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Flujo Interno : Consideraciones Generales Capitulo 8 Secciones 8.1 a la 8.3

CONDICIONES DE ENTRADA • Se debe distinguir entre región de entrada y región completamente desarrollada. • Efectos Hidrodinámicos : Asumiendo flujo laminar con perfil de velocidad uniforme a la entrada de un tubo circular.

– Capa límite de velocidad se desarrolla sobre la superficie del tubo y crece cuando x aumenta. – Región no viscosa que se contrae a medida que la capa límite crece.  La velocidad en el centro cambio cuando x aumenta?

Si sí, cómo cambia?

– Luego las capas limites confluyen en el centro, el perfil de velocidad se vueve parabólico e invariante con x. Se dice que el flujo esta completamente desarrollado hidrodinamicamente.  Cómo el perfil de velocidad de un flujo completamente desarrollado en regimen laminar difiere para flujo turbulento?

• Efectos Térmicos : Asumamos en la entrada de un tubo circular una temperatura uniforme T r ,0  Ti , además que el flujo es laminar, con las paredes a temperatura " Ts  Ti , o flux de calor qs , constantes.

– La capa límite térmica se desarrolla sobre la superficie del tubo y crece cuando x crece. – El núcleo isotérmico se angosta a medida que la capa límite termica crece. – Luego las capas límites fusionan, la forma del perfil de temperature adimensional se hace independiente de x. Se dice entonces que el perfil de Ts y qs" temperatura esta completamente desarrollado  El perfil de temperatura es invariante con x en una región completamente desarrollada térmicamente?

 Para temperatura superficial constante, que puede decirse acerca del cambio en el perfil de temperatura cuando x aumenta?  Para flux de calor superficial uniforme, que puede decirse acerca del cambio en el perfil de temperatura cuando x aumenta?  Cómo los perfiles de temperatura difieren para flujos laminares y turbulentos?

VELOCIDAD Y TEMPERATURA MEDIA • Ausencia de condiciones de flujo externo bien definidas, como en flujos externos, y por tanto de velocidad de referencia u y/o temperatura de referencia T. Implicó  esto la necesidad de utilizar velocidades u m y temperaturas medias Tm . • La velocidad media se obtiene a partir de del flujo másico:

m   ur , x dAc Ac

o,

m  um Ac Luego,

um 

1 Ac

 ur , x dA Ac

c

Para flujo incompresible en un tubo circular de radio, r0

2 um  2 r0

 ur , x rdr r0

0

• Relación entre la temperatura media y la energia térmica transportada asociada con el flujo a través de la sección transversal:

E t  Luego,

Tm



Ac

 

Ac

 u  x , r c v T  x , r dA c  u x , r c v T  x , r dA c m c v

• Para flujo incompresible, propiedades constantes en un tubo circular,

2 Tm  u m r02

 u x , r T x , r rdr r0

0

• Ley de Newton de Enfriamiento para el Flux de Calor Local :

q s"  h Ts  T m  Cual es la diferencia fundamental entre Tm para flujo interno y T para flujo externo?

LONGITUD DE ENTRADA HIDRODINÁMICA Y TÉRMICA • La Longitud de Entrada depende de si el flujo es laminar o turbulento, el cual a su vez, depende del número de Reynolds.

ReD 

um Dh 

El diametro hidráulico se define como

Dh 

4 Ac P

en este caso,

ReD 

um Dh 4m   P

Para un tubo circular,

ReD 

um Dh 4m   D

– Decimos que la turbulencia se da cuando el numero de Reynolds crítico es

Re D ,c  2300 – Condiciones completamente turbulentas si

Re D ,c  10.000 • Longitud de Entrada Hidrodinámica Laminar Flow: x fd ,h / D   0,05 Re D Turbulent Flow: 10  x fd ,h / D   60 • Longitud de Entrada Térmica Laminar Flow: x fd ,t / D   0,05 Re D Pr Turbulent Flow: 10  x fd ,t / D   60

• Para flujo laminar, cómo son las longitudes de entrada hidrodinámica y térmica para un gas? Un aceite? Un metal líquido?

CONDICIONES COMPLETAMENTE DESARROLLADAS • Suponiendo flujo estable y propiedades constantes, las condiciones hidrodinámicas, incluido el perfil de velocidad, son invariantes en la región completamente desarrollada. Qué podemos decir sobre la variación de la velocidad media con la distancia desde la entrada al tubo para estado estable y propiedades constantes del flujo? • La caida de presión puede ser determinada a partir del conocimiento del factor de fricción f, donde,

f 

dp / dx D um2 / 2

Flujo laminar en tubos circulares:

f 

64 Re D

Flujo turbulento en tubos circulares lisos:

f  0,790 ln Re D  1,64

2

Flujo Turbulento en tubos circulares rugosos:

Caida de presión para flujos completamente desarrollados entre x1 y x2:

 u m2 x 2  x 1   P  p1  p 2  f 2D

y los requerimientos de potencia  P m Pot   P  



• Requerimientos para que se den condiciones térmicas completamente desarrolladas :   Ts  x   T  x, r     0 x  Ts x   Tm  x   fd ,t

• Efecto sobre el coeficiente local de convección :  T r r  r0   Ts  T      f x  x  Ts  Tm  r  r Ts  Tm 0

Luego, asumiendo propiedades constantes, qs" / k h   f x  Ts  Tm k

h  f x 

En flujos desarrollados térmicamente h es independiente de x

Variación de h en las regiones de entrada y completamente desarrollada:

DETERMINACIÓN DE LA TEMPERATURA MEDIA • Determinación de Tm(x) es esencial en el analisis de flujos internos. Su determinación comienza con un balance de energía para un elemento diferencial de volume.

 dcvTm  pv  m  c pdTm dqconv  m Porqué la segunda igualdad de la expresión anterior se considera cómo una aproximación? Integrando entre la entrada y la salida del tubo,

 c p Tm,o Tm,i  qconv  m

(1)

La ecuación diferencial que permite obtener Tm(x) se saca al realizar la siguente sustitución dqconv  qs" ( Pdx)  hTs  Tm Pdx dTm q "s P P   hTs  Tm  dx m c p m c p

(2)

• Caso especial: Flux de Calor Superficial Constante dTm q"s P   f  x  cp dx m Tm  x  Tm,i

qs" P  x  cp m

Por qué la temperatura superficial varia con x como lo muestra la figura? En principio, qué valor de Ts asumir en x=0? Tasa total de transferencia de calor:

qconv  qs" ( PL)

• Caso Especial : Temperatura de la Superficie Constante De la Eq. (2), con T Ts Tm dT m d T  P   hT dx dx m c p

 To PL ln  hL Ti m c p

(3)

Integrando de x=0 hasta cualquier posición corriente abajo,  Px  T s  Tm  x    exp  hx    Ts  Tm , i  m c p 

1 x hx dx  0 x Condiciones Globales:  h As  PL  To Ts  Tm ,o     exp  h  exp     m c Ti Ts  Tm ,i p  m c p   hx 

q conv  h PLT

y

   

q conv  m c p Ts  Tm ,i   Ts  Tm ,o    m c p To  Ti 

Reemplazando (3) en (4): qconv  hL PL

To  Ti ln To / Ti 

con

Tlm 

T0  Ti ln To / Ti 

(5)

• Caso Especial: Temperature del Fluido Externo Uniforme

 PL   To T  Tm ,o 1     exp  U  exp   m c   m c R Ti T  Tm ,i p p tot   

q  U As Tlm 

   

Tlm Rtot

ΔTlm Es la misma Eq. (5) solo que Ts es reemplazado por T∞ y h por U

Estimar la temperatura del agua que sale de un tubo de pared delgada calentado por las paredes y el aire de un horno. Los coeficientes convectivo interno y externo se conocen.

Too = 700 K ho = 50 W/m2-K

Too

Air

qcv,o

Tt

qrad

Tfur = 700 K

Water

.

Tfur = Too

Rcv,o

Rrad

Tt Rcv,i

m = 5 kg/s

D = 0.25 m, L = 8 m,  = 1

Tm,i = 300 K

Tm,o

SE CONOCE: Agua a una temperatura y flujos másicos dados entra a un tubo negro y delgado de 0.25 m de diámetro y 8 m de longitud, el cual pasa a través de un horno largo. La temperatura de las paredes del horno y del aire son Tfur = T = 700 K. El coeficiente convectivo para el flujo interno de agua y externo de aire caliente son 300 W/m2 K and 50 W/m2 K, × respectivamente.

ENCONTRAR: La temperatura de salida del agua, Tm,o

ESQUEMA: Too = 700 K ho = 50 W/m2-K

Too

Air

Tt

qcv,o

qrad

Tfur = 700 K

Water

Tfur = Too

Rcv,o

Rrad

Tt

.

Rcv,i

m = 5 kg/s

D = 0.25 m, L = 8 m,  = 1

Tm,o

Tm,i = 300 K

SUPOSICIONES: (1) Estado estable; (2) El tubo es un objeto pequeño dentro de un medio grande e isotérmico; (3) El aire del horno y las paredes están a la misma temperatura; (4) Tubo delgado con paredes negras

PROPIEDADES: Tabla A.6, Agua: cp= 4180 J/kg K

ANALISIS: El coeficiente linealizado de radiación puede calcularse utilizando la ec. 1.9 con =1



hrad   Tt  T fur  Tt 2  T fur2



Donde Tt representa la temperatura superficial promedio de la pared del tubo. Este puede estimarse a partir de un balance de energía en el tubo. Como se ve en el circuito térmico, el balance de energía puede ser expresado como

T

fur

 1 1  Tt    Rcv ,o Rrad

 R *R T fur * Rcv ,i  Tm  rad cv ,o  Rcv ,o  Rrad Tt   R *R   Rcv ,i  rad cv ,o   Rcv ,o  Rrad  

 Tt  Tm   Rcv ,i 

Las resistencias térmicas son: Rcv ,i 

1 hi

Rcv ,o 

1 ho

Rrad 

1 hrad

   

Y la temperatura media del agua se puede aproximar como:

Tm 

1 Tm ,i  Tm ,o  2

La temperatura de salida del agua puede ser determinada a partir de la ec. 8.46b con Tfur = T

T  Tm ,o T  Tm ,i

 1  exp   m c R p tot 

   

Donde,

Rtot  Rcv , i 

1 1 / Rcv ,o  1 / Rrad

Con,

Rcv ,i  3,33 10 3 K / W ; Rcv ,o  2,00  10 2 K / W ;

Rrad  2,35  10 2 K / W

Se sigue que,

Tm  331 K ;

Tt  418 K ;

Tm ,o  362 K