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• Maria Fabiola Leon

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Rugosidad compuesta o variable en canales Método de Horton y Einstein

Introducción El conocimiento de la hidráulica en canales es esencial para el diseño de estructuras con el fin de captar, conducir, distribuir, aplicar y evacuar un fluido, el cual generalmente es agua, para proporcionarlo de una manera adecuada. En ingeniería se considera canal a una construcción destinada al transporte de fluidos con una superficie libre, que a diferencia de las tuberías es abierta a la atmosfera. El flujo con superficie libre probablemente es el fenómeno de flujo que con más frecuencia se produce en la superficie de la tierra. Las corrientes de los ríos y las corrientes de agua de lluvia son ejemplos de lo que sucede en la naturaleza. Las situaciones inducidas por los seres humanos incluyen flujos en canales y alcantarillas y escurrimientos sobre materiales impermeables. Un canal puede ser construido de modo que tenga porciones del perímetro mojado con rugosidades distintas, lo que implica diferentes valores del coeficiente de rugosidad n para cada porción, esta variación depende de diversos factores que son necesarios conocer. En el siguiente trabajo se enuncia y demuestra uno de los métodos para conseguir dicho coeficiente de rugosidad en un canal con rugosidad compuesta, como lo es el método de Horton y Einstein.

Marco Teórico Canales Abiertos y sus propiedades Un canal abierto es un conducto en el cual el agua, fluye con una superficie libre. De acuerdo con su origen un canal puede ser natural o artificial. Canales Naturales: Influyen todos los tipos de agua que existen de manera natural en la tierra, lo cuales varían en tamaño desde pequeños arroyuelos en zonas montañosas hasta quebradas, arroyos, ríos pequeños y grandes, y estuarios de mareas. Las corrientes subterráneas que transportan agua con una superficie libre también son consideradas como canales abiertos naturales. Las propiedades hidráulicas de un canal natural por lo general son muy irregulares. En algunos casos pueden hacerse suposiciones empíricas razonablemente consistentes en las observaciones y experiencias reales, de tal modo que las condiciones de flujo en estos canales se vuelvan manejables mediante tratamiento analítico de la hidráulica teórica. Canales Artificiales: Son aquellos construidos o desarrollados mediante el esfuerzo humano: canales de navegación, canales de centrales hidroeléctricas, canales y canaletas de irrigación, cunetas de drenaje, vertederos, canales de desborde, canaletas de madera, cunetas a lo largo de carreteras etc..., así como canales de modelos de laboratorio con propósitos experimentales las propiedades hidráulicas de estos canales pueden ser controladas hasta un nivel deseado o diseñadas para cumplir unos requisitos determinados. La aplicación de las teorías hidráulicas a canales artificiales producirán, por tanto, resultados bastantes similares a las condiciones reales y, por consiguiente, son razonablemente exactos para propósitos prácticos de diseños. La canaleta es un canal de madera, de metal, de concreto de mampostería, a menudo soportado en o sobre la superficie del terreno para conducir el agua a través de un de una depresión. La alcantarilla que fluye parcialmente llena, es un canal cubierto con una longitud compartidamente corta instalado para drenar el agua a través de terraplenes de carreteras o de vías férreas. El túnel con flujo a superficie libre es un canal compartidamente largo, utilizado para conducir el agua a través de una colina o a cualquier obstrucción del terreno. Geometría de un canal: Un canal con una sección transversal invariable y una pendiente de fondo constante se conoce como canal prismático. De otra manera, el canal es no prismático; un ejemplo es un vertedero de ancho variable y alineamiento curvo. Al menos que se indique específicamente los canales descritos son prismáticos.

El trapecio es la forma más común para canales con bancas en tierra sin recubrimiento, debido a que proveen las pendientes necesarias para la estabilidad. El rectángulo y el triángulo son casos especiales del trapecio. Debido a que el rectángulo tiene lados verticales, por lo general se utiliza para canales construidos para materiales estables, como mampostería, roca, metal o madera. La sección transversal solo se utiliza para pequeñas asqueas, cunetas o a lo largo de carreteras y trabajos de laboratorio. El círculo es la sección más común para alcantarillados y alcantarillas de tamaño pequeño y mediano. Elementos Geométricos de una sección de un canal: Los elementos geométricos son propiedades de una sección de canal que pueden ser definidos por completo por la geometría de la sección y la profundidad del flujo. Estos elementos son muy importantes y se utilizan con la amplitud del flujo. Para la cual existen diferentes fórmulas: R= A/P Donde R es el radio hidráulico en relación al área mojada con respecto su perímetro mojado. El perímetro mojado es el contorno de la sección que está en contacto con el agua. D= A/T La profundidad hidráulica D es relación entre el área mojada y el ancho de la superficie. Flujo libre: El flujo libre se presenta cuando los líquidos fluyen por la acción de la gravedad y solo están parcialmente envueltos por un contorno sólido. El conducto por el cual circula agua con flujo libre se llama canal, el que puede ser cerrado o abierto. Las características generales del flujo son: 

Presenta una superficie del líquido en contacto con la atmosfera llamada superficie libre.



La superficie libre coincide con la línea piezometrica.



Cuando el fluido es agua a temperatura ambiente, el régimen d flujo es usualmente turbulento.

Velocidad Media: La velocidad media se puede determinar por medio de la fórmula de Manning

𝑣=

1 2 1 𝑅 3 S2 n

Las velocidades en los canales varían en un ámbito cuyos límites son la velocidad mínima, que no produzca depósitos de materiales sólidos en suspensión (sedimentación), y la máxima que no produzca erosión en las paredes y el fondo del canal. Las velocidades superiores a los valores máximos permisibles, modifican las rasantes y crean dificultades en el funcionamiento de las estructuras del canal. A la inversa, la sedimentación debida a velocidades muy bajas provoca problemas por embancamiento y disminución de la capacidad de conducción y origina mayores gastos de conservación. La siguiente tabla nos proporciona el rango de velocidades máximas recomendadas, en función de las características del material en el cual están alojados.

Características de los suelos

Velocidades Maximas (m/s) Canales en tierra Franca 0,60 Canales en tierra Arcillosa 0,90 Canales revestidos con piedra y mezcla 1,00 simple Canales con mampostería de piedra y 2,00 concreto Canales revestidos con Concreto 3,00 Canales en Roca: Pizarra 1,25 Areniscas consolidadas 1,50 Roca dura, granito, etc. 3a5

Coeficiente de rugosidad: En forma práctica, los valores del coeficiente de rugosidad que se usa para el diseño de canales alojados en tierra están comprendidos entre 0.025 y 0.030 y para canales revestidos de concreto se usan valores comprendidos entre 0.013 y 0.015. Factores que afectan la rugosidad de Manning: El valor de la rugosidad “n” es bastante variable y depende de factores externos los cuales son necesarios conocer para así lograr seleccionar un valor apropiado de rugosidad para las diferentes condiciones del diseño del canal. Los factores que ejercen mayor influencia sobre el coeficiente de rugosidad tanto en canales artificiales como en canales naturales son los siguientes:

















Rugosidad Superficial: se representa por el tamaño y la forma de los granos del material que forman el perímetro mojado y que producen un efecto retardador del flujo. Generalmente los granos finos dan como resultado una rugosidad relativamente baja ya que no afectan en los cambios de nivel del flujo, y cuando los granos son gruesos el valor de n es bastante alto. Vegetación: La vegetación puede considerarse como una clase de rugosidad superficial, pero esta reduce notablemente la capacidad del canal y retarda el flujo, esto depende por completo de la altura, densidad, distribución y tipo de vegetación, y es sumamente importante en el diseño de canales pequeños de drenaje. Irregularidad del canal: Las irregularidades del canal incluyen irregularidades en el perímetro mojado y variaciones en la sección transversal, tamaño y forma de esta a lo largo del canal. En canales naturales estas son producidas normalmente por presencia de barras de arena, ondas, crestas y montículos en el lecho del canal. Estas irregularidades introducen una rugosidad adicional a la causada por la irregularidad superficial. Alineamiento del canal: Curvas suaves con radios grandes producirán un valor de n relativamente bajo, en tanto curvas bruscas con meandros severos incrementaran el valor de n. Sedimentación y socavación: Generalmente la sedimentación puede cambiar a un canal bastante irregular a uno relativamente uniforme y así disminuir el valor de la rugosidad, eso dependiendo de la naturaleza del material depositado; caso contrario la socavación dependerá del material que conforma el perímetro mojado y esta puede incrementar el valor dela rugosidad. Obstrucción: La presencia de troncos, pilas de puentes y estructuras similares tienen a incrementar el valor de n. La magnitud de este aumente dependerá de la naturaleza de las obstrucciones, tamaño, forma y distribución. Nivel y caudal: en la mayor parte de las corrientes el valor de la rugosidad n disminuye con el aumento en el nivel y caudal. Cuando la profundidad es poca las irregularidades del canal quedan expuestas y sus efectos se vuelven mayores, sin embargo el valor de n en niveles altos también puede ser bastante grande. Material en suspensión: este material ya sea en movimiento o no, consumirá energía causando una pérdida de altura e incremento de la rugosidad

Canales con Rugosidad Compuesta o Variable En muchos canales artificiales y en la mayor parte de los canales naturales, la rugosidad varia a lo largo del perímetro del canal, en estos casos a veces es necesario

calcular un valor equivalente del coeficiente de rugosidad para todo el perímetro. Este coeficiente de rugosidad efectivo se emplea entonces en el cálculo de las alturas normales en todo canal. Existen varios métodos para estimar el coeficiente de rugosidad equivalente para canales naturales, artificiales y de laboratorio. Para la determinación de coeficiente de rugosidad equivalente 𝑛𝑒𝑞 en el caso de rugosidad variable en la sección transversal,cuando la sección transversal de un canal abierto está caracterizada por una rugosidad variable a lo largo del perímetro mojado, el método de cálculo de la resistencia al movimiento no puede aplicarse de manera directa. En este caso es necesario definir un coeficiente de rugosidad equivalente 𝑛𝑒𝑞 si se va a utilizar la ecuación de Manning, atribuible al perímetro mojado completo y que globalmente represente una resistencia al movimiento equivalente a aquella resistencia efectiva de distribución no uniforme. El método para asignarle el coeficiente de Manning, o de Chèzy, a un canal de paredes con rugosidad compuesta ha sido desarrollado empíricamente por diversos autores que han propuesto metodologías diferentes para el cálculo del coeficiente de resistencia equivalente; común a tales métodos es la técnica de subdivisión de la sección total en subsecciones, cada una de las cuales presenta una rugosidad constante a lo largo del tramo de perímetro mojado correspondiente. Un canal puede ser construido de modo que tenga porciones del perímetro mojado con rugosidades distintas, lo que implica diferentes valores del coeficiente de rugosidad n, para cada porción. Como ejemplo se puede mencionar el siguiente canal con fondo de concreto y paredes de piedra.

Piedra

Concreto

En este caso, para la aplicación de la fórmula de Manning se debe calcular un valor ponderado equivalente, representativo de todo el perímetro mojado de la sección. En un canal natural, el área total de flujo (A) se divide en N partes, cada una de las cuales tiene asociado un perímetro mojado Pi y un coeficiente de rugosidad Ni conocidos. En estos métodos los perímetros mojados, es decir los Pi de cada sección ficticia, no incluyen las fronteras imaginarias entre las subsecciones. Los métodos de cálculo del

coeficiente de rugosidad para este tipo de canal se basan en la ecuación de Manning para flujo uniforme. Metodo de Horton (1933) y Einstein (1934); suponen que cada parte del área hidráulica, tiene la misma velocidad media de la sección completa, es decir, 𝑉1 = 𝑉2 = … 𝑉𝑛 = 𝑉 De la fórmula de Manning, se tiene: 𝑉1 =

2 1 1 𝑅 3𝑆 2 𝑛1 1

𝑉2 =

2 1 1 3𝑆2 𝑅 𝑛2 2

→ 𝑅1 = (

3 2

𝑉1 ∗ 𝑛1

)

1

𝑆2 3 2

𝑉2 ∗ 𝑛2

→ 𝑅2 = (

)

1

𝑆2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

𝑉𝑛 =

2 1 1 3𝑆 2 𝑅 𝑛 𝑛𝑛

→ 𝑅𝑛 = (

𝑉𝑛 ∗ 𝑛𝑛 1

3 2

)

𝑆2

De otro lado 𝐴

𝑅 =𝑃 → 𝐴 =𝑅∗𝑃

…. (II)

De I y II

𝐴1 = [

𝐴2 = [

𝑉1 ∗ 𝑛1 1 𝑆2

𝑉2 ∗ 𝑛2 1

3 2

] ∗ 𝑃1 3 2

] ∗ 𝑃2

𝑆2 . . 3

𝐴𝑛 = [

𝑉𝑛 ∗𝑛𝑛 2 1

𝑆2

] ∗ 𝑃𝑛

…….(III)

…. (I)

El área total, es la suma de las áreas parciales, es decir: A= 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ 𝐴𝑛 También

([

𝑉∗𝑛 1

𝑆2

3 2

] ∗ 𝑃) = ( [

𝑉1 ∗ 𝑛1 1

3 2

] ∗ 𝑃1 ) + ([

𝑉2 ∗ 𝑛2 1

𝑆2

3 2

] ∗ 𝑃2 ) + ⋯ + ( [

𝑆2

𝑉𝑛 ∗ 𝑛𝑛 1

3 2

] ∗ 𝑃𝑛 )

𝑆2

Siendo la pendiente la misma y tomando en consideración la suposición de Horton y Einstein ( 𝑣1 = 𝑣2 = ⋯ 𝑣𝑛 = v), se tiene:

3

3

3

𝑛3/2 ∗ 𝑝 = 𝑛1 2 ∗ 𝑝1 + 𝑛2 2 ∗ 𝑝2 + ⋯ + 𝑛𝑛 2 ∗ 𝑝𝑛 De donde:

𝒏= [

𝒑𝟏 𝒏𝟏 𝟑/𝟐 +𝒑𝟐 𝒏𝟐 𝟑/𝟐 +⋯+𝒑𝒏 𝒏𝒏 𝟑/𝟐 ] 𝑷

𝟐/𝟑

…….. (IV)

O también:

𝒏=[

𝟏.𝟓 ∑𝑵 𝒊=𝟏 𝒑𝒊 𝒏𝒊

𝑷

𝟐/𝟑

]

…….. (V)

Las ecuaciones IV y V, son dos formas de representar el coeficiente de rugosidad ponderado, para toda la sección transversal, utilizando el criterio de Horton y Einstein. Problema resuelto por el método de Horton y Einstein Un canal trapezoidal cuyo ancho solera es de 1,5m, tiene un talud igual a 0,75 y está trazado por una pendiente de 0,0008. Si el canal estuviera totalmente revestido de mampostería, entonces para un caudal de 1,5 𝑚3 /𝑠 el tirante seria de 0,813m. Si el mismo canal estuviera revestido de concreto, se tendría para un caudal de 1,2𝑚3 /𝑠 un tirante de 0,607m. Calcular la velocidad que se tendría en el canal, cuando se transporta un caudal de 1,3 𝑚3 /𝑠 , si el fondo es de concreto y las paredes de mampostería. Utilizando en criterio de Horton y Einstein.

DATOS: S= 0,0008 A=(1,5+0,75Y)Y P= 1,5+ 2√1 + 0,752 𝑌 → P= 1,5 + 2,5Y

Revestimiento en mampostería: Q= 1,5 𝑚3 /𝑠 → 𝑌𝑛 = 0,813𝑚 Revestimiento en concreto: Q= 1,2 𝑚3 /𝑠 → 𝑌𝑛 = 0,607𝑚 Determinar V=? cuando Q= 1,3 𝒎𝟑 /𝒔

Parte a: Calculo de los coeficientes de rugosidad para cada tipo de revestimiento. De la ecuación de manning, se tiene:

1

𝐴5/3

𝑄 = 𝑛 ∗ 𝑝2/3 𝑆 1/2 → 𝑛 =

𝑆 1/2 𝑄

𝐴5

1/3

∗ (𝑃2 )

Sustituyendo los valores resulta: 1/3

[(1,5 + 0,75𝑦)𝑦]5 0,00081/2 𝑛= ∗( ) (1,5 + 2,5 ∗ 𝑦)2 𝑄

De esta ecuación, sustituyendo los valores conocidos obtendremos los valores de rugosidad para cada revestimiento: Mampostería 1/3

𝑛=

[(1,5 + 0,75 ∗ 0,813)0,813]5 0,00081/2 ∗( ) (1,5 + 2,5 ∗ 0,813)2 1,5

𝑛𝑚 = 0,020 Concreto 1/3

[(1,5 + 0,75 ∗ 0,607)0,607]5 0,00081/2 𝑛= ∗( ) (1,5 + 2,5 ∗ 0,607)2 1,2 𝑛𝑐 = 0,015

Parte b: Calculo de Yn para las condiciones dadas den el problema 𝑄 = 1,3𝑚3 /𝑠 , S= 0,0008 , A= (1,5+0,75y)y

De la ecuación de manning, tenemos: 𝑨𝟓/𝟑

𝑸 = 𝒏𝒑𝟐/𝟑 𝑺𝟏/𝟐 ………(I)

De la ecuación demostrada anteriormente para un n ponderado (Método de Horton y Einstein):

𝟐/𝟑

𝒑𝟏 𝒏𝟏 𝟑/𝟐 + 𝒑𝟐 𝒏𝟐 𝟑/𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒏 𝒏𝒏 𝟑/𝟐 𝒏= [ ] 𝑷

2/3

𝑝𝑚 𝑛𝑚 3/2 + 𝑝𝑐 𝑛𝑐 3/2 + 𝑝𝑚 𝑛𝑚 3/2 𝑛= [ ] 𝑃

𝑛𝑝2/3 = (2𝑝𝑚 𝑛𝑚1,5 + 𝑝𝑐 𝑛𝑐 1,5 )2/3

2/3

𝑛𝑝2/3 = (2√1 + 0,75𝑦 ∗ 0,021,5 + 1,5 ∗ 0.0151,5 )

𝒏𝒑𝟐/𝟑 = (𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟏𝒚 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟖)𝟐/𝟑 ……….(II)

Sustituyendo los valores en I y II, resulta: 1,3 =

[(1,5 + 0,75𝑦)𝑦]5/3 ∗ 0,00081/2 (0,0071𝑦 + 0,0028)2/3

De aquí 3 [(1,5 + 0,75𝑦)𝑦]5 1,3 = ( ) (0,0071𝑦 + 0,0028)2 0,00081/2

𝑓(𝑦) =

[(1,5 + 0,75𝑦)𝑦]5 = 97094,60 (0,0071𝑦 + 0,0028)2

Resolviendo por tanteo obtenemos los siguientes valores de y: Y 0,7 0,71 0,705 0,704 0,703 0,7035 0,7033 0,70335 0,703355

F(y) 94792,35 101789,18 98239,65 97542,08 96848,59 97194,83 97056,21 97090,85 97094,32

Por lo tanto y= 0,0703355m

Parte c. Cálculo de la velocidad 𝐴 = (1,5 + 0,75𝑦)𝑦 𝐴 = (1,5 + 0,75 ∗ 0,0703355)0,0703355 𝑨 = 𝟏, 𝟒𝟐𝟔𝟏𝒎𝟐 Aplicando la ecuación de continuidad se tiene que: 𝑣= 𝑣=

𝑄 𝐴

1,3 1,4261

𝒗 = 𝟎, 𝟗𝟏𝒎/𝒔

Conclusión Podemos concluir que la rugosidad presente en las paredes de canales y tuberías depende del material con el que fueron construidos, el acabado y tiempo de uso; sin duda la mayor dificultad que tiene la aplicación de la ecuación de Manning para estimar el caudal, es la determinación del coeficiente de rugosidad “n” esto debido a que no existe un método exacto para la determinación de este. Seleccionar un valor apropiado de “n” es sumamente importante ya que con este se está estimando la resistencia que tiene el flujo en un canal determinado. El método de Horton y Einsten nos da solo uno de los tantos métodos para conseguir este valor, basándose en el principio de que cada parte del área hidráulica puede ser subdividida en secciones limitadas por planos verticales que tienen la misma velocidad media que la sección completa y las pendientes de energía de las subsecciones (Soi) es igual a la pendiente de energía de la sección total (So) , proporcionando así un nueva ecuación donde podemos calcular el valor de la rugosidad en el canal sin importar que este no sea el mismo en toda su sección transversal. El valor del coeficiente de rugosidad obtenido será un valor equivalente a la rugosidad de todo perímetro mojado de la sección transversal del canal, la rugosidad en esta sección generalmente no es constante a lo largo del mismo, por lo que se tendrán distintos valores de perímetro mojado y rugosidad que serán conocidos de acuerdo a su composición en las tablas de coeficientes de rugosidad de Manning

Recomendaciones Para el diseño de un canal se debe tomar en cuenta la sección transversal del mismo (canal rectangular, trapezoidal, triangular, sección compuesta) y el caudal a manejar ya que determinara las dimensiones del mismo; El material del canal (concreto, roca, metal, madera, tierra, etc) ya que el mismo me proporcionara el valor n de Manning. Controlar las velocidades máximas y mínimas del canal de acuerdo a su material de composición para evitar la generación de sedimentos y el crecimiento de plantas acuáticas o musgos, en el caso de velocidades muy bajas y el levantamiento del revestimiento del canal o la generación de perturbaciones que alteren la funcionalidad del mismo como consecuencia de velocidades muy altas, la velocidad máxima del canal queda determinada por el criterio del ingeniero Se debe estudiar la topografía detalladamente ya que la pendiente longitudinal del canal (So) depende directamente de esta, se buscan pendientes pequeñas para mantener la mayor altura de energía posible de acuerdo al requerimiento del flujo de agua según sea el propósito del canal Estudiar el borde libre del canal de manera que se genere un margen de seguridad para prevenir desbordamientos que puedan ser causados por agentes externos que no sean involucrados en el momento del diseño