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• Jorge H. Guerrero

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Cap´ıtulo 8

An´ alisis Dimensional y Semejanza Dado que el n´ umero de problemas que se puede resolver en forma puramente anal´ıtica es peque˜ no, la gran mayor´ıa requiere alg´ un grado de resultados emp´ıricos o experimentales. Lo anterior es particularmente cierto en el ´ambito de la mec´anica de fluidos, cuyo desarrollo ha dependido fuertemente de resultados experimentales. Por otro lado los resultados obtenidos en forma experimental deben ser lo m´as generales posibles y extrapolables a situaciones fuera de las condiciones “ideales” en las que se realizaron. El an´alisis dimensional ofrece un m´etodo para reducir problemas f´ısicos complejos a su forma funcional mas simple antes de obtener una respuesta cuantitativa acerca del problema. Permite, por lo tanto, tener una visi´on general del problema y las variables (adimensionales) relevantes involucradas. En el coraz´on del an´alisis dimensional se encuentra el concepto de similitud o semejanza. En t´erminos f´ısicos, la similitud se refiere a alguna equivalencia entre dos fen´omenos diferentes. Por ejemplo, bajo algunas condiciones particulares hay una relaci´on directa entre las fuerzas que act´ uan sobre un avi´on de tama˜ no real y aqu´ellas que act´ uan sobre un modelo a escala que se prueba en el t´ unel de viento de un laboratorio. La pregunta es naturalmente, cuales son esas condiciones que hacen equivalente el estudio y extrapolables los resultados de un modelo a escala. En t´erminos matem´aticos, la similitud se refiere a una transformaci´on de variables que llevan a una reducci´on en el n´ umero de variables independientes que especifican un problema. Aqu´ı la pregunta natural es, qu´e tipo de transformaci´on es necesaria hacer y en cuanto se pueden reducir el n´ umero de variables independientes. El an´alisis dimensional es una herramienta que responde ´estas preguntas. Su utilidad principal radica en la capacidad de representar en forma m´as reducida la forma funcional de relaciones f´ısicas involucradas en un fen´omeno dado. Un problema que en un principio puede parecer complejo, puede a veces resolverse con un esfuerzo peque˜ no a trav´es del an´alisis dimensional. Como ejemplo de lo anterior consideraremos el problema de determinar la ca´ıda de presi´on por unidad de largo ∆pl , que se produce a lo largo de la tuber´ıa lisa por efecto de la fricci´on. Dentro de las variables geom´etricas y f´ısicas que se esperar´ıa que influyeran en la ca´ıda de presi´on se encuentra el di´ametro de la tuber´ıa, la velocidad del flujo y la viscosidad y densidad del fluido. Se puede establecer por lo tanto una relaci´on funcional f de la siguiente forma: ∆pl = f (D, ρ, µ, V ) donde f es la funci´on a determinar experimentalmente. El desarrollo de experimentos sistem´aticos para encontrar f implicar´ıa necesariamente el medir ∆pl variando solo una de las variables a la vez, la velocidad por ejemplo, y manteniendo las dem´as constantes. Este proceder deber´ıa repetirse an´alogamente para cada una de las variables obteniendo una gran cantidad de informaci´on la cual se puede representar gr´aficamente como se muestra en el gr´afico 8.1.

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Extraer de esta informaci´on la deseada funci´on f que relacione las variables independientes con la dependiente es, incluso para este caso sencillo, pr´acticamente imposible. Adem´as de esto las dificultades experimentales, como por ejemplo, variar la densidad manteniendo la viscosidad constante, no son despreciables e incluso pueden llegar a ser imposibles de solucionar. Dpl

Dpl

D,r,m= constante

V,r,m= constante

V

D

(a)

Dpl

(b)

Dpl

V,D,m= constante

V,D,r= constante r (c)

m (d)

Figura 8.1: Relaci´on entre la ca´ıda de presi´on con las distintas variables independientes.

Salta a la vista que esta forma de proceder, tanto desde un punto de vista pr´actico como econ´omico, no es apropiada . En este caso la relaci´on funcional entre la variable dependiente (∆pl ) y las variables independientes (D, V, ρ, µ) se puede expresar en funci´on de dos grupos de variables sin dimensi´on, denominados grupos adimensionales, de la siguiente forma: ρV D D∆pl =φ . 2 ρV µ 



Una primera ventaja de este proceder es que se redujo el n´ umero de variables de cinco a dos. Un experimento para determinar φ requerir´ıa solo la variaci´on del grupo adimensional ρV D/µ para determinar el valor de D∆pl /ρV 2 . Los resultados se pueden representar mediante una sola curva universal (figura 8.2) que ser´a independiente del tama˜ no de la tuber´ıa, del fluido utilizado y adem´as del sistema de unidades utilizado y ser´a, por lo tanto, extrapolable a otras condiciones distintas a las del experimento. Este tipo de an´alisis es lo que se denomina an´alisis dimensional y las bases para su aplicaci´ on se encuentra en el teorema Π de Buckingham, que se describe a continuaci´on.

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8.1 Teorema Π de Buckingham

DDpl 2 rV

rVD m Figura 8.2: Representaci´on adimensional de la ca´ıda de presi´on ∆pl

8.1

Teorema Π de Buckingham

Uno de los puntos importantes a determinar es el n´ umero de grupos o productos adimensionales necesarios para representar un fen´omeno dado, en forma adimensional. La respuesta a esta pregunta la entrega el siguiente teorema: El n´ umero de grupos adimensionales (Π) independientes necesarios para describir un fen´ omeno dimensionalmente homog´eneo, en el que intervienen k variables dimensionales, es igual a k−r, donde r es, generalmente, el n´ umero de dimensiones b´ asicas o fundamentales m´ınimas necesarias para representar las variables del fen´ omeno El teorema entrega solo el n´ umero de grupos adimensionales necesarios para representar un fen´omeno dado y no la forma que tienen estos grupos as´ı como tampoco entrega informaci´ on acerca de la relaci´on funcional que representa un fen´omeno dado. Esta relaci´on de determinarse ya sea anal´ıtica o experimentalmente.

8.2

Obtenci´ on de grupos adimensionales

Existen varios m´etodos para determinar los grupos adimensionales involucrados en un fen´omeno dado, partiendo desde el simple tanteo, lo cual involucra o supone un gran conocimiento del fen´omeno y una gran experiencia en an´alisis dimensional, hasta metodologias mas sistem´aticas que aseguran el n´ umero adecuado de grupos adimensionales y que estos sean independientes. A continuaci´on se describir´a uno de esos m´etodos denominado m´etodo de las variables repetidas.

8.2.1

M´ etodo de las variables repetidas

El m´etodo de las variables repetidas se divide en una serie de pasos a seguir independiente del fen´omeno a analizar. Estos pasos son los siguientes: 1. Determinar variables involucradas. Este es el punto m´as dif´ıcil dentro del an´alisis dimensional y es de vital importancia que todas las variables involucradas sean incluidas. Esto requiere, por lo tanto, un conocimiento m´ınimo del fen´omeno a estudiar. Es aconsejable incluir variables de las cuales no se esta seguro sobre su pertinencia. Un desarrollo posterior, por ejemplo experimental, mostrar´a si es posible eliminarla o no. Dentro de

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8.2 Obtenci´on de grupos adimensionales

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las variables, y dependiendo por supuesto del tipo de fen´omeno, se deben incluir variables geom´etricas como di´ametros, largos, etc., propias del fluido como la densidad, la viscosidad, etc., efectos externos como gradientes de presi´on y cualquier otra variable que se estime necesaria. Para mantener el n´ umero de variables en un m´ınimo las variables elegidas deben ser independientes entre s´ı, es decir, ninguna variable debe poder formarse como una combinaci´on de las dem´as variables. 2. Expresar las variables en t´ erminos de sus dimensiones b´ asicas. Para los problemas t´ıpicos de la mec´anica de fluidos las dimensiones b´asicas pueden ser F , L, T o M , L, T . Estos dos sets de dimensiones se encuentran relacionados mediante la segunda ley de Newton por la relaci´on F = M LT −2 . 3. Determinar el n´ umero de grupos adimensionales. Dado el n´ umero de variables incluidas en el punto 1 y el n´ umero de dimensiones b´asicas que aparecen en el punto 2, el n´ umero de grupos adimensionales se determina a trav´es del teorema Π de Buckingham como la resta entre estas dos magnitudes. 4. Seleccionar un n´ umero de variables repetidas igual al n´ umero de dimensiones b´ asicas involucradas. Lo que se debe hacer aqu´ı es seleccionar de la lista de variables un n´ umero igual al n´ umero de dimensiones b´asicas que aparecen en el punto 2, para poder combinarlas con las dem´as variables para formar los grupos adimensionales. Las variables seleccionadas deben ser dimensionalmente independientes entre s´ı, es decir, las dimensiones de una no puede obtenerse como una combinaci´on de las dimensiones de las otras variables repetidas. Tampoco se debe elegir como variable repetida la variable dependiente del fen´omeno ya que ´esta aparecer´a, por lo general, en mas de un grupo adimensional. 5. Formar los grupos adimensionales. Los grupos adimensionales se forman multiplicando las variables excluidas de la lista de variables repetidas con las variables repetidas elevadas cada una a un exponente por determinar, es decir, Πi = ui ua1 ub2 uc3 . | {z }

variables repetidas 6. Expresar los grupos adimensionales en funci´ on de las dimensiones b´ asicas y resolver sistema de ecuaciones asociado. Como los grupos Π son adimensionales se deben determinar los exponentes a, b, c de modo que esto se cumpla. 7. Verificar que los grupos obtenidos sean adimensionales. Dado que es f´acil cometer un error al determinar los grupos adimensionales es recomendable verificar la adimensionalidad de los grupos reemplazando las dimensiones de cada variable del grupo y verificando que sea adimensional. Es recomendable tambi´en realizar en esta verificaci´on en t´erminos de M , L, T , si las dimensiones b´asicas utilizadas en los puntos anteriores fueron F , L, T o viceversa. 8. Formar la relaci´ on funcional entre los grupos Π. Con los n´ umeros adimensionales determinados se puede escribir la relaci´on funcional entre ellos de la siguiente forma: Π1 = φ(Π2 , . . . Πk−r ) donde Π1 contiene la variable dependiente en el numerador.

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8.2 Obtenci´on de grupos adimensionales

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Ejemplo Determinar los grupos adimensionales necesarios para describir el fen´omeno de ca´ıda de presi´ on por unidad de largo ∆pl que se produce a lo largo de la tuber´ıa lisa por efecto de la fricci´on. 1. Como se mencion´o anteriormente las variables independientes involucradas son el di´ametro de la tuber´ıa D, la densidad ρ y la viscosidad µ del fluido y la velocidad del flujo V , es decir: ∆pl = f (D, ρ, µ, V ). 2. Utilizando F , L, T como las dimensiones b´asicas se cumple que: ∆pl = F L−3 D=L ρ = F L−4 T 2 µ = F L−2 T V = LT −1 El utilizar F , L, T como las dimensiones b´asicas es una decisi´on arbitraria y perfectamente se podr´ıa haber utilizado M , L, T . Lo que no se debe hacer es mezclar ambos sistemas. 3. Del punto anterior se puede ver que las dimensiones b´asicas involucradas son tres. Dado que el n´ umero de variables involucradas es 5 (∆pl , D, ρ, µ, V ), y utilizando el teorema de Buckingham, se obtiene que el n´ umero de grupos adimensionales Π es igual a 2 (5-3). 4. Como tenemos tres dimensiones b´asicas involucradas se deben elegir tres variables a repetir. Estas variables deben contener entre ellas todas las dimensiones b´asicas y ser independientes entre s´ı. Se eligen D, ρ, V como variables repetidas. 5. Los grupos adimensionales Π se forman con las variables repetidas y cada una de las dem´ as variables: Π1 = ∆pl Da V b ρc Π2 = µDa V b ρc 6. Para que Π1 sea adimensional se debe cumplir que: (F L−3 )(L)a (LT −1 )b (F L−4 T 2 )c = F 0 L0 T 0 La relaci´on anterior lleva al siguiente sistema de ecuaciones:

1+c=0 −3 + a + b − 4c = 0 −b + 2c = 0 C. Gherardelli

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8.2 Obtenci´on de grupos adimensionales

que tiene como soluci´on a = 1, b = −2 y c = −1. Por lo tanto, Π1 =

∆pl D ρV 2

An´alogamente, para que Π2 sea adimensional se debe cumplir que: (F L−2 T )(L)a (LT −1 )b (F L−4 T 2 )c = F 0 L0 T 0 ⇒ 1+c=0 −2 + a + b − 4c = 0 1 − b + 2c = 0 que tiene como soluci´on a = −1, b = −1 y c = −1. ⇒ Π2 =

µ ρV D

7. Verificaci´on. Se har´a la verificaci´on utilizando tanto las dimensiones F LT como M LT . Π1 =

∆pl D (F L−3 )(L) = = F 0 L0 T 0 ρV 2 (F L−4 T 2 )(LT −1 )2

Π2 =

µ (F L−2 T ) = = F 0 L0 T 0 ρV D (L)(LT −1 )(F L−4 T 2 )

Π1 =

∆pl D (M L−2 T −2 )(L) = = M 0 L0 T 0 ρV 2 (M L−3 )(LT −1 )2

Π2 =

(M L−1 T −1 ) µ = = M 0 L0 T 0 ρV D (L)(LT −1 )(M L−3 )

o

8. Finalmente, la relaci´on funcional que se obtiene es µ ∆pl D =ϕ 2 ρV ρV D 



Como los grupos Π son adimensionales, estos se pueden reordenar y en particular se pueden invertir. Por ejemplo Π2 se podr´ıa escribir como Π2 =

ρV D µ

y la relaci´on entre Π1 y Π2 como ρV D ∆pl D =φ , ρV 2 µ 



que es la relaci´on mencionada anteriormente. Veremos mas adelante que el grupo adimensional (ρV D/µ) es un grupo adimensional importante en la mec´anica de fluidos. C. Gherardelli

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8.3 Grupos adimensionales de importancia en la Mec´anica de Fluidos

Cabe mencionar que los grupos adimensionales, determinados mediante el m´etodo de las variables repetidas, dependen de las variables elegidas como variables a repetir. En el ejemplo anterior se eligieron ρ, V y D y se obtuvo la relaci´on ∆pl D ρV D =φ . 2 ρV µ 



De haber elegido, por ejemplo, µ, V y D como las variables repetidas se obtiene la relaci´on ∆pl D2 ρV D = φ1 . µV µ 



Ambas relaciones llevar´ıan a la misma funci´on para ∆pl , sin embargo, las funciones φ y φ1 son distintas. La discusi´on anterior permite concluir que no existe un set u ´nico de n´ umeros adimensionales Π para un problema dado. Visto desde otro punto de vista, el an´alisis dimensional solo asegura la cantidad de n´ umeros adimensionales necesarios para representar un problema pero no su unicidad.

8.3

Grupos adimensionales de importancia en la Mec´ anica de Fluidos

Durante los a˜ nos de desarrollo de la mec´anica de fluidos se han identificado un sin n´ umero de grupos adimensionales de relevancia. El entender el significado f´ısico que estos encierran permite tener una visi´on mas acabada de los distintos fen´omenos. Las variables que generalmente intervienen en los distintos fen´omenos son la presi´on y la velocidad del flujo, la viscosidad, densidad y tensi´on superficial del fluido, aceleraci´on de gravedad, la velocidad de propagaci´ on del sonido, etc.. Dentro de las fuerzas que influyen en un flujo se encuentran por ejemplo las fuerzas debidas a la inercia, la viscosidad, presi´on, tensi´on superficial y compresibilidad. La raz´ on entre cualquiera par de estas fuerzas genera grupos adimensionales. Por ejemplo, de la segunda ley de Newton las fuerzas inerciales son F = ma. La masa se puede escribir como m = ρ∀ y como el volumen ∀ tiene dimensiones de longitud, se obtiene que m ∝ ρL3 . An´alogamente, se obtiene que a ∝ V 2 /L. Por lo tanto la fuerza de inercia ser´a F ∝ ρL3

V2 = ρV 2 L2 . L

Haciendo un desarrollo an´alogo para las fuerzas viscosas se obtiene Fuerzas viscosas = τ A = µ

V du A ∝ µ L2 = µV L. dy L

Haciendo la raz´on entre las fuerza de inercia sobre las fuerzas viscosas se obtiene el grupo adimensional llamado n´ umero de Reynolds Re: Re =

ρV 2 L2 ρV L Fuerzas de inercia = = , Fuerzas viscosas µV L µ

donde L es una dimensi´on caracter´ıstica descriptiva de la geometr´ıa del flujo. Este n´ umero fue introducido por Reynolds quien estudiaba la transici´on entre los reg´ımenes laminar y turbulento

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8.4 Semejanza

para el flujo en una tuber´ıa. Para este caso la dimensi´on caracter´ıstica es el di´ametro del tubo D, de donde Re =

ρV D , µ

que es igual al grupo adimensional encontrado en el ejemplo desarrollado anteriormente. Lo anterior indica que la ca´ıda de presi´on en una tuber´ıa lisa depende del n´ umero de Reynolds ∆pl D = φ (Re) , ρV 2 El n´ umero de Reynolds es uno de los n´ umeros adimensionales mas importantes y utilizados en la mec´anica de fluidos debido a que los efectos inerciales son de importancia en la mayor´ıa de los problemas. La tabla 8.1 muestra alguno de los n´ umeros adimensional m´as importantes en la mec´anica de fluidos as´ı como una interpretaci´on f´ısica y su campo de aplicaci´on. Tabla 8.1: Grupos adimensionales importantes en la mec´anica de fluidos. Grupo Adimensional

Interpretaci´ on f´ısica

Tipo de aplicaci´ on

ρV L µ

Reynolds, Re

fuerzas inerciales fuerzas viscosas

De importancia en la mayor´ıa de las aplicaciones

√V gL

Froude, F r

fuerzas inerciales fuerzas gravitacionales

Flujos con superficies libres

p ρV 2

Euler, Eu

fuerzas de presi´ on fuerzas inerciales

ρV 2 Ev

Cauchy, Ca

fuerzas inerciales fuerzas de compresibilidad

Aplicaciones donde la compresibilidad del fluido es importante

Mach, M

fuerzas inerciales fuerzas de compresibilidad

Aplicaciones donde la compresibilidad del fluido es importante

Stroudhal, St

fuerzas de inercia local fuerzas inerciales convectivas

Flujos no permanentes con una frecuencia natural de oscilaci´ on

Weber, W e

fuerzas inerciales fuerzas de tensi´ on superficial

Aplicaciones donde la tensi´ on superficial es importante

V c

wL V

ρV 2 L σ

8.4

Nombre

Aplicaciones donde la presi´ on o las diferencias de presi´ on son de inter´es

Semejanza

Como se mencion´o anteriormente el t´ermino similitud o semejanza f´ısica se refiere a la equivalencia entre dos fen´omenos. En t´erminos de la mec´anica de fluidos interesa, por ejemplo, las C. Gherardelli

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8.4 Semejanza

condiciones que deben ser satisfechas para que los resultados de un fen´omeno obtenidos en un laboratorio mediante un modelo a escala sean aplicables a un prototipo a escala real. Dicho de otra manera, cuales son las condiciones a satisfacer para que la funci´on entre los n´ umeros adimensionales, obtenida para el modelo, sea la misma que para el prototipo. Para que se cumpla la similitud entre un modelo y un prototipo debe existir: • Semejanza geom´etrica. El modelo debe ser una versi´on a escala lo m´as detalladamente posible del prototipo. • Semejanza cinem´atica. Dos flujos son cinem´aticamente semejantes cuando las velocidades en puntos equivalentes tienen la misma direcci´on y la raz´on entre las magnitudes de la velocidad y la aceleraci´on es constante para todo el flujo, es decir, Vm = constante, Vp am = constante. ap Flujos cinem´aticamente semejantes tienes l´ıneas de corriente geom´etricamente semejantes y como el contorno del cuerpo corresponde a una l´ınea de corriente se desprende que la semejanza cinem´atica implica necesariamente la semejanza geom´etrica. • Semejanza din´amica. Si la distribuci´on de fuerzas en dos flujos es tal que en puntos correspondientes y para fuerzas del mismo tipo (cortante, presi´on, etc.) las fuerzas son paralelas y la raz´on entre sus m´odulos es constante para todos los puntos equivalentes y para los diversos tipos de fuerzas presentes, se dice que los flujos son din´amicamente semejantes. Por lo tanto, en el caso de semejanza din´amica entre dos flujos existir´a una relaci´on sencilla y de f´acil c´alculo entre fuerzas correspondientes. Esto es de gran importancia, por ejemplo, para evaluar las fuerzas de arrastre y sustentaci´on, a las que estar´ıa sometido un prototipo, a partir de las determinadas en un modelo a escala en un laboratorio. En t´erminos pr´acticos lo anterior se traduce en que, asegurada la semejanza geom´etrica, la semejanza din´amica se obtiene si los grupos adimensionales involucrados en el fen´omeno son iguales, es decir, tienen el mismo valor para el modelo y el prototipo. Ejemplo Se debe determinar el arrastre al que estar´ıa sometido un sonar esf´erico de 30 cm de di´ametro si se desplaza a una velocidad de 2.57 m/s (5 nudos mar´ıtimos) sumergido en en el mar (ρ = 1028.4 kg/m3 , ν = 1.57 · 10−6 m2 /s), a partir de los datos en un t´ unel de viento (ρ = 1.23 kg/m3 , ν = 1.46 · 10−5 m2 /s). El modelo tiene 15 cm de di´ametro. Determine la velocidad requerida en el t´ unel de viento. Si la fuerza de arrastre sobre el modelo es igual a 24.82 N, eval´ ue la fuerza a la que estar´ıa sometido el sonar. De un an´alisis dimensional se obtiene la siguiente relaci´on funcional. F ρV D =φ . 2 2 ρV D µ 



Para que se exista semejanza din´amica se debe cumplir que Remodelo = Reprototipo C. Gherardelli

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8.5 Semejanza basada en las ecuaciones que gobiernan el fen´omeno

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⇒ 

ρV D = Rep . µ m 

Para el prototipo se tiene Rep =

2.57 · 0.30 = 4.91 · 105 = Rem 1.57 · 10−6

⇒ Vm = Rem

νm 1.46 · 10−5 = 4.91 · 105 = 47.8 m/s Dm 0.15

A esta velocidad el modelo y el prototipo son din´amicamente semejantes por lo que 

F = ρV 2 D2 modelo 



F ρV 2 D2 prototipo 

⇒ Fp = Fm

8.5

ρp Vp2 Dp2 1028.4 (2.57)2 (0.3)2 = 24.82 = 240 N 2 ρm Vm2 Dm 1.23 (47.8)2 (0.15)2

Semejanza basada en las ecuaciones que gobiernan el fen´ omeno

El ´exito del an´alisis dimensional depende fundamentalmente de la selecci´on adecuada de las variables involucradas en un fen´omeno dado y tiene, por lo tanto, un cierto grado de incertidumbre. Las conclusiones con respecto a la semejanza entre dos fen´omenos que de el extraigan, incorporan, por lo tanto, este grado de incertidumbre. Este nivel de incertidumbre disminuye con la experiencia que se tenga acerca de los fen´omenos estudiados. Una forma m´as rigurosa para determinar las condiciones necesarias bajo las cuales dos flujos sean semejantes es utilizar las ecuaciones diferenciales y las condiciones de borde que gobiernan el flujo. Dos fen´omenos f´ısicos ser´an semejantes si las ecuaciones diferenciales y las condiciones de borde que los gobiernan tienen la misma forma adimensional. En este caso, la semejanza din´amica se obtiene al igualar los coeficientes adimensionales, para el modelo y el prototipo, de las ecuaciones y las condiciones de borde. Como ejemplo de lo anterior se analizar´a el caso de un flujo bidimensional, laminar, permanente e incompresible en un plano xy donde la gravedad act´ ua seg´ un el sentido negativo de y. La ecuaci´on de continuidad para este caso es: ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y

(8.1)

Las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a: ∂u ∂u ρ u +v ∂x ∂y 

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∂p ∂2u ∂2u =− +µ + 2 ∂x ∂x2 ∂y

!

,

(8.2)

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8.5 Semejanza basada en las ecuaciones que gobiernan el fen´omeno

∂v ∂v +v ρ u ∂x ∂y 



∂p ∂2v ∂2v =− − ρg + µ + ∂y ∂x2 ∂y 2

!

.

(8.3)

La adimensionalizaci´on de las ecuaciones anteriores se realiza dividiendo todas las longitudes por una longitud caracter´ıstica L, las velocidades por una velocidad de referencia V∞ y la presi´ on 2 por ρV∞ . Una caracter´ıstica importante de estas magnitudes es que son constantes. Lo anterior introduce las siguientes variables adimensionales: x ∗ y u v p , y = , u∗ = , v∗ = , y p∗ = . 2 L L V∞ V∞ ρV∞

x∗ =

Las ecuaciones adimensionales se obtienen despejando las variables dimensionales (x, y, u, v, p) de las relaciones anteriores y reemplazando en las ecuaciones 8.1, 8.2 y 8.3. Por ejemplo u

2 ∗ ∂u ∂ (V∞ u∗ ) V∞ ∗ ∂u = (V∞ u∗ ) = u . ∂x ∂ (x∗ L) L ∂x∗

Realizando todos los reemplazos se obtiene V∞ ∂u∗ V∞ ∂v ∗ + = 0, L ∂x∗ L ∂y ∗ 2 ρV∞ ∂u∗ ∂u∗ u∗ ∗ + v ∗ ∗ L ∂x ∂y



2 ρV∞ ∂v ∗ ∂v ∗ u∗ ∗ + v ∗ ∗ L ∂x ∂y







(8.4) ρV 2 ∂p∗ µV∞ =− ∞ ∗ + 2 L ∂x L

∂ 2 u∗ ∂ 2 u∗ + ∗2 ∂x∗ 2 ∂y

ρV 2 ∂p∗ µV∞ = − ∞ ∗ − ρg + 2 L ∂y L

!

,

∂2v ∂ 2v∗ + 2 ∂x∗ ∂y ∗ 2

(8.5) !

.

(8.6)

2 /L Dividiendo la ecuaci´on de continuidad por V∞ /L y las ecuaciones de Navier-Stokes por ρV∞ se obtiene

∂u∗ ∂v ∗ + = 0, ∂x∗ ∂y ∗ u

∗ ∂u

∗

∂x∗

+

∗ ∂v

∗

∂p∗ µ =− ∗ + ∂x ρV∞ L

∂ 2 u∗ ∂ 2 u∗ + ∗2 ∂x∗ 2 ∂y

∂p∗ gL µ u + v = − − 2 + ∗ ∗ ∗ ∂x ∂y ∂y V∞ ρV∞ L ∗ ∂v

∗

∂u∗ v∗ ∗ ∂y

(8.7) !

,

∂2v ∂ 2v∗ + ∂x∗ 2 ∂y ∗ 2

(8.8) !

.

(8.9)

De la ecuaciones anteriores se ve que dos flujos ser´an semejantes si las ecuaciones diferenciales 2 anteriores son id´enticas para ambos casos. Lo anterior se cumple si los grupos µ/ρV∞ L y gL/V∞ tienen el mismo valor. Analizando estos grupos se ve que corresponden al n´ umero de Reynolds y el n´ umero de Froude. Por lo tanto, los flujos ser´an din´amicamente semejantes si tanto el n´ umero de Reynolds como el n´ umero de Froude son iguales. Las ecuaciones anteriores son aplicables en el caso donde las fuerzas volum´etricas, representadas por la gravedad, son importantes. Este es el caso del estudio del arrastre sobre superficies parcialmente sumergidas, que corresponde al caso de cascos de embarcaciones mar´ıtimas. En los casos donde las fuerzas volum´etricas son despreciables, las ecuaciones diferenciales correspondientes no incluir´an el t´ermino ρg y, por lo tanto, la semejanza din´amica entre dos flujos se obtiene si el n´ umero de Reynolds es igual para ambos flujos. C. Gherardelli

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