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• Erick Hernández Chávez

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Cifras Significativas, Notación Científica

Módulo

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Cifras significativas y notación científica

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Cifras Significativas, Notación Científica

INTRODUCCIÓN La práctica científica es una actividad interdisciplinaria. Las ciencias básicas se complementan entre sí: la Física se escribe en el lenguaje dado por la Matemática y describe las interacciones fundamentales de la materia. La Química hace uso de este conocimiento para estudiar las reacciones básicas entre los elementos y esto, a su vez, se utiliza en el campo de la Biología para desarrollar el conocimiento acerca de los procesos biológicos de la materia viva. La Física es una ciencia experimental. Como tal, necesitamos hacer mediciones y encontrar patrones si queremos estudiar las interacciones entre la materia. Para esto, necesitamos saber cómo hacer medidas y como expresarlas adecuadamente en un ámbito útil para desarrollar conocimiento científico.

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Cifras Significativas, Notación Científica

Módulo 1

Cifras Significativas El hecho de que la Física sea una ciencia experimental nos indica que necesitamos hacer mediciones de fenómenos naturales para identificar patrones y construir modelos para predecir el comportamiento de dichos fenómenos. Sin embargo, sin importar qué tan sofisticado sea nuestro instrumento de medición, toda medida tiene un cierto grado de incertidumbre.

En muchas ocasiones, no vemos explícitamente la incertidumbre de una medición, sino que la encontramos implícita dentro de la cantidad medida en forma de cifras significativas. Por ejemplo, si leemos que el grosor de nuestro teléfono celular es de 7.70 mm, que tiene 3 cifras significativas, damos por entendido que las primeras dos cifras son correctas, pero la tercera es incierta. La última cifra significativa está en la posición de las centésimas, por lo que la incertidumbre sería 0.01 mm. Es importarte notar que dos cantidades con el mismo número de cifras significativas pueden tener incertidumbres diferentes. La longitud de un campo de fútbol dada como 100 m también tiene 3 cifras significativas, pero su incertidumbre es 1 m. Existen criterios para identificar las cifras significativas en una cantidad dada y determinar cuáles dígitos son relevantes y cuáles no: 1. Cualquier dígito que sea distinto de cero es significativo.

2. Los ceros que se encuentren en medio de dígitos distintos de cero también son significativos.

3. Todos los ceros que aparezcan a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos.

4. Los ceros que aparecen a la derecha del último dígito distinto de cero pueden o no ser significativos dependiendo del instrumento de medición por medio del cual se hayan determinado.

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Cifras Significativas, Notación Científica

1378 km

Este número tiene 4 cifras significativas, ya que todos sus dígitos son distintos de 0.

108 °C

Este número tiene 3 cifras significativas: dos dígitos distintos de cero y un 0 en medio de dos dígitos distintos de cero.

0.00005 m

Esta cantidad solamente tiene 1 cifra significativa, debido a que los ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no se consideran cifras significativas.

100 s

Los ceros a la derecha del 1 pueden o no ser significativos. Si el instrumento de medición tiene la precisión necesaria para determinar que estos dígitos son exactamente 0, entonces sí se consideran cifras significativas.

Podemos utilizar cantidades con incertidumbre para calcular otros números. Consecuentemente, el número calculado también será incierto. Debemos tener en mente dos reglas al momento de hacer cálculos con medidas con incertidumbre:

1. Al multiplicar o dividir números, el resultado debe tener el mismo número de cifras significativas que el factor con menos cifras significativas.

2. Cuando sumamos y restamos números, lo que importa es la ubicación del punto decimal, no el número de cifras significativas. El resultado debe tener el mismo número de cifras decimales que el factor con menos cantidad de cifras decimales.

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Cifras Significativas, Notación Científica

Multiplicación

3.33×2.7 = 0.0603 ≅ 0.060 100

y/o división

3.33×2.7 = 0.0603 ≅ 0.060 30.178100 + 2.2 − 17.52 = 14.858 ≅ 14.9

Suma y/o resta

30.178 + 2.2 − 17.52 = 14.858 ≅ 14.9

Hemos aproximado el resultado a 0.060 pues este número tiene únicamente 2 cifras significativas, al igual que 2.7, que es el factor con menor número de cifras significativas en la operación. Aproximamos el resultado a 14.9, debido a que el número con menor número de cifras decimales en la operación era 2.2, el cual contaba con una única cifra decimal.

Habrán notado que hemos tenido que redondear las respuestas de nuestras operaciones para coincidir con las reglas de operaciones para medidas con incertidumbre. Estas aproximaciones deben realizarse respetando las siguientes normas:

1. Cuando el primero de los dígitos eliminados es cinco o mayor que cinco, la cifra anterior se aumenta en una unidad. 2. Cuando el primero de los dígitos eliminados es menor que cinco, la cifra anterior se mantiene igual.

Notación Científica En Física, en ocasiones, necesitamos trabajar con cantidades extremadamente grandes o excesivamente pequeñas. En estos casos, es más conveniente escribir las cantidades usando notación científica, también llamada notación de potencias de 10. Esta notación nos ayuda a expresar las cantidades físicas en forma más compacta y a hacer énfasis en las cifras significativas.

Ejemplo de cantidad extremadamente grande: la masa de la Tierra es 5,972,000,000,000,000,000,000,000 kg. Pero esta forma de expresar esta cantidad es poco conveniente y no brinda información sobre cuáles cifras son significativas y cuáles no.

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Cifras Significativas, Notación Científica

Por lo tanto, lo que hacemos es mover el punto decimal 24 espacios a la izquierda (lo que equivale a dividir entre 1024) y, para mantener el mismo número, lo multiplicamos por 1024. Al multiplicar por y dividir entre 1024 en realidad estamos multiplicando por 1, lo que deja la cantidad invariante. Solamente la expresamos en una forma más conveniente: 5.972×1024 kg. Ahora es más fácil ver que el número tiene 4 cifras significativas.

En notación científica, se acostumbra expresar la cantidad como un número entre 1 y 10 multiplicado por la potencia adecuada de 10.

Ejemplo de cantidad excesivamente pequeña: para cantidades muy pequeñas, el punto decimal deberá moverse a la derecha (lo que equivale a multiplicar por la potencia de 10) por lo que deberemos dividir entre la misma potencia de 10 o, lo que es lo mismo, multiplicar por la misma potencia, pero negativa. Por ejemplo, para expresar el radio de un átomo de hidrógeno, 0.000000000053 m, escribimos 5.3×1011 m.

Antes de concluir, hagamos énfasis en que la diferencia entre precisión y exactitud. La exactitud se refiere a qué tanto se aproxima una medida al valor real, mientras que la precisión se refiere al tamaño de la incertidumbre en la medida. Por ejemplo, un reloj digital puede indicar que la hora es 12:22:30, es preciso pues da la hora con segundos, pero si el reloj está adelantado algunos minutos, entonces la medida no es muy exacta. Por otro lado, si un reloj análogo indica que la hora real es 12:25, y ésta es de hecho la hora, entonces el reloj análogo será más exacto, pero, si no cuenta con aguja segundera, entonces es menos preciso.

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Operaciones con potencia de base 10 Suma con potencias de base 10 con exponentes iguales

3𝑥𝑥10% + 2𝑥𝑥10% = 5𝑥𝑥10%

Suma con potencias de base 10 con exponentes diferentes

Resta con potencias de base 10 con exponentes iguales

Resta con potencias de base 10 con exponentes diferentes

Multiplicación con potencias de base 10 con exponentes iguales

Multiplicación con potencias de base 10 con exponentes diferentes

3𝑥𝑥10%% + + 2𝑥𝑥10 2𝑥𝑥10%% = = 5𝑥𝑥10 5𝑥𝑥10%% 3𝑥𝑥10 % % 3𝑥𝑥10 % + 2𝑥𝑥10 % = 5𝑥𝑥10%% 3𝑥𝑥10% + + 2𝑥𝑥10% = = 5𝑥𝑥10 5𝑥𝑥10 % % 3𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10+ + 3𝑥𝑥10% 2𝑥𝑥10 = 4𝑥𝑥10% 𝑥𝑥10 ) + (3𝑥𝑥10%

% % % + 3𝑥𝑥10% % 2𝑥𝑥10% 5𝑥𝑥10 %% % % = % % 𝑥𝑥10 %% ) + %% 4𝑥𝑥10 + 3𝑥𝑥10 = 4𝑥𝑥10 (3𝑥𝑥10 3𝑥𝑥10 ++= 2𝑥𝑥10 = 5𝑥𝑥10 =+ 400𝑥𝑥10 )+ (3𝑥𝑥10 = 403𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10 + 3𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10 𝑥𝑥10 ) +%% (3𝑥𝑥10 % % + 3𝑥𝑥10 % 2𝑥𝑥10 % 5𝑥𝑥10 % + = 4𝑥𝑥10 + + 3𝑥𝑥10 % = 4𝑥𝑥10 %𝑥𝑥10 %) + (3𝑥𝑥10%% 4𝑥𝑥10 + 3𝑥𝑥10 3𝑥𝑥10 = 4𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10 𝑥𝑥10 + 400𝑥𝑥10 % ) + (3𝑥𝑥10 % %% )%+ = %% %= %% (3𝑥𝑥10 403𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10 + ) + (3𝑥𝑥10 ) + (3𝑥𝑥10 =𝑥𝑥10 403𝑥𝑥10 == 400𝑥𝑥10 % = + 400𝑥𝑥10%%)%+ (3𝑥𝑥10%% %= 403𝑥𝑥10 % % % 400𝑥𝑥10 (3𝑥𝑥10% %= = 403𝑥𝑥10 403𝑥𝑥10 % )%+ = % 4𝑥𝑥10 + % == +400𝑥𝑥10 ) + (3𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10 + 3𝑥𝑥10 3𝑥𝑥10 = 4𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10 𝑥𝑥10 𝑥𝑥10% )) + + (3𝑥𝑥10 (3𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10+ + 3𝑥𝑥10% = 4𝑥𝑥10% 𝑥𝑥10% ) + (3𝑥𝑥10% % % % = (3𝑥𝑥10 403𝑥𝑥10 % % = 400𝑥𝑥10 400𝑥𝑥10 + 2𝑥𝑥10 (3𝑥𝑥10% % == = 1𝑥𝑥10 403𝑥𝑥10 3𝑥𝑥10% % ))−+ = 400𝑥𝑥10% ) + (3𝑥𝑥10% = 403𝑥𝑥10% 3𝑥𝑥10%% − − 2𝑥𝑥10 2𝑥𝑥10%% = = 1𝑥𝑥10 1𝑥𝑥10%% 3𝑥𝑥10 % % 3𝑥𝑥10 % − 2𝑥𝑥10 % = 1𝑥𝑥10%% 3𝑥𝑥10% − − 2𝑥𝑥10% = = 1𝑥𝑥10 1𝑥𝑥10 % % 3𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10+ − 3𝑥𝑥10% 2𝑥𝑥10 = 4𝑥𝑥10% 𝑥𝑥10 ) − (3𝑥𝑥10% % + 3𝑥𝑥10% % 2𝑥𝑥10% 1𝑥𝑥10 %% % %% = % %% 𝑥𝑥10 %% ) − %% 4𝑥𝑥10 − 3𝑥𝑥10 = 4𝑥𝑥10 (3𝑥𝑥10 3𝑥𝑥10 −−= 2𝑥𝑥10 = 1𝑥𝑥10 =+ 400𝑥𝑥10 )− (3𝑥𝑥10 = 397𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10 − 3𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10 𝑥𝑥10 ) −%% (3𝑥𝑥10 % % % % 3𝑥𝑥10 1𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10++ − 3𝑥𝑥10−%% 2𝑥𝑥10 = 4𝑥𝑥10=%%𝑥𝑥10 ) − (3𝑥𝑥10 % % 4𝑥𝑥10 − 3𝑥𝑥10 3𝑥𝑥10 = 4𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10 𝑥𝑥10 + 400𝑥𝑥10 % ) − (3𝑥𝑥10 % %% )%− = %% %= %% (3𝑥𝑥10 397𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10 − ) − (3𝑥𝑥10 == 400𝑥𝑥10 ) − (3𝑥𝑥10 =𝑥𝑥10 397𝑥𝑥10 % % % = + 400𝑥𝑥10 %)%− (3𝑥𝑥10 % %= 397𝑥𝑥10 % % % 400𝑥𝑥10 (3𝑥𝑥10% %= = 397𝑥𝑥10 397𝑥𝑥10 % )%− = % 4𝑥𝑥10 − % == ++400𝑥𝑥10 ) − (3𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10 − 3𝑥𝑥10 3𝑥𝑥10 = 4𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10 𝑥𝑥10 𝑥𝑥10% )) − − (3𝑥𝑥10 (3𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10 − 3𝑥𝑥10% = 4𝑥𝑥10% 𝑥𝑥10% ) − (3𝑥𝑥10% % % % = (3𝑥𝑥10 % % % = 397𝑥𝑥10 + = 400𝑥𝑥10 400𝑥𝑥10 −2𝑥𝑥10 (3𝑥𝑥10 397𝑥𝑥10 3𝑥𝑥10%% ))𝑥𝑥− = =6𝑥𝑥10 = 400𝑥𝑥10% ) − (3𝑥𝑥10% = 397𝑥𝑥10% 3𝑥𝑥10%% 𝑥𝑥𝑥𝑥 2𝑥𝑥10 2𝑥𝑥10%% = = 6𝑥𝑥10 6𝑥𝑥10++ 3𝑥𝑥10 % % 3𝑥𝑥10 % 𝑥𝑥 2𝑥𝑥10 % = 6𝑥𝑥10++ 3𝑥𝑥10+% 𝑥𝑥𝑥𝑥 2𝑥𝑥10 2𝑥𝑥10 = = 6𝑥𝑥10 6𝑥𝑥10 3𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10 𝑥𝑥 3𝑥𝑥10%% = 12𝑥𝑥10+2 % % +2 3𝑥𝑥10 2𝑥𝑥10 6𝑥𝑥10 ++% 𝑥𝑥𝑥𝑥 %%% = 4𝑥𝑥10 3𝑥𝑥10 12𝑥𝑥10 3𝑥𝑥10 2𝑥𝑥10 = 12𝑥𝑥10 6𝑥𝑥10++2 4𝑥𝑥10 𝑥𝑥𝑥𝑥3𝑥𝑥10 == % % + % 3𝑥𝑥10 𝑥𝑥𝑥𝑥 3𝑥𝑥10 2𝑥𝑥10 = = 12𝑥𝑥10 6𝑥𝑥10 2 4𝑥𝑥10 + % 2 4𝑥𝑥10 + 𝑥𝑥 3𝑥𝑥10% = 12𝑥𝑥102 4𝑥𝑥10 𝑥𝑥 3𝑥𝑥10 = 12𝑥𝑥10 + % 2 4𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10+ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 3𝑥𝑥10 3𝑥𝑥10% = = 12𝑥𝑥10 12𝑥𝑥102 4𝑥𝑥10+ 𝑥𝑥 3𝑥𝑥10% = 12𝑥𝑥102

4𝑥𝑥10+ ÷ 2𝑥𝑥10% = 2𝑥𝑥10%

División con potencias de base 10 con exponentes iguales

División con potencias de base 10 con exponentes diferentes

Multiplicación con potencias de base 10 con exponentes negativos



4𝑥𝑥10++ ÷ ÷ 2𝑥𝑥10 2𝑥𝑥10%% 4𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10++ ÷ 2𝑥𝑥10%% 4𝑥𝑥10++ ÷ ÷ 2𝑥𝑥10 2𝑥𝑥102% 4𝑥𝑥10 9𝑥𝑥10 ÷ 3𝑥𝑥10

+ % 4𝑥𝑥10 2𝑥𝑥10 +++ ÷ 22% 9𝑥𝑥10 3𝑥𝑥10 4𝑥𝑥10 ÷ 3𝑥𝑥10 2𝑥𝑥10 9𝑥𝑥10 ÷÷ + % + ÷ 2𝑥𝑥102 4𝑥𝑥10 9𝑥𝑥10 + ÷ 3𝑥𝑥10 2 9𝑥𝑥10+ ÷ 3𝑥𝑥102

9𝑥𝑥10

÷ 3𝑥𝑥10

= 2𝑥𝑥10 2𝑥𝑥10%% = = 2𝑥𝑥10%% = 2𝑥𝑥10 2𝑥𝑥10% = = 3𝑥𝑥104%

% 4% 2𝑥𝑥10 % 4% == 3𝑥𝑥10 = 3𝑥𝑥10 2𝑥𝑥10 = % 4% = 2𝑥𝑥10 = 3𝑥𝑥10 4% = 3𝑥𝑥104%

= 3𝑥𝑥10

9𝑥𝑥10++ ÷ 3𝑥𝑥1022 = 3𝑥𝑥104% 4% 9𝑥𝑥10 ÷ 3𝑥𝑥10 = 3𝑥𝑥10 9𝑥𝑥10+ ÷ 3𝑥𝑥102 = 3𝑥𝑥104%

4𝑥𝑥104+ 𝑥𝑥 3𝑥𝑥10% = 12𝑥𝑥104%

4+ 4𝑥𝑥104+ 3𝑥𝑥10%% 4𝑥𝑥10 𝑥𝑥𝑥𝑥 3𝑥𝑥10 4𝑥𝑥104+ 𝑥𝑥 3𝑥𝑥10%% 4+ 4𝑥𝑥104+ 3𝑥𝑥10% 4𝑥𝑥10 𝑥𝑥𝑥𝑥 3𝑥𝑥10

= = = = =

4% 12𝑥𝑥104% 12𝑥𝑥10 12𝑥𝑥104% 4% 12𝑥𝑥104% 12𝑥𝑥10

4+ % 4% 4𝑥𝑥10 4𝑥𝑥104+ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 3𝑥𝑥10 3𝑥𝑥10% = = 12𝑥𝑥10 12𝑥𝑥104% 4𝑥𝑥104+ 𝑥𝑥 3𝑥𝑥10% = 12𝑥𝑥104%

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Se suma los coeficientes 3+2, y se copia la potencia de base 10, con su respectivo exponente. (siempre que sea el mismo exponente) Se transformó el exponente en suma de potencias iguales, luego se resuelve como el caso anterior. Se restan los coeficientes 3-2, y se copia la potencia de base 10, con su respectivo exponente. (siempre que sea el mismo exponente) Se transformó el exponente en resta de potencias iguales, luego se resuelve como el caso anterior.

Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.

Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes, sean iguales o diferentes.

Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes

Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes, sean iguales o diferentes. Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes, sean iguales o diferentes, en este caso por ser signos diferentes, se restan y se copia el signo del mayor.

Cifras Significativas, Notación Científica

Conclusión Hemos aprendido que la Física es una ciencia experimental. Necesitamos hacer mediciones antes de hacer cálculo y construir modelos. Ahora ya sabemos cómo expresar dichas medidas en una forma significativa y compacta. Además, hemos aprendido los criterios que debemos seguir cuando calculamos cantidades físicas a partir de mediciones que hemos realizado.

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Cifras Significativas, Notación Científica

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Autoridades M.Sc. Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos Rector Arq. Carlos Enrique Valladares Cerezo Secretario General Dr. Alberto García González Director General de Docencia

DIVISIÓN DE EDUCACIÓN A DISTANCIA EN ENTORNOS VIRTUALES SISTEMA DE UBICACIÓN Y NIVELACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE DOCENCIA Autores Lic. Javier Alejandro Caceros Vélasquez MSc. José Chávez Roblero Dr. Carlos Sifredo Producción académica MSc. Sonia Alejandra Recinos Fernández Lcda. Madelline Cárcamo Diagramación e ilustración Lic. Edgar Armando Morales Cortez

Los contenidos de esta obra están sujetos a la licencia Reconocimiento-No Comercial-Sin Obra Derivada 4.0 Internacional de Creative Commons, por lo que se permite la copia, distribución y comunicación pública siempre y cuando se cite al autor o autores de la misma, pero no se pueden hacer usos comerciales ni obra derivada. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/.

La actualidad, exactitud, obligaciones de derechos de autor, integridad o calidad del contenido (texto, gráficos, links, acotaciones, comentarios, etc.) del presente material es responsabilidad exclusiva de su(s) autor(es). La Dirección General de Docencia y la División de Educación a Distancia en Entornos Virtuales, no asumen ninguna responsabilidad al respecto. Año 2020. 9

Cantidades Escalares y Vectoriales

Módulo

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Cantidades Escalares y Vectoriales

A

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Cantidades Escalares y Vectoriales

INTRODUCCIÓN En el campo de la Física trabajamos con dos tipos de cantidades físicas: las cantidades escalares y vectoriales. Las primeras vienen dadas únicamente por un número y su unidad, mientras que las segundas deben expresarse por medio de una cantidad, la dirección, el sentido y la unidad de medida. Los vectores, al ser entidades matemáticas más complejas que un simple número, tienen su propia forma de operarse conocida como álgebra vectorial. En esta sección examinaremos varios aspectos relacionados a estos tipos de cantidades, ya que las necesitamos para describir cantidades reales, como velocidad y fuerza, que tienen magnitud y dirección.

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Cantidades Escalares y Vectoriales

Módulo 2

Cantidades Escalares y Vectoriales Algunas cantidades físicas, tales como tiempo, temperatura, energía, entre otras, se pueden expresar claramente con un número y una unidad. A dichas cantidades se les llama cantidades escalares. Sin embargo, existe otro tipo de cantidades físicas, llamadas cantidades vectoriales, como la fuerza, la velocidad, el desplazamiento, entre otras, que se expresan por medio de su magnitud y su dirección en el espacio. Todo vector para que quede bien definido necesita tres características esenciales, estas son: magnitud, dirección y sentido. Magnitud: Es el tamaño del vector, está representado por una cantidad positiva. Dirección: Es la inclinación que posee el vector y se mide por un ángulo. Sentido: Está indicado por la punta de la flecha del vector.

Gráfica recuperada de https://www.fisic.ch/contenidos/elementos-matem%C3%A1ticos-b%C3%A1sicos/vectores/

Los vectores se denotan, usualmente, por medio de una letra mayúscula con una flecha en la parte superior y la magnitud de un vector por medio de la misma letra sin la flecha encima. Otra forma de escribir la magnitud de un vector es por medio de su signo vectorial encerrado entre barras verticales: Magnitud de La magnitud de un vector es siempre una cantidad escalar positiva. Dos vectores que tienen la misma dirección se conocen como paralelos, si tienen la misma magnitud y dirección entonces son iguales. Estas definiciones son independientes de la posición de los dos vectores en el espacio. En el caso en que dos vectores tengan la misma magnitud, pero direcciones exactamente opuestas, entonces y dos vectores antiparalelos, decimos que decimos que son antiparalelos; sean . 3

Cantidades Escalares y Vectoriales

Operaciones con Vectores Como mencionamos al inicio, los vectores son entidades matemáticas diferentes a los números normales, por lo que necesitamos aprender cómo operarlos adecuadamente.

B

A

A

B

Suma y resta de vectores Sumar o restar cantidades vectoriales requiere un proceso geométrico y no es lo mismo que sumar o restar cantidades escalares como 2 + 2 = 4. Si queremos sumar dos vectores , debemos dibujar la cola del segundo vector en la punta del primer vector y el vector suma, o resultante, será el vector que se dibuja desde la cola del primero hasta la punta del segundo.

Los vectores componentes de A.

y

A

A y

0

0

x

Ax

, podemos determinarla si Si buscamos encontrar la resta entre los vectores reescribimos y reducimos el problema a sumar y el vector antiparalelo a . Otra operación que se puede realizar sobre un vector es su multiplicación con un escalar. donde c es cualquier número. El efecto que provoca esta Es decir podemos calcular multiplicación sobre el vector es, aumentar su magnitud c veces. Es decir, el vector tiene una magnitud igual al doble de la magnitud del vector pero ambos tienen la misma dirección y sentido. En el caso de que c sea un escalar negativo, entonces tiene la dirección opuesta a . Por ejemplo, tiene una magnitud igual al triple de la magnitud de y tiene, además, la dirección opuesta. 4

Cantidades Escalares y Vectoriales

Las componentes de un vector Un vector también puede expresarse en términos de sus componentes sobre los ejes cartesianos. Dado un vector , sus componentes son las proyecciones de dicho vector sobre los ejes y se denotan en la forma .

Podemos determinar las componentes de un vector si conocemos su magnitud y su dirección a partir de las funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo:

Donde θ es el ángulo que se forma entre el vector y el eje horizontal positivo. De la misma forma, podemos determinar la magnitud y dirección del vector, si conocemos sus componentes haciendo uso del teorema de Pitágoras.

La suma y resta de vectores, así como la multiplicación de un vector por un escalar, pueden escribirse en términos de componentes:

Ejemplo de suma y resta: Sean los vectores A= (3,4) & B= (2,-1) Calcular:

a) A+B= ((3+2),(4-1))=(5,3) b) A-B= (3-2),(4-(-1)= (1,5) Otro ejemplo: c) 2A – 3B.

Solución: Calculemos 2A = (6,8) & 3B=(6,-3)

Calculando 2A-3B = (6-6), (8-(-3))= (0,11) 5

Cantidades Escalares y Vectoriales

Producto de vectores Como mencionamos ya en varias ocasiones, los vectores no son números ordinarios. Por lo tanto, de la misma forma en que no podemos sumarlos y restarlos de forma normal, el producto entre vectores también es distinto al producto entre escalares. De hecho, existen dos formas distintas de efectuar el producto entre vectores, las cuales expondremos a continuación. Producto escalar se escribe como Es por esto que El producto escalar entre dos vectores también se conoce como producto punto. El producto escalar obtiene su nombre del hecho de que, al efectuar esta operación entre dos vectores, aun cuando los factores son cantidades vectoriales, el resultado es una cantidad escalar. Se define paralela a

como la magnitud de multiplicada por la componente de . Este confuso enunciado se puede escribir como una fórmula:

Donde θ es el ángulo que se forma entre ambos vectores. También se puede escribir el producto escalar de dos vectores en términos de componentes:

Producto Vectorial El producto vectorial entre dos vectores, llamado así puesto que el resultado de la . Este producto también operación es una cantidad vectorial, se denota como recibe un segundo nombre derivado del símbolo utilizado para denotarlo: producto cruz. Para definir el producto vectorial, se deben dibujar los vectores con sus colas en el mismo punto. El resultado del producto vectorial es un vector que es perpendicular a , entonces es perpendicular tanto a como a . los factores. Esto es, si En una ecuación, lo anterior significa

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Cantidades Escalares y Vectoriales

Donde θ es, nuevamente, el ángulo que se forma entre los vectores. En términos de componentes, diremos que si componentes de como:

, entonces podemos escribir las

Note que fue necesario incluir la tercera componente de nuestros vectores, la componente sobre el eje z. Ya que, al tener dos vectores sobre un plano, el vector que es perpendicular a ambos deberá estar fuera de dicho plano. Ejemplo de producto de vectores: Sean los vectores A= (3,4) & B= (2,-1) a) Calcular el producto = 3x2 + 4x(-1) = 6-4 =2

Tomar en cuenta que el resultado de un producto punto es un escalar. Vectores Unitarios Tocaremos brevemente el tema de vectores unitarios solamente para definirlos e identificar su utilidad. Un vector unitario es un vector que carece de unidades y cuya magnitud es 1. Se utilizan, únicamente, para describir una dirección en el espacio. La manera de identificar un vector unitario es por medio de un acento circunflejo, coloquialmente llamado sombrero . De esta forma, podemos escribir un vector como la suma de sus componentes de la siguiente manera: Convencionalmente, un vector unitario en la dirección del eje x positivo se denota como y un vector unitario en la dirección del eje y positivo como . y A

y

Podemos expresar un vector A en términos de componentes como:

A

0 0

x

Ax

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Cantidades Escalares y Vectoriales

Conclusión Ya que sabemos diferencias los distintos tipos de cantidades físicas y no sólo qué operaciones podemos realizar con ellas, sino también cómo realizarlas, podemos pasar a poner en práctica estos conocimientos y empezar a atacar los problemas más básicos dentro de la Física Fundamental.

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Cantidades Escalares y Vectoriales

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Autoridades M.Sc. Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos Rector Arq. Carlos Enrique Valladares Cerezo Secretario General Dr. Alberto García González Director General de Docencia

DIVISIÓN DE EDUCACIÓN A DISTANCIA EN ENTORNOS VIRTUALES SISTEMA DE UBICACIÓN Y NIVELACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE DOCENCIA Autores Lic. Javier Alejandro Caceros Vélasquez MSc. José Chávez Roblero Dr. Carlos Sifredo Producción académica MSc. Sonia Alejandra Recinos Fernández Lcda. Madelline Cárcamo Diagramación e ilustración Lic. Edgar Armando Morales Cortez

Los contenidos de esta obra están sujetos a la licencia Reconocimiento-No Comercial-Sin Obra Derivada 4.0 Internacional de Creative Commons, por lo que se permite la copia, distribución y comunicación pública siempre y cuando se cite al autor o autores de la misma, pero no se pueden hacer usos comerciales ni obra derivada. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/.

La actualidad, exactitud, obligaciones de derechos de autor, integridad o calidad del contenido (texto, gráficos, links, acotaciones, comentarios, etc.) del presente material es responsabilidad exclusiva de su(s) autor(es). La Dirección General de Docencia y la División de Educación a Distancia en Entornos Virtuales, no asumen ninguna responsabilidad al respecto. Año 2020. 9

Movimiento en una dimensión

Módulo

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Movimiento en una dimensión

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Movimiento en una dimensión

INTRODUCCIÓN En este módulo trabajaremos con el tipo de movimiento más simple: un movimiento en línea recta (en dirección horizontal o vertical). Para ello, introduciremos las cantidades físicas de velocidad y aceleración, las cuales son cantidades vectoriales. En el módulo anterior, aprendimos a manejar cantidades vectoriales. En este caso, vamos a aprender cuáles son las ecuaciones que nos serán de mayor utilidad para describir el movimiento rectilíneo de un objeto, haciendo énfasis en el caso en que los objetos se mueven con velocidad constante.

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Movimiento en una dimensión

Módulo 3

Desplazamiento, Velocidad y Aceleración Un avión recorriendo la pista de despeje, un carro que se conduce sobre la carretera o un ciclista que atraviesa un sendero, son ejemplos de objetos que se mueven horizontalmente. Lo primero que necesitamos para analizar el movimiento de cada uno de estos objetos (y muchos más) es un sistema de coordenadas. Por conveniencia, elegimos que el eje positivo de las x vaya sobre la trayectoria recta de nuestro objeto, con el origen en el punto de salida. Finalmente, vamos a representar nuestro objeto como un punto, una partícula que se mueve a través del espacio.

Podemos representar el movimiento de nuestra partícula por medio del cambio de su posición sobre el eje x en un determinado intervalo de tiempo. Tomemos el auto como ejemplo para ilustrar esta idea. Supongamos que el auto parte del origen y pasado 1 s, éste ha alcanzado una distancia de 10 m medida desde el origen. Su movimiento continúa y 3 s después de la partida el auto se encuentra a 40 m del punto de partida. Definimos su desplazamiento en el intervalo de tiempo de 1 s a 3 s como un vector que apunta desde el punto a 10 m del origen hasta el punto a 30 m del origen. La magnitud del desplazamiento del auto en este ejemplo se puede calcular, simplemente, mediante el cambio de su posición sobre el eje x:

También podemos definir la velocidad media del auto como un vector dado por el cociente entre el desplazamiento del auto y el intervalo de tiempo: .

El vector velocidad media apunta en la misma dirección de movimiento del objeto. 3

Movimiento en una dimensión

La velocidad media nos da una idea general del movimiento de la partícula durante el intervalo de tiempo que estamos analizando. Sin embargo, no nos dice nada sobre la rapidez o dirección de la partícula en un determinado instante. Para esto, necesitamos definir una cantidad llamada velocidad instantánea, que es la velocidad del objeto en un punto o instante específico de su trayectoria. Para calcular la velocidad instantánea, debemos acercar el punto inicial y final de nuestro análisis lo más posible, de esta forma tanto ∆ x como ∆ t se hacen más pequeños, pero no necesariamente se reduce.

Definimos la velocidad instantánea como el límite de la velocidad media conforme el intervalo de tiempo se aproxima a cero. En lenguaje matemático esto es

Noten que el subíndice “med” ha desaparecido del símbolo que representa la velocidad , pues ahora ya no nos estamos refiriendo a la velocidad media. Al utilizar el término “velocidad” se hace referencia a la velocidad instantánea y no a la velocidad media. En la vida diaria, utilizamos los términos “velocidad” y “rapidez” indistintamente. Sin embargo, en el campo de la física, estas palabras representan cantidades físicas distintas. Ya indicamos que la velocidad es una cantidad vectorial cuya dirección coincide con la dirección de movimiento del objeto; la rapidez, es una cantidad escalar que representa la magnitud de la velocidad. Esto solo es verdad cuando hablamos de velocidad instantánea y rapidez instantánea. En el caso de velocidad y rapidez media no se cumple que la rapidez media sea la magnitud de la velocidad media. Ejemplo 1 Un ciclista inicia su recorrido. Cuando se encuentra a 20 m del punto de partida, otra persona inicia un cronómetro para marcar el recorrido del ciclista. Cuando el cronómetro marca 1 s, el ciclista se encuentra a 25 m de su punto de partida, y cuando el cronómetro marca 2 s el ciclista ya se encuentra a 40 m del punto de partida. Calculemos: a. El desplazamiento del ciclista entre la marca de 1 s y 2 s hecha por el cronómetro. b. La velocidad media del ciclista en este intervalo de tiempo. c. Si la posición del ciclista está dada por la función: determinemos la velocidad instantánea del ciclista en

4

Movimiento en una dimensión

A. El desplazamiento no es más que la a.

diferencia entre la posición final del ciclista y la posición inicial: 𝑑𝑑 = ∆𝑥𝑥 = 𝑥𝑥% − 𝑥𝑥' = 40m − 25m = 15m

b. B. La velocidad media del ciclista se

encuentra dividiendo el desplazamiento entre el intervalo de tiempo:

𝑣𝑣/01 =

40m − 25m ∆𝑥𝑥 𝑥𝑥% − 𝑥𝑥' 15m m = = = = 15 𝑡𝑡% − 𝑡𝑡' (2s − 1s) ∆𝑡𝑡 1s s

C. Para c.

determinar la velocidad instantánea, debemos hacer que ∆𝑡𝑡 → 0. Para esto, tomamos un ejemplo de ∆𝑡𝑡 que sea relativamente pequeño, digamos ∆𝑡𝑡 = 0.001s. Ya sabemos la posición del ciclista cuando 𝑡𝑡 = 1s, ahora debemos calcular la posición del ciclista cuando 𝑡𝑡% = 𝑡𝑡' + ∆𝑡𝑡 = 1s + 0.001s = 1.001s.



Para calcular la posición del ciclista en este tiempo, usamos la función que nos da el problema sustituyendo 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡% : 𝑥𝑥 = 20m + 5.0 m s 9 1.001s 9 = 25.010005m Ahora ya podemos calcular la velocidad instantánea: ∆𝑥𝑥 25.010005m − 25m m 𝑣𝑣 = = = 10.005 ∆𝑡𝑡 0.001s s

Podríamos deducir que mientras más pequeño hagamos el valor de ∆𝑡𝑡, más se aproximará el valor de 𝑣𝑣 a ser / exactamente 10 , por lo que :

concluimos que ésa es la magnitud de la velocidad instantánea del ciclista en 𝑡𝑡 = 1s

Noten Note que la fórmula que utilizamos

para calcular la velocidad instantánea es exactamente la misma que la de velocidad media. La diferencia conceptual se encuentra en el hecho de que, para calcular la velocidad instantánea, hacemos que ∆𝑡𝑡 → 0.

Si analizamos en mayor detalle el movimiento de distintos objetos, notaremos que estos no siempre se movilizan con la misma velocidad. Ésta sufre variaciones en determinados intervalos de tiempo. A esta tasa de cambio de la velocidad,

ya sea que aumente o disminuya, con respecto al tiempo se le conoce como aceleración.

Así como con la velocidad, podemos diferenciar entre aceleración media y aceleración instantánea. La aceleración media de un objeto al moverse entre un punto inicial y un punto final se define como un vector cuya magnitud viene dada por el cambio de su velocidad entre el punto inicial y final entre el intervalo de tiempo que le toma al objeto llegar del punto inicial al punto final:

5

Movimiento en una dimensión

Podemos ver que, si la velocidad se expresa en m ⁄ s, la unidad de aceleración es . La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media conforme el intervalo de tiempo se aproxima a cero:

Así como con la velocidad, el término aceleración se refiere, usualmente, a la aceleración instantánea.

Ejemplo 2 La velocidad de un auto de Fórmula 1 cambia siguiendo la siguiente ecuación . Calculemos: a. El cambio de velocidad en el intervalo de tiempo entre

b. La aceleración media en el mismo intervalo.

c. La aceleración instantánea en

.

a.

c.

b.

6

.

Movimiento en una dimensión

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado Una vez definidos estos conceptos, podemos pasar a analizar los problemas más sencillos de movimiento rectilíneo horizontal: aquellos en que los objetos se mueven con aceleración constante. Esencialmente, existen 4 fórmulas que nos ayudarán a resolver cualquier problema que involucre una partícula en movimiento rectilíneo con aceleración constante:

1. 2. 3. 4.

Noten que cada una de estas ecuaciones involucra 5 variables, excepto la primera que solo involucra 4. Cualquier problema nos dará, implícita o explícitamente, los valores para 4 (o 3) de estas variables y nos pedirá encontrar la quinta (o cuarta). Resolver un problema de este tipo, se reduce a identificar la fórmula que contiene todas las variables involucradas en el problema, resolver para la variable que se nos pide y hacer el cálculo solicitado por el problema. Un caso especial de movimiento rectilíneo con aceleración constante es aquel cuando el valor de la aceleración es exactamente. En este caso constante y son las únicas fórmulas que necesitamos para resolver el ejercicio.

7

Movimiento en una dimensión

Ejemplo 3 Un tren viaja hacia el este con dirección a Jalapa. Apenas pasa el letrero que indica el límite de la ciudad, empieza a acelerar a una tasa de . Cuando , el tren se encuentra a 5m al este del letrero y se mueve con una velocidad de 15 m⁄s con dirección este. a. Calcule su posición y velocidad en t=2s.

b. ¿Dónde está el tren cuando su velocidad es 25 m⁄s? b.

a.

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Movimiento en una dimensión

Conclusión Es importante tener en mente que las fórmulas y definiciones estudiadas en este módulo aplican únicamente para una partícula en movimiento en una sola dimensión con aceleración constante. Todas las definiciones son fácilmente extensibles al campo de movimiento en 2 o más dimensiones, como veremos en el siguiente módulo.

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Movimiento en una dimensión

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Autoridades M.Sc. Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos Rector Arq. Carlos Enrique Valladares Cerezo Secretario General Dr. Alberto García González Director General de Docencia

DIVISIÓN DE EDUCACIÓN A DISTANCIA EN ENTORNOS VIRTUALES SISTEMA DE UBICACIÓN Y NIVELACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE DOCENCIA Autores Lic. Javier Alejandro Caceros Vélasquez MSc. José Chávez Roblero Dr. Carlos Sifredo Producción académica MSc. Sonia Alejandra Recinos Fernández Lcda. Madelline Cárcamo Diagramación e ilustración Lic. Edgar Armando Morales Cortez

Los contenidos de esta obra están sujetos a la licencia Reconocimiento-No Comercial-Sin Obra Derivada 4.0 Internacional de Creative Commons, por lo que se permite la copia, distribución y comunicación pública siempre y cuando se cite al autor o autores de la misma, pero no se pueden hacer usos comerciales ni obra derivada. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/.

La actualidad, exactitud, obligaciones de derechos de autor, integridad o calidad del contenido (texto, gráficos, links, acotaciones, comentarios, etc.) del presente material es responsabilidad exclusiva de su(s) autor(es). La Dirección General de Docencia y la División de Educación a Distancia en Entornos Virtuales, no asumen ninguna responsabilidad al respecto. Año 2020. 10

Movimiento en dos dimensiones

Módulo

4

Movimiento en dos dimensiones

1

Movimiento en dos dimensiones

INTRODUCCIÓN ¿Cómo podemos describir la trayectoria de la bala de un cañón? ¿O un automóvil que se mueve sobre una curva en una carretera? ¿O el movimiento de una persona que camina dentro de un autobús en movimiento? Las herramientas desarrolladas en los módulos anteriores no son suficientes para describir este tipo de acciones, pues consideramos que los objetos se movían únicamente en línea recta (horizontal o verticalmente). Ahora necesitamos extender los mismos conceptos a un espacio de dos o tres dimensiones.

2

Movimiento en dos dimensiones

Módulo 4

Tiro Parabólico Un tiro parabólico es todo movimiento realizado por un objeto que recibe una velocidad inicial y describe una trayectoria parabólica determinada únicamente por el efecto de la aceleración de la gravedad. Un tiro parabólico siempre está limitado a un plano vertical, debido a que la gravedad no puede mover un objeto lateralmente, por lo que el tiro parabólico es un movimiento bidimensional. En la cima de la trayectoria, el proyectil tiene velocidad vertical cero ( vy= 0), pero su alcance vertical es -g.

y

Verticalmente, el proyectil muestra movimiento de aceleración constante en respuesta al tirón gravitacional de la Tierra. Así su velocidad vertical cambia en cantidades iguales durante intervalos de tiempo iguales

x Horizontalmente, el proyectil muestra movimiento de velocidad constante: su aceleración horizontal es cero, por lo que se mueve a distancias x iguales en intervalos de tiempo iguales.

Afortunadamente, podemos analizar independientemente el movimiento del objeto sobre el eje x y sobre el eje y. La clave está en identificar que el objeto se mueve sobre el eje x en línea recta con velocidad constante y en caída libre sobre el eje y. Esto quiere decir

Noten que ahora utilizamos los subíndices para indicar a qué eje corresponde cada componente del vector aceleración. Lo mismo sucederá con las componentes del vector de velocidad. Ya que en ambos casos la aceleración es una constante, podemos utilizar las fórmulas desarrolladas en el módulo anterior para describir el movimiento parabólico de la partícula en cada uno de los ejes por separado: Eje x

Eje y

3

Movimiento en dos dimensiones

Noten nuevamente los subíndices x y y para diferenciar las componentes de los vectores. Para simplificar el trabajo, es conveniente tomar la posición inicial (t=0s) del objeto bajo análisis como el origen:

Como podemos ver en la figura, nuestro objeto se dispara con un vector de velocidad con magnitud y dirección medida respecto al eje x positivo. Tal y inicial como aprendimos en el módulo 2, podemos encontrar las componentes x y y de la velocidad inicial por medio de

Con estas ecuaciones y lo que sabemos de análisis vectorial, ya podemos atacar cualquier problema relacionado a movimiento parabólico. Ejemplo 1 a. Suponga que un bateador golpea una pelota de beisbol y esta sale disparada con una rapidez inicial

con un ángulo

. Calcule:

b. La posición de la pelota y la magnitud y dirección de su velocidad cuando t = 2.00s. c. El momento en que la pelota alcanza su punto máximo y su altura en este punto. El alcance de la pelota. Es decir, la distancia original entre su punto de partida y el punto donde la pelota vuelve a caer al suelo. c.

a.

b.

4

Movimiento en dos dimensiones

Movimiento Circular Cuando un objeto recorre una trayectoria circular con rapidez constante, se dice que tiene un movimiento circular uniforme. Al moverse sobre un círculo, el vector de velocidad del objeto cambia de dirección, esto implica que el objeto sufre una aceleración. Esta aceleración no puede ser paralela (o tangente) a la trayectoria, pues esto provocaría un cambio en la magnitud de la velocidad, la aceleración es perpendicular (normal) a la trayectoria. Por lo tanto, apunta radialmente hacia el centro del círculo. Esta aceleración se conoce como aceleración centrípeta y se relaciona con la rapidez de la partícula y el radio de su trayectoria circular por medio de:

Donde el subíndice “rad” nos recuerda la dirección en la que apunta la aceleración centrípeta. También podemos relacionar la aceleración centrípeta con el período de rotación del objeto. Si en un periodo T el objeto recorre el círculo exactamente una vez, entonces la rapidez del objeto es, donde nos da el perímetro de la trayectoria circular del objeto. Por lo tanto: Dado que: obtiene:

si sustituye

se obtiene que al resolver el cuadrado se

al resolver el cuadrado se obtiene:

Ejemplo 2 Si en un juego mecánico los pasajeros viajan con rapidez constante sobre una trayectoria circular con radio 5.0m y completa la vuelta en 4.0s, ¿cuál es la aceleración de los pasajeros?

5

Movimiento en dos dimensiones

Movimiento Relativo Si una persona camina dentro de un bus en movimiento, ¿cómo podemos determinar la velocidad de la persona? La respuesta a esta pregunta depende del marco de referencia desde el cual se haga la medición. Cada observador, situado en su propio marco de referencia, medirá la velocidad relativa a él. Cada marco de referencia consta de un sistema de coordenadas más una escala de tiempo. Si llamamos A al marco de referencia de una persona en reposo con respecto al suelo y B al marco de referencia del autobús en movimiento, la posición P de la persona dentro del autobús con respecto al marco de referencia A se puede escribir como la posición de la persona con respecto al autobús más la posición del autobús con respecto al marco de referencia en reposo.

La velocidad de P relativa a A es el cambio de la posición relativa de P con respecto a A con respecto al tiempo. La velocidad de P relativa a B y la velocidad de B respecto a A se definen de la misma forma, por lo tanto:

Noten cómo los subíndices internos B parecen cancelarse del lado derecho de la ecuación para obtener como resultado, del lado izquierdo, la posición o velocidad relativa de los subíndices externos P y A. A pesar de que nuestro análisis fue hecho para objetos en movimiento en una sola dimensión, es fácil extenderlo a dos o más dimensiones restaurando la naturaleza vectorial de

y

y las ecuaciones anteriores no sufren ningún cambio.

Ejemplo 3 Un automóvil y un camión recorren una carretera en sentidos y carriles opuestos. Si el camión avanza a 104km/h y el auto a 88km/h. Determine a. La velocidad del camión relativa al automóvil antes de que cruzarse. b. La velocidad del automóvil relativa al camión antes de cruzarse. c. La velocidad del camión relativa al automóvil y la velocidad del automóvil relativa al camión después de que se han pasado.

6

Movimiento en dos dimensiones

b.

a.

c.

7

Movimiento en dos dimensiones

Conclusión Hemos desarrollado las herramientas necesarias para trabajar el movimiento de objetos en 2 dimensiones. El movimiento parabólico se desarrolló como una composición de movimientos rectilíneos uniformes, uno acelerado (en el eje y) y otro con velocidad constante (en el eje x), entendimos que un objeto que se mueve sobre una trayectoria circular con velocidad constante sufre una aceleración debida al cambio de dirección de su vector de velocidad, pero no afecta la magnitud del mismo. Finalmente, hemos aprendido a relacionar el movimiento de objetos y partículas con respecto a distintos marcos de referencia.

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Movimiento en dos dimensiones

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Los contenidos de esta obra están sujetos a la licencia Reconocimiento-No Comercial-Sin Obra Derivada 4.0 Internacional de Creative Commons, por lo que se permite la copia, distribución y comunicación pública siempre y cuando se cite al autor o autores de la misma, pero no se pueden hacer usos comerciales ni obra derivada. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/.

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Módulo

5

Caída Libre

1

Caída Libre

INTRODUCCIÓN Se analizan las ecuaciones para resolver los problemas de caída libre, recordemos que es un movimiento que depende únicamente de la gravedad, es decir, no se toma en cuenta la resistencia del aire, que puede afectar el movimiento. Se analiza no sólo un movimiento hacia abajo, sino que se incluye un movimiento hacia arriba, pero ambos en línea recta.

2

Módulo 5

Caída Libre La caída libre, es un caso particular de movimiento rectilíneo uniformemente variado, con la diferencia de que el objeto tiene una trayectoria vertical en lugar de una horizontal. La caída libre es un modelo idealizado donde se desprecia la resistencia del aire y se considera que la aceleración provocada por la atracción gravitacional de la Tierra es una constante . Por lo tanto, para todos los problemas de caída libre tenemos . El signo negativo indica la dirección del vector aceleración. Debido a que la aceleración de un objeto es causada por la fuerza de atracción gravitacional de la Tierra, el vector de aceleración apunta en dirección a la Tierra. Es decir, hacia abajo. Como usualmente se toma el eje y positivo hacia arriba, entonces el signo del vector de aceleración provocada por la atracción gravitacional de la Tierra debe ser negativo. Podemos utilizar todas las fórmulas que ya conocemos para movimiento rectilíneo con aceleración constante: 1. 2. 3. 4.

Hemos sustituido intercambiado , debido a que convencionalmente la posición vertical de un objeto se denota por medio de la coordenada y. El valor de la gravedad en promedio es equivalente a , pero en este curso, con la finalidad de que al realizar las operaciones los valores sean fáciles de manipular se debe aproximar a .

Ejemplo 1 Imagine que está parado en la terraza de una torre. Desde su posición, usted lanza una pelota hacia arriba con velocidad 15 m⁄s. La pelota, luego de alcanzar su altura máxima, cae fuera del techo de la torre hacia la calle. Calcule:

a. La velocidad y posición de la pelota después de 4s.



c. La altura máxima que alcanza la pelota.



b. La velocidad de la pelota cuando esta se encuentre a 5m sobre la terraza.

3

Caída Libre

b.

a.

c.

4

Caída Libre

Conclusión Es importante tener en mente que las ecuaciones y definiciones estudiadas en este módulo aplican únicamente para una partícula en movimiento en una sola dimensión con aceleración constante que es debida a la gravedad, cuyo valor es de 9.8 m/s2, pero con la finalidad de que los datos sean manipulables de forma más sencilla, este valor en el curso se aproxima a 10 m/s2.

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Caída Libre

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Leyes de Newton

Módulo

6

Leyes de Newton

1

Leyes de Newton

INTRODUCCIÓN Hasta ahora sabemos describir el movimiento de objetos y partículas en 2 y 3 dimensiones. Sin embargo, no hemos estudiado cuáles son las causas de este movimiento. La búsqueda de la solución a esta incógnita nos lleva a internarnos en el campo de estudio de la dinámica que estudia la relación entre el movimiento y las fuerzas que lo provocan.

2

Leyes de Newton

Módulo 6

Fuerza

Comúnmente, utilizamos la palabra “fuerza” para referirnos a la acción de jalar, empujar o golpear algún objeto. En física, fuerza se define como una interacción entre dos cuerpos o un cuerpo y su ambiente. La fuerza es una cantidad vectorial con magnitud y dirección. Esto se puede entender mejor si imaginamos que a un objeto lo podemos jalar o empujar en direcciones diferentes. Cuando la fuerza implica contacto directo entre los objetos para manifestarse, como los ejemplos de empujar o jalar un objeto, se le conoce como fuerza de contacto. Dentro de este tipo de fuerzas tenemos: La fuerza normal, que es una fuerza ejercida sobre un objeto por cualquier superficie sobre la que se apoye. La palabra “normal” nos indica que la fuerza es siempre perpendicular a la superficie de contacto, sin importar el ángulo de inclinación de dicha superficie. Otro ejemplo de una fuerza de contacto es la fuerza de fricción, la cual es ejercida sobre un objeto por una superficie sobre la que el objeto se desplace. Contrario a la fuerza normal, la fuerza de fricción actúa paralela a la superficie y en dirección opuesta al deslizamiento del objeto. La fuerza de tensión, que es la fuerza de tirón ejercida por una cuerda o lazo sobre un objeto al cual se encuentra atado también se considera una fuerza de contacto. Además de las fuerzas de contacto, también existen fuerzas de largo alcance que no necesitan que los objetos entren en contacto para manifestarse. La fuerza de atracción o repulsión entre imanes, así como la fuerza de atracción gravitacional son ejemplos de este tipo de fuerzas. En el sistema internacional de unidades, la fuerza se mide en newtons (N). Esta unidad está definida como la cantidad de fuerza neta que se necesita para proporcionar . La fuerza se una aceleración de 1 m ⁄ s2 a un cuerpo de masa igual a puede medir mediante el uso de un instrumento llamado dinamómetro.

N

DINAMÓMETRO

gf

N P

Fg Fg

3

N

F

P

P

Leyes de Newton

Fuerzas e Interacciones Al analizar un sistema, también podemos clasificar las fuerzas que actúan en él: las fuerzas que las partículas dentro del sistema ejercen entre sí se llaman fuerzas internas; las fuerzas ejercidas sobre cualquier parte del sistema por un objeto externo son llamadas fuerzas externas. Cuando se analiza un objeto en particular, solo nos interesan las fuerzas que actúan sobre el objeto. La sumatoria de fuerzas (la fuerza neta) incluye únicamente las fuerzas que se ejercen sobre el objeto en cuestión. Una vez hayamos elegido el objeto que queremos estudiar, deberemos tener cuidado de identificar todas las fuerzas que actúan sobre dicho objeto. No debemos confundir las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y las fuerzas que este cuerpo ejerce sobre algún otro. Para facilitarnos este análisis hacemos uso de una herramienta conocida como diagramas de cuerpo libre. Este tipo de diagramas muestra al objeto “libre” de su entorno, con vectores que representan la magnitud y dirección de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. De nuevo, hay que tener especial cuidado en incluir en el diagrama únicamente las fuerzas que actúan sobre el objeto y no las que éste ejerce sobre otros objetos. Una regla importante a tener en mente es que, las dos fuerzas de un par acciónreacción (veremos qué es un par acción-reacción en breve) no aparecen nunca en N el mismo cuerpo. el mismo diagrama de cuerpo libre, porque nunca actúan sobre Fg Tampoco deben incluirse las fuerzasNque gfun cuerpo ejerce sobre sí mismo, pues estas no pueden afectar su movimiento. Diagramas de cuerpo libre N

N

Fg

Fg

gf

P

P

P

P

F

P

http://proyectopilotoperiodismo.blogspot.com/2017/02/el-diagrama-de-cuerpo-libre.html

Masa y Peso El peso es la fuerza de atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre él, un objeto no pesaFlo mismo en la g F Tierra que en la Luna. A menudo utilizamos indistintamente los términos “masa” y “peso” en nuestro lenguaje cotidiano. En Física, sin embargo, es importante distinguir claramente entre estas dos cantidades físicas. P La masa caracteriza las propiedades inerciales de un cuerpo: a mayor masa, se necesita más fuerza para imprimir una aceleración determinada a un objeto, mientras que el peso, como dijimos antes, es una fuerza ejercida sobre un cuerpo por la atracción gravitacional de la Tierra.

4

N

Leyes de Newton

A pesar de ser cantidades físicas fundamentalmente diferentes, la masa y el peso sí están relacionadas. Un objeto con una gran masa tendrá también un peso grande. Sería difícil lanzar un objeto por el aire debido a su gran masa y sería difícil levantarlo del suelo por su gran peso. Para entender la relación que existe entre estas cantidades, recordemos que un cuerpo en caída libre tiene una aceleración de magnitud g=9.8 m⁄s^2 . En este módulo aprenderemos que esta aceleración debe ser provocada por alguna fuerza. En este caso, la fuerza que hace que el cuerpo acelere hacia abajo es su peso. En general, un cuerpo de masa m debe tener un peso de magnitud w dada por w=mg. Donde g es la magnitud de la aceleración debida a la atracción gravitacional de la Tierra.

Primera Ley de Newton Ya hemos aprendido algunas características relacionadas al concepto de fuerza, pero aún no hemos estudiado cómo éstas afectan el movimiento. Consideremos qué sucede cuando una fuerza neta igual a cero (ninguna fuerza) actúa sobre un objeto en reposo. Sin duda estarán de acuerdo en que el objeto permanece en reposo si ninguna fuerza actúa sobre él. ¿Qué sucede en el caso en el que la fuerza neta es igual a cero, pero el objeto ya está en movimiento? Podríamos pensar que, si deslizamos un objeto sobre una mesa y lo dejamos ir, éste se detendrá eventualmente. Esto podría hacernos pensar que, si ninguna fuerza actúa sobre un objeto en movimiento, éste regresará a su estado de reposo. Sin embargo, estaríamos olvidando la fuerza de fricción que existe entre el objeto que se desliza y la superficie sobre la que se desplaza. Si la fuerza de fricción desapareciera, el objeto seguiría deslizándose sobre la mesa indefinidamente. Este tipo de razonamientos nos llevan a la conclusión de que, si no hay ninguna fuerza o una fuerza neta igual a cero actuando sobre un objeto, éste permanece en reposo, o bien, se mueve en línea recta con velocidad constante. Esto es la Primera Ley de Newton: Un cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta se mueve con velocidad constante (que puede ser cero) y aceleración cero. La tendencia de un cuerpo a seguir en su estado de reposo o movimiento es resultado de una propiedad llamada inercia. El marco de referencia en el que es válida la Primera Ley de Newton se llama marco de referencia inercial. Como usamos la primera ley de Newton para definir lo que es un marco de referencia inercial, a la primera ley de Newton también se le conoce como ley de inercia. 5

Leyes de Newton

Segunda Ley de Newton En la sección anterior abordamos el caso en que la fuerza neta que actúa sobre un objeto es cero, pero ¿qué sucede si la fuerza neta es distinta de cero? Imagine que un objeto se desliza sobre una superficie sin fricción, aplique una fuerza horizontal constante sobre el objeto en la dirección de su movimiento. Noten que, mientras la fuerza actúa sobre el objeto, la velocidad del objeto cambia a ritmo constante. Es decir, obtiene una aceleración constante en la misma dirección de su movimiento y de la fuerza. Ahora imaginemos que aplicamos una fuerza horizontal constante al objeto en la dirección opuesta a su movimiento inicial. Notaremos que el objeto sufre un cambio en su velocidad nuevamente, esta vez el objeto se mueve cada vez más lento en la dirección original. La aceleración que sufre el objeto apunta en la dirección contraria al movimiento, al igual que la fuerza. Podríamos concluir que una fuerza neta que actúa sobre un objeto, produce que el objeto acelere en la misma dirección de la fuerza. También podríamos notar fácilmente que, a mayor fuerza, mayor será la aceleración, por lo que la magnitud de la aceleración adquirida por el objeto, es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza neta ejercida sobre el objeto.

Newton unificó todas estas observaciones dentro del enunciado de la Segunda Ley de Newton: Si una fuerza externa neta actúa sobre un cuerpo, éste se acelera. La dirección de aceleración es la misma que la dirección de la fuerza neta. El vector de fuerza neta es igual a la masa del cuerpo multiplicada por su aceleración. En forma de ecuación,

6

Leyes de Newton

Tercera Ley de Newton Como dijimos al inicio, una fuerza es siempre el resultado de la interacción entre dos objetos o un objeto con el ambiente, así que las fuerzas siempre vienen en pares. En todos los casos, la fuerza que un objeto A ejerce sobre un cuerpo B tiene dirección opuesta a la que el objeto B ejerce sobre el cuerpo A. Además, experimentalmente, se ha demostrado que las fuerzas tienen la misma magnitud.

Este es el enunciado de la Tercera Ley de Newton: Si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B (una “acción”), entonces, B ejerce una fuerza sobre A (una “reacción”). Estas dos fuerzas tienen la misma magnitud, pero dirección opuesta, y actúan sobre diferentes cuerpos.

La acción y la reacción son fuerzas opuestas y se llaman par acción-reacción. Cualquiera de las dos puede considerarse la acción y la otra la reacción, no hay una relación de causa y efecto entre ellas. Es importante enfatizar que las dos fuerzas de un par acción-reacción actúan sobre cuerpos distintos. Esto es útil al dibujar los diagramas de cuerpo libre que mencionamos antes. También hay que tomar en cuenta que la Tercera Ley de Newton aplica para fuerzas de contacto, así como para fuerzas de largo alcance.

Equilibrio Hasta ahora, nos esforzamos en entender cómo se comportan los cuerpos en respuesta a fuerzas que actúan sobre ellos y aprendimos que los cuerpos aceleran proporcionalmente y en la misma dirección que la fuerza que se imprime sobre ellos. Sin embargo, hay muchas situaciones en las que nos interesa que un objeto no acelere: un inmueble, un puente o una grúa deben diseñarse de forma que no se derrumben. Un cuerpo puede presentarse como una partícula en equilibrio cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre él sea cero. Es decir, un cuerpo está en equilibrio si está en reposo o se mueve con velocidad constante en un marco de referencia inercial. La fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, es decir, la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan en él, debe ser cero, es decir que .

7

Leyes de Newton

Conclusión Ya nos hemos familiarizado con el concepto de fuerza y entendemos las causas detrás del movimiento de los objetos estudiados en los módulos anteriores. Hemos aprendido cuáles son las leyes que rigen el movimiento de los objetos y cuándo se considera que un objeto se encuentra en equilibrio. Recordemos que a la Primera Ley de Newton también se le conoce como Ley de Inercia o Principio de Inercia, a la Segunda Ley de Newton como Ley de las Fuerzas y a la Tercera Ley como Ley de Acción y Reacción. En los ejercicios aprenderemos a poner todo este conocimiento en práctica para resolver problemas de la vida real.

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Leyes de Newton

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Trabajo y Energía

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Módulo

Trabajo y Energía A dr rA

B rB

1

INTRODUCCIÓN En este módulo vamos a estudiar los conceptos de trabajo y energía bajo el punto de vista de la Física. Conoceremos los distintos tipos de energía, como la energía potencial o la energía cinética y la relación de cada una de ellas con el concepto de trabajo. Además, analizaremos el concepto de energía total o energía mecánica, el cual toma importancia a partir del principio de conservación de la energía, que dice: la energía es una cantidad que se puede convertir de una forma a otra, pero no puede crearse ni destruirse.

2

Trabajo y Energía

Módulo 7

Trabajo Una definición cotidiana de trabajo podría ser cualquier actividad que requiere esfuerzo físico o mental. Sin embargo, en Física, trabajo tiene una definición mucho más precisa. Imaginemos algunos ejemplos cotidianos de trabajo: empujar un sofá o levantar una caja. En ellos realizamos trabajo ejerciendo una fuerza sobre un cuerpo mientras éste se mueve de un lugar a otro, es decir, sufre un desplazamiento. Efectuamos más trabajo si la fuerza es mayor (empujamos el sofá con más fuerza) o si el desplazamiento es mayor (lo empujamos una mayor distancia). En Física, el trabajo se define con base a estas observaciones. Consideremos un cuerpo que sufre un desplazamiento en línea recta con magnitud x. Mientras el cuerpo se mueve, una fuerza de magnitud F actúa sobre él en la misma dirección que su desplazamiento. El trabajo W realizado por esta fuerza constante en dichas condiciones se define como:

W=Fx

En el SI, el trabajo se mide en joules, abreviado como J. En cualquier sistema de unidades, la unidad de trabajo es la unidad de fuerza multiplicada por la unidad de distancia. En el SI la unidad de fuerza es el newton y la unidad de distancia es el metro, así que 1 joule equivale a un newton-metro (N∙m). ¿Qué pasa si ahora empujamos el objeto, por ejemplo, el sofá, con un ángulo

con

respecto a su desplazamiento? Entonces tiene una componente en la dirección del desplazamiento. En este caso, sólo esta componente actúa para mover el sofá, por lo que definimos el trabajo como el producto de esta componente de fuerza y la magnitud del desplazamiento. Notamos que la fórmula anterior tiene la forma del producto escalar entre 2 vectores. En general, el trabajo se define como el producto escalar entre los vectores de fuerza constante y desplazamiento.

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Trabajo y Energía

Por lo tanto, podemos concluir que el trabajo es una cantidad escalar. La diferencia fundamental entre la definición de trabajo en Física y la definición cotidiana es que, en Física, el trabajo puede ser positivo, negativo o cero. a. El trabajo es positivo si la fuerza tiene una componente en la dirección del desplazamiento. b. El trabajo es negativo si la fuerza tiene una componente en la dirección opuesta al desplazamiento. c. El trabajo es cero si la fuerza es perpendicular a la dirección del desplazamiento.

a.

b.

c.

¿Cómo calculamos el trabajo realizado por varias fuerzas sobre un mismo objeto? El trabajo total es simplemente la suma de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas individuales. Otra forma de verlo es, el trabajo realizado por la fuerza neta (la suma vectorial de todas las fuerzas) que actúa sobre el objeto.

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Trabajo y Energía

Energía Se define energía como la capacidad que presentan los cuerpos de producir trabajo en forma de movimiento, luz o calor. Conozcamos los diferentes tipos de energía.

Energía Cinética Al igual que el trabajo, la energía cinética es una cantidad escalar. No depende de la dirección de movimiento del objeto, únicamente depende de su masa y de la magnitud de su velocidad. La energía cinética, representada por medio de la letra K, se define como:

En general, para acelerar una partícula de masa m desde el reposo hasta una rapidez v, el trabajo total efectuado sobre ella debe ser igual al cambio de energía cinética desde 0 hasta . Así, la energía cinética de una partícula es igual al trabajo total que se efectuó para acelerarla desde el reposo hasta su rapidez final. La energía cinética también puede interpretarse como el trabajo que puede efectuar una partícula mientras se detiene. Esta interpretación de la energía cinética da como resultado el teorema trabajoenergía: el trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partícula es igual al cambio de energía cinética de la partícula.

Energía Potencial Gravitacional En muchas ocasiones, parece acumularse energía en un sistema para su posterior liberación. Por ejemplo, hay que efectuar trabajo para levantar una caja pesada sobre la cabeza. Parece razonable que, al levantar la caja en el aire, se está almacenando energía en el sistema, la cual se convierte después en energía cinética al dejar caer la caja. El ejemplo de la caja, parece indicar que existe un tipo de energía asociado a la posición de los objetos en el espacio. Al levantar la caja, existe la posibilidad de que la fuerza de gravitación realice trabajo sobre ella, pero sólo si la caja se deja caer al suelo. Es por esto que la energía asociada con la posición se conoce como energía potencial. La energía potencial asociada al peso del objeto (mg) y a su altura sobre el suelo (h) se le llama energía potencial gravitacional. Definida como:

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Energía Potencial Elástica Hay muchas situaciones donde encontramos energía potencial que no sea de naturaleza gravitacional. Un ejemplo es, una banda de hule. Hay que realizar trabajo para estirar la banda de hule y la energía se almacena en ella hasta que se suelta la banda. Vamos a estudiar el proceso de almacenar energía en un cuerpo deformable, como una banda de hule o un resorte, en términos de un tipo de energía llamado energía potencial elástica. Esta energía se define como Donde k es la constante de fuerza del objeto y x es la distancia que se estira o comprime dicho objeto con respecto a su forma original.

Energía Mecánica La energía mecánica total del sistema se denota con la letra E se define como la suma de sus energías cinética K y potencial U. La energía potencial puede ser la suma de energía potencial gravitacional y energía potencial elástica , dependiendo del tipo de sistema que se esté analizando. El sistema al que nos referimos está formado por todos los objetos que estemos analizando y por el planeta Tierra. Debido a que la energía potencial gravitacional es una propiedad compartida entre los objetos y la misma Tierra. Decimos que una cantidad que siempre tiene el mismo valor es una cantidad que se conserva. En un sistema donde se combinan únicamente la fuerza gravitacional y la fuerza elástica, y solo éstas realizan trabajo, la energía mecánica total del sistema se conserva. Si fuerzas adicionales, además de la fuerza gravitacional y elástica, actúan sobre el sistema, el trabajo realizado por todas las fuerzas distintas de la elástica o la gravitacional es igual al cambio de energía mecánica total del sistema.

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Trabajo y Energía

Conclusión Las cantidades físicas trabajo y energía, junto con el principio de conservación de la energía mecánica, nos permiten resolver problemas mucho más complejos que aquellos que podemos resolver haciendo uso únicamente de las Leyes de Newton. Se han desarrollado las definiciones más importantes del tema y se puso en evidencia la estrecha relación que existe entre estas dos nuevas cantidades. Recordemos que si un objeto lleva una velocidad, este objeto lleva una Energía Cinética. Si el objeto se encuentra a una determinada altura este objeto posee una Energía Potencial y si en el problema se incluye un resorte o un hule, definitivamente posee una Energía Potencial Elástica.

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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Autoridades M.Sc. Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos Rector Arq. Carlos Enrique Valladares Cerezo Secretario General Dr. Alberto García González Director General de Docencia

DIVISIÓN DE EDUCACIÓN A DISTANCIA EN ENTORNOS VIRTUALES SISTEMA DE UBICACIÓN Y NIVELACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE DOCENCIA Autores Lic. Javier Alejandro Caceros Vélasquez MSc. José Chávez Roblero Dr. Carlos Sifredo Producción académica MSc. Sonia Alejandra Recinos Fernández Lcda. Madelline Cárcamo Diagramación e ilustración Lic. Edgar Armando Morales Cortez

Los contenidos de esta obra están sujetos a la licencia Reconocimiento-No Comercial-Sin Obra Derivada 4.0 Internacional de Creative Commons, por lo que se permite la copia, distribución y comunicación pública siempre y cuando se cite al autor o autores de la misma, pero no se pueden hacer usos comerciales ni obra derivada. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/.

La actualidad, exactitud, obligaciones de derechos de autor, integridad o calidad del contenido (texto, gráficos, links, acotaciones, comentarios, etc.) del presente material es responsabilidad exclusiva de su(s) autor(es). La Dirección General de Docencia y la División de Educación a Distancia en Entornos Virtuales, no asumen ninguna responsabilidad al respecto. Año 2020. 8

Módulo

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Cantidad de Movimiento Lineal, Impulso

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Cantidad de Movimiento Lineal, Impulso

INTRODUCCIÓN En este módulo vamos a trabajar sobre dos nuevos conceptos: momento lineal e impulso, y una nueva ley de conservación: la ley de conservación del momento lineal, tan importante como la ley de conservación de la energía.

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Módulo 8

Momento Lineal Podemos expresar la segunda ley de Newton en términos de una nueva cantidad física llamada momento lineal. Consideremos un objeto de masa m, puesto que la aceleración de un objeto puede expresarse en términos de un cambio de su velocidad con respecto al tiempo forma:

, podemos escribir la segunda ley de Newton en la

Así, la segunda ley de Newton indica que la sumatoria de fuerzas es igual al cambio en el tiempo del producto de la masa con la velocidad de un objeto. Es a esta combinación a la que llamamos momento lineal y utilizamos la letra p para definirlo como:

Entre mayor sea la masa y/o la rapidez de una partícula, mayor será su momento lineal. En la ecuación podemos identificar el momento lineal como una cantidad vectorial. Así, el momento lineal de una persona que corre en dirección sur con una rapidez de 3 m ⁄ s tiene la misma magnitud de momento lineal de una persona que corre en dirección este con una rapidez de 3 m ⁄ s. Sin embargo, sus vectores de momento lineal son distintos, pues se mueven en distintas direcciones. Como con cualquier otra cantidad vectorial, podemos expresar el momento lineal en términos de sus componentes. Una vez conocidas las componentes de la velocidad , entonces podemos determinar las componentes del de una partícula momento lineal de la partícula como:

Estas componentes se denominan momento lineal en x, momento lineal en y y momento lineal en z, respectivamente. En el SI, las unidades de momento lineal son el producto de la unidad de masa y la . unidad de velocidad, es decir

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Cantidad de Movimiento Lineal, Impulso

Como resultado final, la Segunda Ley de Newton toma la forma:

Indicando que la fuerza neta que actúa sobre una partícula es igual a la tasa de cambio de su momento lineal con respecto al tiempo. Esta es la forma original en que Newton escribió su segunda ley, la cual sigue siendo válida únicamente en marcos de referencia inercial. Ahora es fácil identificar que un cambio rápido en el momento lineal requiere una gran fuerza neta, mientras que un cambio espaciado de momento lineal requiere una fuerza neta de menor magnitud.

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Cantidad de Movimiento Lineal, Impulso

Impulso Para definir impulso, consideramos una fuerza neta constante que actúa sobre una partícula. El impulso de la fuerza neta, se define como el producto de dicha fuerza neta y el intervalo de tiempo en el que actúa la fuerza:

Así como para el momento lineal, podemos ver de esta definición que el impulso es una cantidad vectorial, cuya dirección es la misma que la de la fuerza neta y su magnitud es el producto de la magnitud de la fuerza neta y el intervalo de tiempo. Las unidades de impulso en el SI son newton-segundo (N∙s). Ya que un newton está definido como

resulta que las unidades de impulso son, en realidad, las

mismas que las de momento lineal. ¿Por qué se de ine una cantidad como el impulso? De la Segunda Ley de Newton sabemos que, si la fuerza neta que actúa sobre una partícula es constante, también lo es la tasa de cambio del momento lineal con respecto al tiempo. Podemos reescribir la Segunda Ley de Newton en forma más explícita:

Lo que podemos reordenar para obtener:

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Cantidad de Movimiento Lineal, Impulso

Notamos que del lado izquierdo nos ha quedado exactamente el producto que acabamos de definir como impulso. Por lo tanto,

Esta última ecuación se conoce como el teorema impulso-momento. En palabras: el cambio del momento lineal de una partícula durante un intervalo de tiempo es igual al impulso de la fuerza neta que actúa sobre la partícula durante ese intervalo. Se puede interpretar el momento lineal de una partícula como el impulso necesario para acelerarla desde el reposo hasta una rapidez final.

Conservación del Momento Lineal Esta ley de conservación es válida aún en situaciones en las que las Leyes de Newton son inadecuadas, tales como cuerpos que se mueven con una rapidez muy alta u objetos muy pequeños. El momento lineal, cobra especial importancia en dos o más cuerpos que interactúan entre sí. Consideremos primero el caso en que dos objetos interactúan solamente entre ellos mismos. Cada objeto ejerce una fuerza sobre el otro y, de acuerdo a la Tercera Ley de Newton, las fuerzas tienen la misma magnitud, pero direcciones opuestas. Como consecuencia, los impulsos que actúan sobre los objetos también tienen la misma magnitud y direcciones opuestas y así también los cambios de momento lineal de ambos objetos.

Llamemos a la fuerza neta que actúa sobre el objeto A, y a la fuerza neta que actúa sobre el objeto B. La Segunda Ley de Newton, aplicada a cada uno de los objetos nos dice:

Como ya mencionamos antes,

y

son siempre iguales en magnitud,

pero con direcciones opuestas

=

. Por lo tanto,

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Por la Segunda Ley de Newton sabemos que, si la suma de las fuerzas netas que actúan sobre cada objeto es cero, también lo debe ser la suma de las tasas de cambio de los momentos lineales de cada uno de los objetos:

Podemos definir el momento lineal total del sistema como la suma de los momentos lineales de cada uno de los objetos que forman parte del mismo (en este caso A y B): . De esta manera, podemos ver que el cambio del momento lineal total del sistema es cero.

Por lo tanto, el momento lineal total del sistema se conserva, aunque los momentos lineales individuales de los objetos que conforman el sistema pueden cambiar. Hemos hecho todo este razonamiento bajo la consideración de que no hay fuerzas externas actuado sobre nuestro sistema, poniendo todas estas ideas juntas obtenemos lo que se conoce como principio de conservación del momento lineal: si la suma vectorial de las fuerzas externas sobre un sistema es cero, el momento lineal total del sistema es constante. Esto es consecuencia directa de la tercera ley de Newton. Este principio es de gran utilidad debido a que no depende de la naturaleza detallada de las fuerzas internas que actúan entre miembros del sistema, así que podemos aplicarlo incluso si, desconocemos los detalles de las fuerzas internas. Ya que este principio proviene de la Segunda Ley de Newton, sólo es válido para marcos de referencia inerciales. Es posible generalizar este principio para sistemas con cualquier cantidad de partículas.

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Cantidad de Movimiento Lineal, Impulso

Conclusión Reescribimos la Segunda Ley de Newton en términos del momento lineal, la forma original en que Newton planteó su segunda ley. También se introdujo una nueva cantidad física: el impulso; y se demostró cómo se relaciona esta nueva cantidad física con el cambio de momento lineal de un objeto. Finalmente, utilizamos la Segunda y Tercera Ley de Newton para deducir el principio de conservación del momento lineal.

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Choques elásticos e inelásticos

Módulo

9

Choques elásticos e inelásticos

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INTRODUCCIÓN El término choque nos hace pensar en un accidente de tráfico. Y sí, usaremos este término para referirnos a la colisión entre dos automóviles, pero además ampliaremos su significado para incluir cualquier interacción fuerte entre cuerpos con duración relativamente corta. Así que no sólo incluimos accidentes automovilísticos, sino también bolas que chocan en una mesa de billar, balas que impactan un objetivo o un meteorito que cae sobre la superficie de un planeta.

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Choques elásticos e inelásticos

Módulo 9

Choques Elásticos Si las fuerzas entre los cuerpos son mucho mayores que las externas, como suele suceder en los choques, podemos ignorar las fuerzas externas y tratar los cuerpos como un sistema aislado. Entonces, el momento lineal se conserva y el momento lineal total del sistema tendrá el mismo valor antes y después del choque. Si, además, las fuerzas entre los cuerpos son conservativas, de manera que no se pierde ni gana energía mecánica en el choque, la energía cinética total del sistema es la misma antes y después. Esto se denomina choque elástico. Un choque entre dos canicas o dos bolas de billar es casi totalmente elástico.

Ejemplo 1 Dos objetos se deslizan el uno hacia el otro sobre una superficie sin fricción. El objeto A tiene una masa de 0.5kg y se desliza hacia la derecha con una velocidad de +2.0m/s, mientras que el objeto B, con una masa de 0.3kg, se desliza en la dirección opuesta con una velocidad igual a -2.0m/s. Si después del choque el objeto B se desliza con una velocidad de +2.0m/s, ¿qué velocidad final tiene el objeto A?

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Choques elásticos e inelásticos

Choques Inelásticos Un choque en el que la energía cinética total final es menor que la inicial es un choque inelástico. Una albóndiga que cae en un plato de espagueti y una bala que se incrusta en un bloque de madera son ejemplos de choques inelásticos. Un choque inelástico en el que los cuerpos se pegan y se mueven como uno solo después del choque es un choque totalmente inelástico. Tengan cuidado, un choque inelástico no tiene que ser totalmente inelástico. Es un error común pensar que los únicos choques inelásticos son aquellos en que los cuerpos quedan pegados. En realidad, los choques inelásticos incluyen muchas situaciones en que los cuerpos no se pegan.

Ejemplo 2 Suponga que los objetos del ejemplo anterior no rebotan después de la colisión, sino que quedan pegados y se mueven como uno solo luego del choque. Calculemos la velocidad final de dicho objeto.

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Choques elásticos e inelásticos

Conclusión Todo choque en el que se pueden ignorar las fuerzas externas, el momento lineal se conserva y el momento lineal total es el mismo antes y después. La energía cinética total sólo es igual antes y después si el choque es elástico. Si después de ocurrir un choque los cuerpos permanecen separados, es decir cada cuerpo lleva velocidad final diferente, este es un choque elástico; si por el contrario, después de ocurrido el choque, los cuerpos permanecen unidos, es decir llevan la misma velocidad final (puesto que van unidos), en este caso será un choque inelástico.

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