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• Erick Vizarres Valentin

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MATEMÁTICA AVANZADA GRUPO N° 3 . HILMER IRVING MARCHAN HUANCA ............................1213210075 ANGEL MARTIN PEREZ FRETEL......................................1213270018 WALTER EDUARDO MERMA QUISPE............................1213220108 JUAN ABDUL SALCEDO ROMAN..................................1113210201 JAIME LIZARDO RAMIREZ GOMEZ..............................1113210166 FRANKLIN ROBINSON MARTINEZ ZAVALA................1113220583 GUILLERMO MELCHOR YARANGA JORGE.................1113220511

RESOLUCIÓN DE PRIMERA PRÁCTICA

LA

MATEMÁTICA AVANZADA

MATEMÁTICA AVANZADA

DE 1. PROBAR

a)

2

2

2

2

‖1−´z w‖ −‖ z−w‖ =( 1−‖z‖ )( 1−‖w‖ ) Solución: Recordando:

‖z‖=√( Rez ) + ( Imz ) ; z =x+iy ; w=u +iv 2

2

‖1−´z w‖2−‖ z−w‖2 2

‖1−( x−iy ) (u+ iv )‖ −‖x +iy−u−iv‖2 2

2

‖1−( xu+ xvi−uyi+ vy)‖ −‖x +iy−u−iv‖ 2

2

‖( 1−xu−vy )+ i ( uy−xv )‖ −‖( x−u )+i ( y−v )‖

[ ( 1−xu−vy )2 +( uy−xv )2 ] −[ ( x−u )2 +( y−v )2 ] [ 1+ x2 u2 + y 2 v 2−2 xu−2 yv +2 xyuv + y 2 u2 + x 2 v 2−2 xyuv ]−[ x 2 + y 2+ u2+ v 2−2 xu−2 yv ] ∴ x 2 u2+ y 2 v 2+ y 2 u2 + x 2 v 2−x2 − y 2−u2−v 2+ 1… … … … …(1)

(1−‖z‖2 )( 1−‖w‖2 ) 2

2

(1−‖ x+iy ‖ )(1−‖u+ iv‖ )

1−(u2 + v2 ) (1−( x 2 + y 2 ) )¿ ) 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴ x u + y v + y u + x v −x − y −u −v + 1… … … … ….(2)

PRÁCTICA 1

1

MATEMÁTICA AVANZADA

De lo cual vemos que (1) es igual (2) de lo cual se puede demostrar la igualdad.

b)

‖z‖≤| Rez|+|Imz|≤ √2‖z‖ z=x +iy →‖ z‖=√ x 2+ y 2 , además

Se tiene que 2

‖z‖=√ ℜ ( z ) + ℑ ( z )

ℜ ( z )=x , ℑ ( z ) = y

2

Elevamos al cuadrado a ambos lados

‖z‖2=|ℜ( z )|2+|ℑ( z)|2

Como:

(|ℜ ( z )|−|ℑ ( z )|)

2

≥0

ℜ ( z ) 2+ ℑ ( z ) 2 ≥ 2 ℜ ( z ) ℑ ( z )

‖z‖2 ≥2 ℜ ( z ) ℑ ( z ) ‖z‖2

Sumamos 2

a cada miembro.

2

2‖z‖ ≥‖ z‖ + 2|ℜ ( z )||ℑ ( z )|

2

2

2

2‖z‖ ≥|ℜ(z)| +|ℑ( z )| + 2|ℜ ( z )||ℑ ( z )|

2

2‖z‖ ≥ (|ℜ( z )|+|ℑ( z)|)

2

Aplicamos la raíz cuadrada ambos lados: PRÁCTICA 1

2

MATEMÁTICA AVANZADA

√ 2‖ z‖≥|ℜ(z)|+|ℑ( z )| Ejemplo: Si z=2+2i; z=3+3i; z=5+5i … |Re(z)| + |Im(z)|=4

 



√ 2 (2)

||z|| =

√2

√2

4=

¿

(2))



c)

√ 2 (2)

|Re(z) |+|Im(z) |=

4=4

‖z 1 w1 + z 2 w 2‖ ≤ √‖z 1‖ +‖ z2‖ + √‖w1‖ +‖w 2‖ 2

2

2

2

(Inecuación Cauchy- Schwarz) y generalizar para “n” términos, es decir

‖z 1 w1 + z 2 w 2 ...+ z n wn‖ Solución:

|z 1−a w´ 1| Sea: a=

2

+

|z 2−a w´ 2|

2

≥0

z 1 w 1+ z 1 w 1 2

2

‖w1‖ +‖w 2‖

( z 1−a w´ 1 )( z´1− a´ w1 ) + ( z 2−a w´ 2 ) ( z´2−´a w2 ) ≥0

|z 1|

2

+

|a|

2

|w 1|

2

+

|z 2|

+ |a|

2

2

|w 2|

2

≥ a w 1´ z 1 + a w 2´ z 2 +

a´ w 1 z 1 + a´ w 2 z 2

PRÁCTICA 1

3

MATEMÁTICA AVANZADA

|z 1|

2

|a|

+

|w 1|

2

2

|z 2|

+

+ |a|

2

2

|w 2|

≥ a´ ( w 1 z 1 +

2

w 2 z2 )

+ a ( w ´1 z 1 + w ´2 z 2 )

|z 1|

2

|a|

+

|w 1|

2

|z 2|

2

+

2

|a|

+

2

|w 1|

|z 2|

2

+

2

+ |a|

2

|w 2|

Como a´

|z 1|

2

|a|

+

(w 1 z 1+´ w2 z 2) 2

2

‖w 1‖ +‖w 2‖

|w 1|

2

2

+

|z 2|

2

|w 2|

2

2

≥

a´ ( w 1 z 1 +

2Re [ a´ ( w1 z 1 +w 2 z 2) ]

≥

(w 1 z 1+´ w2 z 2)

=

2

2

‖w 1‖ +‖w 2‖

+ |a|

2

(w 1 z 1+ w2 z 2)

¿

+ |a|

a´ ( w1 z1´+w 2 z 2 )

w 2 z2 ) +

|z 1|

2

2

|w 2|

2

≥

; entonces:

2Re

[(

]

Operando: 2

|z 1|

2

+

|a|

2

|w 1|

2

+

|z 2|

2

+ |a|

2

|w 2|

2

≥

2

|w 1 z 1+ w2 z 2| 2 2 ‖w1‖ +‖w2‖

Además:

|a|

2

=

‖w 1‖ 2 2 2 (¿¿ 2+‖w2‖ )(‖w1‖ +‖w2‖ ) 2 |w1 z1 + w2 z 2| ¿

2

|z 1|

2

+

|z 2|

2

+

|a|

2

(

|w 1|

2

+

|w 2|

2

)≥2

|w 1 z 1+ w2 z 2| 2 2 ‖w1‖ +‖w2‖

PRÁCTICA 1

4

MATEMÁTICA AVANZADA

‖w1‖ 2 2 2 (¿ ¿ 2+‖w2‖ )(‖w1‖ +‖w2‖ ) (‖w1‖ +‖w 2‖ ) ≥ 2 |w 1 z 1+ w2 z 2| 2

|z 1|

2

|z 2|

+

2

+

2

2

2

|w 1 z 1+ w2 z 2| 2 2 ‖w1‖ +‖w2‖

¿ 2

|z 1|

2

|z 2|

+

2

≥

|w 1 z 1+ w2 z 2| 2 2 ‖w1‖ +‖w2‖

Entonces:

‖z 1 w1 + z 2 w 2‖ ≤ √‖z 1‖ +‖ z2‖ + √‖w1‖ +‖w 2‖ 2

(

d)

2

2

2

…… Demostrado

n

1+itgα 1+ itgnα = 1−itgα 1−itgnα

)

Solución:

(

n

1+itgα n cosα+isenα n e iα e niα cos ⁡( nα )+ isen( nα ) = = −iα = −niα = 1−itgα cosα−isenα cos ( nα )−isen(nα ) e e

) (

) ( )

) ( sen(nα cos ( nα ) ) 1+ itgnα = sen(nα ) 1−itgnα 1−i ( cos ( nα ) ) 1+ i

Se puede observar que la igualdad se demuestra.

2.

a)

REPRESENTA LOS SIGUIENTES NUMEROS EN SU FORMA TRIGONOMETRICA Y EXPONENCIAL

(

i √ 2+i √ 2

8

)

PRÁCTICA 1

5

MATEMÁTICA AVANZADA

Solución:

√ 2 al denominador:

Factorizando

[

8

( )] θ=arctan( 11 )= π4

1 1 √ 2 1+i

Transformado a su forma polar el número complejo y operando:

[( 1 √2

)] [ 8

1 −π i 4

√2 e

1 i( = e 2

−π 4

)

8

]

→

1 −2 πi 1 −2 πi e = e 256 28

También se puede expresar en su forma trigonométrica: 1 ( cos (−2 π )+isin (−2 π )) 256 Al operarlo se reduce a: 1 Rpta : 256

(1+i) b) ( 4 +i )

Solución: Por leyes de exponentes:

( 4 +i )( 4+i )i=( 4+i ) e ln [ (4 +i ) ]=( 4 +i ) e iln ( 4+i ) i

Transformando el complejo

√ 17 e

iarctan

π 4

( 4 +i ) :

e iln ( 4+i )

PRÁCTICA 1

6

MATEMÁTICA AVANZADA

Operando f =ln ( 4 +i ) : f =ln ( 4 +i )=ln √ 17+iarctan

1 4

Reemplazando en:

√ 17 e

iarctan

1 4

e

(

i ln √17 +iarctan

1 4

)

=√ 17 e

1 1 iarctan +iln √ 17−arctan 4 4

Forma polar: 17 1 arctan +ln √ ¿ 4 ¿ 1 arctan + ln √ 17 4 i¿ 1 −arctan +i¿ 4 √ 17 e¿ Forma trigonométrica: 1 arctan + ln √17 4 1 (¿)+isin(arctan + ln √17) 4 cos ¿ −arctan

√ 17 e

√

c¿6

1 4

¿

√ 2−i √ 2 i+i √3

Solución: Factorizando y reduciendo: PRÁCTICA 1

7

MATEMÁTICA AVANZADA

√ 6

√

√

√

√ 2 1−i = 6 √ 2 1−i = 6 √ 2 1+i = 6 √ 2 (−1 ) ( 1+ i ) i 1+ √3 1+ √ 3 i 1+ √3 −i 1+ √3

(

)

( )

( )

Transformando a su forma polar:

√ 6

π

π

√

i( + ) i 2 2 e 2 24 = 6 e 1+ √ 3 1+ √3

13 π 24

Forma trigonométrica: 13 π 24 ¿ 13 π )) cos(¿ +isin( 24 2 6 ¿ 1+ √ 3

√

d)

ln

(

i √ 2+i √ 2

8

)

Solución: Operando con las propiedades de los logaritmos: 8 ln

8 ln

(

i 1 i 1 ( i ) ( 1−i ) =8 ln =8 ln √ 2+i √ 2 √ 2 1+i √ 2 ( 1+ i ) ( 1−i )

(

1 1+ i 2 =8 ln √ ( 1+i ) 4 √2 2

) ( ( )) (

) (

)

)

Transformando a su forma polar: π π i 2 1 i4 √ 4 8 ln √ 2 e =8 ln e

(

4

) ( ) 2

Usando propiedades de logaritmos: PRÁCTICA 1

8

MATEMÁTICA AVANZADA

[

]

iarctan ( i 1 π 2 2 4 ln 2 ) 8 ln + ln ⁡( e 4 ) =−8 ln 2+ 8 i =−8 ln2+2 πi=√ (−8 ln2 ) + ( 2 π ) e 2 4 π

−π

Forma trigonométrica:

√ 64 ( ln 2 ) + 4 π 2

2

( ( ( )) ( )) co s arctan

−π −π +isin 4 ln2 4 ln 2

3. RESUELVA

a)

Demostrar que:  z5   4 , z  0 f (z)   z     0, z  0 

Satisface Cauchy Riemann en 0 pero no es

diferenciable ahí. SOLUCIÓN: Se tiene para z=0, f(z) = 0 esto quiere decir que f(z) = 0 + 0i Se sabe que: f ( z )  u( x, y )  iv ( x, y )  0  0i  u( x, y )  0  v ( x, y )  0

Por lo tanto al aplicar Cauchy-Riemann, obtendremos: u v u v   0 x y y x y 00 00 y Observamos que cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann Pero observamos en el resultado que no es continua en 0 por lo tanto no es diferenciable en 0.

PRÁCTICA 1

9

MATEMÁTICA AVANZADA



b) Probar que la función

 f ( z )   e , z  0  0, z  0 1 z4

satisface las ecuaciones de

Cauchy-Riemann en todo el punto del plano, pero no es analítica en todo el plano. SOLUCIÓN: Al analizar la función, deducimos que no es continua en todo el plano (discontinua en z = 0), entonces no es derivable, por consiguiente no es analítica en z = 0. Analizamos si para la ecuación de Cauchy Riemann, cumple: Para z = 0 Ya que en el ejercicio anterior analizamos y obtuvimos que para

z0

, si

cumplía.

f ( z)  e 

f (z)  e





 

1 z4

e

cos 4  r4 



e 4  i r

e

 cos 4  isen 4 r

sen  sen 4   cos 4    4  ie .sen  4  4 r  r  r 4    

cos 

De esta manera, obtenemos: v (r , )  e

 

  cos 4   x4  

  cos 4  r4 

  sen 4 sen  u(r , )  e 4  r  

 sen 4 r4   

cos 

Desarrollando con Cauchy-Riemann para polares tenemos: u v  r r 

u 4cos 4 .e  r r5

 cos 4 r4

y

v u  r r 

  cos 4  r4 

  sen 4  cos   e  4  r 

.

4sen 4  sen 4  .sen  r5 r 4 

PRÁCTICA 1

1 0

MATEMÁTICA AVANZADA

v 4sen 4 .e  r  r5

v  cos 4 .e  r r5



  u    e  r  

  cos 4  r4 

 cos 4 r4

 cos 4 r4

  cos 4  r4 

 sen 4  4 cos 4 .cos  r 4 r5 

  cos 4  r4 

 sen 4  4sen 4 .cos r 4  r5 

  sen 4  e 4   r 

.sen 

  sen 4  .sen   e  4  r 



.

 4sen 4  sen 4 .cos   e 5 4  r r  

 cos 4   r4 

 sen 4  cos 4 .sen  r 4  r5   

Luego de haber operado, logramos confirmar que cumple la ecuación de CauchyRiemann para todo el plano, pero no es analítica en todo el plano. 4. UTILICE EL TEOREMA DE CAUCHY PARA MOSTRAR QUE LAS SIGUIENTES INTEGRALES SON CERO: z Ñ  e dz 2

a

c

, donde C es la unidad de círculo.

SOLUCION: Graficando:

PRÁCTICA 1

1 1

MATEMÁTICA AVANZADA

ℂ es un conjunto simplemente conexo, y C es un entorno cerrado simple contenido en ℂ. Solo nos quedaría demostrar que

Si una función

f ( z)

Demostrando que

f ( z)

es analítica.

es derivable entonces es analítica.

f ( z)

es derivable: 2

df ( z ) d (e z )  L dz dz Partiendo de:

d (ln e x ) 1 dx

…………… (1)

d (ln( f ( x))) f ' (x)  dx f ( x) ……………(2)

Hacemos:

x  z2 f ( z)  e

……….. (a) x

………… (b)

dx  2 zdz

………… (c)

Entonces:

f ' ( x) 

d ( f ( x)) dx

En (2): PRÁCTICA 1

1 2

MATEMÁTICA AVANZADA

d ( f ( x)) d (ln( f ( x )))  dx dx f ( x)

….. (3)

Remplazando (b) en (3) :

d (e x ) d (ln(e x ))  dxx dx e De (1) tenemos que:

d (e x ) 1  dxx e

…. (4)

Remplazando (a) y (c) en (4): 2

1

d (e z ) 2

e z 2 zdz 2

d (e z ) z e 2z  dz 2

f (z)  ez

2

Finalmente demostramos que es derivable, entonces queda demostrado que es analítica por lo tanto se cumple el teorema de cauchy. z Ñ  e dz  0 2

c

PRÁCTICA 1

1 3

MATEMÁTICA AVANZADA

b

sin( z 3) Ñ c 1  cos z dz

,donde c es el cuadrado con vértices en

z1  1 z2  2 ,

z3  2  i z 4  1  i

,

,

SOLUCION: Graficando:

Si una función

f ( z)

Demostrando que

es derivable entonces es analítica

f ( z)

es derivable:

 sen( 3) 1  cos( z ) df ( z )   L  dz dz d

Sabemos que:

d  f ( z )    dz  g ( z )

g ( z)

df ( z ) dg ( z )  f (z) dz dz 2 ( g ( z ))

Entonces si :

PRÁCTICA 1

1 4

MATEMÁTICA AVANZADA

f ( z )  sen( 3) g ( z )  1  cos( z ) df ( z ) cos( 3)  dz 3 dg ( z )  sen( z ) dz d   dz 

cos( z 3) cos( z 3)cos(z)   sen( z 3)sen(z) f ( z ) 3 3   g ( z ) 1  2cos( z )  (cos( z )) 2

sen( z 3) d( ) cos( z / 3)  cos(4 z / 3)  2sen( z / 3) sen( z ) 1  cos(z)  dz 3(1  2con( z )  (cos( z )) 2 )

sen( z 3) d( ) 2 sen(5 z / 6) sen( z / 2)  2sen( z / 3) sen( z ) 1  cos(z)  L 2 dz 3(1  2con( z )  (cos(z)) ) Dicha función es derivable, por lo tanto es analítica. Se cumple el teorema de cauchy

sin( z 3) Ñ c 1  cos z dz  0

PRÁCTICA 1

1 5

MATEMÁTICA AVANZADA

c

tan z Ñ c z  1 dz

Z  2  0.1 ,donde C es la unidad de círculo,

SOLUCION:

f ( z) 

tan z z 1

£  {1}; k 

Tenemos , en el cual el dominio R de Z es Como R no es un conjunto simplemente conexo, tomamos un conjunto D que sea conexo y que pertenezca al dominio de f y que contenga a C; como C es un conjunto cerrado solo nos queda demostrar que analítica. Si

una

Demostrando que

función

f ( z)

f ( z)

es

derivable entonces

es

f ( z)

es

analítica

es derivable

Graficando:

 tan z  df ( z ) z  1   L dz dz d

Sabemos que:

PRÁCTICA 1

1 6

MATEMÁTICA AVANZADA

g ( z )df ( z ) f ( z )dg ( z )  f ( z ) dz dz   2 g ( z ) ( g ( z ))

d   dz 

Entonces si:

f ( z )  tan( z ) g ( z)  z  1

df ( z )  sec 2 ( z ) dz dg ( z ) 1 dz  tan z  2  z  1  ( z  1)sec ( z )  tan( z ).1 dz ( z  1)2

d

 tan z  2  z  1  sec ( z )  tan( z )  L dz ( z  1) ( z  1)2

d

���ℎ� ������� �� ���������,��� �� ����� ��������� �� ������ ������� �� ����ℎ�

tan z Ñ c z  1 dz  0

PRÁCTICA 1

1 7

MATEMÁTICA AVANZADA

d

cosh z Ñ c z 2  1 dz

z  1 2. ,donde C es la unidad de círculo,

SOLUCION:

f ( z)  Tenemos

cosh( z ) z2 1

£  { i};  k  Z

, en el cual el dominio R de Z es

Graficando:

Como R no es un conjunto simplemente conexo, tomamos un conjunto D que sea conexo y que pertenezca al dominio de f y que contenga a C; como C es un conjunto cerrado solo nos queda demostrar que analítica. Si una función

f ( z)

f ( z)

es

es derivable entonces es analítica. PRÁCTICA 1

1 8

MATEMÁTICA AVANZADA

f ( z)

Demostrando que

es derivable:

df ( z )  dz

d(

cosh( z ) ) z2  1  L dz

Sabemos que:

d   dz 

Entonces si:

g ( z )df ( z ) f ( z )dg ( z )  f ( z ) dz dz   2 g ( z ) ( g ( z ))

f ( z )  cosh( z ) g ( z)  z2  1

df ( z )  senh( z ) dz dg ( z )  2z dz

d(

cosh( z ) ) 2 z 2  1  2 z.senh( z )  cosh( z ).( z  1)  L dz ( z 2  1) 2

���ℎ� ������� �� ���������,��� �� ����� ��������� �� ������ ������� �� ����ℎ� PRÁCTICA 1

1 9

MATEMÁTICA AVANZADA

cosh z Ñ c z 2  1 dz  0 5. EVALÚE LAS SIGUIENTES INTEGRALES DONDE SE TOMA LA RUTA C EN SENTIDO ANTIHORARIO.

a)

e z dz Ñ c ( z  3)( z  1)

Donde C es una circunferencia tal que:

| z | 2

Solución: La función tiene dos polos en z=3 y z=1. Dado que la curva C es una circunferencia de radio 2 que inicia en el origen, uno de estos dos polos se encuentra dentro del espacio que encierra la curva C.

Podemos integral de

aplicar la formula Cauchy.

f ( z ) dz

Ñ  ( z  z )  2 if c

z0

0

f ( z ) dz e z dz  Ñ Ñ c ( z  3)( z  1) c ( z  z0 )

Tomaremos:

f( z ) 

ez ( z  3) PRÁCTICA 1

2 0

MATEMÁTICA AVANZADA

Y

z0  1

porque se encuentra dentro de la curva. e z dz Ñ c ( z  3)( z  1)  2 if(1) e z dz e1  2  i Ñ c ( z  3)( z  1) (1  3) e z dz e Ñ c ( z  3)( z  1)  2 i 2 e z dz Ñ c ( z  3)( z  1)  e i

b)

(1  z 2 ) dz Ñ c ( z 3  27)( z  i)

, Donde C es un cuadrado con vértices z1  0, z 2  2, z3  2  2i, z 4  2i

Solución: Podemos reescribir la función en la integral como:

(1  z 2 )dz ( z  3)( z  (1.5  2.6i ))( z  (1.5  2.6i))( z  i)

De aquí podemos notar que hay

tres polos

z  3, z  1.5  2.6i, z  1.5  2.6i

en que se encuentran fuera de la curva C, y un último polo en z=i, que se encuentra en la curva C.

PRÁCTICA 1

2 1

MATEMÁTICA AVANZADA

la formula integral de Cauchy. f ( z ) dz

Ñ  ( z  z )  2 if

( z0 )

0

c

f ( z ) dz (1  z 2 ) dz Ñ c ( z 3  27)( z  i)  Ñ c ( z  z0 )

Tomaremos:

f( z )

Y

(1  z 2 )  3 ( z  27)

z0  i

(1  z 2 )dz Ñ c ( z 3  27)( z  i)  2 if(i ) (1  z 2 )dz (1  i 2 )  2  i Ñ c ( z 3  27)( z  i) (i 3  27) (1  z 2 )dz (1  ( 1)) Ñ c ( z 3  27)( z  i)  2 i 27  i (1  z 2 )dz Ñ c ( z 3  27)( z  i)  0 PRÁCTICA 1

2 2

MATEMÁTICA AVANZADA

c)

( z 2 cos( z ))dz Ñ c ( z 2  4) ,

Donde C es una circunferencia tal que:

| z  1| 1.5

Solución: La función tiene dos polos en

z2

y

z  2

. Dado que la curva C es una z 1 circunferencia de radio 1.5 que inicia en , uno de estos dos polos se encuentra dentro del espacio que encierra la curva C.

Podemos aplicar la formula integral de Cauchy. f ( z ) dz

Ñ  ( z  z )  2 if c

( z0 )

0

f ( z ) dz ( z 2 cos( z ))dz  Ñ Ñ c ( z  2)( z  2) c ( z  z0 )

Tomaremos: PRÁCTICA 1

2 3

MATEMÁTICA AVANZADA

f( z )

Y

z0  2

z 2 cos( z )  ( z  2)

porque se encuentra dentro de la curva C. ( z 2 cos( z ))dz Ñ c ( z  2)( z  2)  2 if (2) ( z 2 cos( z ))dz 22 cos(2)  2  i Ñ c ( z  2)( z  2) 22 ( z 2 cos( z ))dz Ñ c ( z  2)( z  2)  0.832 i

d)

e z ( z  4)dz Ñ c ( z 2  9) ,

Donde C es una circunferencia tal que:

| z  2 | 2

Solución: e z ( z  4)dz Ñ c ( z  3i)( z  3i).

Podemos reescribir la función en la integral como: De z  3i z  3i aquí podemos notar que hay dos polos en y , que se encuentran fuera de la curva C.

PRÁCTICA 1

2 4

MATEMÁTICA AVANZADA

Es decir la

f ' ( z) 

función

e z ( z  4) ( z  3i )( z  3i )

es continua en la curva C y todos los puntos que esta curva encierra. Usando el teorema de Cauchy-Goursat, tendremos que:

e z ( z  4) dz ' Ñ c ( z  3i)( z  3i)  Ñ c f ( z )dz  0

6. COMENTARIO ACERCA DE UN PROBLEMA EN LA APLICACIÓN DE LA INGENIERÍA ELECTRÓNICA, DONDE EL USO DE LAS FUNCIONES COMPLEJAS SON NECESARIAS JUSTIFÍQUELAS. Los números complejos matemáticos de procesos

son

usados

en

los

modelamientos

físicos; entre esos procesos está el análisis de corriente eléctrica y de señales electrónicas. Es por eso que se emplea en formatos de compresión, transmisión en banda ancha, amplificadores de señales, procesamiento digital de señales, transmisión eléctrica, centrales hidroeléctricas. PRÁCTICA 1

2 5

MATEMÁTICA AVANZADA

Por sus componentes reales e imaginarias se usan para facilitar el estudio de cargas sobre vigas (para los arquitectos e ingenieros civiles), estudio de ondas (para los físicos), además se emplea en los estudios concernientes a la propagación del calor. En sistemas de control, como control de robots industriales, sistema de navegación de buques, control de aviones, lanzamiento de cohetes al espacio. Una herramienta fundamental es la llamada transformada de Fourier (esta herramienta se emplea para las aplicaciones anteriores) que usa intensivamente a los números complejos. Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma: f (t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores resistencias imaginarias

pueden

ser

unificadas

introduciendo

para las dos últimas.

PRÁCTICA 1

2 6

MATEMÁTICA AVANZADA

7. ENUNCIAR LA TEOREMA FUNDAMENTAL DE ÁLGEBRA Y SU COROLARIO . DALE 4 EJEMPLOS DE SUS APLICACIONES .

Teorema (Gauss, 1799). Todo polinomio no constante con coeficientes complejos posee al menos una raíz compleja. Demostración. Sea n

p ( z )=an z + an−1 z

n−1

+…+a 1 z +a0

n ≥1 con coeficientes complejos. La demostración se basa en la observación de que un punto z 0 ∈ C un polinomio de grado :

que en

f ( z 0 ) =0

tiene la propiedad de que

tal

alcanza su módulo mínimo

z0 .

Veremos primero que efectivamente alcanza su módulo mínimo en el plano complejo. Empezamos poniendo, para z ≠ 0

n

f ( z )=z (1+

an−1 a0 + …+ n ) z z

n

|f (z)||z|

| | an−1 a0 z zn

de modo que

PRÁCTICA 1

2 7

MATEMÁTICA AVANZADA n

|

|f (z)|=|z| . 1+

a n−1 a0 +…+ n z z

|

Pongamos M =max { 1,2 n|a | ,… , 2 n|a |} n−1

n

Entonces, para todo

z

|z|≥ M

con

tenemos

|z k|≥|z|

y

|a n−k| |an−k| |a n−k| 1 ≤ ≤ = |z k| |z| 2n|a | 2 n n−k

de modo que

|

|| | | |

an−1 a a a 1 + …+ 0n ≤ n−1 +…+ n0 ≤ z z 2 z z

lo cual implica que

|

1+

| | | ||

an−1 a0 a n−1 a0 1 + …+ n ≥ 1− +…+ n ≥ z z z z 2

Esto significa que n

|f (z)|≥

|z| 2

para

|z|≥ M

PRÁCTICA 1

2 8

MATEMÁTICA AVANZADA

En particular, si

|z|≥ M

y también

|z|≥ √n 2|f (0)| entonces

|f ( z)|≥|f (0)| Ahora consideramos el conjunto cerrado y acotado k ={ z ∈ C :|z|≤ max √ 2|f (0)|} n

Supongamos que el módulo mínimo de cierto z 0 ∈ K de modo que

|f 0|≤|f ( z )| Se sigue, en particular, que

si

para todo

|f 0|≤|f (0)|

n

sobre

M . √ 2|f (0)| |z|≥ max ⁡¿ entonces

se alcanza en un

z∈ K

Así pues,

|f ( z)|≥|f (0)|≥|f ( z 0)|

Combinando las anteriores desigualdades concluimos que

|f (z 0)|≤|f ( z)|

z ∈ C de modo que f alcanza su módulo mínimo sobre el plano complejo en z 0 para todo

Para completar la demostración del teorema, ahora demostramos que f ( z 0 ) =0 Resulta conveniente introducir la función

definida mediante

g ( z ) =f (z + z 0 ) Entonces g es una función polifónica de grado n que alcanza su módulo mínimo en 0.Queremos probar que g(0)=0 Supongamos que, por el contrario, g(0)≠0 Sea la menor potencia de z que aparece en la expresión de g(z) de modo que

PRÁCTICA 1

2 9

MATEMÁTICA AVANZADA

g ( z ) =α + β z m+ c m+1 z m+1 +…+ cn z n donde

β≠0

Ahora bien, todo número complejo no nulo tiene m raíces m-ésimas, y por lo tanto existe γ ∈ C tal que γ n=

Poniendo entonces

−α β

d k =γ k c k tenemos

|g(γz)|=|α + β γ m + d m+1 zm +1 +…+d n z n| ¿|α −α z m + d m+1 z m +1+…|

|

m

¿ α (1−z +

|

d m+1 m +1 z + …) α

|

¿ α (1−z m + z m

|

m

¿|α| 1−z + z

]|

[

d m+1 +… ) α

[

d m+1 +… α

m

]|

PRÁCTICA 1

3 0

MATEMÁTICA AVANZADA

Esta expresión nos permitirá llegar rápidamente a una contradicción. Observamos primero que, eligiendo suficientemente pequeño, tenemos

|

|

d m+1 z +…