidad se debe fabricar de cada producto y cuál es la utilidad que se proyecta? Se debe maximizar la función objetivo Z (MÁX)= 25x1 + 30 x2    Las restricciones son: 1.50 x1  +  3 x2   ≤   450 disponibilidad máxima dpto A  (1)   2 x1  +  1 x2 ≤ 350  disponibilidad máxima dpto B (2)   0.25 x1  +  0.25 x2 ≤ 50  disponibilidad máxima dpto. C (3)   V.N.N. x1  ,  x2  ≥  0 ABSTRACCIONES 1.50 x1  +  3 x2  + S1 ≤   450   2 x1  +  1 x2 + S2 ≤ 350  0.25 x1  +  0.25 x2 + S3 ≤ 50 

TABLA DE SIMPLEX

INTERPRETACION: Erlangers Debe fabricar 100 unidades del producto 1 y 100 unidades del producto 2 para tener una utilidad máxima de $ 5500



Greentree Kennels proporciona alojamiento por una noche para mascotas. Una característica particular en Greentree es la calidad del cuidado que reciben las mascotas, incluyendo una excelente alimentación. La comida para perros de la perrera se elabora mezclado dos alimentos de marca para perros a fin de obtener lo que la perrera identifica como una “dieta para perros bien balanceada”. Los datos para las dos comidas con las siguientes: Comida Bark Bits Canine Chow

Costo/onza 0.06 0.05

Proteínas % 30 20

Grasa % 15 30

Si Greentree desea asegurarse de que los perros reciban por lo menos 5 onzas de proteínas y como mínimo 3 onzas de grasas cada día, ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo de los alimentos para perros? Solución:

Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de onzas de comida Bark Bits X2 = Cantidad de onzas de comida Canine Chow  Función Objetivo Zmin = 0.06X1 + 0.05X2  Restricciones 0.3X1 + 0.2X2 ≥ 5 contenido minimo de proteínas 0.15 X1 + 0.3 X2 ≥ 3 contenido minimo de grasas ABSTRACCIONES: 0.3X1 + 0.2X2 - S1 + m1 ≥ 5 0.15 X1 + 0.3 – S2 + m2 X2 ≥ 3

Interpretación: La mezcla de costo mínimo es de 15 de Barkts Birts y 2.5 de Canine Chow para tener 1.025 de productos alimenticios.



Wilkinson motors, vende automóviles estándares y camionetas. La empresa obtiene una utilidad de $400 dólares por cada automóvil que vende y $500 dólares por cada camioneta. La compañía esta planeando el periodo para el siguiente trimestre, del cual el fabricante manifiesta que no puede exceder de 300 automóviles y de 150 camionetas. El tiempo de preparación que requiere en distribuidor es e 2 horas por cada automóvil y de 3 horas para cada camioneta. Para el siguiente trimestre, la compañía dispone de 900 horas de tiempo de taller para la preparación de los vehículos. ¿Cuántos automóviles y cuantas camionetas se deben pedir para maximizar las utilidades? Sea x1 : automóviles        x2 : camionetas   Se debe maximizar la función objetivo Z (MÁX)= 400x1 + 500 x2   

Las restricciones son: x1    ≤   300 disponibilidad máxima (1)   x2 ≤ 150  disponibilidad máxima (2)    2x1  + 3x2 ≤ 900  disponibilidad máxima (3)

ABSTRACCIONES: x1    +S1 ≤   300   x2 + S2 ≤ 150     2x1  + 3x2 + S3 ≤ 900     V.N.N. x1  ,  x2  ≥  0

INTERPRETACION: Wilkinson Motor´s debe fabricar 300 automóviles a $400 y 100 camionetas a $ 500 para tener una utilidad máxima de $170000



En Ryland Farms, en el noreste del estado de Indiana, se cultiva frijol de soya y maíz en un máximo de 500 acres de terreno. Un acre de frijol de soya produce utilidades de $100 (dólares) y un acre de maíz produce utilidades de $200. Debido a un programa gubernamental, no se pueden plantar más de 200 acres de frijol de soya. Durante la época de siembra, se dispondrá de 1200 horas de tiempo para sembrar. Cada acre de frijol de soya requiere de dos horas mientras que cada acre de maíz requiere de 6 horas. ¿Cuántos acres de frijol de soya y cuantos acres de maíz se deben plantar con el objeto de maximizar las utilidades?

Sea x1 : acre de soya        x2 : acre de maiz   Se debe maximizar la función objetivo Z (MÁX)= 100x1 + 200 x2    Las restricciones son: x1    ≤   200 disponibilidad máxima planta de soya (1)   2x1

+

6x2 ≤ 1200  disponibilidad máxima horas disponibles (2)

   

x1  + x2 ≤ 500  disponibilidad máxima de terreno (3)

ABSTRACCIONES: x1    + S1 ≤   200  

2x1

+

6x2  + S2 ≤ 1200 

   

x1  + x2 + S3 ≤ 500 

  V.N.N. x1  ,  x2  ≥  0

INTERPRETACION: Rylands farms debe plantar 200 acres de frijol, de soya y 133 acres de mais para obtener la utilidad máxima de $ 46666,67



El Supermaxi tiene un contrato para recibir 60.000 libras de tomates maduros a 7 centavos de dólar por libra, con las cuales produce jugo de tomate enlatado, así como pasta de tomate. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas. Una lata de jugo requiere una libra de tomates frescos y una lata de pasta solo requiere 1/3 de libra. La participación de mercado de la compañía se limita a 2.000 cajas de jugo y 6.000 cajas de pasta. Los precios de mayoreo por caja de jugo y de pasta son de 18 y 9 dólares, respectivamente.

Desarrolle un programa de producción óptima para Supermaxi.

Determine la razón del precio por caja con el precio por caja con el precio por caja de pasta que permitirá que Supermaxi produzca más cajas de jugo que de pasta. Modelo Matemático X 1 =Jugo de Tomate X 2 =Pasta de Tomate PRIMAL Función Objetiva Z ( MÁX )=18 X 1+ 9 X 2 Restricciones X 1 + X 2 ≤ 24

Máximo de latas por caja.

Requerimiento de tomates para X 1 ≥1 una lata de jugo de tomate. Requerimiento de tomates para

X2 ≥

1 3

X 1 + X 2 ≤ 24 (-1)

−X 1 ≤−1

(-1)

−X 2 ≤−

una lata de pasta de tomate. Disponibilidad máxima de cajas X 1 ≤ 2000

X 1 ≤ 2000

de jugo de tomate en el mercado. Disponibilidad máxima de cajas X 2 ≤ 6000

X 2 ≤ 6000

de pasta de tomate en el mercado

Valor de No Negatividad X1+ X2≥ 0 DUAL SIMPLEX

Función Objetiva

1 3

Z ( MIN )=24 y 1 −1 y 2−0,33 y 3 +2000 y 4 + 6000 y 2 Restricciones y 1− y 2− y 3+ y 4 + y 5 ≥ 18 y 1− y 3 + y 5 ≥ 9 Valor de No Negatividad y 1 + y 2+ y 3+ y 4 + y 5 ≥0 Abstracciones y 1− y 2− y 3+ y 4 + y 5−s1 +m1=18 y 1− y 3 + y 5−s 2+ m2 =9

ANÁLISIS Z ( MÁX )=18 X 1+ 9 X 2

Z ( MÁX )=18 (2000)+ 9(−1976) Z ( MÁX )=18216 Se puede concluir que a una producción de 2000 cajas de jugo de tomate a un costo de 18 dólares, la empresa debe dejar de producir 1976 cajas de pasta de tomate a un costo de 9 dólares, ya que estas no entran comercializadas en el mercado, y no tiene la aceptación requerida. 

Mueblina ensambla dos tipos de gabinetes de cocina de madera pre cortada: Regulares y de lujo. Los gabinetes regulares están pintados de blanco y los de lujo están barnizados. Tanto la pintura como el barnizado se llevan a cabo en un departamento. La capacidad diaria del departamento de ensamble puede producir un máximo de 200 gabinetes regulares y 150 gabinetes de lujo. El barnizado de un gabinete de lujo se lleva el doble de tiempo que pintar uno regular. Si el departamento de pintura/barnizado se dedica únicamente a las unidades de lujo, terminaría 180 unidades diarias. La compañía calcula que las utilidades por unidad de los gabinetes regulares y de lujo son de 100 y 140 dólares respectivamente.

VARIABLE DE DECISIÓN: -Restricciones del problema: X1: Gabinetes Regulares X2: Gabinetes de Lujo FUNCIÓN OBJETIVO: Z máx = 100X1 + 140X2 RESTRICCIONES IMPUESTAS AL MODELO 0,5X1 + X2 ≤ 180 (Capacidad Total)

X1 ≤ 200 (Capacidad de Gabinetes Regulares) X2 ≤ 150 (Capacidad de Gabinetes de Lujo) X1, X2 ≥ 0 (NO NEGATIVIDAD) ABSTRACCIONES: 1) 0,5Xa + Xb ≤ 180

0,5Xa + Xb ≤ 180

0,5Xa + Xb = 180

0,5Xa + Xb =180

Xa= 0

Xb = 0

0,5(0) + Xb = 180

0,5Xa + 0 = 180

Xb = 180 (0,180)

0,5Xa = 180 Xa= 180/0,5 Xa=360 (360,0)

2) Xa ≤ 200 Xa = 200 (200,0) Método Gráfico

Z( Max) = 100X1 + 140X2

3) Xb ≤ 150 Xb = 150 (0,150)

V1 (200,0)

V2 (0,150)

V3 (200,80)

V4 (60,150) Z= 100(200) + 140(0) 140(80) + 11200

Z= 100(0) + 140(150)

Z=100(60)+140(150) Z= 20000 + 0 Z= 0 + 21000 Z=6000+21000 Z= 20.000

Z= 100(200) + Z= 20000

Z= 21.000 Z= 31.200 Z= 27.000

RESPUESTA: Se debe producir 200 gabinetes regulares y 80 gabinetes de lujo para tener una maxima utilidad de $ 31.200 METODO DUAL SIMPLEX FUNCIÓN OBJETIVO Z (min) 180x1+200x2+150x3 RESTRICCIONES 0,5x1+x2 ≥ 100 X1+x2 ≥140 ABSTRACCIONES 0,5x1+x2-S1+M1=100 X1+x2-S1+M1 =140 SOLUCIÓN

V1 (200,0)

V2 (0,150)

V3 (200,80)

V4 (60,150) Z= 100(200) + 140(0) 140(80) + 11200

Z= 100(0) + 140(150)

Z=100(60)+140(150) Z= 20000 + 0 Z= 0 + 21000 Z=6000+21000 Z= 20.000

Z= 100(200) + Z= 20000

Z= 21.000 Z= 31.200 Z= 27.000

RESPUESTA: Se debe producir 200 gabinetes regulares y 80 gabinetes de lujo para tener una máxima utilidad de $ 31.200 

Una compañía fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 100 unidades de A por día. Los dos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad máxima diaria se limita a 240 libras al día. Las proporciones de utilización de la materia prima son de 2 libras para cada

unidad de A y de 4 libras para cada unidad de B. Los precios unitarios de A y B son de 20 y 50 dólares, respectivamente. a) Determine la mezcla óptima de los dos productos Identificación de Variables: Producto A= X1 Producto B= X2 Función objetivo: Z (MAX) = 20X1 + 50X2 Restricciones: Volumen de Venta

X1≥ 0.80 (X1 + X2)

Demanda de A

X1 ≤ 100

Disponibilidad de Materia Prima

2X1+ 4X2 ≤ 240

Función de No negatividad

X1+X2 ≥ 0

Abstracción 0.20X1 – 0.80X2 = 0 X1 = 100 2X1 + 4X2 = 240 Primera restricción Cuando X1=0

Cuando X2=0

0.20*0 - 0.80X2 = 0

0.20X1 – 0.80 (0) = 0

X2 = 0 / 0.80

X1 = 0/0.20

X2 = 0 P (0; 0) P (0; 0) Segunda restricción X1 = 100 P (100; 0) X en la tercera restricción X1 = 100 2(100) + 4X2 = 240 X2 = (240 – 200) /4 X2= 10 P (100; 10)

X 1= 0

Remplazando valores en Z (MAX)

Z (MAX) = 20(80) + 50(20) Z = 2600

ANÁLISIS Al realizar el ejercicio podemos mencionar que la mescla óptima para la empresa es de 80 de la variable X1(Producto A), del mismo modo se debe producir 20 de la variable X2 (Producto B) , para así obtener una utilidad de 2600 dólares.