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• Rolando Zelay

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Introducción Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido". Función Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.

Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio o imagen. Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contradominio. Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio.

Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos o cualquier otra. Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo

o

Diferencias entre función y relación Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados, o cualquier correspondencia entre conjuntos y una función es la que da exactamente un valor a la variable dependiente (y) para cada valor de la variable independiente (x) en el dominio. Una relación entre 2 conjuntos A y B es cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB, incluso el vacío. Una función de A en B debe cumplir que para todo elemento de A exista un único elemento de B (que se suele llamar f(a)) relacionado con él. Una forma de clasificar las relaciones es la siguiente: se dice que R es reflexiva si para todo elemento de A (a, a) esta en la relación. Se dice que es simétrica si cada vez que (a, b) está en la relación, (b, a) está en la relación, antisimétrica si cada vez que (a, b) y (b, a) están en la relación, a=b y transitiva si cada vez que (a, b) y (b, c) están en la relación, (a, c) esta en la relación. Si una relación es reflexiva, simétrica y transitiva, se dice que es de equivalencia. Si una relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva se dice que es de orden. No se puede decir que una relación es creciente o decreciente, porque cada elemento puede estar relacionado con varios o con ningún elemento. De las funciones (si son de R en R) si se pueden decir si son crecientes o decrecientes (o ninguno de los 2 casos, como pasa con la función sen x). En cuanto a la continuidad, hay que recordar que una función puede ser continua en un punto y no en otro. La definición de función continua en un punto es la siguiente: para todo epsilon positivo existe un delta >0 de tal forma que para todo x /este a menos de delta de x0, la distancia de (f(x)a f(x0) es menor que epsilon y una función se dice continua a secas si es continua en todo a una función se dice discontinua si existe al menos un punto donde no es continua. Dominio En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien. Rango Son todos los valores posibles de f(x) o sea de Y. Si tenemos f(X) = sen (X) El rango va de -1 a +1. Si F(X) = una parábola cóncava en forma de U. El rango va del vértice dala parábola hacia arriba hasta + infinito.

¿Para qué se representa una gráfica? Una gráfica es la representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que esos datos guardan entre sí. También se representan para plasmar coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno. La representación gráfica también es una ayuda para el estudio de una función. Una función con una variable dependiente y otra independiente se puede representar gráficamente en un eje de ordenadas y abscisas correspondiendo el valor de cada variable a la posición en los ejes. Tipos de funciones Función Constante Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma: F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos: Y=F(x) entonces Y=adonde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas: para valores de a iguales:Y=8Y=4,2Y=-3,6 La función constante como un polinomio en x es de la forma

Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor a. El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a "Todos los Reales"Mientras que la imagen tan solo va hacer el valor de a. Es una Función Continua. ¿Qué significa la recta representa por la función y=0? Representa que la recta pasara por todo el eje X. Función lineal Es aquella que satisface las siguientes dos propiedades: 



Propiedad aditiva (también llamada propiedad de superposición): Si existen f(x) y f(y), entonces f(x + y) = f(x) + f(y). Se dice que f es un grupo isomorfista con respecto a la adición. Propiedad homogénea: f (ax) = af(x), para todo número real a. Esto hace que la homogeneidad siga a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es racional. En el caso de que la función lineal sea continua, la homogeneidad no es un axioma adicional para establecer si la propiedad aditiva esta establecida.

En esta definición x no es necesariamente un número real, pero es en general miembro de algún espacio vectorial. Para comprobar la linealidad de una función no es necesario realizar la comprobación de las propiedades de homogeneidad y aditividad por separado, con mostrar que la linealidad queda demostrada. El concepto de linealidad puede ser extendido al operador lineal. Ejemplos importantes de operaciones lineales incluyen a la derivada considerada un operador diferencial y muchos construidos de él, tal como el Laplaciano. Cuando una ecuación diferencial puede ser expresada en forma lineal, es particularmente fácil de resolver al romper la ecuación en pequeñas piezas, resolviendo cada una de estas piezas y juntando las soluciones. Las ecuaciones no lineales y las funciones no lineales son de interés en la física y matemáticas debido a que son difíciles de resolver y dan lugar a interesantes fenómenos como la teoría del caos.

Función Cuadrática La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son: Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo. Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo. Eje de simetría: x = xv. Intersección con el eje y. Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.

Función Logarítmica Se llama función logarítmica a la función real de variable real:

La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R :

 

La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos. Los números negativos y el cero no tienen logaritmo

 

La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a. Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2"718281...

Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma

Se hallan por medio de la fórmula :

Función Exponencial La función exponencial (de base e) es una función real que tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como logaritmos naturales.

donde e es la base de los

En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma

Siendo creciente.

números reales,

. Se observa en los gráficos que sila curva

será

Cuadro comparativo entre las funciones

Funciones Matemáticas – Producto Cartesiano En teoría de conjuntos, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto. Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es: A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)} El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto Definición Un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b), donde a es el "primer elemento" y b el "segundo elemento". Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos: El producto cartesiano de A y B es el conjunto A × B cuyos elementos son los pares ordenados (a,

b), donde a es un elemento de A y b un elemento de B:

Puede definirse entonces el cuadrado cartesiano de un conjunto como A2 = A × A.

El conjunto Z2 puede visualizarse como el conjunto de puntos en el plano cuyas coordenadas son números enteros. Ejemplos Ejemplo 1 Sean los conjuntos R = {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} y P = {♠, ♥, ♦, ♣} (los rangos y palos de la baraja inglesa). El producto cartesiano de estos conjuntos, B , es el conjunto de todas las parejas rango-palo: B = R × P = {(A, ♠), (2, ♠), ..., (K, ♠), (A, ♥), ... (K, ♥), (A, ♦), ..., (K, ♦), (A, ♣), ..., (K, ♣) } El conjunto B puede entenderse entonces como el conjunto de las 52 cartas de la mencionada baraja. Ejemplo 2 Sea el conjunto de los números enteros Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...}. El producto cartesiano de Z consigo mismo es Z2 = Z × Z = { (0,0), (0, +1), (0, −1), (0, +2), ..., (+1, 0), ... (−1, 0), ... }, es decir, el conjunto de los pares ordenados cuyas componentes son enteros. Para representar los números enteros se utiliza la recta numérica, y para representar el conjunto Z2 se utiliza un plano cartesiano (en la imagen).

Ejemplo 3 Sean los conjuntos T de tubos de pintura, y P de pinceles:

,

,

,

,

,

,

,

El producto cartesiano de estos dos conjuntos, T × P, contiene todos los posibles emparejamientos de pinceles y tubos de pintura. De manera similar al caso de un plano cartesiano en el ejemplo anterior, este conjunto puede representarse mediante una tabla:

Generalizaciones Caso finito Dado un número finito de conjuntos A1, A2, ..., An, su producto cartesiano se define como el conjunto de n-tuplas cuyo primer elemento está en A1, cuyo segundo elemento está en A2, etc. El producto cartesiano de un número finito de conjuntos A1, ..., An es el conjunto de las ntuplas cuyo elemento k-ésimo pertenece a Ak, para cada 1 ≤ k ≤ n:

Puede definirse entonces potencias cartesianas de orden superior a 2, como A3 = A × A × A, etc. Dependiendo de la definición de n-tupla que se adopte, esta generalización puede construirse a partir de la definición básica como: A1 × ... × An = A1 × ( A2 × ( ... × An )...) o construcciones similares. Caso infinito En el caso de una familia de conjuntos arbitraria (posiblemente infinita), la manera de definir el producto cartesiano consiste en cambiar el concepto de tupla por otro más cómodo. Si la familia está indexada, una aplicación que recorra el conjunto índice es el objeto que distingue quién es la "entrada k-ésima": El producto cartesiano de una familia indexada de conjuntos F = {Ai}i ∈ I es el conjunto de las aplicaciones f : I → ∪F cuyo dominio es el conjunto índice I y sus imágenes son elementos de algún Ai; que cumplen que para cada i ∈ I se tiene f(i) ∈ Ai:

donde ∪F denota la unión de todos los Ai. Dado un j ∈ I, la proyección sobre la coordenada j es la aplicación:

En el caso de una familia finita de conjuntos {A1, ..., An} indexada por el conjunto In = {1, ..., n}, según la definición de n-tupla que se adopte, o bien las aplicaciones f : In → ∪i Ai de la definición anterior son precisamente n-tuplas, o existe una indentificación natural entre ambos objetos; por lo que la definición anterior puede considerarse como la más general. Sin embargo, a diferencia del caso finito, la existencia de dichas aplicaciones no está justificada por las hipótesis más básicas de la teoría de conjuntos. Estas aplicaciones son de hecho funciones de elección cuya existencia sólo puede demostrarse en general si se asume el axioma de elección. De

hecho, la existencia de funciones de elección (cuando todos los miembros de F son no vacíos) es equivalente a dicho axioma. Funciones Matematicas.

Tipos de funciones

Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones explícitas Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. f(x) = 5x − 2 Funciones implícitas Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x − y − 2 = 0 Funciones polinómicas Son las funciones que vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es

, es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes El criterio viene dado por un número real. f(x)= k La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Funciones polinómica de primer grado f(x) = mx +n Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Función afín. Función lineal. Función identidad. Funciones cuadráticas f(x) = ax² + bx +c Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. Funciones a trozos Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. Funciones en valor absoluto. Función parte entera de x. Función mantisa. Función signo. Funciones racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Funciones radicales El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. Funciones trascendentes La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría. Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x. Funciones logarítmicas La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonométricas Función seno f(x) = sen x Función coseno f(x) = cos x

Función tangente f(x) = tg x Función cosecante f(x) = cosec x Función secante f(x) = sec x Función cotangente f(x) = cotg x

La función constante es del tipo: y=n El criterio viene dado por un número real. La pendiente es 0. La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Función compuesta

g ∘ f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g ∘ f)(a)=@. En matemática, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante. Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g(f(x)) para todo x perteneciente X. A g ∘ f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento. Definición De manera formal, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ∘ f ): X → Z como (g ∘ f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de X.

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:

Propiedades 

La composición de funciones es asociativa, es decir:



La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)². 

La inversa de la composición de dos funciones es:

Ejemplo Sean las funciones:

La función compuesta de g y de f que expresamos:

La interpretación de (f ∘ g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

y después aplicamos f a z para obtener

Función bien definida La función compuesta está bien definida porque cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:dxf 1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (g ∘ f) cumple la condición de existencia. 2. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g( f(x)).

Representación grafica de funciones en dos dimensiones Graficas en dos dimensiones. Suponga que desea graficar un conjunto de puntos de datos [xi, yi], i = 1,2,3, ..., n. En necesario hacer dos arreglos, del mismo tamaño, para x y y que representen los valores que deseamos graficar. Una manera de hacerlo es utilizando la instrucción plot. Ejemplo 1. Graficar la función f(x)=seno(x)e(-0.4x) para x = [0, 10]. x = 0: 0.05: 10; y = sin(x).*exp(-0.4*x); plot(x,y); xlabel('Eje x'); ylabel('Eje y'); grid on; Los rótulos de los ejes de imprimen con los comando xlabel y ylabel.

También se pueden utilizar vectores columna para realizar gráficas. Ejemplo 2. p= 0: 0.05: 8*pi;

z = (cos(p) + i*sin(2*p)).*exp(-0.05*p) + 0.01*p; plot(real(z), imag(z)); xlabel('Real(z)'); ylabel('Imaginario(z)');

Ecuaciones Lineales. Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . Son llamadas lineales porque representan rectas en el sistema cartesiano. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones que donde aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales: 3x + 2y = 10 3a + 472b = 10b + 37 3x + y −5 = −7x + 4y +3 x-y+z=15 3x-2y+z=20 x+4y-3z=10

INTRODUCCION Si buscamos la palabra “lineal” en un diccionario, encontraremos algo como lo siguiente: lineal, adj. Relativo a las líneas o de aspecto de línea. En matemáticas la palabra “lineal” significa algo más que eso. Sin embargo, gran parte de la teoría del álgebra lineal elemental es de hecho una generalización de las propiedades de las líneas rectas. Como repaso, damos aquí algunos de los hechos fundamentales acerca de las citadas rectas: esta dada por (si x2 " x1). m = y2 - y1 = y x2 - x 1

x

2. Si X2 - X1 = 0 y y2 " y1 entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente no esta definida.

ecuación en la forma simplificada y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (el valor de y en el punto donde la recta cruza al eje y).

- a/b

entonces m2 = - 1m1. nte cero.

DOS ECUACIONES LINEALES EN DOS INCOGNITAS Consideramos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas x1 y x2: a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 donde a11, a12, a22, b1 y b2 son números dados. Cada una de estas ecuaciones es la ecuación de una línea recta (en el plano x1 x2 en vez del plano xy). La pendiente de la primera recta es -a11/a12 y la pendiente de la segunda es -a21/a22 (si a12 " 0 y a22 " 0). Una solución del sistema (1) es un par de números, denotados (x1, x2), que satisface (1). Las preguntas que surgen naturalmente son: ¿cuándo (1) tiene soluciones? y, si la tiene, ¿cuántas son? Responderemos a estas preguntas después de ver algunos ejemplos. En estos ejemplos usaremos dos propiedades importantes del álgebra elemental:

Propiedad A. Si a = b y c = d entonces a + c = b + d Propiedad B. Si a = b y c es cualquier número real, entonces ca = cb. La propiedad A dice que si sumamos dos ecuaciones obtenemos una tercera ecuación valida. La B dice que si multiplicamos ambos lados de una ecuación por una constante obtenemos una segunda ecuación valida. Familia de rectas Analíticamente podemos establecer que una familia de rectas es un conjunto de rectas que responden a una misma ecuación, dependiente de un parámetro, con al menos x o y de primer grado (como máximo). Haces de rectas propios e impropios Cuando todas las rectas de la familia pasan por un punto fijo, entonces decimos que la familia es un haz de rectas con un punto propio. Los casos más frecuentes que se pueden presentar en este curso, son cuando el parámetro se encuentra de primer o de segundo grado en la ecuación del haz. El hecho de que exista un punto que pertenece a todas las rectas del haz implica que las coordenadas de dicho punto no pueden depender del parámetro. Hablando en términos algebraicos, esto significa que la ecuación del haz tiene una raíz independiente del parámetro.

¿Cómo determinar las raíces independientes de un parámetro en una ecuación? Para fijar ideas y sin perder generalidad, lo veremos a través del siguiente ejemplo.

-Lo primero es ordenar la ecuación en función del parámetro.

La única forma de que esta igualdad sea verdadera sin importar cual sea el valor del parámetro, es que los coeficientes sean todos iguales a cero. Es decir; el polinomio nulo. Debemos, entonces, plantearnos las siguientes ecuaciones simultáneas:

Que, en el caso que sea compatible determinado, como en este ejemplo, obtendremos las coordenadas del punto propio.

Recta que pasa por dos puntos Si ha de pasar por dos puntos

y

luego tendrá que cumplirse:

Ambas forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas m y b, para resolver este sistema, eliminamos una de las incognitas b restando m.a.m la segunda ecuación de la primera para obtener:

agrupando términos:

despejando m:

este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos: y . Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:

y sustituyendo m, por su valor ya calculado;

Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, entonces la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es:

Intersección de dos rectas.

Incidencia Un punto P(p1, p2) pertenece a una recta de ecuación Ax + By + C = 0, cuando las coordenadas del punto satisfacen la igualdad: Ap1 + Bp2 + C = 0 Cuando un punto P pertenece a una recta r se dice que r incide en P o que r pasa por P.

Analiza si los puntos A (3, 5) y B(0, 1) pertenecen o no a la recta r ≡ x + 2 y - 13 = 0. 3 + 2 · 5 - 13 = 0

A

r

0 + 2 · 1 - 13 ≠ 0

B

r

Cuando dos en rectas r y s tienen un punto común, se dice que tienen un punto de intersección. Para hallar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones de las rectas. Ejemplo. ¿Hallar el punto de intersección de las rectas de ecuaciones r ≡ 2 x - y - 1 = 0 y s ≡ x - y + 1 = 0.