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• Arnold Baca Sanchez

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FLEXIÓN ASIMÉTRICA Hasta ahora, el estudio de la flexión pura se ha limitado a elementos que poseen por lo menos un plano de simetría y están sometidos a flexión en ese plano. Debido a la simetría de tales elementos y de sus cargas, se concluyó que éstos permanecían simétricos con respecto al plano de los pares, y que se flexionarían en dicho plano. Esto se ilustra en las figuras siguientes, la parte (a) muestra la sección transversal de un elemento con dos planos de simetría, uno vertical y otro horizontal, y la parte (b) muestra la sección transversal de un elemento con un solo plano de simetría, vertical.

En ambos casos el par actúa en el plano vertical de simetría del elemento y se representa mediante el vector horizontal M, y en los dos casos el eje neutro de la sección coincide con el eje del par.

Ahora se estudiarán casos en donde los pares de flexión no actúan en un plano de simetría del elemento, ya sea porque actúan en un plano diferente o porque el elemento carece de plano de simetría. En tales casos, no es posible suponer que el elemento se flexiona en el plano de los pares. Esto se ilustra en la siguiente figura. En cada parte de la figura, se supone que el par ejercido sobre la sección actúa en un plano vertical y se ha representado mediante un momento horizontal M.

Sin embargo, como el plano vertical no es de simetría, no puede esperarse que el elemento se flexione en ese plano o que el eje neutro de la sección coincida con el eje del par.

Se propone hallar las condiciones precisas para que el eje neutro de una sección transversal de forma arbitraria coincida con el eje del par M que representa las fuerzas que actúan en la sección. Tal sección se muestra en la figura siguiente y tanto el vector M como el eje neutro se han supuesto dirigidos a lo largo del eje z.

Recuerde, en las clases anteriores se expreso las fuerzas elementales internas 𝜎𝑥 𝑑𝐴 forman un sistema equivalente a M, se obtiene Componentes en x:

𝜎𝑥 𝑑𝐴 = 0

(1)

Momentos con respecto al eje y:

𝑧𝜎𝑥 𝑑𝐴 = 0

(2)

Momentos con respecto al eje z:

(−𝑦𝜎𝑥 𝑑𝐴) = 0

(3)

Como se analizó antes, si todos los esfuerzos están dentro del límite elástico, la primera ecuación conduce a la exigencia de que el eje neutro sea un eje centroidal, y la última, a la relación básica 𝜎𝑥 = −𝑀𝑦/𝐼 Como se había supuesto anteriormente que la sección transversal era simétrica con respecto al eje y, la ecuación (2) no se tomó en cuenta por trivial. Ahora que la sección es de forma arbitraria, la ecuación (2) se vuelve muy importante. Suponiendo que los esfuerzos permanecen dentro del límite de proporcionalidad del material, puede sustituirse 𝜎𝑥 = −𝜎𝑚 𝑦/c en la ecuación (2) y escribir

𝜎𝑚 𝑦 𝑧 − 𝑑𝐴 = 0 𝑐

o

𝑦𝑧𝑑𝐴 = 0

La integral 𝑦𝑧𝑑𝐴 representa el producto de la inercia 𝐼𝑦𝑧 de la sección transversal con respecto a los ejes y y z, y será cero si estos ejes son los ejes principales centroidales de la sección. Así es posible concluir que el eje neutro de la sección transversal coincidirá con el eje del par M que representa las fuerzas que actúan en esa sección si, y sólo si, el vector M se dirige a lo largo de uno de los ejes centroidales principales de dicha sección transversal.

Se observa que las secciones mostradas en las figuras son simétricas por lo menos con respecto a uno de los ejes coordenados.

Se deduce que, en cada caso, los ejes y y z son los ejes principales centroidales de la sección. Como el vector M se dirige a lo largo de uno de los ejes centroidales principales, se verifica que el eje neutro coincide con el eje del par. También se nota que, si las secciones transversales giran 90° (figura siguiente), el vector par M todavía estará dirigido a lo largo del eje centroidal principal, y el eje neutro coincidirá de nuevo con el eje del par, aunque en el caso (b) el par no actúa en un plano de simetría del elemento.

Por otra parte, en las figuras siguientes ninguno de los ejes coordenados es un eje de simetría de las secciones mostradas, y los ejes coordenados no son ejes principales.

Así, el vector M no se dirige según un eje centroidal principal, y el eje neutro no coincide con el eje del par.

Sin embargo, cualquier sección dada posee ejes centroidales principales, aun si es asimétrica, como la mostrada en la figura siguiente, y estos ejes pueden determinarse analíticamente o usando el círculo de Mohr

Si el vector M se dirige de acuerdo con uno de los ejes principales de la sección, el eje neutro coincidirá con el eje del par figura siguiente y las ecuaciones deducidas en las clases anteriores, para elementos simétricos, también pueden utilizarse para calcular esfuerzos en este caso.

Como se verá, el principio de superposición es útil para determinar esfuerzos en los casos más generales de flexión asimétrica. Considere primero un elemento con un plano vertical de simetría, sometido a pares flectores M y M’ que actúan en un plano que forma un ángulo u con el plano vertical, figura siguiente.

El vector M que representa las fuerzas que operan en una sección dada formará el mismo ángulo 𝜃 con el eje z horizontal véase figura siguiente

Descomponiendo M en sus componentes 𝑀𝑧 y 𝑀𝑦 a lo largo de los ejes z y y respectivamente, se tiene

𝑀𝑧 = 𝑀𝐶𝑜𝑠𝜃

𝑀𝑦 = 𝑀𝑆𝑒𝑛𝜃

Puesto que los ejes y y z son los ejes principales centroidales de la sección transversal, 𝑀𝑦 se utiliza la ecuación 𝜎𝑥 = − para determinar los esfuerzos resultantes de la 𝐼 aplicación de cualquiera de los pares representados por 𝑀𝑧 y 𝑀𝑦 .

El par 𝑀𝑧 actúa en un plano vertical y flexiona el elemento en ese plano ver siguientes figura.

Los esfuerzos resultantes son

𝜎𝑥 = −

𝑀𝑧 𝑦 𝐼𝑧

Donde 𝐼𝑧 es el momento de inercia de la sección con respecto al eje centroidal principal z. El signo negativo se debe a que se tiene compresión por encima del plano xz (y > 0) y tensión por debajo (y < 0).

Por otra parte, el par 𝑀𝑦 actúa en un plano horizontal y flexiona el miembro en ese plano ver figura siguiente.

Los esfuerzos son

𝑀𝑦 𝑧 𝜎𝑥 = + 𝐼𝑦 Donde 𝐼𝑦 es el momento de inercia de la sección con respecto al eje principal centroidal y, y donde el signo positivo se debe a que se tiene tensión a la izquierda del plano vertical xy (z > 0) y compresión a su derecha (z < 0).

La distribución de esfuerzos causada por el par original M se obtiene superponiendo la distribución de esfuerzos dados por las ecuaciones anteriores, respectivamente. Se tiene

𝑀𝑧 𝑦 𝑀𝑦 𝑧 𝜎𝑥 = − + 𝐼𝑧 𝐼𝑦 Se nota que la expresión obtenida puede usarse también para calcular los esfuerzos en una sección asimétrica, tal como la de la figura siguiente, una vez que se han determinado los ejes principales centroidales y y z.

Por otra parte, la ecuación 𝜎𝑥 = −

𝑀𝑧 𝑦 𝐼𝑧

+

𝑀𝑦 𝑧 𝐼𝑦

es válida sólo si las condiciones de

aplicabilidad del principio de superposición se cumplen.

En otras palabras, no puede utilizarse si los esfuerzos combinados exceden el límite de proporcionalidad del material, o si las deformaciones causadas por uno de los pares componentes afectan apreciablemente la distribución de esfuerzos debida a la otra. La ecuación 𝜎𝑥 = −

𝑀𝑧 𝑦 𝐼𝑧

𝑀𝑦 𝑧

+

muestra que la distribución de esfuerzos causada por

𝐼𝑦

flexión asimétrica es lineal. Sin embargo, como se indicó antes en esta sección, el eje neutro de la sección transversal no coincidirá, en general, con el eje del par flector. Como el esfuerzo normal es 0 en cualquier punto del eje neutro, la ecuación que define 𝑀𝑦 𝑧 𝑀 𝑦 ese eje puede obtenerse haciendo 𝜎𝑥 = 0 en la ecuación 𝜎𝑥 = − 𝑧 + . Se escribe 𝐼𝑧

𝐼𝑦

𝑀𝑧 𝑦 𝑀𝑦 𝑧 − + =0 𝐼𝑧 𝐼𝑦 o, resolviendo para y y sustituyendo 𝑀𝑧 y 𝑀𝑦 de las ecuaciones 𝑀𝑧 = 𝑀𝐶𝑜𝑠𝜃 , 𝑀𝑦 = 𝑀𝑆𝑒𝑛𝜃

𝑦=

𝐼𝑧 𝑇𝑎𝑛𝜃 𝑧 𝐼𝑦

La ecuación obtenida es la de una línea recta con pendiente m = (𝐼𝑧 /𝐼𝑦 )𝑇𝑎𝑛𝜃. Así, el ángulo ∅ que forma el eje neutro con el eje z, ver figura siguiente.

se define por la relación

𝑇𝑎𝑛∅ =

𝐼𝑧 𝑇𝑎𝑛𝜃 𝐼𝑦

Donde 𝜃 es el ángulo que forma el vector M con el mismo eje. Como 𝐼𝑧 e 𝐼𝑦 son positivos, ∅ y 𝜃 tienen el mismo signo. Además, note que ∅ > 𝜃 cuando 𝐼𝑧 > 𝐼𝑦 y ∅ < 𝜃 cuando 𝐼𝑧 < 𝐼𝑦 . Así, el eje neutro se localiza siempre entre el vector M y el eje principal correspondiente al mínimo momento de inercia.

BIBLIOGRAFIA a) b) c) d) e) f)

g) h) i)

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