GP Circunferencia
MATEMÁTICAS [CIRCUNFERENCIA] CIRCUNFERENCIA I. B Si: ̅̅̅̅ 𝐿𝑆 X O B P ̅̅̅̅ A F 𝐿𝑁 O ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ C R A 𝐿𝑇
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- Widman Gutiérrez Reyes
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MATEMÁTICAS
[CIRCUNFERENCIA]
CIRCUNFERENCIA I.
B
Si: ̅̅̅̅
𝐿𝑆
X
O
B
P
̅̅̅̅
A
F
𝐿𝑁
O
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
C
R A
𝐿𝑇
IV.
Q
F
M
III.
4. Si un radio es perpendicular a una cuerda, el radio pasa por el punto medio de la cuerda y del arco correspondiente a la cuerda.
DEFINICIÓN: Figura plana cuyos puntos equidistan de un punto fijo llamado CENTRO. La longitud de este segmento constante se llama RADIO Y
II.
GEOMETRÍA PLANA
N
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA
H
1. Los dos segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un punto exterior a esta son congruentes y determinan ángulos congruentes.
ELEMENTOS 1. CENTRO: O 2. RADIO: ̅̅̅̅; ̅̅̅̅ ; ̅̅̅̅; ̅̅̅̅; ̅̅̅̅; ̅̅̅̅ 3. CUERDA: ̅̅̅̅̅ 4. DIÁMETRO: ̅̅̅̅; ̅̅̅̅ 5. FECHA O SAGITA: ̅̅̅̅ 6. RECTA TANGENTE: 7. PUNTO DE TANGENCIA: P 8. RECTA SECANTE: 9. RECTA NORMAL:
A r O
P r B
TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA
̅̅̅̅
̅̅̅̅
1. El radio es perpendicular a la tangente 2. Los segmentos tangentes comunes externos a dos circunferencias son congruentes
̅̅̅̅ O
R
A
A L
C O´
2. Arcos comprendidos entre paralelas son congruentes
rectas D B
B
C
A
Si: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̂
D
3. Arcos congruentes cuerdas congruentes B
le
̂
corresponden
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
3. TEOREMA DE PONCELET a
b r
C
Si: ̂ D
̅̅̅̅
̂ ̅̅̅̅
c
A
Prof. Widman Gutiérrez R.
PREPARATORIA 4
MATEMÁTICAS
[CIRCUNFERENCIA]
4. TEOREMA DE PITOT
5. ÁNGULO INTERIOR Ángulo cuyo vértice está dentro de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas que se cortan
x
b
a
GEOMETRÍA PLANA
̂
̂
y
V.
6. ÁNGULO EXTERIOR Ángulo formado por dos secantes; por una secante y una tangente, o por dos tangentes a una circunferencia, que se intersecan en un punto fuera de la misma
ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 1. ÁNGULO CENTRAL Ángulo formado por 2 radios con vértice en el centro de la circunferencia
B
̂
𝜶
C
A
2. ÁNGULO INSRCITO Ángulo formado por 2 cuerdas con vértice en la circunferencia ̂
3. ÁNGULO SEMI-INSCRITO Ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son una cuerda y una tangente
̂
PROBLEMAS DE APLICACIÓN 4. ÁNGULO EXINSCRITO Ángulo formado por una secante una cuerda. C ̂
A
1.
Calcular “r”, si AB = 5 y BC = 12 A
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
r B
C
B Prof. Widman Gutiérrez R.
PREPARATORIA 4
MATEMÁTICAS 2.
En la figura mostrada, hallar el valor de a. a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8
3.
14 4
Calcular la longitud de la flecha correspondiente a AB , si AB = 16 y r = 10 B A
O 70
P R
6+k A
8-k B
Calcular , si “T” es punto de tangencia. T
R 4
2
En el triángulo: AB = 7 , BC = 9 y AC = 8 Calcular AM, (M es punto de tangencia). B A
Prof. Widman Gutiérrez R.
2
A x
P
B
a) 80 b) 130 c) 100 d) 120 e) 90
50
O
x
12. Calcular “” siendo A y B puntos de tangencia. a) 40 b) 30 c) 60 d) 20 e) 90
A
B
B
O
A
e)
c) 37
53º
11. Calcular “x”, si “O” es centro
Siendo S, Q y R puntos de tangencia. Calcular AB
a) 1 b) 2 c) 3 d) 2,5 e) 3,5
b) 45
10. Calcular x, si mAPB = 300 a) 15 b) 20 c) 35 d) 30 e) 60º
x
A
c) 48
Desde un punto exterior P a una circunferencia, se trazan la tangente PT , tangente en T y la secante PAB que pasa por el centro de la circunferencia de tal
d) 30
Q
7.
9.
b) 36 e) 72
a) 60
r
Siendo “O” centro y “T” punto de tangencia. Calcular “x”
a) 9 b) 20 c) 30 d) 12 e) 18
Una circunferencia está inscrita en un trapecio isósceles ABCD ( BC // AD ), Si AB = 48, calcular la medida de la mediana del trapecio..
manera que PB = 3(PA). Hallar la m∢BPT.
O
a) 14 b) 12 c) 2 d) 7 e) 12+k
6.
GEOMETRÍA PLANA
a) 24 d) 36
a+8
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 5.
8.
a
a) 2 b) 4 c) 3 d) 2,5 e) 3,5 4.
[CIRCUNFERENCIA]
M A
13. Calcular “” a) 22 30’ b) 22 c) 25 d) 27 30’ e) 18 30’
3 5
C A
PREPARATORIA 4
MATEMÁTICAS
[CIRCUNFERENCIA]
14. Calcular “x”. Si mBC = 100 y A es punto de tangencia. A
a) 65 b) 50 c) 75 d) 80 e) 25
B
C
15. Hallar la mAC, si mBD = 150 a) 80 b) 60 c) 75 d) 55 e) 70
TAREA 1. Calcular r a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 2,5
x 25
15 r
37
2. Si: a + b = 20, Hallar el perímetro de ABCD.
D
a) 20 b) 40 c) 60 d) 30 e) 35
110 B
A C
a) 35 b) 55 c) 60 d) 50 e) 65
C
B
b
a
16. Calcular “x”, si “O” es el centro.
D
A
3. Calcular r, si P, Q y R son puntos de tangencia.
30 O 25
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
x
17. En el gráfico. Calcular “x” a) 36º b) 72º c) 20º d) 30º e) 53º
GEOMETRÍA PLANA
R O
P
Q 8
3x
2x
4. Hallar la longitud de la flecha MN, si: AB = 8 y R=5 a) 1 b) 2 5 c) 2,5 B M d) 1,5 e) 3 A
18. Calcular “x”
a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18
x 140
19. En la figura mostrada, hallar los valores de los arcos AF y PQ a) 80 y 30 b) 100 y 50 c) 110 y 40 d) 110 y 50 e) 100 y 40 Prof. Widman Gutiérrez R.
N
5. Calcular “” siendo “O” centro y “T” punto de Tangencia.
120
a) 60º b) 80º c) 70º d) 30º e) 40º
6
r
A P 75
35
Q
T
6
3
O
A
B
6. Calcular “x”, si “O” es centro. a) 10º b) 15º c) 20º d) 35º e) 25º
4x
O
160º
F PREPARATORIA 4