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• Rodrigo Gomez Lopez

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METODO DE GAUSS-JORDAN

El método de eliminación de Gauss-Jordan. Éste método consiste en reducir la matriz ampliada del sistema a su forma escalonada reducida por renglón, por medio de las operaciones elementales definidas como: i)

Intercambiar dos renglones.

ii)

Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero.

iii)

Sumar (o restar) a un renglón un múltiplo escalar de otro renglón.

para obtener de manera directa el valor de las incógnitas. El método de Eliminación Gaussiana. Éste método consiste en reducir la matriz ampliada a su forma escalonada por renglón (mediante operaciones elementales), y luego usa la sustitución hacia atrás para determinar el valor de las incógnitas NOTA: ¿Cuál método es más útil? Al resolver sistemas lineales en computadora se prefiere el método de eliminación gausiana porque significa menos operaciones elementales por renglón. n3 Para el método de Gauss-Jordan se requieren aproximadamente 2 multiplicaciones, si el sistema es de n × n . Para el método de Eliminación gaussiana se quieren aproximadamente multiplicaciones.

sumas y

n3 sumas y 3

A veces es esencial obtener la forma escalonada reducida por renglones para una matriz (por ejemplo cuando se requiere determinar la inversa de una matriz), en este caso la eliminación de Gauss-Jordan es el mejor método que se puede aplicar. Ejemplo 1: Use el método de eliminación gaussiana para determinar en que casos el siguiente sistema tiene solución única, no tiene solución o tiene una infinidad de soluciones     x         + ay          − z =    1 − x + ( a − 2 ) y          + z = −1  2 x        + 2 y + ( a − 2 ) z =    1 Ejemplo 2: La siguiente figura muestra el flujo del tránsito en el centro de una ciudad durante las horas pico de un día hábil. Las flechas indican la dirección del

flujo en cada calle de un sentido; el promedio de vehículos que pasan por cada crucero por hora aparece al lado de cada calle. Las avenidas 5 y 6 pueden aceptar hasta 2,000 vehículos por hora sin congestionarse, en tanto que la capacidad máxima de cada calle es de 1,000 vehículos por hora. El flujo se controla por semáforos instalados en cada crucero. a) Escribir una expresión general con las tasas de flujo x1 , x 2 , x3  y x 4 y sugerir dos posibles patrones de flujo que garanticen que no habrá congestionamiento. b) Supóngase que la parte de la calle 4 comprendida entre las avenidas 5 y 6 se pavimentará y que el flujo de tráfico entre los dos creceros se reducirá a 300 vehículos por hora. Determinar dos posibles flujos de tráfico que garantices en flujo suave del tráfico.

300 1200

500

x1

x4 1300 700 Calle 4

800

Avenida 5

x2 x3

1400

Avenida 6

400 Calle 5

Ejemplo 3: Resuelva (si es posible) el siguiente sistema de ecuaciones lineales          2 x 2 + 3 x3 = 4 2 x1 − 6 x 2 + 7 x3 = 15    x1 − 2 x 2 + 5 x3 = 10

Ejercicio 1: Encontrar en cada caso (si es posible), condiciones para a,b y c tales que el sistema tenga una única solución, una infinidad de soluciones y no tenga solución.    x + 2 y  − 4 z = 4 x + y + 3z = a 2 x + y   − z = a a) 3 x  − y + 13 z = 2 b) ax + y + 5 z = 4 c)      2 y + 3 z = b 2 x + ay + 4 z = a 4x + y + a z = a + 3 x          − z = c Ejercicio 2: En cada uno de los siguientes casos, encontrar todos los valores de a para los cuales el sistema tiene soluciones no triviales y determine todas las soluciones en cada caso

x + y   − z = 0 a)     ay   − z = 0 x + y + az = 0

ax + y   + z = 0 b)    x + y   − z = 0    x + y + az = 0

Ejercicio 3: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones para x, y x 2 + xy − y 2 = 1 2 x 2 − xy + 3 y 2 = 13 x 2 + 3 xy + 2 y 2 = 0 Sugerencia: Estas ecuaciones no lineales son lineales en las nuevas variables x1 = x 2 2 , x 2 = xy y x3 = y . Ejercicio 4: El doctor le prescribe a un paciente 5 unidades de vitamina A, 13 unidades de vitamina B y 23 unidades de vitamina C, cada día. Existen en el mercado tres marcas diferentes de vitaminas y el número de unidades por pastilla, de cada una de ellas, se muestra en la tabla adjunta Vitaminas Marca A B C 1 1 2 4 2 1 1 3 3 0 1 1 a) Encuentre todas las combinaciones de pastillas que producirán la cantidad exacta de vitaminas, requerida (no se permite dividir las pastillas). b) Si las marcas 1, 2 y 3 cuestan 3pesos, 2 pesos y 5 pesos respectivamente, encuentre el tratamiento más barato. Ejercicio 5: El propietario de un restaurante planea utilizar x mesas para 4 personas, y mesas para 6 personas y z mesas para 8 personas para un total de 20 mesas. En plena ocupación, se sientan en las mesas 108 clientes. Si sólo se utilizan la mitad de las mesas x, la mitad de las mesas y y un cuarto de las mesas z, todas ellas completamente ocupadas, entonces solo se sientan 46 clientes. Obtenga x, y y z. Ejercicio 6: La siguiente figura muestra el flujo de tráfico cerca del centro cívico de una ciudad durante las horas pico de un día hábil. Cada calle puede aceptar un máximo de 1000 vehículos por hora sin congestionarse. El flujo se controla con semáforos instalados en cada uno de los cinco cruceros. Avenida 6

Avenida 7

700 Calle  3

Calle 4

600

500

x2

x1

x3

Circuito Cívico 800

600 700

x5

700

x4

600

a) NOTA: Si requieres resolver más problemas para tener dominio de los temas puedes revisar los libros de: álgebra lineal con aplicaciones de W. keith Nicholson y Matemáticas para administración y economía de S. T. Tan, ambos disponibles en la biblioteca de la Unidad.