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ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Campo Eléctrico





 E  dA

E 

S

La Carga eléctrica (q) es una propiedad del electrón (-e) y el protón (e). La unidad de carga es el Coulomb, [C]. La unidad fundamental de carga es igual a:

Ley de Gauss

E 

S

e  1.602  10 19 C Cargas del mismo signo se repelen y cargas de signo contrario se atraen En un sistema aislado la carga se mantiene constante.





 E  d A 

q enc 

Las propiedades de los conductores son: - El campo eléctrico es cero dentro del conductor. - Cualquier carga neta reside en su superficie - La componente tangencial del campo eléctrico es cero sobre su superficie.

Ley de Coulomb Potencial Eléctrico

 qq F12  k e 1 2 2 rˆ r ke 

La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos A y B  de un campo eléctrico E , se define como:

1  8.9875  10 9 N .m 2 / C 2  9  10 9 N .m 2 / C 2 4 0

es la constante de Coulomb. 1 0   8.85  10 12 C 2 / N .m 2 4 (8.99  10 9 N .m 2 / C 2 ) es la permitividad del espacio libre. El Campo eléctrico es una región en el cual una carga eléctrica experimenta una fuerza. La intensidad de campo eléctrico (E) se define como:

1 q rˆ 4  0 r 2

V (r ) 

A

  E  dS

1 4  0

Q r

dq

r

2

rˆ

V

Densidades de carga:

  dV  dq   dA  d l  Ley de Gauss El Flujo Eléctrico sobre una superficie es igual a :

1 q1 q 2 4  0 r12

El potencial eléctrico debido a una distribución de carga continua se obtiene de:

V 

El campo eléctrico debido a una distribución de carga continua esta dada por: 1 4  0

B

El voltio es la unidad de diferencia de potencial eléctrico. El potencial eléctrico a una distancia r de una carga puntual Q se obtiene de:

U 12  W 2 

El campo eléctrico producido por una carga puntual q a una distancia r está dado por:

 E



La energía potencial del sistema de dos cargas es igual a:

  Fe E q0

 E

U  q0

V  V B  V A 

1 4  0



dq r

El campo eléctrico se obtiene también de:

I av 

 E  V

La corriente instantánea se define como:

Capacitancia El capacitor en su forma mas simple está compuesto por dos conductores separados por un material aislante (dieléctrico) La Capacitancia es una propiedad del capacitor que describe su capacidad para almacenar carga. La capacitancia se define como: C  Q / V

N

C

La corriente total en un conductor se obtiene de: I 

i

La capacitancia equivalente de N capacitores conectados en serie se obtiene de: N

 i 1

1 Ci

La energía almacenada en un capacitor se obtiene de: 2

1Q 1 1  QV  C ( V ) 2 2 C 2 2

La densidad de energía por unidad de volumen almacenada en un campo eléctrico se obtiene de:

uE 





 J  dA

donde  es la conductividad del material. Un material es óhmico si satisface esta relación. La ley de Ohm macroscópica:

V  IR Donde: R

i 1

1 1 1 1     C eq C1 C 2 CN

dQ dt

J  E

La capacitancia equivalente de N capacitores conectados en paralelo se obtiene de: C eq  C1  C 2  C 3    C N 

I 

donde j es la densidad de corriente medida en A / m 2 . Ley de Ohm microscópica:

La unidad de capacitancia. es el faradio. El símbolo usado en circuitos es el siguiente:

UE 

Q t

1 0E2 2

La capacitancia de un capacitor con dieléctrico se obtiene de:

C  k C0

donde k es la constante dieléctrica, todos los materiales dieléctricos tienen k  1 . C 0 es la capacitancia sin dieléctrico. Corriente y Resistencia La corriente eléctrica es el flujo de cargas eléctricas en un conductor. La corriente convencional está constituida por cargas positivas. La unidad de corriente es el amperio [A]. La corriente promedio esta dada por:

V l  I  A

Es la resistencia del conductor. La resistividad de un material se define como: 1 



La variación de la resistividad de los metales con la temperatura se obtiene de:



   0 1   ( T  T0 )



Donde  es el coeficiente de temperatura de la resistividad. La Potencia eléctrica esta dada por: P

q U  V  I V   t  t 

Circuitos Eléctricos Los circuitos eléctricos conectan fuentes de energía con las cargas. La Fuerza Electromotriz se define como el trabajo realizado para mover una unidad de carga en dirección del potencial mas alto:  

dW dq

La unidad de FEM es el voltio (V). La resistencia equivalente de N resistores en serie se obtiene de:

Req  R1  R 2   

R

i

i 1

La resistencia equivalente de N resistores en paralelo se obtiene de: 1 1 1 1      Req R1 R 2 R3





  NIA

N

N

 i 1

1 Ri

Partículas cargadas en un campo magnético uniforme: El radio de la trayectoria circular es igual a: r 

El periodo esta dado por:

Ley de corrientes de Kirchhoff: En cualquier nodo, la suma de las corrientes que salen del nodo es igual a la suma de las corrientes que entran al nodo. Ley de voltajes de Kirchhoff: En cualquier lazo, la suma de las caídas de voltaje es igual a la suma de las FEMs.

T 

2 r 2 m 2 m v   v v qB qB

La velocidad angular



puede ser obtenida de:

  2 f 

Carga de un capacitor:







q(t )  C 1  e  t / RC  Q 1  e  t / RC



Donde Q es la carga máxima almacenada.

I (t )  I 0 e  t / 

Fuentes de campos magnéticos Ley de Biot.Savart:

   0 I d S  rˆ dB  4 r2

Descarga de un capacitor q (t )  Q e  t / RC

d q  Q   t / RC   e d t  RC 

v qB  r m

La trayectoria será helicoidal si la velocidad inicial de la partícula cargada tiene una componente paralela al campo magnético.

Donde   RC se denomina la constante de tiempo, su unidad es el segundo.

I 

mv qB

Donde  0  4  10 7 T  m / A es una constante denominada la permeabilidad del espacio libre: Fuerza entre dos conductores paralelos:

 

     I   I I l F12  I 1l  B 2  I 1 l iˆ    0 2 ˆj    0 1 2 kˆ 2  a 2 a  

Campos magnéticos El campo magnético es una región en el cual una carga eléctrica en movimiento experimenta una fuerza. Se mide en Teslas. Fuerza (F) sobre una carga (q) en movimiento (v) en un campo magnético (B):    FB  q V  B

El campo magnético no realiza trabajo sobre la carga. Fuerza (F) sobre un conductor (L) con corriente (I) en un campo magnético (B):    F  I L B

La fuerza magnética neta sobre una espira conductora es cero. Torque sobre un lazo (A) con corriente (I) en un campo magnético (B):   

  I A B

Para un lazo de N vueltas, la magnitud del torque es igual a:   N I A B sin   La cantidad NIA es denominada el momento del  dipolo magnético  :

dos conductores paralelos que conducen corrientes en la misma dirección se atraen. Si las corrientes fluyen en direcciones opuestas, la fuerza resultante será repulsiva Ley de Ampere:





 Bd S  

0 I enc

Un solenoide es una bobina larga de alambre embobínalo en forma helicoidal. El campo magnético dentro del solenoide es uniforme y paralelo a su eje:

B

0 N I  0n I l

donde n = N/l es el número de vueltas por unidad de longitud. El flujo magnético a través de una superficie abierta se define como: B 





 B  d A S

La unidad de flujo magnético es el weber (Wb).

Según la ley de Gauss, el flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada es siempre cero: 

 Bd

 A0

Los campos magnéticos son continuos y forman lazos cerrados. Ley de Faraday La ley de inducción de Faraday establece que si el flujo magnético cambia en el tiempo a través de una superficie definida por un lazo conductor, entonces se induce una fuerza electromotriz en el lazo igual a:

 

d dt



La corriente creciente en el circuito con batería se obtiene de:

I (t ) 



 1 e  t / R



  L / R es la constante de tiempo del circuito RL. La corriente decreciente en el circuito sin batería se obtiene de: I  I 0e  t / donde I0 es la corriente inicial. La energía almacenada en el campo magnético del inductor en cualquier tiempo es: UB 

  d m B  dA  dt

1 LI 2 2

La energía almacenada por unidad de volumen en un campo magnético es: Si el campo magnético es uniforme a través de un B2 superficie plana, entonces: uB  2 0 d  dB   dA   d      BA cos      A cos   B  cos   BA sin    Definimos la inductancia mutua M 12 de la bobina 1 dt  dt   dt   dt  respecto de la bobina 2 como: La FEM de movimiento en una barra conductora en movimiento a través de un campo magnético uniforme es igual a: N 1  12

M 12 

V ab  V a  Vb    El  Blv Ley de Lenz: La polaridad de una FEM inducida a través de un lazo es tal que produce una corriente que creará un flujo magnético que se opone al cambio del flujo magnético que induce tal corriente.  El campo eléctrico no conservativo E nc asociado con una FEM inducida es igual a:





I2

La inductancia mutua depende de la geometría de ambos circuitos y de su orientación uno respecto del otro. Oscilaciones en un circuito LC:

  d B E nc  dS   dt

Inductancia La inductancia de una bobina de N vueltas es una medida de la oposición a cualquier cambio en la corriente, su ecuación de definición es:

L L dI / dt

Q(t )  Q0 cos  0 t 0 

1

LC dQ I (t )    I 0 sin  0 t ( I 0   0 Q0 ) dt

Tambien:

L

N B I

La unidad de inductancia es el Henry (H). El inductor es un elemento de circuito que tiene una gran inductancia, su símbolo es:

donde I 0 es la corriente máxima en el circuito. La energía almacenada en el campo eléctrico del capacitor en función del tiempo es igual a:

UE 

Q 2  Q02  2C  2C

  cos 2  0 t  

La energía almacenada en el campo magnético del  inductor en función del tiempo es igual a: Circuitos RL

UB 

 Q2  1 2 1 2 LI  LI 0 sin 2  0 t   0  sin 2  0 t  2C  2 2  

La reactancia capacitiva se define como: XC 

La suma de ambas energías es constante.

En el SI se mide en ohms. La corriente siempre adelanta al voltaje en 90 grados.

Circuitos de corriente alterna En corriente alterna, la corriente cambia su dirección periódicamente. El voltaje instantáneo proporcionado por una fuente de voltaje sinusoidal es igual a:

Circuito RLC en serie El voltaje aplicado esta dado por:

V (t )  V 0 sin   t

V (t )  V 0 sin  t Donde V 0 es el voltaje máximo, o la amplitud del voltaje en voltios, y   2 f es la frecuencia angular en revoluciones por segundo. f  1 / T es la frecuencia de la fuente en hertz y T es el periodo en segundos. El símbolo de un generador de corriente alterna es:

La corriente y el voltaje se representan por medio de vectores rotatorios denominados fasores. La corriente instantánea en un circuito resistivo es igual a:

V R V0  sin  t  I 0 sin  t R R

La corriente está en fase con el voltaje, debido a que ambas alcanzan sus valores máximos y mínimos al mismo tiempo La corriente eficaz o rms (root mean square) es la raíz cuadrada del promedio del cuadrado de la corriente:

Irms   I 2  

I0 2

Los amperímetros y voltímetros de c.a. se diseñan para leer valores rms. La corriente instantánea en un circuito inductivo se obtiene de:

I (t ) 

V0   sin   t   L 2 



como respuesta a este voltaje, la corriente que fluye en el circuito es:

I (t )  I 0 sin(  t   )

La impedancia Z del circuito se define como: Z 

IR 

1

C

R 2  ( X L  X C ) 2 X L  L, X C 

1 C

La impedancia se mide en ohms. La ley de Ohm generalizada aplicada a un circuito de c.a., se denota como

I0 

V0 Z

El ángulo de fase  entre la corriente y el voltaje se obtiene de:

 X  XC   tan 1  L R 

  

La potencia promedio se define como:

 P 

1 I 0V 0 cos   I rms V rms cos  2

Donde cos  se denomina factor de potencia. Un circuito RLC en serie está en resonancia cuando la corriente en el mismo es máxima.. La frecuencia a la cual Z = R, la corriente esta en fase con el voltaje aplicado, se denomina frecuencia de resonancia del circuito 1 0  LC

La reactancia inductiva se define como:

XL  L depende de la frecuencia y de las características del inductor. En el SI se mide en ohms. La corriente siempre está retrasada del voltaje en  / 2 . La corriente instantánea en el circuito capacitivo se obtiene de: dQ I C (t )    C V 0 cos  t dt

Ondas Electromagnéticas La corriente de desplazamiento se define como:

Id 

d E dQ  0 dt dt

Las cuatro ecuaciones de Maxwell son: Ley de Gauss del campo eléctrico:



  Q E  dA  DE

0

S

Las cargas eléctricas son las fuentes del campo eléctrico. Ley de Gauss del campo magnético: 



 B  dA  0

La razón entre el campo eléctrico y el campo magnético de una onda electromagnética a cada instante es igual a la velocidad de la luz. La tasa de flujo de energía en una onda electromagnética se describe por medio del vector de Pointing, definido por:    EB S 

0

S

Para una onda electromagnética plana la magnitud del vector de Pointing es igual a:

No existen cargas magnéticas. Ley de Faraday:



C

  d B E d S   dt

Los campos eléctricos pueden ser generados por campos magnéticos que varían con el tiempo.



  d E B  dS   0 I   0  0  0 ( I  I d ) dt

S

c B2 EB E2   0  0C 0

El promedio en el tiempo de S sobre uno a más ciclos, se denomina intensidad de onda:

I  S 

E 0 B0 E2 cB 2  0  0 2 0 2 0 c 2 0

La impedancia del espacio libre es igual a:

Ley de Ampere-Maxwell: Los campos magnéticos son producidos tanto por corrientes de conducción como por campos eléctricos variables. Las ondas electromagnéticas son generadas por cargas eléctricas oscilantes. Estas ondas están compuestas por campos eléctrico y magnético, las cuales forman ángulos rectos entre si, y también con la dirección de propagación de la onda., por lo tanto las ondas electromagnéticas son de naturaleza transversal

 0 c  4  10 7  3  10 8  377 ohms La densidad de energía instantánea total es igual a:

u total  u E  u B   0 E 2  B 2 /  0 La densidad de energía promedio total es igual a:

u total  u elec  u mag BIBLIOGRAFIA: Fìsica,Tomo II, Serway, 2002

Las amplitudes de campo E y B varían con x y t de acuerdo con las expresiones:  E ( x, t )  E 0 sin(  t  k  ) ˆj

 B ( x, t )  B 0 sin( t  k ) kˆ

Donde E 0 y

B 0 son los valores máximos de los 2 campos,   2  f es la frecuencia angular, k  

es el número de onda,  es la longitud de onda, y f es el número de ciclos por segundo. La velocidad de propagación es igual a:

v

  f k



1  0 E 02 2