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• Alex Andher Suarez

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Las Diferentes Formas del Criterio de Kutzbach-Gr¨ubler. Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez Facultad de Ingenier´ıa Mec´anica, El´ectrica y Electr´onica Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica Salamanca, Gto. 36730, M´exico En esta nota se presentan las diferentes formas que el criterio de Kutzbach-G¨ ubler adopta bajo diferentes condiciones especiales. Nuestro punto de partida es la ecuaci´on, del criterio de Kutzbach-Gr¨ ubler, presentada en el curso de An´alisis y S´ıntesis de Mecanismos. La ecuaci´on es aplicable a cadenas cinem´aticas seriales, o abiertas, y cerradas que est´an sujetas a movimiento plano general y que constan de pares de revoluta y prism´ aticos, ambos pares cinem´aticos de la clase I que permiten un movimiento relativo entre los eslabones, que conectan, de un grado de libertad. La ecuaci´ on est´ a dada por F = 3 (N − 1) − 2 PI

(1)

Donde F es el n´ umero de grados de libertad del eslabonamiento, N es el n´ umero de eslabones umero de pares de la clase I que forman parte del esque forman el eslabonamiento, PI es el n´ labonamiento. La ecuaci´on (1) se conoce como el criterio de Kutzbach-Gr¨ ubler. Debe recordarse que el n´ umero 3 indica el n´ umero de grados de libertad que un eslab´ on del mecanismo tendr´ıa si estuviera libre de moverse en el plano. De manera semejante,el n´ umero 2 = 3 − 1 representa el n´ umero de grados de libertad restringidos por un par cinem´ atico de la clase I. Por lo tanto, la ecuaci´ on (1) puede escribirse como F = 3 N − 3 − (3 − 1) PI = 3(N − PI − 1) + PI

(2)

A fin de adecuar la notaci´ on a la que es m´as usual en el campo de la r´obotica y cinem´atica umero total de pares cinem´ aticos de la cadena cinem´atica avanzada, se sustituira N por n y PI , el n´ por j. Adem´as, fi es el n´ umero de grados de libertad del movimiento relativo del i-´esimo par, donde i = 1, . . . , j. Mas a´ un, siempre supondremos que todos los pares cinem´aticos son de la clase I, de manera que se tiene que j j

fi = 1 = j = PI . (3) i=1

i=1

Por lo tanto, la ecuaci´ on (2) puede escribirse como F = 3(n − j − 1) +

j


fi

(4)

i=1

Esta ecuaci´on, (4), es la versi´ on mas conocida del criterio de Kutzbach-Gr¨ ubler en el campo de la rob´ otica. Ahora es posible considerar dos casos especiales. 1. Cadena cinem´ atica cerrada de un lazo u ´ nico. En este caso, el n´ umero de eslabones, n, es igual al n´ umero de pares cinem´aticos, j, es decir n = j. 1

Por lo tanto, la ecuaci´ on (4) se reduce a F = 3(n − n − 1) +

j


fi =

i=1

j


fi − 3.

(5)

i=1

2. Cadena serial, abierta. En este caso, el n´ umero de eslabones, n, es mayor en uno al n´ umero de pares cinem´aticos, j, es decir n = j + 1,

o j = n − 1.

Por lo tanto, la ecuaci´ on (4) se reduce a F = 3{n − (n − 1) − 1} +

j
i=1

fi =

j


fi .

(6)

i=1

Estas dos u ´ timas ecuaciones, (5, 6), son las versiones especiales del criterio de movilidad de Kutzbach-Gr¨ ubler para los casos particulares indicados. Debe tenerse en cuenta que estas nuevas versiones adolecen de los mismos defectos que la ecuaci´on original. Es decir, es relativamente f´ acil encontrar ejemplos de mecanismos y manipuladores paralelos cuya movilidad no puede calcularse de manera correcta mediante cualquiera de esas ecuaciones.

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