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“METODO GAUSS JORDAN PARA LA SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES”

MATEMATICAS PARA NEGOCIOS ING. SONIA ZAZUETA LOPEZ

SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO GAUSS-JORDAN Una matriz de un sistema de ecuaciones es un arreglo rectangular de “m” numero de renglones y “n” número de columnas, donde cada renglón representa los coeficientes de las variables de las ecuaciones lineales y cada columna los coeficientes de cada variable en todas las ecuaciones. Si la matriz solo tiene los coeficientes del sistema, se llama matriz de coeficientes del sistema y si la matriz tiene una columna extra con los términos independientes, entonces se llama matriz ampliada. Por ejemplo, los coeficientes del sistema:

x1 + 2 x2 + 2 x3 − 3 x4 = 6 2 x1 + x2 − x3 + x4 = −4 3 x1 − x2 − x3 + 2 x4 = 0 2 x1 + 3x2 + x3 + 4 x4 = −5

SZL

Se pueden escribir como los elementos de la matriz A de coeficientes del sistema:

x1 + 2 x2 + 2 x3 − 3x4 = 6 2 x1 + x2 − x3 + x4 = −4 3x1 − x2 − x3 + 2 x4 = 0 2 x1 + 3 x2 + x3 + 4 x4 = −5

   A=   

1 2 2 − 3  2 1 −1 1 3 −1 −1 2  2 3 1 4  SZL

Mientras que todo el sistema se escribe como la matriz ampliada:

   A=   

1

2

2 3

1 −1

−1 −1

2

3

1

6  1 − 4 2 0  4 − 5 

2 −3

Donde cada renglón representa cada una de las ecuaciones del sistema, mientras que cada columna representa los coeficientes de una misma variable en todas las ecuaciones. Las operaciones elementales con renglones para resolver un sistema de ecuaciones por el método del eliminación Gauss- Jordan son: 1. Multiplicar un renglón por un número diferente de cero 2. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón 3. Intercambiar dos renglones

SZL

A este proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para simplificar una matriz aumentada se llama reducción por renglones. Para ilustrar las operaciones que se realizan en una matriz, se utiliza la siguiente notación: 1. Ri → cRi .- significa “reemplaza el i-ésimo renglón por ese mismo renglón multiplicado por c”. 2. Rj → Rj + cRi .- significa “sustituye el j-ésimo renglón por la suma del renglón j mas el renglon i multiplicado por c”. 3. Ri ↔ Rj .- significa “intercambia los renglones i y j”. 4. A → B .- indica que las matrices A y B son equivalentes, es decir, que los sistemas que representan tienen la misma solución. Mediante estas operaciones elementales se tiene que llegar a A=I, es decir, convertir la matriz A en matriz identidad para resolver el sistema

SZL

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método Gauss-Jordan:

2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 18 4 x1 + 5 x2 + 6 x3 = 24 3 x1 + x2 − 2 x3 = 4 La matriz aumentada se forma escribiendo los coeficientes de las ecuaciones de la siguiente manera: cada fila o renglón de la matriz representa una ecuación y cada columna los coeficientes de la misma variable. Así la matriz aumentada del sistema es:

 2  A= 4  3 

4 5

6 6

1 −2

18   24  4 

Para obtener un 1 en la primer entrada de la matriz (a11) dividimos el renglón 1 entre 2 y los sustituímos

R1 → (1 / 2) R1 = (1 2 3 9 )

SZL

 1  A= 4  3 

2

9  24  4 

3

5 6 1 −2

Ahora sustituyamos el segundo renglón por el segundo renglón menos cuatro veces el primer renglon para hacer cero la entrada a21:

R2 − 4R1

4 −4

5 -8

6 -12

R2 → R2 − 4R1

0

-3

  A=  

1

2

0 3

−3 1

9  − 6 − 12  −2 4 

24 - 36

- 6 −12

3

Para lograr que en la primer entrada del tercer renglón sea cero, necesitamos que el tercer renglón sea sustituído por el tercer renglón menos tres veces el primero SZL

R3

3

1

− 3R1 R3 → R3 − 3R1

−3 0

-6 -5

  A=  

1

2

0 0

−3 −5

−2

4

- 9 - 27 -11 − 23

9  − 6 − 12  − 11 − 23  3

Para convertir el segundo término del segundo renglón en 1, dividimos el segundo renglon entre –3.

R2 → (−1 / 3) R2 = (0 1 2 4 )

  A=  

1

2

0

1

0

−5

9  2 4 − 11 − 23  3

SZL

Para convertir en cero la segunda entrada del primer renglón, sustituimos el primer renglón menos dos veces el segundo renglón

R1 − 2R2

1 2 3 9 0 - 2 - 4 -8

R1 → R1 − 2R2

  A=  

1

0 -1

1

1

0

0 0

1 −5

1  2 4 − 11 − 23  −1

Podemos deshacernos del –5 del tercer renglón si sustituimos al tercer renglón por el tercer renglón mas 5 veces el segundo renglón

R3

0

5R2 R3 → R3 + 5R2

0 0

− 5 −11 − 23 5 0

10 -1

20 −3

SZL

 1  A= 0  0 

1  1 2 4 0 − 1 − 3 

0

−1

La tercera entrada del tercer renglón se convierte en 1 si se multiplica todo el tercer renglón por –1

R3 → (−1) R3 = (0 0 1 3)

 1  A= 0  0 

0 −1 1 0

2 1

1  4 3 

Para eliminar el –1 del primer renglón reemplazamos el primer renglón por el primer renglón mas el tercero

R1

1

0 −1

1

R3 R1 → R1 + R3

0 1

0 0

3 4

1 0

SZL

 1 0 0 4   A =  0 1 2 4  0 0 1 3   Para eliminar el 2 del segundo renglón, reemplazamos el segundo renglón por el segundo renglón menos dos veces el tercero

R2

0

1

− 2R3

0

0 -2 -6

R2 → R2 − 2R3

0

1

 1  A= 0  0 

0 1 0

2

4

0 −2

0 4  0 − 2 1 3 

A esta última matriz se le conoce como matriz escalonada y corresponde al sistema equivalente: SZL

(1) x1 + (0) x2 + (0) x3 = 4 (0) x1 + (1) x 2 +(0) x3 = −2 (0) x1 + (0) x2 + (1) x3 = 3 Haciendo las multiplicaciones por cero y por uno se simplifica:

x1 = 4, x2 = −2, x3 = 3 Que es la solución al sistema

SZL