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• frank valdivia castro

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FORMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O MUY ESBELTAS En el año 1757, el gran matemático suizo Leonhard Euler realizo un análisis teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basada en la ecuación diferencial de la elástica

EI (d 2 y / dx 2 )  M . Ahora se sabe que este análisis solamente es válido hasta que los esfuerzos alcanzan el límite de proporcionalidad. En tiempo de Euler no se habían establecido los conceptos de esfuerzo, ni de límite de proporcionalidad, por lo que el no tuvo en cuenta la existencia de un límite superior de la carga critica. En la sección 11-4 se considera este límite superior. La figura 11-3 muestra la línea eje de una columna en equilibrio bajo la acción de la carga crítica P. Se supone que la columna tiene los extremos articulados (mediante rotulas, o pasadores) de manera que no pueden tener desplazamientos laterales. La deflexión máxima δ es lo suficientemente pequeña para que no exista diferencia apreciable entre la longitud inicial de la columna y su proyección sobre un eje vertical. En estas condiciones, la pendiente dy/dx es pequeña y se puede aplicar la ecuación diferencial aproximada de la elástica de una viga:

EI

d2y  M  P( y )   Py …… dx 2

(a)

El momento M es positivo en la figura 11-3 al pandear la columna en el sentido indicado (basta girar la figura 90º en sentido contrario al del reloj), por lo que al ser la y negativa, ha de ir precedida del signo menos. Si la columna se pandeara en sentido contrario, es decir, en la dirección de y positiva, el momento flexionante sería negativo, de acuerdo con el criterio de signos adoptado en la sección 4-2 para los momentos y por tanto, habría que poner también el signo menos. La ecuación (a) no se puede integrar directamente, como se hacía en la sección 6-2, ya que allí M solamente era función de x . Sin embargo, presentamos dos métodos para resolverla. Conociendo algo de dinámica nos damos cuenta que la ecuación (a) es semejante a la ecuación de un cuerpo que vibra simplemente:

m

d 2x  kx dt 2

Para la cual una solución general es:

 k   k  x  C1sen  t   C2 cos  t   m  m

P O

Y

x

y

L/2 X

L

L/2

P

Figura 11-3

De aquí, por analogía, la solución de la ecuación (a) viene dada por

  P  P  y  C1sen  x   C2 cos  x  (b)  EI   EI  Al aplicar las condiciones de frontera para x  0, y  0 , lo que da C2  0 ; para x  L, y  0 , de la que se obtiene

 P  0  C1sen  L  EI   Ecuación de condición que se cumple para C1  0 , en cuyo caso no existe flexión en la columna, o para

L

P  n EI

(n  0,1, 2,3,....)

De donde

P  n2

EI  2 L2

(c)

Si se carece de conocimientos de ecuaciones diferenciales podemos resolver la ecuación (a) escribiéndola en la forma

d  dy      Py dx  dx 

EI

Que, después de multiplicar 2dy para obtener diferenciales exactas da por integración: 2

 dy  EI     Py 2  C1  dx 

(d)

Ahora, de acuerdo con la figura 11-3 para dy/dx = 0 , y =δ, sustituyendo en (d) da C1  P 2 por lo que la ecuación (d) se transforma en 2

 dy  EI    P( 2  y 2 )  dx  O sea,

dy P   2  y2 dx EI Separando variables

dy

 2  y2



P dx EI

Cuya integración da

sen1

P1

y



x

P  C2 EI

P2

P3

P2

P3

figura 11.4 Efecto de n en la carga critica P1

Para hallar C2 se aplica la condición y  0 para x  0 , de donde C2 =0. Así, pues,

sen1

y



x

 P P  o y   sen  x  EI  (e) EI  

Lo que indica que la forma de la elástica es senoidal. Haciendo y  0 para x  L en esta última ecuación se obtiene

 P  sen  L 0 EI   O bien,

L

P  n EI

(n  0,1, 2,3,.....)

De donde

P  n2

EI  2 L2

(f)

Que coincide con el valor obtenido en la ecuación (c). El valor n  0 no tiene sentido, ya que seria P  0 . Para los demás valores de n la columna se pandea en la forma indicada en la figura 11-4. De estas posibles soluciones, la más importante es la (a). Las otras soluciones ocurren para cargas mayores, pero solo posibles físicamente si la columna tiene sujeciones laterales en el punto medio o en los tercios del largo respectivamente, que la obliguen a tomar precisamente esta forma. La carga critica, para una columna articulada en sus extremos, es

P

EI  2 L2

(11-1)

Para columnas con otras condiciones de sujeción en sus extremos se puede expresar la carga crítica en función de la correspondiente a (11-1), que se considera como un caso fundamental. Así, por ejemplo, en la columna doblemente empotrada de la figura 11-5 (a), por simetría, los puntos de inflexión están en los cuartos del largo, y como el momento flexionarte es nulo en estos diagramas de cuerpo libre de la figura 11-5b indican que la mitad central de la columna doblemente empotrada equivalente a una columna articulada en sus extremos, de longitud Le  L / 2 . Introduciendo en la ecuación (11-1) esta longitud equivalente, la carga crítica que se obtiene para este tipo de columna es:

P

EI  2 EI  2 EI  2   4 2 Le 2 L2 L   2

(11-2)

La columna doblemente empotrada es, pues, cuatro veces más resistente que la doblemente articulada. P

P M L/4

P

P L/2

L

Le P

P

L/4

P

P

figura 11-5. Columna doblemente empotrada y diagrama de cuerpo libre

La figura 11-5a, permite determinar también la carga crítica para una columna empotrada en un extremo y libre en el otro (tipo mástil). Las cargas críticas en este tipo, figura 11-5b, y en la doblemente empotrada, figura 11-5a, son iguales, pero teniendo en cuenta que esta última es cuatro veces más larga que la primera. En otras palabras, en la ecuación (11-2) hay que poner una longitud L, igual a cuatro veces la longitud real de la columna tipo mástil, con lo que la carga crítica para este tipo de columna viene dada por:

4 EI  2 4 EI  2 1 EI  2 P   2 Le 2  4L  4 L2

11-3

P M

Le=0.7L L

figura 11-6 Columna empotrada en un extremo y articulada en el otro

que es una cuarta parte de la correspondiente al caso fundamental, doblemente articulada. Otro tipo de columna que suele presentarse es la empotrada en un extremo y articulada en el otro, como se indica en la figura 11-6. El punto de inflexión aparece, como puede demostrarse, a 0.7L del extremo articulado, por lo que introduciendo en la ecuación (11-1) del caso fundamental una longitud Le  0.7 Le , da como valor de carga critica

EI  2 EI  2 2 EI  2 P   Le 2 (0.7 L) 2 L2

(muy aproximadamente) (11-4)

El efecto de la condición de sujeción de los extremos en la carga crítica se puede hacer intervenir en la fórmula de la carga crítica para el caso fundamental de columna doblemente articulada de dos formas. Multiplicándola por un factor N que depende de las condiciones de sujeción como se resume en la tabla que viene a continuación o mejor sustituyendo la longitud L de la ecuación (11-1) por los valores tabulados de la longitud modificada o efectiva, es decir.

PN

EI  2 EI  2  L2 Le 2

CONDICIONES DE SUJECION

N = coeficiente para multiplicar por Pcrit del caso

Le  longitud efectiva

fundamental Ambos extremos empotrados

4

1 L 2

Un extremo empotrado y el otro articulado Ambos extremos articulados

2

0.7L

1

L

Un extremo empotrado y el otro libre

1

2L

4