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SOLUCIONARIO DE: BALOTARIO DE MATEMÁTICA AVANZADA 2015 A Universidad Nacional del Callao (UNAC) Facultad de Ingeniería
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- Katherine Llerena Calderón
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SOLUCIONARIO DE: BALOTARIO DE MATEMÁTICA AVANZADA 2015 A
Universidad Nacional del Callao (UNAC) Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica (FIEE) Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica PROFESOR: Lic. Raúl Castro Vidal GRUPO: N° 3 INTEGRANTES: Miranda Ñahui Jorge Orlando Manza Chávez Herber Torres Trujillano Javier Espinoza Huancas Alexander Sánchez Casas Javier Vizarres Valentín Erick Sanchez Remigio Banner Paredes Vaca José Luis
1313220436 1223220544 1313220204 1313220329 1313210198 1313210073 1313210215 1313210135
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
BALOTARIO DE MATEMÁTICA AVANZADA 2015 A PROBLEMA 01 Si y son números complejos demuestre que: | || | | || a) | b) |
|
|
|
(| |
| | ̅ | c) | Solución 1 Nociones básicas:
| | ). | | )(
( | |
Solución: | ( ̅ | |
̅ |
|
|
|
|
̅ )(̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ) ̅
(
̅
̅
̅
̅
| | (
| |
̅ )( ̅
̅̅̅̅
̅ ̅
̅
| | | |
()
̅
( )
̅)
| |
̅
̅̅̅)
̅) ̅
)( ̅
| |
(| |
| |
̅ |
|
̅ ̅
̅)
| | )
| | ) |
Solución 2 Recordando: ‖ ‖
(
(̅̅̅
| |
| | (
| | )(
(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
(
Restando ( ) de ( ): ̅ ̅ | | | | | | | |
̅
̅
)(̅̅̅̅̅̅̅̅)
| | ).
)
√(
(
‖
(
̅ ‖
‖
| | )(
| | )
) ‖
‖
|
(
)(
)‖
‖ ‖
(
‖ ‖
)‖
‖
‖(
)
(
)‖
‖(
)
(
)‖
,(
)
(
) -
,(
)
(
) -
,
-
,
-
( )
( (
Matemática Avanzada
(
(
‖ ‖ )(
‖
‖ )( ))(
‖ ‖ ) ‖ (
‖ ) ))
Balotario Resuelto
1
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( ) De lo cual vemos que (1) es igual (2) de lo cual se puede demostrar la igualdad. PROBLEMA 02 Resuelva: Sea ( )
*
| |
+. Calcula y representa gráficamente ( ) para las funciones:
a) ( ) b) ( )
(
)
En forma polar | | (
)
√
. /
(
)
√
.
/
Esto se interpreta como una ampliación y rotación de los puntos de ( ) (
)
( ) (
. /
√ √
/
.
√ )
.
√
/ .
/
( ) c) ( )
⁄ ⁄
| ⁄ | | | ⁄
El circulo | | ⁄ Por | ⁄ | |
⁄
|
|
|
Elevando al cuadrado .
/
.
/
( ⁄ ) La transformación del círculo | | radio Estudia la continuidad en el disco (
Matemática Avanzada
)
*
| |
es otro círculo pero de ⁄
+ de las funciones.
Balotario Resuelto
2
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) ( )
⁄
PROBLEMA 03 Sea la función: Si es un subconjunto abierto de y es una función armónica, se llama armónica conjugada a toda función que cumpla que la nueva función ( ) ( ) ( ) es derivable en . Prueba que las siguientes funciones son armónicas y halla una armónica conjugada. ) ( a)
(
)
(
)
⁄(
)
)
Para encontrar su canónica utilizamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann ya que si f es analítica y son analíticas.
( ) ( ) ( ) ( ) (
b) (
)
)
Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
c)
(
)
⁄(
)
) ( (
Matemática Avanzada
) )
(
) (
(
)
)
Balotario Resuelto
(
)
1
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(
(
)
(
)
(
(
)
( )
)
)
(
( )
) (
( )
( )
)
PROBLEMA 04 Calcular el valor de la integral ∫ ⁄ ̅
PROBLEMA 05 Sea ( ) integrales:
,
,
, siendo
el camino indicado en la figura siguiente:
-. Calcular en función del parámetro
el valor de las siguientes
)∫ ∫
∫
(
∫
)
∫
(
∫
∫
)
(
∫
(
)
∫
)
( ) ( ) ( )
) ∫ ∫
∫ (
)(
(
)
(
) (
)
)
( ( )
Matemática Avanzada
∫ )(
∫ )
(
(
)
∫
∫
(
)
)
( ) ( )
Balotario Resuelto
( )
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∫
(
) (
)
∫
(
∫
)
(
(
) (
( )
∫
) )
(
(
) ()
) (
)
∫ ( ) ) ∫
) ∫
⁄
PROBLEMA 06 Demuestre: Sea ( ) para
un polinomio con coeficientes reales, esto es, . Se pide:
a) Comprobar que para todo
se cumple la igualdad ( ̅)
b) Usando el apartado anterior, probar que si su conjugada también es solución.
̅̅̅̅̅̅ ( ).
es solución compleja de
c) Calcular todas las soluciones de
( )
, entonces
.
PROBLEMA 07 Demuestre: Una función se dice que es armónica en el conjunto abierto si es de clase ( ) (existen sus derivadas parciales de orden dos y son funciones continuas) y verifica la relación (
)
(
)
Dada una función derivable , comprueba que las funciones parte real ( ) ( ) y parte imaginaria ( ) ( ) son armónicas en . Nota: Supón aunque posteriormente veremos que esta suposición es superflua, que las funciones parte real y parte imaginaria de f son de clase ( ). PROBLEMA 08 Dada la curva ( )
,
,
- calcular la integral: ∫
Matemática Avanzada
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Sea ( )
es analítica para todo ,
∫
∫
(
-
) ∫
PROBLEMA 09 Calcular el valor de la integral: ∫
(
)
⁄
(
,
( )
)
-
Sea: (
)
( )
,
-
⁄
⁄
⁄
( )
⁄
, es analítica en
ya que
está fuera de
⁄
∫
(
)
( ) ⁄
∫
(
)
PROBLEMA 10 PROBLEMA 11 Estudie la convergencia de las series: ¿En qué vector se transforma √ al girarlo ⁄ ?. Sea el vector ⁄ √ √ ( ) ⁄
Matemática Avanzada
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( )
√ Girando ⁄ ( )
⁄ √ ( ( )
√
√
)
√
¿Qué ángulo es necesario girarlo para que el resultado sea √ ? Teniendo que: √ √
√
√
[
⁄ ]
[
⁄
]
√ √
[ ⁄ ]
[ ⁄ ]
PROBLEMA 12 Sea una función de variable compleja. Demuestra que la parte real ( )y la parte imaginaria ( ) son simultáneamente derivables si y solo si ( ) es constante. Solución Consideremos la función ( ) ( ) ( ) ( ) (
)
(
)
( ) es derivable y la parte imaginaria ( ) es derivable La parte real Se cumple la ecuación de Cauchy-Riemann y son continuas las funciones: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
)
( ) es analítica en una curva Comprobamos que ( ) Por la ecuación de Cauchy-Riemann: ( ) ( )
( )
PROBLEMA 13
Matemática Avanzada
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PROBLEMA 14 Calcular la integral de la función conjugación ( )
̅ a lo largo de la siguiente curva.
Orientación negativa
( )
̅; (
,
∫ ( )
∫ (
∫ ( )
∫ 0 .
∫ ( )
∫
)(
)
̅
-
) /1
(
)
∫ ( )
PROBLEMA 15 Calcular la integral ∫ | | ̅ | ̅| | ̅| ∫ ( ̅)
, siendo
el camino del ejercicio anterior.
√
∫ ( ̅)
∫| | ̅ PROBLEMA 16
PROBLEMA 17 Represente gráficamente:
PROBLEMA 18 Determina los puntos singulares de las siguientes funciones: a) ( ) (
)
Definición de puntos singulares donde ( ) deja de ser analítica ( ) Tenemos dos puntos singulares:
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b) ( )
.
c) ( )
.(
(
/
)
)(
)
)(
(
/
)
) (
) (
)
PROBLEMA 19 Calcula a partir de las condiciones de Cauchy-Riemann, las derivadas de las funciones: a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( )
( ) (
)
(
( )
( ) ( )
( ) d) ( ) ( ) ( )
)
( (
( )
c) ( )
) ) ( )
(
)
PROBLEMA 20
PROBLEMA 21 Calcule las siguientes integrales: a) ∫
b) ∫ ,
∮
-∮ ( ) ∑ (
∫
∫
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(
(
√
)
(
)
(
√
))
)
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∫
√
√
∫
√
(
√
(
(
)
√
)
√
)
(
))
√
∫
√
(
)
PROBLEMA 22
PROBLEMA 23 Demuestre: √
∫ ∫
∫
∫
(
∫
∫
)
∫
√
Pero ∫
∫ √
∫
PROBLEMA 24 es una función analítica, demuestre que es derivable y se verifica la ecuación de Gauchy-Riemann. Sea la función f(x+iy) =U(x,y)+iv(x,y) analítica suponemos U(x,y) y v(x,y) funciones de clase c2 siendo analítica se satisface las ecuaciones de cauchy-rieman.
( )
( )
.Derivando (1)respecto de y: ( )
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.Derivando (2) respecto de x:
( ) .Derivando (1) respecto de x: ( ) .Derivando (2) respecto de y: ( ) Igualando (3) y (4)
( ) Igualando (5) y (6)
( ) Por (α) y (β) U(x,y) y v(x,y) son armónicas
PROBLEMA 25
Sea F : S C C una función analítica en el interior de una curva de
Jordan C y sobre
C, excepto en número finito de puntos singulares a1 , a2 , a3 ,..............., an del interior de C=C. n
Demuestre que
F ( z)dz 2 i Re sF (a j ) .
C
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j 1
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Demostración Resolución por el Teorema de Residuos Resolución: Sea
( )=
(
) ( )
F(z) es función Compleja Del teorema de los conjuntos múltiplemente conexas n
F(z)dz d ( z)dz ; siendo F(z) analítica
Sabemos :
j 1 cj
c
Y que :
(
F(z)dz =
)
;
para un punto
en
c
F(z)dz ; c
n
n
j 1 cj
j 1
F ( z)dz 2i.Res(a )
F(z)dz 2i.Res(a )
j
Siendo
j
,
puntos singulares
c
SIN NUMERO
∫
+∫ ∫
+∫ +∫
+∫
2∫
(
)
+∫
+ ∫ 2
0
0
|+
2+ ( 2+ (
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+∫
|
-
) )=2
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