• Author / Uploaded
• Juan Sebastian Alvarez Lopez

• Categories
• Vector Euclidiano
• Gravedad
• Geodesia
• Fuerza
• Masa

Citation preview

Geodesia

Física

Aplicada

Tomo

I

INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA GEOGRAFIA E INFORMATICA

Geodesia

Ffsica

Aplicada

Tomo

I

INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA GEOGRAFIA E INFORMATICA

Secretaría de Programación y Presupuesto Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática Informes y Ventas: Balderas No. 71, planta baja, Centro Delegación Cuauhtémoc 06040 México, D.F. Tel. 521-42-51 Insurgentes Sur No. 795, planta baja, colonia Ñapóles, Delegación Benito Juárez 0381 0 México, D.F. Tels.: 687-46-91 y 687-29-1 1, ext. 289 Geodesia Física Aplicada Tomo I Dirección General de Geografía México, D.F. junio de 1984 ISBN 968-809-91 6-3

GEODESIA FISICA APLICADA

TOMO

INEGI. Geodesia física aplicada. 1984

Por Dr. Petr Vanicek

I

Departamento de Ingeniería Topográfica Universidad de New Brunswick Fredericton, N. B. Canadá. 1971

T raductor

M. en C. Rafael Sosa Torres DETENAL México, D. F. 1979

NOTA DEL TRADUCTOR

Deseo dejar constancia de que este trabajo es en realidad resultado del esfuerzo que DETENAL está haciendo con el propósito de elevar el nivel de los conocimientos geodésicos dentro y fuera de la propia institución. Debe pues, agradecerse la disposición y el apoyo brindado por las autoridades de DETENAL, particularmente de aquéllas responsables del Area de Geodesia que al facilitarnos medios y personal, hicieron posible que estas notas vieran la luz del día.

Se agradece profunda y sinceramente, la gentileza del autor Dr. Petr Vanicek, de la Universidad de New Brunswick, al permitir la traducción y divulgación de su obra en español.

También de la Oficina de Apoyo Vertical el Sr. Julio Bueyes Oliva tuvo la responsabilidad de trazar los diagramas y el arduo y paciente trabajo de escribir todas y cada una de las fórmulas que en estas notas aparecen. Mi sincero reconocimiento al Sr. Bueyes Oliva por la alta calidad de su t rabaj o.

M. en C. Rafael Sosa Torres

INEGI. Geodesia física aplicada. 1984

El excelente trabajo de mecanografiado estuvo a cargo de la Srita. Blanca Estela Ibarra Cortés de la Oficina de Apoyo Vertical.

CONTENIDO

INEGI. Geodesia física aplicada. 1984

Pag. 1.

EL OBJETIVO DE LA GEODESIA FISICA

1

2.

ELEMENTOS DE LA TEORIA DEL POTENCIAL 2.1.CONCEPTO DE UN CAMPO DE FUERZA 2.2.LA GRAVITACION DE NEWTON 2.3.CAMPO DE GRAVITACION DE UN PUNTO DE MASA M 2.4.CAMPO DE GRAVITACION DE UN CUERPO FISICO 2.5.CAMPO DE FUERZA SOBRE Y POR ENCIMA DE LA SUPERFICIE DE UN CUERPO EN ROTACION 2.6.- NOCION DE POTENCIAL 2.7.- POTENCIAL DE UN PUNTO "ATRAYENTE" 2.8.- POTENCIAL DE UN CUERPO "ATRAYENTE" 2.9.- POTENCIAL DE LA GRAVEDAD DE UN CUERPO EN ROTACION 2.10.- EL POTENCIAL COMO SOLUCION A LA ECUACION DE POISSON O A LA ECUACION DE LAPLACE 2.11.- FUNCIONES ARMONICAS Y SUS PROPIEDADES 2.12.- PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA 2.13.- ALGUNOS METODOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA 2.14.- AUTOVALORES Y AUTOFUNC IONES 2.15.- EL LAPLACEANO EN COORDENADAS CURVILINEAS. COEFICIENTES DE LAME 2.16.- EL METODO DE FURIER APLICADO AL LAPLACEANO EN COORDENADAS ESFERICAS 2.17.- AUTOFUNCIONES DEL LAPLACEANO EN COORDENADAS ESFERICAS. ARMONICAS ESFERICAS 2.18.- ORTOGONAL!DAD DE LAS FUNCIONES ARMONICAS Y DESARROLLOS EN ARMONICAS ESFERICAS 2.19.- SOLUCION COMPLETA DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFERICAS 2.20.- SOLUCION COMPLETA DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ELIPSOIDALES 2.21.- SOLUCION A PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA USANDO ARMONICAS ESFERICAS 2.22.- CONEXION ENTRE LOS COEFICIENTES DE LAS ARMONICAS ESFERICAS Y EL CUERPO ATRAYENTE

2 2 3 4 4

2.23.- INTERPRETACION FISICA DE LOS COEFICIENTES DE ARMONICAS DE GRADO INFERIOR 2.24.- SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES. LINEAS DE FUER ZA

3.

EL CAMPO DE GRAVEDAD TERRESTRE Y SUS APROXIMACIO- NES 3.1.- EL GEOIDE

6 7 8 9 10 11 14 16 17 19 21 29 31 35 38 40 41 44 48 51

52 52

Pag.

3.5.3.6.3.7.3.8.3.9.3.10.-

3.11.-

3.12.3.13.-

3.14.3.15.3.16.3.17.3.18.3.19.3.20.-

OBSERVACIONES SOBRE EL ESFEROIDE POTENCIAL NORMAL Y POTENCIAL PERTURBANTE LA ESFERA COMO SUPERFICIE DE REFERENCIA NORMAL EL ELIPSOIDE ROTACIONAL COMO SUPERFICIE "NOR MAL" DE REFERENCIA LA GRAVEDAD "NORMAL" REFERIDA A LA SUPERFICIE ELIPSOIDAL DE REFERENCIA TEOREMA DE CLAIRAUT, PARA LOS APLASTAMIENTOS DE GRAVEDAD Y GEOMETRICO FORMULAS DE SOMI GHANA PARA LA GRAVEDAD NORMAL FORMULAS DE CASSINIS PARA LA GRAVEDAD NOR- MAL DEFINICION DE: ANOMALIA DE LA GRAVEDAD; PERTURBACION DE LA GRAVEDAD; ALTURA GEOIDAL Y DESVIACION DE LA VERTICAL RELACION ENTRE EL POTENCIAL DE PERTURBACION Y LA ALTURA GEOIDAL. SEGUNDA FORMULA DE BRUNS ECUACION GRAVI ME TR1 CA FUNDAMENTAL DISCUSION DE LA ECUACION GRAVIMETR1CA FUNDAMENTAL. EL PROBLEMA MIXTO DE VALOR EN LA FRONTERA DE GEODESIA EL GRADIENTE VERTICAL DE LA GRAVEDAD SOLUCION AL PROBLEMA MIXTO DEL VALOR EN LA FRONTERA DE GEODESIA FISICA LA INTEGRAL DE STOKES FORMULA DE STOKES. DETERMINACION GRAV I METRJ_ CA DEL GEO IDE ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE LA FORMULA DE STOKES LAS FORMULAS DE VEN ING-ME INESZ LINEAMIENTOS PARA LA SOLUCION NUMERICA DE LAS FORMULAS DE STOKES Y DE VEN ¡ NG-ME I NESZ

54 55 58 58 60 64 66 68

70

72 73

75 77 81 83 86 87 89 92 INEGI. Geodesia física aplicada. 1984

3.2.3.3.3.4.-

1.

EL OBJETIVO DE LA GEODESIA FISICA.

En Topografía tratamos con la determinación de la posición mutua de puntos. Cuando trabajamos en áreas pequeñas podemos conformarnos con las relaciones medidas. Por lo tanto la relación entre dos puntos puede expresarse como: P — P l 2 En áreas grandes no podemos hacer lo mismo. No somos capa^ ees de medir directamente las relaciones entre los puntos y tenemos que referirlos a un marco común que (nte rre Iac i one a los dos puntos. De aquí que realmente hablemos entonces de la relación: Pl —

Marco — P2

La descripción de tal marco y las relaciones entre los puntos v el marco es uno de los objetivos principales de la Geodesia. Usualmente en Geodesia, cierto tipo de superficie "próxima" a la super fície topográfica de la tierra, se elige como superficie de referencia que juega el papel del marco. Es deseable, por supuesto, que la super^ ficie de referencia esté tan próxima a la superficie topográfica como sea posible de modo que los puntos individuales (cuya posición hacia I a superficie topográfica puede medirse) puedan referirse a la superfj. cíe de referencia de un modo sencillo. A la vez, por conveniencia de cálculo, queremos que la superficie de referencia tenga la forma geométrica más simple que sea po sible. Es concebible, desde luego, que la superficie topográfica no sería una buena referencia desde este punto de vista.

INEGI. Geodesia física aplicada. 1984

Cuando medimos las posiciones y relaciones entre los puntos sobre la superficie terrestre (y también por encima o debajo del punto superficial), estamos sujetos a toda clase de influencias físicas del ambiente. Nuestros instrumentos obedecen algunas "leyes" y -"reglas" físicas que debemos tratar de comprender para estar en pos i b_i 1idad de interpretar nuestras mediciones. Todos estamos conscientes de la fuerza de la gravedad; de la fuerza de Coriolis; refracción del aire; influencias de las variaciones de la temperatura; etc.; por nombrar algunas. Para los procesos estáticos - como son las observaciones geodésicas - las dos influencias físicas más importantes son la ref rae c i ón y la g ravedad. Ambas cambian la geometría del espacio en que t raí bajamos y por lo tanto, deben estudiarse y comprenderse, tan claramente como sea posible. Dejaremos por completo el estudio de la refracción _Este es uno de los temas en los cursos de Topografía. Dedicare mos nuestra atención casi exclusivamente a la gravedad. La comprens i ón teórica del campo de gravedad. Su de te rm i nación y sus relaciones (relevancia) con las investigaciones geométri-

- 1

-

- 2 -

cas (que constituyen el tema principal de la Topografía) es el campo de la Geodesia Física. De aquí que este Tomo I será dedicado a dos ob jetivos principales: primero, obtener algo de comprensión y dominio del modelo matemático del campo de gravedad. Este tema se conoce como la Teoría del Potencial. El desarrollo del tema sera: E1 campo de gravedad terrestre y sus aproximaciones usadas en Geodesia. En la primera mitad de este Tomo I deberemos aprender algo sobre las herramientas matemáticas usadas en Geodesia Física. El conocimiento de estas herramientas nos permitirá seguir en la segunda mitad el desarrollo de los conceptos clásicos, así como determinar la relación entre e! campo de gravedad y algunas de las superficies de referencia usadas en Geodesia.

2.

ELEMENTOS DE LA TEORIA DEL POTENCIAL.

2.1.-

CONCEPTO DE UN CAMPO DE FUERZA.

Donde, en una cierta área de nuestro espacio-t¡empo, tenga mos actuando algunas fuerzas físicas, describimos a menudo el área de interés por un Campo Vector i a 1? en vez de tratar con las fuerzas.

Por un campo vectorial entendemos una triada de números reales atribuidos a cada punto (dados por una cuarteta de números reales) de nuestro espacio-tiempo. Usando el Sistema Euclid¡ano de Coordenadas podemos representar gráficamente un campo vectorial, ésto es:

Para hacer más fáciles las cosas, en Geodesia Física cons_[ de ramos a tod.is los campos vectoriales con que trabajamos como es tac io na r i os. ésto es, que no cambian con el tiempo. Cualquier campo estacionario puede describirse completamen

INEGI. Geodesia física aplicada. 1984

en cualquier punto de tiempo.

- 3 -

te por una función "f" de tres valores, usualmente denominados como: 7; T (7) € R3; 7 € (para describir las tres valoraciones) de los argumentos _Las coordena das del punto en el espacío_. Estas tres coordenadas, números reales, pueden ser consideradas como coordenadas del radio vector del punto en cuest ión.

2.2.-

LA GRAVITACION DE NEWTON.

El comienzo de todo fueron los resultados experimentales (observaciones astronómicas) de un astrónomo Danés - Tycho-de-Brahe -hechos en la segunda mitad del Siglo XVI. Estas observaciones constituyeron las bases sobre las que un astrónomo matemático Alemán, Johannes Kepler apoyó la formulación de sus famosas tres leyes que gobiernan el movimiento de los planetas alrededor del sol (a comienzo del Siglo XVIl). De estas tres leyes experimentales el matemático y físico Inglés, Isaac Newton. derivó su principio de gravitación (Philo sophiae Naturlis Principia Mathematica, 1687) que permanece hasta ahora como la piedra angular de la Mecánica Newton¡ana. La formulación clásica de este principio es: "La fuerza de atracción mutua de dos masas m¡, m2, es proporcional a su producto e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia". En notación vector ia1 :

7

= K

■ p*

m

z

,-p ,T -- K '

2

m

' • p*

■? 2

7 -- "T -r.

INEGI. Geodesia física aplicada. 1984

= Donde P, ' P¿ 5°n ^os vectores que unen las dos masas y están dirigidas en sentido contrario a las fuerzas f, , . K es la constante de proporcionalidad llamada Constante de Gravitación (de Newton).

do y e 1

De una multitud de mediciones el valor de K fue determinava 1 or de K = 6.67 X I0"81 0.01 X ¡0~8 (cm3 g

seg2)

aceptado por un número de organizaciones científicas como la mejor aproximación conocida hasta la fecha. Aun se discute si el valor de K varía con el tiempo, ¡Nótese las unidades físicas de K1

- 4 -

2.3.-

CAMPO DE GRAVITACION DE UN PUNTO DE MASA M.

Podemos ver que el Principio de Gravitación de Newton es completamente simétrico: no hay preferencia por alguna de las masas. Sin embargo, por conveniencia, llamamos "atrayente" a una de las masas y "atraída" a la otra. Este nos permite formular el Prm cipio en términos de un campo de fuerza (campo vectorial) como:

comprendiendo que el vector f representa una fuerza ejercida por la masa M sobre una masa unitaria m. E1 vector ^es dirigido de M hac i a m y no es sino el radio vector de m, si M está localizada en el centro del sistema de coordenadas. Este es un ejemplo de un campo vectorial radial (o central) donde todos los vectores apuntan de afuera ha-

Y se le llama Campo de Gravitación de un Punto. Nótese que en este caso no estamos tos que m ejerce sobre M.

CAMPO DE GRAVITACION DE UN CUERPO FISICO.

Se estableció a través de experimentos que las fuerzas gra vitacionales pueden sumarse en la misma forma que los vectores tridi-mensionales en un espacio Euclidiano , De aquí que si tenemos dos ■ masas , M^ actuando sobre una masa un taria m podemos escribir para la fuerza 9ravi tacional resultan te :

f

= f. + f2 =

p3 1

p

,

P3 2

r

Z

INEGI. Geodesia física aplicada. 1984

2.4.-

interesados en los efec

- 5 Z siendo y p^ los vectores respectivos que unen a M , con m. S imi1 armen te podemos escribir para un sistema completo de masas M¡, M2,...., Mn :

f = I f. = i -1

r¡ es el

K

M|

I ¡=l

P.2

P. i i

P - r. - r.1 i i i

radio vector de M¡ .

Nuevamente aquí no estamos interesados en la gravitación que actúa entre las masas individuales M., tampoco nos interesa el 1 efecto de m sobre las M's. Si imaginamos un cuerpo físico con un área B de E^, con una densidad o~ (atribuida a cada punto del área, entonces la masa AM de una parte diferencialAB del cuerpo estará dada por el producto: Am = Ab ■ cr (r' ) , donde cr(r') es el valor de la densidad en un punto representativo de AB.

INEGI. Geodesia física aplicada. 1984

Podemos escribir entonces para el campo de gravitación de todo el cuerpo B:

f = _K

siendo r/ el

JB ^r-p-dB;

p

'-' ~r!

radio vector del elemento dM.

_ Note que aquícr es función de la posición del elemento dB y P lo es de la posición del elemento y del lugar donde el campo está siendo investigado.

- 6 -

2.5--

CAMPO DE FUERZA SOBRE Y POR ENCIMA DE LA SUPERFICIE DE UN CUERPO EN ROTACION (CUANDO USTED ROTA CON EL).

Nuevamente, por experiencia se conoce que una rotación fox zada de una masa m con velocidad rotacional (angular) cu a una distancia r" del eje de rotación empuja la masa hacia afuera desde - - - el eje de rotación. La presión (Fuerza) tiene una magnitud de:

c

La expresión en forma vectorial para la fuerza centrifuga, como es conocida la presión anterior, es:

Imaginemos ahora la situación cuando una masa unitaria es forzada a rotar sobre o por encima de un cuerpo B. Primero es atraída por la fuerza g rav i tac i ona 1 del cuerpo y luego empujada hacia afuera por la fuerza centrífuga. La fuerza combinada resultante, conocida co mo gravedad es entonces dada por: f =

fg + fc

= - K JB

-p

dB + q>

r" .

¡Nótese la diferencia entre r" y p !

Nótese que s i:

el objeto es atraído hacia el cuerpo, y si: fg< fc el objeto es empujado (rechazado) del cuerpo.

INEGI. Geodesia física aplicada. 1984

Estas son las dos fuerzas que experimentamos actuando sobre un objeto estacionario sobre la superficie terrestre.

2.6.-

NOCION DE POTENCIAL.

El campo de fuerza es una representación muy útil de un comportamiento físico. Sin embargo, la necesidad de conocer tres núme ros reales (coordenadas del vector fuerza) para cada punto en el espacio es un inconveniente. Por esta razón es mejor adoptar una herra- mienta más simple para describir el marco físico. Una de las más simples herramientas es el potenc i a 1. La relación del potencial (campo escalar) al campo de fuer za (campo vectorial) se parece mucho a la relación de la función primj_ ti va a la función original en el análisis de la función real. Allí la función primitiva F (si existe) se relaciona con la función original a través de: F(X) = f f (X) dX , J

f

dFtX)

= f (X ) •

dX

Aquí el porencial V (si existe) se relaciona con la fuerza por ecuaciones similares: V(r) = Jf (r) dr; V (VIr)) = Grad V(r) - f (r ),

donde el operador V (o grad) es el equivalente vectorial del operador en el análisis ordinario. Hablamos de V como del potenc i a 1 de

f

y de

f

como el gra

d i en te de V . Nótese que aquí "r* significa el radio vector (vector de po sición) del lugar donde estamos calculando el potencial (fuerza). En E3 T es simplemente (X, Y, Z) o como se escribe algunas veces: r

INEGI. Geodesia física aplicada. 1984

siendo i

, j

- X—- 4- Y—» + Z—» i j k , k los vectores unitarios en los ejes coordenados.

Usualmente no es fácil integrar el campo vectorial para ob tener, siempre que exista, su potencial. Nos lleva a las ecuaciones integrales, ya difíciles de por sí. Por lo tanto, usualmente tratamos evitar estas dificultades de alguna manera. Si el potencial existe es suficiente mostrar que su gradiente es el campo vectorial original. En otras palabras, si a un campo escalar le encontramos un gradiente que sea idéntico con el campo vectorial original habremos encon trado e1 potenc i a 1. El potencial es la noción más importante usada en Geodesia Física.

- 8 -

2.7.-

POTENCIAL DE UN PUNTO "ATRAYENTE".

Podemos mostrar que el potencial de un punto atrayente de masa M está dado por: víT) = k-!L . r considerando nuevamente que M está en el centro del sistema de coordenadas . Tenemos :

9ivi = áx

¡

+¿v__ 3y j

- —— V (r) dr

dz k

= ¿v_ ,ar_ dr dx ,

+¿j_

áv j

a¡_ dz k

.

r = (X2-i-Y2 +Z2/2 — — - —■— r"1 ■ 2 X = X r"' 2 dx ÍL_=

Y.-i.

áy

ÍL_ =

z.

r-i

.

dz

Esto es: V (r) = r1 •7* Por otra parte: - —KM r2

•

(3 r De aquí que: Viv) = -K — -r r3

Entonces: V(v)=T

.

La que es condición suficiente y necesaria para que V sea el potencial de f .

INEGI. Geodesia física aplicada. 1984

la cual es la expresión para la gravitación de una masa M como se mués t ra en 2.3.

- 9 -

¡Nótese el signo de V!

2.8.-

POTENCIAL DE UN CUERPO "ATRAYENTE". Similar a 2.7 se muestra que:

V( r ) = K i — dB, J ______ B £ 1 donde P - r - r ; siendo r' el radio vector del elemento dM = j-dB es el potencial de un cuerpo atrayente B. Tenemos:

V (V) = V ( K y B

• dB ) = K f cr-V { B

dB.

Puesto que:

X

r+Yr+Z1T'

r =

+7 + ' fT 7T I 'J t

tenemos que: P = (X-( ) I (X-£)

=

+IY-17) j + (Y —17 )

+(Z-£)k

+ (Z-£)

Por lo tanto:

P

donde:

dp

Api

dx

~p\Ajl

dv

dz

zp óp = 2 (X-£) dx

dP

dP

y c í el icamente

= (X-f ) /5' ;

INEGI. Geodesia física aplicada. 1984

dx