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• Winie Stephany Fernandez

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Formulario Teoría de Colas

𝜆: Número medio de llegadas de cliente al sistema por unidad de tiempo 𝜇: Número medio de clientes a los que se les completa el servicio por unidad de tiempo S: Número de servidores en paralelo 𝜌: Constante de utilización del sistema o intensidad de tráfico;𝜌 =

𝜆 𝑠𝜇

N: Número de clientes en el sistema Pn : Probabilidad de que haya n clientes en el sistema L : Número medio de clientes en el sistema Lq : Número medio de clientes en la cola Wq= Tiempo medio de espera de los clientes en la cola W=Tiempo medio de estancia de los clientes en el sistema

Modelo M/M/1

 Pn    

  P0   1   Lq  Wq

W

1 

n

       n (1   )   

Wq 



 

L

 

 (    )

Modelo M/M/S

P0 

1 1    1    s  s             s!    s    n  0 n!  s 1

n

    

   LS  Po  2  s  1!s   

1

𝑃0 =

𝑛

𝑠

1 λ ) 1−(𝑠µ)

λ λ ∑𝑆−1 𝑁=0( µ ) +( µ ) ∗( 𝑛!

𝑠!

WS 

    

Wq 



λ 𝑠+1

𝐿𝑞 = [

Modelo M/M/S/K

 n   n n! P0 ; si n  S   n Pn  n P ; si S  n  k (nS ) 0  S ! S  0 ; si n > k  

λ 2

(𝑠−1)!(𝑠− ) 𝜇

Wq  WS 

Lq  L  (1  P0 )

   k     1    P0    1  Pk      

(𝜇)

s

1 L   Po   S 2   s  1! s   

Modelo M/M/1/K   1     P0  k 1   1    

Lq

s

1





Lq



W

L



].𝑃0

 S 1  L   nPn  Lq  S 1   Pn  n 0  n 0  S 1

W

L

Lq

Wq 





Lq 

     

S 1

P0

k S     k S      1   ( k  S )      1    2  S   S        S  ( S  1)! S     

   k     1    P0    1  Pk      

Modelo M/M/1/∞/H P0 

n

1 H

H!



 ( H  n)!    n 0



n

H!    Pn    P0 ( H  n)!   

LH

 1  P0  



H

Lq   (n  1) Pn    Wq n 1

W

L





L   ( H  L)

Wq 

Lq



W 

   H  L 

1



MODELO M/M/S/∞/H n   H!   P0 ; si n  S   ( H  n)!n!     n  H!  Pn    P0 ; si S  n  H (n -S)  (H n)! S! S   0 ; si n > H   

 S 1  L   nPn  Lq  s1   Pn   n0  n0 S 1

P0 

H

1 H   H! H!        ( n s )  n0 ( H  n)!n!    n S ( H  n)! S! S  S 1

Lq   (n  S ) Pn ns

n

W

L



Wq 

Lq



n

MODELO M/M/1/∞/H con repuestos 𝐶0 = (𝐻 − 𝑛 + 1)

𝜆

P0 

𝑛𝜇

1 n

  H! H!        ( n s )  n0 ( H  n)!n!    n S ( H  n)! S! S  S 1

n   H!   ; si n  1,2..., S   ( H  n)!n!     s  H!    Cn      n  s ; si n  s, s  1,..., H  (H - n)!S!    0 ; si n  H  1, H  2,...   

H

n

H

L   n  Pn n 1

   ( H  L)

MODELO M/M/∞ 𝑃0 = 𝑒

𝜆 𝜇

−

=

1 𝜆 𝑒𝜇

𝑃𝑛 =

𝜆 𝜆 𝑛 −𝜇 .𝑒 𝜇

𝑛!

𝜆

𝐿=𝜇

1

𝑊=𝜇

𝑊𝑞 = 0

𝐿𝑞 = 0