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Gladys Bobadilla A.

APUNTES DE GEOMETR´IA PARA ESTUDIANTES DE PEDAGOG´IA 2016

Departamento de Matem´ atica y C.C. Universidad de Santiago de Chile

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´Indice general 1 Introducci´ on hist´ orica 1.1 Los or´ıgenes y desarrollo de la geometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 El objeto de estudio de la geometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 ¿Por qu´e ense˜ nar geometr´ıa actualmente? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Axiomas 2.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Conceptos elementales de la geometr´ıa seg´ un la presentaci´on de Euclides 2.2.1 Axiomas o Postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Nociones comunes (Axiomas de igualdad) . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Definiciones b´ asicas (Libro I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Los objetos geom´etricos y la realidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Presentaci´ on Axiom´ atica de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Nociones primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Axiomas de congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Axiomas de congruencia de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Axiomas de congruencia de ´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Definiciones b´ asicas de ´ angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Comparaci´ on de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.5 Introducci´ on del s´ımbolo ≤: “Menor o congruente” . . . 3 Congruencia de tri´ angulos 3.1 El axioma de congruencia de tri´ angulos y los criterios de ´ 3.2 Existencia de Angulos Rectos . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.3 Comparaci´ on de Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.4 Angulos Exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Longitud de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Axiomas de Continuidad . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Longitud y Congruencia . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Construcciones con regla y comp´ as . . . . . . . . . . . . 4 Paralelismo y semejanza de tri´ angulos 4.1 El axioma de paralelismo . . . . . . . 4.2 El Teorema de Thales . . . . . . . . . 4.3 Semejanza de tri´ angulos . . . . . . . . 4.4 Teorema de Pit´ agoras . . . . . . . . . 4.4.1 Ejercicios propuestos . . . . . . ´ 4.5 Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . 4.5.2 Ejercicios propuestos . . . . . .

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congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 5 7 8

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9 9 9 9 10 10 11 12 12 12 15 15 16 17 19 20

de tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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23 23 27 29 30 32 33 34 36

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41 41 46 50 52 60 60 64 70

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´INDICE GENERAL

4 5 El c´ırculo y pol´ıgonos regulares 5.1 La circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Definiciones b´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Construcci´ on de una circunferencia que pasa por tres puntos no 5.1.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.1.4 Angulos inscritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6 Propiedades fundamentales de la tangente a una circunferencia 5.1.7 Tangencia de circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Pol´ıgonos convexos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Disecci´ on de un pol´ıgono en tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.3 Area y Per´ımetro de una circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Breve historia del n´ umero π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Mediciones de ´ angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Construcci´ on de pol´ıgonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . colineales A, B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Geometr´ıa anal´ıtica plana 6.1 Elementos de Geometr´ıa Anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Curvas representadas por ecuaciones de segundo grado: las c´onicas 6.2 Ecuaciones can´ onicas de las c´ onicas con centro . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Caracterizaci´ on focal de las c´onicas con centro . . . . . . . . . . . 6.2.2 La hip´erbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Propiedades ´ opticas de las c´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5 Ecuaci´ on de una c´ onica en coordenadas polares . . . . . . . . . . .

. . y . . . . . . . . . . . .

. . C . . . . . . . . . . . .

71 71 71 72 73 74 74 75 77 78 78 85 88 88 91 94

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99 99 104 107 108 111 114 116 119

7 Transformaciones ortogonales en el plano vectorial 7.1 El espacio vectorial real Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 El espacio euclidiano de dimensi´ on n . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Subespacios, complementos ortogonales y sumas directas . 7.2.2 Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Teorema del rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Trasformaciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Caracterizaci´ on de las isometr´ıas vectoriales en el plano . 7.5.2 Generalizaci´ on de las simetr´ıas . . . . . . . . . . . . . . .

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131 131 132 135 136 137 140 140 141 145 147 151

8 Geometr´ıa Euclidiana del espacio 8.1 Axiomas del espacio . . . . . . . . . . . 8.1.1 Intersecciones de rectas y planos ´ 8.2 Angulos diedros y poliedros . . . . . . . 8.2.1 C´ alculo de vol´ umenes . . . . . . 8.3 S´ olidos de revoluci´ on . . . . . . . . . . . 8.3.1 El cilindro circular recto . . . . . 8.3.2 El cono circular recto . . . . . . 8.3.3 La esfera . . . . . . . . . . . . .

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153 153 153 159 165 167 167 168 172

9 Geometr´ıa anal´ıtica del espacio 9.1 El espacio vectorial euclidiano de dimensi´on n . . . . . 9.2 El espacio afin R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Proyecci´ on ortogonal sobre un plano en R3 . . 9.3 Sistemas de coordenadas cartesianas en el espacio af´ın 9.3.1 Otros sistemas de coordenadas . . . . . . . . . 9.4 La cartograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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177 177 182 187 188 193 200

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´INDICE GENERAL 9.4.1 9.4.2 9.4.3

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Una proyecci´ on esteogr´ afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Construcci´ on de la funci´ on Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Relaci´ on entre Π y Π∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

10 Geometr´ıa esf´ erica 10.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Distancia, ´ angulos y tri´ angulos en la superficie esf´erica ´ 10.2.1 Angulos y tri´ angulos esf´ericos . . . . . . . . . . 10.3 Congruencia de tri´ angulos esf´ericos . . . . . . . . . . .

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´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1

Introducci´ on hist´ orica 1.1

Los or´ıgenes y desarrollo de la geometr´ıa

Geometr´ıa es una palabra de origen griego que significa medir la tierra. Esta rama del saber es considerada la m´ as antigua de las ciencias debido a que fue sistematizada por los griegos en un proceso que culmin´o con el libro “Elementos”de Euclides en el siglo III A.C. Antes de llegar a esta etapa, el pensamiento humano hab´ıa recorrido un largo camino, que algunos llaman la prehistoria de la matem´atica,(?). ˆ Per´ıodo Egipcio: Los principales documentos que dan cuenta de los conocimientos matem´ aticos del antiguo Egipto son los papiros de Rhind y el Mosc´ u. Se supone que corresponden aproximadamente al a˜ no 2000 a.C. En el papiro de Rhind se encuentran 84 problemas que involucran operaciones con fracciones, c´ alculos de ´area de rect´angulos, tri´angulos, trapecio , c´ırculo, vol´ umenes del paralelep´ıpedo, cilindro y pir´ amide. ˆ Per´ıodo Babilonio:( aproximadamente entre el 2000 y 600 a.C.) Los babilonios son herederos de otras culturas lo que tal vez les permiti´o llegar m´as lejos que los egipcios. En Mesopotamia, 6.000 a˜ nos ´ atras, los sacerdotes caldeos estudiaban las trayectorias de los astros, las tablas de arcilla del 3.800 a.C. dan testimonio de una tradici´on astron´omica que les permiti´o calcular, entre otras cosas, la duraci´ on del a˜ no con un error menor que 0, 001 %. Este aspecto cuantitativo estaba adscrito a la cosmolog´ıa que consideraba la Tierra como centro del universo. Las caracter´ıstica de la matem´ atica babilonia son: un sistema num´erico en base 60. Tablas de multiplicar desde el 1 × 1 hasta 60 × 60, tablas de cuadrados de n´ umeros enteros y cubos. Tablas de inversi´on ( ra´ıces cuadradas), algunas resoluciones de ecuaciones. Desde el punto de vista geom´etrico se encuentran rudimentos de medici´ on de ´ angulos y relaciones trigonom´etricas. C´alculo de ´areas y vol´ umenes de figuras elementales rectil´ıneas. Usaban el valor 3 para π. De ellos conservamos los sistemas sexagesimales de medici´ on del tiempo y de los ´angulos. ˆ Per´ıodo Griego: En el siglo 7 a.C. la geometr´ıa pas´ o de Egipto a Grecia. En aquella ´epoca surgen las primeras escuelas cient´ıfico-filos´oficas. Una de ellas es la Escuela de Mileto, a la que pertenecen Tales, Anaximandro, Anax´ınemes. Tales ( 624- 546 a.C.) introduce en Grecia la geometr´ıa abstracta, aunque el teorema que lleva su nombre, sobre el haz de rectas paralelas cortado por dos transversales, no fue demostrado por ´el,(?). Anaximandro introdujo el concepto de Ley (Teorema), descubri´ o un reloj solar, cre´o una rudimentaria teor´ıa evolucionista, dise˜ n´o el primer mapa geogr´ afico. A Anax´ınemes se debe la idea de las esferas celestes que rodean la tierra a las cuales est´ an fijos los astros. Esta idea prevalecer´a en la cosmolog´ıa occidental hasta el inicio de los tiempos modernos. Un nivel de pensamiento muy superior es el que desarroll´o la Escuela Pitag´ orica fundada por Pit´ agoras ( 582 - 500 a.C.). Esta escuela constitu´ıda por hombres y mujeres, fue la primera en postular que la materia era discontinua, cuyos elementos b´asicos eran las unidades num´ericas. Cre´ıan que el universo estaba regido por sencillas relaciones matem´aticas. Por n´ umero entend´ıan s´olo los enteros positivos. La crisis de esta escuela y la que la llev´o a su fin fue el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables como una consecuencia del Teorema de Pit´agoras y que contradec´ıa su concepci´ on discreta de la figuras geom´etricas. No obstante esto, se puede considerar que ellos iniciaron la matematizaci´ on del universo y por lo tanto, su influencia a´ un persiste.

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´ HISTORICA ´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

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En el siglo 5 a.C., se plantearon tres grandes problemas matem´aticos de singular importancia en la historia de la matem´ atica: El problema de la duplicaci´ on del cubo; El problema de la trisecci´ on del ´angulo; El problema de la cuadratura del c´ırculo. Durante este mismo siglo, Teodoro de Cirene demostr´o la irracionalidad de las ra´ıces cuadradas de los n´ umeros enteros, que no son cuadrados perfectos, de 3 a 17. La escuela de Atenas Esta tuvo la poderosa influencia de Plat´on, que sosoten´ıa que una funci´on de la matem´ atica era, “sacar el alma de lo que deviene para llevarla a lo que es”, s´olo si se la estudia como ciencia pura, o sea, como ciencia que se desarrolla sobre la base de rigurosas consideraciones l´ ogicas que operan con conceptos exactamente definidos, sin ninguna conexi´on con las correspondientes nociones emp´ıricas, (?). La influencia del platonismo sobre la matem´atica puede ser resumida en : (i) Impulso al estudio y a la rigurosidad en sus planteamientos. (ii) Separaci´ on entre matem´ atica y t´ecnica. (iii) La ilusi´ on de que la matem´ atica puede alcanzar verdades absolutas. Contempor´ aneo de Plat´ on fue Dem´ ocrito, con su teor´ıa que las cosas est´an formadas de ´atomos los que estaban provistos de dos cualidades: magnitud y forma geom´etrica. Introdujo la hip´otesis de la distinci´ on entre la subdivisi´ on matem´atica y la subdivisi´on f´ısica. La primera no tiene correspondencia en la realidad y es prolongable indefinidamente (m´etodo de exhastiones).Con este recurso logr´ o calcular el volumen del cono y del cilindro. Eudoxo( 408 - 355 a.C. ) considerado el mayor cient´ıfico de la primera mitad del siglo 5. Se supone que el libro V de los Elementos de Euclides dedicado a las proporciones, est´a inspirado en un tratado de Eudoxo. Calcul´ o´ areas y vol´ umenes con el m´etodo de exhastiones. La Escuela de Alejandr´ıa: Su ´epoca m´as gloriosa corresponde al siglo 3 a. C. y la primera mitad del 2. A este per´ıodo pertenecen Euclides (330-275 a.C.), Apolonio ( 260- 190 a. C. ) y Arqu´ımedes. La contribuci´ on de Apolonio qued´ o en los ocho libros que constituyen su tratado sobre las c´onicas: elipse, par´ abola e hip´erbola. Este ser´ a el texto que guiar´a, en el siglo 17, a Kepler para la formulaci´on se sus leyes sobre los planetas. Arqu´ımedes ( 287- 212 a. C.) Su contribuci´on abarc´o aspectos aritm´eticos, f´ısicos y geom´etricos. Sus descubrimientos geom´etricos son cuidadosamente demostrados con el m´etodo de exhaustiones. 2 del En particular, calcul´ o el ´ area de un segmento de par´abola demostrando que corresponde a 3 rect´ angulo que lo contiene. La decadencia del imperio romano y su conversi´on al cristianismo provoc´o un enfrentamiento entre la concepci´ on cristiana del mundo y lo que ellos consideraron la ciencia pagana, un triste recuerdo de aquello fue el asesinato de la matem´atica Hipatia (370 - 412 d.C.) por una turba de cristianos fan´ aticos. El fin del Imperio romano marca el fin definitivo de la ciencia antigua. Fueron los ´arabes los que guardaron la ciencia griega, siguieron avanzando en su propio camino que privilegiaba la aritm´etica, motivo por el cual se les considera los creadores del ´algebra. Por intermedio de ellos llegaron a Europa medieval el legado de la ciencia cl´ asica. ˆ La matem´ atica de las magnitudes variables

La geometr´ıa anal´ıtica, es una rama de la geometr´ıa que surge en el siglo 17, como consecuencia del estudio f´ısico del movimiento. A grandes rasgos hasta entonces, el estudio de la matem´atica se reduc´ıa al estudio de magnitudes constantes, a partir de esta ´epoca se comienza a mirar las magnitudes con sus variaciones. Los conceptos de variable y de funci´on son su reflejo te´orico. En particular, Ren´e Descartes (1596-1650), introduce el plano cartesiano, lo que permite interpretar una ecuaci´ on de dos variables, que en general tiene infinitas soluciones, como una curva en el plano. Se puede decir que la geometr´ıa anal´ıtica es la aritmetizaci´ on de la geometr´ıa euclidiana. Muchos resultados que en la geometr´ıa descrita por Euclides resultan complicadas, en esta presentaci´on

1.1. LOS OR´IGENES Y DESARROLLO DE LA GEOMETR´IA

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resultan m´ as sencillas. En s´ıntesis, la geometr´ıa anal´ıtica permite un ir y venir entre la geometr´ıa y el ´ algebra, esta maravilla fue posible gracias a la idea de variable y funci´on. La geometr´ıa proyectiva: Los estudios de la perspectiva fueron desarrolladas por artistas y arquitectos del Renacimiento. Sobre esta base surgi´o una nueva rama de la geometr´ıa. Uno de los precursores fue G. Desargues (1591-1661). Su construcci´on te´orica y formalizaci´on fue culminada por Poncelet en 1822. Su diferencia con la geometr´ıa euclidiana es que en ´esta las rectas paralelas se cortan en un punto ideal, en el infinito, puntos que son agregados al plano euclidiano. Como lo explica, F.Gareth Ashurst en (?): “Con un proyector de diapositivas sabemos que, en condiciones adecuadas, podemos obtener la misma imagen pero agrandada. Sin embargo, seg´ un las condiciones de la proyecci´ on obtendrenos distintas im´ agenes(...).El conjunto de todas las posibles im´ agenes se obtiene mediante un conjunto de transformaciones que forman un grupo. Esta geometr´ıa en la que las rectas se transforman en rectas, sin que tengan que ser paralelas ni de la misma longitud(en el caso de segmentos), se conoce con el nombre de geometr´ıa proyectiva”. Intuitivamente, las transformaciones proyectivas, preservan las propiedades de colinealidad y concurrencia. No preservan formas, por ejemplo una circunferencia proyectada sobre otro plano puede resultar una elipse. El quinto postulado de Euclides y las geometr´ıas no euclidianas El postulado de las paralelas tiene una dificultad intr´ınseca, debido a que las rectas se extienden infinitamente. Muchos matem´ aticos trataron de eludir este postulado deriv´andolo de los otros o cambi´andolo por uno que no involucrara al infinito. Algunos nombres vinculados a esta tarea son G. Saccheri (16671733) J.H.Lambert(1728-1777), A.M. Legendre(1752-1833), C.F.Gauss(1777-1855), J.Bolyai (18021860),N.I.Lobachevsky (1793-1856). Este u ´ltimo, en 1826, expone una geometr´ıa m´as general que la de Euclides, suponiendo que por un punto pasan dos paralelas a una recta. Bajo este supuesto, que es una forma de negar el quinto postulado de Euclides, no condujo a ninguna contradicci´ on sino a una nueva geometr´ıa, que m´ as tarde se llam´o hiperb´olica. En ella, la suma de los ´angulos de un tri´ angulo es menor que dos ´ angulos rectos. En 1854, B. Riemamm (1826- 1866) estudi´o el problema desde el supuesto que dada una recta y un punto fuera de ella, por dicho punto no pasa ninguna paralela a la recta dada. Fue F.Klein ( 1849-1925) quien dio el nombre de geometr´ıa parab´olica, hiperb´olica o el´ıptica seg´ un se pueda trazar una u ´nica , muchas o ninguna paralela. La geometr´ıa parab´olica es la geometr´ıa de Euclides. Demostr´ o adem´ as que la geometr´ıa de Riemann se puede modelar sobre una esfera, siendo las rectas los circulos m´ aximos que se cortan en un u ´nico punto. En esta geometr´ıa los `angulos interiores de un tri´ angulo suman mas de 180 grados. Geometr´ıa sobre una superficie: Dada una superficie, se trata de ver hasta qu´e punto se puede construir una geometr´ıa sobre ella de manera an´aloga a la del plano. Lo m´ınimo que se debe determinar es, dados dos puntos sobre ella, cu´al es la curva que une dichos puntos siendo la distancia m´ınima. Por ejemplo: en una esfera la distancia m´ınima entre dos puntos es el arco de la circunferencia m´ axima que ellas determinan. Otra noci´on m´ınima que debe introducirse es la igualdad o congruencia de figuras. Tipo de geometr´ıa parab´ olica el´ıptica hiperb´ olica

Superficie modelo plano esfera pseudoesfera

Suma Angulos 4 α + β + γ = 180 α + β + γ > 180 α + β + γ < 180

Matem´aticos Euclides Riemann Lobachevsky, Bolyai

La generalizaci´ on de la geometr´ıa ha dado origen a una rama de la matem´atica llamada topolog´ıa. Las transformaciones topol´ ogicas preservan solamente el orden en que se encuentran los puntos en una recta, pero no necesariamente su forma. Por ejemplo un cuadrado puede transformarse en una circunferencia.

1.1.1

El objeto de estudio de la geometr´ıa

1. Es la ciencia que trata de las propiedades de las figuras geom´etricas empleadas para la medici´on de extensiones. (?)

´ HISTORICA ´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

10

2. La geometr´ıa tiene como objeto las formas espaciales y las relaciones de los cuerpos reales eliminando de ellos las restantes propiedades y consider´andolos desde el punto de vista puramente abstracto. El objeto de la geometr´ıa no es s´ olo las relaciones y formas espaciales cuantitativas dadas, sino de todas las posibles...no se habla unicamente de las relaciones y formas espaciales, sino de todas las formas posibles semejantes a las espaciales. Su gran nivel de abstracci´on es lo que permite distinguir la geometr´ıa de otras ciencias que tambi´en se ocupan de las formas espaciales como la astronom´ıa, cristalograf´ıa. (?). 3. En 1872 F. Klein defini´ o la geometr´ıa como el estudio de las propiedades de un espacio que permanecen invariantes bajo un grupo de transformaciones. En este contexto, la geometr´ıa euclidiana es el estudio del espacio cuyas propiedades permanecen invariantes mediante traslaciones, rotaciones y homotecias. En lenguaje simple la geometr´ıa euclidiana preserva las forma de las figuras.

La crisis de la ense˜ nanza de la geometr´ıa En el libro (?), se cuenta de forma sucinta c´omo la ense˜ nanza de la geometr´ıa qued´o postergada por privilegiar la teor´ıa de conjuntos a nivel de ense˜ nanza b´asica y media en Europa, lo que tambi´en se hizo en Chile y otros pa´ıses. En 1952, los famosos matem´ aticos Dieudonn´e, Choquet y Lichnerowicz comienzan el an´alisis de la ense˜ nanza de la matem´ atica en los colegios. En 1956, Choquet compara a los profesores de los colegios con guardianes de museo. En 1957 la URSS lanza la primera nave espacial, lo que hizo pensar a las potencias de occidente en una cierta superioridad cient´ıfica del campo enemigo. Eran los tiempos de la llamada guerra fr´ıa. En 1958-1959, la Organizaci´ on Europea de Cooperaci´on Econ´omica (OECE) da el impulso decisivo a las reformas de las matem´ aticas en los colegios enmarcando la reforma de las matem´aticas modernas en una pol´ıtica de formaci´ on al servicio de la modernizaci´on econ´omica. La OECE crea una Oficina de Personal Cient´ıfico y T´ecnico en que uno de sus objetivos es “rendir m´as eficaz la ense˜ nanza de las ciencias y la matem´ atica ”. 1959 Jean Dieudon´e, en Royaumont termin´o con estas palabras: “Si todo el programa que propongo tuviera que condensarse en un solo eslogan yo dir´ıa: !Abajo Euclides.”1963 OECE se transforma en la actual OCDE. Desde entonces, en Chile, no se recuperado del todo la ense˜ nanza de la geometr´ıa.

1.1.2

¿Por qu´ e ense˜ nar geometr´ıa actualmente?

Seg´ un el texto de Colette Laborde (2003) G´eom´etrie- p´eriode 2000 et apr´es, resume as´ı las razones: ˆ La necesidad que tiene todo ser humano de manejar y comprender el entorno espacial en el que se desenvuelve. ˆ Los lazos y relaciones existentes entre la geometr´ıa, como teor´ıa, y la visi´ on o intuici´on espacial. ˆ El aprendizaje del razonamiento. ˆ La ultilidad de la geometr´ıa en a vida corriente y la importancia de la geometr´ıa en otras ciencias, y en numerosas aplicaciones contempor´aneas, tales como ´optica, qu´ımica, etc.

Cap´ıtulo 2

Axiomas En esta secci´ on se presentan los postulados y las definiciones b´asicas de la geometr´ıa cl´asica tal como aparecen en el libro Elementos escrito por Euclides en el siglo III a. C. Considerando el tiempo en que fue escrito, muchos conceptos y axiomas no fueron explicitados con la rigurosidad que exige la l´ogica de hoy, y m´ as bien respond´ıan, en algunos casos a la intuici´on. Estos vac´ıos l´ogicos fueron un motivo para que muchos matem´ aticos se dedicaran a elaborar una presentaci´on axiom´atica adecuada. Uno de tales intentos fue el desarrollado por David Hilbert (1862 - 1943), es la que usaremos.

2.1

Introducci´ on

Los Elementos de Euclides es considerado uno de los libros m´as influyentes de la historia de la ciencia. Cuenta Moster´ın (?) que desde la introducci´on de la imprenta se han impreso m´as de mil ediciones y ha sido usado como texto hasta comienzos del siglo XX. Por otra parte, se considera el inicio de un intento de presentaci´ on formal de una teor´ıa. La presentaci´on de Euclides, comienza, en el Libro I, con cinco nociones comunes, cinco axiomas o postulados y 23 definiciones, ver (?). A partir de esto deduce las 48 proposiciones que componen el Libro I. Pese a esta formalidad, desde el punto de vista l´ogico hay continuas mezclas entre lo estrictamente formal y lo intuitivo. Actualmente, la axiomatizaci´ on de una teor´ıa requiere de un conjunto de nociones primitivas, es decir nociones no definidas y un grupo de axiomas que describen las propiedades m´ınimas que deben satisfacer los nociones primitivas. A partir de estos elementos, respetando las reglas de inferencia l´ogica, se deben deducir todas las otras proposiciones que constituyen la teor´ıa. Es deseable que loa axiomas y nociones primitivas tengan un gran contenido intuitivo. Volviendo al problema de la geometr´ıa, las nociones de punto y recta son nociones primitivas, sin embargo Euclides las ”define”dando una idea intuitiva. En cambio, Hilbert (?), usa como nociones primitivas: punto, recta, plano, incidencia, estar entre, y congruencia. El matem´atico italiano Mario Pieri (1860-1930), public´ o en la misma ´epoca de Hilbert, 1899, una axiomatizaci´on en que solamente usa punto y movimiento como conceptos primitivos. (?). Observando la presentaci´on de Hilbert podemos apreciar que no era tan simple axiomatizar la geometr´ıa euclidiana.

2.2 2.2.1

Conceptos elementales de la geometr´ıa seg´ un la presentaci´ on de Euclides Axiomas o Postulados

1. “Se puede trazar una l´ınea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto”. 2. “Se puede prolongar a una l´ınea recta cualquier segmento rectil´ıneo”. 3. “Se puede describir un c´ırculo con cualquier centro y radio”. 4. “Todos los ´ angulos rectos son iguales entre s´ı” 11

CAP´ITULO 2. AXIOMAS

12

5. “Si una l´ınea recta que incide sobre dos l´ıneas rectas dadas produce ´angulos internos del mismo lado menores que dos rectos, entonces esas dos l´ıneas rectas, prolongadas indefinidamente, se cruzar´an por el lado en que los ´ angulos internos sean menores que dos rectas” El quinto postulado tiene otras formas equivalentes: 1. “Dado un punto P y una recta L, el punto fuera de la recta, existe una u ´nica paralela a la recta dada L que pasa por P”. 2. “Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y s´olo una paralela a dicha recta”.

2.2.2

Nociones comunes (Axiomas de igualdad)

1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre s´ı. 2. Si a cosas iguales se a˜ naden otras iguales, los resultados son iguales. 3. Si de cosas iguales se extraen iguales, los resultados son iguales. 4. Cosas que coinciden una con la otra son iguales. 5. El todo es mayor que sus partes.

2.2.3

Definiciones b´ asicas (Libro I)

1. Punto es lo que no tiene partes. 2. L´ınea es lo que tiene longitud y no ancho. 3. Los extremos de una l´ınea son puntos. 4. Una l´ınea recta es una l´ınea tal que dados 2 puntos de ella, el segmento determinado por ella est´ a contenido en la recta. 5. Una superficie es lo que tiene ancho y largo solamente. 6. Los extremos de una superficie son l´ıneas. 7. Una superficie plana es aquella que yace por igual respecto de las l´ıneas que est´an en ellas. 8. Un ´ angulo plano es la inclinaci´ on de una recta respecto a otra en un plano, las rectas se cortan y no coinciden. 9. Cuando las rectas que forman (contienen) el ´angulo son rectas, el ´angulo se llama rectil´ıneo. 10. Cuando una recta levantada sobre otra forma ´angulos adyacentes iguales, cada ´angulo es recto, y la l´ınea recta levantada se llama perpendicular a la recta sobre la cual se levant´o. 11. Un ´ angulo obtuso es un ´ angulo mayor que un ´angulo recto. 12. Un ´ angulo agudo es un ´ angulo menor que un ´angulo recto. 13. Frontera es el extremo de alguna cosa. 14. Una figura es lo que est´ a contenido por una frontera o varias. 15. Un c´ırculo es una figura plana contenida por una l´ınea tal que todas las rectas (segmentos) que van desde esta l´ınea hasta un punto dentro de la figura son iguales entre ellas. 16. El punto en el interior se llama centro del c´ırculo. 17. El di´ ametro de un c´ırculo es cualquier segmento rectil´ıneo que pasa por el centro y esta limitado por puntos de la circunferencia del c´ırculo. Tal segmento corta al c´ırculo en dos. 18. Un semic´ırculo es la figura comprendida por el di´ametro y la circunferencia cortada por ´el.

´ 2.3. LOS OBJETOS GEOMETRICOS Y LA REALIDAD

13

19. Figuras rectil´ıneas son aquellas que est´an contenidas por l´ıneas rectas. Tril´ateras se llaman aquellas contenidas por tres l´ıneas rectas, cuadril´ateras las contenidas por cuatro y multil´ateras aquellas contenidas por m´ as de 4 l´ıneas rectas. 20. Entre las figuras tril´ ateras, un tri´ angulo equil´atero es el que tiene sus tres lados iguales, un tri´angulo is´ osceles es el que tiene solamente 2 lados iguales y tri´angulo escaleno es el que tiene sus tres lados distintos. 21. Entre las figuras tril´ ateras, un tri´ angulo rect´angulo es el que tiene un ´angulo recto, un tri´angulo obtus´ angulo es el que tiene un ´ angulo obtuso, y un tri´angulo agud´angulo (acut´angulo) es el que tiene sus tres ´ angulos agudos. 22. Entre las figuras cuadril´ ateras, un cuadrado es el que tiene sus lados iguales y sus ´angulos rectos. Un rect´ angulo (oblongo) es el que tiene sus ´angulos rectos, pero no es equil´atero. Un rombo es una figura equil´ atera, pero no tiene ´ angulos rectos y un romboide es el que tiene sus lados y ´angulos opuestos iguales, pero no es equil´ atero ni rect´ angulo. Todos los otros cuadril´ateros se llaman trapecios. 23. Son rectas paralelas las que, estando en el mismo plano y prolongadas indefinidamente en ambas direcciones no se encuentran.

2.3

Los objetos geom´ etricos y la realidad

As´ı como la arim´etica y los n´ umeros surgen de la acci´on de contar, la geometr´ıa, como la misma etimolog´ıa de la palabra lo indica, surge de la acci´ on de medir magnitudes tales como longitudes, ´areas, vol´ umenes, etc. Pero, a diferencia del contar, el medir es una operaci´on mucho m´as compleja. “La simple medici´ on de una l´ınea representa una fusi´ on de la geometr´ıa y la aritm´etica. Para medir la longitud de un objeto se le aplica a ´este una cierta unidad de longitud y se calcula cu´ antas veces es posible repetir esa operaci´ on; el primer paso(aplicaci´ on) es de caracter geom´etrico, el segundo (c´ alculo), de car´ acter aritm´etico. Quien cuenta sus pasos al andar est´ a ya uniendo estas dos operaciones”, (?). La afirmaci´ on se calcula cu´ antas veces es posible repetir esa operaci´ on, no siempre se satisface. Por ejemplo, cuando se comparan dos magnitudes rectil´ıneas a y b puede suceder que a est´e contenida un n´ umero entero ,k, de veces en b, entonces tomando a como unidad, decimos que la longitud b es ka. Pero, puede suceder que ning´ un m´ ultiplo entero de a est´e contenido en b, lo que lleva a fraccionar la unidad a y una nueva posibilidad, es que esta nueva unidad est´e contenida una cantidad entera m de veces, en n esto es, m b = a. n En este caso se dice que las magnitudes son conmensurables, lo que quiere decir que las magnitudes tienen una medida com´ un. El fraccionamiento de la unidad permite obtener un valor m´as exacto de la magnitud. Cuando las magnitudes no tienen una medida com´ un diremos que ellas son inconmensurables, por ejemplo, el lado y la diagonal de un cuadrado son inconmensurables. Este hecho es un buen ejemplo que muestra que medir una longitud no es hecho tan simple como se puede pensar en primera instancia. En esto debemos distinguir entre una medici´on teor´ıcamente exacta y la medici´on que se hace en la vida concreta. El llegar a concebir la posibilidad de medir una magnitud, a trav´es de la historia del pensamiento matem´ atico, lleva consigo un cierto nivel de abstracci´on y de supuestos impl´ıcitos comparables a los que hicieron surgir el concepto de n´ umero y los sistemas de numeraci´on. Para poder comparar magnitudes, ellas deben hacer posible la medici´on, por ejemplo para comparar longitudes de objetos, es necesario que los objetos no se deformen en el proceso de comparaci´on. Es este principio, de no deformaci´ on de los objetos cuyas magnitudes queremos medir, la que define la esencia de la geometr´ıa euclidiana. El sistema de medici´on anglosaj´on conserva en los nombres de sus unidades de medida; pulgada, pies... el origen natural de ellas cuando los antiguos median sus longitudes con los dedos de la mano o los pies. Por otra parte, el alto grado de exactitud que queremos tener al medir una magnitud continua, es el que llev´ o al esp´ıritu humano a concebir la idea de continuidad, reflejada aritm´eticamente en los n´ umeros reales y geom´etricamente en el axioma de Arqu´ımedes.

CAP´ITULO 2. AXIOMAS

14

2.4

Presentaci´ on Axiom´ atica de Hilbert

El m´ etodo de reducci´ on al absurdo Recordemos que las reglas b´asicas de la l´ogica formal son: El principio de identidad: A = A. El principio de no contradicci´ on: No pueden darse simult´aneamente una afirmaci´on A y su negaci´on −A. El principio del tercero excluido: S´ olo puede ser verdadera una de las siguientes afirmaciones A o −A, quedando excluida toda otra posibilidad. El m´etodo de reducci´ on al absurdo, es una forma de demostraci´on usada por los griegos y consiste en suponer que lo que se quiere demostrar es falso y si luego, respetando el sistema de axiomas, definiciones y resultados ya demostrados, se obtine una contradicci´on, se concluye que no es posible la negaci´on de la proposici´ on. Por tanto, ella es verdadera.

2.4.1

Nociones primitivas

Punto, recta, plano y las relaciones entre estos elementos: incidencia o pertenencia , estar entre, congruencia o igualdad de tama˜ no.

2.4.2

Axiomas

En esta presentaci´ on los axiomas est´ an agrupados seg´ un su naturaleza, en cinco grupos. Axiomas I: Axiomas de incidencia o pertenencia. Axiomas O: Axiomas de orden. Axiomas C: Axiomas de congruencia. Axioma P : Axioma de las paralelas. Axiomas de continuidad. Axiomas de Incidencia o Pertenencia Se utilizar´ an como sin´ onimos : ˆ “La recta l y el punto P son incidentes”. ˆ “P pertenece a l ”. ˆ “l pasa por P ”. ˆ “La recta l contiene al punto P ”.

Notaciones Las letras may´ usculas A, B, C . . . representan puntos y las letras min´ usculas h, k, l, m . . . representan rectas. 1. Ax I-1 Dos puntos diferentes A, B determinan una u ´nica recta. Lo que escribiremos (AB) = l o (BA) = l. 2. Ax I-2 Cualquier par de puntos de una recta la determinan completamente. 3. Ax I-3 Existen al menos tres puntos que no pertenecen a una misma recta. Tres puntos que no pertenecen a una misma recta pertenecen al menos a un plano. ´nico plano. 4. Ax I-4 Tres puntos no colineales determinan un u 5. Ax I-5 Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, todos los puntos de la recta pertenecen a un mismo plano. en este caso diremos que la recta pertenece al plano.

´ AXIOMATICA ´ 2.4. PRESENTACION DE HILBERT

15

6. Ax I-6 Si un punto pertenece a dos planos, existe al menos otro punto que pertenece a los dos planos. 7. Ax I-7 Existen al menos cuatro puntos que no pertenecen a un mismo plano. Nota: Los axiomas 1 y 2 se llaman axiomas lineales. Los axiomas 3 , 4 y 5 son axiomas del plano y los axiomas 6 y 7 se refieren al espacio. En particular, 6 implica que el espacio tiene a lo m´as 3 dimensiones y 7 implica que el espacio tiene al menos 3 dimensiones. Vocabulario: Si dos rectas rectas distintas l y m tienen un punto com´ un P , diremos que ellas se intersectan en P o que P es el punto de intersecci´on de ellas. Teorema 2.4.1 Dos rectas diferentes se intersectan en a lo m´as un punto. Demostraci´ on: Por reducci´ on al absurdo. Si las rectas se intersectan en dos puntos, por los axiomas I1 y I2, existe una u ´nica recta que contiene a ambos puntos, en tal caso l = m.  Teorema 2.4.2 Existen al menos tres rectas en un plano. Demostraci´ on: Por axioma I3 existen al menos tres puntos en el plano que no son colineales. Sean estos A, B y C. Sean l la recta que pasa por A yB , m la recta que pasa por B y C y n la recta que pasa por A y C. Las tres rectas l, m y n son distintas, puesto que si dos de ellas fueran iguales, entonces los puntos A, B y C resultan colineales en virtud del teorema 2.4.1.  Axiomas de orden A

B

C

Estos dan sentido a la relaci´ on estar entre. 1. Ax O-1 Si A,B,C son puntos de una recta y si B est´a entre A y C, entonces los tres puntos son distintos y B est´ a entre C y A. 2. Ax O-2 Si A y C son puntos diferentes de una recta, entonces existe al menos un punto B entre A y C y existe al menos un puntos D tal que C est´a entre A y D. 3. Ax O-3 Si A,B,C son tres puntos diferentes de una recta, uno y s´olo uno de ellos est´a entre los otros dos. 4. Ax O-4 Dados cuatro puntos de una recta A,B,C,D de una misma recta, ellos siempre pueden ser arreglados de modo que: ˆ B est´e entre A y C ˆ B est´e entre A y D ˆ C est´e entre A y D ˆ C est´e entre B y D

Definici´ on 2.4.1 Dos puntos A y B que no est´ an sobre una recta l se dice que est´an del mismo lado de l si no hay puntos de l entre A y B. Dos puntos C y D que no pertenecen a la recta l, se dice que est´ an en lados opuestos de la recta si existe un punto de l entre C y D.

CAP´ITULO 2. AXIOMAS

16 A

D B

l ta

rec

C

Los puntos A y B est´ an en un mismo lado de la recta l Los puntos C y D est´ an en lados distintos de la recta l

Figura 2.1: Lados con respecto a una recta 5. Ax O-5 Una recta separa el plano Sea la recta l en un plano y sean los puntos A y B del plano que no pertenecen a l, diremos que ellos est´an en: ˆ El mismo lado con respecto a l si entre A y B no existe ning´ un punto de l. ˆ Lados diferentes si entre A y B existe al menos un punto de l.

Teorema 2.4.3 Sea O un punto en la recta l. Los puntos de l, diferentes de O, est´an separados en dos conjuntos tales que: (i) Si P y Q est´ an en el mismo conjunto, entonces se tiene OP Q o OQP . (ii) Si P y Q no est´ an en los mismos conjuntos, entonces P OQ o QOP . Demostraci´ on: Por Axioma I-3, existe un punto A que no pertenece a l. En virtud del axioma I-1, sea m la recta que pasa por O y A. Usando el axioma O-5, sabemos que la recta m separa el plano en dos conjuntos. En particular, separa los puntos de l. As´ı, tenemos que: ˆ Si P y Q est´ an en el mismo conjunto con respecto a m, entonces el Axioma O-5, implica que O no est´ a entre ellos. Por lo tanto, se tiene OP Q o OQP . ˆ Si P y Q est´ an en conjuntos distintos con respecto a m, entonces el Axioma O-5, implica que existe un punto O0 de m entre ellos. Por lo tanto, se tiene P O0 Q o QO0 P . Esto en particular nos dice que O0 es un punto de l y el teorema 2.4.1, implica que O0 y O son el mismo punto, es decir s cumple que P OQ o QOP . 

Definici´ on 2.4.2 Los conjuntos dados por el teorema (2.4.3), se llaman los lados de O sobre l. Teorema 2.4.4 Entre dos puntos cualesquiera de una recta existen infinitos puntos. Es consecuencia del axioma O-3.



Teorema 2.4.5 Si se da una cierta cantidad de puntos de una recta A1 , A2 , . . . , An se los puede ordenar en una sucesi´ on A1 A2 . . . An de modo que A2 esta entre A1 y A3 , A3 esta entre A2 y A4 , y en general An−1 esta entre An−2 y An . Es consecuencia del axioma O-3.



2.5. AXIOMAS DE CONGRUENCIA A1

A2

17 . . . . . . .......

A3

An−1 An

l Figura 2.2: Ordenamiento de puntos Definici´ on 2.4.3 Dados dos puntos de una recta l,A,B, se llama segmento de extremos A y B, al conjunto de puntos de l que contiene a A, B y todos lo puntos que est´an entre A y B. De los puntos que no est´an en el segmento, se dice que est´ an fuera de ´el. A dicho segmento lo denotaremos por AB o BA.

2.5

Axiomas de congruencia

2.5.1

Axiomas de congruencia de segmentos

ˆ Ax CS-1 Existe una relaci´ on entre segmentos que se expresa mediante la palabra congruente y que posee las siguientes propiedades.

– Propiedad refleja: Todo AB es congruente a si mismo:AB ∼ = AB y AB ∼ = BA. 0 0 0 0 ∼ ∼ – Propiedad sim´etrica: Si AB = A B , entonces A B = AB. – Propiedad transitiva: Si AB ∼ = A0 B 0 y A0 B 0 ∼ = A00 B 00 , entonces AB ∼ = A00 B 00 . ˆ Ax CS-2 Si A y B son puntos en una recta l y A’ es un punto en la recta l’, entonces siempre es posible encontrar sobre la recta L’, a cualquiera de los lados de A’, un u ´nico punto B’ tal que AB ∼ = A0 B 0 . ˆ Ax CS-3 Axioma de suma y resta de segmentos Si AB y BC sobre la recta l no tienen puntos comunes distintos de B, y si A0 B 0 y B 0 C 0 sobre la

recta l0 no tienen puntos comunes distintos de B 0 , entonces se cumple: ∼ B 0 C 0 implican que AC = ∼ A0 C 0 . 1. AB ∼ = A0 B 0 y BC = 0 0 0 0 ∼ A C y BC ∼ 2. AC = = B C implican que AB ∼ = A0 B 0 . Definici´ on 2.5.1 Se llama punto medio del segmento AB, a un punto M, tal que AM ∼ = M B. Definici´ on 2.5.2 Si A, A’, O, B son puntos de una recta de modo que: O est´a entre A y B y O no est´a entre A y A’, diremos que los puntos A y A’ est´an al mismo lado de la recta con respecto al punto O y que los puntos A, B est´ an en lados distintos con respecto al punto O. El conjunto de los puntos colocados en uno y solo un lado respecto del punto O de la recta se llama rayo o semirrecta que parte de O. Por tanto, cada punto de la recta la divide en dos rayos o semirrectas.

un lado l

O otro lado

Figura 2.3: Lados de una recta con respecto a un punto

CAP´ITULO 2. AXIOMAS

18

O

Figura 2.4: Rayo o semirrecta

2.5.2

Axiomas de congruencia de ´ angulos

Definici´ on 2.5.3: Definici´ on de ´ angulo Sea Π un plano y h,k dos rayos o semirrectas diferentes que parten de un punto O en Π y que pertenecen a rectas distintas. El conjunto de los puntos que peertenecen a estos rayos se llama ´ angulo y se designa con el s´ımbolo ∠(h, k) o ∠(k, h). Los rayos se llaman lados del a ´ngulo y el punto O se llama v´ertice del ´ angulo. Si los dos rayos forman parte de la misma recta, el ´angulo se llama extendido. Si los puntos A y B son distintos del v´ertice y est´an en lados distintos del ´angulo, el ´angulo se denota por ∠AOB. ˆ Ax CA-1 Dado un ∠(h, k) en un plano Π y una recta l’ en un plano Π0 en el cual se fija un lado de l’ y h’ es un semirrayo de la recta l’ que parte de un punto O’. Entonces, existe un u ´nico semirrayo k’ de modo que el ∠(h0 k 0 ) es congruente con ∠(h, k). En s´ımbolos:

∠(h, k) ∼ = ∠(h0 , k 0 ). Este axioma nos permite construir o copiar un ´angulo congruente con otro dado. En particular, todo angulo es congruente consigo mismo y todos los ´angulos extendidos son congruentes entre ellos. ´ ˆ Ax CA-2 Si ∠(h, k) es congruente con ∠(h0 k 0 ) y ∠(h0 , k 0 ) es congruente con ∠(h00 , k 00 ) , entonces ∠(h, k) es congruente con ∠(h00 , k 00 ).

Definici´ on 2.5.4 Si dos ´ angulos tienen el v´ertice com´ un, un lado en com´ un y los otros lados est´an en lados opuestos al com´ un, diremos que los ´ angulos son adyacentes.

β

β

α

α

´ (a) Angulos adyacentes

´ (b) Angulos con un lado com´ un no adyacentes

´ Figura 2.5: Angulos adyacentes Ax CA-3 Axioma de suma y resta de ´ angulos Dados los ´angulos β y γ adyacentes y α como en la figura, β 0 y γ 0 adyacentes y α0 como en la figura, entonces: 1. Si β ∼ = β0, γ ∼ = γ 0 entonces α ∼ = α0 (suma de ´angulos).

2.5. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

19

2. Si α ∼ = α0 , β ∼ = β 0 entonces γ ∼ = γ 0 (resta de ´angulos). 3. Si α ∼ = α0 , γ ∼ = γ 0 entonces β ∼ = β 0 (resta de ´angulos).

β

β0

α

γ

α0

γ0

Figura 2.6: Suma y resta de ´angulos congruentes.

2.5.3

Definiciones b´ asicas de ´ angulos

Definici´ on 2.5.5 Sea las rectas l1 , l2 que se cortan en O y sean r1 , r2 los respectivos rayos con origen O formado el ´ngulo un ´ a angulo ∠(r1 , r2 ). Se llama interior de ∠(r1 , r2 ) a la regi´on del plano que se encuentra al mismo lado de l1 que r2 y al mismo lado de l2 que r1 . Definici´ on 2.5.6

Ex ter ior

del

´ang ulo

El exterior de un ´ angulo es el conjunto de los puntos del plano que no est´an ni en el interior ni en el ´ angulo.

r rio

de

n l ´a

gu

lo

te In

gulo el ´an d r o ri Exte Figura 2.7: Interior y exterior de un ´angulo Definici´ on 2.5.7 Se llaman ´ angulos opuestos por el v´ertice a aquellos que: ˆ Tienen v´ertice com´ un O. ˆ Sus lados est´ an formados por rectas que se cortan en O. ˆ Los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro.

Si dos rectas l y m se intersectan en O, las cuatro semirrectas resultantes determinan cuatro ´angulos resultantes de modo que las parejas de los ´angulos 1 y 3 y los ´angulos 2 y 4, son opuestos por el v´ertice.

CAP´ITULO 2. AXIOMAS

20 m

2 1

3

4

l

´ Figura 2.8: Angulos opuestos por el v´ertice

Definici´ on 2.5.8 1. Dos ´ angulos adyacentes cuyos lados no comunes forman una linea recta se llaman suplementarios. 2. Un ´ angulo se llama recto si es congruente a su suplementario.

β

α

β

α

´ Figura 2.9: Angulos suplementarios

Teorema 2.5.1 Dadas dos semirrectas l1 y l2 que parten en O y si r es un rayo que parte de O entonces hay dos posibilidades: 1. Todos los puntos de r distintos de O est´an en el interior del ](l1 , l2 ). 2. Todos los puntos de r distintos de O est´an en el exterior del ](l1 , l2 ).

Teorema 2.5.2 Si P es un punto en el interior de ](l1 , l2 ) de v´ertice O y si Q est´a en el exterior de ](l1 , l2 ), entonces el segmento P Q contiene un punto del a´ngulo.

Teorema 2.5.3 Si dos ´ angulos son congruentes, entonces sus suplementarios son congruentes entre ellos.

Demostraci´ on: Sean α y α0 ´ angulos congruentes, y sean β y β 0 sus respectivos suplementos. Como γ 0 y γ son ´ angulos extendidos, entonces γ ∼  = γ 0 . As´ı, por la diferencia de ´angulos, β ∼ = β0.

2.5. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

21

γ0

γ β0 β

α

α0

Figura 2.10: Congruencia de suplementarios

Teorema 2.5.4 Los ´ angulos opuestos por el v´ertice son congruentes.

Demostraci´ on: Sean α y α0 ´ angulos opuestos por el v´ertice, y sea β uno de los otros ´angulos formados por las rectas. Vemos que ˆ α y β son suplementarios.

ˆ α0 y β 0 son suplementarios.

Adem´ as β ∼ = α0 . = β 0 y por el teorema anterior sus suplementos son congruentes, lo que implica que α ∼ 

β∼ = β0 α

α0

´ Figura 2.11: Angulos opuestos por el v´ertice son congruentes.

2.5.4

Comparaci´ on de segmentos

Para comparar segmentos debemos introducir los simbolos < menor que y > mayor que. Definici´ on 2.5.9 Sea AB un segmento y A0 B 0 otro segmento sobre una recta l0 . Sea B 00 un punto sobre l0 del mismo lado de A0 que B 0 , tal que AB ∼ = A0 B 00 . Si se tiene el orden A0 B 0 B 00 diremos que AB > A0 B 0 . Si 0 00 0 0 A B B , diremos que AB < A B 0 .

CAP´ITULO 2. AXIOMAS

22

B0 B 00

B

A

A

0

l

AB ∼ = A0 B 00 AB < A0 B 0

0

B 00

B B0

A

A0

AB ∼ = A0 B 00 AB > A0 B 0

l0 Figura 2.12: Comparaci´on de segmentos

Teorema 2.5.5: Tricotom´ıa Si AB y A0 B 0 son dos segmentos cualesquiera, entonces se cumple una y s´olo una de las siguientes alternativas: 1. AB > A0 B 0 2. AB ∼ = A0 B 0 3. AB < A0 B 0 .

Comentario Aqu´ı lo que se esta haciendo es comparar segmentos sin usar los n´ umeros, vale decir sin tener el concepto de longitud, cosa que hist´oricamente es plausible, pues los griegos desarrollaron toda su geometr´ıa sin usar el concepto de n´ umero. Ahora podemos usar indistintamente < ´o >.

Teorema 2.5.6 Si AC ∼ = A0 C 0 y A0 B 0 C 0 y B es un punto sobre el mismo lado que C con respecto a A, tal que AB ∼ A = 0 B 0 , entonces ABC.

Comentario Este teorema sirve para demostrar m´as adelante que los segmentos congruentes tienen igual longitud.

2.5.5

Introducci´ on del s´ımbolo ≤: “Menor o congruente”

2.5. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

23

Definici´ on 2.5.10 ˆ Escribiremos AB ≥ A0 B 0 para significar que se tiene una de las posibilidades siguientes:

– AB ∼ o = A0 B 0 ´ – AB > A0 B 0 ˆ Escribiremos AB ≤ A0 B 0 para significar que se tiene una de las posibilidades siguientes:

– AB ∼ o = A0 B 0 ´ – AB < A0 B 0 Teorema 2.5.7 Si AB > CD y CD ∼ = EF , entonces AB > EF . Definici´ on 2.5.11 Un conjunto de segmentos AB, BC, CD, . . . M N , se llama poligonal que une los puntos A y N. Por comodidad se designa por ABCDE...NM. Si en particular, A coincide con N, y al menos tres de los puntos son no colineales, la poligonal se llama pol´ıgono. Los puntos extremos de cada segmento se llaman v´ ertices del pol´ıgono y los segmentos se llaman lados . Un pol´ıgono de tres lados se llama tri´ angulo. El interior de un pol´ıgono es el conjunto de los puntos del plano que son interiores a los ´angulos del pol´ıgono. El exterior son los puntos que no est´an ni en el interior ni en el pol´ıgono.

α El interior de un poligono es la regi´on com´ un a todos los interiores de sus ´angulos

β δ ε

γ Figura 2.13: Interior de un pol´ıgono Observaci´ on: Si P es un punto interior del 4 ABC y Q est´a en el exterior, entonces el segmento P Q contiene un punto del tri´ angulo.

A punto exterior

A B

AB

B punto interior

Figura 2.14: Segmento AB conteniendo puntos interiores y exteriores del tri´angulo

24

CAP´ITULO 2. AXIOMAS

Cap´ıtulo 3

Congruencia de tri´ angulos ”Lo que se afirma sin pruebas puede ser negado sin pruebas”. Euclides ( -325, -265).

3.1

El axioma de congruencia de tri´ angulos y los criterios de congruencia de tri´ angulos

Axioma de congruencia de tri´ angulos relaciones: AB ∼ = A0 B 0 ,

Si en los tri´angulos ABC y A0 B 0 C 0 se cumplen las siguientes AC ∼ = A0 C 0 ,

∠BAC ∼ = ∠B 0 A0 C 0 ,

(3.1)

entonces, tambi´en se cumple que ∠ABC ∼ = ∠A0 C 0 B 0 , = ∠A0 B 0 C 0 , ∠ACB ∼

(3.2)

En palabras, el axioma nos dice que bajo las hip´otesis dadas, los ´angulos opuestos a lados congruentes son congruentes. Definici´ on 3.1.1 Dos tri´ angulos ∆ABC y ∆A0 B 0 C 0 , se dicen congruentes, si AB ∼ = A0 B 0 , AC ∼ = A0 C 0 , BC ∼ = B0C 0, 0 0 0 ∼ ∼ ∼ ∠A = ∠A , ∠B = ∠B y ∠C = ∠C .

Teorema 3.1.1 Primer Teorema de Congruencia de Tri´angulos Sean los tri´ angulos ∆ABC, ∆A0 B 0 C 0 , tales que: AB ∼ = A0 B 0 , ∼ AC = A0 C 0 y ∠A ∼ = ∠A0 . Entonces, 4ABC ∼ = 4A0 B 0 C 0 . Demostraci´ on: Del Axioma de Congruencia de Tri´angulos, sabemos que ∠B ∼ = ∠B 0 y ∠C ∼ = ∠C 0 . 0 0 ∼ Por tanto, lo u ´nico que falta demostrar es que BC = B C . En virtud de la propiedad de tricotom´ıa del orden de segmentos, se tiene que BC < B 0 C 0 ´o BC > B 0 C 0 ´o BC ∼ = B 0 C 0 . Por tanto, debemos descartar las dos primeras posibilidades. La demostraci´on la haremos suponiendo BC < B 0 C 0 . 25

´ CAP´ITULO 3. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

26

C0

B D0

B0

C

0 0 BC ∼ =B D

A0

A

Figura 3.1: ˆ Existe un u ´nico D0 , entre B 0 y C 0 , tal que, BC ∼ = B 0 D0 (Axioma de copia de segmento).

otesis). ˆ AC ∼ = A0 C 0 y AB ∼ = A0 B 0 (hip´ otesis). ˆ ∠B 0 A0 C 0 ∼ = ∠BAC (hip´ ˆ ∠C ∼ = ∠C 0 , ∠B ∼ = ∠B 0 ,Axioma de congruencia de tri´angulos ˆ ∠BAC ∼ = ∠D0 A0 C 0 , Aplicando el Axioma de congruencia de tri´angulos 4ACB y 4A0 C 0 D0 .

Entonces, el rayo A0 B 0 es el mismo que A0 D0 , por la unicidad de la copia de ´angulos una vez elegido un lado con respecto al rayo sobre el que se copia el ´angulo. Como este rayo solo puede intersectar en un punto a B 0 C 0 , los puntos B 0 y D0 coinciden. As´ı, BC ∼ = B 0 C 0 y por definici´on, los tri´angulos son congruentes.  La demostraci´ on para descartar que BC > B 0 C 0 es an´aloga. ´ ´ Teorema 3.1.2: Segundo Teorema de Congruencia (Angulo-ladoAngulo) ´ ´ Segundo Teorema de Congruencia (Angulo-ladoAngulo) Si dos tri´angulos ∆ABC y ∆A0 B 0 C 0 , son tales que ∠A ∼ = A0 C 0 = ∠A0 , ∠C ∼ = ∠C 0 , AC ∼ ∼ ∆A0 B 0 C 0 . entonces, ∆ABC = Demostraci´ on: En virtud del teorema 3.1.1 basta demostrar que AB ∼ = A0 B 0 . Por tricotom´ıa, 0 0 supongamos que AB < A B . C0

C α0

α

B0

B

β

D0 A

β0 A0

Figura 3.2: Segundo teorema de congruencia Sea D0 sobre A0 B 0 , tal que AB ∼ = A0 D0 , entonces por Teorema (lado-´angulo-lado), los tri´angulos 0 0 0 ∆ABC y ∆A D C , son congruentes.

´ ´ 3.1. EL AXIOMA DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS Y LOS CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULO Queremos demostrar que D0 = B 0 . Supongamos que D0 6= B 0 , se tiene que ∠D0 C 0 A0 y B 0 C 0 A0 , son congruentes con ∠C. (Uno por hip´ otesis y el otro por el primer Teorema de Congruencia). Esto es imposible bajo el supuesto de D0 6= B 0 , por tanto D0 = B 0 . Por primer Teorema de Congruencia, los tri´ angulos son congruentes.  Definici´ on 3.1.2 Un tri´ angulo se llama is´ osceles si dos de sus lados son congruentes. Se llaman ´angulos de la base o basales del tri´ angulo, a los ´ angulos opuestos a los lados congruentes. Teorema 3.1.3 En cualquier tri´ angulo is´ osceles, los ´ angulos de la base son congruentes. Demostraci´ on: Nos damos un tri´ angulo is´osceles y designamos sus v´ertices de dos maneras distintas. Como vemos en la figura 3.3. C = B0

base = BC A = A0

AB ∼ = AC B=C

0

Figura 3.3: Tri´angulo is´osceles Por hip´ otesis, supongamos AB ∼ = AC. En los tri´angulos ABC y A0 B 0 C, se tienen las relaciones: AB ∼ = AC AC ∼ = AB

∼ = A0 B 0 ∼ = A0 C 0 ∠A ∼ = ∠A0

Por el Axioma de congruencia de tri´ angulos, se tienen que ∠B ∼ = ∠B 0 y ∠C ∼ = ∠C 0 , por tanto, ∠B ∼ = ∠C.  Teorema 3.1.4 Si un tri´ angulo tiene dos de sus ´ angulos congruentes, entonces los lados opuestos son congruentes. Demostraci´ on:

B = B0

α A = C0

γ C = A0

Figura 3.4: A ´ angulos congruentes se oponen lados congruentes Sea ABC el tri´ angulo, tal que ∠A ∼ = ∠C. Renombrando sus v´ertices con C 0 B 0 A0 , tenemos:

´ CAP´ITULO 3. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

28 ˆ ∠A ∼ = ∠C ∼ = ∠A0 . ˆ ∠C ∼ = ∠A ∼ = ∠C 0 . ˆ AC ∼ = A0 C 0 .

Por el Segundo Teorema de Congruencia, los tri´angulos son congruentes. As´ı, AB ∼ = A0 B 0 ∼ = CB .

 Teorema 3.1.5 Tercer Teorema de Congruencia (lado-lado-lado) Si los lados de un tri´ angulo son congruentes, respectivamente a los lados de otro tri´angulo, entonces ellos son congruentes. Demostraci´ on: Sean ABC y A0 B 0 C 0 dos tri´angulos con sus respectivos lados congruentes. AB ∼ = A0 B 0 ∼ A0 C 0 AC = BC ∼ = B0C 0.

Para demostrar que los tri´ angulos son congruentes, falta demostrar que los respectivos ´angulos son congruentes. A0

B0

C0

B 1 2 C

A

3

4

D E

Figura 3.5: Teorema de congruencia lado-lado-lado Sea el rayo AD, desde A en el lado opuesto de AC, con respecto a B, tal que ∠DAC ∼ = ∠A0 . Sobre 0 0 ∼ AD, existe un u ´nico punto E, tal que AE = A B . Tenemos las siguientes conclusiones:

´ 3.2. EXISTENCIA DE ANGULOS RECTOS

29

1. ∠EAC ∼ on. = ∠A0 , por construcci´ 2. AE ∼ = A0 B 0 , porque E fue elegido as´ı. otesis. 3. AC ∼ = A0 C 0 , por hip´ ´ 4. ∆AEC ∼ = ∆A0 B 0 C 0 , por Teorema Lado-Angulo-Lado. Ahora consideremos BE y los tri´ angulos ABE y BEC, como en la figura. As´ı tenemos, 1. ∆ABE es is´ osceles. 2. ∠1 ∼ = ∠3. 3. ∠2 ∼ = ∠4. 4. ∠B ∼ = ∠E. ´ 5. ∆ABC ∼ = ∆AEC, por Teorema Lado-Angulo-Lado. 6. ∆ABC ∼ = ∆A0 B 0 C 0 , por (4) y (5). Comentario



Como ejercicio, demostrar el teorema para los otros casos de posibles figuras. B

A

C

B

A

E

3.2

C

E

´ Existencia de Angulos Rectos

´ Usando el Teorema de Congruencia (Lado-Angulo-Lado), es posible demostrar que existen ´angulos rectos. Teorema 3.2.1 Existencia de ´ angulos rectos. Demostraci´ on: Sobre la recta `, se elige un punto Q y sea ∠AQB no extendido con un lado sobre `. Ahora, consideremos el ´ angulo congruente con ∠AQB con v´ertice en Q y un lado sobre ` y el otro sobre el lado opuesto de `, con respecto a A. Escogemos A0 sobre este lado, de modo que QA ∼ = QA0 . Como A 0 0 y A est´ an en lados opuestos con respecto a `, el segmento AA intersecta a ` en un punto C. Entonces, existen tres posibilidades:

´ CAP´ITULO 3. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

30

A

A

A

Q Q Q

B

`

B

B

`

A0 Figura 3.6: Escogeremos la primera posibilidad. A

`

Q

C

B

A0 Figura 3.7: 1. Si C est´ a en el mismo lado que B, con respecto a Q, por construcci´on, podemos usar el Teorema ´ de Congruencia (Lado-Angulo-Lado) y los tri´angulos ∆AQC ∼ = ∆A0 QC Por tanto: ∠QCA ∼ = QCA0 . Como estos ´angulos son congruentes y suplementarios, entonces son angulos rectos. ´ 2. Si C = Q, ∠AQB ∼ = A0 QB y por tanto, son rectos. 3. Si C est´ a en el lado opuesto a B, con respecto a Q, ∠AQB ∼ = BQA0 por construcci´ on, entonces son suplementarios. ∠CQA ∼ = ∠CQA0 aplicando el Primer Teorema de Congruencia, a los tri´angulos ∆CQA ∼ = ∆CQA0 . En particular, 0 ∠ACQ ∼ = ∠A QC y como ellos son suplementarios, por definici´on ellos son ´angulos rectos. 

´ DE ANGULOS ´ 3.3. COMPARACION

3.3

31

´ Comparaci´ on de Angulos

Definici´ on 3.3.1 Sean α y β dos ´ angulos no extendidos y β 0 un ´angulo congruente con β. Si α y β 0 tienen el v´ertice y un lado com´ un y el segundo lado de β 0 est´a del mismo lado que el segundo lado de α con respecto al lado com´ un, tenemos: 1. Si el segundo lado de β 0 est´ a en el interior del ∠α, diremos que ∠β < ∠α. 2. Si el segundo lado de β 0 est´ a en el exterior del ∠α, diremos que ∠β > ∠α. 3. Si α es un ´ angulo extendido y β no, diremos que ∠α > ∠β y que ∠β < ∠α.

β α

β0 Figura 3.8:

Definici´ on 3.3.2 Si ∠β y ∠α son dos ´ angulos tales que ∠β < ∠α, diremos que ∠α > ∠β.

Teorema 3.3.1 Tricotomia para la comparaci´ on de ´ angulos

Teorema 3.3.2 Propiedades del orden o comparaci´ on de ´angulos 1. Si ∠α ∼ = ∠β y ∠β < ∠γ, entonces ∠α < ∠γ 2. Si ∠α < ∠β y ∠β ∼ = ∠γ, entonces ∠α < ∠γ 3. Si ∠α ∼ = ∠β y ∠β > ∠γ, entonces ∠α > ∠γ 4. Si ∠α < ∠β y ∠β < ∠γ, entonces ∠α < ∠γ 5. Si ∠α ≥ ∠β y ∠β ≥ ∠γ, entonces ∠α γ

Para demostrar el teorema debemos descartar las dos primeras opciones. ˆ Si β 0 ∼ = γ. Por axioma de copia de segmentos existe un u ´nico D tal que BD ∼ = AC. As´ı se cumplen las hip´otesis tel teorema de congruencia lado-´ angulo -lado y obtenemos que 4ABC ∼ = 4CBD. En particular, ∠ABC ∼ = ∠BCD. Por axioma de suma de ´angulos congruentes, ∠ACD ∼ = ∠ABD. Esto implica que ∠ACD es extendido. Con esto obtenemos que los puntos A, B,y C son colineales lo que contradice que ellos sean v´ertices de un tri´ angulo. Por lo tanto, la suposici´on β 0 ∼ = γ no es posible. ˆ Si β 0 < γ.

C

A

F

B

D

E

Por axioma de copia de ´ angulos, existe un u ´nico rayo CE tal que ∠ECB ∼ = ∠CBD. Por la suposici´ on, el rayo CE est´ a en el interior del ∠ACB. Sea F el punto de intersecci´on del rayo CE con el segmento AB. El triangulo F CB tiene el ´angulo exterior CBD congruente con un ´angulo interior opuesto, lo que contradice lo demostrado en el ´ıtem anterior. As´ı hemos demostrado el teorema.  Teorema 3.4.2 1. Si en un 4ABC, AB > AC, entonces ]C > ]B, y rec´ıprocamente. 2. Si ∠C > ∠B, entonces AB > AC. En palabras, ˆ El ´ angulo mayor se opone al lado mayor. ˆ El lado mayor se opone al ´ angulo mayor.

Demostraci´ on: 1. Si AB > AC, entonces existe un punto D entre A y B tal que AD ∼ = AC. Por teorema del angulo exterior, ]ADC > ]B. Por otra parte, el 4ACD es is´osceles, por tanto ]ADC < ]C. Por ´ transitividad, se tiene que ]C > ]B. 2. Inversamente, si ]C > ]B. ˆ Supongamos que AB ∼ = AC, entonces 4ABC es is´osceles, por tanto ]C ∼ = ]B, lo que contradice la hip´ otesis. ˆ Supongamos que AB > AC, entonces por la primera parte de este teorema, ]C < ]B, lo que nuevamente contradice la hip´ otesis.

´ CAP´ITULO 3. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

34

3.5

Longitud de un segmento

Para demostrar la desigualdad triangular y hacer su aplicaci´on a la menor distancia entre dos puntos, es necesario introducir la noci´ on de longitud de un segmento. Para medir un segmento se necesita una unidad de longitud. Sea el segmento CD nuestra unidad de longitud.

C

D

Figura 3.10: Definici´ on 3.5.1 Este segmento y todos los segmentos congruentes con ´el, los definiremos como de longitud 1. Sea AB un segmento sobre la recta `. A

A1

B

C

`

D

Figura 3.11: Los Axiomas de congruencia permiten encontrar sobre ` y del mismo lado de A y B, un punto A1 tal que AA1 ∼ = CD. Antes esto se tienen las siguientes situaciones: ˆ A1 = B, en este caso diremos que AB tiene longitud 1. ˆ B entre A y A1 , entonces, la unidad es demasiado grande para medir la longitud AB en enteros. Dejaremos este caso pendiente.

A

B

A1

Figura 3.12: ˆ Si A1 est´ a entre A y B, entonces existe un punto A2 , del mismo lado de A1 y que B y tal punto puede ser A2 = B, o entre A1 y A2 , o A2 entre A1 y B.

A

A1 Figura 3.13:

– Si A2 = B, entonces diremos que la longitud de AB es 2.

B

3.5. LONGITUD DE UN SEGMENTO

35

– Si B est´ a entre A1 y A2 , entonces la unidad no sirve para medir la longitud de AB en n´ umeros enteros.

A1

A2

B Figura 3.14:

– Si A2 est´ a entre A2 y B, entonces existe A3 del mismo lado que A2 como B, tal que A2 A3 ∼ = CD. Este proceso describe en detalle lo que se hace cuando medimos una longitud. A1

A2

B

Figura 3.15:

A

A1

A2

A3

B

Figura 3.16: Puede suceder que la unidad est´e un n´ umero entero de veces en AB. Pero tambi´en puede suceder que para un cierto n, An queden entre An−1 y B. An−1

B

An

Figura 3.17: En este caso la longitud es un n´ umero entre n − 1 y n. Sin embargo, esta forma recursiva para generar los puntos Ai , no est´ a garantizada por los Axiomas enunciados hasta el momento. As´ı, es necesario introducir nuevos axiomas, conocidos como Axiomas de Continuidad o Axioma de Arqu´ımides.

3.5.1

Axiomas de Continuidad

Axioma de Arqu´ımides Si AB es un segmento sobre la recta ` y CD es otro segmento, existe un n´ umero n de puntos A1 , · · · , An sobre `, tal que A = A0 , A1 , · · · , An est´an en el orden indicado y los segmentos AA1 , A1 A2 , · · · , An−1 An son congruentes con CD, y se tiene una y s´ olo una de las alternativas siguientes: ˆ B = An . ˆ B est´ a entre An−1 y An .

Usando el postulado de Arqu´ımides, podemos decir, cuando una longitud corresponde a un entero n o si dicha longitud est´ a entre (n − 1) y n. En el caso que la longitud est´e entre dos enteros consecutivos, procedemos a particionar la unidad CD y se aplica el mismo procedimiento. Notaci´ on:

Denotaremos por `(AB) a la longitud del segmento AB.

´ CAP´ITULO 3. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

36

Axioma de Completitud Para cada recta `, para cada punto A sobre ` y para cada n´ umero positivo real x, existe, sobre un lado de A, un u ´nico punto B tal que `(AB) = x.

3.5.2

Longitud y Congruencia

Teorema 3.5.1 Si AB ∼ = A0 B 0 , entonces `(AB) = `(A0 B 0 ). Teorema 3.5.2 Si `(AB) = `(A0 B 0 ), entonces AB ∼ = A0 B 0 . Si AB > A0 B 0 , entonces `(AB) > `(A0 B 0 ) y rec´ıprocamente. Teorema 3.5.3: Cambio de Escala Si `(AB) = x, cuando CD es la unidad y si `(CD) = y, cuando EF es la unidad, entonces `(AB) = xy cuando EF es la unidad. Teorema 3.5.4: Desigualdad Triangular En un 4ABC, `(AB) + `(BC) > `(AC). Demostraci´ on: B 1

4

2

A

3 B

C 0

Figura 3.18: ˆ Si AC no es el lado mayor, entonces el teorema se cumple de manera inmediata. ˆ Supongamos que `(AC) > `(AB) y `(AC) > `(BC).

Entonces, 1. Existe un punto B 0 sobre AC, tal que AB ∼ = AB 0 (Axioma de copia de segmentos). 2. ∠1 ∼ angulos basales de un tri´ angulo is´osceles). = ∠2 (´ 3. ∠3 > ∠1, por teorema del ´ angulo exterior. 4. ∠2 > ∠4 , por teorema del ´ angulo exterior.

3.5. LONGITUD DE UN SEGMENTO

37

5. ∠3 > ∠4 transitividad del orden. 6. `(B 0 C) < `(BC). 7. `(AB 0 ) + `(B 0 C) < `(AB) + `(BC). 8. `(AC) < `(AB) + `(BC), pues `(AC) = `(AB 0 ) + `(B 0 C). Definici´ on 3.5.2 La longitud de la poligonal P1 , · · · , Pn se define como `(P1 P2 ) + `(P2 P3 ) + · · · + `(Pn−1 Pn ). Corolario 3.5.5 La longitud de una poligonal es m´ as grande o igual que `(P1 Pn ). Teorema 3.5.6 Sean los tri´ angulos 4ABC y 4A0 B 0 C 0 tales que: ˆ AB ∼ = A0 B 0 ˆ AC ∼ = A0 C 0 .

Si ∠A > ∠A0 demuestre que los lados opuestos conservan la desigualdad. Demostraci´ on: Debemos demostrar que BC > B 0 C 0 . 0 Como ∠A > ∠A se copia ∠A desde A0 B 0 , por lo que tenemos que existe un u ´nico rayo (A0 X) tal que ∠B 0 A0 X 0 ∼ = ∠A. Usando el axioma de copia de segmentos, existe un u ´nico punto D ∈ (A0 X) tal que BC ∼ = B 0 D.

(3.3)

A0

A

C0

C

D G

B

B0

Caso 1 Los puntos B 0 , C 0 , D son colineales.Como C 0 est´a entre B 0 y D, es inmediato que B 0 C 0 < B 0 D ∼ = BC. Caso 2 Los puntos B 0 , C 0 , D no son colineales. Bisectando el ∠C 0 A0 D obtenemos el punto G de la intersecci´ on de la bisectriz con B 0 D. De acuerdo al teorema LAL tenemos que los tri´angulos 4C 0 A0 G y 4DA0 G son congruentes. En particular, C 0G ∼ = GD.

(3.4)

Aplicando la desigualdad triangular al 4B 0 C 0 G, B 0 G + GC 0 > B 0 C 0 .

(3.5)

´ CAP´ITULO 3. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

38 Usando (3.4) la relaci´ on (3.5) queda como,

B 0 G + GD > B 0 C 0 B0D > B0C 0. Finalmente, usando (3.3), obtenemos que BC > B 0 C 0 .  Ejercicios 1. Demostrar el teorema rec´ıproco. Bajo las mismas hip´otesis, si BC > B 0 C 0 entonces ∠A > ∠A0 . 2. Analizar el caso en que AC > AB y A0 C 0 > A0 B 0 . 3. Si A, B, C, D son puntos de una circunferencia de centro O de modo que ∠AOB > ∠COD, demuestre que las cuerdas que subtienden los ´angulos conservan el orden, es decir AB > CD. 4. Sea el cuadril´ atero ABCD tal que AD ∼ = BC. Demuestre que si ∠ADC > ∠BCD entonces AC > BD.

3.6

Construcciones con regla y comp´ as

Para comenzar esta secci´ on recordemos lo que dice ? : “Los problemas de construcci´on han sido un tema favorito en geometr´ıa. S´ olo con el auxilio de la regla y el comp´as puede realizarse una gran variedad de construcciones. La regla se usa solamente como borde rectil´ıneo para dibujar rectas, pero no para medir y el comp´as se usa para transportar distancias. La tradici´ on de utilizar como u ´nicos instrumentos la regla y el comp´ as se remonta a la antiguedad, aunque los griegos no vacilaban en usar otros instrumentos”. En las construcciones con regla y comp´as, se debe justificar la existencia de ciertos puntos. Para simplificar, construcciones que son b´ asicas desde cierto punto de vista, usaremos el siguiente teorema de cuya demostraci´ on nos ocuparemos m´ as adelante. Teorema Si AB es un segmento y se trazan circunferencias de centro A y B con radio ρ mayor que la mitad de la longitud del segmento, entonces las circunferencias se intersectan en dos puntos que se encuentran en lados opuestos del segmento.

Algunas construcciones b´ asicas 1. Suma y diferencia de segmentos: Dados dos segmentos de longitudes a y b, construir segmentos de longitudes a + b y a − b.

Soluci´ on: Sean AB = a y BC = b, Se traza una recta con la regla y se fija un punto O y el comp´as se copian las longitudes de los segmentos: ˆ Para a + b se copian las longitudes una a continuaci´ on de la otra. ˆ Para a − b se copia la longitud a sobre la recta y la longitud b en sentido contrario.

2. Punto medio de un trazo Dado un segmento AB, para encontar el punto medio tomamos como centro de una circunferencia de radio cualquiera el punto A y despu´es con el mismo radio trazamos una circunferencia con centro B.

´ 3.6. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPAS

39

C

C

A

A

B

M

B

M

D

D

(a)

(b)

3. Copia de un ´ angulo Dado un ´ angulo ∠A y un rayo r con punto inicial B. Construir un ´angulo de v´ertice B y lado r que sea congruente con ∠A. Por axioma sabemos que existen ´ angulos congruentes con uno dado. Por lo tanto, el problema tiene soluci´ on. (a) Se traza un arco de circunferencia con centro A y radio cualquiera ρ. Este arco determina los puntos C y D sobre los lados de ∠A. (b) Se traza un arco de circunferencia con centro B y radio ρ. La intersecci´on del arco con el rayo r determina el punto E. (c) Con centro E. se traza el arco de radio CD. (d) F y F 0 son las intersecciones de ambos arcos. (e) ∠F BE y ∠F 0 BE son ´ angulos congruentes a ∠A.

F

D

E A

C

B

E

Figura 3.19: Copia de un ´angulo

Demostraci´ on Por construcci´ on y teorema lll, 4ACD ∼ = 4BEF. En particular, ∠DAC ∼ = ∠EBF , ¿Por qu´e? 4. Construcci´ on de un tri´ angulo equil´ atero de lado AB. 5. Bisectar un ´ angulo.

40

´ CAP´ITULO 3. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

B D Sobre cada lado del ´ angulo se marcan puntos que est´en a igual distancia del v´ertice.

O C

A

OD ∼ = OC

B D Estos puntos son escogidos como centros de circunferencias de un mismo radio elegido arbritariamente. O C

A

B D La intersecci´ on de las circunferencias Q es tal que OQ es la bisectriz del ´ angulo.

O

Q0

Q

C

A

6. Trazar una recta perpendicular a un segmento en un punto dado. Sea AB el segmento y X el punto donde se quiere trazar la perpendicular. Se determinan dos puntos P y Q del segmento AB equidistante de X. Con centro P y Q se trazan arcos de radio P Q, que se cortan en un punto O. El segmento OX es perpendicular a AB.

7. Trazar una recta perpendicular a un segmento desde un punto externo

´ 3.6. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPAS

Sea AB el segmento y X el punto externo. Se toma un punto C del otro lado del segmento con respecto a X. Con centro X y radio XC se traza un arco que corta a AB en P y Q.

41

X Q

P A

Con centros en P y Q, se trazan arcos con radio P X que se cortan en un punto Y al lado opuesto de X.

B

C

X Q

P A

C

XY corta a AB en O. XO es la perpendicular buscada.

B

Y

X Q

P A

C

Y

B

42

´ CAP´ITULO 3. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

Cap´ıtulo 4

Paralelismo y semejanza de tri´ angulos Intuitivamente, figuras semejantes son aquellas que tienen la misma forma y no necesariamente el mismo tama˜ no. Los resultados de semejanza dependen principalmente del axioma de las paralelas, por lo cual estos resultados son v´ alidos solamente para la geometr´ıa euclidiana.

4.1

El axioma de paralelismo

Definici´ on 4.1.1 Dos rectas l y m se dicen paralelas si ellas son iguales o si no se intersectan. En s´ımbolos esto se escribe l k m. Hemos elegido incluir en la definici´ on de rectas paralelas el caso de rectas iguales para que as´ı el ser paralelas sea una relaci´ on deequivalencia, aunque en esta presentaci´on no ocuparemos esta importante propiedad del paralelismo. En particular, cada clase de equivalencia define una direcci´on. Propiedades del paralelismo 1. Propiedad refleja: l k l. 2. Propiedad sim´ etrica : si l k m entonces m k l. 3. Propiedad transitiva: si l k m y m k n entonces l k n. Definici´ on 4.1.2 Dos rayos o semirrectas se dice que tienen la misma direcci´on si y s´olo si ellas pertenecen a rectas paralelas y ambas se encuentran al mismo lado de una recta que pasa por sus puntos iniciales.

Axioma de las paralelas A trav´es de un punto P que no pertenece a una recta l existe una u ´nica paralela a l que pasa por P .

Teorema 4.1.1: Existencia de rectas paralelas Si l es una recta cualquiera y A es un punto que no pertenece a ella, entonces existe al menos una recta que pasa por A y es paralela a l.

43

´ CAP´ITULO 4. PARALELISMO Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

44

re ct a

n

Demostraci´ on:

C D A

B

P E

recta l

Sean B y E puntos distintos de l, n la recta que pasa por A yB, C un punto sobre la semirrecta AB tal que A est´a entre B y C. Por axioma de traslado de ´angulos, existe un rayo m en la misma direcci´on que el rayo BE, de modo que ∠DAC ∼ = ∠EBA. Supongamos que m y l tienen un punto P com´ un. en tal caso el tri´angulo ABP tiene un ´angulo exterior ∠CAP congruente con el ´angulo interior ∠P BA, lo que contradice el teorema del ´angulo exterior. 

Cuando una recta intersecta otras dos rectas, a veces es c´omodo referirse a ciertos pares de ´angulos que se forman en esta situaci´ on. Definici´ on 4.1.3 Una recta l que intersecta a las rectas l1 y l2 en puntos distintos la llamaremos una transversal a l1 y l2 .

1. Los ´ angulos 3,4,5 y 6 se llaman ´ angulos interiores. 2. Los ´ angulos 1,2,7 y 8 se llaman ´ angulos exteriores. 3. Los ocho ´ angulos agrupados en pares , seg´ un su ubicaci´on con respecto a las rectas, como: 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8 se llaman ´ angulos correspondientes.

l1

1 4

l2

5 8

2 3

6 7

4. Los cuatro pares: 3 y 5, 2 y 8 1 y 7 4 y 6 se llaman ´ angulos alternos. Comentario: La t´ecnica de la demostraci´ on del teorema 4.1.1, es fundamental cuando se quiere demostrar paralelismo, por tal raz´ on las demostraciones de los siguientes teoremas se dejan de ejercicio. Teorema 4.1.2 Supongamos que las rectas l1 y l2 son cortadas por l en puntos distintos. Si l1 k l2 , entonces los angulos correspondientes son congruentes. Inversamente si los correspondientes son congruentes ´ entonces l1 k l2 . Demostraci´ on: =⇒ Supongamos que l1 k l2 . Por contradicci´on, supongamos que ∠β  ∠α. Por tricotom´ıa, supongamos que ∠β < ∠α. Por axioma de copia de ´angulos, existe un rayo AC tal que el ∠β = ∠BAC ∼ = ∠β. Si el rayo AC intersecta a l1 , entonces el 4ABC tiene un ´angulo congruente con un ´angulo exterior opuesto. Esta contradicci´ on nos dice que el rayo (AC) es paralelo a l1 lo que contradice que la unicidad de la paralela que pasa por A.

4.1. EL AXIOMA DE PARALELISMO

45 l20

l1

B

l2

β

C

β0 α

A

⇐= si ∠β ∼ = ∠α y si suponemos que l1 ∦ l2 , entonces existe un tri´angulo con un ´angulo congruente con angulo exterior opuesto, lo que no puede ser. ´ 

l1 β B C α l2

A

Teorema 4.1.3 Supongamos que las rectas l1 y l2 son cortadas por l en puntos distintos. Si l1 k l2 , entonces los ´ angulos interiores alternos son congruentes. Inversamente si los ´angulos interiores alternos son congruentes entonces l1 k l2 . Teorema 4.1.4 Supongamos que las rectas l1 y l2 son cortadas por l en puntos distintos. Si l1 k l2 , entonces los angulos exteriores alternos son congruentes. Inversamente si los ´angulos exteriores alternos son ´ congruentes entonces l1 k l2 . Definici´ on 4.1.4 Si los ´ angulos ∠AOB y ∠BOC son adyacentes y se tiene que ∠AOC es extendido o que OB est´ a en el interior de ∠AOC, entonces diremos que ∠AOC es la suma de los ´angulos ∠AOB y ∠BOC. Si ∠A0 O0 B 0 ∼ = ∠AOB y ∠B 0 O0 C 0 ∼ = ∠BOC, tambi´en diremos que ∠AOC es la suma de 0 0 0 los ´ angulos ∠A O B y de ∠B 0 O0 C 0 .

A

A

O C

O B

B C

El ´ angulo AOC es un ´ angulo extendido

El ´angulo AOB est´a en el interior del ´angulo AOC

Figura 4.1: Suma de ´angulos

´ CAP´ITULO 4. PARALELISMO Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

46 Definici´ on 4.1.5

Dos ´ angulos se dicen complementarios si su suma es un ´angulo recto. De acuerdo a la definici´ on dada en ?? del cap´ıtulo dos, tenemos que: Dos ´ angulos son suplementarios si y solo si su suma es un ´ angulo extendido. Una consecuencia importante del axioma de las paralelas es el conocido resultado sobre la suma de los angulos de un tri´ ´ angulo. Teorema 4.1.5 La suma de los ´ angulos de un tri´ angulo es un ´angulo extendido. Demostraci´ on: J

Sea 4ABC, designaremos sus ´angulos interiores aludiendo solamente al v´ertice correspondiente. Aplicando el axioma de paralelismo, existe una u ´nica paralela l al segmento BC que pasa por A. Considerando el lado AC como una transversal, obtenemos que los ´ angulos interiores alternos ∠EAC ∼ = ∠C. Enseguida, Considerando el lado AB como una transversal, obtenemos que los ´ angulos interiores alternos ∠BAD ∼ = ∠B. Finalmente, en virtud de la definici´ on de suma de a´ngulos, se obtiene el teorema. 

E

l

A γ0 D

β0 γ

C

β B

Definici´ on 4.1.6 1. Un pol´ıgono se dice simple si sus lados tienen a lo m´as un punto com´ un. 2. Un pol´ıgono se dice convexo si el segmento que une dos puntos cuelesquiera del pol´ıgono queda en el interior de ´el. 3. Se llama paralel´ ogramo a un cuadril´atero que tiene dos pares de lados paralelos. 4. Un rect´ angulo es un paralel´ ogramo que tiene un ´angulo recto. 5. Un cuadrado es un rect´ angulo con lados perpendiculares congruentes. 6. Un rombo es un paralel´ ogramo equil´atero.

Propiedades de los paralel´ ogramos 1. Una diagonal de un paralel´ ogramo lo divide en dos 4 congruentes. 2. Los lados opuestos de un paralel´ ogramo son congruentes. 3. Las diagonales de un paralel´ ogramo se bisectan entre si. 4. Los ´ angulos opuestos de un paralel´ ogramo son congruentes. 5. Los ] consecutivos de un paralel´ ogramo son suplementarios. 6. Cada ´ angulo de un rect´ angulo es recto. 7. Todos los lados de un  son congruentes.

4.1. EL AXIOMA DE PARALELISMO

47

8. Las diagonales de un rect´ angulo son congruentes. 9. Las diagonales de un cuadrado son ⊥ entre s´ı. 10. Las diagonales de un rombo son ⊥ entre s´ı. 11. Si las diagonales de un paralel´ ogramo son congruentes, entonces el paralel´ogramo es un rect´angulo. 12. Si las diagonales de un de rect´ angulo son ⊥, el rect´angulo es un cuadrado. 13. El cuadril´ atero formado uniendo los puntos medios de los lados de un paralel´ogramo es un paralel´ ogramo . 14. El cuadril´ atero formado uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado es un cuadrado. 15. La diagonal de un rombo bisecta dos ´angulos del rombo.

Teorema 4.1.6 1. Si los ´ angulos opuestos de un cuadril´atero son congruentes, entonces el cuadril´atero es un paralel´ ogramo. 2. Si los lados opuestos de un cuadril´atero son congruentes, entonces el cuadril´atero es un paralel´ ogramo. 3. Si las diagonales de un cuadril´ atero se dimidian, entonces el cuadril´atero es un paralel´ogramo. 4. Si en un cuadril´ atero un par de lados opuestos son congruentes y paralelos, entonces el cuadril´ atero es un paralel´ ogramo. Demostraci´ on: 1. Sea ABCD un cuadril´ atero tal que ∠A ∼ = ∠D. = ∠C y ∠B ∼ como consecuencia de la suma de los angulos de un tri´ ´ angulo, tenemos que ∠A + ∠B + ∠C + ∠D ∼ = 2∠extendidos. (4.1) Usando las hip´ otesis, obtenemos que ∠A + ∠B ∼ = ∠extendido. Por lo tanto, los ∠A y ∠B son suplementarios. Con- A siderando BC como transversal, tenemos que los ´ angulos alternos internos son congruentes y por tanto AB k CD. 2. Sea ABCD un cuadril´ atero tal que AB ∼ = CD y AD ∼ = BC. Trazando la diagonal BD, por teorema LLL, los tri´ angulos 4ABD ∼ = 4BCD. En particular, ∠A ∼ = ∠C y ∠B ∼ = ∠D. en virtud, de lo demostrado en el ´ıten anterior, obtenemos que ABCD es un A paralel´ ogramo.

D

C

B

C

D

B

´ CAP´ITULO 4. PARALELISMO Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

48

3. Sea ABCD un cuadril´ atero, O elpunto de intersecci´ on de las diagonales. Por hip´ otesis AO ∼ = OC y OD ∼ = OB. Como los ´ angulos opuestos por el v´ertice son congruentes, tenemos:

D

C

4ABO ∼ = 4DCO, (LAL) 4AOD ∼ = 4BOC, (LAL)

O

En particular, AD ∼ = BC y CD ∼ = AB A y usando el ´ıtem anterior obtenemos que que ABCD es un paralel´ ogramo. 4. Sea ABCD un cuadril´ atero tal que AB k CD y AB ∼ = CD. Considerando la diagonal BD como transversal, obtenemos que ∠1 ∼ = ∠2. As´ı, 4ABD ∼ = 4BCD, por teorema de congruencia LAL. En particular: AD ∼ = BC y ∼ ∠3 = ∠4, ´ angulos alternos internos (4.2)

B

D 3

C 1

2

A

4 B

De 4.2 tenemos que AD k CB, por lo tanto, el cuadril´ atero es un paralel´ ogramo. 

4.2

El Teorema de Thales

Teorema 4.2.1: Teorema de Thales Caso Particular Si l1 ,l2 y l3 son rectas paralelas y m es una trasversal que intersecta a las tres paralelas en A, B, C, respectivamente de modo que AB ∼ = BC y m0 es cualquier otra transversal que intersecta a l1 ,l2 0 0 0 y l3 en A , B , C , respectivamente, entonces se cumple que A0 B 0 ∼ = B0C 0.

(4.3)

Demostraci´ on: m

A0

A

l1 B

l2 l3

m0

C

B0

D

C0

E

m000

m00

Figura 4.2: Paralelas cortadas por una transversal Considerando la figura 4.2y usando el Axioma de Paralelismo, tenemos que existen las rectas: ˆ m00 paralela a m0 y que pasa por A.

4.2. EL TEOREMA DE THALES

49

ˆ m000 paralela a m0 y que pasa por B.

Sean los puntos: ˆ D intersecci´ on de m00 y l2 . ˆ E intersecci´ on de m000 y l3 .

Por construcci´ on los puntos A, A0 , B 0 , D son los v´ertices de un paralel´ogramo. Del mismo modo, los 0 puntos B, B , E, C 0 , Eson los v´ertices de un paralel´ogramo. Usando una propiedad b´asica de los paralel´ ogramos, tenemos: AD ∼ (4.4) = A0 B 0 y BE ∼ = B0C 0. Por ser ´ angulos correspondientes, tenemos las siguientes congruencias: ∠ABD ∼ = ∠BCE

y

∠BAD ∼ = ∠CBE.

(4.5)

Por hip´ otesis, sabemos que AB ∼ = BC, as´ı podemos aplicar el criterio de congruencia ALA, obteniendo que, 4ABD ∼ (4.6) = 4BCE. ∼ En particular tenemos que AD = BEy por transitividad de la congruencia de segmentos, concluimos que A0 B 0 ∼  = B0C 0. Corolario 4.2.2: E un triangulo ABC, si H es el punto medio de AB y la paralela a BC que pasa por H corta a AC en el punto K, entonces AK ∼ = KC. En palabras,la recta trazada a trav´es del punto medio del lado de un tri´ angulo y paralela a otro lado bisecta el tercer lado. Demostraci´ on: Es consecuencia directa del teorema ??. Corolario 4.2.3: L



recta que une los puntos medios de dos lados de un tri´angulo es paralela al tercer lado y su longitud es la mitad de ´el. Es decir, En un triangulo ABC, si H y K son los puntos medios de AB y AC, respectivamente, entonces ˆ (i) HK es paralelo a BC, ˆ (ii) l(HK) = 12 l(BC),

Demostraci´ on: A trav´es de C se traza CP paralelo a AB e intersecta a la recta que pasa por H y K en el punto P , como muestra la figura. Consideremos los ´angulos ∠HAK = m1 , ∠KCP = m2 , ∠CKP = n1 , P

A K C H

∠HKA = n2 .

B

ˆ (i) En los 4CKP y 4AKH, tenemos:

m1 ∼ = m2 , n1 ∼ = n2 , CK ∼ = AK,

´angulos alternos,CP k AB, ´angulos opuestos por el v´ertice, hip´otesis,

Por lo tanto, por criterio de congruencia ALA, 4CKP ∼ = 4AKH. En particular, CP ∼ = AHy ∼ ∼ ∼ P K = HK. Como por hip´ otesis BH = AH, tenemos CP = BH. Por otra parte, CP k BH, por lo tanto, usando uno de los resultados del teorema 4.1.6, BCP H es un paralel´ogramo y as´ı HK k BC.

´ CAP´ITULO 4. PARALELISMO Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

50

ˆ (ii) Por ser lados opuestos de un paralel´ ogramo, BC ∼ = HP y como HK ∼ = KP , tenemos que  l(HK) = 12 l(BC)

Divisi´ on de un segmento en n partes iguales Una aplicaci´ on importante del teorema ?? es dividir un segmento AB en n partes de igual longitud usando regla y comp´ as. Para ello se procede de la siguiente manera. se traza un segmento auxilar AC y se elige un segmento de referencia o como unidad. este se copia n veces desde A hacia C determinando un punto J. Se une J con B y se trazan por los puntos que determin´o cada copia del segmento de referencia sobre AC paralelas a JB lo que determina sobre AB puntos M, L, K, . . .. En virtud del teorema ??, los segmentos AM , M L, . . . son congruentes. M

A

L

K

B

G H I

segmento de referencia J C

Figura 4.3: Division de un segmento Definici´ on 4.2.1 a 0 Diremos que dos segmentos AB y A0 B est´an en la proporci´on , si sus longitudes est´an en dicha b proporci´ on. Definici´ on 4.2.2 ˆ Dos segmentos se dicen conmensurables si la raz´ on entre sus longitudes es un n´ umero racional. ˆ Dos segmentos de dicen inconmensurables si la raz´ on entre sus longitudes es un n´ umero irracional.

Teorema 4.2.4 0

Los segmentos AB y A0 B son conmensurables s´ı y s´olo si existe un segmento CD que elegido 0 como unidad de medida las longitudes de AB y A0 B son n´ umeros naturales. Teorema 4.2.5: Teorema de Thales Caso General Tres rectas paralelas intersectadas por otras dos rectas cualesquiera determinan segmentos proporcionales. Es decir, si l1 , l2 , l3 son rectas paralelas intersectadas por rectas m1 en puntos A, B , C y por m2 en puntos A0 , B 0 , C 0 , entonces AB A0 B 0 = 0 0. BC BC Demostraci´ on: AB = r es un racional Si los segmentos son conmensurables, ellos tienen una medida com´ un BC m u de modo que r = , m, n ∈ N. Usando el teorema 4.2.1, dividimos el segmento BC en n n

Caso 1:

4.2. EL TEOREMA DE THALES

51

partes congruentes y dividimos el segmento AB en m partes iguales. En seguida trazamos por cada subdivisi´ on rectas paralelas a l1 y obtenemos el resultado buscado. Caso 2:

AB es un irracional BC

Parte 2.1

Si m y n son enteros positivos tales que m AB < , n BC

entonces m A0 B 0 < 0 0. n BC Para ello, dividimos el segmento BC en n partes iguales, cada parte de longitud u, de modo que la longitud de BC = nu. En seguida, se consideran m segmentos congruentes de longitud u desde B hacia A, lo que determina un punto D. Vamos a probar que D est´a entre A y B. Tenemos: mu m DB = = . nu n BC Por hip´ otesis, m AB < , n BC por lo tanto, DB AB < . BC BC Esto implica que DB < AB. As´ı, obtenemos que D est´a entre A y B. Trazando rectas paralelas por los puntos de la divisi´on, sea D0 el punto correspondiente a D. Usando la demostraci´ on para segmentos de longitudes racionales, B 0 C 0 queda dividido en n partes de igual longitud 0 0 y D B queda dividido en m partes de la misma longitud, por lo que obtenemos: mu m D0 B 0 = = . 0 0 nu n BC As´ı, m A0 B 0 < 0 0. n BC Parte 2.2

Si m y n son enteros positivos tales que m AB > , n BC

entonces A0 B 0 m > 0 0. n BC La demostraci´ on es an´ aloga a la parte 1. Parte 2.3 Ahora estamos en condiciones de abordar la demostraci´on del teorema de Thales. Usando el hecho que los n´ umeros irracionales son l´ımites de sucesiones de n´ umeros racionales, existen sucesiones A0 B 0 A0 B 0 AB rn ↑ 0 0 y Rn ↓ 0 0 tales que rn < < Rn , para cada n ∈ N. En virtud de lo demostrado en BC BC BC las partes 1 y 2, esta desigualdad implica que rn
A0 B 0 . Por axioma de congruencia existe un u ´nico D entre A BD ∼ ´nico E entre B y C tal que BE ∼ = B 0 D0 y existe un u = B 0 E 0 . Por teorema LAL, 4BDE 0 0 AB BC AB − A B BC − A0 B 0 De la hip´ otesis, 0 0 = 0 0 se deduce que = lo que implica que 0 0 AB BC AB A0 B 0 El teorema anterior implica que DE k AC, y por lo tanto los tri´angulos son semejantes.

y B tal que ∼ = 4A0 B 0 C 0 . AD EC = . DB EB 

´ CAP´ITULO 4. PARALELISMO Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

54 Teorema 4.3.4

Si los lados de un tri´ angulo son proporcionales a los lados de otro tri´angulo, entonces ellos son semejantes. Demostraci´ on: A

A0

C0

C B

B

0

D0

AB BC CA = 0 0 = 0 0. A0 B 0 BC CA En el lado de B 0 C 0 opuesto a A0 , se trazan segmentos B 0 D0 y C 0 D0 de modo que ∠B ∼ = ∠C 0 B 0 D0 y 0 0 0 0 ∼ ∠C = ∠D C B . (¿Por que existe tal punto D ?) Por hip´ otesis tenemos

Los tri´ angulos 4ABC ∼ 4D0 B 0 C 0 ya que: ˆ ∠B ∼ on. = ∠C 0 B 0 D0 . Por contrucci´ ˆ ∠C ∼ on. = ∠D0 C 0 B 0 . Por contrucci´ ˆ ∠A ∼ angulos de un tri´angulo = ∠D0 . Por la suma de los ´

As´ı, tenemos que: AB B 0 D0 AB A0 B 0 AB A0 B 0 A0 B 0

BC . Por hip´otesis, B0C 0 BC = 0 0 . Por lo tanto, BC AB = 0 0 . Lo que implica, BD ∼ = B 0 D0 . =

∼ A0 C 0 . Adem´as se tiene el lado com´ un B 0 C 0 , aplicando el teorema An´ alogamente se obtiene que C 0 D0 = 0 0 0 ∼ 0 0 0 0 LLL, obtenemos que 4A B C = 4D B C . En particular, ∠A ∼ = ∠A y aplicando el teorema anterior obtenemos la semajanza de los tria´ ngulos. 

4.4

Teorema de Pit´ agoras

Teorema 4.4.1 En un tri´ angulo rect´ angulo, la altura correspondiente a la hipotenusa forma dos tri´angulos semejantes con el tri´ angulo original.Es decir, Si el 4ABC es rect´angulo en C y CD es la altura, entonces: 4ABC ∼ 4ACD ∼ 4CBD. Demostraci´ on:

´ 4.4. TEOREMA DE PITAGORAS

55 Los tri´angulos ABC , ADC y BCD son rect´angulos. Adem´as, por el teorema de la suma de los ´angulos de un tri´angulo, basta encontrar un par de ´angulos, que no sean el ´angulo recto, congruentes. El 4ABC y 4ADC tienen el ´angulo del v´ertice A com´ un.As´ı, en virtud del teorema 4.3.1, ellos son semejantes. El 4ABC y 4BCD tienen el ´angulo del v´ertice B com´ un.As´ı, en virtud del teorema 4.3.1, ellos son semejantes. 

C a

b h A

D

c

B

Corolario 4.4.2: E un tri´ angulo rect´ angulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es la media proporcional entre los segmentos formados sobre la hipotenusa.

Demostraci´ on: De la semejanza obtenida en el teorema 4.4.1, tenemos que en el 4ADC, h se opone a ∠A y AD se opone a ∠ACD y en el 4BCD, DB se opone a ∠DCA y h se opone a ∠DCB, por lo cual obtenemos la proporci´ on: BD h = . AD h

(4.8)

 Teorema 4.4.3: Teorema de Pit´ agoras En un tri´ angulo rect´ angulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostraci´ on: Para simplificar la escritura, llamaremos u a la longitud de AD y v a la longitud de DB. De la semajanza dada por el teorema 4.4.1, tenemos: b c a c

= =

u b v a

Por otra parte, c = u + v. De estas tres ecuaciones se obtiene el teorema. Teorema 4.4.4: El rec´ıproco del teorema de Pit´ agoras Si un tri´ angulo tiene lados de longitudes a, b, c, tales que c2 = a2 + b2 , entonces el tri´angulo es recto de hipotenusa con longitud c.

Demostraci´ on:



´ CAP´ITULO 4. PARALELISMO Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

56

Sobre una recta l que contiene el punto P se traza la perpendicular a l por P . Usando los axiomas de congurencia de segmentos, tenemos que existen puntos Q y R tales que: A

?

B

a

PQ ∼ = CB.

y

Por construcci´on el 4P QR es rect´angulo, por lo que podemos aplicar el teorema de Pit´agoras, as´ı:

c

b C

PR ∼ = AC,

R

P

QR2 = a2 + b2 .

Q

Usando la hip´otesis, obtenemos que P R2 = c2 , por lo tanto P R = c. En s´ıntesis, los tri´angulos ABC y P QR son congruentes por teorema LLL. En particular el ´angulo ACB es recto. 

Definici´ on 4.4.1 1. Se llama proyecci´ on ortogonal de un punto P sobre una recta l al punto Q ∈ l que determina la perpendicular trazada desde P sobre la recta. 2. Se llama proyecci´ on ortogonal de un trazo AB sobre una recta l al trazo en l que determinan las proyecciones ortogonales de los puntos A y B sobre la recta l.

Teorema 4.4.5: Teorema de Pit´ agoras generalizado En un tri´ angulo cualquiera el cuadrado de un lado opuesto al ´angulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos dos veces el producto de uno de estos lados por la proyecci´on ortogonal del otro sobre este. En s´ımbolos: 2

2

2

AB = AC + BC − 2BC · CD, donde

CD

es la proyecci´on ortogonal de AC sobre BC.

Demostraci´ on: Sea AD ⊥ BC. Los tri´angulos 4ABD y 4ADC son rect´angulos en D. Aplicando el teorema de Pit´ agoras a cada uno tenemos: 2

2

2

2

2

2

AB = BD + AD , AC = DC + AD , 2

Despejando AD en la segunda ecuaci´ on y reemplaz´andola en la primera nos queda: 2

2

2

AB = BD + AC − DC como

2

BD = BC − DC : 2

2

2

AB = (BC − DC)2 + AC − DC por tanto, 2

2

2

2

2

2

2

AB = BC + DC − 2BC · DC + AC − DC AB = AC + BC − 2BC · CD.

2

´ 4.4. TEOREMA DE PITAGORAS

57

A

B

A

D

C

D

B

C



Comentario seno.

El teorema de Pit´ agoras generalizado se conoce en Trigonemetr´ıa como teorema del co-

Ejercicios resueltos 1. En la figura 4.4se tiene: W U k ST , SY k W X, W U = 15cm, ST = 10cm, XR = 6cm, SR = 8cm. Encontrar las longitudes de W S y XY . R

Soluci´ on W U k ST implica que 4SRT ∼ 4W RU . Por lo tnato,

Y X

10 8 = . 15 8 + SW Despejando SW , obtenemos que su longitud es 4. An´ alogamente,4SRY ∼ 4W RX, obteni´endose que la longitud de XY es 2.

T

S W

U

15

Figura 4.4:

2. Una persona camina un kil´ ometro hacia el este, despu´es un kil´ ometro hacia el noreste y finalmente un kil´ ometro hacia el este. Calcular la distancia entre el punto de partida y el punto de llegada. Observaci´ on: la direcci´ on noreste significa que el ´ angulo α es congruente a su complementario.

D

C noreste α A este

B

E

Soluci´ on Sea F el punto entre B y E tal que AF es perpendicular a AE. As´ı, el tri´angulo BF C es rect´angulo

´ CAP´ITULO 4. PARALELISMO Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

58

e is´ osceles. Usando el teorema de Pit´ agoras, tenemos: √ AF

=

AE

=

2 . 2

√ AD

2

√ 4+ 2 . 2 √ !2 q √ 4+ 2 = 5 + 2 2. 2

2 + AF = 2

2 + 2

=

3. Si 4ABC ∼ 4A0 B 0 C 0 , AD y A0 D0 son medianas, demuestre que la raz´on entre las medianas es la misma que entre los lados correspondientes. Recuerdo: mediana, tambi´en llamada transversal de gravedad, es el segmento comprendido entre un v´ertice y el punto medio del lado opuesto. Soluci´ on Sean BD y B 0 D0 las medianas correspondientes al v´ertice B y B 0 respectivamente. Por ser D y D0 puntos medios de sus respectivos segmentos, CD ∼ = DA y C 0 D0 ∼ = D0 A0 . Por lo semajanza de los tri´ angulos, tenemos: AB = A0 B 0 ∠A ∼ =

C0

AC AD + DC AD = 0 0 = 0 0. 0 0 0 0 AC AD +D C AD D ∠A0 .

Usando el criterio de semajanza ´ angulos con lados proporcionales, podemos concluir que 4ABD ∼ 4A0 B 0 D0 . En AB particular, obtenemos que = A0 B 0 DB . D0 B 0 4. La figura representa un objeto HK y su imagen P Q en un espejo c´ oncavo de centro O y foco F . Si las longitudes de los respectivos segmentos son: CH = u, CP = v, CF = F O = f, HK = BC = x, P Q = y. P Q k BC k HK. Demuestre que 1 1 1 (a) = − . f u v (b) y =

C

D0

B

A0

A

Q

P

B

K

C

H

O F

vx . u

5. Demuestre que un punto que pertenece a la bisectriz de un ´angulo equidista de sus lados.

Soluci´ on

B0

´ 4.4. TEOREMA DE PITAGORAS

59

Dado el ∠BAC, sean:

B

ˆ AM bisectriz del ∠BAC;

E

ˆ D punto que pertenece a la bisectriz;

M

D A

ˆ E y F puntos que pertenecen a los respectivos lados del ∠BAC;

F C

ˆ DE segmento perpendicular a BA; ˆ DF segmento perpendicular a CA. Debemos demostrar que:

Figura 4.5: Bisectriz

d(AB, D) = d(AC, D) ⇐⇒ DE ∼ = DF . Con este fin demostraremos que los 4AED y 4AF D son congruentes. ˆ Como AM es bisectriz del ∠BAC, los ∠BAM y ∠M AC son congruentes. ˆ Los ∠DEA y ∠AF D son rectos, por lo tanto, congruentes entre s´ı.

4AED ∼ un. En particular, se cumple = 4AF D, ya que tienen sus a´ngulos congruentes y un lado com´ DE ∼ = DF . 6. Demuestre que un punto equidistante de dos rectas que se intersectan, est´a en una de las rectas que bisectan los ´ angulos formados por dichas rectas.

l1 A

A0 b1

P O b2 B B0

l2

Soluci´ on ˆ ˆ ˆ ˆ

Sean l1 y l2 dos rectas no paralelas Sea O punto de intersecci´ on entre l1 y l2 b1 y b2 las bisectriz entre l1 y l2 Sea P un punto tal que: d(P, l1 ) = d(P, l2 ).

(4.9)

ˆ A y B puntos que pertenecen a l1 y l2 respectivamente.

Para demostrar que un punto P que es equidistante de dos rectas secantes, est´a en una de las rectas que bisectan los ´ angulos formados por las rectas, debemos comprobar que P ∈ b1 , lo que es equivalente a demostrar que: ∠AOP ∼ = ∠P OB. ˆ Por (4.9) se tiene:

P A0 ⊥OA P B 0 ⊥OB P A0 ∼ = P B0.

´ CAP´ITULO 4. PARALELISMO Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

60

ˆ 4A0 OP y 4B 0 OP son rectos en A0 y B 0 respectivamente. ˆ Considerando que:

OP ∼ un, = OP , lado com´ 0 0 ∼ P A = P B hip´otesis. Aplicando el teorema de Pit´ agoras se tiene que A0 O ∼ = B0O Por el Teorema LLL tenemos que 4A0 OP ∼ = 4B 0 OP , en particular se cumple que ∠AOP ∼ = ∠P OB. Por lo tanto P ∈ b1 . 7. Demuestre que la bisectriz de un interno de un tri´angulo divide internamente el lado opuesto en la raz´ on de los lados que forman el ´ angulo . Es decir, si en el 4ABC, AD es la bisectriz del interior en A, entonces se tiene: DB AB = DC AC Indicaci´ on: trazar la paralela a la bisectriz que pasa por C.

C 1

D

2 3

E 4

g

B

A

f

Soluci´ on Dado 4ABC, sean AD la bisectriz del ∠A, EC k AD, EA prolongaci´on de AB y E la intersecci´ on entre EC y EA. ˆ ∠1 ∼ = ∠2, ∼ ˆ ∠2 = ∠3, ˆ ∠1 ∼ = ∠3, ∼ ˆ ∠3 = ∠4, ˆ ∠1 ∼ = ∠4, ˆ ∠2 ∼ = ∠4, ˆ ∠1 ∼ = ∠2,

( ∠ alternos internos). (AD bisectriz). (transitividad). (∠ correspondientes). (transitividad). (transitividad). (∠ alternos internos).

ˆ EC k AD. ˆ 4EAC is´ osceles de base EC, en particular EA ∼ = EC. (1) ˆ Por teorema de Thales tenemos:

De (1) y (2) tenemos

AB BD = . (2) AE DC

AB BD = . AC DC

8. En el tri´ angulo 4ABC, Z es un punto de AB, AX k CZ k BY . Adem´as los segmentos AY y XB se intersectan en C. Demuestre que: 1 1 1 + = . AX BY CZ Indicaci´ on: Considere los tri´ angulos 4AY B y 4BXA.

´ 4.4. TEOREMA DE PITAGORAS

61 Y X C A

Z

B

Figura 4.6: ˆ AX k CZ ⇒ 4AXB ∼ 4CZB. Por lo tanto, sus lados correspondientes son proporcionales:

AX AB BZ AB = ⇐⇒ = . CZ BZ CZ AX

(4.10)

ˆ BY k CZ ⇒ 4AY B ∼ 4CZA. Por lo tanto, sus lados correspondientes son proporcionales:

BY AB AZ AB = ⇐⇒ = . CZ AZ CZ YB

(4.11)

De (4.10) y (4.11), tenemos: BZ AZ AB AB + = + CZ CZ AX BY BZ + AZ AB AB = + CZ AX BY 1 1 1 = + . CZ AX BY 9. Dos postes de tel´efono miden 4 y 6 metros respectivamente; est´an colocados cerca uno del otro. Como soporte parcial, se coloca un cable que va desde el tope de uno al inicio del otro. ¿A qu´e altura del suelo se encuentra el cruce de los cables?

Soluci´ on Por hip´ otesis, AX k CZ k BY . AX = 4mt, BY = 6mt, debemos calcular CZ. Utilizando el resultado del ejercicio anterior: 1 1 1 = + . CZ AX BY 1 1 1 = + CZ 4 6 24 CZ = = 2, 4mt. 10 10. En el 4ABC, DE k BC, F E k DC. (a) Si AF = 4 y F D = 6, encontrar la longitud de DB. (b) Encontrar DB si AF = m1 y F D = m2 . (c) Si adem´ as, F G k DE y HG k F E. Encontrar DB si AH = 2 y HF = 4. (d) En las mismas condiciones del ´ıtem anterior, encontrar DB si AH = m1 y HF = m2 .

´ CAP´ITULO 4. PARALELISMO Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

62

H F

A G

E

D B

C Figura 4.7:

4.4.1

Ejercicios propuestos

1. Demuestre que la bisectriz de un ´ angulo externo de un tri´angulo divide externamente el lado opuesto en la raz´ on de los lados que forman el a´ngulo. Es decir, si en el 4ABC, AD es la bisectriz del exterior en A, entonces se tiene: DB AB = DC AC Indicaci´ on: trazar la paralela a la bisectriz que pasa por C. 2. Sobre los lados AB y CD de un rect ABCD, los puntos F y E son tales que AF CE es un rombo, ver figura . Si AB = 16 y BC = 12, determinar la longitud de EF . F

A

D

B

C

E

3. En el cuadril´ atero ABCD, AB = 9, BC = 12, CD = 13, AD = 14 y la diagonal AC = 15. Si se trazan perpendiculares a AC desde B y D se determinan los puntos P y Q sobre AC. Encontrar la longitud de P Q. B

A

Q

D

4.5

´ Areas

C

´ 4.5. AREAS

63

Definici´ on 4.5.1 Dado un pol´ıgono P , se llama ´ area de P a un n´ umero real no negativo que cumple con las siguientes propiedades: 1. Pol´ıgonos congruentes tienen ´ areas iguales. 2. Si P es un cuadrado de lado de longitud 1, entonces el ´area de P es 1. 3. Si P puede ser descompuesto como uni´on de pol´ıgonos P1 , . . . , Pn de modo que dos cualesquiera de ellos tiene a lo m´ as algunos lados comunes, entonces el ´area de P es la suma de las a´reas de los Pi . Para medir la regi´ on del plano que ocupa una figura plana, se procede de manera an´aloga a la de medir la longitud de un segmento. Se elige una unidad de medida y se trata de ver cu´antas veces esta unidad est´ a contenida en la figura. Comencemos por medir el ´area de un cuadrado. Por convenci´on diremos que la unidad de medida tiene ´ area 1. Si el cuadrado a medir tiene lado de longitud n ∈ N. Para ver cu´antas veces est´ a contenida la unidad, se dividen los lados en n segmentos congruentes y trazando paralelas se obtienen n2 cuadrados unitarios. Por lo tanto diremos que el cuadrado tiene ´area n2 unidades de ´area. En el caso que el cuadrado C a medir tenga lado de longitud fraccionaria, sea esta n1 , entonces dividimos el lado del cuadrado unitario en n segmentos congruentes y repetimos el proceso del primer caso, obteni´endo area (C) · n2 = 1, por lo tanto, ´ ´ area (C) = n12 unidades de ´area. m Si el lado del cuadrado tiene como longitud un n´ umero racional , entonces dividimos sus lados en m n 1 1 segmentos de longitud , lo que da origen a m2 cuadrados de ´area 2 . Por tanto, el ´area del cuadrado n n m2 es 2 . n Si el lado del cuadrado unitario y el lado del cuadrado P son inconmensurables, es decir la longitud a del lado es un n´ umero irracional, entonces debemos usar el hecho que los n´ umeros irracionales son l´ımites de sucesiones de n´ umeros racionales. En particular, existen sucesiones rn ↑ a y Rn ↓ a tales que rn < a < Rn , para cada n ∈ N. Por lo ya deducido, los cuadrados de lados rn y Rn tienen respectivamente, ´areas rn2 y Rn2 , tener lados de longitud racional.As´ı, obtenemos que ´ rn2 < Area de P < Rn2 . Pasando al l´ımite, obtenemos que ´ Area de P = a2 .

unidad de ´area Figura 4.8: Eligiendo una unidad de medida de ´area Teorema 4.5.1: Teorema A-1 El ´ area de un rect´ angulo de lados con longitudes a y b es ab. Cuando a y b est´an referidas a una misma unidad de mediada. Teorema 4.5.2: Teorema A-2 El ´ area de un tri´ angulo rect´ angulo es la mitad del producta de la base por la altura.

´ CAP´ITULO 4. PARALELISMO Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

64

Demostraci´ on: Un tri´ angulo rect´ angulo es la mitad de un rect´angulo. Teorema 4.5.3: Teorema A-3 El ´ area de un paralelogramo es igual al producto de las longitudes de su base y su altura correspondiente, cuando ellas est´ an referidas a una misma unidad de medida. Demostraci´ on:

E

x D

C

h

A

b

B

F

4AED ∼ = 4BF C, (LAL). hx ´ Area (4AED)= ´area(4BF C) = 2 ´ Area rect´angulo (AF CE) = ´area (4AED)+ ´area paralel´ogramo (ABCD)+ ´area(4BF C). Como AF = CE = b + x, tenemos: hx h(b + x) = 2 + ´area paralelogramo (ABCD). 2 Por lo tanto, el ´area paralel´ogramo (ABCD) = hb. 

Figura 4.9: Area paralelogramo

Teorema 4.5.4: Teorema A-4 El ´ area de un tri´ angulo cualquiera es un medio del producto de las longitudes de la base por su altura, cuando ellas est´ an referidas a una misma unidad de medida.

Teorema 4.5.5: Teorema A-5 El ´ area de un trapecio es la semisuma de las bases por la altura, cuando ellas est´an referidas a una misma unidad de medida.

Teorema 4.5.6: Teorema A-6 El ´ area de un rombo es el semiproducto de las longitudes de sus diagonales, cuando ellas est´an referidas a una misma unidad de medida.

Teorema 4.5.7: Teorema A-7 La raz´ on entre las ´ areas de dos tri´ angulos semejantes es el cuadrado de la raz´on de sus lados o de sus alturas.

Teorema 4.5.8: Teorema A-8: La f´ ormula de Her´ on Si a, b, c son las longitudes de los lados de un tri´angulo y s = p tri´ angulo es s(s − a)(s − b)(s − c).

a+b+c , entonces el ´area del 2

Demostraci´ on: Seguiremos la demostraci´on que aparece en History of Greek Mathematics de T. Heath. Oxford Press,1921. Sea 4ABC un tri´ angulo cualquiera. AO, BO, CO las bisectrices de los respectivos ´angulos y los segmentos DO, EO, F O son radios de la circunferencia inscrita y por tanto son perpendiculares a los lados del

´ 4.5. AREAS

65

tri´ angulo. As´ı tenemos: 1 area 4AOB = ABOF ´ 2 1 area 4AOC = ACOE ´ 2 1 a´rea 4BOC = BCOD. 2 a´rea 4ABC =´ area 4AOB + ´ area 4AOC + ´area 4BOC = =r

p = rs. 2

r (AB + BC + AC). 2

Donde: r = radio de la circunferencia inscrita, p = per´ımetro del tri´angulo ABC y s = semiper´ımetro del tri´ angulo ABC.

A

F O

H

B

K

D

E

C

L

Adem´ as sabemos que: AE ∼ = AF , BD ∼ = BF , CD ∼ = CF . Sea H el punto entre B y C tal que BH ∼ = AF . Por lo tanto, CH = s.

(4.12)

La expresi´ on del ´ area del tri´ angulo ABC queda como: area 4ABC = r CH. ´

(4.13)

Se trazan: ˆ OL perpendicular a OC y corta a BC en K. ˆ BL perpendicular a BC.

Por ser ∠COL y ∠CBL ´ angulos rectos, el cuadril´atero COBL es inscriptible. Por lo tanto, ∠COB + ∠CLB = 2 · ∠rectos. Como AO, BO, CO son bisectrices se tiene que ∠COB +∠AOF = ∠AOC +∠BOF y ∠COB +∠AOF = 2 · ∠rectos, se concluye que ∠AOF ∼ = ∠CLB.

´ CAP´ITULO 4. PARALELISMO Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

66

As´ı, los tri´ angulos recta´ ngulos AOF y CLB son semjantes y se tienen las siguientes proporciones:

BC AF BH = = BL FO OD CB BL BK = = BH OD KD CH BD CH CH = . BH DK CH BH

=

BD CD . DK CD

2

En el tri´ angulo rect´ angulo COK, se cumple que OD = CD · DK. Entonces tenemos: 2

CH BD · DC = . 2 CH · BH OD Volviendo a la ecuaci´ on 4.13, (´ area 4ABC)2 = (OD CH)2 = CH · HB · BD · DC = s(s − a)(s − b)(s − c). p area 4ABC = s(s − a)(s − b)(s − c). ´

Teorema 4.5.9 Si dos tri´ angulos tienen un ´ angulo congruente, 4ABC y 4BDE, la raz´on entre sus ´areas es como la raz´ on entre el producto de las longitudes de los lados que comprenden el ´angulo.

B

B α

α

H

Los tri´ angulos ABC y BDC

Los tri´ angulos BDE y BDC tienen la misma altura DH.

tienen la misma altura CF F

E E

Demostraci´ on:

D

D

C A

A

4.5.1

Ejercicios resueltos

1. Se llama simetral de un trazo a la perpendicular que pasa por el punto medio de ´el. Demuestre que las tres simetrales de un tri´angulo se cortan en un punto, que es el centro de la circunferencia circunscrita al tri´angulo y se llama circuncentro

C

´ 4.5. AREAS

67 A

S1

E

F

S1

S3

S2

O

C D

B

Demostraci´ on: Sean: ˆ S1 : simetral del segmento AB, S2 : simetral del segmento BC, S3 : simetral del segmento CA. ˆ D punto medio del segmento BC, E punto medio del segmento CA, F punto medio del segmento AB. ˆ Por definici´ on de simetral, S1 pasa por el punto medio F de AB y S2 pasa por el punto medio D de BC, formando ´ angulos rectos con los respectivos lados. Si S1 y S2 fueran paralelas implicar´ıa que AB y BC son paralelas, lo cual contradice la existencia del tri´angulo 4ABC. As´ı, se deduce la existencia del punto O intersecci´on de S1 y S2 . Aplicando la propiedad que la simetral deun trazo equidista de los extremos de ´este, se tiene: ˆ O ∈ S1 ⇒ AO ∼ = CO O ∈ S2 ⇒ CO ∼ = BO Por transitividad, tenemos lo siguiente: AO ∼ = CO ∧ CO ∼ = BO ⇒ AO ∼ = BO ⇒ O pertenece a la simetral S3 del segmento AC Todas las simetrales se intersectan en el punto O llamado circuncentro.

2. Demuestre que las tres bisectrices de los ´angulos interiores de un tri´angulo se cortan en un punto, que es el centro de la circunferencia inscrita en el tri´angulo. A α E

F

B2

B3 I β B

γ C

D B1

ˆ B1 : bisectriz del ´ angulo α (∠CAB) B2 : bisectriz del a ´ngulo β (∠ABC)

´ CAP´ITULO 4. PARALELISMO Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

68

B3 : bisectriz del ´ angulo γ (∠BCA) ˆ DI distancia desde punto I a segmento BC EI distancia desde punto I a segmento AC F I distancia desde punto I a segmento AB

ˆ Como α y β son ´ angulos interiores de un tri´angulo, se cumple que: α + β < 2∠ rectos ⇒ α2 + β2 < 2∠ rectos ⇒ B1 y B2 se intersectan en un punto I, tal que I no pertenece a AB y forman el tri´ angulo 4ABI ˆ I ∈ B1 ⇒ EI ∼ = ID I ∈ B2 ⇒ ID ∼ = IF Por transitividad, tenemos lo siguiente: EI ∼ = ID ∧ ID ∼ = IF ⇒ EI ∼ = IF ⇒ I pertenece a la bisectriz B3 Por lo tanto Todas las bisectrices se intersectan en un punto I llamado Incentro.

3. Se llama altura de un tri´ angulo al trazo perpendicular que va desde un v´ertice al lado opuesto. Demuestre que las tres alturas de un tri´angulo se cortan en un punto, llamado ortocentro. Indicaci´ on: Trazar las paralelas a cada segmento del tri´angulo que pasa por sus v´ertices. H2

H1

Q

A H3 R O C B

P

ˆ H1 : altura desde el v´ertice A H2 : altura desde el v´ertice B H3 : altura desde el v´ertice C ˆ QR paralela al segmento BC que pasa punto A P R paralela al segmento CA que pasa punto B P Q paralela al segmento AB que pasa punto C

La estrategia que utilizaremoPor lo anterior (reducci´on al absurdo), si D y E no se intersectan, ser´ıan paralelas (por definici´ on)s para esta demostraci´on ser´a comprobar que las alturas del ´ tri´ angulo 4ABC corresponden a las simetrales del tri´angulo 4P QR (Tri´angulo Ortico).

´ 4.5. AREAS

69

ˆ RA k BC por construcci´ on RB k AC por construcci´ on RACB paralel´ ogramo. ˆ QA k BC por construcci´ on QC k AB por construcci´ on QABC paralel´ ogramo. ˆ Por propiedades de paralel´ ogramo: RA ∼ = BC QA ∼ = BC Por transitividad RA ∼ = QA ⇒ A punto medio de RQ ˆ Como RQ k BC por construcci´ on ⇒ RQ ⊥ BC (´ angulos correspondientes) La altura H1 es la simetral del lado RQ. ˆ Se realiza el mismo procedimiento con las otras alturas, con lo cual obtenemos: H2 simetral del segmento P R H3 simetral del segmento P Q ˆ Como demostramos en el Ejercicios 1, las simetrales de un tri´ angulo se intersecan en un punto, en el caso del tri´ angulo 4P QR corresponde al punto O. Este mismo punto es donde se cortan las alturas del tri´angulo 4ABC. Con lo cual se ha demostrado que las alturas de un tri´angulo se intersecan en un punto, llamado ortocentro.

4. Se llama mediana o transversal de gravedad de un tri´angulo al trazo que va desde un v´ertice al punto medio del lado opuesto. Demuestre que las tres medianas de un tri´angulo se cortan en un punto, llamado centroide, baricentro o centro de gravedad. Adem´as deduzca que el centroide est´ a a dos tercios de de la longitud de la mediana del respectivo. Indicaci´ on: Sea G la intersecci´ on de las medianas de los v´ertices B y C. Se prolonga AG hacia el lado de G y se determina el punto H sobre dicha prolongaci´on de modo que AG ∼ = GD. Demostrar que BHCG es un paralel´ogramo. A

T1 E

F G

T3

T2

C

D B

H

ˆ T2 : transversal de gravedad desde el v´ertice B T3 : transversal de gravedad desde el v´ertice C

´ CAP´ITULO 4. PARALELISMO Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

70

ˆ E punto medio del segmento CA F punto medio del segmento AB G intersecci´ on de T 2 y T 3

on. ˆ AG ∼ = GH por construcci´ ˆ Consideremos el tri´ angulo 4HCA E es punto medio del segmento AC G es punto medio del segmento AH Dada las relaciones anteriores, si trazamos un segmento desde los puntos medios de los lados de un tri´ angulo, este trazo ser´a paralelo a su base correspondiente,es decir,

GE k DC, en particular GB k DC

(4.14)

ˆ Consideremos el tri´ angulo 4HBA F es punto medio del segmento AB G es punto medio del segmento AH Dada las relaciones anteriores, si trazamos un segmento desde los puntos medios de los lados de un tri´ angulo, este trazo ser´a paralelo a su base correspondiente, es decir,

GF k DB, en particular GC k DB

(4.15)

ˆ De (1) y (2), tenemos que BHCG es un paralel´ ogramo, y sabemos que las diagonales ogramo se dimidian. (GH y BC)de un paralel´ ⇒ D es el punto medio del segmento BC Por lo tanto, T1 es la transversal de gravedad que pasa por G. ˆ Adem´ as, como las diagonales de un paralel´ogramo se dimidian, tenemos que GD ∼ = DH ⇒ AG = 2GD

5. A

α0 α

E

B

C

D

Sean: 4ABC, AD bisectriz externa del ∠A, debemos demostrar que DB AB = . DC AC

(4.16)

Se traza la paralela a la bisectriz por C y obtenemos el punto E. Aplicando el teorema de Thales: DB AB = . DC AE Por tanto, solo queda por demostrar que AE = AC. AD k CE =⇒ α0 ∼ = ∠AEC y ∼ AD bisectriz =⇒ α = α0 . Por transitividad, ∠AEC ∼ = ∠ACE. Por lo que, As´ı, tenemos (4.16).

4ADE es is´osceles.

α∼ = ∠ACE.

´ 4.5. AREAS

71

6. Teorema de Ceva En un tri´ angulo ABC, sean L, M y N puntos de los lados BC, CA y AB respectivamente. Las rectas AL, BM y CN se intersecan en un punto P si y s´olo si: BL CM AN · · =1 LC M A N B Considerar la siguiente equivalencia entre proporciones: c a−c c a = ⇒ = b d b−d d Para la demostraci´ on de este Teorema necesitaremos demostrar una relaci´on entre el ´area de tri´angulos, sus alturas y bases. Sean dos tri´ angulos 4ABC y 4LM N , cuyas alturas son iguales, h1 altura desde v´ertice A y h2 altura desde v´ertice L BC Area4ABC = . Area 4LM N MN

h1

= h2 =

´ Area 4LM N ˆ De (2) se tiene: h1 =

De (3) se tiene: h2 =

(4.18)

h1 · BC 2 h1 · M N = 2

´ Area 4ABC

´ Area 4ABC·2 BC

´ Area 4LM N · 2 MN

De (1) h1 = h2 ´ ´ Area 4ABC · 2 Area 4LM N · 2 ⇒ = BC MN ´ BC Area 4ABC = Por lo tanto ´ M N Area 4LM N A N P

M

B L

C

(⇒) Si P es el punto de concurrencia de las rectas AL, BM y CN , entonces BL CM AN · · =1 LC M A N B ˆ

BL LC

=

´ Area4ABL ´ Area4ACL

(tienen las misma altura) (1)

ˆ

BL LC

=

´ Area4P BL ´ Area4P CL

(tienen las misma altura) (2)

ˆ Por (1) y (2) ⇒

´ Area4ABL ´ Area4ACL

=

´ Area4P BL ´ Area4P CL

(4.17)

(4.19) (4.20)

´ CAP´ITULO 4. PARALELISMO Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

72 ˆ Entonces:

BL LC

=

´ ´ Area4ABL− Area4P BL ´ ´ Area4ACL− Area4P CL

=

´ Area4ABD ´ Area4ACP

(aplicando indicaci´on) (3)

´ ´ C MC CM = Area4BM = Area4P ´ ´ MA Area4BM A Area4P MA ´ ´ ´ Area4BM C−Area4P MC Area4BCD = Area4ABP (4) ´ ´ ´ Area4BM A−Area4P MA

ˆ Del mismo modo: CM MA

=

´ ´ Area4ACN Area4AP N AN = Area4BCN = Area4BP ´ ´ NB N ´ ´ ´ Area4ACN −Area4AP N Area4ACP = Area4BCP ´ ´ ´ Area4BCN −Area4BP N

ˆ Tambi´en: AN NB

=

(5)

ˆ Multiplicando (3), (4) y (5)se obtiene:

´ ´ ´ Area4ABP Area4BCP Area4ACP BL CM AN · · = · · =1 ´ ´ ´ LC M A N B Area4ACP Area4ABP Area4BCP (⇐) Si BL · LC sabemos:

CM MA

·

AN NB

= 1, entonces las rectas AL, BM y CN concurren en P . Por hip´otesis

ˆ Supongamos que BM y AL se cortan en P ˆ Sea CN 0 la reacta que pasa por P ˆ Por la primera parte de la demostraci´ on tenemos ˆ y por la hip´ otesis ˆ De (6) y (7) ⇒

BL LC

AN 0 N 0B

·

CM MA

=

AN NB

·

AN NB

BL LC

·

CM MA

·

AN 0 N 0B

= 1 (6)

= 1 (7)

ˆ Componiendo la proporci´ on respecto del consecuente:

AN 0 AN AN 0 + N 0 B AN + N B = ⇒ = 0 NB NB N 0B NB ˆ Pero AN 0 + N 0 B = AB y AN + N B = AB lo que implica que

AB N 0B

ˆ De lo anterior se concluye que N 0 B = N B ⇒ N y N 0 coinciden.

4.5.2

Ejercicios propuestos

1. Si dos tri´ angulos: 4ABC y 4A0 B 0 C 0 son tales que : (i) ∠A ∼ = ∠A0 , (ii) ambos tri´ angulos tienen la misma ´areas. Demuestre que AB · AC = A0 B 0 · A0 C 0 . 2. Si dos tri´ angulos: 4ABC y 4A0 B 0 C 0 son tales que : (i) ∠A ∼ = ∠A0 , (ii) AB · AC = A0 B 0 · A0 C 0 . a

Demuestre que 4ABC = 4A0 B 0 C 0 .

=

AB NB

Cap´ıtulo 5

El c´ırculo y pol´ıgonos regulares 5.1

La circunferencia

5.1.1

Definiciones b´ asicas

1. Lugar Geom´ etrico(L.G.) es la parte del plano o el conjunto de puntos del plano que poseen de manera exclusiva una propiedad. 2. Circunferencia es el L.G. de todos los puntos del plano que est´an a una distancia dada r de un punto dado O. 3. C´ırculo: es la superficie o parte del plano encerrado por la circunferencia. 4. Radio: es la longitud del trazo que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de ella. Seg´ un el contexto, se suele denominar tambi´en radio al segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. 5. Di´ ametro: es cualquier trazo que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia. Es equivalente en longitud a dos radios. 6. Arco de una circunferencia: es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos cualesquiera de ella. 7. Cuerda: es un segmento que une dos puntos de una circunferencia. La cuerda que atraviesa el centro es el di´ ametro. 8. Secante: es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos distintos. 9. Tangente: es la recta l que tiene un u ´nico punto com´ un con la circunferencia. Dicho punto se llama punto de tangencia. 1 10. Sector circular: es la parte del c´ırculo comprendida entre dos radios y el arco que une los extremos de estos radios. 11. Segmento circular: es la parte del c´ırculo comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente. ´ 12. Angulo del centro: es el formado por dos radios y cuyo v´ertice est´a en el centro de la circunferencia y es menor o igual a un ´ angulo extendido. ´ 13. Angulo inscrito en la circunferencia :es aquel cuyo v´ertice A se encuentra en la circunferencia y sus lados cortan la circunferencia en puntos B y C dintintos de A. Tambi´en se dice que el ´angulo inscrito de v´ertice A, subtiende la cuerda BC. Su correspondiente ´angulo central es ∠BOC, siendo O el centro de la circunferencia. 1 La definici´ on matem´ atica rigurosa de recta tangente a una curva es la que se hace en c´ alculo diferencial usando el concepto de l´ımite.

73

CAP´ITULO 5. EL C´IRCULO Y POL´IGONOS REGULARES

74

sector circular

recta tangente A

A

D

B recta secante

radio O O C B ∠BAC = angulo inscrito ∠BOC = angulo del centro

(a)

(b)

B

segmento circular menor C O segmento circular mayor

(c)

Figura 5.1: La circunferencia y sus elementos Notaci´ on :

5.1.2

Una circunfencia de centro O y radio r la denotaremso por C(O, r).

Construcci´ on de una circunferencia que pasa por tres puntos no colineales A, B y C

Teorema 5.1.1 Dados tres puntos no colineales A, B, C, existe una u ´nica circunferencia que pasa por los tres puntos. Demostraci´ on: l2 simetral de AC

l1 simetral de AB C

A O

B

Sea l1 la simetral del trazo AB y l2 la simetral del trazo AC. Dado que las rectas que contienen los segmentos AB y AC no son paralelos, las simetrales se intersectan en un punto O. Por definici´on de simetral, se tiene que OA ∼ = OB ∼ = OC. Por lo tanto, la circunferencia de centro O y radio OA pasa por los tres puntos. 

5.1. LA CIRCUNFERENCIA

75

Comentario La demostracion del teorema es en el fondo la misma que para demostrar que las tres simetrales de los lados de un tri´ angulo son concurrentes. El punto de concurrencia, como hemos visto es el el centro de la circunferencia circunscrita al tri´angulo y se le llama circumscentro. Teorema 5.1.2 1. Una recta y una circunferencia se intersectan en a lo m´as dos puntos. 2. Dos circunferencias diferentes se intersectan en a lo m´as dos puntos. 3. Dadas dos circunferencias C1 (O1 , r1 ) y C2 (O2 , r2 ) tales que 0 < |r1 − r2 | < O1 O2 < r1 + r2 , ellas se intersectan en exactamente dos puntos sim´etricos con respecto a la recta que pasa por los centros. Demostraci´ on: 1. Sean una recta l y una circunferencia C(O, r). Consideremos los n´ umeros r y d = d(O, l); aplicando tricotomia, tenemos: d > r Como OP es el segmento de menor longitud entre O y los puntos de l, la intersecci´on entre la recta y la circunferencia es vac´ıa. d = r Sea P tal que OP = r. Nuevamente, por ser OP el segmento de menor longitud entre O y los puntos de l, cualquier punto Q distinto a P ∈ l, es tal que OQ > r. Por lo tanto, P es el u ´nico punto com´ un. √ d < r En este caso, r2 − d2 > 0 y r2 − d2 ∈ R+ . Aplicando el axioma de continuidad, en cada √ semirrecta de l con punto inicial P , existe un u ´nico punto Q tal que P Q = r2 − d2 . Del teorema de Pit´ agoras, se deduce que los puntos Q ∈ C(O, r). Del mismo axioma, se tiene que no pueden haber m´ as de dos puntos.  2. Sean C1 (O1 , r1 ) y C2 (O2 , r2 ) dos circunferencias cualesquiera del plano. si ellas coinciden en tres o m´ as puntos, de acuerdo al teorema (5.1.1), ellas coinciden. Por lo tanto, a lo m´as pueden tener dos puntos comunes. 3. La hip´ otesis nos dice que las tres longitudes satisfacen la desigualdad triangular. Por lo que existe un tri´ angulo de lados O1 O2 , r1 , r2 y v´ertices O1 , O2 , A. El punto A pertenece a ambas circunferencias. Si trazamos por A la recta perpendicular a (O1 O2 ), obtenemos un punto I que pertenece a (O1 O2 ). Por axioma de copia de segmento, existe al lado opuesto de A con respecto a la recta (O1 O2 ) un punto B tal que AI ∼ = BI. Usando la congruencia de tri´angulos, obtenemos que B pertenece a ambas circunferencias. 

A

O1

I

O2

B

5.1.3

Ejercicios

1. (a) ¿Qu´e sucede si los tres puntos del teorema (5.1.1) est´an en l´ınea recta?

CAP´ITULO 5. EL C´IRCULO Y POL´IGONOS REGULARES

76

(b) ¿Qu´e sucede si dos puntos de los tres puntos coinciden? (c) Qu´e sucede si los tres puntos coinciden? 2. Demuestre que el segmento que une el centro de una circunferencia con el punto medio de una cuerda que no es un di´ ametro, es perpendicular a la cuerda. 3. Demuestre que el segmento que va desde el centro y es perpendicular a una cuerda, bisecta a la cuerda. 4. Pruebe que si dos cuerdas de una circunferencia son congruentes, entonces ellas equidistan del centro. Es decir, los segmentos trazados desde el centro perpendiculares a las cuerdas son congruentes. 5. Pruebe que si dos cuerdas de una circunferencia equidistan del centro, entonces ellas tienen las misma longitud, o lo que es lo mismo, las cuerdas son segmentos congruentes.

5.1.4

´ Angulos inscritos

Teorema 5.1.3 Todo ´ angulo inscrito en la circunferencia es la mitad del ´angulo central correspondiente. Demostraci´ on: Caso 1 En ´ angulo inscrito AP B contiene en su interior el centro de la circunferencia. ametro de la circunferencia. El 4OAP es is´osceles pues AO ∼ Sea P Q el di´ = OP ya que ambos son radios. Por esta raz´ on, los a´ ngulos basales ∠OP A y ∠OAP son congruentes. El ´ angulo exterior AOQ es congruente a ∠OP A + ∠OAP = ∠OP A. Usando el mismo razonamiento al tri´ angulo 4OP B se obtiene el resultado. Caso 2 El centro de la circunferencia est´ a en el exterior del ´angulo inscrito AP B. Usando las mismas ideas del caso 1, El ´angulo ∠QOB ∼ = 2∠AP O. Por lo tanto, = 2∠OP B y ∠AQO ∼ ∼ ∠QOB − ∠QOA = 2(∠OP B − ∠OP A). De aqu´ı se deduce que , ∠AOB ∼  = 2∠AP B.

P

O Q

A

O

P

B A Q B

(a) caso 1

(b) caso 2

Figura 5.2:

5.1.5

Problemas propuestos

1. Existen otras posibles figuras para ilustrar el teorema (5.1.3) como las que se muestran en la figura (5.3). Para cada una de ellas demuestre el teorema.

5.1. LA CIRCUNFERENCIA

77

Figura 5.3: Otros casos de ´angulos inscritos Teorema 5.1.4 A´ ngulos inscritos en una circunferencia que subtienden una misma cuerda son congruentes. Demostraci´ on: Sean ∠AP B y ∠AQB ´ angulos inscritos en una circunferencia de centro O que subtienden la cuerda AB. Sea ∠AOB el ´ angulo del centro, en virtud del teorema (5.1.3), se tiene: ∠AOB ∼ = 2∠AP B,

y

∠AOB ∼ = 2∠AQB.

Por transitividad de la congruencia se tiene el resultado buscado. Ejercicio



Compruebe el teorema en los tres casos:

1. (a) El ´ angulo inscrito es agudo. (b) El ´ angulo inscrito es recto. (c) El ´ angulo inscrito es obtuso. 2. En la figura 5.4, suponga que el di´ ametro de la circunferencia es 1. Demuestre que la longitud de la cuerda AB es sen α2 . 3. Usando la figura 5.5: (a) Demuestre que AC = 2r sen α, donde r es el radio de la circunferencia. (b) Si el tri´ angulo ABC es isosceles de base AB , escriba el per´ımetro del tri´angulo en funci´on de α.

C

A O

O α α B

A

B

Figura 5.4: Figura 5.5:

5.1.6

Propiedades fundamentales de la tangente a una circunferencia

Teorema 5.1.5 Si OP es un radio de una circunfencia con centro O y l es una recta que pasa por P y es ⊥ a OP , entonces l tiene exactamente un punto en com´ un con la circunferencia.

CAP´ITULO 5. EL C´IRCULO Y POL´IGONOS REGULARES

78

Demostraci´ on: Supongamos que existe otro punto Q, distinto de P tal que Q ∈ l y Q en la circunferencia. Entonces, OP ∼ = OQ. Lo que implica que el tri´angulo OP Q es is´osceles y, por lo tanto, los ´angulo basales con congruentes. Por hip´ otesis, el ∠OP Q es recto, por lo tanto ∠OQP tambi´en es recto, lo que contradice el teorema de la suma de los ´ angulos de un tri´angulo. 

P

O O P

Q

R

Teorema 5.1.6 Una recta tangente l a una circunferencia en un punto P es ⊥ al radio que contiene a P .

Demostraci´ on: Supongamos que OP no es perpendicular a l. Sea OQ el segmento perpendicular a l. Sea R ∈ l tal que RQ ∼ = QP . Aplicando el teorema de congruencia LAL, se tiene que 4OQR ∼ = 4OQP , en particular OP ∼ = OR. Lo que implica que R pertenece a la circunferencia, contradice el teorema (5.1.5). Por lo tanto, OP ⊥ l.  Teorema 5.1.7 Los segmentos tangentes trazados a una circunferencia desde un punto fuera de ella, son congruentes. Demostraci´ on: A Por propiedad del radio y la tangente, los 4ABO y 4AOC son rect´ angulos y se cumple que OC ∼ = OC y OA ∼ = OA. Usando el teorema de Pit´ agoras se tiene la congruencia del tercer lado. 

B O

C

Teorema 5.1.8 En un c´ırculo, si una recta BC es tangente en un punto A que est´a entre B y C, AP y AD son cuerdas, entonces ∠AP D ∼ = ∠DAC. Demostraci´ on:

5.1. LA CIRCUNFERENCIA

79

Sea AE di´ ametro, entonces 4ADE es rect´ angulo en D. Por ser tangente BC es perpendicular a AE, entonces: ∠1 + ∠2 ∼ = ∠recto y ∠α + ∠2 ∼ = ∠recto. Uando transitividad, tenemos que ∠α ∼ = ∠1. Por otra parte, ∠1 ∼ = ∠β, ya que subtienden el mismo arco. Nuevamente, por transitividad, tenemos que ∠α ∼  = ∠β.

E D

1 P β 2 α A

B

C

Teorema 5.1.9 Si por un punto situado fuera de una c´ırculo, se trazan una tangente y una secante, la tangente es media proporcional geom´etrica entre la secante y su segmento exterior. Demostraci´ on: 4ACD ∼ 4DAB, pues: ∠A ∠C

∼ = ∠A ∼ = ∠DBA, Teorema ??.

C

B

2

A

As´ı, los tri´ angulos tienen todos sus angulos congruentes y por lo tanto, son ´ semejantes. En particular, tienen sus lados proporcionales:

1 D

AD AB = . AD AC 

A B C

D

5.1.7

Tangencia de circunferencias

Teorema 5.1.10 Si P es el punto de tangencia de dos circunferencias entonces P est´a en la recta que une los centros. Demostraci´ on: Ejercicio.

CAP´ITULO 5. EL C´IRCULO Y POL´IGONOS REGULARES

80

O

P

O0

(a) Tangencia exterior

P

O

O0

(b) Tangencia interior

Figura 5.6: Tangencia de circunferencias

5.2

5.2.1

Pol´ıgonos convexos regulares

Disecci´ on de un pol´ıgono en tri´ angulos

Este tema es importante en el c´ alculo de ´ areas de pol´ıgonos. Seguiremos la presentaci´on de (?), tomo I.

Definici´ on 5.2.1 Un v´ertice V de un pol´ıgono P, se dice v´ertice saliente si existe una recta que separe dicho v´ertice de todos los dem´ as.

Teorema 5.2.1 Un pol´ıgono tiene al menos dos v´ertices salientes.

Demostraci´ on: Sea el pol´ıgono P de v´ertices V1 V2 . . . Vn y l una recta que no pasa por ning´ un v´ertice. Llamaremos Ai j los puntos de intersecci´ on de l con las rectas Vi Vj , i 6= j. Se deja al lector identficar estos puntos en la figura 5.7. Desde cada v´ertice Vi se traza la perpendicular a l, lo que determina sobre l los puntos Bi . En l se elige un punto O, distinto de cada Ai j, de modo que todos los Bi esten al mismo lado de O. Por O se traza la perpendicular p a l, los rayos OVi quedan todos a un mismo lado de p. POr lo tanto, dos de estos rayos, OVI y OVJ forman un ´ angulo que contiene en su interior a los dem´as rayos. Los v´ertices VI y VJ son v´ertices salientes. 

5.2. POL´IGONOS CONVEXOS REGULARES

81

V3

B4 B3

V4

B2

V2

B1

O

V1

Figura 5.7: V´ertices salientes de un pol´ıgono

Teorema 5.2.2 Un pol´ıgono tiene al menos tres v´ertices salientes. Demostraci´ on: Aplicando el teorema anterior, existen al menos dos v´ertices salientes VI y VJ . Eligiendo un lado de la recta VI VJ en que hayan otros v´ertices, se traza una recta m paralela a VI VJ y que sea diferente de cualquier recta que pase por dos v´ertices del pol´ıgono y que haya v´ertices hacia al lado contrario de VI VJ . ahora se aplica el mismo procedieminto que en teorema anterior usando m en lugar de l. Lo que conduce a la existencia de v´ertices salientes del pol´ıgono a ambos lados de m. Al menos uno de ellos es distinto de VI y VJ y no colineal con ellos.  Teorema 5.2.3 Un pol´ıgono de n lados puede dividirse en (n−2) tri´angulos cuyos v´ertices son v´ertices del pol´ıgono. Demostraci´ on: Usando inducci´ on. El teorema se verifica para n3. Supongamos que el teorema se verifica para cualquier pol´ıgono con menos de k lados de v´ertices V1 , . . . Vk . Aplicando los resultados anteriores, existe un v´ertice saliente VI . Al trazar el segmento VJ−1J+1 se tienen dos casos posibles. Caso 1 El segmento VJ−1J+1 disecta a P en un triangulo y un pol´ıgono Q de k − 1 lados cuyos v´ertices son los de P. Usando la hipotesis de inducci´on, Q se puede disectarse en (k − 1) − 2 triangulos cuyos v´ertices son los de Q. Por lo tanto, P. se puede disectarse en 1 + (k − 1) − 2 triangulos cuyos v´ertices son los de P. Caso 2 Existe al menos un v´ertice en el interior del tri´angulo 4VJ−1 VJ VJ+1 . Se une VJ con cada v´ertice que esta en el 4VJ−1 VJ VJ+1 o en su interior. Sea el segmento VJ V∗ el m´as cercano a VJ VJ+1 . Entonces, el segmento VJ V∗ disecta a P en dos pol´ıgonos S y R que tienen r y s lados, respectivamente, en que se cumple r + s = k + 2 y cuyos v´ertices son los del pol´ıgono P. Usando la hip´otesis de inducci´ on, S y R pueden disectarse en r − 2 y s − 2 tri´angulos cuyos v´ertices son v´ertices de S y R, respectivamente. De donde se deduce que P, se puede disectar en (r − 2) + (s − 2) = k − 2 tri´angulos cuyos v´ertices son exactamente los de P. 

CAP´ITULO 5. EL C´IRCULO Y POL´IGONOS REGULARES

82 B

VJ D C B F F VJ−1

VJ+1 H

A

E

(a) Caso 1

A

G

(b) Caso 2

Figura 5.8: Disecci´on de pol´ıgonos Teorema 5.2.4 ˆ La suma de los ´ angulos interiores de un pol´ıgono es (n-2) ´angulos extendidos. ˆ La suma de los ´ angulos exteriores de un pol´ıgono es de dos ´angulos extendidos.

Demostraci´ on: Es consecuencia de la propiedad de los ´angulos interiores de un tri´angulo y del hecho que cada pol´ıgono puede ser disectado en n − 2 tri´angulos.  Definici´ on 5.2.2 Un pol´ıgono se dice: ˆ simple si los lados adyacentes tienen en com´ un solamente un v´ertice y lados no adyacentes no tiene puntos comunes. ˆ convexo si todo segmento, distinto de los lados, con extremos en el pol´ıgono contiene solo puntos del interior(con excepci´ on de los extremos). ˆ regular si todos sus lados y todos sus ´ angulos son congruentes. ˆ cruzado si al menos dos lados no adyacentes tiene un punto com´ un.

Comentario

Todo pol´ıgono convexo es simple.

Definici´ on 5.2.3 Se llama diagonal de un pol´ıgono al segmento que une dos v´ertices no consecutivos. Definici´ on 5.2.4 Dos pol´ıgonos, calP 1 y calP 2 , se dicen semejantes si cada ´angulo de calP 1 es congruente con un angulo de calP 2 y los lados correpondientes de los ´angulos congruentes son proporcionales. ´

Ejemplo Todos los cuadrados son semejantes. Comentario En el caso que el pol´ıgono tenga n lados, con n > 3, no existe un criterio que solo se deba cumplir con igualdad de ´ angulos. Porque en tal caso todos los rect´angulos ser´ıan semejantes. Tampoco basta la proporcionalidad de lados, pues esto implicar´ıa que todos los rombos son semejantes.

5.2. POL´IGONOS CONVEXOS REGULARES

83

Teorema 5.2.5: Teorema Fundamental Dos pol´ıgonos regulares convexos son semejantes si y s´olo si ellos tienen el mismo n´ umero de lados. Demostraci´ on: (⇒) Si dos pol´ıgonos son semejantes, entonces sus ´angulos son congruentes y los lados respectivos son proporcionales. Por tanto, el n´ umero de lados es el mismo. Sean ABCD . . . y A0 B 0 C 0 D0 . . . dos pol´ıgonos regulares. Por ser regulares, se tiene que: AB ∼ = BC ∼ = CD ∼ = .... A0 B 0 ∼ = B0C 0 ∼ = C 0 D0 ∼ = .... Por tanto, se cumple que: BC CD AB = 0 0 = 0 0 = .... A0 B 0 BC CD (⇒) Por contradicci´ on, supongamos que los pol´ıgonos no son semejantes. En tal caso lo que no puede cumplirse es la congruencia de a´ngulos. Supongamos que ∠A no es congruente con ∠A0 . Por tricotom´ıa, se debe cumplir que ∠A > ∠A0 ´o ∠A < ∠A0 . Supongamos que se tiene ∠A < ∠A0 . Como cada pol´ıgono es regular, la desigualdad se da para todos los ´angulos y adem´as se tiene que ∠ exterior en A > ∠ exterior en A0 y sumando la totalidad de los ´angulos exteriores, se llega a: X X angulos exteriores de P > ´ ´angulos exteriores de P’ , lo que implica, 2∠extendido >

X

∠exteriores de P’ .

Lo cual es una contradicci´ on.



Definici´ on 5.2.5 Un pol´ıgono est´ a inscrito en una circunfencia si todos sus ´angulos est´an inscrito en la circunferencia. Tambi´en se dice que la circunferencia circunscribe al pol´ıgono. Teorema 5.2.6 Existe un u ´nico c´ırculo circunscrito a un tri´angulo. Su centro es el punto de intersecci´on de las simetrales de los lados del tri´ angulo. Demostraci´ on: El problema es equivalente a construir la circunferencia que pasa por tres puntos.  Un tri´ angulo siempre puede inscribirse en una circunferencia, en cambio esto no sucede para un cuadril´ atero. Teorema 5.2.7 Un cuadril´ atero convexo es inscriptible en una circunferencia si y s´olo si la suma de los ´angulos opuestos es un ´ angulo extendido. Demostraci´ on: (=⇒) Supongamos que el cuadril´ atero ABCD est´a inscrito en una circunferencia. El ´angulo del centro de ∠ABC es α y el ´ angulo del centro de ∠ADC es β. Aplicando el teorema (5.1.3) , se tiene: α = 2 ∠ABC β = 2 ∠ADC, entonces α + β = 2 ∠ABC + 2 ∠ADC 2 ∠(extendido) = 2 ∠ABC + 2 ∠ADC

CAP´ITULO 5. EL C´IRCULO Y POL´IGONOS REGULARES

84 Por lo tanto

∠ABC + ∠ADC = ∠(extendido). (⇐=) Ahora se debe demostrar que si los ´ angulos opuestos de un cuadril´atero son suplementarios, entonces sus v´ertices est´ an sobre una circunferencia. Como por tres puntos no colineales pasa una u ´nica circunferencia, consideremos la que pasa por A, B, C. Ahora, consideremos dos casos. El punto A queda fuera de la circunferencia.Sea EBCD el cuadril´atero inscrito. Seg´ un la primera parte de este teorema, los ´ angulos opuestos son suplementarios.Entonces: ∠BCD + ∠BED ∼ = ∠(extendido) ∼ ∠(extendido), ∠BCD + ∠BAD =

por hip´otesis ∼ ∠BCD + ∠BAD = ∠BCD + ∠BED, transitividad de la congruencia ∠BAD ∼ = ∠BED, resta de ´angulos congruentes

Por lo tanto, A pertenece a la circunferencia. 

A E

D A

E D

C

B C

B

Figura 5.9: Cuadril´atero inscriptible Teorema 5.2.8 Existe un u ´nico c´ırculo que circunscribe un pol´ıgono regular. Demostraci´ on: Dado un pol´ıgono regular de n lados y v´ertices A, B, C, . . ., la circunferencia que lo circunscribe, es la circunferencia que circunscribe al tri´ angulo ABC. Sea O el centro se dicha circunferencia. Por construcci´on, tenemos que: OA = OB = OC = r. Demostraremos que OD = r. ∠2 ∼ = ∠3 ∼ ∠ABC = ∠BCD

El tri´ angulo BCO es is´osceles

AB ∼ = BC ∼ ∠1 = ∠4 4OAB ∼ = 4ODC

Pol´ıgono regular

OD ∼ = OA OD = r.

D

Pol´ıgono regular O

suma y resta de ´ angulos congruentes LAL

4 C 3

A 1 2 B



5.2. POL´IGONOS CONVEXOS REGULARES

85

Definici´ on 5.2.6 Una circunferencia se dice inscrita en un pol´ıgono si es tangente a cada uno de los lados del pol´ıgono. Tambi´en se dice que el pol´ıgono circunscribe al c´ırculo.

O

Figura 5.10: Pol´ıgono regular inscrito y circunscrito

Teorema 5.2.9 Existe una u ´nica circunferencia inscrita en cada pol´ıgono regular. En el caso del tri´angulo el centro es el punto de intersecci´ on de las bisectrices de los ´angulos del tri´angulo. Demostraci´ on: Usando el teorema 5.2.8, sea O el centro de la circunferencia que circunscribe al pol´ıgono regular de v´ertices A, B, C, . . .. Sea AB el lado del pol´ıgono y M el punto medio del lado. El segmento OM es perpendicular a AB. Ahora, la circunferencia de centro O y radio OM es tangente a AB en M . Sea N el punto medio del lado a BC. Las tri´angulos OM B y OBN son rect´angulos con dos lados congruentes, usando el teorema de Pit´ agoras se tiene la congruencia de ellos, en particular se concluye que OM ∼ = ON . siguiendo con el mismo razonamiento, tenemos que la circunferencia de centro O y radio OM es la circunferencia inscrita en el pol´ıgono.  Definici´ on 5.2.7 El centro de un pol´ıgono regular es el centro del c´ırculo inscrito y circunscrito al pol´ıgono. Se llama apotema de un pol´ıgono regular es la longitud del segmento OM que va desde el centro al punto medio del lado. El radio de un pol´ıgono regular es el radio del c´ırculo circunscrito. La diferencia entre el radio y el apotema se llama sagita. Un ´ angulo central de un pol´ıgono regular es un angulo con v´ertice en el centro, cuyos lados contienen v´ertices consecutivos del pol´ıgono. ´

A

O es el centro del pol´ıgono inscrito O

B

AO es el radio del pol´ıgono inscrito BO es el apotema del pol´ıgono inscrito

Teorema 5.2.10 Todo triangulo es circunscribible en una circunferencia. Demostraci´ on: Dado un tri´ angulo ABC existe la circunferencia inscrita en ´el, cuyo centro es el punto de concurrencia de las bisectrices. 

CAP´ITULO 5. EL C´IRCULO Y POL´IGONOS REGULARES

86 Teorema 5.2.11

Un cuadril´ atero es circunscribible en una circunferencia si y s´olo si la suma de los lados opuestos es igual a la suma de los otros dos. Demostraci´ on: (=⇒) Sea ABCD un cuadril´ atero circunscrito en una circunferencia de centro O y sean E, F, G, H los puntos de tangencia. Seg´ un el teorema 5.1.7 se concluye que: AF ∼ = AF BE ∼ = BF CE ∼ = CH ∼ DG DH = Por axioma de suma de segmentos congruentes, se tiene AB + CD ∼ = AF + F B + CH + HD ∼ AG + BE + EC + DG = ∼ = (AG + GD) + (BE + EC) ∼ = AD + BC

B

E C

O

H

D G

F A

(⇐=)

Definici´ on 5.2.8 Se llama per´ımetro de un pol´ıgono a la suma de las longitudes de sus lados.

Teorema 5.2.12 Los per´ımetros de pol´ıgonos regulares, con el mismo n´ umero de lados, son proporcionales a sus radios o apotemas. Sean P y P 0 pol´ıgonos regulares con n lados y per´ımetros p y p0 respectivamente, entonces se cumple: p r a = 0 = 0. p0 r a Demostraci´ on:

´ 5.3. AREA Y PER´IMETRO DE UNA CIRCUNFERENCIA.

Q

A

r

B

87

4AOQ ∼ 4A0 O0 Q0 . Por lo tanto, r a AQ = 0 = 0 0. r0 a AQ Por otra parte,

a r

p 0

O

=

p = r a p = 0 = 0. p0 r a

nAB = 2nAQ nA0 B 0 = 2nA0 Q0

Teorema 5.2.13 El ´ area de un pol´ıgono regular es igual a la mitad del producto del apotema por el per´ımetro. Si denotamos por a = el apotema y por p = al per´ımetro, tenemos: 1 Apol´ıgono regular = a · p. 2 Demostraci´ on: Teorema 5.2.14 Las ´ areas de dos pol´ıgonos regulares con el mismo n´ umero de lados son proporcionales a los cuadrados de sus radios o a los cuadrados de sus apotemas.

5.3

´ Area y Per´ımetro de una circunferencia.

En el camino que hemos seguido en la definici´on de ´area y sus formas de c´alcularlas, hemos visto que el resultado b´ asico es el ´ area de un rect´ angulo y los teoremas A-2 y A-3. Resulta f´acil decir que queremos asignar un n´ umero a la regi´ on del plano encerrada por la circunferencia, pero no resulta evidente el c´omo calcularla....¿Cu´ al es una buena unidad de medida? ¿Un cuadrado? ¿Una circunferencia? Es evidente que no sirven para medir tal tipo de superficie. En rigor lo que se hace es calcular dicha ´area por un proceso de paso al l´ımite que intuitivamente puede comprenderse, pero que, su justificaci´on,desde el punto de vista l´ ogico, requiere del concepto de l´ımite. La idea es inscribir dentro del c´ırculo pol´ıgonos regulares que en cada etapa tengan el doble de lados que el anterior. Cuando este proceso se aplica una infinidad de veces, tendremos pol´ıgonos regulares cuyos lados son cada vez m´as peque˜ nos y cuya ´area puede ser calculada. Pero, ¿Cu´ ando ´el ´ area encerrada por estos pol´ıgonos es igual a la encerrada por la circunferencia? Con este m´etodo Arqu´ımedes (287 -212 a.C.),logr´o calcular un valor aproximado de π que lo coloca entre 10 10 3 y 3 , lo que da un valor de este famoso n´ umero con dos decimales exactos. 71 70 El libro de Arqu´ımedes ”Medida de un c´ırculo” consiste de tres proposiciones: 1. El ´ area de un c´ırculo es igual al ´ area de un tri´angulo rect´angulo de base igual a la longitud de la circunferencia y altura igual al radio. 2. El ´ area de un c´ırculo es al cuadrado de su di´ametro como 11 es a 14. 3. La raz´ on de la circunferencia de cualquier c´ırculo a su di´ametro es menor que

22 223 y mayor que . 7 71

La proposici´ on 1, la prueba con el m´etodo de exhausti´on. Aproxima el ´area del c´ırculo de dos formas: ˆ Inscribiendo sucesivamente pol´ıgonos regulares doblando la cantidad de lados en cada etapa, comenzando con un cuadrado. ˆ Circunscribiendo una cantidad similar de pol´ıgonos regulares comenzando con un cuadrado.

CAP´ITULO 5. EL C´IRCULO Y POL´IGONOS REGULARES

88

La proposici´ on 3, es una aproximaci´ on aritm´etica de π. El m´etodo consiste en calcular el per´ımetro de ds pol´ıgonos regulares de 96 lados, uno inscrito y el otro circunscrito en un c´ırculo. En este c´alculo Arqu´ımedes usa el hecho que 1351 265 √ < 3< . 153 780 No se sabe como obtuvo esta acotaci´ on. Teorema 5.3.1 Sea an el apotema de un pol´ıgono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio r, entonces an tiende a r, cuando n −→ +∞. Demostraci´ on: Sean A y B dos v´ertices consecutivos de un pol´ıgono regular de n lados, apotema an y radio r.El tri´angulo AOM , donde O es el centro del pol´ıgono y M el punto medio de AB, es rect´angulo, por lo que vale la expresi´ on pitag´ orica: s AB an = r2 − . 2 Considerando que si n −→ +∞, entonces

AB 2

tiende a cero, tenemos completa la demostraci´on.



Teorema 5.3.2 Si C es una circunferencia de radio r y dado un n´ umero ε > 0 , existe un pol´ıgono regular P inscrito en C de modo que ´ ´ Area(C) − Area(P ) < ε. (5.1) Demostraci´ on: Sea P0 = A0 B0 C0 D0 un cuadrado inscrito en la circunferencia C y sea ∆0 = A(C) − A(P0 ). Sea P1 el oct´ agono inscrito en la circunferencia C(r) obtenido doblando el n´ umero de lados de P0 y sea ∆1 = A(C) − A(P1 ). Procediendo inductivamente, en la etapa n, se tiene un pol´ıgono Pn de 2n+2 lados regular inscrito en la circunferencia y ∆n = A(C) − A(Pn ). Entonces se cumple que ∆n ∆n − ∆n+1 > . (5.2) 2 En efecto: ∆0 − ∆1 = ´ area(P1 ) − ´ area(P0 ) = 4 ´area(4A0 B0 E1 ) = 2 ´area rect´angulo(A0 B0 B1 A1 )

_

> 2´ area sector( B0 E1 A0 ) = =

1 _ · 4 ´area sector( B0 E1 A0 ) 2

1 1 [A(C) − A(P0 )] = ∆0 . 2 2

Con un razonamiento ´ analogo se obtiene que la ecuaci´on (5.2) se cumple para todo n ∈ N.



Definici´ on 5.3.1 En las condiciones del teorema 5.3.2, se define: ˆ (i) El per´ımetro de una circunferencia de radio r como l´ım pn . n→+∞

ˆ (ii) El ´ area de una circunferencia de radio r como l´ım An . n→+∞

Denotaremos, respectivamente, por pC(r) y AC(r) el per´ımetro y el ´area de una circunferencia de radio r.

´ 5.3. AREA Y PER´IMETRO DE UNA CIRCUNFERENCIA.

89

Teorema 5.3.3 Dadas dos circunferencias de radio r y r0 , se tiene que: pC(r) 2r r = 0 = 0. pC(r0 ) r 2r Demostraci´ on: Sean pn y p0n los per´ımetros de pol´ıgonos regulares de n lados inscritos en una circunferencia de radio r y r0 respectivamente. De la definici´ on de per´ımetro de una circunferencia, sabemos que: pC(r) = pC(r0 )

l´ım pn

n→+∞

l´ım p0n

n→+∞

= l´ım

n→+∞

pn r r = l´ım 0 = 0 . n→+∞ r p0n r

Este teorema, en particular, nos dice que la raz´on entre la longitud de una circunferencia y su di´ametro es igual para cualquier circunferencia. pC(r) pC(r0 ) . = 2r 2r0 En virtud de este resultado, es que la siguiente definici´on tiene sentido. Definici´ on 5.3.2 Se denota por la letra π a la raz´ on entre el per´ımetro y el di´ametro de una circunferencia.

Per´ımetro del c´ırculo de radio r =L´ımite de los per´ımetros de los pol´ıgonos regulares de n lados inscritos en el c´ırculo cuando n crece indefinidamente Pc´ırculo de radio r = 2πr = πd

´ Area del c´ırculo =L´ımite de las ´ areas de los pol´ıgonos regulares de n lados inscritos en el c´ırculo cuando n crece indefinidamente Ac´ırculo de radio r = πr2 Ejercicio 1. OM ⊥ AB. 2. AB = 2r sen

α 2




.

3. El valor de α. 4. Denotando por An el ´ area del pol´ıgono regular inscrito de n lados, se tiene que π π An = nr2 sen cos . n n 5. Deduzca la f´ ormula de An cuando ´esta representa el ´area del pol´ıgono regular circunscrito de n lados,

CAP´ITULO 5. EL C´IRCULO Y POL´IGONOS REGULARES

90

A

r

AM ∼ = BM

M

AB = 2r sin

α O

5.3.1

α 2




B

r

Breve historia del n´ umero π

Para los griegos π es la raz´ on entre la longitud de la circunferencia, lc y su di´ametro d. π=

lc d

Es decir, es una constante de proporcionalidad, que fue calculada de manera aproximada como ya lo hemos descrito. Al parecer no llegaron a saber m´as de este n´ umero. 377 , en su famoso libro ˆ En el a˜ no 150 d. C. Tolomeo de Alejandr´ıa di´o otra aproximaci´on de π ≈ 120 Almagesto. ˆ En el 480, mec´ anicos chinos obtienen la aproximaci´on de π ≈

ˆ En el 530, el hind´ u Aryabhata obtiene que π ≈

355 . 113

62, 832 . 20

ˆ En 1150, el hind´ u Bhaaskara, dio varias aproximaciones . ˆ En 1579, el franc´es Fran¸cois Vieta, usando un pol´ıgono de 393.216 lados calcul´ o π con 9 decimales exactos. ˆ En 1737 Euler comienza usar el s´ımbolo π para la constante de proporcionalidad que simboliza hoy . Antes fue usado por los ingleses para designar el per´ımetro del c´ırculo. ˆ En 1767, J.H. Lambert demostr´ o que π es irracional. ˆ En 1882, F. Lindemann demostr´ o que π es un n´ umero transcendental. Es decir, que no es ra´ız de ninguna ecuaci´ on algebraica con coeficientes enteros. Ver (?).

5.4

Mediciones de ´ angulos

Recordemos que denotamos, respectivamente, por pC(r) y AC(r) el per´ımetro y el ´area de una circunferencia de radio r.

´ 5.4. MEDICIONES DE ANGULOS

91

Definici´ on 5.4.1

_

ˆ Llamaremos sector circular AB a la regi´ on que est´a dentro o sobre la circunferencia de radio r que es interior o que est´ a sobre del ´angulo central AOB. En este caso, tambi´en se

_

dice que el sector AB subtiende el ´angulo AOB.

_

ˆ Llamaremos arco circular AB a la intersecci´ on del respectivo sector circular con la circunferencia. ˆ Si el ´ angulo central AOB es extendido, no tiene interior ni exterior, en tal caso de llama sector semicircular a los puntos que est´an en uno de los lados de AB o sobre AB.

_

¿C´ omo medir la longitud de un arco circular AB ? Adaptando la misma idea que permiti´ o definir el per´ımetro de una circunferencia. Definici´ on 5.4.2

_

Diremos que el punto C sobre el arco circular AB es el punto medio de ´este si y s´olo si ]AOC ∼ = ]COB.

L1 = AB,

longitud del segmento AB

L2 = AC + CB

_

donde C es el punto medio del AB

L4 = AD + DC + CE + EB

_

_

donde D es el punto medio del AC y E es el punto medio del CB

L6 = .........................................

_

l´ım L2n = L = longitud del arco AB .

n→∞

Ejercicio: Demuestre que la sucesi´ on {Ln } es creciente y acotada superiormente. Teorema 5.4.1 Si en un c´ırculo dos ´ angulos centrales son congruentes, entonces los arcos subtendidos tienen la misma longitud. Teorema 5.4.2

_

Si {Ln } es una sucesi´ on de trayectorias poligonales inscritas en el sector circular AB y sn es la longitud del lado de la trayectoria Ln , entonces se cumple que : l´ım sn = 0

n→+∞

⇐⇒

l´ım Ln = L.

n→∞

CAP´ITULO 5. EL C´IRCULO Y POL´IGONOS REGULARES

92 Teorema 5.4.3

_

_

Si AB y BC son arcos adyacentes, entonces Longitud de

_

ABC = Longitud de

_

AB + Longitud de

_

BC .

El orden de los ´ angulos centrales lo heredan las longitudes de los arcos subtendidos por dichos arcos. Tambi´en se cumple el rec´ıproco. Teorema 5.4.4 Dos ´ angulos centrales son congruentes s´ı y s´olo si subtienden arcos de igual longitud. Teorema 5.4.5 Longitud de Longitud de

_ _ A0 B 0 AB

=

Longitud de r ⇐⇒ 0 r r

_

AB

=

Longitud de r0

_

A0 B 0

.

Teorema 5.4.6 Dada una circunferencia de radio r y dado un n´ umero L ∈ R+ , L ≤ longitud L.

πr 2 ,

_

existe un arco AB con

Definici´ on 5.4.3 2πr se dice que le corresponde un 1. Dada una circunferencia de radio r, un arco de longitud 360 angulo central de un grado, lo que denotaremos por el s´ımbolo 1°. ´ 2. Un ´ angulo central que subtiende un arco de longitud L tiene medida en grados de

180L . rπ

3. La medida en grados, de un arco subtendido por un ´angulo central, es igual a la medida del angulo central.La medida de un arco exterior al un a´ngulo central es igual a 360 menos la ´ medida en grados del ´ angulo central. 4. Un ´ angulo central mide un radian si subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. L 5. La medida de un ] en radianes es , donde L es la longitud del arco subtendido por el r angulo central en una circunferencia de radio r. ´

Observacion: Las medidas de ´ angulos no dependen de r. Teorema 5.4.7 Dos ´ angulos son congruentes s´ı y s´ olo s´ı tienen la misma medida.

Ejemplo: ¿C´ ual es la medida de un ´ angulo recto? En una circunferencia de radio r y tomamos dos di´ametros perpendiculares obtenemos 4 ´angulos centrales 2πr rectos cuya medida en radianes es y por lo tanto, un ´angulo recto mide π/2 radianes. r

´ 5.4. MEDICIONES DE ANGULOS

5.4.1

93

Medidas de referencia de ´ angulos

´ 1. Angulo inscrito o ´ angulo entre dos cuerdas que se intersectan en la circunferencia Es consecuencia directa del teorema 5.1.3.

_

AB ∠AV B = . 2

A

B

O V

´ 2. Angulo entre una cuerda y una tangente Es consecuencia inmediate del teorema 5.1.8. As´ı tenemos que:

_

AB ∠BAC = . 2

C B A

´ 3. Angulo entre dos cuerdas que se intersectan en el interior de la circunferencia La medida del ´ angulo ∠DP A se obtiene observando que: ˆ ∠DP A es ´ angulo exterior del 4P CD. Por tanto:

∠DP A = ∠C + ∠D. C

ˆ Cada ´ angulo inscrito es la mitad del respectivo angulo del centro. ´

_

AD ∠C = 2

_

y

BC ∠D = . 2

Por tanto,

_

∠DP A =

_

AD + BC . 2

D P A

B

CAP´ITULO 5. EL C´IRCULO Y POL´IGONOS REGULARES

94

´ 4. Angulo entre dos tangentes La medida del ´ angulo ∠BAC se obtiene del hecho que el 4ABC es is´ osceles. ∠A + ∠B + ∠C = 180◦ . ∠A = 180◦ − 2∠B, ∠B es un ´ angulo formado por una cuerda y una tangente

_

BC ∠A = 180 − 2 . 2

B

D

◦

α

_

BC 360◦ ∠A = −2 . 2 2

_

_

_

_

C

_

∠A =

BC + BDC BC −2 2 2

∠A =

BDC − BC . 2

A

´ 5.4. MEDICIONES DE ANGULOS

95

´ 5. Angulo entre dos secantes La medida del ´ angulo ∠A = ∠BAC se obtiene del hecho que γ es ´ angulo exterior del 4ABD. Por lo que:

C D

γ = α + β,

_ BC 2

. Por lo tanto,

2

_ BC

− 2

A

α

_ DE

=α+ α=

γ

_ DE

β

E

B

.

´ 6. Angulo formado por una secante y una tangente Considerando ∠CBD como ´ angulo exterior del 4ABD, tenemos: C ∠CBD = δ + α =⇒

_

_ CD 2

=

_ BD 2

B

γ

A

α

+ α,

_

δ

CD − BD α= . 2

D

Ejercicios: 1. En cada una de las figuras calcular el valor de x y de y. Las flechas en los trazos indican paralelismo. x°

120° Figura 1

2x°

W Figura 2 70°

72 ° V

Y

2x° x° X

XY k V W

3x°

5x°

2y ° Figura 3

2. Sea ABCD es un rect´ angulo cuyas diagonales se cortan en un punto I, de modo que AI > AB.Una circunferencia de centro A y radio AI intersecta una prolongaci´on de AB en E. Sabiendo que el angulo ]AIB es cuatro veces el ´ ´ angulo ]BIE, calcular ]BAC. Resp: 67° 3. Sea ABCD un trapecio en el que ]A = ]B = 60°y AD = DC = CB. Demostrar que las circunferencias de centros A y B y de radios AD y BC son tangentes. 4. Calcular el ´ angulo formado por las tangentes a una circunferencia trazadas desde un punto externo, sabiendo que que los radios correspondientes forman un ´angulo de 157 °42’ 3”. Resp: 22°7’ 57” 5. Sea ABCD un cuadril´ atero inscrito cuya diagonal AC es un diam´etro y ]BAC = 43°. Calcular ]ADB. Resp: 47° 6. Sea ABC un tri´ angulo inscrito en un c´ırculo y ]A = 120°, sea T un punto de la prolongaci´on de

_

_

BC tal que ]AT B = 30°y ]CAT = 15°. Determinar la raz´on entre los arcos AB y AC .Resp. 3 7. Sea ABCD un cuadril´ atero inscrito cuya diagonal AC forma con los lados AB, AD, y CD ´angulos de ]41 °, ]33 °,]63 °, respectivamente. Calcular:

CAP´ITULO 5. EL C´IRCULO Y POL´IGONOS REGULARES

96 (a) (b) (c) (d) (e)

Los arcos subtendidos por los lados del cuadril´atero ABCD. Los ´ angulos del cuadril´ atero. Los ´ angulos que la diagonal BD forma con los lados del cuadril´atero. Los ´ angulos formados por las diagonales AC y BD. El menor ´ angulo que la tangente en A forma con CD.

Resp.(a) 82,86,66,126.(b) 74,84,96,106.(c) 33,41,43,63.(d) 76,104.(e) 21. Todos medidos en grados. 8. En la figura, γ = 40°, determine si los puntos A,B,C,D pertenecen a una circunferencia, si: (a) α = 55° (b) α = 140°

C0

αA C γ B

D 9. Sean BE y CF alturas de un 4ABC. Si ^AEF = 65°, determine la medida de ^BCF . Resp: 25° 10. En el tri´ angulo ABC, AB = 2cm. y ^BCA = 30°. Encontrar el valor del radio de la circunferencia ABC. Resp:2 cm. 11. En la figura, BP es paralelo a la tangente AT ; ACP es una recta. Demuestre que ^ABP ∼ = ^ACB. A T C

B

5.4.2

P

Construcci´ on de pol´ıgonos regulares

Recordemos que cuando se habla de construcci´on en geometr´ıa euclidiana solamente debe usarse comp´ as y una regla no graduada. En estas condiciones no se puede construir cualquier pol´ıgono regular. Teorema sobre construcciones geom´ etricas Si comenzamos con un segmento de longitud 1, cualquier longitud que pueda ser construida con regla y comp´ as es un n´ umero algebraico de grado igual a una potencia de 2. Por esta raz´ on, la duplicaci´ on del cubo no es construible con regla y comp´as. En 1796, Gauss desarroll´ o una teor´ıa que le permiti´o demostrar que un pol´ıgono regular que tiene un n´ umero N de lados puede ser construido con herramientas euclidianas si y s´olo si :

´ 5.4. MEDICIONES DE ANGULOS

97

ˆ N = 2n . n

ˆ Si N es primo de la forma N = 22 + 1. n

k

ˆ Si N es un producto de factores 2n · (22 + 1)(22 + 1) . . ., en que los factores primos son distintos.

As´ı, en particular, se pueden construir los pol´ıgonos de 3,4,5 ,6 ,8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, ....lados. No pueden construirse los pol´ıgonos regulares de 7, 9, 11,13, 14, 18,19, 21, 22, 23, 25,....lados. Construcci´ on de pol´ıgonos inscritos 1. Inscribir en una circunferencia de radio r un cuadrado y calcular su lado en t´erminos r. Respuesta: Se trazan dos di´ ametros √ perpendiculares y se unen sus extremos. Demuestre que la figura obtenida es la pedida y que l = r 2. 2. Inscribir en una circunferencia de radio r un pol´ıgono regular de 8 lados y calcular su lado en t´erminos r. Respuesta:

l=r

p

2−

√

2.

3. Inscribir en una circunferencia de radio r un pol´ıgono regular de 16 lados y calcular su lado en t´erminos r. q Respuesta:

l=r

2−

p √ 2 + 2.

4. Construir un hex´ agono regular inscrito en una circunferencia dada. Calcular la longitud de su lado en funci´ on del radio de la circunferencia r. Comentario: Observe que un hex´ agono regular puede descomponerse en seis tri´angulos equil´ateros. A partir de este pol´ıgono , se puede inscribir los pol´ıgonos regulares de 12, 24, 48... lados. En general los de un n´ umero de lados igual a 3 · 2n , con n = 0, 1, 2, 3...... 5. Inscribir en una circunferencia de radio r un tri´angulo equil´atero y calcular su lado en t´erminos r. Respuesta:

√ l = r 3.

6. Para cada uno de los casos anteriores,use el correspondiente pol´ıgono inscrito para dar un valor aproximado de la longitud de la circunferencia y ´area de c´ırculo. Las valores aproximados ¿son aproximaciones por defecto o por exceso? Suponga que el radio r = 1 y obtenga diferentes aproximaciones de π.

CAP´ITULO 5. EL C´IRCULO Y POL´IGONOS REGULARES

98

7. Si ln es la longitud del lado de un pol´ıgono regular de n lados inscrito en una circunferencia de centro O y de radio r, demostrar que q p l2n = 2r2 − r 4r2 − ln2 .

Demostraci´ on: Afirmaci´ on Justificaci´on

1. En la figura, AB = ln y CB = l2n . El tri´ angulo 4CBD es rect´angulo en B.

. ........................................................

2. Los 4CBD y 4EBC son semejantes.

3.

4.

DC CB = . CB CE

.

l2n 2r = . l2n CE

5. CE = r − EO.

6. l(EO) =

7. l2n =

q

1p 2 4r − ln2 . 2

2r2 − r

p 4r2 − ln2 .

El pol´ıgono regular de cinco lados Para inscribir un pent´agono regular en una circunferencia de radio r, se debe resolver previamente el problema de dividir un segmento de modo que los subsegmentos est´en en la proporci´ on ´ aurea. Una vez solucionado esto , se contruye un pol´ıgono regular de 10 lados y a continuaci´ on uniendo los v´ertices uno por medio se obtiene el pent´agono inscrito. Se puede calcular
r √ que l10 = 5 − 1 . Por esta v´ıa se pueden inscribir los pol´ıgonos de un n´ umero de lados iguales a 5 · 2n . 2 La raz´ on ´ aurea: El segmento AB se divide en la proporci´on ´aurea si la longitud del segmento mayor es la media geom´etrica entre el segmento menor y AB. Es decir, si l(AB) = a + b y a < b, se debe cumplir que a b = . b a+b Construcci´ on geom´etrica. Dado un segmento AB. Desde B se levanta la ⊥ a AB y sobre esta perpendicular AB desde B se toma el segmento BC ∼ . Se une A con C. Se traza la circunferencia de centro C y radio = 2 BC, obteni´endose el punto D. Con centro A se describe el arco circular de radio AD, el punto E que este arco determina sobre AB es el que divide el segmento en la proporci´on ´aurea.

´ 5.4. MEDICIONES DE ANGULOS

99 C

D

A

E

B

Para entender porqu´e E es el punto pedido, se aplica el teorema ??, con secante AF , donde F es el punto que prolonga AC hasta cortar la circunferencia. Se obtiene en primera instancia que AF AB = . AB AD Por decomposici´ on de proporciones y construcci´on de la figura se obtiene lo buscado. Esta proporci´on es armoniosa desde el punto de vista de las formas, se usa est´etica y se encuentra en formas de la naturaleza. ” Para que un todo, dividido es partes desiguales, parezca hermoso desde el punto de vista de las formas, debe haber entre la parte menor y la mayor la misma raz´ on que entre la mayor y el todo.”(Zeyting, 1855) Construcci´ on del pol´ıgono regular de 10 lados : Sea A un punto sobre la circunferencia, se on aurea. Sea B el punto que determina tal divisi´on, si el segmento divide el radio AO en la proporci´ mayor es OB este es l10 .

100

CAP´ITULO 5. EL C´IRCULO Y POL´IGONOS REGULARES

Cap´ıtulo 6

Geometr´ıa anal´ıtica plana 6.1

Elementos de Geometr´ıa Anal´ıtica

Los dos conceptos fundamentales de la geometr´ıa anal´ıtica corresponden a la idea de Descartes de crear un m´etodo que pudiera aplicarse a la resoluci´on de todos los problemas de la geometr´ıa. Ellos son: ˆ El concepto de coordenada de un punto, lo que permite, como ya hemos visto en cursos de c´ alculo, representar en forma de curva plana ciertas ecuaciones algebraicas con dos inc´ognitas. ˆ El concepto de variable introducido en la expresi´ on de una ecuaci´on algebraica con dos inc´ognitas del tipo F (x, y) = 0, que permite mirar una ecuaci´on algebraica bajo otra perspectiva. Pues, si cada soluci´ on (x, y) de la ecuaci´ on se ve como un punto del plano, entonces el conjunto

{(x, y) : F (x, y) = 0} puede ser representado como una curva en el plano. As´ı, se obtiene la ventaja de poder aplicar m´etodos algebraicos a la resoluci´on de problemas geom´etricos y viceversa. Recordemos que en el siglo XVII, la geometr´ıa estaba en el mismo estado que la hab´ıan dejado los griegos de la Antiguedad, en cambio el ´ algebra hab´ıa sido desarrollada fuertemente por los ´arabes en la Edad Media e italianos en el siglo XVI, principalmente. La determinaci´ on de un punto en el plano fue descrita en la subsecci´on. Haciendo uso del sistema de coordenadas cartesianas estableceremos algunos resultados elementales de la geometr´ıa anal´ıtica.

Distancia entre dos puntos Sean P1 , P2 dos puntos del plano, con cordenadas (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) respectivamente. El tri´ angulo P1 QP2 es rect´angulo en Q, por teorema de Pit´agoras, tenemos que: 2

2

P1 P2 = P1 Q + QP2

2

si llamamos d a la distancia entre P1 y P2 , tenemos que d=

p (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 101

CAP´ITULO 6.

102

GEOMETR´IA ANAL´ITICA PLANA

P2

y2

P1

y1

0

Q

x1

x2

Figura 6.1: Distancia entre dos puntos Coordenadas de un punto que divide a un segmento seg´ un una raz´ on dada Dados los puntos P1 y P2 , queremos encontrar las coordenadas del punto P que divide el segmento P1 P2 en la raz´on m : n. Sean P1 = (x1 , y1 ); P2 = (x2 , y2 ) , P = (x, y) , ; Q = (x, y1 ) y R = (x2 , y). P2

y2

y

y1

P

R

S

P1

x1

x2

x

Figura 6.2: Raz´on Dada Los tri´ angulos P1 QP y P RP2 son semejantes, por tanto

x − x1 m = x2 − x n

de donde x=

nx1 + mx2 m+n

(6.1)

por otro lado y − y1 m = y2 − y n de donde y=

ny1 + my2 . m+n

(6.2)

Como un caso particular tenemos las coordenadas del punto medio de un trazo. Tomando m = n = 1 en las ecuaciones (6.1) y (6.2), obtenemos las coordenadas del punto medio del trazo P1 P2 : x=

x1 + x2 2

; y=

y1 + y2 . 2

Ecuaci´ on de la recta que pasa por dos puntos De los axiomas de la geometr´ıa euclidiana, sabemos que dos puntos diferentes determinan una u ´nica recta. Sean P1 = (x1 , y1 ) y P2 = (x2 , y2 ) puntos del plano que determinan la recta l y sea P = (x, y) un punto cualquiera de ella.

6.1. ELEMENTOS DE GEOMETR´IA ANAL´ITICA

103

P2

y2 P

y

y1

P1 Q

x1

x

R

x2

Del axioma de paralelismo y aplicando el teorema de Thales obtenemos que: 4P1 P2 R ∼ 4P1 P Q, por lo tanto, sus lados son proporcionales P2 R PQ x2 − x1 y − y1 = ⇐⇒ = . PR P1 Q y2 − y1 x − x1 De donde se deduce,

y − y1 =

x2 − x1 (x − x1 ). y2 − y1

Ecuaci´ on de la recta que pasa por dos puntos: y=

x2 − x1 (x − x1 ) + y1 . y2 − y1

(6.3)

x2 − x1 = K, es la constante de proporcionalidad que cumplen y2 − y1 todos los puntos de la recta. Por lo que, K no depende de los puntos en particular. Esto permite definir la inclinaci´ on de una recta. Comentario: El n´ umero

Definici´ on 6.1.1 Llamaremos pendiente o inclinaci´ on de una recta L, a la tangente del ´angulo α formado entre el semieje positivo de las x y la recta medido en la forma convencional en el sentido antihorario.

Lema 6.1.1 Sea l una recta no paralela al eje Y , de ecuaci´on y = ax que corta al eje X + en A y sea α el angulo formado por l y X + , α = ^XAB, donde B ∈ l de ordenada yB > 0. Entonces ´ tan α = a.

Demostraci´ on ˆ Caso 1 a > 0. El 4ABC es rect´ angulo en C y se toma C tal que AC = 1. BC a L a inclinaci´ on de l es tan α = = = a. 1 AC

CAP´ITULO 6.

104

GEOMETR´IA ANAL´ITICA PLANA

B

l

α A

C

ˆ Caso 2 a < 0 Se elige B y C tales que el 4ABC sea rect´angulo en C y AC = 1. Entonces,

BC = |pendiente de l| = −a. −a BC = = −a. 1 AC Como tan(π − α) = − tan α ⇒ tan α = a. tan(π − α) =

ˆ Caso 3 a = 0 l = OX, α = 0 ⇒ tan α = 0.



l l0 T

α

0

α

φ α

l α

´ (b) Angulo entre rectas

(a) Pendiente de una recta

Figura 6.3:

Definici´ on 6.1.2 Llamaremos ´ angulo formado por dos rectas l, l0 al ´angulo φ ∈ [0, π] formado por la diferencia de los respectivos ´ angulos α y α0 . Si en particular las rectas son paralelas tenemos que, l k l0 ⇐⇒ φ = 0 ⇐⇒ a0 = a. l ⊥ l0 ⇐⇒ φ =

π ⇐⇒ cotan φ = 0 ⇐⇒ a0 a = −1. 2

(6.4)

(6.5)

6.1. ELEMENTOS DE GEOMETR´IA ANAL´ITICA

105

´ Lema 6.1.2: Angulo formado por dos rectas

l = ax + b,

l0 = a0 x + b0 , a 6= a0 , l y l0 secantes.

φ = ^(l, l0 ), entonces a − a0 . tan φ = 1 + aa0 La definici´ on (6.1) nos dice que φ = α0 − α y usando las f´ormulas trigonom´etricas, tenemos: tan φ = tan(α0 − α) =

tan α0 − tan α . 1 + tan α0 tan α

(6.6)

Ecuaci´ on de una circunferencia Recordemos el concepto de lugar geom´ etrico como el conjunto de puntos del plano que satisfacen una cierta propiedad geom´etrica. Esta propiedad geom´etrica, gracias al sistema de coordenadas, puede ser expresada por una ecuaci´on algebraica satisfecha por las coordenadas de los puntos. Aunque la circunferencia es un caso particular de elipse, dado que la hemos estudiado en los cap´ıtulos anteriores, comenzaremos por ella. Sus principales propiedades geom´etricas pueden verse en el cap´ıtulo 5. Definici´ on 6.1.3 La circunferencia es el lugar geom´etrico de todos los puntos P del plano cuya distancia a un punto fijo C es constante. El punto fijo C se llama centro de la circunferencia y la constante la llamaremos el radio de la circunferencia. Sea P un punto de la circunferencia, entonces PC = r ,

r = constante.

Si P tiene coordenadas (x, y) y C tiene coordenadas (a, b), usando la f´ormula de la distancia, se obtiene la ecuaci´ on: (x − a)2 + (y − b)2 = r2 (6.7) que caracteriza la circunferencia de centro (a, b) y radio r. Encontrar la ecuaci´ on de una circunferencia de radio dado y tangente al eje Y en el origen. Soluci´ on: Seg´ un la ecuaci´ on (6.7), si (0, 0) pertenece a la circunferencia pedida, entonces a2 + b2 = r2 . Si el eje Y es tangente a la circunferencia entonces, el radio es ⊥ al eje Y y el centro est´a sobre el eje X. Por tanto, la coordenada b del centro vale 0. Para obtener el valor de la coordenada a usamos el hecho que la distancia entre el centro y el origen es r, lo que implica que a = r. As´ı, (x − r)2 + y 2 = r2 ⇐⇒ x2 + y 2 − 2rx = 0.

1.

1.

2.

−1.

Determinaci´ on de los puntos de intersecci´ on de dos curvas Como cada curva corresponde a una ecuaci´ on algebraica, tener dos curvas equivale a tener dos ecuaciones del tipo F (x, y) = 0, G(x, y) = 0. Como los puntos de intersecci´ on de las curvas deben satisfacer ambas ecuaciones, las coordenadas de tales puntos se encuentran resolviendo el sistema algebraico compuesto por las dos ecuaciones.

CAP´ITULO 6.

106

GEOMETR´IA ANAL´ITICA PLANA

Curvas representadas por ecuaciones de primer grado Teorema 6.1.3 Toda recta queda determinada por una ecuaci´on de la forma Ax+By+C = 0, A , B, C constantes. Rec´ıprocamente, toda ecuaci´ on de primer grado Ax + By + C = 0 representa una recta. Demostraci´ on: De la ecuaci´ on 6.3, tenemos y=

x2 − x1 (x − x1 ) + y1 ⇐⇒ (x2 − x1 )x − (y2 − y1 )y + (y1 y2 − y12 − x1 x2 − x11 ). y2 − y1

Haciendo: A = (x2 − x1 ) B = −(y2 − y1 ) C = y1 y2 − y12 − x1 x2 − x21 . De acuerdo a la observaci´ on 6.1 las contantes A, B, C son independientes de los puntos elegidos. Por lo tanto, se cumple el teorema. Ahora demostraremos la afirmaci´ on rec´ıproca. Sea la ecuaci´on de la curva Γ, Ax + By + C = 0. ˆ Si B = 0, entonces x = − C A , es decir x = K, con K constante, lo que representa una recta paralela al eje Y . ˆ Si B 6= 0. Si P1 = (x1 , y1 ) y Si P2 = (x2 , y2 ) son dos puntos que pertenecen a la curva , es f´ acil deducir queda

A y2 − y1 y2 − y1 = =− , para cualquier par de puntos distintos de Γ. B x1 − x2 x2 − x1 De lo visto anteriormente, se deduce que dicha constante, la pendiente, caracteriza la u ´nica recta que pasa por los puntos P1 y P2 . 

6.1.1

Curvas representadas por ecuaciones de segundo grado: las c´ onicas

La elipse, la par´ abola y la hip´erbola se llaman c´ onicas pues se obtienen de la intersecci´on de un plano con uno o dos conos. Las secciones c´ onicas fueron estudiadas por Apolonio (260 - 200 a.C.). Su estudio fue geom´etrico fue tan completo, que fue usado por Kepler (1571-1630), unos dos mil a˜ nos despu´es, en el establecimiento de sus famosas leyes. Aparte de las ´orbitas de los planetas, las elipses se aplican a ciertos problemas t´ecnicos como la elipse de inercia utilizada en resistencia de materiales. Fue Galileo ( 1564-1642), quien estableci´ o que una piedra lanzada al aire describe una par´abola, lo cual fue aplicado al estudio de la trayectoria que sigue una bala disparada por un ca˜ n´on. Las propiedades de las tangentes a una c´ onica se aplican en la construcci´ on de instrumentos ´opticos como telescopio,proyectores. En particular, la propiedad de la par´ abola fue usada en la construcci´on del telescopio inventado por Newton (1642-1727). Definici´ on 6.1.4 Sean una recta l , un punto F , F ∈ / l y un n´ umero positivo e. Denotando por P un punto cualquiera del plano y Q su proyecci´ on ortogonal sobre l, el lugar geom´etrico de los puntos P tales que PF = e, PQ se llama c´ onica de directriz l, foco F y excentricidad e.

Comentarios: El conjunto as´ı definido no es vac´ıo. En efecto, sea d = d(F, l), los dos puntos situados sobre la paralela a la directriz que pasa por el foco, a la distancia ed, pertenecen a dicho conjunto. A la

6.1. ELEMENTOS DE GEOMETR´IA ANAL´ITICA

107

distancia ed se llama par´ ametro de la c´ onica. Q

l

P

F

d

Q

P

d F

l

ˆ Toda c´ onica es sim´etrica con respecto a la perpendicular a l trazada desde F . Por esta raz´on se llama a esta recta eje focal. ˆ Sea una c´ onica C, d = d(F, l). Llevando el caso a un sistema de referencia ortogonal de origen F , tal que l tiene ecuaci´ on x = d. Si el punto P , de coordenadas (x, y), pertenece a C se cumple que:

2

2

P ∈ C ⇐⇒ d(P, F ) = ed(P, l) ⇐⇒= P F − e2 P Q = 0 ⇔ x2 + y 2 − e2 (x − d)2 . Si y0 es un n´ umero dado, las abscisas de los puntos de C de ordenada y0 son las ra´ıces de la ecuaci´ on: (e2 − 1)x2 − 2e2 dx − y02 + e2 d2 = 0. Se deben separar dos casos: e = 1 La ecuaci´ on de primer grado, admite una y s´olo una soluci´on. De paso, se observa que C intersecta el eje de las abscisas en el punto medio de F Q, Q la proyecci´on de F sobre l. e2 d y es independiente −1 de y0 . Por lo tanto, la recta de ecuaci´on y = y0 , corta a la c´onica C en dos puntos sim´etricos con respecto a la recta x = γ. En estas condiciones, C admite el punto de coordenadas (γ, 0) como centro de simetr´ıa. Por otro lado, para y0 = 0 la ecuaci´on es (e2 − 1)x2 − 2e2 dx + e2 d2 = 0, y tiene dos ra´ıces:   e−1 ed A = ed 2 = e −1 e+1   ed e+1 = . A0 = ed 2 e −1 e−1

e 6= 1 La semisuma de las ra´ıces que es el punto medio de las ra´ıces es γ =

e2

Por lo cual, la c´ onica corta al eje en dos puntos que se llaman v´ ertices de la c´ onica. Teorema 6.1.4 1. Si una c´ onica admite excentricidad e = 1, toda paralela a su eje focal la corta en un punto. 2. Toda c´ onica con excentricidad e 6= 1, admite centro de simetr´ıa. Definici´ on 6.1.5 ˆ Una c´ onica de excentricidad e = 1 se llama par´ abola. ˆ Las c´ onicas de excentricidad e 6= 1, se llaman c´ onicas con centro de simetr´ıa.

CAP´ITULO 6.

108

GEOMETR´IA ANAL´ITICA PLANA

La par´ abola Ecuaci´ on can´ onica de la par´ abola Sea una par´abola de foco F , directriz l y par´ametro p. Para expresar la ecuaci´ on en forma can´ onica, se elige un sistema de referencia ortogonal de modo que el foco  p p tenga coordenadas , 0 y la directriz tenga ecuaci´on x = − . As´ı, 2 2 2

2

PF − PQ



=

x−

 p 2 p 2 + y2 − x + = y 2 − 2px = 0. 2 2

Ubicando los ejes coordenados como en la figura 2. 4.13, consideremos un punto cualquiera P (x, y) de la p  par´ abola, llamemos p = AF , entonces F tiene coordenadas , 0 . En virtud de la definici´on de par´abola 2 tenemos: 2

PQ PF

2

=



x+

p 2 2

p = y 2 + (x − )2 . 2

por definici´ on de la par´ abola P Q = P F , de donde obtenemos 

x+

 p 2 p 2 = y2 + x − . 2 2

que reducida es: y 2 = 2px.

(6.8)

Para la par´ abola de ecuaci´ on (6.8) tenemos que: p  (i) El punto O = (0, 0) se llama v´ ertice , el punto F = , 0 , con p > 0, se llama foco de la par´abola 2 p y la recta x = − se llama directriz. 2 (a) La ecuaci´ on y = 3x2 1 representa una par´ abola que tiene su v´ertice en el origen (0, 0), su foco en (0, 12 ) y su directriz es 1 afico es sim´etrico con respecto al semieje positivo de las y. la recta y = − 12 . Su gr´

(b) La ecuaci´ on y = −3x2 1 representa una par´ abola que tiene su v´ertice en el origen (0, 0), su foco en (0, − 12 , 0) y su directriz 3 es la recta y = 4 . Su gr´ afico es sim´etrico con respecto al semieje negativo de las y.

(c) La ecuaci´ on x = 3y 2 1 representa una par´ abola que tiene su v´ertice en el origen (0, 0), su foco en ( 12 , 0) y su directriz es 1 afico es sim´etrico con respecto al semieje positivo de las x. la recta x = − 12 . Su gr´

(d) La ecuaci´ on x = −3y 2 1 representa una par´ abola que tiene su v´ertice en el origen (0, 0), su foco en (− 12 , 0) y su directriz es 1 la recta x = 12 . Su gr´ afico es sim´etrico con respecto al semieje negativo de las x.

´ ´ 6.2. ECUACIONES CANONICAS DE LAS CONICAS CON CENTRO

109

0

0

(a) y = 3x2

(b) y = −3x2

0

0

(c) x = 3y 2

(d) x = −3y 2

Figura 6.4: Los cuatro casos gen´ericos de par´abolas

6.2

Ecuaciones can´ onicas de las c´ onicas con centro

Sea e 6= 1. Como origen O del sistema de referencia se elige el centro de simetr´ıa y como eje de las abscisas la recta que contiene al eje focal. La ecuaci´ on, en este nuevo sistema de referencia se obtiene sustituyendo e2 d 2 2 por x en la expresi´ on P F − e2 P Q ya obtenida. x+ 2 e −1 2

2

2

PF − e PQ

2 e2 d = −d +y −e x+ 2 e −1  2  2 e2 d d 2 2 = x+ 2 +y −e x+ 2 e −1 e −1   2 e2 d e2 d2 e2 2xd 2e2 dx 2 2 2 + + y − e x − − = x2 + 2 e −1 e2 − 1 (e2 − 1)2 e2 − 1 

e2 d x+ 2 e −1

2

2

2



= x2 (e2 − 1) + y 2 +

e2 d2 (e2 − 1) (e2 − 1)2

= x2 (e2 − 1) + y 2 +

e2 d2 e2 − 1

= x2 (e2 − 1) + y 2 +

e2 d2 = 0. e2 − 1

La ecuaci´ on toma la forma (1 − e2 )2 2 (1 − e2 ) 2 x + y = 1. e2 d2 e2 d2 En general, se usan las siguientes convenciones: ˆ O es el centro de simetr´ıa. ˆ A y A0 v´ertices situados en el eje focal y a = AO = A0 O.

CAP´ITULO 6.

110

GEOMETR´IA ANAL´ITICA PLANA

ˆ F y F 0 focos y c = F O = F 0 O.

Observando que c2 = γ 2 =

e4 d2 , poniendo y = 0 en la ecuaci´on can´onica: − 1)2

(e2

a2 =

e2 d2 . (1 − e2 )2

Se obtiene que e=

c . a

Distinguiremos dos casos: ˆ Si e < 1, el coeficiente de y siendo positivo, C corta el eje de las ordenadas en dos puntos B y B 0 , ed cuya distancia al centro es b = √ . La ecuaci´on de C toma la forma: 1 − e2

y2 x2 + = 1. a2 b2 La curva as´ı descrita se llama elipse. Se observa que  2 2 e4 d2 e d a2 − b2 = 2 = c2 . = (e − 1)2 1 − e2 ˆ Si e > 1 el coeficiente de y siendo negativo, C no corta el eje de las ordenadas, poniendo b = √

la ecuaci´ on de C la forma:

ed e2 − 1

x2 y2 − = 1. a2 b2 La curva as´ı descrita se llama hip´ erbola y se cumple que a2 + b2 = c2 .

Observaci´ on Si a = b en la ecuaci´ on de la elipse se tiene una circunferencia. As´ı, la circunferencia es una c´ onica de excentricidad nula; el foco y el centro est´an en el mismo punto; no hay directriz. ¿Cu´anto se aplana una elipse con respecto a una circunferencia? Dibujando diversas elipses, por ejemplo con geogebra, con el mismo eje, m´ as o menos aplanada, se observa que los focos se aproximan al centro cuando la elipse tiende a la circunferencia. Entonces, se puede comparar la distancia focal c con el semieje grande a. La circunferencia tiene excentricidad 0. As´ı la circunferencia es caso l´ımite de la elipse. Elipse distancia(P, l) > distancia(P, F )

Q

P

Hiperb´ ola distancia(P, l) < distancia(P, F )

Q

P

F Punto Fijo F recta l

F0

F Punto fijo F

Recta fija l

6.2.1

Caracterizaci´ on focal de las c´ onicas con centro

Para la elipse y la hiperb´ ola existe una definici´on alternativa que es m´as conocida.

´ ´ 6.2. ECUACIONES CANONICAS DE LAS CONICAS CON CENTRO

111

La elipse Demostraremos que la elipse es el lugar geom´etrico de los puntos P del plano cuya suma de las distancias a dos puntos fijos es constante. =⇒ Sea E una elipse de focos F1 y F2 , directrices l y l0 y excentricidad e. Consideremos un punto cualquiera P ∈ E y sean Q, Q0 las proyecciones ortogonales de P sobre l y l0 respectivamente. Usando la definici´ on de elipse, tenemos: P F = eP Q y P F 0 = eP Q0 . a P F + P F 0 = QQ0 = 2OG = 2 , c P F + P F 0 = eQQ0 = 2a.

donde G = d(l, O).

⇐= Sean F1 y F2 don puntos fijos distintos a una distancia 2c y sea a > c. Eligiendo un sistema de coordenadas cuyo eje X sea la recta que pasa porF1 y F2 y el eje Y la recta ortogonal que pasa por el punto medio de F1 F2 , entonces si P = (x, y) es un punto del plano tal que P F1 + P F2 = 2a. Tenemos: F1 = (−c, 0)

y F2 = (c, 0)

P F1 + P F2 = 2a,

(6.9)

2

2

2

(6.10)

2

2

2

(6.11)

P F1 = y + (x + c) , P F2 = y + (x − c) .

Eliminando P F1 y P F2 de las ecuaciones (6.9), (6.10) y (6.11), obtendremos una relaci´on entre las variables x e y. Restando las ecuaciones (6.10) y (6.11): 2

2

P F1 − P F2 = 4cx (P F1 + P F2 )(P F1 − P F2 ) = 4cx 2a(P F1 − P F2 ) = 4cx. P F1 + P F2 = 2a 2cx . P F1 − P F2 = a

As´ı obtenemos los valores de P F1 , P F2 : P F1 = a +

cx a

;

P F2 = a −

cx . a

Reemplazando estos valores en (6.10) o en (6.11), nos da la ecuaci´on: cx 2 ) = y 2 + (x + c)2 a a2 y 2 + (a2 − c2 )x2 = a2 (a2 − c2 ). (a +

Como a > c > 0, a2 − c2 > 0 y puede ser representado por un cuadrado b2 , lo que nos da: a2 y 2 + b2 x2 = a2 b2 , de donde obtenemos la ecuaci´on cartesiana de una elipse. x2 y2 + =1 a2 b2 Para la elipse de ecuaci´ on dada en (6.12) se tiene que:

(6.12)

CAP´ITULO 6.

112

GEOMETR´IA ANAL´ITICA PLANA

(i) El origen (0,0) corresponde al centro de la elipse. (ii) Si y = 0 entonces x = ±a y si x = 0 se tiene y = ±b. Estos valores determinan los puntos A y A0 , B y B 0 donde la curva corta a los ejes y a su vez representan los valores extremos que pueden tomar ambas variables, por tanto A, A0 , B y B 0 se llaman v´ ertices de la elipse. (iii) Las distancias a y b del origen a los v´ertices se llaman longitudes de los semiejes de la curva. Los ejes enteros tienen longitudes 2a y 2b. (iv) Si la elipse no es una circunferencia, entonces a 6= b. Si a > b, entonces el trazo AA0 es el eje mayor y BB 0 es el eje menor. (v) Los focos √ F1 , F2 de la elipse situados sobre el eje mayor tienen coordenadas (−c, 0), (c, 0), con c = a2 − b2 . La distancia F1 F2 se llama distancia focal. la ecuaci´ on x2 y2 + =1 4 2 representa una elipse con centro en el origen. Escribiendo la ecuaci´on en la forma y2 x2 √ + =1 22 ( 2)2 podemos deducir que la longitud del semieje mayor es a = 2 y que la longitud del semieje menor es √ b = 2.

F1

F2

F1

0 0 F2

(a)

x2 y2 + =1 4 2

(b)

x2 y2 + =1 2 4

Figura 6.5: Elipses √ √ Los v´ertices de la elipse son: A = (2, 0), A0 = (−2, 0), B = (0, 2), B 0 = (0, − 2). Para encontrar √ 2 2 2 las coordenadas de los focos debemos calcular √ el valor de √ c. c = a − b implica que c = 2 y por tanto los focos tienen coordenadas: F1 = ( 2, 0), F2 (− 2, 0). La ecuaci´ on x2 y2 + =1 2 4 representa una elipse del mismo tipo anterior, as √ pero con su√eje mayor sobre el eje Y , donde adem´ est´ an sus focos con coordenadas F1 = (0, 2), F2 = (0, − 2).

´ ´ 6.2. ECUACIONES CANONICAS DE LAS CONICAS CON CENTRO

113

Resumen de la elipse x2 y2 + 2 = 1. 2 a b a2 − c2 = b2 . V´ertices: (±a, 0), 2 2

Focos: (±c, 0).

e d e4 d2 2 , c . = 1 − e2 (1 − e2 )2 b2 c Par´ametro: p = ed, d = d(F, directriz) = . Excentricidad: e = a a Eje focal es la recta sobre la cual se encuentran los focos a2 =

e d , (1 − e2 )2

2 2

b2 =

Semieje mayor = a,

6.2.2

Semieje menor = b.

La hip´ erbola

Definici´ on 6.2.1 La hip´erbola es el lugar geom´etrico de los puntos del plano tal que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F1 , F2 es una constante menor que F1 F2 .

P ∈ hip´erbola de focos F1 , F2 ⇐⇒ |d(P, F1 ) − d(P, F2 )| = 2a

(6.13)

Se procede en forma an´ aloga al caso de una elipse: 2

2

P F1 − P F2 = 2a ⇐⇒ P F1 = y 2 + (x + c)2 ⇐⇒ P F2 = y 2 + (x − c)2 . Observando que a < c, entonces a2 − c2 < 0 y lo reemplazamos por −b2 , lleg´andose a la ecuaci´on: x2 y2 − 2 = 1. 2 a b

(6.14)

Asintota : y =

b ax

B1 = (a, b)

V1 = (−a, 0)

V2 = (a, 0)

F1 = (−c, 0)

F2 = (c, 0)

B10 = (a, −b) b Asintota : y = − a x

Figura 6.6: Hip´erbola y sus elementos caracter´ısticos Para la hip´erbola de ecuaci´ on dada en (6.14) se tiene: (i) El origen (0,0) corresponde al centro de la hip´erbola. (ii) Si y = 0 entonces x = ±a, pero cuando x = 0 tenemos que y 2 = −b2 . Por tanto la curva intersecta al eje x en los puntos (−a, 0) y (a, 0), pero no hay intersecci´on con el eje Y . Por tal raz´on se llama al primero eje transversal y tiene longitud 2a, el segundo suele llamarse eje conjugado o eje imaginario . Los puntos (−a, 0), (a, 0) se llaman v´ ertices de la hip´erbola .

CAP´ITULO 6.

114

GEOMETR´IA ANAL´ITICA PLANA

(iii) Los focos de la hip´erbola son los puntos (−c, 0), (c, 0).

a2 c

2

correspondiente al foco (c, 0) y x = − ac a2 correspondiente al foco (−c, 0). Como c > a, la distancia es menor que a, las dos directrices c c est´ an situadas entre los v´ertices (a, 0) y (−a, 0). Su excentricidad es e = . Como c > a se tiene a e > 1, entonces los puntos de la curva est´an m´as cerca de la directriz que del foco. Es la situaci´on inversa a la de la elipse.

(iv) Las directrices de la hip´ erbola son las rectas: x =

(v) Como y=±

bp 2 x − a2 a

(6.15)

se deduce que ning´ un punto de la curva puede tener abscisa menor, en valor absoluto, que a, adem´ as cuando x crece de a a ∞ o decrece de −a a −∞, el valor absoluto de y crece infinitamente, es decir, sin acotamiento. As´ı la curva tiene dos arcos infinitos.

(vi) As´ıntotas. Recordando que la recta y = mx + n es as´ıntota de la funci´on f (x) si

– m = l´ım

x→±∞

f (x) x

– n = l´ım f (x) − ax, x→±∞

podemos ca´lcular dichas rectas y se obtienen las ecuaciones:

y=

b y = − x. a

b x, a

(vii) Observemos que las as´ıntotas contienen a las diagonales del rect´angulo central de lados 2a y 2b. Adem´ as, si vemos la diferencia entre la hip´erbola y sus as´ıntotas tenemos: p p b b b b a2 2 2 2 2 a x − a − a x = a x − x − a = a x + √x2 − a2 .

(6.16)

Nuevamente aqu´ı podemos apreciar que cuando |x| crece, la expresi´on (6.16) se hace cada vez m´ as peque˜ na.

(viii) Las hip´erbolas x2 y2 − 2 =1 2 a b

y

x2 y2 − 2 = −1 2 a b

se llaman hip´erbolas conjugadas . Si a = b, la hip´erbola se llama equil´ atera.

´ ´ 6.2. ECUACIONES CANONICAS DE LAS CONICAS CON CENTRO

Asintota : y =

115

b ax

B1 = (a, b)

V1 = (−a, 0)

V2 = (a, 0)

F1 = (−c, 0)

F2 = (c, 0)

B10 = (a, −b) b Asintota : y = − a x

(a)

F1 = (0, c) b V1 = (0, a) y2 a2

−

x2 b2

=1

B1 = (b, a)

c

a

V2 = (0, −a)

F2 = (0, −c)

(b)

La ecuaci´ on y2 x2 − =1 4 2 representa una hip´erbola con centro en el origen y eje transversal sobre el eje X. Sus v´ertices son los puntos (2, 0) y (−2, 0). Para conocer las coordenadas de √ √ sus focos debemos √ calcular el valor de c. Como 2 c2 = a√ + b2 tenemos que c = 6 y por tanto F1 = ( 6, 0) y F2 = (− 6, 0). Sus rectas as´ıntotas son: 2 y=± x. 2 La hip´erbola conjugada tiene ecuaci´ on

x2 y2 y2 x2 − = −1 ⇐⇒ − =1 4 2 2 4 √ √ que tiene su eje transversal sobre √ el eje Y y sus focos tienen coordenadas F1 = (0, 6) y F2 = (0, − 6). 2 Sus rectas as´ıntotas son: x = ± y. 2

CAP´ITULO 6.

116

x2 4

−

y2 2 3=

GEOMETR´IA ANAL´ITICA PLANA

−1 F10

2 x2 4

1 F2

−5

−4

−3

−2

−

y2 2

=1

F1

−1 −1

0

1

2

3

4

5

−2 F20

−3

Figura 6.7: Hip´erbolas Conjugadas

6.2.3

Ejercicios

Estos tienen por objetivo familiarizarse con estas tres curvas. 1. Construcci´ on con regla, comp´ as y excuadra de una par´abola usando la definici´on (??) 2. Construcci´ on de una hip´erbola usando la definici´on (6.13) 3. Determinaci´ on de las ecuaciones param´etricas de una elipse de semiejes a y b, a < b. Ejercicio 1 Construcci´ on de una par´ abola dada su directriz y su foco.

F ocoF

directriz D

Para construir la par´ abola se procede de la siguiente forma: 1. Se traza una paralela L a la directr´ız a una distancia r cualquiera. 2. Tomando el foco como centro se traza la circunferencia C con radio r. 3. Las intersecciones de la circunferencia Ccon la recta L son puntos de la par´abola. Justifique en palabras por qu´e dichos puntos pertenecen a la par´abola. ¿En qu´e casos la intersecci´on entre la Cy L es vac´ıa? Comentarios: Observe que, desde esta experiencia se puede dar otra definici´on de la par´abola como: El lugar geom´ etrico de los centros de las circunferencias que pasan por el foco y son tangentes a la directriz.

´ ´ 6.2. ECUACIONES CANONICAS DE LAS CONICAS CON CENTRO

117

directriz Q

P

F

foco

Con esta definici´ on, determinar puntos de una par´abola con foco F y directrizD, es equivalente al ejercicio de geometria: construir una circunferencia que pasa por un punto F y es tangente a una recta D. Con este m´etodo tambi´en se pueden construir la elipse y la hip´erbola. En estos dos casos, el problema geom´etrico de base, es muy b´asico: es la construcci´on de tri´angulos conociendo sus tres lados.

Segunda parte del ejercicio 1: su recta tangente en ese punto.

Elija un punto de la par´abola y construya con regla y comp´ as

Ejercicio 2 Construcci´ on manual de una hip´erbola dados sus focos y la constante 2a. Se necesita una cuerda no muy corta, dos clavitos o algo an´alogo que sirva para fijar un trozo de la cuerda sobre una superficie que puede ser un cart´on, madera o l´amina de corcho, como se muestra en la figura.

P

Punto de la hip´ erbola

A

F2

Distancia focal

F1

F2 A = 2a Ovillo de cuerda

Ejercicio 3 Determinaci´ on de las ecuaciones param´etricas de una elipse de semiejes a y b, a < b.

1. Escriba las coordenadas del punto A y del punto B. 2. Deduzca las coordenadas del punto P de la elipse dada en terminos de a ,b y t.

CAP´ITULO 6.

118

GEOMETR´IA ANAL´ITICA PLANA

y x2 a2

+

y2 b2

=1

B A O

6.2.4

t

P x

Propiedades ´ opticas de las c´ onicas

La ´ optica geom´etrica es el estudio de las trayectorias de los rayos luminosos en medios transparentes. Un principio b´ asico de esta disciplina es el principio de Fermat(1601-1665) que dice que los rayos siguen un camino de tiempo minimal, lo que se traduce en la geometr´ıa euclidiana en recorrer el camkno m´as corto. El camino m´ as corto entre dos puntos Sea l una recta en el plano, P y Q puntos del lano situados del mismo lado de la recta. Determinar el punto I ∈ l, que minimiza la suma P I + IQ. Q

Demostraci´ on Sea P 0 el sim´etrico de P con respecto a l. Entonces se cumple que P

P I + IQ = P 0 I + IQ, para todo I ∈ l. I

l

Usando que, en la geometr´ıa euclidiana , la distancia m´as corta entre dos puntos es el segmento entre ellos. Por lo tanto, el punto I es la intersecci´on de l con P 0 Q.

P0

Propiedad ´ optica de la par´ abola Sea Γ una par´abola de foco F , v´ertice V y eje focal la recta y = 0. P ∈ Γ − {V }, T la tangente a Γ en P , α es el ´angulo agudo formado por T y F P , β es el ´angulo agudo formado por T y eje X medido en el sentido antihorario. Entonces α = β.

Demostraci´ on

Eligiendo un sistema de referencia ortonormado de origen V tal que F =

p

 , 0 , la

2 curva Γ tiene ecuaci´ on y 2 = 2px. Para todo P = (x0 , y0 ) ∈ Γ − {V }, se tiene x0 > 0, y0 6= 0. La ecuaci´on de T es: y − y0 = m(x − x0 ), donde m es la pendiente. p m= y0 p y − y0 = (x − x0 ) ⇐⇒ y0 y − y02 = px − px0 y0 p px0 y = x+ . y0 y0

´ ´ 6.2. ECUACIONES CANONICAS DE LAS CONICAS CON CENTRO

119

Aplicando el lema 2 a las rectas T e y = 0 se obtiene p − 0 y0 p = . tan β = p y0 1 + − 0 y0 Para el ´ angulo α se deben distinguir dos casos: ˆ Caso 1 xP 6= xF , es decir, F P e y = 0 no son ortogonales.

P

β

α

β

0 F

xP

La pendiente de F P es y0 − 0 yP − yF 2y0 = p = 2x − P . xP − xF 0 x0 − 2 Por tanto, 2y0 P 2y02 − p(2x0 − p) − 2x0 − P y0 (2x0 − p)y0 tan α = = 1 + 2y0 · P 2x0 − p + 2p 2x0 − p 2x0 − p y0 2 2y − 2px0 + p2 2 · 2px0 − 2px0 + p2 2px0 + p2 p(2x0 + p) p = = = = 0 (2x0 + p)y0 (2x0 + p)y0 = yo . (2x0 + p)y0 (2x0 + p)y0 Por lo tanto, tan α = tan β ⇒ α = β, ya que α, β ∈]0, π2 [. ˆ Caso 2 xp ⊥ xf ⇔ F P ⊥ y = 0. directriz

P

P0

β

P

α

β F D

V

F

F P P 0 D es un rect´ angulo. P P 0 = P F , por ser Γ par´abola. F P P 0 D es un cuadrado. FP = FD ⇔

( y0 = p, ^F DP = ^DP F =

π . 4

(6.17)

CAP´ITULO 6.

120

GEOMETR´IA ANAL´ITICA PLANA

p Ahora consideremos la recta tangente cuya inclinaci´on es = tan β. Por (6.17) se tiene tan β = 1, y0 π lo que implica β = y la recta que contiene a DP y la tangente T forman el mismo ´angulo con 4 y = 0 y como ellas pasan por P , se obtiene T = recta que pasa por P y D, entonces α = β. Esta propiedad muestra que si F es una fuente luminosa todos los rayos que inciden en la par´abola son reflejados paralelamente al eje focal, es decir, la par´abola (paraboloide) juega el rol de un espejo de un proyector. Inversamente, todos los rayos paralelos al eje focal son reflejados por la par´abola sobre su foco, lo que muestra que la par´ abola puede servir como espejo de un telescopio. Los rayos de una estrella que llegan a la Tierra pueden ser considerados como paralelos y el ojo del observador es el foco. Propiedad ´ optica de la elipse Sea Γ una elipse de focos F y F 0 , P ∈ Γ, T la tangente de Γ en P , α angulo formado por T y F 0 P , entonces α = β. el ´ angulo formado por T y F P , β el ´ −−→ Tomando un sistema de referencia de origen O como el punto medio de F F 0 , OX = m orientado, tal que: F = (c, 0),

F 0 = (−c, 0)

V1 = (a, 0),

V2 = (−a, 0).

x2 y 2 En este sistema Γ tiene ecuaci´ on 2 + 2 = 1. La pendiente de la recta tangente a la elipse en un punto b  a  2 x0 . (x0 , y0 ) es y 0 (x0 ) = − a2by(x 0)

P β

F0

α

O

F

Se distinguen tres casos, seg´ un la posici´on de P = (x0 , y0 ). ˆ Caso 1. Si y0 = 0, entonces el punto es un v´ertice, P = V1 o P = V2 , en tal caso T es la recta x = a o x = −a. En ambos casos, α = β = 0. ˆ Caso 2. Si x0 = c o x0 = −c, entonces F P ⊥ m o P F 0 ⊥ m.

c2 y02 + =1 a2 b2 b2 c2 a2 b2 − b2 a2 b2 (a2 − c2 )2 b4 ⇔ y02 = b2 − 2 = = = 2 2 2 a a a a b2 ⇔ y0 = ± . a

P = (±c, y0 ) ∈ Γ ⇔

Se tienen cuatro posibilidades:  2     b b2 b2 P = c, , P = c, − , P = −c, o a a a  2 c b , la recta tangente T tiene ecuaci´on y = − x + a. Si P = c, a a

  b2 P = −c, − . a

´ ´ 6.2. ECUACIONES CANONICAS DE LAS CONICAS CON CENTRO

121

b2 c b2 −0 + b2 La pendiente de F 0 P = a = ; seg´ un el ´angulo entre las rectas tan β = 2ac 2 a = c+c 2ac b c 1 − · 2ac a 2 2a a = . · · · = 2ac c La pendiente de F P , como en este caso F P ⊥ m, usaremos la definici´on de tangente en el tri´angulo rect´ angulo P F I, donde I es el punto de intersecci´on entre la tangente y el OX + . Intersecci´ on de T y OX + .  2   2  a2 a a c ,0 y T = recta que pasa por P y I. I = ,0 . y =0 ⇔ x = a ⇔ x = T ∩ m = a c c c a2 −c a FI As´ı, tan α = = c 2 = . FP c b a i πh Por lo tanto, tan β = tan α ⇒ β = α ya que α, β ∈ 0, . 2 ˆ Caso 3. x0 6= ±c, y0 6= 0. La pendiente de T es −

b2 x 0 . a2 y0

y0 − 0 y0 = . x0 − c x0 − c y 0 La pendiente de F 0 P es . x + 0 c 2 y0 b x0 2 i h x0 − c + a2 y0 = · · · = b ⇒ tan β = tan α ⇒ β = α ya que α, β ∈ 0, π . tan β = 2 cy0 2 1 − y0 · b x0 x0 − c a2 y0 La pendiente de F P es

Propiedad ´ optica de la hip´ erbola Sea Γ una hip´erbola de focos F y F 0 , P ∈ Γ, P 6= v´ertices, T la tangente a Γ en P , α = ´ angulo agudo (T, F P ), β = ´angulo agudo (T, F 0 P ), entonces α = β. Geom´etricamente, es equivalente a decir que la tangente en un punto es la bisectriz del angulo que forman las semirrectas que pasan por el punto de tangencia y los focos. Un espejo hiperb´olico refleja un rayo salido de un foco como si hubiese salido del otro.

6.2.5

Ecuaci´ on de una c´ onica en coordenadas polares

Eligiendo F como el origen del sistema y por eje polar la perpendicular a la directriz orientada de F p hacia d. Sea p = ed, d = d(F, l) se tiene: P F = |ρ|; P Q = d(P, l) = | − ρ cos θ|. e El punto P = (θ, ρ) pertenece a la c´ onica si y s´olo si se tiene: p ρ = e − ρ cos θ . e Como p 6= 0, esta condici´ on se expresa tambi´en de la forma: ρ=

p 1 + e cos θ

o

ρ=

−p . 1 − e cos θ

Se observa que el cambio θ → θ + π transforma ρ en −ρ. Como los pares (ρ, θ) y (−ρ, θ + π) definen el mismo punto, las dos ecuaciones son equivalentes. As´ı, la c´onica admite la ecuaci´on ρ=

p . 1 + e cos θ

El siguiente cuadro de formas can´ onicas de curvas de segundo grado, donde a, b y p son constantes distintas de cero nos da todos las posibles formas.

CAP´ITULO 6.

122

GEOMETR´IA ANAL´ITICA PLANA

Cuadro 1 1.

x2 a2

+

y2 b2

− 1 = 0 : Elipse.

2.

x2 a2

+

y2 b2

+ 1 = 0 : Elipse imaginaria.

3.

x2 a2

+

y2 b2

= 0 : Punto. Par de rectas imaginarias que se cortan en un punto real.

4.

x2 a2

−

y2 b2

− 1 = 0 : Hip´ erbola.

5.

x2 a2

−

y2 b2

= 0 : Par de rectas que se cortan.

6. y 2 − 2px = 0 : Par´ abola. 7. x2 − a2 = 0 : Par de rectas paralelas. 8. x2 + y 2 = 0 : Par de rectas paralelas imaginarias. 9. x2 = 0 : Par de rectas coincidentes. Hasta aqu´ı hemos visto que las secciones c´onicas est´an representadas por ecuaciones de segundo grado bastante simples, cuya simplicidad en parte se debe a la elecci´on del sistema de coordenadas. Pero no siempre encontraremos las curvas ubicadas de manera tan ideal. Una primera generalizaci´on de estas ecuaciones se tiene cuando el centro de la curva no coincide con el origen. Traslaci´ on de los ejes de coordenadas Sea XY un sistema de coordenadas rectangulares y X 0 Y 0 el sistema obtenido por traslaci´on paralela de los ejes iniciales. Figura 6.8: Traslaci´on de ejes El nuevo origen O0 tiene coordenadas (h, k) con respecto al sistema original. Sea P un punto del plano con coordenadas (x, y) y (x0 , y 0 ), queremos establecer una relaci´on entre las coordenadas. Es f´acil deducir de la figura que: x0 = x − h y0 = y − k de donde se tiene: x = x0 + h y = y0 + k ˆ Siempre es posible encontrar una traslaci´ on de los ejes de modo que toda recta pase por el nuevo origen del sistema. Si la recta tiene ecuaci´on y = ax + b, la podemos escribir como y − b = ax. Esto sugiere la idea de elegir el nuevo origen en O0 = (0, b) y su ecuaci´on en el nuevo sistema es:

y 0 = ax0 que corresponde a una recta que pasa por el origen. ˆ Si tenemos una circunferencia con ecuaci´ on (x − a)2 + (y − b)2 = r2 . Eligiendo el nuevo origen en el punto O0 = (a, b), la ecuaci´ on en el nuevo sistema es:

(x0 )2 + (y 0 )2 = r2 que representa una circunferencia centrada en el origen O0 .

´ ´ 6.2. ECUACIONES CANONICAS DE LAS CONICAS CON CENTRO

123

ˆ Usando una traslaci´ on de ejes podemos reescribir el cuadro de las nueve formas can´onicas, encontrando ecuaciones en que aparecen ahora las variables en primer grado, por ejemplo, la ecuaci´on

(x − h)2 (y − k)2 + −1=0 2 a b2 representa una elipse con centro en (h, k), pero en general la encontraremos en la forma b2 x2 − 2b2 hx + b2 h2 + a2 y 2 − 2a2 ky + a2 k 2 − a2 b2 = 0 y mediante operaciones algebraicas, completaci´ on de cuadrados, se puede llegar a la forma can´onica trasladada.

Ejemplo √ √ 1. La ecuaci´ on x2 + 2 2x + y 2 − 2y − 1 = 0 representa un c´ırculo con centro en el punto (− 2, 1) y radio r = 2. Pues al completar los cuadrados en x y en y, nos queda: √ (x2 + 2 2x + 2) + (y 2 − 2y + 1) = 1 + 2 + 1 , es decir, (x +

√

2)2 + (y − 1)2 = 4 .

2. La ecuaci´ on 16x2 − 96x + 9y 2 + 90y + 225 = 0 representa una elipse. En efecto, la ecuaci´on puede transformarse de la siguiente manera: 16(x2 − 6x) + 9(y 2 + 10y) + 225

=

0

16(x − 6x + 9) + 9(y 2 + 10y + 25) + 225

=

144 + 225

=

144

=

1

2

2

2

16(x − 3) + 9(y + 5) (y + 5)2 (x − 3)2 + 9 16

Por tanto la ecuaci´ on representa una elipse con centro en el punto (3, −5). Como a = 3 y b = 4,√su 2 2 2 eje mayor, donde se encuentran sus focos, es paralelo √ al eje Y . c √= b − a implica que c = 7, por tanto las coordenadas de los focos son: (3, −5 + 7), (3, −5 − 7). 3. Con c´ alculos similares puede demostrarse que la ecuaci´on 3x2 − 16y 2 − 6x + 64y − 13 = 0 representa la hip´erbola (x − 1)2 (y − 2)2 − =1. 16 3 4. La ecuaci´ on 3x2 − 6x + 2 − y = 0 representa una par´abola. Completando el cuadrado en x nos queda: 3(x2 − 2x + 1) + 2

= y+3

2

= y+1

3(x − 1)

0 2

3(x )

= y0

Considerando la traslaci´ on: x0 = x − 1 y y 0 = y + 1, por lo cual el v´ertice de la par´abola est´a en el punto (1, −1) y se abre hacia arriba. Rotaci´ on de los ejes coordenados Una rotaci´ on de los ejes consiste en girar los ejes X e Y en sentido contrario a los punteros del reloj en un ´ angulo φ manteniendo fijo el origen. El siguiente teorema nos dice c´omo se relacionan las coordenadas de un mismo punto antes y despu´es de la rotaci´on.

CAP´ITULO 6.

124

GEOMETR´IA ANAL´ITICA PLANA

Teorema 6.2.1 Las ecuaciones que describen una rotaci´on de ejes son: x = x0 cos φ − y 0 sen φ 0

(6.18)

0

y = x sen φ + y cos φ.

(6.19)

x0 = x cos φ + y sen φ

(6.20)

y 0 = −x sen φ + y cos φ.

(6.21)

o equivalentemente,

Demostraci´ on: Figura 6.9: Rotaci´on de ejes De la figura 9.19 tenemos que: x = OA = OP cos (φ + α)y

= AP = OP sen (φ + α).

Como sen (φ + α) = sen φ cos α + cos φ sen α cos (φ + α) = cos φ cos α − sen φ sen α. As´ı, x = OP (cos φ cos α − sen φ sen α)

(6.22)

y = OP (sen φ cos α + cos φ sen α).

(6.23)

0

Del tri´ angulo OBP podemos deducir que sen α =

0

y x ; y cos α = . Es decir, OP OP

y 0 = OP sen α

(6.24)

0

x = OP cos α.

(6.25)

Reemplazando las ecuaciones (??) y (??) en (6.22) y (6.23)se obtiene la ecuaci´on (R).  Para conocer la ecuaci´ on de una curva F (x, y) = 0 despu´es de una rotaci´on de los ejes en un ´angulo φ, debemos reemplazar x e y por las expresiones respectivas de (R) obteniendo una ecuaci´on de la forma F (x0 cos φ − y 0 sen φ, x0 sen φ + y 0 cos φ) = 0. Observemos que las ecuaciones (R) y (R0 ) son de primer grado, as´ı la ecuaci´on de la curva en x0 , y 0 tambi´en es de segundo grado. Adem´ as usando la f´ormula del cuadrado del binomio, es f´acil deducir que en este caso x, y o x0 , y 0 aparecen en la ecuaci´on formando productos mixtos. π Ejemplo Si hacemos una rotaci´ on de los ejes en un ´angulo φ = , tenemos que x, y satisfecen las 4 ecuaciones: 1 x = √ x0 − 2 1 0 y=√ x + 2

1 √ y0 2 1 0 √ y. 2

Entonces una par´ abola del tipo y = 4x2 se transforma en 1 1 1 1 √ x0 + √ y 0 = 4( √ x0 − √ y 0 )2 . 2 2 2 2 Lo que nos da la ecuaci´ on en x0 e y 0 : 4(x0 )2 + 4(y 0 )2 − 8x0 y 0 −

√

2x0 −

√

2y 0 = 0 .

Observe que una rotaci´ on de ejes complica la forma de las ecuaciones.

´ ´ 6.2. ECUACIONES CANONICAS DE LAS CONICAS CON CENTRO

125

La ecuaci´ on general de segundo grado Veremos ahora que mediante rotaciones y traslaciones paralelas de los ejes, toda ecuaci´on de segundo grado puede ser reducida a una de las nueve formas can´onicas. Teorema 6.2.2 La ecuaci´ on: Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

(6.26)

representa una de las nueve formas can´onicas del cuadro 1. Demostraci´ on: Primer paso: Haciendo una rotaci´on apropiada de ejes podemos hacer desaparecer el t´ermino mixto, es decir, queremos obtener una ecuaci´on de la forma: A0 x02 + C 0 y 02 + D0 x0 + E 0 y 0 + F 0 = 0, donde el coeficiente B 0 que acompa˜ na al producto x0 y 0 sea nulo. Para ello usaremos la f´ormula (R) en (6.26), lo que nos da: A(x0 cos φ − y 0 sen φ)2 + B(x0 cos φ − y 0 sen φ)(x0 sen φ + y 0 cos φ) + C(x0 sen φ + y 0 cos φ)2 + D(x0 cos φ − y 0 sen φ) + E(x0 sen φ + y 0 cos φ) + F = 0 Desarrollando los productos y reduciendo los t´erminos semejantes obtenemos que: B 0 = −2A sen φ cos φ + B(cos2 φ − sen2 φ) + 2C sen φ cos φ = B cos(2φ) − (A − C) sen(2φ).

Igualando B 0 = 0, tenemos que A−C (6.27) B como el recorrido de la funci´ on cotangente es R, existe φ tal que la ecuaci´on ( 6.27 ) se satisface. Segundo paso: Tenemos una ecuaci´ on de la forma: cotan (2φ) =

A0 x02 + C 0 y 02 + D0 x0 + E 0 y 0 + F 0 = 0.

(6.28)

Como hemos visto, para hacer desaparecer los t´erminos en primer grado es necesario completar los cuadrados en x e y para hacer una traslaci´on apropiada de ejes: 1. Si A0 6= 0 y C 0 6= 0, se tiene:  0 2  0 2 D0 0 D E E 02 E0 0 D02 0 02 x + y + − = 0. ) + C (y + + F0 − 0 0 0 0 02 A 2A C 2C 4A 4C 02 D0 2 E0 2 D02 E 02 A0 (x0 + ) + C 0 (y 0 + ) + (F 0 − − ) = 0. 0 0 02 2A 2C 4A 4C 02

A0 (x02 +

Elegimos la traslaci´ on: D0 2A0 E0 y 00 = y 0 + . 2C 0

x00 = x0 +

0

0

D 2 E 2 y haciendo F 00 = F 0 − ( 2A y cambiando la notaci´on F 0 = F 00 , resulta: 0 ) − ( 2C 0 )

A0 (x00 )2 + C 0 (y 00 )2 + F 0 = 0. Si adem´ as F 0 6= 0, podemos escribir: (x00 )2 −F 0 A0

+

(y 00 )2 −F 0 C0

− 1 = 0.

CAP´ITULO 6.

126

GEOMETR´IA ANAL´ITICA PLANA

Es decir, corresponde a una ecuaci´ on del tipo (1), (2) ´o (4), seg´ un sean los signos de A0 , C 0 y F 0 . Si F 0 = 0 tenemos: (x00 )2 1 A0

+

(y 00 )2

=0

1 C0

obtenemos una ecuaci´ on del tipo (3) o (5) dependiendo nuevamente de los signos de A0 y C 0 . 2. Si A0 6= 0 y C 0 = 0, pero E 0 6= 0 se tiene: A con la traslaci´ on

0



D0 x + 2A0 0

2 +E

0



F0 y + 0 E 0

 =0

D0 2A0 F0 y 00 = y 0 + 0 E

x00 = x0 +

obtenemos la ecuaci´ on A0 (x00 )2 + E 0 (y 00 ) = 0, dividiendo por A0 (x00 )2 +

E 0 00 y =0 A0

que corresponde a una ecuaci´ on del tipo (6) y representa una par´abola en torno al eje Y . 3. Si A0 = 0, C 0 6= 0, D0 6= 0, intercambiando los roles de x e y se obtiene el mismo resultado, es decir, la ecuaci´ on representa una par´ abola. 4. Si A0 6= 0, C 0 = 0 y E 0 = 0, la ecuaci´ on (6.28) puede escribirse: A0 (x0 + x00 = x0 +

D0 2 2A0 )

+ F 0 = 0. Haciendo:

D0 2A0

y 00 = y la ecuaci´ on queda A0 (x00 )2 + F 0 = 0, de donde, dividiendo por A0 : (x00 )2 +

F0 =0 A0

que corresponde a una ecuaci´ on del tipo (7), (8) o (9). 5. Se obtiene el mismo resultado de (4), intercambiando los roles de x e y cuando A0 = 0, C 0 6= 0 y D0 = 0. As´ı hemos visto que toda ecuaci´ on de segundo grado puede reducirse a una de las formas can´onicas de nuestro cuadro.  Clasificaci´ on de la curvas de segundo grado seg´ un los coeficientes de la ecuaci´ on La ecuaci´ on: Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

(6.29)

la podemos resolver como una ecuaci´ on de segundo grado con respecto a y, suponiendo que C 6= 0. Entonces, Bx + E 1 p 2 y=− ± (B − 4AC)x2 + 2(BE − 2CD)x + (E 2 − 4CF ) (6.30) 2C 2C p Bx + E 1 Es decir y = − ± Y ; donde Y = 2C (B 2 − 4AC)x2 + 2(BE − 2CD)x + (E 2 − 4CF ). Seg´ un los 2C valores que pueda tomar Y , veremos qu´e tipo de curva representa la ecuaci´on (6.29), trazando la recta

´ ´ 6.2. ECUACIONES CANONICAS DE LAS CONICAS CON CENTRO

127

Bx + E y=− y aument´ andola o disminuy´endola seg´ un los valores que toma Y . Observemos primero que 2C el n´ umero Y se debe restar y sumar a la recta en cada x, por lo cual el gr´afico de la curva es sim´etrico Bx + E con respecto a la recta y = − . Por esta raz´on dicha recta puede ser considerada el di´ ametro de 2C la curva. Analizaremos algebraicamente la forma que toma la curva seg´ un el signo del coeficiente del trinomio de segundo grado en x que aparece bajo el signo de la ra´ız. 1. Si B 2 − 4AC < 0, entonces el trinomio bajo el radical es negativo para los valores de | x |≤ M , para alg´ un M ∈ R+ . Adem´ as si | x |≤ M , entonces Y es acotado y as´ı tambi´en y permanece acotado. Vemos as´ı que la curva y es acotada en todos los sentidos y por tanto representa una elipse. 2. Si B 2 − 4AC > 0, tenemos que el trinomio bajo el radical representa un n´ umero real cuando | x |≥ M , para alg´ un M ∈ R+ ; como ahora x puede crecer o decrecer en forma indefinida, los valores de Y , y por tanto de la curva y, crecen hacia +∞ o decrecen hacia −∞. La curva que crece indefinidamente en ambos sentidos, tanto para la variable x como para la variable y es una hip´erbola. p 1 2(BE − 2CD)x + (E 2 − 4CF ). 3. Si B 2 − 4AC = 0, entonces Y = 2C Si adem´ as BE − 2CD > 0 , el binomio bajo la ra´ız es positivo si x ≥ M , donde M es la ra´ız de la ecuaci´ on de primer grado en x. Es decir, x puede crecer hacia infinito y proporcionalmente crece tambi´en Y . Entonces tenemos que y crece hacia el lado de los x positivos indefinidamente a ambos lados del di´ ametro. Si BE − 2CD < 0, se tiene un resultado del mismo tipo, pero hacia el lado de los x negativos. El an´ alisis nos permite concluir que y es una curva acotada en una direcci´on y no acotada en la direcci´ on opuesta, por tanto y representa una par´abola. Ejemplo. Dada la ecuaci´ on 2x2 − 4xy + 4y 2 − 2x − 8y + 9 = 0 se tiene

1p 1 x+1± −(x − 1)(x − 5) 2 2 Por tanto, la curva tiene por di´ ametro a la recta y = 21 x + 1 y est´a comprendida entre las rectas x = 1 y la recta x = 5. El valor m´ as grande de y se obtiene en el punto medio, es decir, para x = 3, al que le corresponden los valores y = 23 e y = 72 . El punto medio de estos nos da la ordenada del centro de la elipse 5. As´ı el centro de la curva es el punto (3, 5). y=

Algunas curvas de grado mayor que dos En esta subsecti´ on presentaremos un par de casos de curvas de grado superior a dos en alguna de sus variables. Usando la geometr´ıa anal´ıtica podemos , a partir de sus definici´on como lugar geom´etrico, tal como hicimos con las curvas de grado dos, obtener la ecuaci´on algebraica que satisfacen dichos puntos. 1. La cisoide Dada una circunferencia C y una tangente a ella, sea A el punto de contacto y O el punto diametralmente opuesto. Se hace pasar una secante por O que corta a la circunferencia en un punto I y a la recta tangente en el punto B. Sobre esta secante, a partir del punto O, se toma una longitud OM , igual a IB. ¿ Cu´ al es el lugar geom´etrico de los puntos M as´ı obtenidos ? Soluci´ on: Observemos que este lugar geom´etrico es sim´etrico respecto a OA. La distancia IB aumenta a medida que la secante se aleja de OA, y por tanto tambi´en crece OM . El punto M se aleja al infinito cuando la secante OB se convierte en tangente en O. Sean (x, y) las coordenadas de M . Tenemos OP = x, M P = y y OA = a. Por semejanza de tri´angulos, se tiene MP IQ = OP OQ es decir: y IQ = x OQ

CAP´ITULO 6.

128 OM = IB,

GEOMETR´IA ANAL´ITICA PLANA

OP = AQ, por tanto: OQ = OA − AQ = OA − OP = a − x, as´ı: IQ y = x a−x

2

pero IQ = OQ AQ = (a − x)x, luego: y

=

y2

=

y2

=

xIQ a−x x2 (a − x)x (a − x)2 x3 . a−x

(6.31)

La expresi´ on (6.31) representa la ecuaci´on de la cisoide. Observe que esta curva tiene una ecuaci´on de tercer grado.

Figura 6.10: Cisoide 2. Lemniscata de Bernoulli Encuentre el lugar geom´etrico de los puntos tales que el producto de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 sea igual a una constante dada. Soluci´ on: Tomando la recta que contiene a los puntos F1 y F2 como eje X, pasando el eje Y por el punto medio del trazo F1 F2 , llamaremos 2c = F1 F2 y a2 a la constante. Sea P = (x, y) un punto del lugar geom´etrico, entonces, d(F1 , P ) · d(F2 , P ) = a2 ⇐⇒

p

(x + c)2 + y 2

p (x − c)2 + y 2 = a2

Elevando al cuadrado toda la ecuaci´on y desarrollando los productos, nos queda la ecuaci´on de cuarto grado en y: y 4 + 2(x2 + c2 )y 2 + (x2 − c2 )2 − a4 = 0. (6.32) Como las dos variables aparecen en potencias pares, la curva es sim´etrica con respecto a ambos ejes y el origen. p −2(x2 + c2 ) ± 4(x2 + c2 )2 − 4[(x2 − c2 )2 − a4 ] 2 y = 2 2 2 4 La cantidad subradical se reduce a 4(4c x + a ) que es siempre positiva, entonces y 2 existe como n´ umero real. Si (x2 − c2 )2 − a4 es positivo, los valores de y 2 tienen el mismo signo y como su suma es −2(x2 + c2 ), entonces los dos valores de y 2 son negativos y por tanto los cuatro valores de y son complejos.

´ ´ 6.2. ECUACIONES CANONICAS DE LAS CONICAS CON CENTRO

129

Para que la ecuaci´ on tenga ra´ıces reales, es necesario que: (x2 − c2 )2 − a4 < 0 lo que es equivalente a (x2 − c2 − a2 )(x2 − c2 + a2 ) < 0 por lo tanto, x2 < a2 + c2 y x2 > c2 − a2 entonces uno de los valores de y 2 es positivo y el otro negativo. Ahora tenemos que analizar los tres casos posibles: a < c , a = c , a > c. Veremos solamente el caso a = c. Los otros se dejar´an como ejercicios. Cuando a = c, la ecuaci´ on se escribe como: y 4 + 2(x2 + c2 )y 2 + (x2 − c2 ) − c4 = 0 . Si x = 0, entonces y 4 + 2c2 y 2 = 0, por lo cual s´olo es posible que y = 0. √ Si x = c 2 entonces y 4 + 6c2 y 2 = 0, por tanto, nuevamente y debe ser igual a 0. Como las dos variables aparecen en potencias pares, existe simetr´ıa con respecto a ambos ejes. La curva resultante se llama lemniscata de Bernoulli que est´a representada en la figura 6.11.

−2

−1

0

1

2

a=1 a= 2

Figura 6.11: Lemniscata de Bernoulli

Ejercicios resueltos 1. Sean T1 y T2 rectas tangentes distintas de la par´abola y 2 = 2ax, a ∈ R. Demuestre que la ordenada del punto de intersecci´ on entre T1 y T2 es la media aritm´etica de las ordenadas de los puntos de tangencia. 2. Considere una ecuaci´ on general de segundo grado. Demuestre que geom´etricamente su soluc´on es equivalente a encontrar los puntos de intersecci´on de una recta con una par´abola. 3. (a) Dibuje con regla y comp´ as el eje de simetr´ıa de la hip´erbola de la figura. (b) Sugiera una forma de construcci´on de una hip´erbola conociendo sus as´ıntotas y un punto de la hip´erbola.

CAP´ITULO 6.

130

GEOMETR´IA ANAL´ITICA PLANA

4. (a) Describa en palabras la propiedad ´optica de la hiperb´ola. (b) Describa matem´ aticamente la propiedad ´optica de la hiperb´ola. Soluci´ on 1. Sean T1 y T2 rectas tangentes distintas de la par´abola y 2 = 2ax, a ∈ R y sean P1 = (x1 , y1 ) y P2 = (x2 , y2 ) los puntos de tangencia. Supongamos que y1 y y2 son positivos. a a = , y 2ax  2  y1 P1 = (x1 , y1 ) = , y1 , 2a  2  y2 P2 = (x2 , y2 ) = , y2 . 2a y0 = √

Las rectas tangentes tienen ecuaci´ on:  a x− y1  a T2 :y − y2 = x− y2

T1 :y − y1 =

 y12 , 2a  y22 . 2a

Las coordenadas del punto de intersecci´on de las tangentes se obtienen resolviendo el sistema: 2ax − 2y1 y 2ax − 2y2 y

= =

−y12 −y22

Restando ambas ecuaciones: −2(y1 − y2 ) = −(y12 − y22 ), y1 + y2 y= . 2

de donde se concluye que

Los otros casos, con los distintos signos de las ordenadas, se hacen de manera an´aloga. 2. Sea ax2 + bx + c = 0 una ecuaci´ on general de segundo grado, a 6= 0. Escribiendo la ecuaci´ on de la forma, ax2 = −bx − c, la soluci´ on de ella puede interpretarse con la intersecci´on de la par´abola y = ax2 y la recta y = −bx − c.

´ ´ 6.2. ECUACIONES CANONICAS DE LAS CONICAS CON CENTRO

131 B

C

D

x1

Comentario para colegio.

x2

0

La ventaja es que ambas curvas son f´aciles de dibujar. Creo que es un buen ejercicios

3. (a) De la ecuaci´ on can´ onica de la hip´erbola, se deduce que el eje de simetr´ıa es la bisectriz del angulo formado por las as´ıntotas. ´ (b) Para discutir en clases. 4. (a) La propiedad ´ optica de la hiperb´ola consiste en que si un rayo de luz sale desde un foco se refleja sobre un espejo hiperb´ olico en la direcci´on del otro foco alej´andose de ´este. (b) Matem´ aticamente la propiedad ´optica de la hip´erbola de focos F1 , F2 , conssite en que la tangente en un punto P de ella es la bisectriz del ´angulo F1 P F2 . Las figuras muestran la ley de la ´optica geom´etrica en una superficie plana y como se aplica a una curva tomando como superficie reflejante la tangente en el punto. Para diferenciar si el rayo va hacia o sale del otro foco, se debe tener presente que todo sucede a un mismo lado de la tangente.

´ angulo de incidencia

´ angulo de reflexi´ on

superficie reflejante

(a)

P F1

F2

P

F1

(b)

F2

(c)

Figura 6.12: Propiedad ´optica de la hip´erbola

132

CAP´ITULO 6.

GEOMETR´IA ANAL´ITICA PLANA

Cap´ıtulo 7

Transformaciones ortogonales en el plano vectorial La geometr´ıa es aprehender el espacio. Hans Freudenthal (1905- 1990)

7.1

El espacio vectorial real Rn

Definici´ on 7.1.1 El espacio vectorial Rn est´ a formado por la n−uplas de n´ umeros reales con las operaciones de suma y producto por un escalar. → − − − − u,→ v ∈ Rn ⇐⇒ → u = (u1 , . . . , un ) , → v = (v1 , . . . , vn ). → − → − u + v = (u + v , . . . , u + v ) 1

1

n

− λ→ u = (λu1 , . . . , λun ),

n

λ ∈ R.

Los elementos de Rn se llaman vectores y los elementos de R se llaman escalares. − Los n´ umeros u1 , u2 , . . . , un se llaman componentes de → u.

Teorema 7.1.1: Propiedades de la suma en Rn ˆ Conmutatividad. ˆ Asociatividad.

→ − ˆ Existencia de elemento neutro, denotado por 0 = (0, . . . , 0). → − − − − − ˆ Existencia de elemento inverso: para cada → x ∈ Rn , existe −→ x ∈ Rn tal que → x +(−→ x)= 0.

133

CAP´ITULO 7. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES EN EL PLANO VECTORIAL

134

Teorema 7.1.2: Propiedades del producto por un escalar ˆ Distributividad con respecto a la suma en Rn :

λx = λ(x1 + x2 ) = λx1 + λx2 , λ ∈ R, x ∈ Rn . ˆ Distributividad con respecto a la suma de escalares:

(λ + µ)x = λx + µx, λ, µ ∈ R, x ∈ Rn . ˆ Asociatividad de escalares:

λ(µx) = (λµ)x, λ, µ, x ∈ R. ˆ 1 · x = x.

Teorema 7.1.3 Rn con la suma y el producto por un escalar es un espacio vectorial sobre R o es un espacio vectorial real.

Demostraci´ on: Consecuencia de los teoremas 1 y 2.

7.2

El espacio euclidiano de dimensi´ on n

Definici´ on 7.2.1 − − − − Sean → u,→ v ∈ Rn tales que → u = (u1 , . . . , un ) , → v = (v1 , . . . , vn ), se define el producto escalar o producto punto entre ellos como el n´ umero: def → − − u ·→ v = u1 v1 + u2 v2 + . . . un vn .

Teorema 7.2.1 − − − Sean → u,→ v ,→ w ∈ Rn , λ ∈ R. Se cumplen las siguientes propiedades: − − − − − − (1) λ(→ u ·→ v ) = (λ→ u)·→ v =→ u · (λ→ v ). − − − − (2) → u ·→ v =→ v ·→ u. − − − − − − − (3) → u · (→ v +→ w) = → u ·→ v +→ u ·→ w.

Definici´ on 7.2.2 − La longitud de → u es − − |→ u | =k → u k=

q √ → − − u ·→ u = u21 + u22 + . . . + u2n .

´ N 7.2. EL ESPACIO EUCLIDIANO DE DIMENSION

135

Teorema 7.2.2: Propiedades de la longitud de un vector − 1. k → u k≥ 0. → − − − 2. k → u k= 0 ⇐⇒ → u = 0. − − 3. k λ→ u k= |λ| k → u k. 4. Desigualdad de Cauchy-Schwarz-Buniakovsky − − − − |→ u ·→ v | ≤k → u kk→ v k. − − − − − − 5. |→ u ·→ v | =k → u kk→ v k⇐⇒ → u y→ v son linealmente dependientes. 6. Desigualdad triangular − − − − − − |k→ u k−k→ v k | ≤k → u +→ v k≤k → u k+k→ v k. 7. Regla del paralel´ ogramo − − − − − − k→ u +→ v k2 + k → u −→ v k2 = 2 k → u k2 +2 k → v k2 . 8. Generalizaci´ on del teorema de Pit´ agoras − − Sean → x e → y vectores ortogonales. Por analog´ıa con la geometr´ıa euclidiana cl´asica, lla− − − maremos a la suma → x +→ y la hipotenusa del tri´angulo rect´angulo determinado por → x e → − y. − − − − − − − − − − − − k→ x +→ y k2 = (→ x +→ y ) · (→ x +→ y)=→ x ·→ x + 2→ x ·→ y +→ y ·→ y → − → − 2 2 =k x k + k y k . − − − − − − 9. Si → x e→ y vectores ortogonales, entonces k → x +→ y k2 =k → x −→ y k2 . 10. Teorema del coseno − − − − − − − − − − − − k→ x −→ y k2 = (→ x +→ y ) · (→ x +→ y)=→ x ·→ x − 2→ x ·→ y +→ y ·→ y → − → − → − → − → − → − 2 2 =k x k + k y k −2 k x kk y k cos( x , y ). Demostraci´ on: 1. Es consecuencia de la definici´ on. 2. Es inmediato 3. − − − − − − k λ→ u k2 = λ→ u · λ→ u = λ2 → u ·→ u = λ2 k → u k2 . Lo que implica − − k λ→ u k = |λ| k → u k. 4.

− − − − ˆ Si uno de los vectores es nulo, entonces → u ·→ v =0 yk→ u kk→ v k= 0. Por tanto , se tiene la igualdad entre ambas expresiones. → − − ˆ Supongamos que → u 6= 0 . Usando la propiedad (??), se cumple para todo escalar λ ∈ R : − − − − − − − − − − 0 ≤ (λ→ u +→ v ) · (λ→ u +→ v ) = λ2 → u ·→ u + 2λ→ u ·→ v +→ v ·→ v → − → − → − → − 2 2 2 ≤ λ k u k +2λ u · v + k v k .

CAP´ITULO 7. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES EN EL PLANO VECTORIAL

136

→ − − u ·→ v queda tomando λ = − → − k u k2 ≤

− − − − (→ u ·→ v )2 (→ u ·→ v )2 − −2 → +k→ v k2 → − − 2 k u k k u k2

− − (→ u ·→ v )2 − ≤k → v k2 . → − k u k2 5. − − − − − − − − (→ u +→ v ) · (→ u +→ v ) =k → u k2 +2λ→ u ·→ v+k→ v k2 . Ch−S−B

≤

− − − − − − k→ u k2 +2 k → u kk → v k+k→ v k2 = (k → u k+k→ v k)2

− − − − De donde se deduce que k → u +→ v k≤k → u k+k→ v k. 6. − − − − − − − − − − − − k→ u +→ v k2 = (→ u +→ v ) · (→ u +→ v)=→ u ·→ u + 2→ u ·→ v +→ v ·→ v → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − 2 k u − v k = (u − v)·(u − v) = u · u −2u · v + v · v sumando ambas ecuaciones, se obtiene: − − − − − − k→ u +→ v k2 + k → u −→ v k2 = 2 k → u k2 +2 k → v k2 .  Corolario de la desigualdad de Cauchy-Schwarz-Buniakovsky − − − − − − − − − − |→ u ·→ v | ≤k → u kk→ v k⇐⇒ − k → u kk→ v k≤ → u ·→ v ≤k → u kk→ v k. − − Si → u y→ v son no nulos, entonces: −1 ≤

→ − − u ·→ v ≤ 1. → − − k u kk → v k

Esto permite definir el ´ angulo no orientado entre dos vectores. Definici´ on 7.2.3 − − El ´ angulo entre dos vectores → u y→ v es el ´angulo comprendido entre 0 y π cuyo coseno es → − − u ·→ v . → − − k u kk→ v k Definici´ on 7.2.4 − − − − Dos vectores → u y→ v se dicen ortogonales si → u · → v = 0.

− − − − Notaci´ on: Si → u y→ v son ortogonales, escribiremos → u ⊥ → v. → − → − ˆ Si u y v son ambos no nulos y ortogonales, entonces el ´ angulo formado por ellos es de π2 . → − ˆ El vector 0 es ortogonal a cualquier vector de Rn . →, . . . , − → son ortogonales dos a dos, entonces ellos son linealmente ˆ Si un conjunto de vectores − u u 1

k

independientes. ˆ Si una suma de vectores ortogonales es cero, entonces cada sumando es cero. − → − − − ˆ Si → u y→ v son ortogonales, entonces → u ⊥ λv, cualquiera sea el escalar λ.

´ N 7.2. EL ESPACIO EUCLIDIANO DE DIMENSION

7.2.1

Subespacios, complementos ortogonales y sumas directas

Definici´ on 7.2.5 1. Los subespacios de dimensi´ on 1 los llamaremos rectas. Por ser de dimensi´on 1 son subespacios − generados por un vector → v , en este caso diremos que la recta tiene la direcci´on del vector → − v. 2. Los subespacios de dimensi´ on 2 los llamaremos planos. Por ser de dimensi´on 2 son subes− − pacios generados por un par de vectores → u y→ v , en este caso diremos que el plano tiene la → − → − → − direcci´ on del vector N ortogonal a u y v .

Ecuaciones param´ etricas de una recta vectorial En R2 , o n → − → − → − − − u 6= 0 , λ ∈ R . l es una recta ⇐⇒ l = λ→ u ∈ R2 → En particular, → − → − − − v ∈ l ⇐⇒ → v = λ→ u,

para alg´ un λ ∈ R. → − v = (v1 , v2 ) = λ(u1 , u2 ), entonces vi = λui , i = 1, 2. Las ecuaciones: v1 = λu1 , v2 = λu2 , se llaman ecuaciones param´etricas de la recta. Esto es extendible a cualquier Rn . Definici´ on 7.2.6 1. Subespacio generado por una familia de vectores: Sean V = {v1 , v2 , . . . , vn } vectores del espacio vectorial Rn . El subespacio generado por V , S[V ] es el menor subespacio que contiene a V y consiste de todas las combinaciones lineales de elementos de V . − − − S[V ] = {λ1 → v1 , λ2 → v2 , . . . , λ k → vk ; λi ∈ R, i = 1, . . . , k} 2. Dada dos subespacios de Rn , se llama suma de S1 y S2 a: − − →+− →; → − S1 + S2 = {→ v ∈ Rn : → v =− u u 1 2 ui ∈ Si } 3. Si S1 , S2 son subespacios de Rn tal que: S = S1 + S2 → − S1 ∩ S2 = { 0 } Entonces se dice que S es suma directa de los subespacios S1 y S2 y se denota S = S1 ⊕ S2 . 4. Si Rn es suma directa de dos subespacios, es decir, Rn = S1 ⊕ S2 , se dice que los subespacios S1 , S2 son suplementarios. 5. Si S es un subespacio de Rn , se llama complemento ortogonal de S al conjunto − − − − S⊥ = { → v ∈ Rn : → v ⊥→ u , ∀→ u ∈ S }. Teorema 7.2.3 El complemento ortogonal de un subespacio es un subespacio. Demostraci´ on: Ejercicio.

137

CAP´ITULO 7. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES EN EL PLANO VECTORIAL

138

7.2.2

Bases ortonormales

n→ − → − o Sea i, j una base de R2 y consideremos dos vectores cualesquiera: − → − → − → → − → − → − u = x i + y j y u0 = x0 i + y 0 j . → − → − → − → − Sean α =k i k, β =k j k y γ = i · j . p → − → − → − − − u · u0 = αxx0 + βyy 0 + γ(xy 0 + yx0 ), si en particular, → u = u0 , entonces k → u k= αx2 + βy 2 + 2γxy. Para que p − k→ u k= x2 + y 2 se debe cumplir que : α = β = 1 y γ = 0. Esto es la inspiraci´on para definir el concepto de base ortonormal y en esto radica tambi´en su utilidad. Definici´ on 7.2.7 El conjunto de vectores B = { e1 , . . . en } de Rn se dice una base ortogonal si: ˆ ei · ej = 0, para todo i 6= j,

i, j ∈ { 1, 2, . . . , n } .

ˆ k ei k6= 0, para todo i = 1, 2, . . . n.

Si adem´ as, los vectores tienen longitud 1, se dice que la base es ortonormal. 1. La base can´ onica en Rn es ortonormal. 2. B = { (1, −1), (−1, 1) } est´ a formada por vectores ortogonales cuya longitud es

√

2.

ˆ v1 ⊥ v2 ya que v1 · v2 = (1, 1) · (−1, 1) = 0. √ √ ˆ ||(1, 1)|| = ||(−1, 1)|| = 12 + 12 = 2.

Por lo tanto, la base es ortogonal. A partir de ella se puede obtener una base ortonormal normalizando  los vectores,   dividi´endolos  por la longitud de ellos. As´ı, la base ortonormal correspondiente 1 1 1 1 √ ,√ es , −√ , √ . 2 2 2 2 Teorema 7.2.4: M´ etodo de ortogonalizaci´ on de Gram-Schmidt Si S es un subespacio vectorial de Rn y { f1 , f2 , . . . , fk } , k < n es una base ortogonal de S , entonces existen vectores fk+1 , . . . , fn de modo que { f1 , f2 , . . . , fn } , es una base ortogonal de Rn . Corolario 7.2.5 → − Dado un vector f1 = 6 0 de Rn , existen vectores f2 , . . . , fn de modo que { f1 , f2 , . . . , fn } , es una base ortogonal de Rn . Teorema 7.2.6 Todo conjunto de vectores ortogonales es l.i. − − − − El conjunto de dos vectores { → vi ∈ Rn }, con → vi = 6 0 tal que → vi · → vj = 0, si i 6= j, es l.i.

Demostraci´ on → − − − λ1 → v1 + λ 2 → v2 = 0 − − − (λ1 → v1 + λ 2 → v2 ) · → v1 = 0 → − → − → − 2 λ1 || v1 || + λ2 v2 · v1 = 0. − − − Multiplicando la combinaci´ on lineal λ1 → v1 + λ 2 → v2 por → v2 se concluye que λ2 = 0.

7.3. APLICACIONES LINEALES

7.3

139

Aplicaciones lineales

Una aplicaci´ on T : Rn −→ Rn es lineal si satisface las siguientes condiciones: − − − − − − 1. T (→ x +→ y ) = T (→ x ) + T (→ y ), para todo → x, → y ∈ Rn . − − − 2. T (λ → x ) = λ T (→ x ), para todo → x ∈ Rn y para todo λ ∈ R.

Ejemplo 7.1 → − − 1. La aplicaci´ on constante nula, T (→ x ) = 0 , es lineal. Es la u ´nica aplicaci´on constante lineal. 2. La aplicaci´ on id´entica es lineal. − − 3. La aplicaci´ on, T (→ x ) = λ→ x , es lineal y se llama homotecia de raz´on λ.

Representaci´ on matricial de una aplicaci´ on lineal Para una mejor comprensi´on de esta idea, lo − − haremos en dimensi´ on 2. Sea { → e1 , → e2 } una base de R2 . → − u = xe1 + ye2 → − T ( u ) = xT (e1 ) + yT (e2 ) − T (→ u ) = x(ae1 + be2 ) + y(ce1 + de2 ) → − T ( u ) = (ax + cy)e + (bx + dy)e 1

2

− T (→ u ) = (x01 , x02 ) = (ax + cy, bx + dy)

As´ı vemos que los n´ umeros que determinan la transformaci´on son a, b, c, d. Estos suelen ordenarse en la  a b matriz de la forma , en que cada columna corresponde a las componentes del transformado de c d la base. Por esta raz´ on, las bases uno debe consideralas siempre en el mismo orden. Con esta matriz, el c´ alculo de la imagen por T responde al producto de matrices como veremos a continuaci´on.   x − T (→ u ) = T (x, y) = M (T ) y      a c x ax + cy = = b d y bx + dy De estas reglas proviene la necesidad de escribir los vectores como matriz columna. Tambi´en es necesario enfatizar que la matrix depende de la base elegida. Forma general de la representaci´ on matricial de una aplicaci´ on lineal Sea T una aplicaci´ on lineal y B = { e1 , e2 , . . . , en } una base de Rn . Cada vector T (ei ) se escribe en t´erminos de los vectores de B. T (e1 ) = a11 e1 + a21 e2 + . . . + an1 en T (e2 ) = a12 e1 + a22 e2 + . . . + an2 en ... = ... ... = ... T (en ) = a1n e1 + a2n e2 + . . . + ann en

Los escalares aij definen una matriz que denotaremos M (T ) relativa a la base B, en que los coeficientes de la imagen de ei por T forman la columna i de la matriz. La utilidad de esta matriz quedar´a clara

CAP´ITULO 7. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES EN EL PLANO VECTORIAL

140

despu´es del siguiente c´ alculo. n n X X Sea x = αi ei y su imagen por T , y = T (x) = βk ek . Vamos a expresar las componentes βi de y en i=1

k=1

t´erminos de las componentes αi de x. y=

n X

βk ek = T (x) = T

=

n X

αi

i=1

! aki ek

k=1

=

! αi ei

n X

i=1 n X

k=1

i=1

k=1 n X

n X

=

n X

αi T (ei )

i=1

! aki αi

ek .

de aqui se deduce que: βk =

n X

aki αi ,

k = 1, 2, . . . n.

i=1

expl´ıcitamente β1 = a11 α1 + a12 α2 + . . . + a1n αn β2 = a21 α1 + a22 α2 + . . . + a2n αn βj = ........ βn = an1 α1 + an2 α2 + . . . + ann αn Las im´ agenes por T de cualquier vector est´an completamente determinadas por los coeficientes de la matriz M (T ). Escribiendo el vector x como un vector columna, el c´alculo de su imagen responde a las reglas del producto de matrices.      a11 a12 . . . a1n α1 β1  a21 a22   α2   β2  . . . a 2n   =  . T (x) = M (T )x =   · · . . . . . .  . . . . . . an1 an2 . . . ann αn βn − − ¿ La imagen de una base ¿es una base? Sea {→ e1 , → e2 } base de R2 . → − − − − T (→ e1 ) = f1 = (a, b) = a→ e1 + b→ e2 → − → − → − → − T ( e ) = f = (c, d) = c e + d e . 2

2

1

2

− − Veamos si los vectores T (→ e1 ), T (→ e2 ) son linealmente independiente. → − → − → − → − → − − − λ1 f1 + λ2 f2 = 0 ⇔ λ1 T (→ e1 ) + λ2 T (e2 ) = 0 ⇔ T (λ1 → e1 + λ 2 e2 ) = 0 . → − → − − − Para que λ1 = λ2 = 0 se necesita que T (→ v ) = 0 =⇒ → v = 0 . La respuesta la da el siguiente teorema. Teorema 7.3.1 → − → − − − u = 0 =⇒ → u = 0 ) ⇔ T es inyectiva. (T → Demostraci´ on: → − − (=⇒) Sean u y → v dos vectores cualesquiera de Rn , con una misma imagen. → − − − − − T (→ u ) = T (→ v ),entonces aplicando linealidad T (→ u −→ v)= 0 → − − − por hip´ otesis se tiene → u −→ v = 0. − − Por tanto,→ u =→ v. → − → − − − (⇐=) si T es inyectiva y T (→ u ) = 0 , se tiene que T (→ u ) = T ( 0 ). Lo que implica, dada la inyectividad → − − de T que → u = 0. 

7.3. APLICACIONES LINEALES

141

Consecuencia del teorema En virtud del teorema reci´en probado, tenemos que si T es inyectiva − entonces el conjunto =⇒ {T (→ e1 ), T (e2 )} es linealmente independiente en R2 y forma una base de R2 . Lo que es lo mismo que decir que si T es inyectiva, entonces las columnas de la matriz de T don l.i. Corolario 7.3.2 Si ad − cb 6= 0 entonces el sistema lineal homog´eneo      a c x 0 = . b d y 0 tiene una u ´nica soluci´ on: la nula. Demostraci´ on: xa + yc = 0 xb + yd = 0 multiplicando la primera ecuaci´ on por b y la segunda por a, nos queda xab + ycb = 0 xab + yad = 0 Restando ambas ecuaciones, tenemos y(ad − cb) = 0. Como ad − cb 6= 0 se tiene y = 0. con un razonamiento an´alogo se concluye que x = 0. As´ı obtenemos que la u ´nica soluci´ on es la nula.  En s´ıntesis tenemos el siguiente teorema. Teorema 7.3.3  La transformaci´ on lineal T con matriz M (T ) =

a b

 c es biyectiva ⇔ det(M (T )) 6= 0 ⇔ los d

vectores (a, b), (c, d) son l.i.

 Ejemplo Sea la transformaci´ on lineal con matriz

2 −1

 3 . Encontrar la imagen de la recta vectorial 0

l con direcci´ on (3, 1) bajo T . (

x = 3t , entonces y=t      2 3 3t 9t T (x, y) = T (3t, t) = = . −1 0 t −3t (x, y) ∈ l ⇔

− Esto nos dice que la imagen de l es la recta con direcci´on → v = (9, −3). Observemos que la direcci´on de la recta imagen es la imagen del vector director de l.      2 3 3 9 = . −1 0 1 −3 Definici´ on 7.3.1 → − − − − Si → u 6= 0, el conjunto de vectores S = { λ→ u | 0 ≤ λ ≤ 1 } es el segmento que va desde 0 a → u. → − → − Si u = 0 el segmento se reduce a un punto. − − − − − El conjunto { → u + λ→ v | 0 ≤ λ ≤ 1 } es el segmento entre → u y→ u +→ v.

CAP´ITULO 7. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES EN EL PLANO VECTORIAL

142

Teorema 7.3.4 1. Una transformaci´ on lineal transforma rectas en rectas o en un punto. 2. Una transformaci´ on lineal transforma segmentos en segmentos. Demostraci´ on: Ejercicio.

7.3.1

Ejercicios

1. Demuestre que una transformaci´ on lineal T inyectiva transforma rectas que pasan por el origen en rectas que pasan por el origen. − − − − 2. ¿Qu´e describe el conjunto de vectores { λ→ u + µ→ v | 0 ≤ λ ≤ 1, 0 ≤ µ1 } si → u y→ v son l.i? − − 3. Sea → e un vector de longitud 1. Probar que si → x ∈ Rn , este vector puede ser representado de manera → − → − → − → − → − − − u ´nica como x = α e + z , donde z · e = 0. El vector α→ e se llama la proyecci´on ortogonal de → x → − → − − x . Probar que: en la direcci´ on de e y se denota p→ e → − → − → − → − − − − (a) p→ e y . e x + p→ e ( x + y ) = p→ → − → − − (λ x ) = λp→ − x. (b) p→ e

e

− − (c) α = → x ·→ e. − − − − − (d) Para cualquier base ortonormal {e1 , e2 } de Rn , → x = (→ x ·→ e1 )e1 + (→ x ···→ e2 )e2 .

7.3.2

Teorema del rango

Definici´ on 7.3.2 → − Se llama N´ ucleo o Kernel de una aplicaci´on lineal al conjunto de las preim´agenes del 0 . En s´ımbolos: n → − o − − ker(T ) = → x ∈ Rn : T → x = 0 .

Ejemplo 1. Si T es la aplicaci´ on id´entica entonces, ker T = {0}. − 2. Si T (x, y) = (x, 0) entonces, ker(T ) = { → u = (0, y) | y ∈ R }. Definici´ on 7.3.3 Se llama Imagen de una aplicaci´ on lineal al conjunto : − − − − Im(T ) = { → y ∈ Rn : tal que existe → x ∈ Rn que cumple con T (→ x)=→ y }. Como el nombre lo indica es el conjunto de las im´agenes por T . Ejemplo 1. Si T es la aplicaci´ on id´entica entonces, Im(T ) = Rn . − 2. Si T (x, y) = (x, 0) entonces, Im(T ) es el subespacio generado por → e1 .

7.4. VALORES Y VECTORES PROPIOS

143

Teorema 7.3.5 Si T ∈ L(Rn ),ker(T ) y Im(T ) son subespacios. Demostraci´ on: Ejercicio. Teorema 7.3.6: Teorema del rango Si T ∈ L(Rn ), se cumple que dim ker(T ) + dim Im(T ) = dim Rn . Demostraci´ on: Haremos la demostraci´on en dimensi´on dos. n→ − o Si dim ker(T ) = 0. En este caso tenemos que ker(T ) = 0 , por tanto T es inyectiva y la imagen de una base de R2 es una base de Im(T ). Lo que implica que dim Im(T ) = 2. Se cumple el teorema. n→ − o Si dim ker(T ) = 2. se tiene que ker(T ) = R2 y Im(T ) = 0 . En este caso tambi´en se cumple el teorema. − Si dim ker(T ) = 1. existe un vector no nulo que es base de este subespacio. Sea → u tal vector. Por otra → − parte, T no es la aplicaci´ on nula, por lo que existe v ∈ Im(T ) no nulo. Por esta raz´on , la dimensi´ on − − de Im(T ) puede ser uno o dos. Supongamos que dim Im(T ) = 2. Sea { → v1 , → v2 } una base de Im(T ) − − y sean → y1 , → y2 las preim´ agenes de los vectores de la base. − − − Demostraremos que el conjunto { → u,→ y1 , → y2 } es l.i. en el dominio de T lo que implica una contradicci´ on. Por lo tanto, la dimensi´ on de Im(T ) debe ser uno y tenemos que el teorema se cumple. → − − − − α→ u + β→ y1 + γ → y2 = 0 , → − − − − T (α→ u + β→ y1 + γ → y2 ) = 0 , → − − − − αT (→ u ) + βT (→ y ) + γT (→ y )= 0, 1

2

→ − − − βT (→ y1 ) + γT (→ y2 ) = 0 ,

− como → u ∈ ker(T ), como los vectores son l.i.

β = γ = 0. Retomando la primera ecuaci´on nos queda → − − α→ u = 0 , lo que implica α = 0.  Comentario Una consecuencia de este teorema es que para toda T ∈ L(Rn ) la inyectividad es equivalente a la sobreyectividad.

7.4

Valores y vectores propios

Sea T : R2 −→ R2 una transformaci´ on lineal. Trataremos de entender el comportamiento de T mediante el conocimiento de los subespacios invariantes de dimensi´on uno, lo que equivale a determinar las direcci´ones que permanecen invariante bajo la acci´ on de T. → − − Si S un subespacio de dimensi´ on 1 de R2 , significa que S es generado por alg´ un vector → u 6= 0 , de modo que : − − S ={→ v = λ→ u, λ ∈ R }. Si adem´ as, S es invariante por la transformaci´on T , entonces T (S) ⊂ S, lo que implica: → − v ∈ S,

− − − T (→ v ) ∈ S ⇐⇒ T (→ v ) = λ→ u, λ∈R − − ⇐⇒ T (µ→ u ) = λ→ u , λ, µ ∈ R − − ⇐⇒ T (→ u ) = α→ u , α ∈ R.

CAP´ITULO 7. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES EN EL PLANO VECTORIAL

144

Esta equivalencia nos dice que para que un subespacio de dimensi´on 1 permenezca invariante bajo T , es necesario y suficiente que la imagen de vector generador tenga la misma direcci´on de su preimagen; lo que inspira la siguiente definici´ on. Definici´ on 7.4.1 − Se llama vector propio de T a un vector → v 6= λ se llama valor propio y se dice que el vector

→ − − − 0 , si T (→ v ) = λ→ v , para alg´ un λ ∈ R. En tal caso → − v est´a asociado a λ.

Todo subespacio unidimensional invariante se define por un vector propio, e inversamente, cada vector propio genera un subespacio invariante unidimensional. − − − − T (→ v ) = λ→ v ⇐⇒ M (T )→ v = λ→ v → − − ⇐⇒ (M (T ) − λI )→ v = 0. 2

Esto da origen a un sistema lineal homog´eneo con dos inc´ognitas. El sistema tiene una soluci´on no nula si y solo si det(M (T ) − λI2 ) = 0. Teorema 7.4.1 λ es valor propio de T si solo si (λI − M (T )) tiene determinante nulo. Demostraci´ on: → − − − − λ es valor propio de T ⇐⇒ existe → v 6= 0 tal que T (→ v ) = λ→ v. → − → − → − → − ⇐⇒ T ( v ) = λI( v ) = (λI − T )T ( v ) = 0 ⇐⇒ λI − T no es inyectiva ⇐⇒ det(λI − T ) = 0.  Definici´ on 7.4.2 p(λ) = det(λI − M (T )); se llama polinomio caracter´ıstico de T o de M (T ).

Ejemplo − − − 1. Si T (→ u ) = 2→ u , para todo → u ∈ R2 .  T (u1 , u2 ) =

2 0

    0 u1 2u1 = . 2 u2 2u2

→ − − El u ´nico valor propio es 2 y cualquier → u 6= 0 , es vector propio correspondiente al 2. En particular, (1, 0) y (0, 1) son valores propios de T , por lo tanto el subespacio generado por los vectores propios es R2 . 2. Sea T tal que  T (u1 , u2 ) =

0 1

    −1 u1 −u2 = . 0 u2 u1

− − Para encontrar los valores propios se debe resolver la ecuaci´on T (→ u ) = λ→ u. − − T (→ u ) = λ→ u ⇐⇒ (λu1 , λu2 ) = (−u2 , u1 ) ( λu1 = −u2 (1) ⇐⇒ Reemplazando (1) en (2) se obtiene que(1 + λ2 )u1 = 0. λu2 = u1 (2)

Lo que implica que u1 = 0. En tal caso, u2 = 0, lo que no puede ser pues los vectores propios son distintos de cero. Por lo tanto, T no tiene valores propios en R.

7.4. VALORES Y VECTORES PROPIOS 3. Sea M (T ) =

 1 0

145

 1 . 2 

p(λ) = det(M (T ) − λI2 ) = det

1−λ 0

 1 = (1 − λ)(2 − λ) = 0. 2−λ

T tiene dos valores propios, λ1 = 1 y λ2 = 2. − Ahora podemos calcular los valores propios. Sea → v =    v 1 − T (→ v ) =M (T ) 1 = v2 0

  v1 , entonces: v2

      1 v1 v + v2 v = 1 =λ 1 . 2 v2 2v2 v2

Igualando las componentes de los vectores, obtenemos el sistema de ecuaciones: v1 + v2 2v2

= =

λv1 λv2 .

  1 Resolviendo el sistema para λ = 1, obtenemos el vector propio . Si λ = 2, obtenemos el vector 0   1 propio . 1   3 4 4. Si M (T ) = , los valores propios de T son ±5. En efecto, 4 −3 La ecuaci´ on caracter´ıstica es det(M (T ) − λI2 ) = 0 ⇐⇒ λ2 − 25 = 0. − − Los vectores propios deben cumplir con la condici´on T (→ u ) = λ→ u. (      3u1 + 4u2 = λu1 3 4 u1 5u1 = ⇐⇒ ⇐⇒ (7 − λ)u1 = (λ − 1)u2 . 4 −3 u2 5u2 4u1 − 3u2 = λu2 −   2 ˆ Si λ = 5, se obtiene el vector propio . 1   1 ˆ Si λ = −5, se obtiene el vector propio . −2 Propiedades de los valores propios 1. Si M (T ) y M 0 (T ) son matrices asociadas a T con respecto a bases distintas, el polinomio caracter´ıstico permanece invariante. Esto es consecuencia del hecho que el determinante de una matriz es invariante por cambio de base. 2. Si un valor propio de T es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica de multiplicidad k se le puede asociar k vectores propios l.i. 3. Una transformaci´ on lineal T tiene valor propio cero si y solo si T no es inyectiva. Teorema 7.4.2 Sea T : R2 −→ R2 una transformaci´ on lineal, λ valor propio de T entonces, se cumple que: 1. El conjunto de los vectores propios asociados a λ es un subespacio Sλ no vacio de R2 . 2. Sλ es invariante bajo T .

146

CAP´ITULO 7. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES EN EL PLANO VECTORIAL Teorema 7.4.3 Sea T : R2 −→ R2 una transformaci´ on lineal, λ1 , λ2 valores propios de T . Si λ1 6= λ2 entonces, los vectores propios asociados son l.i.

Demostraci´ on: Dada la combinaci´ on lineal → − − − α1 → v1 + α2 → v2 = 0 , → − − − T (α → v +α → v )= 0 1 1

(1),

2 2

→ − − − α1 T (→ v1 ) + α2 T (→ v2 ) = 0 → − − − α λ → v +α λ → v = 0,

(2)

multiplicando (1) por λ1 , se obtiene: → − − − α λ → v +α λ → v = 0,

(3)

1 1 1

1 1 1

se tiene que

2 2 2

2 1 2

→ − − Restando (3)-(1)α2 (λ2 − λ1 )→ v2 = 0 . → − − Como → v2 6= 0 y λ2 − λ1 6= 0, se concluye que α2 = 0. Multiplicando (1) por λ2 , se concluye, de forma an´aloga que, α1 = 0. − − Por lo tanto, el conjunto { → v1 , → v2 } es l.i. Corolario 7.4.4: S T : R2 −→ R2 tiene dos valores propios distintos, entonces existe una base de R2 de vectores propios y la matriz que representa a T en esta base es   λ1 0 . 0 λ2 Teorema 7.4.5 La matriz de una transformaci´ on lineal T con respecto a una base { f1 , f2 } es diagonal si y solo si todos los vectores de la base son vectores propios de T. Teorema 7.4.6 Si una transformaci´ on lineal tiene dos valores propios diferentes, existe una base de vectores propios de T . Si todas las ra´ıces del polinomio caracter´ısico de T son distintos, existe una matriz S invertible, tal que S −1 M (T )S es diagonal. Teorema 7.4.7 Los valores propios de T son invariantes por cambio de base. Demostraci´ on: Basta demostrar que λI − M (T ) y (λI − B −1 M (T )B) tienen el mismo polinomio caracter´ıstico. det(λI − M (T )) = det[B −1 (λI − M (T ))B] = det(λB −1 B − B −1 M B) = det(λI − B −1 M B).  Comentario Hemos visto que si una aplicaci´ on T tiene dos valores propios distintos entonces es diagonalizable. El resultado rec´ıproco es falso. Existen transformaciones T con un valor propio de multiplicidad 2 diagonalizables, por ejemplo la aplicaci´ on id´entica, cuyo polinomio caracter´ıstico es pI (λ) = (1 − λ)2 .

7.5. TRASFORMACIONES ORTOGONALES

147

En cambio, la aplicaci´ on  T (x1 , x2 ) =

1 k

    0 x1 x1 = 1 x2 kx1 + x2

tiene polinomio caracter´ıstico igual que la identidad, pero el subespacio generado por el valor propio 1, con multiplicidad 2 genera un subespacio de dimensi´on 1 por lo que la matriz de dicha aplicaci´on no es diagonalizable. Teorema 7.4.8 Una aplicaci´ on lineal T es diagonalizable si y solo si existe una base de vectores propios.

Los tipos de aplicaciones y sus valores propios 1. Los valores propios de una matriz diagonal son los elementos de la diagonal. 2. Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de la diagonal. 3. Los valores propios de T sim´etrica son reales. Sea M una matriz sim´etrica.   a b M= entonces b c   λ−a b det(M − λI) = det = (λ − a)(λ − c) − b2 = λ2 − (a + c)λ + (ac − b2 ) = 0 b λ−c El discriminante de la ecuaci´ on es ∆ = (a + c)2 − 4(ac − b2 ) = ∆a2 + 2ac + c2 − 4ac + 4b2 = (a − c)2 + 4b2 , Por ser suma de cuadrados ∆ ≥ 0, para todo a, b, c ∈ R2 . Por esta raz´ on, el polinomio caracter´ıstico tiene siempre ra´ıces reales. En particular, las ra´ıces son distintas cuando a 6= c o b 6= 0. − − − 4. Si T es una aplicaci´ on lineal sim´etrica tal que M (T )→ x ·→ x ≥ 0 para todo → x ( semidefinida positiva), los valores propios son no negativos. 5. Si T es una aplicaci´ on lineal antisim´etrica, t M (T ) = −M (T ), sus valores propios son cero o imaginario puro.

7.5

Trasformaciones ortogonales

Definici´ on 7.5.1 Una aplicaci´ on T ∈ L(Rn , Rn ) se dice ortogonal si preserva el producto escalar, es decir − − − − − − T (→ x ) · T (→ y)=→ x ·→ y , para todo→ x,→ y ∈ Rn . Teorema 7.5.1 Si T ∈ L(Rn , Rn ), son equivalentes las siguientes afirmaciones: 1. T es ortogonal. − − − 2. T preserva la longitud de los vectores: k T (→ x ) k=k → x k, para todo → x ∈ Rn . − − 3. Si k → x k= 1 entonces k T (→ x ) k= 1.

CAP´ITULO 7. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES EN EL PLANO VECTORIAL

148

Demostraci´ on 1) =⇒ 2) − − − − − T ortogonal =⇒ T (→ x ) · T (→ x)=→ x ·→ x , para todo→ x ∈ Rn . − − =⇒k T (→ x ) k2 =k → x k2 . − − =⇒k T (→ x ) k=k → x k. 2) =⇒ 1) − − − − − − − − − − − − − − T (→ x +→ y ) · T (→ x +→ y ) − T (→ x −→ y ) · T (→ x −→ y =k T (→ x +→ y ) k2 − k T (→ x −→ y ) k2 = 2T (→ x ) · T (→ y) de manera an´ aloga − − − − − − k→ x +→ y k2 − k → x −→ y k2 = 2→ x ·→ y. → − → − → − → − → − − − − 2 2 Por hip´ otesis k x + y k − k x − y k =k T ( x + → y ) k2 − k T (→ x −→ y ) k2 . Lo que implica la igualdad de las dos ecuaciones anteriores y por lo tanto

− − − − T (→ x ) · T (→ y)=→ x ·→ y. 2) =⇒ 3) Es inmediata. − − 3) =⇒ 2) Sea → x un vector no nulo de Rn . El vector → y =

→ − x tiene longitud 1. aplicando la hip´otesis, → − k x k

obtenemos:  →  − x 1 − = → T (→ x ). − k→ x k k− x k − − Lo que implica k T (→ x ) k=k → x k.

− 1 = T (→ y)=T

 Notaci´ on

El conjunto de las transformaciones lineales ortogonales de Rn se denota por O(Rn ).

Algunas propiedades de las transformaciones ortogonales

Sea T ∈ O(Rn ).

1. t T ◦ T = I. 2. O(Rn ) es un grupo con respecto a la composici´on de funciones y se llama grupo ortogonal de Rn . 3. Los valores propios de T ortogonal son ±1. − − − − k T (→ v ) k=k → v k=k λ→ v k= |λ| k → v k → − como k v k6= 0, se tiene que |λ| = 1, lo que implica λ = ±1. 4. Si S es un subespacio de Rn , tal que T (S) ⊂ S, entonces: ˆ T (S) = S. ˆ T (S ⊥ ) = S ⊥ .

Demostraci´ on: ˆ T es inyectiva, implica dim T (S) = dim S,por lo tanto T (S) = S.

7.5. TRASFORMACIONES ORTOGONALES

149

ˆ Si y ∈ T (S ⊥ ) existe x ∈ S ⊥ tal que y = T (x). Seg´ un el resultado del item anterior todo v ∈ S se puede escribir como v = T (u) para alg´ un u ∈ S.

y · v = T (x) · T (u) = x · u = 0. Esto nos dice que T (S ⊥ ) ⊂ S ⊥ . Usando el resultado demostrado en el ´ıtem anterior, se concluye que T (s⊥ ) = S ⊥ . 5. (a) T preserva rectas. (b) T preserva ´ angulos no orientados. Definici´ on 7.5.2 Si E es un espacio vectorial euclidiano, el conjunto de: 1. O+ (E) es el subconjunto de O(E) constituido por las isometr´ıas positivas, es decir las que tienen determinante 1. en otras palabras es el grupo de las rotaciones del plano vectorial. 2. O− (E) es el subconjunto de O(E) constituido por las isometr´ıas negativas, es decir las que tienen determinante −1. Teorema 7.5.2 Dada T ∈ L(Rn ), existe una u ´nica S ∈ L(Rn ) tal que − − − − − − T (→ u)·→ v =→ u · S(→ v ), para todo → u,→ v ∈ Rn . S se llama la transformaci´ on conjugada de T y la denotaremos por t T.

7.5.1

Caracterizaci´ on de las isometr´ıas vectoriales en el plano

Sea T una trasformaci´ on ortogonal en R2 y M la matriz asociada en una base ortonormal B = { e1 , e2 }. 

a11 a21

a12 a22



k T e1 k= a211 + a221 = 1

(7.1)

a212

(7.2)

k T e2 k=

+

a222

=1

T e1 · T e2 = a11 a12 + a21 a22 = 0.

(7.3)

De (7.1) y (7.2) se deduce que existen ϕ y ψ tales que a11 = cos ϕ,

a21 = sen ϕ

(7.4)

a12 = cos ψ,

a22 = sen ψ.

(7.5)

De (7.3) cos ϕ cos ψ + sen ϕ sen ψ = cos(ϕ − ψ) = 0.

(7.6)

Lo que implica que ϕ−ψ =

π 2

o

ϕ−ψ =

3π . 2

(7.7)

CAP´ITULO 7. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES EN EL PLANO VECTORIAL

150

3π 2 en este caso nos queda: ϕ−ψ =



a12 a22

 3π = cos ψ = cos ϕ − = − sen ϕ. 2   3π = sen ψ = sen ϕ − = cos ϕ. 2

Por lo tanto, la matriz T puede ser escrita como: 

 cos ϕ − sen ϕ sen ϕ cos ϕ.

π 2 En este caso, la matriz T queda en la forma:  ϕ−ψ =

cos ϕ sen ϕ sen ϕ − cos ϕ



Valores propios de una trasformaci´ on ortogonal en R2 Rotaci´ on det(T − λI) = (cos ϕ − λ)2 + sen2 ϕ = 0 = λ2 − 2 cos ϕ + 1 = 0. Entonces, p

4 cos2 ϕ − 4 . 2 Si λ 6= kπ, k ∈ Z, la aplicaci´ on T con matriz T no tiene valores propios reales.Por lo que no existen n→ − o 0 . Veamos ahora los subespacios (rectas) invariantes. El u ´nico subespacio invariante es el trivial casos en que ϕ = 0 o ϕ = π. λ=

2 cos ϕ ±

ϕ = 0 La matriz se escribe 

1 0

 0 1

Es decir, tenemos la aplicaci´ on id´entica, que puede considerarse una rotaci´on en ´angulo cero. ϕ = π La matriz se escribe  −1 0

 0 −1

Es decir, tenemos la aplicaci´ on T= - I, que es una rotaci´on en ´angulo π o una simetr´ıa con respecto al origen. Reflexi´ on 

 cos θ sen θ Valores propios y subespacios invariantes de T con matriz . Por ser una matriz sim´etrica sen θ − cos θ sus valores propios son reales. El polinomio caracter´ıstico es p(λ) = (λ − cos θ)(λ + cos θ) − sen2 θ. p(λ) = 0 ⇐⇒ λ2 − cos2 θ − sen2 θ = 0 ⇐⇒ λ2 − 1 = 0 ⇐⇒ λ = ±1.

7.5. TRASFORMACIONES ORTOGONALES

151

λ=1 − Sea → v1 = (u, v) vector propio asociado a λ. u = u cos θ + v sen θ

(7.8)

v = u sen θ − v cos θ

(7.9)

sen θ 1 − cos θ . Si cos θ 6= 1, y a u le damos el valor obtenemos que v = 1. sen θ 1 − cos θ Por lo tanto, un vector propio para λ = 1, es:

De (7.8), se tiene v = u

→ − v1 =



 sen θ , 1 . 1 − cos θ

− Subespacio invariante generado por → v el vector unitario que da la direcci´on del subespacio generado es !  r r  sen θ 1 − cos θ 1 − cos θ θ θ → − u = , = cos , sen . 1 − cos θ 2 2 2 2 En el caso que cos θ = 1, entonces (1, 0) es vector propio y el subespacio invariante es el eje X. λ = −1 − − Para completar la base de vectores propios, buscamos un vector → v2 ortogonal a → v1 y es el vector propio correspondiente al valor propio λ = −1. − Sea → v2 = (x, y). sen θ +y =0 1 − cos θ ⇐⇒ x sen θ + (1 − cos θ)y = 0,

→ − − v2 ⊥→ v1 ⇐⇒ x ·

(1) multiplicando esta ecuaci´on por (1 + cos θ) 2

⇐⇒ x sen θ(1 + cos θ) + (1 − cos θ)y = 0 ⇐⇒ x sen θ(1 + cos θ) + sen2 θ y = 0 ⇐⇒ x (1 + cos θ) + sen θ y = 0,

(2)

− − De (1) y (2) se obtiene que T → v2 = −→ v2 . En particular, → − v2 =

 −1 ,

sen θ 1 − cos θ

 .

Definici´ on 7.5.3 − − →+− →. Se Sea R2 = S1 ⊕ S2 . Para → x ∈ R2 existe un u ´nico par (x1 , x2 ) ∈ S1 × S2 tal que → x =− x x 1 2 define la aplicaci´ on p como: p : R2 −→ R2 → − →+− → 7−→ − →. x =− x x x 1

2

1

A p se le llama proyecci´ on de R2 sobre S1 (respectivamente sobre S2 .)

CAP´ITULO 7. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES EN EL PLANO VECTORIAL

152

Teorema 7.5.3: Propiedades de las proyecciones Sean S1 y S2 subespacios suplementarios de R2 = S1 ⊕ S2 y p proyecci´on de R2 sobre S1 paralelamente aS2 , entonces:la 1. p es lineal. 2. ker p = S2 . 3. Imp = S1 . − − − 4. p(→ x)=→ x ⇐⇒ → x ∈ S1 . Es decir S1 es el conjunto de los vectores invariantes por p. Demostraci´ on: Ejercicio. Definici´ on 7.5.4 Sean S1 y S2 subespacios suplementarios de R2 = S1 ⊕ S2 . Se define la aplicaci´on T : R2 −→ R2 → − →+− → 7−→ − →−− →. x =− x x x x 1

2

1

2

T se llama simetr´ıa con respecto a S1 (respectivamente sobre S2 ).

Teorema 7.5.4: Propiedades de las simetr´ıas Sean S1 y S2 subespacios suplementarios de R2 = S1 ⊕ S2 y T la simetr´ıa con respecto S1 paralelamente aS2 , entonces: 1. T es lineal. 2. si p e la proyecci´ on ortogonal proyecci´on de R2 sobre S1 (respectivamente sobre S2 ), entonces T = 2p − I. 3. T es involutiva, es decir, T ◦ T = I. Demostraci´ on: 1. T es lineal lo obtendremos despu´es de demostrar el ´ıtem (2). Ya que resulta ser una combinaci´o lineal de aplicaciones lineales. 2. − − − − − − →−− →) = − →−− → (2p − I)(→ x ) = 2p(→ x)−→ x = 2→ x1−→ x = 2→ x 1 − (− x x x x 1 2 1 2 → − = T ( x ).

3. T ◦ T = (2p − I) ◦ (2p − I) = 4p2 − 2p − 2p + I = I.

Clasificaci´ on de las isometr´ıas vectoriales en R2

7.5. TRASFORMACIONES ORTOGONALES Valores propios

Tipo de trasformaci´on

1, 1

Identidad o rotaci´on ϕ = 0

−1 , −1

Rotaci´on ϕ = π o simetr´ıa central

1 , −1

simetr´ıa con respecto a una recta

no reales

Rotaci´on 0 < ϕ < π

Definici´ on 7.5.5 Se dice que una transformaci´ on es: ˆ Directa si det T = 1 ˆ Indirecta si det T = −1

Teorema 7.5.5 Sea T : R2 −→ R2 una transformaci´ on ortogonal. ˆ Si det T = 1 entonces, T es una rotaci´ on en un ´angulo 0 ≤ ϕ ≤ π . ˆ Si det T = −1 entonces, T es una reflexi´ on con respecto a una recta.

Teorema 7.5.6 Toda transformaci´ıon lineal T en R2 puede descomponerse en la forma T = P ◦ S, donde S es una matriz sim´etrica y P es ortogonal.

7.5.2

Generalizaci´ on de las simetr´ıas

Definici´ on 7.5.6 Si T ∈ L(Rn ) se dice que: 1. T es una involuci´ on si T 2 = T ◦ T = IdE . 2. T es una simetr´ıa si existen dos subespacios suplementarios V y W , Rn = V ⊕ W , tales que: T |V = IdV y T |W = −IdW . Teorema 7.5.7 Sea T : E −→ E lineal. T es una involuci´on si y solo si T es una simetr´ıa. Teorema 7.5.8 Sea T : E −→ E una simetr´ıa, E = V ⊕ W , entonces T es isometr´ıa si y solo si V y W son ortogonales.

153

154

CAP´ITULO 7. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES EN EL PLANO VECTORIAL Definici´ on 7.5.7 Sea V un subespacio de E y W = V ⊥ . La simetr´ıa con respecto a V se llama simetr´ıa ortogonal con respecto a V y se denota σV . Cuando V es un hiperplano (V ⊥ es una recta), se dice que σV es una reflexi´ on ortogonal.

Cap´ıtulo 8

Geometr´ıa Euclidiana del espacio Un pensamiento original siempre es oscuro en sus comienzos; el pensamiento no progresa de la claridad a la claridad: nace en la oscuridad e incluso en la confusi´ on y desde ah´ı avanza hacia de claridad. Alexandre Koyr´e.

8.1

Axiomas del espacio

Ax E1 Existe un conjunto de puntos llamado espacio y algunos subconjuntos de ´el llamados planos. Existen al menos cuatro puntos que no est´an en el mismo plano. Ax E2 Existe un u ´nico plano que contiene tres puntos no colineales. Ax E3 Cada plano satisface los axiomas de la geometr´ıa plana. Las axiomas de congruencia se aplican aunque los objetos est´en en planos distintos. Ax E4 Cada plano separa el espacio en dos conjuntos de puntos de modo que dos puntos est´an en el mismo lado si el segmento que los une no contiene puntos del plano. Dos puntos est´an en lados distintos si el segmento que los une intersecta al plano.

8.1.1

Intersecciones de rectas y planos

Definici´ on 8.1.1 1. Dos rectas en el espacio se dicen coplanares si ellas pertenecen a un mismo plano. 2. Dos rectas coplanares en el espacio son paralelas si no tienen puntos comunes o coinciden. 3. Dos rectas coplanares en el espacio se dicen secantes si tienen un punto com´ un. En el espacio puede haber rectas no paralelas y que no secantes, con la condici´on que pertenezcan a planos distintos. Definici´ on 8.1.2 El ´ angulo entre rectas no coplanares l1 y l2 , se mide tomando un punto P del espacio y trazando por el rectas paralelas l10 y l20 a las rectas dadas y midiendo el ∠(l10 , l20 ).

155

CAP´ITULO 8. GEOMETR´IA EUCLIDIANA DEL ESPACIO

156

l2 l20

l10

l1 α P

´ Figura 8.1: Angulo entre rectas no coplanares Teorema 8.1.1 Si una recta l no pertenece a un plano π y tiene al menos un punto en π, entonces l y π tienen exactamente un punto com´ un.

Demostraci´ on: Sea P el punto de intersecci´ on de π y l. Si hubiera otro punto com´ un, Q, Q 6= P entonces por un axioma de incidencia la recta deteminada por P y Q estar´ıa completamente contenida en el plano. Contradice la hip´ otesis. 

P

Teorema 8.1.2 Existe un u ´nico plano que contiene una recta l y un punto que no pertenece a l . Demostraci´ on: De los axiomas de incidencia sabemos que toda recta est´a determinada por dos puntos. Estos dos puntos son no colineales con un punto que no pertenece a la recta. Usando el axioma E2 se obtiene el teorema.  Teorema 8.1.3 Existe al menos dos planos que contienen una recta dada. Demostraci´ on: Sea l la recta determinada por los puntos A y B. Como existe al menos un punto C no colineal con l, existe un plano π1 determinado por A, B, C. Por otro lado existe al menos un punto D que no est´ a en el plano π1 . Por lo tanto existe un plano π2 distinto de π1 , determinado por A, B, D. ambos contienen a l.  Teorema 8.1.4 Si dos planos distintos tienen al menos un punto com´ un, entonces ellos tienen una recta en com´ un. Demostraci´ on: Es consecuencia directa del axioma de incidencia I6 . Teorema 8.1.5 Dos rectas secantes determinan un u ´nico plano. Demostraci´ on: Ejercicio.



8.1. AXIOMAS DEL ESPACIO

157

Definici´ on 8.1.3 Una recta l es perpendicular a un plano π si l intersecta al plano en un punto P y l es perpendicular a toda recta de π que pasa por P .

Teorema 8.1.6: Teorema de la puerta Si una recta l es perpendicular a dos rectas l1 , l2 en el punto de intersecci´on de ellas , entonces l es perpendicular al plano que contiene a l1 y l2 en el punto de intersecci´on.

l

l1

l2

(a)

(b)

Demostraci´ on: Sea π el plano determinado por l1 y l2 , seg´ un teorema 8.1.5 y sea E el punto de intersecci´ on de l1 y l2 . Sea A ∈ l , B ∈ l1 y D ∈ l2 . Por hip´otesis tenemos: AE ⊥ BE y AE ⊥ DE. Tomamos una recta cualquiera l3 en el plano π que pasa por E. Debemos demostrar que

AE ⊥ l3 .

En el plano π trazamos la recta l4 que pasa por B y por D , llamaremos C al punto de intersecci´on de la recta l3 y l4 . Sobre la recta l sea A0 tal que AE ∼ = A0 E , A0 en el lado contrario del plano con respecto a A. Considerando los trazos AB, AC, AD, A0 B, A0 C, A0 D, tenemos:

CAP´ITULO 8. GEOMETR´IA EUCLIDIANA DEL ESPACIO

158

A

l2 l1 E

B

D

C

l3

A0

ˆ El tri´ angulo EAB es rect´ angulo, por hip´otesis, con catetos AEyBE . ˆ El tri´ angulo EA0 B es rect´ angulo, por hip´otesis, con catetos A0 EyBE . ˆ Por construcci´ on AE ∼ as BE ∼ = A0 E y adem´ = BE. ˆ Por tanto, 4ABE ∼ = 4A0 BE. ˆ En particular, AB ∼ = A0 B. ˆ Del mismo modo AD ∼ = A0 D. ˆ Por criterio lll, 4ABD ∼ = 4A0 BD. ˆ De la congruencia se deduce que ^ABD ∼ = ^A0 BD. ˆ Por criterio LAL, 4ABC ∼ = 4A0 BC. ˆ En particular, CA ∼ = CA0 . ˆ En consecuencia, el 4ACA0 es is´ osceles y E es el punto medio de la base. ˆ Por lo tanto, CE ⊥ AA0 , es decir l3 ⊥ l.



Teorema 8.1.7 Si por un punto P de una recta l se trazan tres perpendiculares a ella, todas se encuentran en un mismo plano.

Demostraci´ on Sean l1 , l2 , l3 tres perpendiculares distintas a l en P . El plano π generado por l2 y l3 un l0 a ambos planos. tiene un punto com´ un con π 0 generado por l y l1 ; por lo tanto existe un recta com´ 0 l ⊥ l, como consecuencia del teorema 8.1.6 aplicado al plano π; as´ı, en el plano π 0 la recta l tiene dos perpendiculares en P , l1 y l0 . Esto contradice la geometr´ıa del plano. Por tanto, l0 = l1 . 

8.1. AXIOMAS DEL ESPACIO

159

Teorema 8.1.8 Dada una recta l y un punto P ∈ l, existe un u ´nico plano perpendicular a l y que contiene a P .

Demostraci´ on: Por axioma, existe un punto Q1 no colineal con l, estos dos objetos determinan un plano Π1 . Por axioma del espacio, existe un punto Q2 que no est´a en Π1 . Sea Π2 el plano determinado por l y Q2 . Los dos planos son distintos. En cada unos de estos planos existe la perpendicular a l que pasa por P . As´ı, tenemos dos rectas l1 y l2 perpendiculares a l en P que determinan un u ´nico plano. 

Teorema 8.1.9 Dada una recta l y un punto P ∈ / l, existe un u ´nico plano perpendicular a l y que contiene a P .

Demostraci´ on: Sea π1 el plano determinado por P y l. Por P se traza la perpendicular a l que la intersecta en Q, sea l1 esta perpendicular. Por axioma del espacio, existe un punto R ∈ / π1 . Sea π2 el plano determinado por l y R, se traza la perpendicular l2 a l por Q, determinando un punto S en l. Las rectas secantes l1 = (P Q) y l2 = (QS) determinan un plano π perpendicular a l y que contiene a P. La unicidad se deduce suponiendo que existe otro plano π 0 con las mismas caracteristicas de π. Por lo tanto existe una recta P Q0 perpendicular a l. En el plano determinado por los puntos P, Q, Q0 se tiene un tri´ angulo con dos ´ angulos rectos. 

Teorema 8.1.10 Dado un plano Π y un punto P ∈ / Π existe una u ´nica recta l perpendicular a Π y que pasa por P.

Demostraci´ on: En el plano π, se eligen dos rectas secantes l1 y l2 . Usando teorema 8.1.9 existen planos π1 y π1 que contienen a P y son perpendiculares a l1 y l2 . Como estos planos contienen a P , ellos tienen una recta com´ un y esta es la recta que satisface el enunciado. 

Teorema 8.1.11 Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas.

P

π2 π1 l1 l2

π

CAP´ITULO 8. GEOMETR´IA EUCLIDIANA DEL ESPACIO

160 Demostraci´ on:

A

B

Existe un u ´nico plano π que contiene a las rectas l1 y l2 . En π, las rectas l1 y l2 son perpendiculares a la recta que pasa por A y B. Usando la geometr´ıa plana se deduce que l1 k l2 . 

Definici´ on 8.1.4 ˆ Dos planos se dicen paralelos si ellos no se intersectan o si son iguales. ˆ Si dos planos distintos no son paralelos se dicen secantes.

Teorema 8.1.12 Dos planos perpendiculares a una misma recta son paralelos.

Demostraci´ on: Sean Π1 y Π2 dos planos perpendiculares a l. Si ellos son iguales el teorema se cumple. Si Π1 y Π2 son distintos, entonces por contradicc´ıon, supongamos que no son paralelos. En tal caso, tendr´ıan un punto com´ un A. Sean P1 y P2 los puntos de intersecci´on de la recta l con los respectivos planos. En el plano determinado por A, P1 y P2 se tendr´ıa in tri´angulo con dos ´angulos rectos. 

Teorema 8.1.13 Dado un plano π y un punto P ∈ / π, existe un u ´nico plano paralelo a π y que contiene a P.

Demostraci´ on: ejercicio.

Teorema 8.1.14: teorema de Thales en el espacio Si dos rectas cortan tres planos paralelos los segmentos determinados por las intersecci´on son proporcionales.

´ 8.2. ANGULOS DIEDROS Y POLIEDROS

l1

161

l2 Seg´ un la figura, debemos demostrar que 0

A

A

B0

B

Las dos rectas l1 y l2 determinan un u ´nico plano, en ese plano, de acuerdo al axioma E3 , se cumple el teorema de Thales. Por lo que se cumple el teorema. 

C0

C

8.2

AB BC = 0 0. 0 0 AB BC

´ Angulos diedros y poliedros

Definici´ on 8.2.1 Si Σ1 y Σ2 son dos semiplanos que pertenecen a planos distintos y que se intersectan en una recta l, al conjunto de puntos del espacio que pertenecen a cualquiera de los semiplanos se llama ´angulo diedro de caras Σ1 y Σ2 y arista l. Se llama ´angulo plano o lineal del diedro al ´angulo formado por rectas perpendiculares a la arista en un punto com´ un. Teorema 8.2.1 Todos los ´ angulos lineales de un diedro son congruentes. Demostraci´ on:

A0

A

Σ1

O0

O

B

Σ2

B0

Sean los ´ angulos lineales AOB y A0 O0 B 0 del diedro (Σ1 , Σ2 ), medidos en los puntos de la arista O y O , de modo que (AA0 ) k (OO0 ) y (BB 0 ) k (OO0 ). Por definici´on: 0

ˆ las rectas (AO) y (BO) son perpendiculares a (OO0 ) en O. ˆ las rectas (A0 O0 ) y (B 0 O0 ) son perpendiculares a (OO0 ) en O0 .

En Σ1 , (OA) k (O0 A0 ), ´ angulos correspondientes congruentes, por esto el cuadril´atero OO0 AA0 es un parelel´ ogramo, en particular, OA ∼ = O0 A0 . An´alogamente, en Σ2 , OO0 BB 0 es un paralel´ogramo y

CAP´ITULO 8. GEOMETR´IA EUCLIDIANA DEL ESPACIO

162 OB ∼ = O0 B 0 .

Sea Π el plano generado por A, A0 , B, B 0 . En este, se tiene: AA0 ∼ = BB 0

y paralelos.

De donde se deduce que AA0 BB 0 es un paralel´ogramo y AB ∼ = A0 B 0 . Por teorema LLL, 4ABO ∼ = 0 0 0 4A B O , y en particular: ∠AOB ∼ = ∠A0 O0 B 0 .  Definici´ on 8.2.2 La medida de un ´ angulo diedro es la medida de su ´angulo lineal.

Σ2 l

α

Σ1

´ Figura 8.2: Angulo diedro Definici´ on 8.2.3 Dos planos se dicen perpendiculares si al intersectarse forman un diedro recto.

Ejercicio Si una recta l es perpendicular a un plano Π, demuestre que todo plano que contenga a la recta l es perpendicular a Π. Definici´ on 8.2.4 Dado un plano π , un pol´ıgono simple cerrado formado por los puntos P1 P2 . . . Pn y un punto V ∈ / π, el conjunto de puntos de las semirrectas l1 , l2 , . . . ln con punto inicial V y que pasan por Pi respectivamente se llama ´ angulo poliedro. V se llama v´ertice, la semirrectas son las aristas y los planos V Pi Pj con i 6= j, i, j = 1, . . . n son las caras del ´angulo poliedro. Los ´angulos ∠Pi V Pj con i 6= j, i, j = 1, . . . n se llaman ´ angulos de las caras. El ´ angulo poliedro se dice convexo si el pol´ıgono P1 P2 . . . Pn es convexo. V

P1

P2

P4 P3

Figura 8.3:

´ 8.2. ANGULOS DIEDROS Y POLIEDROS

163

En particular, se llama ´ angulo triedro si el pol´ıgono es un tri´angulo. Teorema 8.2.2 En un ´ angulo triedro la suma de los a´ngulos de dos caras es mayor que el ´angulo de la tercera cara. Demostraci´ on: Sea el tr´ıangulo ABC en un plano π. V ∈ / π. Consideremos el ´angulo triedro V ABC de v´ertice V . Sean α = ∠BV C, β = ∠AV C,γ = ∠AV B. Supondremos que el ´angulo α es el mayor de los tres. En el plano BV C se copia el ´angulo γ y el trazo V A de modo que D es el punto tal que: ∠BV D ∼ = ∠γ ∼ V D. VA=

V β γ α

C

Por el criterio de congruencia LAL, 4BV A ∼ = 4BV D. En particular, se tiene que AB ∼ = BD. En el plano ABC que es transversal a las caras del ´angulo, se cumple la desigualdad triangular: BC < AB + AC.

D

B

BC − AB < AC CD < AC. Los tri´angulos 4CV D y 4AV C tienen dos pares de lados congruentes V C ∼ =VC yVA∼ = V D y el tercer lado cumple con CD < AC. Por lo tanto, ∠CV D < ∠CV A. Sumando a esta u ´ltima desigualdad los ´angulos congruentes ∠BV D y ∠AV B se tiene lo que se quiere demostrar. 

A

Teorema 8.2.3 La suma de los ´ angulos de las caras de un ´angulo poliedro es menor que cuatro ´angulos rectos. Demostraci´ on: Haciendo un corte transversal se determina el pol´ıgono convexo ABCD. En cada v´ertice de este pol´ıgono se forma un angulo triedro. Aplicando el teorema 8.2.2, tenemos: ´

V

∠DAB < ∠V AD + ∠V AB D

C

A

∠ABC < ∠V BA + ∠V BC ∠BCD < ∠V CB + ∠V CD

B

∠CDA < ∠V DC + ∠V DA.

Sumando las desigualdades, nos queda: ∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA < ∠V AD + ∠V AB + ∠V BA + ∠V BC + ∠V CB + ∠V CD + ∠V DC + ∠V DA. | {z } | {z } suma de los a ´ngulos interiores del pol´ıgono

Sl =suma de los a ´ngulos en la base de los n tri´ angulos de las caras laterales

La suma de los ´ angulos interiores del pol´ıgono de n lados es 2 (´angulos rectos)(n − 2). Por otra parte, la suma de los ´ angulos interiores de los n tri´angulos es 2 (´angulos rectos)n; a su vez es igual a la suma de los ´ angulos en la base de los n tri´ angulos de las caras laterales y los ´angulos de las caras del ´angulo

CAP´ITULO 8. GEOMETR´IA EUCLIDIANA DEL ESPACIO

164

poliedro. Por tanto, denotando por SP la suma de los ´angulos de las caras del poliedro, tenemos: 2R(n − 2) < Sl 2nR = Sl + SP Restando las dos desigualdades, se obtiene el resultado. Comentario

Este teorema se puede ilustrar haciendo un poliedro de papel y luego aplastarlo. S´olidos

poliedros

prismas

recto



no poliedros

convexos

c´ oncavos

pir´ amides

otros

cilindros

convexos

c´oncavos

conos

esferas

oblicuo

Definici´ on 8.2.5 1. Se llama celda poligonal al conjunto de puntos que est´an sobre o en el interior de un pol´ıgono plano simple P1 P2 . . . Pn . Las aristas de la celda son los lados del pol´ıgono. 2. Se llama poliedro al conjunto de puntos del espacio que pertenecen a una cantidad finita de celdas poligonales que cumplen con las siguientes condiciones: ˆ Para dos celdas cualesquiera se cumple una y solo una de las siguientes alternativas: no tienen puntos comunes o tienen exactamente un v´ertice com´ un o tiene exactamente una arista com´ un. ˆ Cada arista pertenece a dos celdas.

3. El poliedro se dice convexo si el segmento que une dos puntos cualesquiera del poliedro permanece en el poliedro o en su interior. 4. Se llama poliedro regular a aquel en que todas sus caras son pol´ıgonos regulares congruentes entre s´ı y en cada v´ertice concurre el mismo n´ umero de aristas. Teorema 8.2.4 Un poliedro separa el espacio en el siguiente sentido.Los puntos que no forman el poliedro forman dos conjuntos disjuntos, llamados interior y exterior del poliedro de modo que si se se toma un punto en cada conjunto cualquier poligonal que los une intersecta el poliedro y si se toman dos puntos en un mismo conjunto existe un poligonal que no intersecta el poliedro.

Vocabulario

El poliedro se llama:

1. Tetraedro : 4 caras.

5. Octaedro: 8 caras.

2. Pentaedro : 5 caras.

6. Eneaedro: 9 caras.

3. Hexaedro : 6 caras.

7. Decaedro: 10 caras.

4. Hepta edro: 7 caras.

8. Endecaedro : 11 caras.

9. Dodecaedro: 12 caras. 10. Icosaedro: 20 caras.

´ 8.2. ANGULOS DIEDROS Y POLIEDROS

165

Si tiene curiosidad de saber los nombres de otros poliedros ver http://www.korthalsaltes.com Definici´ on 8.2.6 Se llama poliedros regular a aquel en que todas sus caras son pol´ıgonos regulares. Teorema 8.2.5 Existen solamente cinco poliedros regulares convexos. Demostraci´ on: Sea m el n´ umero de aristas de una cara, es decir es el n´ umero de lados del pol´ıgono que da la forma a cada cara. Sea n el n´ umero de caras que tienen un mismo v´ertice. 180(m − 2) Los n´ umeros m, n ∈ N y m ≥ 3, n ≥ 3. Cada ´angulo de un pol´ıgono de m lados mide . En m ◦ virtud del teorema 8.2.2, la suma de los ´ angulos de un v´ertice es menor de 360 . El problema se reduce a encontrar todas las soluciones m y n de la inecuaci´on: s(m, n) = n m=3

180(m − 2) < 360. m

ˆ n = 3, tetraedro. s(3, 3) = 180 < 360. ˆ n = 4, octoedro. s(3, 4) = 240 < 360. ˆ n = 5, icosaedro. s(3, 5) = 300 < 360. ˆ n = 6, entonces s(3, 6) = 360 no es soluci´ on.

m=4

ˆ n = 3, s(4, 3) = 324 < 360, es la u ´nica soluci´on. ˆ n ≥ 4, s(4, n) ≥ 360.

m=5

ˆ n = 3, dodecaedro s(5, 3) = 324 < 360, es la u ´nica soluci´on. ˆ n ≥ 4, s(5, n) > 360.

m≥6

ˆ n = 3, dodecaedro s(6, 3) = 360. n ≥ 4, s(m, n) > 360 para todo n ≥ 3.



Octaedro

Tetraedro

Heptaedro Icosaedro

Dodecaedro

CAP´ITULO 8. GEOMETR´IA EUCLIDIANA DEL ESPACIO

166 Definici´ on 8.2.7

Un prisma es un poliedro que tiene dos caras en planos paralelos que forman pol´ıgonos congruentes; estas caras se llaman bases . Las caras restantes, las llamaremos caras laterales y son paralel´ ogramos. Los prismas rectos son aquellos cuyas bases son perpendiculares a las caras laterales. Los prismas que no son rectos se llaman oblicuos. Los prismas rectos se dividen en regulares e irregulares. Los regulares son aquellos en que sus bases son pol´ıgonos regulares. Un prisma que tiene por base un paralelogr´amo se llama paralelep´ıpedo. La altura de un prisma es la longitud del segmento perpendicular a las dos bases.

E0 A0

D0

B0

C0 E

A

D

B

C

Figura 8.4: Prisma

Propiedades de los prismas 1. dos prismas rectos de igual base y la misma altura son iguales. 2. Las secciones transversales paralelas a las bases de un prisma cualquiera son pol´ıgonos congruentes. Teorema 8.2.6: Propiedades de los paralelep´ıpedos 1. Dos caras opuestas son iguales y paralelas. 2. Las secciones planas son paralel´ ogramos. 3. Los diedros opuestos son iguales. 4. Los triedros opuestos son sim´etricos 5. Las cuatros diagonales son concurrentes al puntos medio de cada una. Definici´ on 8.2.8 Se llama pir´ amide a un poliedro de base poligonal y cuyas caras son tri´angulos que convergen a un punto com´ un llamado v´ertice. La pir´amide m´as simple es la de base triangular y se llama tetraedro. Una pir´ amide se dice regular si su base es regular y el v´ertice se encuentra se encuentra en la perpendicular a la base trazada desde el centro de la base. Propiedades de la pir´ amide

´ 8.2. ANGULOS DIEDROS Y POLIEDROS

167

1. Si una pir´ amide se corta por un plano paralelo a la base, la seccion obtenida es un pol´ıgono semejante a la base. 2. Las aristas y la altura quedan divididas en segmentos proporcionales. 3. Dos lados hom´ ologos de dos secciones planas paralelas a la base son proporcionales a las distancias de dichas secciones a la c´ uspide. 4. Las ´ areas de dos secciones planas paralelas a la base son proporcionales a los cuadrados de sus distancias a la c´ uspide.

8.2.1

C´ alculo de vol´ umenes

El volumen de un s´ olido es la medida del espacio que el encierra. Al igual que en el caso de la longitud y el ´ area que encierra una figura plana, para medir el espacio acotado por un s´olido se requiere en primer lugar elegir una unidad de volumen. Volumen de una pir´ amide Teorema 8.2.7 El volumen de una pir´ amide cualquiera es igual a un tercio del ´area de su base por la altura. Demostraci´ on: Sean: ˆ h = altura de la pir´ amide. ˆ b = el ´ area de la base.

Se divide h en n partes de igual longitud y se construyen prismas exteriores e interiores a la pir´amide de la siguiente manera: se trazan paralelas a V B por los puntos A y C y se obtiene el primer prisma exterior de altura nh y aristas AA0 BE CC 0 . Sean D,E,F las intersecciones del primer prisma exterior con la pir´ amide. Por estos puntos se trazan paralelas a V B y se obtienne el primer prisma interior y segundo prisma exterior. As´ı, tenemos: Prisma E1 Tiene por base b1 la base de la pir´amide y altura

h n.

Prisma E2 Tiene por base b2 la intersecci´on del prisma E1 con la pir´amide y altura

h n.

Prisma En Tiene por base bn la intersecci´on del prisma En−1 con la pir´amide y altura Prisma I1 Tiene por base b2 la intersecci´on del prisma E1 con la pir´amide y altura

h n.

h n.

Prisma In−1 Tiene por base bn la intersecci´on del prisma E1 con la pir´amide y altura

h n.

Podemos observar que todos los prismas exteriores, excepto el u ´ltimo tienen un respectivo prisma interior de igual volumen. Usando que las ´ areas de las secciones planas parelelas a la base tienen ´areas que son entre ellas como el cuadrado de sus distancias a la c´ uspide y comparando cada base con la base de la pir´ amide, tenemos: b1 = b n−1 2 ) b n n−i+1 2 bi = ( ) b n

b2 = (

CAP´ITULO 8. GEOMETR´IA EUCLIDIANA DEL ESPACIO

168

V

I

G H

D

F

A

C F0 E

B

Figura 8.5: Acotamiento de una pir´amide mediante prismas

Cada prisma tiene volumen igual al producto del ´area de la base por la altura.

n−1 X

Volumen Ii ≤ Volumen pir´amide ≤

i=1

n X

Volumen Ei

i=1 n−1 X i=1

bi ·

n X h h bi · ≤Volumen pir´amide ≤ n n i=1

n−1 n hX hX bi ≤Volumen pir´amide ≤ bi n i=1 n i=1

hb hb (1 + 22 + . . . (n − 1)2 ) ≤Volumen pir´amide ≤ 3 (1 + 22 + . . . n2 ) n3 n hb (n − 1)n(2n − 1) hb n(n + 1)(2n + 1) ≤Volumen pir´amide ≤ 3 3 n 6 n 6        hb 1 1 1 hb 1 1 1− 1− ≤Volumen pir´amide ≤ 1+ 1+ . 3 n n 2n 3 n 2n

Si n → +∞ , obtenemos:

hb hb ≤Volumen pir´amide ≤ . 3 3 hb Volumen pir´ amide = . 3

´ ´ 8.3. SOLIDOS DE REVOLUCION

8.3

169

S´ olidos de revoluci´ on

Se llaman s´ olidos de revoluci´ on a los que se generan por rotaci´on de una superficie plana en torno a un eje que se encuentra en el mismo plano. Los m´as simples son: el cilindro, el cono y la esfera.

8.3.1

El cilindro circular recto

rotaci´ on

generatriz

eje de giro

0

r

r

El cilindro circular recto es el resultado de la rotaci´on de un rect´angulo en torno a un lado. Las secciones planas planas paralelas y circulares que limitan el cilindro se llaman bases. La recta que une los centros de las bases es el eje. La superficie cilindrica de revoluci´on es la generada por la rotaci´on de una recta (generatriz) en torno a una recta fija llamada directriz. La altura dl rect´angulo es la altura del cilindro y la base se convierte en el radio. Propiedades 1. Secciones Al intersectar un cilindro mediante planos paralelos al plano de la base se obtienen circunferencias. Las intersecciones de un cilindro mediante planos perpendiculares a la base se obtienen rect´ angulos. H0

D

O0 C

O0

A0

A O B

O A

(a)

(b)

Figura 8.6: Secciones del cilindro ´ 2. Area de la superficie lateral Desarrollando la superficie es inmediato que su superficie lateral corresponde a la de un rect´ angulo de dimensiones h y 2πr.

CAP´ITULO 8. GEOMETR´IA EUCLIDIANA DEL ESPACIO

170

2πr

Desarrollando la superficie

h

3. El volumen de un cilindro de altura h y radio r, se obtiene aproxim´andolo, interior y exteriormente, mediante prismas de altura h y con base formada por pol´ıgonos regulares inscritos y circuncritos a la base. Por lo que su volumen es πr2 h.

8.3.2

El cono circular recto

C

Un cono circular recto se genera por rotaci´on de un tri´angulo rect´angulo ABC en torno a un cateto AC. En tal caso, la hipotenusa BC es la generatriz, AC es el eje y la base del cono es la circunferencia de radio AB y centro A. Dos conos se dicen semejantes si son generados por rect´angulos semejantes.

A

B

Teorema 8.3.1: Propiedades del cono de revoluci´ on 1. Todas las generatrices son congruentes entre s´ı y form´an ´angulos congruentes con la base. 2. Toda secci´ on plana paralela a la base es una circunferencia cuyo centro est´a en el eje del cono. 3. El radio de una secci´ on plana paralela a la base es al radio de la base como sus distancias respectivas a la c´ uspide, o como una generatriz del cono complementario es la generatriz del cono total. 4. El ´ area de una secci´ on plana paralela a la base es al ´area basal como los cuadrados de sus distancias a la c´ uspide. 5. Toda secci´ on plana que pasa por la c´ uspide y corta a la base es un tri´angulo. 6. Toda secci´ on plana que pasa por la c´ uspide y el eje del cono es un tri´angulo is´osceles.

´ ´ 8.3. SOLIDOS DE REVOLUCION

171

C

Demostraci´ on: 1. Los tri´angulos 4AOC y 4BOC son rect´angulos en O y tienen dos lados congruentes.

O0 A0

B0

OC ∼ = OC ∼ OB. OA = Por teorema LAL, 4AOC ∼ = 4BOC y en particular, AC ∼ = BC.

O

A

B

2. Sean AC y BC generatrices de un cono de altura h y radio r y sea O el centro de la base. Consideremos los planos π1 (A, O, C) y π2 (B, O, C). Un plano paralelo a la base intersecta las generatrices AC ∼ = BC en A0 y B 0 respectivamente. Entonces, O0 A0 k OA y O0 B 0 k OB. Por teorema de Thales se tiene: 4A0 O0 C ∼ 4AOC En particular, Por transitividad,

y

4B 0 O0 C ∼ 4BOC.

O 0 A0 O0 C = y OA OC O 0 A0 O0 B 0 = . OA OB

O0 B 0 O0 C = . OB OC

Como OA = OB = r, se deduce que O0 A0 ∼ = O0 B 0 . Por tanto, la secci´on es una circunferencia. 3. De la semejanza de los tri´ angulos 4A0 O0 C y 4AOC se deduce que, r0 O0 C O 0 A0 = . = r OC OA 4. Ejercicio. 5. Ejercicio. 6. Ejercicio. Teorema 8.3.2: Las secciones c´ onicas Si un cono circular recto es intersectado por un plano, se tiene: 1. Un tri´ angulo is´ osceles si el plano contiene a la c´ uspide y al eje del cono. 2. Una circunferencia si el plano es paralelo a la base. 3. Una elipse si el plano es oblicuo con respecto a la base y corta a todas las generatrices sin intersectar la base. 4. Una hip´erbola si el plano es perpendicular a la base y paralelo al eje sin intersectarlo. 5. Una par´ abola si el plano es paralelo a una generatriz.

CAP´ITULO 8. GEOMETR´IA EUCLIDIANA DEL ESPACIO

172 ´ Area lateral de un cono

Para encontrar una f´ ormula que nos d´e la expresi´on del ´area lateral de un cono desarrollamos su superficie y obtenemos un sector circular de radio la generatriz g. La longitud del arco AB, corresponde al per´ımetro de la base del cono: 2πr. longitud de la circunferencia longitud del arco = area de la circunferencia ´ ´area del sector 2πr 2πg = πg 2 ´area lateral del cono area lateral del cono = πrg. ´

B A

g C C

g desarrollando la superficie A

O

B

Ahora calcularemos el ´ area lateral del cono en t´erminos de la altura y de la perpendicular ρ que va desde punto medio dela generatriz al eje. Sea el cono de generatriz g, radio r y altura h. Sabemos que su ´ are lateral es πrg. Los C tri´ angulos 4OBC y 4DM C son semejantes por tener ´ angulos congruentes. Por lo tanto: M D

g/2 DM CM ρ ⇐⇒ 2ρh = rg. = ⇐⇒ = r h OB CO ´ Area lateral = πrg = 2πρh.

A

B

O

´ Area lateral del cono = πrg = 2πρh. Este resultado es para entender la semejanza de dos tri´ angulos en el cono truncado que en figura general no se aprecia bien. Dada la figura 8.3.2, se tiene que 4M N Q ∼ 4DHB . En efecto: el tri´ angulo DJM es rect´ angulo en M y M I ⊥ DJ, es decir es la altura correspondiente al v´ertice M . Por el Teorema de Euclides,

D

N

I

M

J

4DM I ∼ 4IM J. En particular ∠IDM ∼ = ∠IM J. Q

Por otra parte, 4DM I ∼ 4N M Q 4DM I ∼ 4DHB.

y H

Figura 8.7:

B

´ ´ 8.3. SOLIDOS DE REVOLUCION

173

Volviendo al caso general. Sea M el punto medio de la generatriz DB, ρ = M Q, OB = R, O0 D = r. Por ser M punto medio de la generatriz, N es el punto medio de OO0 y en el trapecio OBDO0 se tiene que M N = R+r 2 .

C

R+r 2

=

h

D

N

DH ⊥ OB, OO0 ∼ = DH = h. R+r MN = . 2 4M N Q ∼ 4DHB, Por lo tanto, MN MQ = ⇐⇒ DH DB

O0

M

Q A

O

H

B

ρ ⇐⇒ πg(R + r) = 2πρh. g

Volumen del cono y cono truncado Para calcular el volumen de un cono, se aproxima la base circular mediante pol´ıgonos regulares inscritos y circuncritos. Cada poligono se toma como base de una pir´amide regular de altura h. De este modo, se puede aproximar el cono mediante pir´ amides regulares de altura h inscritas y circunscritas. Denotando por pn la pir´ amide inscrita de altura h y base un pol´ıgono regular de n lados y por Pn la pir´amide circunscrita de altura h y base un pol´ıgono regular de n lados escribir: Vol pn 0 y altura h es

πh ()R2 +Rr+r2 . 3

Demostraci´ on: Esta vez usaremos integraci´on. Sea f el segmento que rota en torno al eje X que corresponde al segmento de la recta que pasa por (0, R) y (h, r), cuya ecuaci´on es: 

 r−R f (x) = x + R. h Z h Z 2 V =π (f (x)) dx = π 0

" =π

h

"

0

r−R h

2

x3 + 2R 3



r−R h

r−R h



2

x2 + 2R



r−R h



# x + R2 dx

# h x2 πh 2 + R2 x = (R + Rr + r2 ). 2 3 0

CAP´ITULO 8. GEOMETR´IA EUCLIDIANA DEL ESPACIO

174

R

y = f (x)

r

0

h

 Ecuaciones param´ etricas del cono Usaremos coordenas cil´ındricas y supondremos que O = (0, 0, 0). h−u r cos θ h h−u r sen θ y= h

x=

z = u;

u ∈ [0, h], θ ∈ [0, 2π], θ = 2 arctan

r h

.

θ g h

r O

8.3.3

La esfera Se llama superficie esf´erica a la superficie generada por rotaci´on de una semicircunferencia en torno al di´ametro. En este movimiento todo punto de la semicircunferencia describe una circunferencia cuyo centro est´ a situado en el centro de rotaci´on y cuyo plano es perpendicular al eje. La esfera es el cuerpo acotado por una superficie esf´erica. La superficie esf´erica puede ser considerada como el lugar geom´etrico de todos los puntos del espacio equidistantes de un punto fijo O llamado centro de la esfera.

Definici´ on 8.3.1 Dada una superficie esf´erica de centro O y radio R, se define : 1. El interior de la superficie como los puntos del espacio que es´an a una distancia menor que R del centro. 2. El exterior de la superficie como los puntos del espacio que es´an a una distancia mayor que R del centro. Teorema 8.3.4: Intersecci´ on de una esfera con un plano Toda secci´ on plana de una superficie esf´erica es una circunferencia.

´ ´ 8.3. SOLIDOS DE REVOLUCION

175

O0

P

A0

A O

Demostraci´ on Sea Π el plano que contiene la secci´ on y sea P un punto de dicha secci´on que est´a en la superficie esf´erica. Tenemos: d(O, P ) = radio de la esfera = R. Desde O se traza la perpendicular al plano Π y sea O0 ∈ Π tal que O0 O ⊥ AA0 . En el plano OO0 P , el tri´ angulo OO0 P es rect´ angulo en O0 . Usando el teorema de Pit´agoras, tenemos: 2

2

2

2

2

O0 O + O0 P = OP ⇐⇒ O0 O + O0 P = R2 . 2

2

O 0 P = R2 − O 0 O . Por lo tanto, P pertenece a la circunferencia de centro O0 y radio r =

q

2

R2 − O 0 O .



Teorema 8.3.5 Dados un punto A en una superficie esf´erica y un punto B en el interior de la esfera, existe una secci´ on plana de centro B y radio r = AB de la superficie esf´erica. Demostraci´ on: Dadas las hip´ otesis, existe un u ´nico plano Π, perpendicular a la recta (OB) y que contiene a A. Adem´ as, como B est´ a en el interior de la superficie, OB < R. De acuerdo al teorema (8.3.4), Π determina una circunferencia de radio AB y centro B. 

P olo

B A O

CAP´ITULO 8. GEOMETR´IA EUCLIDIANA DEL ESPACIO

176 Teorema 8.3.6

1. Todo plano tangente a la esfera es perpendicular al extremo del radio que pasa por el punto de contacto. 2. Rec´ıprocamente, todo plano perpendicular a un radio en el punto de contacto entre el radio y la superficie esf´erica es tangente a la esfera. Demostraci´ on: 1. Sea Π el plano tangente a la superficie esf´erica E(O, R) en el punto A. Si el plano no es perpendicular a OA, entonces la perpendicular al plano trazada desde O determina un punto B ∈ Π, A 6= B. El 4ABO es rect´ angulo en B y por tanto OA > OB. Como OA = R, el punto B est´a en el interior de E(O, R). Por el teorema anterior, existe una circunferencia com´ un a Π y a E(O, R). Lo que contradice la definici´ on de plano tangente. 2. Sea π un plano perpendicular al radio OA y sea B un punto de π distinto de A. Se tiene que OB > OA = R lo que implica que B ∈ / E(O, R). As´ı, el u ´nico punto com´ un a ambas superficies es A.  Teorema 8.3.7 La superficie esf´erica de radio R tiene una ´area igual a 4πR2 . Demostraci´ on: A2

M3

A3

M2

M4

A1

A4

M1

M5

A = A 0 X1

X2

O

X3

X4

B = A5

Para calcular el ´ area de la superficie esf´erica aproximamos, interna y externamente, la semicircunferencia mediante poligonales regulares. Supongamos que la poligonal est´a compuesta de n segmentos Ai Ai+1 , i = 0, . . . n. Al rotar la poligonal en torno al di´ametro A0 An cada segmento genera un cono o un tronco de cono. Debido a la regularidad, para cada n fijo, todos los apotemas ρi son iguales a ρn y las alturas hi y Hi de los conos interiores y exteriores respectivamente, particionan el di´ametro. Por lo tanto: n n X X ´ ´ ´ (Areas laterales de conos o troncos internos) 0. Sean A y B dos puntos sobre la superficie esf´erica, buscamos el camino m´ as corto que une dichos puntos. ˆ Sea γ un arco de circunferencia cualquiera sobre E que une A y B; sea Π el plano que contiene al arco γ. H denota la proyecci´ on ortogonal de O sobre Π, en este plano el tri´angulo HAB es is´osceles y denotando por a = AB y por r el radio de γ, en virtud de las propiedades de los tri´angulos is´ osceles, se tiene que:   θ a = , θ = ∠(HA, HB) ∈ [0, π]. sen 2 2r ˆ Sabemos que la longitud del arco γ = rθ, despejando r en la f´ ormula anterior se tiene que

l(γ) =

aθ
. 2 sen θ2

´ ´ ´ 10.2. DISTANCIA, ANGULOS Y TRIANGULOS EN LA SUPERFICIE ESFERICA

213

ˆ En [0, π/2] la funci´ on seno es creciente y como r ≤ R, se tiene que

sen

ˆ Si f (θ) =

   a  θ a a . = ≥ =⇒ θ ≥ 2 arc sen 2 2r 2R 2R

aθ
entonces 2 sen θ2 f 0 (θ) =

a cos(θ/2)(2 tan(θ/2) − θ) , 4 sen2 (θ/2)

h  a  i , π , es no negativa. θ ∈ 2 arc sen 2R

Ya que sobre [0, π/2] se cumple que tan x ≥ x. As´ı, la funci´on f es creciente y alcanza su menor
a valor para θ = 2 arc sen 2R . Lo que equivale a que r = R.  Definici´ on 10.2.2 La distancia entre dos puntos A, B sobre la superficie esf´erica es la longitud del arco menor de la geod´esica que ellos determinan. d(A, B) = Rθ,

medida en radianes. _

donde R es el radio de la esfera y θ es el ´angulo del centro corespondiente al arco

AB .

Toda geod´esica divide la esfera en dos hemisferio. Por lo que le corresponden dos polos que son los puntos de intersecci´ on de la esfera con en plano perpendicular a la geod´esica y que contiene el centro de la esfera.

Ejemplo π 1. La distancia esf´erica entre cualquier punto de una geod´esica y su polo es R radianes. A esta 2 distancia se le llama distancia polar. Usando la relaci´ on 360 2πR = , angulo en grados ´ ´angulo en radianes tenemos que la distancia polar es de 90◦ . 2. Sea la esfera unitaria centrada en (0, 0, 1) (a) Dados los puntos     4 8 4 8 P = (x, y, z) = , 0, y Q = (x, y, z) = 0, , graf´ıquelos sobre la esfera, y determine 5 5 5 5 el paralelo al cual ellos pertenecen. (b) Determine la ecuaci´ on del plano que pasa que por el centro de la esfera y que contiene a P y Q. (c) Determine la ecuaci´ on de la geod´esica. (d) Determine la distancia entre P y Q. (e) ¿Coincide esta con la longitud del arco del paralelo que contiene a P y Q ?

´ CAP´ITULO 10. GEOMETR´IA ESFERICA

214

P

O O

θ A

B Geod´ esica

Figura 10.1: Distancia esf´erica

Figura 10.2: Geod´esica y su polo P

P

O A

Figura 10.3: Distancia polar

10.2.1

´ Angulos y tri´ angulos esf´ ericos

Definici´ on 10.2.3 El ´ angulo formado por dos curvas del plano o del espacio o de la esfera, que se intersectan en un punto P0 , es el ´ angulo formado por las tangentes a las curvas en P0 .

α

Γ1 Γ2

´ Figura 10.4: Angulo entre curvas Las geod´esicas de la geometr´ıa euclidiana son las rectas, las distancia entre dos puntos es la longitud del segmento rectil´ıneo que une los puntos. Seg´ un el teorema anterior las distancia entre dos puntos sobre la superficie esf´erica es la longitud del menor segmento de la circunferencia de radio m´axilo que une los puntos. Por otra parte, las nociones de ´ angulo y pol´ıgono est´an dadas en t´erminos de las geod´esicas de la esfera. En la superficie esf´erica existe el pol´ıgono de dos lados llamado digono o luna.

´ ´ ´ 10.2. DISTANCIA, ANGULOS Y TRIANGULOS EN LA SUPERFICIE ESFERICA

215

Definici´ on 10.2.4 Se llama digono o luna a la figura formada por dos arcos de geod´esicas. Los puntos de intersecci´on se llaman v´ertices y el ´ angulo de la luna es el formado por las intersecciones de las geod´esicas. De lo visto anteriormente, tenemos que los v´ertices de una luna son puntos antipodales y sus ´angulos son iguales. Definici´ on 10.2.5 Un ´ angulo esf´erico es el conjunto de puntos de dos arcos de geod´esicas que se intersectan. La medida de un ´ angulo esf´erico es la del ´angulo formado por las tangentes, seg´ un la definici´ on 10.2.3. Estas tangentes est´ an el plano tangente a la esfera en el punto de intersecci´on, por lo tanto son perpendiculares al diam´etro formado por los puntos de intersecci´on. por lo tanto el ¯´angulo corresponde al del diedro formado por los planos de los lados del ´angulo.

Figura 10.5: Luna o digono

A α

O α

B

´ Figura 10.6: Angulo de una luna Sean: el ´ angulo esf´erico ^AP B y G∞ y G∈ las respectivas geod´esicas que contienen a A y B en que P no es antipodal con ninguno de los dos puntos. Como los planos que contienen a G∞ y G∈ pasan por el centro de la esfera, la intersecci´ on de ellos contiene al di´ametro de ambas. Denotemos por P Q el di´ametro. Por otra parte, los semiplanos Π1 (A, P Q) y Π2 (B, P Q) forman un ´angulo diedro de arista (P Q). Una forma de medir el ´ angulo esf´erico en grados es midiendo el ´angulo diedro. Teorema 10.2.3 Sea ^AP B un ´ angulo esf´erico y G la u ´nica geod´esica que tiene a P como polo. si se extienden los _

_

arcos P A y P B hasta que intersecten a G en los puntos A0 y B‘ respectivamente, entonces _

^AP B =A0 B 0 ,

_

donde el arco

A0 B 0 est´a sobre G.

´ CAP´ITULO 10. GEOMETR´IA ESFERICA

216 Demostraci´ on: Sea Q ant´ıpoda de P y consideremos dos radios de la esfera perpendiculares a P Q en O. As´ı obtenemos un plano perpendicular a P Q cuya intersecci´ on con S2 es la geod´esica G con polos P y Q. Sean:

P

ˆ A0 la intersecci´ on de G con la geod´esica deteminada por A y P .

G A

ˆ B 0 la intersecci´ on de G con la geod´esica deteminada por B y P .

O

Entonces, tenemos que OP ⊥ OA0 y OP ⊥ OB 0 . Por lo tanro el ´ angulo ]A0 P B 0 es el ´ angulo del diedro formado por los planos Π(P, A, O) y Π(P, B, O) y que corresponde al ´ angulo esf´erico ^AP B. Como un ´ angulo diedro es medido por cualquiera de sus angulos planos y ]A0 P B 0 es el ´ ´ angulo central del _ 0 0

B

B0 A0

Q

_ 0 0

arco A B , se deduce que ^AP B =A B .  Un tri´ angulo esf´erico est´ a formado por tres geod´esicas que se intersectan dos a dos en tres puntos. Los arcos se llaman lados y los puntos de intersecci´on se llaman v´ertice del tri´angulo. A todo tri´angulo esf´erico le corresponde un ´ angulo triedro como se muestra en la siguiente figura. Este est´a formado por los planos Π(O, A, B), Π(O, A, C), Π(O, B, C), .

C

A B

Figura 10.7: Tri´angulo esf´erico

C

O

A

B

Figura 10.8: Tri´ angulo esf´erico y su correspondiente ´angulo triedro

´ ´ ´ 10.2. DISTANCIA, ANGULOS Y TRIANGULOS EN LA SUPERFICIE ESFERICA

217

Teorema 10.2.4: Desigualdad triangular La suma de dos lados de un tri´ angulo esf´erico es mayor que el tercero. Demostraci´ on: Es consecuencia de la propiedad de los ´angulos triedros, teorema 8.2.2.



Teorema 10.2.5 ◦

La suma de los lados de un tri´ angulo esf´erico es menor que 360 . Demostraci´ on: Es consecuencia del teorema 8.2.3.



Tri´ angulo polar Dado un tri´ angulo esf´erico ^ABC se llama tri´angulo polar asociado a ´el al tri´angulo ^A0 B 0 C 0 tal que 0 : A es el polo de la geod´esica determinada por B y C que est´a al mismo lado de A con respecto al plano Π(B, C, O). De manera an´ aloga se definen los v´ertices B 0 y C 0 . Ambos se encuentran en el mismo hemisferio. A0 A

B0

B

C C0

Figura 10.9: Tri´angulo polar Teorema 10.2.6 Si 4A0 B 0 C 0 es el tri´ angulo polar de 4ABC, entonces 4ABC es el tri´angulo polar de 4A0 B 0 C 0 . Demostraci´ on: Debemos demostrar que los v´ertices de 4ABC son los polos de los lados del 4A0 B 0 C 0 . Demostraremos que A es polo de la geod´esica que pasa por B 0 y C 0 . ˆ Por definici´ on de tri´ angulo polar, B 0 es el polo de geod´esica (AC) y sabemos que la distancia de A a B 0 es 90◦ . De igual modo, C 0 es polo de la geod´esica (AB) y d(A, C 0 ) = 90◦ . ˆ Del ´ıtem anterior se deduce que:

^AOB 0 ∼ = ^A0 OC 0 + 90◦ . _

Por lo tanto, AO ⊥ Π(O, B 0 C 0 ) en O y como A ∈ S2 es un polo de B 0 C 0 . ˆ A est´ a al mismo lado que A0 con respecto al plano en que est´a Π(B, C, O), ya que A0 es un v´ertice del tri´ angulo polar. 

Teorema 10.2.7 Si el 4A0 B 0 C 0 es el tri´ angulo polar del tri´angulo esf´erico 4ABC, entonces los lados de uno son suplementarios de los ´ angulos de los v´ertices del otro. Es decir: _

]A = 180◦ − B 0 C 0 , _

AB = 180◦ − ^C 0 ,

_

]B = 180◦ − A0 C 0 , _

BC= 180◦ − ^A0 ,

_

]C = 180◦ − A0 B 0 . _

AC= 180◦ − ^B 0 .

´ CAP´ITULO 10. GEOMETR´IA ESFERICA

218

A0

A

B C B0 C0 D

E

_

_

Demostraci´ on: Prolongando los arcos AB y AC a lo largo de sus respectivas geod´esicas obtenemos _

los puntos D y E de la intersecci´ on con B 0 C 0 . De la definici´on de tri´angulo polar, tenemos que: ˆ B 0 es polo de la geod´esica (ACE). ˆ C 0 es polo de la geod´esica (ABD).

Por otra parte sabemos que la distancia esf´erica entre un polo de una geod´esica y cualquier punto de ella es un ´ angulo recto. Por tanto: _

B 0 E = 90◦ , _

C 0 D = 90◦ . Sumando ambas ecuaciones, _

_

_

_

_

_

_

_

_

_

B 0 E + C 0 D = 180◦ . Lo que es equivalente a, (B 0 D + DE)+ C 0 D = 180◦ . (B 0 D + C 0 D)+ DE = 180◦ . B 0 C 0 + DE = 180◦ . Por el teorema ??, A es polo de la geod´esica (B 0 C 0 ) que es la misma que pasa por D y E. Del teorema _

_

??, sabemos que ^A =DE. De donde se sigue que ^A y B 0 C son suplementarios. Teorema 10.2.8: Teorema de Girard Si 4ABC es un tri´ angulo esf´erico, entonces 180◦ < ^A + ^B + ^C < 540◦ . 1

Demostraci´ on: Sea 4A0 B 0 C 0 el tri´ angulo polar del 4ABC. Del corolario sabemos que: _

^A+ B 0 C 0 = 180◦ _

^B+ A0 C 0 = 180◦ _

^C+ A0 B 0 = 180◦ . 1 Albert

Girard (1595-1632), matem´ atico franc´ es.



´ ´ 10.3. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS ESFERICOS

219

Sumando las tres ecuaciones, obtenemos: _

_

_

^A + ^B + ^C+ B 0 C 0 + A0 C 0 + A0 B 0 = 540◦ . De aqu´ı es inmediato que la suma de los a´ngulos es menor que 540◦ . Por otra parte, del teorema 10.2.5 sabemos que la suma de los lados de un tri´angulo esf´erico es menor que 360◦ . Por tanto, _

_

_

B 0 C 0 + A0 C 0 + A0 B 0 = 540◦ − (^A + ^B + ^C) < 360◦ . Lo que es equivalente a 180◦ < ^A + ^B + ^C. 

10.3

Congruencia de tri´ angulos esf´ ericos

En la geometr´ıa esf´erica se tienen cuatro teoremas de congruencia: LAL,ALA,LLL, AAA. No hay teor´ıa de semejanza. Definici´ on 10.3.1 Los tri´ angulos esf´ericos 4ABC y 4A0 B 0 C 0 son congruentes si y solo si ˆ Los ´ angulos aon congruentes:

^A ∼ = ^A0 ,

^B ∼ = ^B 0 ,

^C ∼ = ^C 0 .

ˆ Los lados son congruentes: _

_

_

_

AB ∼ = A0 B 0 ,

_

_

AC ∼ = A0 C 0 ,

BC ∼ =B 0 C 0 .

Si las hip´ otesis se cumplen con el orden opuesto de los v´ertices, entonces se dice que los tri´angulos son sim´etricos. Teorema 10.3.1: LLL Si dos tri´ angulos sobre la esfera tienen sus lados respectivamente iguales, entonces ellos son congruentes o sim´etricos. Demostraci´ on: Sean 4ABC y 4A0 B 0 C 0 dos tri´angulos esf´ericos tales que: _

_

AB ∼ =A0 B 0 ,

_

_

AC ∼ =A0 C 0 ,

_

_

BC ∼ =B 0 C 0 .

Uniendo los v´ertices de los tri´ angulos al centro de la esfera, obtenemos los segmentos: OA, OB, OC, OA0 , OB 0 , OC 0 . De la geometr´ıa plana, se deduce que los a´ngulos del centro correspondientes son iguales: ]AOB ∼ = ]A0 OB 0 ,

]AOC ∼ = ]A0 OC 0 ,

]BOC ∼ = ]B 0 OC 0 .

Estos ´ angulos del centro corresponden a los ´angulos de las caras de los triedros respectivos, por lo tanto los triedros OABC y OA0 B 0 C 0 son congruentes. De esto se deduce que los tri´angulos son congruentes o sim´etricos. 

220

´ CAP´ITULO 10. GEOMETR´IA ESFERICA

Bibliograf´ıa A.D.Aleksandrov, A.N. Kolmogorov (1985). La matem´ atica: su contenido,m´etodos y significado. Alianza Editorial. Anderson, J.W. (2005). Hyperbolic Geometry. Springer Undergraduate Mathematics Series. Ashurst, F.Gareth (1985). Fundadores de las matem´ aticas modernas. Alianza Editorial. Audin, M. (2002). Geometry. Springer, Universitext. Berger, M.. Geometry II. Springer, Universitext. Cano, O. (1959). Geometr´ıa. Santiago. C.F. Brumfiel, M.E.Shanks, R.E.Eicholz (1961). Geometry. Addison-Wesley. Clemens, Clemens Michael A, C.Herbert. Geometry for the Classroom. Springer. ——. Geometry for the Classroom: Exercices and Solutions. Springer. ´ ´ Cotlar, M. y de Sadosky, C. Ratto (1962). Introducci´ on al Algebra. Nociones de Algebra Lineal. Ediciones Universitarias de Buenos Aires. Courant, R. y Robbins, H. (1960). ¿Qu´e es la Matem´ atica? Aguilar. E.A. Marchisotto, J.T. Smith (2007). The Legacy of Mario Pieri in Geometry and Arithmetic. Birkh¨ auser. Eves, H. (1960). An Introduction to the History of Mathematics. Rinehart. —— (1969). Estudio de las Geometr´ıas. UTEHA, M´exico. Gelfand, Saul Mark, I.M. (2001). Trigonometry. Birkh¨auser. Geymonat, L. (1985). Historia de la Filosof´ıa y de la Ciencia. Editorial Cr´ıtica. Ghyka, M.C. (1983). Est´etica de las proporciones en la naturaleza y en las artes. Poseidon, Espa˜ na. Heath, T.L. (1956). The Thirteen Books of Euclide’s Elements. Cambridge University Press, Reimpresion Dover. Hilbert, D. (1996). Fundamentos de la Geometr´ıa. Consejo Superior de Investigaciones Cient´ıficas, Madrid. Johnson, D.L. (2002). Symmetries. Springer Undergraduate Mathematics Series. Kelly, Matthews G., P.. The Non-Euclidean, Hyperbolic Plane Its Structure and Consistency. Springer, Universitext. M. Berger, J.P. Berry X.Saint-Raymond, P.Pansu (1984). Problems in Geometry, Problem Books in Mathematics. Springer. Martin, George E. (1998). Geometric Constructions. Springer, Undergraduate Texts in Mathematics. M.Berger. Geometry I. Springer, Universitext. 221

222

BIBLIOGRAF´IA

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