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• Eduardo Rafael Julca

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CALCULO DEL FLUJO CRITICO

INTRODUCCION

Desde hace por lo menos 5000 años el hombre ha inventado y construido obras para el aprovechamiento del agua; entre las más antiguas están los CANALES, usados para llevar el agua de un lugar a otro. Un canal es un cauce artificial o natural de forma adecuada que sirve para conducir el agua que podrá ser empleada en el consumo humano, en riego, en la generación de energía eléctrica, etc. El agua se mueve por la acción de la gravedad, lo que implica que el canal debe tener un declive en el sentido del avance de la corriente. El diseño de un canal consiste básicamente en darle un tamaño tal que le permita llevar una cantidad de agua determinada. Las dimensiones dependerán del caudal a transportar, de la pendiente que se le puede dar al canal y de las características físicas, especialmente las relativas a la fricción, factores a tomar en cuenta. La maestría con que fueron resueltos todos los problemas que se les presentaron a los primeros constructores de canales, miles de años atrás, a pesar de no disponer de la base científica y de las fórmulas de diseño actuales, ha sorprendido a los historiadores. Muchos de ellos han atribuido al empirismo y la intuición el avance logrado por algunas culturas en el campo de la ingeniería hidráulica. Es decir, el desarrollo alcanzado en este tipo de obras se debería únicamente a la experiencia transmitida de generación en generación y a un genio basado en un conocimiento intuitivo de los procesos de la Naturaleza, sin ninguna concepción científica.

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OBJETIVOS 

Sentar las bases para el diseño de canales, de tal manera que cumpla con todas las condiciones para su funcionamiento eficiente.



Estudiar los diferentes tipos de flujo en un canal.



Dar a conocer las fórmulas necesarias para el cálculo de la velocidad en un canal.



Conocer los conceptos de energía específica y en qué condiciones se da el régimen crítico.



Tener presente la importancia teórica de las secciones más frecuentes de un canal, sus elementos y su función específica

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ENERGÍA ESPECÍFICA La energía específica se define como la cantidad de energía por unidad de peso, es decir la energía por kilogramo de agua que fluye a través de la sección, medida con respecto al fondo del canal. Dada la siguiente ecuación:

Donde 𝑍 = 0 (ya que el nivel de referencia es el fondo del canal) obteniéndose la ecuación de la energía especifica:

La energía específica es pues, la suma del tirante y la carga de velocidad. Como está referida al fondo del canal va a cambiar cada vez que este ascienda o descienda, en pocas palabras la energía específica depende del tirante del agua. El concepto de energía específica fue introducido por Boris A. Bakhmetteff en 1912. Mediante la energía específica se pueden resolver los más complejos problemas de transiciones cortas, en las que los efectos de rozamiento son despreciables. Si consideramos 𝛼 = 1, se tiene:

La ecuación puede también expresarse en función del gasto Q y el área de la sección transversal, que es función del tirante y (V= 𝑄 𝐴) y sustituyendo el valor de la velocidad en la ecuación de la energía específica, se tiene:

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FLUJO CRÍTICO Este tipo de flujo presenta una combinación de fuerzas inerciales y gravitacionales que lo hacen inestable, convirtiéndolo en cierta manera en un estado intermedio y cambiante entre los otros dos tipos de flujo. Debido a esto es bastante inaceptable y poco recomendable, usarlo en el diseño de estructuras hidráulicas. Para este tipo de flujo el número de Froude es igual a 1.

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FLUJO SUBCRÍTICO Son las condiciones hidráulicas que presenta el flujo, en las que los tirantes son mayores que los tirantes críticos, es decir, la altura del volumen del agua del fluido subcrítico está por encima de la altura del agua del fluido crítico. Ubicándonos en la gráfica la zona superior de la curva de energía específica corresponde al flujo subcrítico (𝑌2 > 𝑌𝑐). Las velocidades del flujo subcrítico son menores que las velocidades de fluido crítico y los números de Froude menores que 1. Es un régimen lento, tranquilo, fluvial, adecuado para canales principales o de navegación. El flujo subcrítico es más profundo con respecto al flujo supercrítico; además de tener un mayor grosor en su línea de corriente. En el flujo subcrítico la energía específica tiende a tener básicamente un carácter cinético. En el flujo subcrítico una perturbación puede moverse aguas arriba, esto significa en términos prácticos, que mecanismos o condiciones de control tales como una compuerta o una caída influyen sobre las condiciones del flujo aguas arriba del control; por ello se afirman que el flujo subcrítico está controlado por las condiciones de aguas abajo.

En este tipo de flujo se presentan pendientes bajas, velocidades bajas y profundidades altas. Está definido con las siguientes características: 𝑦 > 𝑦 ; 𝐹 < 1; 𝑉 < 𝑉𝑐 ; 𝑆 < 𝑆𝑐

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FLUJO SUPERCRÍTICO Son las condiciones hidráulicas en que se presenta el fluido, en donde los tirantes del flujo son menores que los tirantes del flujo críticos, es decir, la altura del volumen del agua del fluido supercrítico está por debajo de la altura del agua del fluido crítico. Ubicándonos en la gráfica por la zona inferior del fluido critico en la curva de energía especifica (𝑌1 < 𝑌𝑐). Las velocidades del flujo supercrítico son mayores que las velocidades del flujo crítico y los números de Froude mayores 1. Es un régimen rápido, torrencial, pero perfectamente estable, puede usarse en canales revestidos. En flujo supercrítico una perturbación solo puede viajar hacia aguas abajo; estableciendo los posibles controles únicamente del lado de aguas arriba.

En este tipo de flujo se presentan pendientes altas, velocidades altas y profundidades bajas. Está definido con las siguientes características: 𝑦 < 𝑦 ; 𝐹 > 1; 𝑉 > 𝑉𝑐 ; 𝑆 > 𝑆𝑐.

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FLUJO CRÍTICO CRITERIO PARA EL ESTADO CRÍTICO DEL FLUJO:

El estado crítico de flujo ha sido definido como la condición para la cual el número de Froude es igual a la unidad. Una definición más común es que este es el estado de flujo para el cual la energía específica es mínima para un caudal determinado. Un criterio teórico para el flujo crítico puede desarrollarse a partir de la siguiente definición: Como 𝑉 = 𝑄/𝐴, la ecuación 𝐸 = 𝑦 + 𝛼. (𝑉2/2𝑔), la cual es la ecuación para la energía específica en un canal de pendiente baja con α = 1, puede escribirse como:

Al derivar con respecto a y y al notar que Q es constante,

El diferencial de área mojada dA cerca de la superficie libre es igual a 𝑇 · 𝑑𝑦. Ahora 𝑑𝐴 /𝑑𝑦 = 𝑇, y la profundidad hidráulica es 𝐷 = 𝐴 / 𝑇; luego la anterior ecuación se convierte en:

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En el estado crítico de flujo la energía específica es mínima, o 𝑑𝐸 / 𝑑𝑦 = 0. La anterior ecuación, por consiguiente, se convierte en:

Donde: D es la profundidad hidráulica D = A / T Este es el criterio para flujo crítico, el cual establece que en el estado crítico del flujo la altura de velocidad es igual a la mitad de la profundidad hidráulica. La anterior ecuación también se escribe como:

Lo cual significa que F = 1; esta es la definición de flujo crítico.

CAUDAL CRÍTICO Es el caudal máximo para una energía específica determinada, o el caudal que se producirá con la energía específica mínima.

TIRANTE CRÍTICO Es el tirante hidráulico que existe cuando el caudal es el máximo para una energía específica determinada, o el tirante al que ocurre un caudal determinado con la energía específica mínima.

VELOCIDAD CRÍTICA La velocidad media cuando el caudal es el crítico.

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PENDIENTE CRÍTICA Es el valor particular de la pendiente del fondo del canal para la cual este conduce un caudal Q en régimen uniforme y con energía específica mínima, o sea, que en todas sus secciones se tiene el tirante crítico.

RÉGIMEN SUBCRÍTICO Son las condiciones hidráulicas en las que los tirantes son mayores que los críticos, las velocidades menores que las críticas y los números de Froude menores que 1. Es un régimen lento, tranquilo, fluvial, adecuado para canales principales o de navegación.

RÉGIMEN SUPERCRÍTICO Son las condiciones hidráulicas en las que los tirantes son menores que los críticos, las velocidades mayores que las críticas y los números de Froude mayores 1. Es un régimen rápido, torrencial, pero perfectamente estable, puede usarse en canales revestidos. Los tipos de flujo están representados en la curva de energía específica (Figura 6-1), la zona superior de la curva de energía específica corresponde al flujo subcrítico (𝑦2 > 𝑦 ) y la inferior al flujo supercrítico (𝑦1 < 𝑦𝑐 ).

CONDICIÓN PARA LA ENERGÍA ESPECÍFICA MÍNIMA (Q CONSTANTE) se tiene:

Donde: Q es constante A = f(y)

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De la primera consideración de la definición de régimen crítico, se tiene que un régimen es crítico si la energía específica es mínima, es decir si:

Derivando la ecuación con respecto al tirante e igualando a cero se tiene:

En la Figura se observa la interpretación del término 𝑑𝐴 /dy:

El elemento de área dA cerca de la superficie libre es igual a T·dy, es decir:

Sustituyendo la ecuación , resulta:

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RELACIONES ENTRE LOS PARÁMETROS PARA UN RÉGIMEN CRÍTICO Las condiciones teóricas en que se desarrolla el régimen crítico están dadas por la ecuación:

Esta ecuación indica que, dada la forma de la sección en un canal y el caudal, existe un tirante crítico único y viceversa. Veamos a continuación, para las secciones más usuales, las fórmulas que relacionan los parámetros en un régimen crítico.

SECCIÓN RECTANGULAR a. Relación entre el tirante crítico y el caudal unitario:

Sustituyendo valores, se tiene:

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Se define la relación q = Q / b como “caudal unitario” o caudal por unidad de ancho, luego:

Esta ecuación permite el cálculo directo del tirante crítico en una sección rectangular. b. Relación entre la velocidad y el tirante crítico: sustituyendo Q = V·A, se tiene:

c. Relación entre la energía específica mínima y el tirante crítico: La ecuación de la energía específica:

Para las condiciones críticas, se expresa:

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d. Determinación del número de Froude:

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SECCIÓN TRIANGULAR

a) Relación entre el tirante y el caudal: Sustituyendo valores se obtiene que:

Esta ecuación permite el cálculo directo del tirante crítico en una sección triangular. b) Relación entre la velocidad y el tirante crítico: sustituyendo la ecuación de continuidad, resulta:

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c) Relación entre la energía especifica mínima y el tirante crítico: se tiene:

Sustituyendo este valor se obtiene:

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SECCIÓN TRAPEZOIDAL

a) Relación entre el tirante y el caudal: Sustituyendo valores en la ecuación:

Como se observa , se tiene una ecuación en función de yc, es decir:

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b.- Relación entre la energía especifica mínima y el tirante crítico: Si expresamos el área del trapecio para las condiciones críticas de la siguiente manera:

Reemplazando en la ecuación:

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CÁLCULO DEL FLUJO CRÍTICO El cálculo del flujo crítico comprende la determinación de la profundidad crítica y la velocidad cuando se conocen el caudal y la sección de canal. A continuación, se dan diferentes métodos para la resolución. Por otro lado, si se conocen la profundidad crítica y la sección del canal puede determinarse el caudal crítico por el método descrito en las ecuaciones anteriores.

MÉTODO ALGEBRAICO Para una sección geométrica simple de canal, el flujo crítico puede determinarse mediante un cálculo algebraico con las ecuaciones básicas deducidas.

MÉTODO COMPUTACIONAL se puede realizar utilizando algún proceso de métodos numéricos, como el algoritmo de Newton-Raphson o el método de secante. Puede usarse la versión 3.0 de Hcanales que permite calcular:

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN Ejercicio 1: Un canal trapezoidal tiene un ancho de solera b=1 m, talud Z=1 y tiene que conducir un caudal de 3 m3/s. calcular el tirante crítico, la energía especifica

DATOS Q = 3 m3/s N = 0.015 Z=1 B=1m

Calculo de la 𝑬𝒎𝒊𝒏 :

Calculo de tirante crítico: Utilizando el nomograma de Ven Te Chow. 𝑄 3 Z= = =0.9578 √𝑔

√9.81 𝑍

0.9578

Ahora = = 0.9578 𝑏2.5 12.5 Con este valor y con el talud Z=1 nos vamos al nomograma y obtenemos que: 𝑦𝑐 = 0.76 𝑏 𝑦𝑐 = 0.76 ∗ 1 𝒚𝒄 = 𝟎. 𝟕𝟔 𝒎

De la Ec.3a se tiene: 𝑦𝑐 =

4T ∗𝐸 5T+b

Dónde: T= b + 2*Y*Z = 1 + 2*0.76*1=2.52 m Reemplazando en la Ec.3a, resulta: E min= 1.025 m kg/k 20

SALTO HIDRAULICO El salto hidráulico es un fenómeno que se presenta exclusivamente en canales, cuando un flujo de agua que viaja a régimen supercrítico choca o alcanza a una masa de agua que fluye en régimen subcrítico. Para que el salto hidráulico realmente se produzca, es necesario que los dos tirantes conjugados que lo acompañan (menor y mayor), sean diferentes del crítico, el cual va siempre acompañado por un aumento súbito del tirante y una pérdida de energía bastante considerable (disipada principalmente como calor), en un tramo relativamente corto Además, el salto debe ser estable, con lo cual las fuerzas que lo acompañan deben estar en equilibrio y debe conservarse el momento de una sección a otra (también conocida como “FUERZA ESPECIFICA”). El salto hidráulico tiene como utilidad los siguientes puntos: 

Sirve para aumentar el nivel del agua sobre el lado aguas abajo y mantener alto ese nivel para un canal de riego.



Disipador de energía, protegiendo de la erosión a la parte del canal que se encuentra agua abajo.

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Generalmente, el resalto se forma cuando en una corriente rápida existe algún obstáculo o un cambio brusco de pendiente. Esto sucede al pie de estructuras hidráulicas tales como vertederos de demasías, rápidas, salidas de compuertas con descarga por el fondo, etc., lo que se muestra

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En un resalto como el que se muestra en la Figura se pueden realizar las siguientes observaciones:

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Antes del resalto, cuando el agua escurre todavía en régimen rápido, predomina la energía cinética de la corriente, parte de la cual se transforma en calor (pérdida de energía útil) y parte en energía potencial (incremento del tirante); siendo esta la que predomina, después de efectuado el fenómeno. En la figura, las secciones (1) y (2) marcan esquemáticamente el principio y el final del resalto. Los tirantes y1 y y2 con que escurre el agua antes y después del mismo se llaman tirantes conjugados. donde: y2 = tirante conjugado mayor y1 = tirante conjugado menor La diferencia: y2 – y1 es la altura del resalto y L su longitud; existen muchos criterios para encontrar este último valor. E1 es la energía específica antes del resalto y E2 la que posee la corriente después de él. Se observa que en (2) la energía específica es menor que en (1) debido a las fuertes pérdidas de energía útil que el fenómeno ocasiona; esta pérdida se representa como: E1 – E2.

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Su mérito como disipador natural de energía, el resalto hidráulico tiene muchos otros usos prácticos, entre los cuales se pueden mencionar los siguientes:   



Prevención o confinamiento de la socavación aguas debajo de las estructuras hidráulicas donde es necesario disipar energía. Mezclado eficiente de fluidos o de sustancias químicas usadas en la purificación de aguas, debido a la naturaleza fuertemente turbulenta del fenómeno. Incremento del caudal descargado por una compuerta deslizante al rechazar el retroceso del agua contra la compuerta. Esto aumenta la carga efectiva y con ella el caudal. La recuperación de carga aguas debajo de un aforador y mantenimiento de un nivel alto del agua en el canal de riego o de distribución del agua.

FORMAS DE RESALTO EN CANALES CON PENDIENTE CASI HORIZONTAL

La forma de resalto hidráulico depende del número de Froude correspondiente al tirante conjugado menor: 𝐹1 = 𝑣1 /√𝑔𝑦1 . De los estudios realizados por el U.S. Bureau of Reclamation sobre el resalto hidráulico, dentro de los tanques amortiguadores como medio, para disipar la energía en descargas ya sean en vertedores o en obras de toma, y en general en estructuras terminales, se tienen los siguientes casos:

1) Si 𝐹1 está comprendido entre 1 y 1.7 se tiene un resalto ondulado, así:

Cuando el valor del numero de Froude, vale 1 el régimen es critico y no se forma el resalto hidráulico. Para valores entre 1 y 1.7 se tiene un régimen un poco menor que el subcritico, formándose ondulaciones ligeras en la superficie. Aproximadamente la velocidad 𝑣2 es 30% menor que la velocidad critica. 25

2) Si 𝐹1 esta comprendido entre 1.7 y 2.5 se tiene un resalto débil.

Es un régimen bastante uniforme, se designa por la etapa previa al resalto, sin turbulencia activa.

3) Si 𝐹1 se encuentra 2.5 y 4.5, el resultado es oscilante:

No se forma un resalto propiamente dicho, y se dice que se tiene un régimen de transición. Se recomienda, cuando se tengan números de Froude dentro de este intervalo, varias las condiciones del régimen (por ejemplo, el caudal por unidad de longitud en el vertedor), de manera que se estén fuera de un régimen de transición.

4) Si 𝐹1 se encuentra entre 4.5 y 9.0, el resalto es estable y equilibrado:

5) Si 𝐹1 es mayor que 9.0, se presenta un resalto fuerte o irregular:

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ECUACION DEL RESALTO HIDRAULICO PARA DIFERENTES FORMAS DE SECCION

RECTANGULAR RÉGIMEN SÚPER CRITICO

𝑦2 + 𝑦1 −

𝑦2 = −

𝑦2 = − 𝑦2 𝑦1

2𝑞2 𝑔𝑦1

=0

𝑦1 2𝑞 2 𝑦1 2 +√ + 2 𝑔𝑦1 4

𝑦1 2𝑣 2 𝑦1 𝑦1 2 +√ + 2 𝑔𝑦1 4

1

= 2 [√8𝐹12 + 1 − 1] (tirante del conjugado mayor de resalto) conocido el tirante menor y el número de froud

RECTANGULAR RÉGIMEN SUBCRITICO

𝑦1 = − 𝑦1 𝑦2

𝑦2 2𝑞2 𝑦2 2 +√ + 2 𝑔𝑦2 4

1

= 2 [√8𝐹22 + 1 − 1] (tirante del conjugado menor de resalto) conocido el tirante mayor y el número de froud

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TRAPEZOIDAL REGIMEN SUPERCRITICO 5𝑡 + 2 3 (3𝑡 + 2)(𝑡 + 1) 2 𝑡2 𝐽 + 𝐽 + 𝐽 + [ + (𝑡 − 6𝑟)(𝑡 + 1] 𝐽 − 6𝑟(𝑡 + 1)2 = 0 2 2 2 4

La ecuacion es de 4to grado, con la raiz real positiva, que permite calcular el tirante conjugado mayor, conocidos: a) El tirante conjugado menor, 𝑦1 b) 𝑟 = c) 𝑡 =

𝑣1 2 2𝑔𝑦1 𝑏 𝑍𝑦1

TRAPEZOIDAL REGIMEN SUBCRITICO

𝐴1 𝐴2 𝐾2 𝑦2 − 𝐴21 𝐾1 𝑦1 −

𝑄 2 𝐴2 − 𝐴1 [ ]=0 𝑔 𝐴2

5 3 5 3 𝐽4 + ( 𝑡 + 1) 𝐽3 + ( 𝑡 2 + 𝑡 + 1) 𝐽2 − [6𝑟(𝑡 + 1) − ( 𝑡 + 1) 𝑡] 𝐽 − 6𝑟(𝑡 + 1)2 = 0 3 2 3 2 𝐽=

𝑦1 𝑣2 2 𝑏 𝑍1 + 𝑍2 ;𝑟 = ;𝑡 = ;𝑍 = 𝑦2 2𝑔𝑦2 𝑍𝑦2 2

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CIRCULAR REGIMEN SUPERCRITICO

CIRCULAR REGIMEN SUBCRITICO

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PARABOLICA REGIMEN SUPERCRITICO

PARABOLICA REGIMEN SUPERCRITICO

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UBICACIÓN DEL RESALTO HIDRAULICO Un aspecto importante en este tipo de problemas es cuidar la estabilidad del resalto y su formación en el sitio deseado, ya que generalmente es utilizado como disipador de energía. Después que se produce el resalto hidráulico, se tiene un flujo subcritico, por lo cual cualquier singularidad causa efectos hacia aguas arriba, lo que obliga a que una vez ocurrido el resalto hidráulico, se tenga el tirante normal 𝑦𝑛 .

Una forma práctica de determinar la ubicación del resalto hidráulico, es con el siguiente proceso: 1. A partir del 𝑦1 (tirante normal del tramo de mayor pendiente), calcular el conjugado mayor 𝑦2 . 2. Comparar 𝑦2 con 𝑦𝑛 (tirante normal en el tramo de menor pendiente): 

Si 𝑦2 > 𝑦𝑛 el resalto es barrido y se ubica en el tramo de menor pendiente. Antes del resalto se presenta una curva M3, que une el tirante del inicio del cambio de pendiente, con el tirante conjugado menor 𝑦′1 .

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En este caso, los tirantes conjugados, son 𝑦2 = 𝑦𝑛 el resalto es claro y se inicia justo en el cambio de pendiente.

Si 𝑦2 < 𝑦𝑛 el resalto es ahogado y se ubica en el tramo de mayor pendiente. Después del resalto y antes del tirante normal se presenta una curva S1, que une el tirante conjugado mayor Si 𝑦2 del tramo con menor pendiente.

Nota: si se conociera el conjugado mayor 𝑦2 (que es el tirante normal en el tramo de menor pendiente), para determinar la ubicación del resalto hidráulico el proceso a seguir es: 1. A partir de 𝑦2 calcular el conjugado menor 𝑦1 2. Comparar 𝑦1 con el 𝑦𝑛 del tramo de mayor pendiente:  Si 𝑦1 > 𝑦𝑛 , el resalto es barrido y se ubica en el tramo de menor pendiente. Antes del resalto se presenta una curva M3, que une el tirante 𝑦𝑛 del inicio del cambio de pendiente, con el tirante conjugado menor 𝑦1 .  Si 𝑦1 = 𝑦𝑛 el resalto es claro y se inicia justo en el cambio de pendiente.  Si 𝑦1 < 𝑦𝑛 el resalto es ahogado y se ubica en el tramo de mayor pendiente. En este caso hay que recalcular los tirantes conjugados, con 𝑦1 = 𝑦𝑛 (del tramo de mayor pendiente) calcular el tirante conjugado mayor 𝑦2 . Después del resalto se presenta una curva S1 que une el 𝑦2 calculado, con el 𝑦𝑛 del tramo de menor pendiente.

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EJERCICIO 3 Por un canal rectangular de 4 𝑚 de ancho circula un caudal de agua de 20 𝑚 ⁄𝑠 , la pendiente pasa de abrupta a suave formándose un salto hidráulico. Aguas arriba del salto, el tirante es de 1.20 𝑚. Determinar:

a) Conjugado mayor (𝑦2 ) b) Las velocidades de cada tirante c) La potencia del salto hidráulico

1) Calculando la velocidad del tirante 1 𝑣1 = 𝑣1 =

𝑄 𝐴1

20 (4)(1.20)

𝒗𝟏 = 𝟒. 𝟏𝟔𝟕 𝒎⁄𝒔 2) Calculando el número de Froude en 1 𝐹𝑟1 = 𝐹𝑟1 =

𝑣1 √𝑔𝑇 𝑣1 √𝑔 𝐴 𝐵

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𝐹𝑟1 =

𝑣1 √𝑔 𝑏𝑦1 𝑏

𝐹𝑟1 =

𝐹𝑟1 =

𝑣1 √𝑔𝑦1 4.167

√(9.81)(1.20)

𝐹𝑟1 = 1.215 a) Calculando el conjugado mayor 𝑦2 = 𝑦2 =

𝑦1 (√1 + 8𝐹𝑟1 2 − 1) 2

1.20 (√1 + 8(1.215)2 − 1) 2 𝒚𝟐 = 𝟏. 𝟓𝟒𝟕 𝒎

b) Calculando la velocidad en el tirante 2 𝑣2 = 𝑣2 =

𝑄 𝐴2

20 (4)(1.547)

𝒗𝟐 = 𝟑. 𝟐𝟑𝟐 𝒎⁄𝒔 Calculando la altura del salto hidráulico ℎ𝑠 =

ℎ𝑠 =

(𝑦2 − 𝑦1 )3 4(𝑦1 )(𝑦2 )

(1.547 − 1.20)3 4(1.20)(1.547)

ℎ𝑠 = 5.626𝑋10−3 𝑚 ) Calculando la potencia del Salto hidráulico 𝑃𝑜𝑡 = 𝛾𝑄ℎ𝑠 𝑃𝑜𝑡 = (9810)(20)(5.626𝑋10−3 ) 𝑷𝒐𝒕 = 𝟏. 𝟏𝟎𝟑 𝑲𝑾𝒂𝒕𝒕𝒔 34

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