• Author / Uploaded
• lf_hackney

• Categories
• Integral
• Infinito
• Ala
• Ecuaciones
• Ecuaciones diferenciales

Citation preview

67

Capítulo 4

CAPITULO 4 FUERZAS TRANSVERSALES SOBRE CUERPOS ESBELTOS 4.1. INTRODUCCION Aunque en la solución correspondiente al campo próximo aparece una función de x, g(x), que es desconocida en tanto no se haga el acoplamiento con el campo alejado, no es necesario conocerla para calcular las fuerzas transversales y los momentos correspondientes, porque la contribución de g(x) al campo de presiones en cada plano x = cte es uniforme y no da resultante en dicho plano. Para calcular las fuerzas transversales (sustentación y fuerza lateral) consideraremos el elemento fluido de la figura 4.1 limitado por: a) La sección 1, situada en un plano perpendicular a la corriente no perturbada (que está alineada con el eje x), y suficientemente lejos corriente arriba como para no estar influida por el obstáculo. b) La sección 3, paralela a la anterior. c) La superficie cilíndrica de revolución 2, situada en la parte exterior del campo próximo, de radio suficientemente grande como para que en ella tengamos exclusivamente la componente axilsimétrica de la perturbación. d) La superficie del obstáculo, Σ.

Z

1

Y

Σ

U∞

x 2

3

Fig. 4.1. Elemento de control para calcular las fuerzas transversales sobre la porción de un cuerpo contenida entre el morro y el plano 3 (x = x3).

Aplicando el teorema de conservación de cantidad de movimiento, en las direcciones Y y Z, al elemento considerado, se obtiene la fuerza lateral, FY, y la sustentación, FZ, que actúan sobre la parte de cuerpo contenida entre el morro y la sección 3, es decir.

− FY =

∫∫

ρU xU y dσ = ε 3 ρ∞U ∞

∫∫

ρU xU z dσ = ε 3 ρ∞U ∞

3

− FZ =

3

∫∫

∂ϕ dYdZ + o(ε 3 ) , ∂Y

(4.1a)

∫∫

∂ϕ dYdZ + o(ε 3 ) . ∂Z

(4.1b)

3

3

donde se ha tenido en cuenta que ρ = ρ∞ + ..., Ux = U∞ + ..., Uy = ε2ϕy = εϕY, Uz = ε2ϕz = εϕZ y dσ = dydz = ε2dYdZ, se ha eliminado el superíndice i del potencial interior para simplificar la escritura.

68

Capítulo 4

Para calcular las integrales que aparecen en los segundos miembros de (4.1a) y (4.1b) consideremos los esquemas representados en la figura 4.2. Ambos representan la sección 3. Al integrar en dicha sección, bien sea por bandas paralelas al eje Y o paralelas al eje Z, son posibles dos casos, según la banda de integración intersecte o no al cuerpo. En el primer caso la integral en dicha banda valdrá ϕ3 − ϕA + ϕB − ϕ4 = −(ϕA − ϕB), mientras que en el segundo valdrá ϕ1 − ϕ2 = 0 (teniendo en cuenta que en la circunferencia exterior el potencial tiene un valor constante). Así pues, las expresiones (4.1a) y (4.1b) valdrán: Z Z B

B

2

1

4

B

Z2 Z1

A

3

1

A

3

Y2

Y1

Y

Y

B 2

4

Fig. 4.2. Integración por bandas horizontales para calcular el segundo miembro de la expresión (4.1a) e integración por bandas verticales para calcular el segundo miembro de la expresión (4.1b).

∫∫ 3

∂ϕ dYdZ = − ∂Y

Z2

∫ (ϕ

A

Z1

∫

− ϕ B )dZ = − ϕ dZ ,

∫∫ 3

C

Y2

∂ϕ dZdY = − (ϕ A − ϕ B )dY = ∂Z

∫

∫ ϕ dY ,

Y1

C

y combinando estas expresiones se deduce que, salvo términos de orden superior: FY + iFZ = ε 3 ρ ∞U ∞

∫ ϕ (dZ − idY ) = −ε ρ U i ∫ ϕ ( x ;Y , Z )dT , donde T = Y + iZ 3

C

∞ ∞

3

(4.2)

C

y la integral está, en principio, calculada a lo largo de la línea de intersección de la superficie del obstáculo con el plano 3. La ventaja de escribir (4.2) en forma compleja reside en que, siendo ϕ solución de la ecuación de Laplace, el cálculo de las integrales en el plano T se simplifica mucho. La parte real de la integral será la fuerza transversal, y la parte imaginaria de la integral será la sustentación. Ambas fuerzas corresponden a la parte del obstáculo comprendida entre el morro y la sección 3, y ambas son perpendiculares a la corriente incidente no perturbada, que coincide con el eje x. Hay que señalar que las fuerzas calculadas sólo dependen de lo que ocurre en la sección 3: los valores de la fuerza son independientes de la forma anterior del obstáculo, siempre que éste sea esbelto. Aunque en lo que sigue no se precisa imponer condición alguna sobre dSc/dx, considerar aplicables los resultados a cuerpos con dSc/dx < 0 conduce a resultados absurdos. Lo que ocurre es que en las zonas donde dSc/dx < 0 la corriente se desprende (aparece la estela de las secciones anteriores), las presiones se uniformizan y dichas zonas dejan de sustentar.

69

Capítulo 4

4.2. FORMULA DE WARD Ya se dijo en el Capítulo anterior que ϕ(x; Y, Z) obedece a la ecuación ϕYY + ϕZZ = 0 y, por tanto, es la parte real de una función analítica, W(T), de la variable compleja T, cuya expresión general es: ∞

W (T ) = ϕ ( x; Y , Z ) + iψ ( x; Y , Z ) = A0 ( x) ln T +

∑ A ( x)T

−n

, donde A0 ( x) =

n

1

U ∞ dS c .(4.3a) 2π dx

Por lo tanto: ∞

ϕ ( x; Y , Z ) = A0 ( x) ln T +

∑ A ( x)T n

−n

− iψ ( x; Y , Z ) ;

(4.3b)

1

introduciendo la expresión (4.3) en la integral que aparece en (4.2), se tiene:

∫ ϕ ( x ;Y , Z )dT = A ( x ) ∫ ln TdT + A ( x ) ∫ dTT − i ∫ ψ ( x ;Y , Z )dT , 3

0

C

3

1

3

C

3

C

(4.4)

C

donde se han omitido los términos de W(T) que no contribuyen a la integral. El último término del segundo miembro se puede integrar por partes como sigue (obsérvese que T es uniforme pero ψ no lo es):

∫

ψ ( x3 ; Y , Z )dT =

C

∫

∂ [Tψ ( x3 ; Y , Z )] dS − ∂S

C

∫

T

∂ψ ( x3 ; Y , Z ) dS , ∂S

C

y, con esta transformación, la ecuación (4.4) se reduce a:

∫

ϕ ( x3 ; Y , Z )dT = A0 ( x3 ) ln TdT + 2πiA1 ( x3 ) − iT

∫

∫

∂ψ ( x3 ; Y , Z ) ∂ψ ( x3 ; Y , Z ) dS + i T dS . ∂S ∂S

C

C

C

C

∫

(4.5) Es fácil comprobar que el primer y el tercer término del segundo miembro son iguales y se contrarrestan. En cuanto al último término, teniendo en cuenta las condiciones de Cauchy– Riemann y las condiciones de contorno (ecuación (3.11) del Capítulo anterior), se convierte en:

∫

C

T

∂ψ dS = ∂S

∫

C

T

∂ϕ dS = U ∞ ∂N

∫

T

dN c dS = U ∞ d Tg Sc dx dx

(

)

(4.6)

C

donde Tg es el afijo del centro de gravedad de la sección del cuerpo considerada. El último paso en la expresión (4.6) se justifica comprobando que la parte real de TdNcdS es el momento del elemento de área dNcdS respecto del eje Z, y que el coeficiente de la parte imaginaria es el momento respecto al eje Y.

70

Capítulo 4

Llevando la expresión (4.6) a la (4.5) y ésta a la (4.2) resulta finalmente la fórmula de Ward:

(

)

FY + iFZ = ε 3 ρ∞U ∞ ⎡⎢ 2πA1 + U ∞ d Tg Sc ⎤⎥ , dx ⎣ ⎦

(4.7)

donde A1 es el residuo de la función de variable compleja W(T) que aparece en la solución del problema próximo correspondiente a x = x3, y TgSc representa los momentos del área de la sección considerada respecto a los ejes Z e Y, todo ello medido en coordenadas próximas. Hay que recordar, una vez más, que FY y FZ son las fuerzas entre el morro y la sección x3; las fuerzas en una rebanada de espesor unidad en la dirección axial serán: 2 dFY dF ⎡ dA ⎤ + i Z = ε 3 ρ∞U ∞ ⎢ 2π 1 + U ∞ d 2 Tg Sc ⎥ , dx dx dx dx ⎣ ⎦

(

)

de modo que los momentos respecto al morro, de guiñada y cabeceo, respectivamente, valdrán: x3

M Z − iM Y =

∫ 0

⎡ x3 ⎤ dFZ ⎞ ⎛ dFY 3 ⎢ A ( x)dx + U ∞ T ( x ) S ( x ) ⎥ . (4.8) d ( i ) 2π x⎜ x x F F ε ρ U +i = + − 3 Y ∞ ∞ Z dx ⎟⎠ 2π g 3 c 3 ⎥ ⎢ 1 ⎝ dx 0 ⎣ ⎦

∫

Obsérvese que mientras que el valor de la fuerza depende exclusivamente de la sección x3, la posición de la resultante depende de la forma del cuerpo entre el morro y x = x3. 4.3. FUERZAS TRANSVERSALES SOBRE CUERPOS ESBELTOS

Antes de presentar un ejemplo de aplicación de la fórmula de Ward, conviene precisar algunos detalles relativos al campo próximo. Para calcular A1 hay que analizar el problema bidimensional correspondiente al plano x = x3. Como el problema es lineal, su solución se puede expresar como la suma de la de dos problemas que llamaremos problema axial y problema cruzado, y que corresponden a las configuraciones de la figura 4.3, donde el eje x' coincide con la línea de sustentación nula del cuerpo, de esta forma el problema axial no contribuye a las fuerzas y bastará con resolver el problema cruzado para calcularlas.

71

Capítulo 4

z z

z´

U∞cosα

z´

x

α

x

U∞

z

α

z´

x´ x

x´

α

U∞sinα

x´ Fig. 4.3. Descomposición del problema en axial y cruzado.

La expresión del potencial de perturbación se escribe como

a

f

a

f a

f

ϕ x, Y, Z = ϕ a x ′, Y ′, Z ′ + ϕ c x ′, Y ′, Z ′

Nótese que expresamos la solución de estos dos problemas (axial y cruzado) en las variables de los ejes cuerpo (x′,Y′,Z′) en lugar de las de los ejes viento (x,Y,Z) originales. Introduciendo esta expresión en la formulación del problema del campo próximo, es decir, ϕYY + ϕZZ = 0, con ϕ tendiendo a la solución del campo alejado cuando Y2 + Z2 → ∞ y ϕN = U∞dNc/dx sobre el obstáculo, se obtienen los siguientes problemas: •

•

Problema axial: ϕaY'Y' + ϕaZ'Z' = 0, con ϕa tendiendo a la solución del campo alejado cuando Y ′2 + Z ′2 → ∞ y con una condición de contorno sobre el obstáculo aún por determinar. Problema cruzado: ϕcY'Y' + ϕcZ'Z' = 0, con ϕc → 0 cuando Y ′2 + Z ′2 → ∞ , e igual que en el caso anterior con una condición de contorno sobre el obstáculo a determinar.

Para calcular las condiciones de contorno que deben cumplir ϕa y ϕc sobre el cuerpo esbelto conviene expresar ésta en términos del potencial de velocidades, ∇Φ.∇F=0, donde F(x′,y′,z′) = 0 es la ecuación de la superficie del cuerpo en los nuevos ejes y el potencial de velocidades es Φ = U ∞ x + ε 2 ⎡⎣ϕ a ( x ′, y ′, z ′ ) + ϕ c ( x ′, y ′, z ′ ) ⎤⎦ =

a

f b

g

a

f b

g

= U ∞ x ′ cos α + z ′ sin α + ε 2 ϕ a + ϕ c ≈ U∞ x ′ + z′α + ε 2 ϕ a + ϕ c . Así pues, en el nuevo sistema de coordenadas ligado al cuerpo, la condición de contorno sobre el obstáculo, Φ x′ Fx′ + Φ y′ Fy′ + Φ z′ Fz′ = 0 , se escribirá

b

U∞ Fx ′ + ε ϕ aY ′ + ϕ cY ′

g Fε

Y′

b

+ αU∞ + ε ϕ aZ ′ + ϕ cZ ′

g Fε

Z′

=0,

o bien, poniendo ϕ aY ′ FY ′ + ϕ aZ ′ FZ ′ = ϕ aN ′ FN ′ , ϕ cY ′ FY ′ + ϕ cZ ′ FZ ′ = ϕ cN ′ FN ′ ,

72

Capítulo 4

c

h

U ∞ Fx ′ + α U ∞ FZ ′ + ϕ aN ′ + ϕ cN ′ FN ′ = 0 ,

ε

y teniendo en cuenta que FZ ′ = FN ′ cosθ , donde θ es el ángulo que forma la normal a la curva corte del cuerpo esbelto por un plano x = cte con el eje Z′, se tiene

eε

j

U ∞ Fx ′ + α U ∞ cosθ + ϕ aN ′ + ϕ cN ′ FN ′ = 0 ,

−

Fx ′ α ϕ ϕ = cos θ + aN ′ + cN ′ . U∞ FN ′ ε U∞

Teniendo en cuenta que –Fx′/FN′ = dN'c/dx', donde N' = N'c(x') es la ecuación de la superficie del obstáculo en los nuevos ejes, resulta:

ϕ ϕ dN c′ α cos θ + aN ′ + cN ′ = , ε dx ′ U∞ U∞ condición de contorno que ahora separamos en dos condiciones, una para ϕa y otra para ϕc: ∂ϕ a dN c′ = U∞ ∂N ′ dx ′

ε

∂ϕ c + αU ∞ cosθ = 0 . ∂N ′

El problema axial es complicado de resolver, salvo si la forma del obstáculo permite el uso de determinados sistemas de coordenadas que facilitan la resolución de la ecuación de Laplace. Una de estas formas es el cuerpo de revolución, en cuyo caso en la solución sólo aparece el primer término (el logarítmico). La solución general de este problema se puede escribir de todas formas como:

⎡U dS ϕa = Re ⎢ ∞ c ln T ′ + ⎢⎣ 2π dx′

∞

∑ 1

⎡U dS ana ⎤ ⎢ ∞ c ln (T − TSN ) + ⎥ = Re n ⎢⎣ 2π dx′ T ′ ⎥⎦

∞

∑ 1

⎤ ⎥ . n (T − TSN ) ⎥⎦ ana

donde ana son coeficientes (función de x) desconocidos y TSN = −αxi. Respecto al campo cruzado, la condición de contorno obtenida sobre el obstáculo puede resultar inicialmente poco familiar. Se puede obtener un problema mucho más reconocible definiendo una nueva función relacionada con la solución del problema cruzado en la forma

ϕ~ c = εϕ c + αU ∞ Z ′ ~ ~ de modo que esta función cumple también la ecuación de Laplace, ϕ cY ′Y ′ + ϕ cZ ′Z ′ = 0 , y las condiciones de contorno ~ ∂ϕ c sobre el cuerpo: =0 , ∂N ′

73

Capítulo 4

~ → αU Z ′ . Y ′2 + Z ′2 → ∞: ϕ c ∞ Nótese que ϕ~ c obedece a una formulación análoga a la de la determinación del potencial del problema bidimensional que resulta al cortar el cuerpo por el plano x´ = x3 con velocidad normal nula sobre el obstáculo y velocidad vertical αU∞ en el infinito (figura 4.4). Resuelto este último problema se podrá escribir la solución en la forma

⎡ ϕ c = (ϕ c − αU ∞ Z ′) = Re ⎢ ε ⎢⎣ 1

∞

∑ 1

⎤ ⎥ , (T − TSN )n ⎥⎦ anc

de modo que el potencial de velocidades de perturbación del campo próximo resulta: ⎡U dS ϕ = Re ⎢ ∞ c ln (T − TSN ) + ⎢⎣ 2π dx

∞

∑ 1

ana + anc ⎤ ⎥ (T − TSN )n ⎥⎦

o bien, llamando an = ana + anc U dS W (T ) = ∞ c ln(T − TSN ) + 2π dx

∞

∑ (T − T

an SN )

1

(α−δ)U∞

δU∞

n

,

δU∞

δU∞

1

(α+δ)U∞

δU∞

αU∞

δU∞

2

0

3

0

αU∞

δU∞

ϕN=0

z y x

U∞

δ

α

ϕN=0

ϕN=0

4 ϕN=0

αU∞

Fig. 4.4. Las condiciones de contorno que debe satisfacer el potencial de velocidades de perturbación del campo próximo en el caso de un cuerpo esbelto como el representado (problema 1) se pueden expresar como suma de las correspondientes al campo axial (problema 2) y las del campo cruzado (problema 3), si bien a la hora de resolver este último es más conveniente analizar el problema del campo cruzado modificado (problema 4).

Ahora bien,

74

Capítulo 4

ln(T − TS N ) = ln T −

TS N +… T

de modo que W ( x; T ) =

U ∞ dS c U dS ln T + 1 (a1 − ∞ c TSN ) + … T 2π dx 2π dx

De aquí se deduce que el residuo, A1, que interviene en la fórmula de Ward vale: A1 = −

U ∞ dS c T +a 2π dx SN 1

(4.9)

y la fórmula de Ward se puede escribir en la forma dS ⎡ ⎤ FY + iFZ = ε 3 ρ∞U ∞ ⎢ 2π(a1a + a1c ) − U ∞ c TSN + U ∞ d (Tg Sc ) ⎥ . dx dx ⎣ ⎦

(4.10)

Si la corriente no perturbada incide según la línea de sustentación nula del cuerpo será TSN = 0 y a1c = 0, por lo que de la fórmula de Ward se tendrá: a1a = −

U∞ d (T ′ S ) 2π d x g c

como a1a no depende del ángulo de ataque la ecuación (4.10) se puede escribir dT ⎤ ⎡ FY + iFZ = ε 3 ρ∞U ∞ ⎢ 2πa1c + U ∞ Sc SN ⎥ dx ⎦ ⎣

(4.10)

En general, será difícil conocer la línea de sustentación nula del cuerpo, salvo casos particulares como el de cuerpos de revolución o cuerpos con planos de simetría.

4.4. EJEMPLO DE APLICACION Como ejemplo de aplicación de la formula de Ward, consideremos cualquiera de los dos cuerpos esbeltos representado en la figura 4.5, formados por un ala plana y un fuselaje de revolución, cuyo eje está contenido en el plano del ala (ala media). Para estos cuerpos esbeltos se quiere calcular la sustentación del conjunto (suponiendo que vuela con ángulo de ataque α, sin guiñada, y velocidad U∞ y en una atmósfera de densidad ρ∞) y el factor de interferencia ala-fuselaje definido en la forma: (FZ ALA+FUSELAJE − FZ FUSELAJE)/FZ ALA sin FUSELAJE, así como el momento de cabeceo respecto al morro. Antes de entrar en los cálculos, son precisas dos observaciones previas: se supone que tanto R(x) como b(x) alcanzan sus máximos valores en la sección posterior (más adelante se volverá sobre este punto); y una vez que ya se ha aclarado qué términos son dominantes en el campo próximo y cuál es su orden de magnitud, volvemos a usar variables y funciones no dilatadas.

75

Capítulo 4

z y L

x Rb

Rb

b

b

Fig. 4.5. Ejemplos de cuerpo esbelto con alas y de cuerpo esbelto cónico.

Para aplicar la fórmula de Ward nos concentramos en el problema bidimensional correspondiente al plano x = x3. Como se ha dicho, el residuo estará dado por (4.9), escrito en variables no dilatadas. Para calcular a1 se consideran los planos t, Ω y τ, con las funciones de transformación que se indican en la figura 4.6.

Plano t z

t ′ = t − tg +

Rb2 t − tg

ρ2 t′ = τ + τ

Plano t' z'

y Rb

y'

−b −

b

Rb2

b+

b

αU∞

Plano τ

ζ

ρ

η

Rb2 b

αU∞

αU∞ R 1 ⎛⎜ b+ b 2⎜ b ⎝

2

Fig. 4.6. Planos t, Ω y τ con las funciones de transformación que los relacionan. ρ =

El potencial complejo total (el incidente más el de perturbación) en el plano τ será:

(

⎡ b + Rb2 b ⎢ F (τ ) = −iαU ∞ ⎢τ − 4τ ⎢ ⎣

)

2

⎤ ⎥ ⎥ , ⎥ ⎦

y el potencial total en el plano Ω:

(

F (Ω) = −iαU ∞ Ω 2 − b + Rb2 b

)

2

,

con lo que el potencial total en el plano t vale:

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

76

Capítulo 4

F (t ) = −iαU ∞

⎛ Rb2 − + t t ⎜⎜ SN t − tSN ⎝

2

⎞ ⎛ Rb2 ⎞ − + b ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ b ⎟⎠ ⎠ ⎝

2

.

El potencial complejo de perturbación en el plano t es:

⎡ f (t ) + iαU ∞ (t − tSN ) = −iαU ∞ (t − tSN ) ⎢ ⎢ ⎣⎢

2 2 ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ b + Rb2 b ⎞ Rb2 ⎥ −⎜ ⎜⎜ 1 + ⎟⎟ − 1⎥ . 2⎟ ⎟ ⎜ t t − (t − tSN ) ⎠ ⎝ SN ⎠ ⎝ ⎦⎥

Es fácil ahora obtener que el residuo vale: a1 = iαU ∞

b 4 + Rb4 2b 2

.

De acuerdo con las expresiones (4.7) y (4.10) se tiene: FY + iFZ = 2πρ∞U ∞2 iα

b 4 + Rb4 2b 2

+ ρ∞U ∞2 Sc

d t SN , dx

donde dtSN/dx = −iα (nótese que añadir ahora el efecto de un ángulo de guiñada es trivial). Así pues, las fuerzas sobre el cuerpo esbelto son:

FY = 0 , FZ ALA + FUSELAJE

= α πρ∞U ∞2

b 4 + Rb4 − b 2 Rb2 b2

.

(4.11)

Haciendo Rb = 0 tenemos FZ ALA sin FUSELAJE = α πρ∞U ∞2 b 2 , y haciendo b = Rb, tenemos FZ FUSELAJE = α πρ∞U ∞2 Rb2 , de modo que el factor de interferencia vale:

FZ ALA + FUSELAJE − FZ FUSELAJE FZ ALA sin FUSELAJE

2 F Rb2 I = G1 − . H b 2 JK

El momento de cabeceo respecto al morro valdrá: L

∫

MY = − x 0

dFz dx . dx

En el caso particular del cuerpo cónico de la figura 4.5, se tiene FZ(x) = (x2/L2)FZ(L), por lo que el momento valdrá: 4 4 2 2 2 2 b + Rb − b Rb M Y = − Lα πρ∞U ∞ . 3 b2

77

Capítulo 4

4.5. ALAS ESBELTAS Consideremos el ala representada en la figura 4.7, de espesor nulo, esbelta y que provisionalmente supondremos plana aunque pronto se verá que es posible generalizar el desarrollo a alas con ciertos tipos de curvatura. Ahora, que se sabe cómo calcular la resultante de las fuerzas que operan sobre el ala (ya hemos visto que vale FZ = α πρ ∞U ∞2 b 2 ( L ) ), nos planteamos determinar cómo se distribuyen dichas fuerzas sobre la forma en planta del ala. y b(x) x L Fig. 4.7. Ala esbelta.

La ecuación linealizada del potencial de velocidades de perturbación queda, en primera aproximación:

ϕ yy + ϕ zz = 0 ,

(4.12)

y la condición de contorno sobre el ala es:

ϕz U∞

= −α .

(4.13)

Aunque se ha supuesto que el ala es plana, la generalización a alas con curvatura función sólo de la variable x es obvia. En el infinito la perturbación introducida por el ala se debe amortiguar, salvo en la estela y sus proximidades. Como se ha dicho antes en relación con el problema cruzado, ϕ es el potencial de perturbación del (conocido) problema bidimensional representado en la figura 4.8, cuya solución es: z −b(x

b(x)

y

αU∞ Fig. 4.8. Problema auxiliar para resolver el problema cruzado (bidimensional) del ala plana esbelta.

ϕ ( x ′; y ′, z ′) = Re ⎡ −iαU ∞ ⎢⎣

(

)

t ′2 − b2 ( x ′) − t ′ ⎤ , ⎥⎦

(4.14)

donde Re indica la parte real y t' = y' + iz' es la variable compleja. Observe que en la expresión anterior la variable x juega un papel de parámetro, en este caso a través, exclusivamente, de b(x).

78

Capítulo 4

Para calcular el coeficiente de presión sobre la placa plana interesa conocer ϕ(x';y',0±). De la expresión (4.14) deducimos:

ϕ ( x′; y′, 0± ) = ±αU ∞ b2 ( x′) − y′2

(4.15)

correspondiendo un signo u otro según se esté en extradós o intradós (véase la figura 4.9). El coeficiente de presión, cp = −2ϕx'/U∞ (donde no se han escrito los términos ϕY2′ + ϕ Z2 ′ / U ∞2 , ni

(

)

los correspondientes al cambio de sistema de referencia a ejes cuerpo, ya que van a tener el mismo valor en el extradós y en el intradós y sólo estamos interesados en su diferencia, el coeficiente local de sustentación), valdrá, en el extradós:

z

z=0+, y>0 ϕy0 ϕy>0

Fig. 4.9. Correspondencia entre los signos ± en la expresión (4.15).

c pe = −2α

∂ b2 ( x ′) − y ′2 + … , ∂x ′

y en el intradós: c pi = 2α

∂ b2 ( x ′) − y ′2 + … , ∂x ′

de modo que el coeficiente de sustentación local es: b( x ′) db 2 2 dx ′ ∂ cl ( x ′, y ′) = c pi ( x ′, y ′) − c pe ( x ′, y ′) = 4α b ( x ′) − y ′ = 4α . ∂x ′ b2 ( x ′) − y ′2

(4.16)

Nótese que, como se ha comentado, para calcular la expresión (4.16) no ha sido preciso utilizar la expresión (3.17) del Capítulo 3 completa ya que los términos no calculados son iguales en cpi(x',y') y cpe(x',y'). La ecuación (4.16) requiere dos observaciones. La primera es que la solución obtenida presenta una singularidad en el borde de ataque que es característica de los bordes de ataque subsónicos, y la segunda es que el ala sustenta sólo en las secciones donde db/dx' > 0 (esta particularidad se comenta posteriormente). En general, la distribución de sustentación obtenida cl(x',y') no cumple la condición de Kutta salvo si db/dx' = 0 en la sección final (borde estacionario).

79

Capítulo 4

Para calcular el coeficiente de sustentación del ala, integramos primero respecto a x' (en bandas paralelas al eje x'), teniendo en cuenta que b(x'borde ataque) = y', con lo cual: L

ccl ( y ′) = 4α

∫

′ xborde ataque

∂ b2 ( x ′) − y ′2 dx ′ = 4α b2 ( L) − y ′2 . ∂x ′

La expresión anterior nos dice que (inesperadamente) la distribución de sustentación a lo largo de la envergadura es elíptica. Conocido cl(y'), el coeficiente global de sustentación vale:

1 π(4α b)b πΛ = α , donde Λ = 2b / c . cL = 2 2bc 2 y el coeficiente de resistencia inducida (recurriendo a lo visto al estudiar el Plano de Treffz) será: cDi =

cL2 πΛ 2 = α . πΛ 4

Es importante observar que cDi/cL = α/2, lo que indica que la fuerza resultante no es perpendicular a la placa (porque existe succión en el borde de ataque subsónico). Cuando db/dx' < 0 lo anterior no vale para estudiar lo que ocurre su secciones situadas detrás de aquella en que b(x') es máxima, porque hay que tener en cuenta los torbellinos que se desprenden del borde de salida (tal como se indica en la figura 4.10a). Consideremos un ala plana como la representada en la figura 4.10b. Vamos a comprobar que la solución del problema cruzado correspondiente a la sección 1 es solución del correspondiente a la sección 2. En efecto, ambos problemas difieren exclusivamente en la condición de contorno sobre el ala. (En la figura 4.10c se han representado las trazas del ala (y estela) sobre las que hay que imponer las condiciones de contorno en las secciones 1 y 2).

z

a

z

b

c

x 1

2

x

2b(x1)

2b(x2)

1 2 Problema 1

Problema 2

Fig. 4.10. a) Ala esbelta en la que en parte de ella es db/dx' < 0. b) Forma en planta equivalente utilizada en la discusión. c) Contornos no comunes de los problemas 1 y 2.

La parte |y'| ≤ b(x'2) es la misma para los dos problemas por lo que las condiciones de contorno son, lógicamente, idénticas en esta parte. La otra parte b(x'2) ≤ |y'| ≤ b(x'1) parece distinta (sólo en apariencia), porque en 1 hay placa y en 2 hay estela. Para ver que también ahora ambos

80

Capítulo 4

problemas son idénticos basta con analizar el salto del potencial de perturbación en la estela: ϕ experimenta un salto a través de la estela que depende de la intensidad de los torbellinos desprendidos del borde de salida, y como los torbellinos que llegan a 2 no han experimentado modificación alguna después de salir de 1, el salto de ϕ a través de la estela en 2 es igual al salto a través de la parte correspondiente de la placa en 1. Así pues, la solución del problema 1 cumple la ecuación diferencial y condiciones de contorno del problema 2, por lo que, al no haber variación con x', el comportamiento es semejante al que se produciría si fuera db/dx' = 0.

4.6. ALAS ESBELTAS CON PEQUEÑOS ESPESORES Y CURVATURAS EN EL SENTIDO DE LA ENVERGADURA Lo dicho hasta ahora sirve para calcular alas cuya sección, al cortar por un plano x' = cte es una línea recta. Se ha desarrollado una teoría asintótica para estudiar los efectos de espesor y curvatura en alas esbeltas a un cierto ángulo de ataque (Plotkin, 1983). Sea εc el pequeño parámetro que mide la desviación de la superficie del ala respecto al ala plana con ángulo de ataque α que ya hemos estudiado. El problema se aborda haciendo un análisis de perturbaciones a partir del ala plana esbelta, del que resultará un desarrollo distinto del obtenido en el caso de cuerpos esbeltos, en el que no aparecerán términos logarítmicos (porque, para todas las secciones, S(x') = 0). Consideremos el problema auxiliar que habría que resolver para obtener el campo cruzado: el ala plana estará en z' = 0 y sometida a una velocidad αU∞ paralela al eje z'. Utilizando las variables físicas y',z', la formulación para el potencial total en el campo próximo cruzado estará definida por la ecuación diferencial:

ϕ y ′y ′ + ϕ z ′z ′ = 0 ,

(4.17)

y la condición de contorno sobre la superficie del obstáculo, cuya ecuación es εcf(x',y') − z' = 0, es decir:

ε c f y ′ ( x ′, y ′)ϕ y ′ ( x ′; y ′, z ′ = ε c f ( x ′, y ′) ) − ϕ z ′ ( x ′; y ′, z ′ = ε c f ( x ′, y ′) ) = 0 .

(4.18)

Nótese que en esta condición de contorno, (4.18), las derivadas respecto a x' no aparecen por tratarse de una configuración esbelta. La condición de contorno en el infinito es:

ϕ → αU ∞ z ′ ,

(4.19)

Si fuera εc = 0 el potencial resultante, ϕ 0(x';y',z'), sería el potencial del problema auxiliar para el campo cruzado del ala plana esbelta situada en z' = 0. Cuando εc es pequeño, pero no nulo, podremos poner:

ϕ ( x ′; y ′, z ′) = ϕ 0 ( x ′; y ′, z ′) + ε cϕ1 ( x ′; y ′, z ′) + …

(4.20)

81

Capítulo 4

Llevando (4.20) al sistema (4.17)–(4.19), despreciando consistentemente términos de orden superior, transfiriendo la condición de contorno al esqueleto y anulando coeficientes de las sucesivas potencias de εc (en este caso, cero y uno) se tienen los problemas siguientes: Problema de orden cero: Ecuación diferencial ϕ 0y'y' + ϕ 0z'z' = 0 .

(4.21)

Condición de contorno sobre el obstáculo ϕ 0z'(x';y',0) = 0 .

(4.22)

Condición de contorno en el infinito ϕ 0→ αU∞z' .

(4.23)

La solución de este problema es conocida (véase el apartado 4.5, aunque las expresiones que se obtuvieron ahí eran para el potencial de perturbación y no para el potencial total). En particular, se deduce que

ϕ 0 ( x ′; y ′, 0± ) = ±αU ∞ b2 ( x ′) − y ′2 .

(4.24)

Problema de primer orden: Ecuación diferencial ϕ 1y'y' + ϕ 1z'z' = 0.

(4.25)

Condición de contorno sobre el obstáculo. Para escribir esta condición se debe proceder con cuidado, ya que al transferir la condición de contorno al ala plana aparecen nuevos términos en εc. Un primer paso sería:

ε c f y ′ ( x ′, y ′)ϕ 0 y ′ ( x ′; y ′, z ′ = ε c f ( x ′, y ′) ) − ϕ 0 z ′ ( x ′; y ′, z ′ = ε c f ( x ′, y ′) ) − − ε cϕ1z ′ ( x ′; y ′, z ′ = ε c f ( x ′, y ′) ) − … = 0

y, desarrollando en serie de Taylor en el entorno de z' = 0 se tiene:

(

)

(

)

( ) − ε cϕ1z ′ ( x ′; y ′, 0± ) − … = 0

ε c f y ′ ( x ′, y ′)ϕ 0 y ′ x ′; y ′, 0± − ϕ 0 z ′ x ′; y ′, 0± − ε c f ( x ′, y ′)ϕ 0 z ′z ′ x ′; y ′, 0± −

y tomando los términos en εc

ϕ1z ′ ( x ′; y ′, 0± ) = f y ′ ( x ′, y ′)ϕ 0 y ′ ( x ′; y ′, 0± ) − f ( x ′, y ′)ϕ 0 z ′z ′ ( x ′; y ′, 0± ) . Teniendo en cuenta la expresión (4.21) ( ϕ 0z'z' = − ϕ 0y'y') resulta finalmente:

ϕ1z ′ ( x ′; y ′, 0± ) =

∂ ⎡ f ( x ′, y ′)ϕ 0 y ′ ( x ′; y ′, 0± ) ⎤ . ⎦ ∂y ′ ⎣

De acuerdo con la ecuación (4.24) se tiene:

82

Capítulo 4

ϕ 0 y ′ ( x ′; y ′, 0± ) = ∓αU ∞

y′ b2 ( x ′) − y ′2

,

y, finalmente:

ϕ1z ′ ( x ′; y ′, 0± ) U∞

= ∓α

⎤ y′ ∂ ⎡ ⎢ f ( x ′, y ′) ⎥ . 2 2 ⎥ ∂y ′ ⎢ ′ ′ b ( x ) y − ⎣ ⎦

(4.26)

La condición de contorno en el infinito es:

ϕ1→0

(4.27)

Las ecuaciones (4.25)-(4.27) indican que la formulación del problema correspondiente a la primera aproximación, ϕ 1, es análoga a la del potencial de perturbación de un perfil en régimen incompresible, por lo que serán válidos los mismos métodos de resolución. Hay que hacer la salvedad de que en la teoría de perfiles era necesario imponer la condición de Kutta para que la solución fuera única, mientras que aquí la condición que se debe imponer es que la circulación alrededor del obstáculo es nula. De hecho, esta condición ya ha sido impuesta para obtener las soluciones de los apartados 4.4 y 4.5. Así, en el problema de ala con espesor, f(x',y') = ±E(x',y'), como f(x',y') es antisimétrica respecto a z' = 0, el segundo miembro de la expresión (4.26) será simétrico, como si se tratase de un problema de curvatura de un perfil bidimensional. En consecuencia, como ϕ 1 y ϕ 1x' resultan ser antisimétricas, la conclusión es que el espesor corrige la sustentación del ala plana. En un problema de curvatura, f(x',y') = C(x'; y'), el segundo miembro de la expresión (4.26) es antisimétrico, como si se tratase de un problema de espesor de perfiles: la curvatura no corrige la sustentación del ala plana. Para aclarar estos conceptos, consideremos un ala con distribución elíptica de espesor (que es el caso más sencillo de problema de espesor). En este caso particular, tendremos: ± E ( x′; y′) = ± b2 ( x′) − y′2 .

Siempre que sea E(x';y') simétrica respecto a y' = 0, la distribución de circulación a lo largo del supuesto perfil bidimensional será antisimétrica respecto a y' = 0 y, por lo tanto, su integral entre −b(x') y +b(x') será nula. No hay circulación alrededor del perfil. La expresión (4.26) se reducirá a:

ϕ1z ′ ( x ′; y ′, 0± ) U∞

= −α

que es la condición de contorno para la corriente alrededor de una placa plana con ángulo de ataque α pero sin circulación. La solución para el potencial de perturbación es ya conocida:

ϕ1 ( x ′; y ′, 0± ) = ±αU ∞ b2 ( x ′) − y ′2 ,

83

Capítulo 4

de manera que:

ϕ ( x ′; y ′, 0± ) = ϕ 0 ( x ′; y ′, 0± ) + ε cϕ1 ( x ′; y ′, 0± ) = ± (1 + ε c )αU ∞ b2 ( x ′) − y ′2 . Por consiguiente, en primera aproximación, el espesor corrige el potencial de velocidades de la placa plana mediante el factor (1 + εc). La sustentación será, por tanto: Fz = ρ ∞U ∞2 π α b 2 .

Para analizar un problema sencillo de curvatura, consideremos la parábola C ( x′; y′) =

b2 ( x′) − y′2 . b( x′)

La condición de contorno (4.26) se reduce a:

ϕ1z ( x ′; y ′, 0± ) U∞

= ∓α

b2 ( x ′) − 2 y ′2 b( x ′) b2 ( x ′) − y ′2

.

Como este problema es análogo al problema bidimensional de espesor, se resuelve utilizando técnicas análogas. De este modo se puede entender que el potencial de velocidades ha sido generado por una distribución de manantiales de intensidad

2ϕ1z ′ ( x ′; y0′ , 0+ ) = −2αU ∞

b2 ( x ′) − 2 y0′2 b( x ′) b2 ( x ′) − y0′2

, ⏐y'0⏐ ≤ b(x')

y utilizando las expresiones deducidas en la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen incompresible (cambiando x'0 por y'0 y x' por y' en las expresiones para perfiles) se tiene b ( x ′)

1 ϕ1z ′ ( x ′; y0′ , 0+ ) ϕ1 y ′ ( x ′; y0′ , 0) = x dy0′ , π y ′ − y0′

∫

- b ( x ′)

de modo que sustituyendo la expresión de ϕ 1z'(x';y'0,0+) obtenida de la condición de contorno queda b ( x ′)

ϕ1 y ′ ( x ′; y ′, 0) = −

αU ∞ π

∫

x

b2 ( x ′) − 2 y0′2

b( x ′)( y ′ − y0′ ) b2 ( x ′) − y0′2 − b ( x ′)

dy0′ .

Introduciendo el cambio de variable y'0 = b(x') cosθ0, se obtiene:

84

Capítulo 4

ϕ1 y ′ ( x ′; y ′, 0) U∞

=−

α

π

cos 2θ 0 dθ 0 , 0 − cos θ

x π ∫ cos θ 0

y, finalmente:

ϕ1 y ′ ( x ′; y ′, 0) = −2αU ∞

y . b( x ′)

Nótese que, aunque ϕ 1 depende de x' (y por tanto contribuye a cp(x',y',0±)), es simétrica respecto a z' = 0 y no contribuye a la sustentación.