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• Raúl Alejandro Pérez Buelot

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Principio

C A P Í T U L O

3. Conducción en régimen transitorio 3.1 Introducción Una condición fundamental de la conducción del calor en régimen estacionario es la existencia de un equilibrio termodinámico que conserve las temperaturas estables en cada punto del cerramiento. El comportamiento térmico de los cerramiento en situaciones reales se caracteriza por las variación de las condiciones del entorno, siendo frecuente la modificación de las características del ambiente interior al variar la carga térmica interna o la puesta en funcionamiento de sistemas de climatización. Aún mas frecuente es la variación de las condiciones ambientales exteriores, con ciclos diarios de modificación de las temperaturas exteriores y el soleamiento, o con alteraciones rápidas y aleatorias de las condiciones de viento y de nubosidad. La consecuencia de la variación de las condiciones del ambiente provoca que el cerramiento casi nunca esté en equilibrio, sino que esté sometido a procesos variables de aumento o disminución de temperatura, con acumulación o disipación de calor en su seno debido a la propiedad física de su masa denominada calor específico γ . El resultado es que, al proceso de transmisión de calor a través del cerramiento se añade un proceso de acumulación, ambos variables en el tiempo, que se denomina conducción en régimen transitorio y una de sus consecuencias es el fenómeno de la inercia térmica.

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Comportamiento térmico de cerramientos soleados

3.1.1 Ecuación general de la conducción El problema general de la conducción de calor en un cerramiento consiste en determinar su temperatura para cada punto y cada instante, partiendo de una temperatura inicial y de las condiciones del entorno conocidas, basándonos en sus características geométricas y sus propiedades físicas. La ecuación de la conducción es una expresión matemática de la conservación de la energía en una sustancia sólida, y se obtiene realizando un balance de la energía en un elemento de volumen de material que intercambia calor por conducción por la superficies en contacto con el medio adyacente y acumula calor en su masa. No se ha considerado en este trabajo la posibilidad que se pueda generar energía dentro del material por otras causas. La transmisión de calor por conducción Qc, por unidad de tiempo y superficie, está relacionada con la distribución de temperaturas mediante la ley de Fourier: Qc = −λ

Ec. 3.1

dT dx

[W/m2]

La acumulación de calor qa por unidad de masa M está en relación directa con el incremento de temperatura del material y la propiedad física denominada calor específico γ [J/Kg ºK], definida como la cantidad de energía necesaria para incrementar 1ºK una masa de 1Kg, según la siguiente relación: q a = γ ⋅ M ⋅ ∆T

Ec. 3.2

[J]

T ∆x

Tt+∆t Tt

Qa Qx Qx+∆x

x

x+∆x

Fig. 3.1 Conducción y acumulación de calor en una rodaja finita de espesor ∆x

Es conveniente derivar esta ecuación para compatibilizarla con la Ley de Fourier, considerando que la masa depende de la densidad D [Kg/m3], que el volumen se puede expresar como el área A del cerramiento por el espesor ∆x de la capa considerada, determinando el flujo de acumulación Qa en función de la velocidad de la variación de la temperatura:

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Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio Qa =

Ec. 3.3

qa dT = γ ⋅ D ⋅ ∆x A⋅t dt

[W/m2 ºK]

Si consideramos una capa de espesor ∆x, se verificará que el flujo de calor que penetra por la cara (x) es igual al calor que sale por la cara (x+∆x) mas el calor acumulado en la masa de espesor ∆x, de forma que se conserve la cantidad de energía: Ec. 3.4

−λ

∂Tx ∂T ∂T = − λ x + ∆x + γ ⋅ D ⋅ ∆x ∂x ∂x ∂t

Ordenando la ecuación y dividiendo por γ D∆ ∆ x se obtiene:

Ec. 3.5

∂Tx + ∆x ∂Tx − λ ∂x ∂x = ∂T γ ⋅D ∂t ∆x

Cuando se toma el límite ∆x→0, se obtiene por definición la segunda derivada de la temperatura respecto a x, con la siguiente expresión: λ ∂ 2 T ∂T = γ ⋅ D ∂x 2 ∂t

Ec. 3.6

El primer termino es una constante que depende de las propiedades físicas del material, y se denomina difusividad térmica α y cuya magnitud es de [m2/s], con lo que la anterior ecuación se suele presentar como: Difusividad: α =

Ec. 3.7

Ec. 3.8

α

y por consiguiente:

λ γ ⋅D ∂ 2T ∂x

2

=

∂T ∂t

Esta ecuación no es general dado que se deducido de una transmisión de calor unidireccional. Si se considera un volumen cualquiera dV= dx•dy•dz, y se parte de la hipótesis que los flujos de calor puedan tener cualquier dirección, siguiendo un procedimiento similar, obtendríamos la ecuación general de la conducción del calor: Ec. 3.9

 ∂ 2T

T = f(x, y, z) → α 

 ∂x 2

+

∂ 2T ∂y 2

+

∂ 2 T  ∂T  = ∂z 2  ∂t

Si la temperatura del material no es función del tiempo, es decir, está en régimen estacionario, se anula el segundo término de la ecuación, y obtendremos una expresión adecuada para el análisis de las temperaturas de cualquier sólido tridimensional, y que se denomina ecuación de Laplace: Ec. 3.10

∂T = 0→ ∂t

 ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T   2 + 2 + 2  = ∇ 2 T = 0 ∂y ∂z   ∂x

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Comportamiento térmico de cerramientos soleados

Si simplificamos más las condiciones y el flujo solo es posible en la dirección x, es decir, en régimen estacionario unidireccinal, obtendremos una expresión diferencial cuya solución con las condiciones de contorno es idéntica a las de estimación de la temperatura interior en régimen estacionario: Ec. 3.11

T = f(x) →

∂ 2T ∂x 2

=0

3.2 Métodos analíticos de calculo Para determinar la distribución de temperaturas en régimen transitorio y, finalmente, la transferencia de calor por unidad de tiempo, necesitamos resolver la ecuación general de la conducción, en la cual se considera la transmisión y la acumulación del calor. La resolución de la anterior ecuación diferencial en derivadas parciales de 2º orden y averiguar una solución general exige unas técnicas matemáticas muy avanzadas, y ello siempre que se pueda acotar las condiciones espaciales y temporales. Se disponen de numerosas referencias que aportan soluciones específicas a la ecuación general de la conductividad, basándose en condiciones muy concretas. En otras ocasiones se proponen hipótesis simplificadoras, algunas de las cuales pueden provocar errores que se acotan. Por ultimo, existen fórmulas basadas en series de ecuaciones, que se pueden resolver por cálculo iterativo, o con soluciones tabluladas. En general, algunas de estas ecuaciones pueden ser de aplicación para la solución de casos muy específicos en la transmisión de calor en sólidos, aunque no son lo suficientemente generales para resolver los casos reales de la mayoría de los cerramientos de edificios. Por consiguiente, los casos siguientes se presentan para dar una visión amplia y analítica de determinados problemas físicos que tienen una solución teórica exacta.

3.2.1 Conducción transitoria sin resistencia interna Un procedimiento para simplificar la solución es considerar que el sólido pueda variar su temperatura, pero que todo su interior se encuentre a la misma temperatura, debido a que su resistencia interna sea nula o despreciable, por ser substancias muy conductoras, como los metales, o el caso de recipientes conteniendo líquidos con convección que homogenice su temperatura. Se supone que el flujo de calor transmitido por su superficie es aportado por el calor acumulado, y que dicho flujo está limitado por una resistencia superficial 1/h, generalmente proporcionada por la convección de un fluido que lo rodea a temperatura constante T∞ . Para comprobar que la resistencia interior es despreciable se recurre a un coeficiente adimensional denominado número de Biot Bi, que relaciona la resistencia superficial con la resistencia interna, y cuyo valor debe ser muy inferior a la unidad. En este caso se conoce que si Bi