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• Carlo Bastidas Jaimes

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FUNCIONES

Un termostato controlado electrónicamente está programado para hacer descender o ascender automáticamente la temperatura de una habitación durante las 24 horas del día (ver la figura). Se da la temperatura T en grados centígrados en función del tiempo t (de 0 a 24 horas).Se pide:Estimar T (5) y T (16). El termostato está programado para obtener una temperatura H (t) = T (t-1).¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta. El termostato está programado para obtener una temperatura J(t) = T (t)-1.¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.

Grafico T

28

.

.

(7,22)

22

(20,22)

16

10

t 3

6

9

T(5) = 16º C;

12

15

T(16) = 22º C

18

21

24

Función Temperatura T

16

; si 0 ≤ t < 6

6t − 20 ; si 6 ≤ t < 7

T (t ) =

22

; 16 ≤ T < 22

; si 7 ≤ t < 20

−6t + 142; si 20 ≤ t < 21 ; 16 < T ≤ 22 16

; si 21 ≤ t ≤ 24

Función Temperatura H(t)=T(t-1)

16

; si 1 ≤ t < 7

6t − 26 ; si 7 ≤ t < 8

H (t ) = T (t − 1) =

22

; 16 ≤ H < 22

; si 8 ≤ t < 21

−6t + 148; si 21 ≤ t < 22 ; 16 < H ≤ 22 16

; si 22 ≤ t ≤ 25

Función Temperatura H(t) = T(t-1) H 28

(8,22)

22

(21,22)

16 (1,16)

(25,16)

10

t 3

6

9

12

15

18

21

24

Los cambios de temperatura ocurren una hora después.

Función Temperatura J(t)=T(t)-1

15

; si 0 ≤ t < 6

6t − 21 ; si 6 ≤ t < 7

J (t ) = T (t ) − 1 =

21

; 15 ≤ J 0; (δ = δ (ε ))

x → x0

Tal que f ( x) − L < ε

siempre y cuando

x − xo < δ ∀x ∈ B´( xo , δ ) ⊂ D, D = Dom( f )

lim f ( x) = L implica que si x → xo ⇒ y → L

x → x0

LIMITES: PROPIEDADES Sean f, g: R →R ; xo un punto de acumulación de la intersección de los dominios de f y g C una constante real

lim C = C

x → x0

lim ( Cf ( x ) ) = C lim f ( x )

x → x0

x → x0

lim ( f ( x) ± g ( x) ) = lim f ( x) ± lim g ( x)

x → x0

x → x0

x → x0

siempre que no aparezca la indeterminación:

∞−∞

lim ( f ( x).g ( x) ) = lim f ( x). lim g ( x)

x → x0

x → x0

x → x0

siempre que no aparezca la indeterminación:

0.∞

lim f ( x) ⎛ f ( x) ⎞ x → x0 lim ⎜ ⎟= x → x0 lim g ( x) ⎝ g ( x) ⎠ x→ x 0

siempre que no aparezca las indeterminaciones:

lim

x → x0

⎧0 ∞ ⎫ ⎨ , ⎬ ⎩0 ∞ ⎭

f ( x) = lim f ( x); si lim f ( x) ≥ 0 x → x0

(

x → x0

)

n

lim( f ( x)) = lim f ( x) ; n ≠ 0 siempre y cuando tengan sentido n

x → x0

lim ( f ( x)

x → x0

x → x0

g ( x)

) = ( lim

x → x0

las potencias que aparecen.

f ( x)

)

lim g ( x )

x→ x0

siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos:

∞0 ,00 ,1∞

lim ( log a f ( x) ) = log a (lim f ( x)) ⇔ (lim f ( x)) > 0

x → x0

x → x0

x → x0

*

1 1 lim+ = ∞ , lim− = −∞ x →0 x x →0 x 1 ⎛ ⎞ = ∞⎟ ⎜ lim ⎝ x →0 x ⎠

1 lim = 0 x → ±∞ x 0 ∞ , , ∞ − ∞, (→ 1)∞ , ∞0 , 00 , 0.∞,... 0 ∞ son indeterminaciones

sen(t ) lim =1 t →0 t t

1⎞ ⎛ lim ⎜ 1 + ⎟ = e t →∞ t⎠ ⎝ 1T

lim (1 + T ) T →0

=e

lim a t − 1 = ln a, a > 0 t →0 t

Si se trata de una indeterminación de la forma ∞/∞ . Para resolverla se distinguen 3 casos , según sean los grados de los polinomios del numerador y denominador:

⎧ ⎪+∞ b0 x p + b1 x p −1 + .... + bp ⎪⎪ Lim =⎨ q q − 1 x →∞ c x + c x + .... + cq ⎪ 0 1 ⎪ ⎪⎩ + b0 ≠ 0; c0 ≠ 0; p, q ∈ Z

(ó − ∞) si 0 si b0 si c0

p>q p x0 L2

L1

y = f ( x); x < x0

x0: Punto de discontinuidad esencial de primera especie

x

y

y = f ( x); x < x0

x0: Punto de discontinuidad esencial de segunda especie

x0 x

y = f ( x); x > x0

PRINCIPALES TEOREMAS DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

TEOREMA: Si

lim g ( x) = L y f es continua en g(x0) y si x0 es un punto de

x → x0

Acumulación del Dom (fog) ⇒

lim f ( g ( x)) = f ( lim g ( x)) = f ( L)

x → x0

x → x0

/ f (a) < y0 < f (b)

COROLARIO: Si g(x) es continua en x0 y f es continua en g(x0), entonces fog es continua en x0. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO: Si f es continua en [a, b], tal que f(a)< f(b) y si y0 ∈ R

⇒ ∃(al menos) un x 0 ∈ < a, b > tal que f(x 0 ) = y0

TEOREMA DEL CERO: si f es continua en [a, b], y si f(a) y f(b) tienen signos opuestos entonces existe un numero real x0 ∈< a, b > / f ( x0 ) = 0

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES CONTINUAS: Si f es continua sobre [a, b] f está acotada sobre [a, b]. CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN INTERVALOS

Definición 1.Una función f: → R , es continua en si es continua en todo x ∈< a, b > Definición 2. a) Una función f es continua por la derecha en x = a si b) Una función f es continua por la izquierda en x = a si

lim+ f ( x) = f (a)

x →a

lim− f ( x) = f (a)

x→a

Definición 3. Una función es continua en si: f es continua en y f es continua por la derecha en a.

Definición 5. Una función es continua en [a, b] si: f es continua en , f es continua por la derecha en a y f es continua por la izquierda en b.

ASÍNTOTAS VERTICALES, HORIZONTALES Y OBLICUAS 1) Asíntota vertical:La recta x=a es una asíntota vertical de la grafica de la función f, si

lim− f ( x) = ± ∞

lim+ f ( x) = ± ∞

x→a

x→a

f

2) Asíntota Horizontal:La recta y=b es una asíntota horizontal de la grafica de la función

f, si

lim f ( x) = b

x →+∞

lim f ( x) = b

x →−∞

3) Asíntota oblicua:La gráfica de la función f tiene a la recta y=mx+b,m≠0 como una asíntota oblicua, si

f ( x) lim = m x → ±∞ x

lim [ f ( x) − mx] = b

x→±∞

Sea f:R→R /y = f(x).....(C ) lim

1) x → x f (x) = ∞ 0

Es decir: y → ∞ cuando x→x0 ⇒ x = x0 ... Asíntota vertical de C