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TEMA II: FUNCIONES GAMMA Y BETA

1.

La funci´ on Gamma de Euler

Definici´ on: La funci´on Gamma de Euler Γ : (0, +∞) −→ R est´a definida por Γ(x) =

Z +∞ 0+

tx−1 e−t dt;

x ∈ (0, +∞)

La siguiente proposici´on demuestra la validez de la definici´on dada. Proposici´ on: La integral Demostraci´ on:

Z +∞

tx−1 e−t dt es convergente para x > 0.

0+

Z +∞ 0+

x−1 −t

t

e dt =

Z 1 0+

t

x−1 −t

e dt +

Z +∞ 1

tx−1 e−t dt

veamos que el primer sumando, I1 , es convergente para para x > 0 y el segundo, I2 , para todo x ∈ R. Si x ≥ 1, I1 es convergente puesto que su integrando es una funci´on continua, y por tanto, integrable en [0, 1]. Si 0 ≤ x ≤ 1 ocurre que ∀t > 0, 0 < tx−1 e−t < tx−1 y la integral

Z 1

0+

tx−1 dt es

convergente para 0 < x < 1. Por otra parte tx−1 e−t tx+1 = lim =0 t→+∞ t→+∞ et t−2 lim

y como

Z +∞ 1

t−2 dt es convergente, entonces I2 es convergente.

Proposici´ on: Para todo x > 0, se tiene Γ(x + 1) = xΓ(x). Demostraci´ on: Sean α y β dos n´ umeros reales tales que 0 < α < β, integrando por partes (u = tx ; dv = e−t dt) en la siguiente integral Z β α

tx e−t dt = αx e−α − β x e−β + x

Z β α

tx−1 e−t dt

tomando l´ımite cuando α → 0+ y β → +∞ en ambos lados de la igualdad, obtenemos la igualdad deseada. Corolario: Si n ∈ N, entonces Γ(n + 1) = n!. 1

Demostraci´ on: Compru´ebese que Γ(1) = 1 y apl´ıquese inducci´on. La f´ormula Γ(x + 1) = xΓ(x) nos permite conocer el valor de la funci´on ∀x > 0, conociendo tan s´olo su valor sobre el intervalo (0, 1]. Adem´as permite extender la definici´on de Γ(x) para los x < 0, con x 6= −1, −2, −3, ..... Por ejemplo si x ∈ (−1, 0) Γ(x + 1) ; x

Γ(x) =

x + 1 ∈ (0, 1)

y as´ı sucesivamente. Propiedades: • Γ(x)Γ(1 − x) =

π sen(πx)

√ 1 • 22x−1 Γ(x)Γ(x + ) = πΓ(2x) (f´ormula de duplicaci´on) 2 √ 1 • Γ( ) = π 2 •

∞ Y x 1 x = xeγx {(1 + )e− m } (γ ≡ constante de Euler). Γ(x) m m=1

Ejercicios 1. Calcular a)

Γ(3)Γ(20 5) ; Γ(50 5)

1 b) Γ(− ); 2

5 c) Γ(− ) 2

2. Calcular las integrales a)

2.

Z ∞ 0

x6 e−2x dx; b)

Z ∞ √ 0

3

ye−y dy; c)

Z ∞ 0

2

3−4z dz; d)

Z 1 0

dx √ −ln x

La funci´ on Beta de Euler

Definici´ on: La funci´on Beta de Euler B : (0, +∞) × (0, +∞) −→ R est´a definida por B(x, y) = Proposici´ on: La integral

Z 1− 0+

0+

tx−1 (1 − t)y−1 dt

(x > 0, y > 0)

tx−1 (1 − t)y−1 dt es convergente para x > 0 e y > 0.

Demostraci´ on: lim

Z 1−

t→0+

tx−1 (1 − t)y−1 tx−1 (1 − t)y−1 = 1 = lim tx−1 (1 − t)y−1 t→1− 2

Z 1− 0+

Z

tx−1 (1 − t)y−1 dt = Z

1 2

0+

Z 1− 1 2

1 2

0+

tx−1 (1 − t)y−1 dt +

Z 1− 1 2

tx−1 (1 − t)y−1 dt

dt < ∞ si 1 − x < 1 =⇒ 0 < x t1−x

dt < ∞ si 1 − y < 1 =⇒ 0 < y (1 − t)1−y

Proposici´ on: Para cada par de n´ umeros reales positivos x e y, se verifica: Z

B(x; y) = 2

π− 2

0+

sen2x−1 t cos2y−1 t dt

Demostraci´ on: Haciendo el cambio de variable t = sen2 z en la integral 0 < ψ < η < 1.

Z η

t

ψ

x−1

y−1

(1 − t)

dt = 2

Z η ψ

tx−1 (1 − t)y−1 dt con

Z arcsen√η

2x−1 z cos2y−1 z dz √ sen

arcsen

ψ

tomando l´ımites cuando ψ → 0+ y η → 1− se obtiene el resultado. Algunas f´ ormulas notables • B(x, y) =

Γ(x)Γ(y) Γ(x + y)

• B(x, y) = B(y, x) Ejercicios 1 1. Deducir el valor de Γ( ) usando la funci´on Beta de Euler. 2 2. Demostrar que Γ(x)Γ(1 − x) =

π sabiendo que sen(πx)

Z ∞ x−1 t 0

1+t

dt =

π . sen(πx)

3. Calcular las siguientes integrales: a)

Z 1 0

x4 (1 − x)3 dx;

Z

d)

0

π 2

b) Z

sen6 θ dθ;

e)

0

Z 2 0 π 2

x2 √ ; 2 − xdx

sen4 θ cos5 θ dθ;

3

c)

Z a 0

f)

q

y 4 a2 − y 2 dy Z π 0

cos4 θ dθ