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ONDAS DE SONIDO TEMA V Mgr. Iván Ruiz U.

ONDAS DE SONIDO Es una perturbación local de compresiones y/o rarefacciones que experimenta un medio y por donde se propaga la onda. El medio puede ser: un sólido, líquido ó gas. La perturbación generada en algún medio se debe a movimientos oscilatorios longitudinales que realizan las partículas del medio, produciendo cambios locales de presión y densidad. Se tienen tres tipos de ondas sonoras: i) Audibles, detecta el oído humano, su frecuencia va de 20 Hz a 20000 Hz. ii) Infrasónicas, ondas de terremoto, cuya frecuencia es menor a 20 Hz. iii) Ultrasónicas, cuya frecuencia es mayor a 20000 Hz,

I. Ruiz

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ONDAS DE SONIDO Se considera, un gas contenido en un tubo largo de área transversal A, que se subdivide en diferenciales de cilindro de altura dx. Cuando una onda se propaga en este gas, cambia su presión y densidad local. El volumen del diferencial de cilindro es: V0 = A dx El volumen final cuando pasa la perturbación está dada por: V = A [( x + dx + y ( x + dx) − ( x + y ( x)] = A [ dx + y ( x + dx) − y ( x)] V = A ( dx + dy ) El cambio de volumen del diferencial cuando pasa la perturbación es: dV = V − V0

dV = A ( dx + dy ) − A dx

dV = A dy

I. Ruiz

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ONDAS DE SONIDO Considerando la formula de la deformación volumétrica: P = − K ∆V V

El cambio de volumen del diferencial se modela como deformación volumétrica: Ady ∆ V P = −K = −K V Adx

dy P = −K dx

Como los diferenciales de elementos realizan movimientos oscilatorios, por la segunda ley de Newton, se tiene: F =m a

d2y −( P0 A − P ( x) A + P ( x + d x) A − P0 A) = d m 2 dt

Como:

d m = ρ dV = ρ d x A d P = P ( x + d x) − P ( x)

Se tiene la ecuación diferencial: d2y −d P = ρ d x 2 dt

dP d2y = −ρ 2 dx dt

I. Ruiz

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ONDAS DE SONIDO Derivando respecto del tiempo dos veces la ecuación:

∂2P = −K ∂2 ∂ y ∂ t2 ∂ t2 ∂ x

dy P = −K dx

Se obtiene: Derivando respecto de la posición la ecuación:

2 2 ∂2 P = −ρ ∂ ∂ y = −ρ ∂ ∂ y ∂ x ∂ t2 ∂ x2 ∂ t2 ∂ x

dP d2y = −ρ 2 dx dt

Se obtiene: Igualando ambas ecuaciones se obtiene:

2 2 ∂2 ∂ y 1 ∂ P 1 ∂ P = − = − K ∂ t2 ρ ∂ x2 ∂ t2 ∂ x

Por tanto, la ecuación diferencial de la onda de sonido en términos de la presión esta dada por: ∂2 P ρ ∂2 P = 2 K ∂ t2 ∂x

La velocidad de propagación de una onda de sonido es: v=

K

ρ

I. Ruiz

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ONDAS DE SONIDO Derivando respecto de la posición la ecuación: P = −K

∂P ∂2 y = −K ∂x ∂ x2

dy dx

Se obtiene: dP d2y Igualando con la ecuación: d x = − ρ d t 2 Se obtiene, la ecuación diferencial de la onda de sonido en términos del desplazamiento, dada por: ∂P ∂2 y ∂2 y = −K = −ρ 2 2 ∂x ∂x ∂t

∂2 y ρ ∂2 y = 2 K ∂ t2 ∂x

La velocidad de propagación de una onda de sonido es: v=

K

ρ

Donde, K representa el modulo volumétrico del gas y ρ la densidad del gas. “Ambas ecuaciones diferenciales de presión y desplazamiento dan la misma velocidad de propagación” I. Ruiz

OTRAS EXPRESIONES PARA LA VELOCIDAD DE ONDA DE SONIDO En la propagación de las ondas de sonido, se considera que no existe transferencia de energía calorífica, se cumple el proceso adiabático: P = c V −γ

Aplicando la formula de deformación volumétrica al diferencial de cilindro: P = − K ∆V V

d P = − K dV V

Derivando la presión respecto del volumen V:

dP =−K dV V

dP = −c γ V − γ −1 = −c V − γ γ V −1 = − P γ dV V

Igualando las derivadas, se tiene: dP Pγ =−K =− dV V V

K =Pγ I. Ruiz

OTRAS EXPRESIONES PARA LA VELOCIDAD DE ONDA DE SONIDO Sustituyendo en la formula de la velocidad de propagación, la velocidad de la onda de sonido esta dada por: v=

K =

ρ

Pγ

v=

ρ

Pγ

ρ

Considerando que el gas cumple con la ley de los gases ideales: P = RT V n P = RT PV = n RT m

m

ρ

M

La velocidad de propagación de una onda de sonido esta dada por: γ RT v=

Para el caso del aire: γ

M

= 1.4, M = 29 ×10−3 Kg/mol, R = 8,3145 J/°Kmol

La velocidad de propagación de una onda de sonido en el aire esta dada por: v = 20, 03 T

I. Ruiz

ONDA SONORA ARMÓNICA Se demostró que la onda de sonido cumple con las ecuaciones diferenciales de onda unidimensional: ∂2 P = − ρ ∂2 P K ∂ t2 ∂ x2

∂2 y ρ ∂2 y = 2 K ∂ t2 ∂x

Considerando soluciones del tipo armónico dadas por: P = Pmax sin (k x − ω t + φ )

y = ym sin(k x − ω t )

La relación entre la presión P y el desplazamiento y, se considera: dy P = −K

Obteniéndose:

dx

P = − K d [ ym sin (k x − ω t )] dx

P = − K ym k cos (k x − ω t )

Por tanto, la presión máxima está relacionada con el desplazamiento máximo por la expresión: Pmax = K ym k

Como:

v= K/ρ

Pmax = ρ v 2 ym k I. Ruiz

ONDA SONORA ARMÓNICA Considerando la identidad trigonométrica : sin (θ − π / 2 ) = − cos θ

Se tiene:

sin ( k x − ω t + φ ) = −cos( k x − ω t )

De las relaciones: P = Pmax sin (k x − ω t + φ )

Se concluye:

P = − Pm cos (k x − ω t )

φ = −π

2

Por tanto, la onda de presión P está desfasada a la onda de desplazamiento y en -π/2 , es decir:

(

P = Pmax sin k x − ω t − π 2

)

y = ymax sin (k x − ω t )

Donde: Pmax = ρ v 2 ym k I. Ruiz

POTENCIA DE UNA ONDA DE SONIDO Para calcular la potencia en una onda de sonido, se utiliza la relación: Po = F v dy v = Para una onda de sonido se tiene: dt

F =PA

El cambio de presión en un diferencial de gas en forma cilíndrica está dada por: P = − K (dy / dx) La fuerza se podrá escribir en la forma: F = − K A d y dx

Finalmente, la potencia de una onda de sonido esta dada por: dy dy P0 = − K A d x dt

Considerando una onda de sonido del tipo armónica: y = ymax sin (k x − ω t )

Cuyas derivadas están dadas por: dy = ymax k cos ( k x − ω t ) dx

dy = − ymax ω cos ( k x − ω t ) dx

I. Ruiz

POTENCIA DE UNA ONDA DE SONIDO K = ρ v2 Considerando: v = ω / k La potencia instantánea transferida en una onda de sonido está dada: P0 = ym2 K A k ω cos 2 (k x − ω t ) P0 = ym2 A ρ v ω 2 c os 2 ( k x − ω t )

La potencia media esta dada por: P0 = ym2 ω 2 A ρ v cos 2 (k x − ω t )

El promedio de la función: cos 2 θ = 1/ 2 Por tanto, la potencia promedio de una onda de sonido está dada por: P0 = 1 ym2 ω 2 A ρ v 2

I. Ruiz

ONDAS ESFÉRICAS DE SONIDO La onda de sonido no es unidimensional, se propaga en todas las direcciones, en líneas rectas radiales espaciales. Por el teorema de conservación de la energía, en una onda esférica se cumple: “La energía por unidad de tiempo (potencia) emitida por una fuente puntual, se distribuye de manera uniforme sobre la superficie esférica de radio r, la cual se mantiene constante en cualquier superficie esférica concéntrica. La intensidad de sonido en una superficie esférica de radio r está dada por: P I=

0

4π r 2

P0 = 4 π r 2 I

I. Ruiz

ONDAS ESFÉRICAS DE SONIDO Como la intensidad de una onda esférica está dada por: I = 1 ρ v ω 2 ym, 2 2

La potencia que fluye a través de una superficie esférica de radio r está dada por: P0 = π r 2 ρ v ω 2 ym, 2 = constante

P0 = 4 π r I 2

Como la potencia debe mantenerse constante a cualquier distancia radial r, por tanto, la amplitud máxima y’m debe ser función de la distancia radial r dada por la relación: ym y = r ' m

ym es la amplitud de la onda en la posición de la fuente. Por tanto, la onda de sonido esférica está dada por la relación: ym y= sin ( k r − ω t ) r

Donde r es la distancia radial espacial.

I. Ruiz

INTENSIDAD DE ONDA Definición Se define como Intensidad de onda I, a la cantidad de energía promedio transportado por una onda en la unidad de tiempo y por unidad de área que pasa por una sección transversal a la dirección de propagación. P0 I= A

La unidad de la intensidad de onda en el S.I. es el

W/m 2

(Watt/m 2 )

Sustituyendo la relación de la potencia de una onda: P0 = 1 ym2 ω 2 A ρ v 2

La intensidad de una onda de sonido está dada por: I = 1 ym2 ω 2 ρ v 2 I. Ruiz

NIVEL DE SONIDO Experimentalmente se encuentra que: i) La sensación de volumen que escucha el oído humano, es proporcional al logaritmo de la intensidad de sonido, es decir, la sensación de volumen de 100 trompetas es el doble del volumen al de una sola trompeta. ii) La mínima intensidad de sonido que el oído humano puede detectar a una frecuencia de 1000 Hz es de 1x10-12 W/m2, llamado umbral de audición; en cambio la máxima intensidad que puede tolerar sin dolor es de 1 W/m2, llamado umbral de dolor.

I. Ruiz

NIVEL DE SONIDO Por tanto se concluye: “El oído humano detecta como sensación de volumen de una onda de sonido, a la magnitud física llamada Nivel de Sonido β, definida como una magnitud proporcional al logaritmo de la intensidad de sonido”, es decir: β = 10 log I

I0

I0=10-12 W/m2, es la intensidad de sonido del umbral auditivo. La unidad de la intensidad de sonido en el S.I. es el Decibel (dB). La exposición prolongada a intensos niveles sonoros causa daños serios e irreversibles en el sistema auditivo, por lo que se recomienda usar tapones en los oídos para niveles sonoros mayores a 90 dB.

I. Ruiz

EFECTO DOPPLER Es el cambio de frecuencia que experimenta un observador respecto de la frecuencia emitida por una fuente, cuando el observador y la fuente se mueven una respecto de la otra. Se considera que: La fuente se mueve a la derecha con una velocidad vF respecto de O y emite una onda de frecuencia fF o periodo TF. El observador se mueve a la derecha con una velocidad vO respecto de O y escucha la misma onda con una frecuencia fO o periodo TO. La onda se propaga a la derecha con una velocidad v respecto de O y se considera que el aire esta tranquilo (no existe viento). Bajo estas consideraciones, se observa que: I. Ruiz

EFECTO DOPPLER En t=0 la fuente empieza a emitir la onda. Al tiempo t’, el observador comienza a detectar la onda de sonido. En este instante la coordenada de posición de la onda, está dada por: xON = v t '

La coordenada posición observador esta dada por:

del

xOB =
+ v0 t '

Igualando las anteriores ecuaciones: v t ' =
+ v0 t '

Despejando el tiempo t’, se tiene: t'=


v − v0

I. Ruiz

EFECTO DOPPLER Al tiempo t’’, el observador termina de detectar la onda, la coordenada de la cola de onda, está dada por: x 'ON = vF TF + v ( t "− TF )

La coordenada de posición observador está dada por:

del

x 'OB =
+ v0 t "

Igualando las anteriores ecuaciones: vF TF + v t "− vTF =
+ v0 t "

Despejando el tiempo t’’, se tiene: t" =


+ v − vF T v − v0 v − v0 F

I. Ruiz

EFECTO DOPPLER El periodo de la onda que detecta el observador está dado por: T0 = t "− t '

Sustituyendo las anteriores relaciones: v − vF
T0 = t "− t ' = TF −
+ v − v0 v − v0 v − v0

Simplificando términos, el periodo que mide el observador esta dada por: v − vF T0 = TF v − v0

Como la frecuencia es la inversa del periodo, la fórmula del efecto Doppler esta dada por la relación: (v − v0 ) f0 = fF (v − vF ) I. Ruiz

INTERFERENCIA DE ONDAS SONORAS ARMÓNICAS Es la superposición de dos ondas armónicas que tienen la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda, pero desfasados por un ángulo φ: y = y1 + y2 = ym [sin (k x − ω t ) + sin (k x − ω t + φ )]

La onda resultante esta dada por: φ φ y = 2 ym cos   sin ( k x − ω t + ) 2 2

Si φ = 0, 2π, 4π, …, la amplitud es igual 2ym, llamada interferencia constructiva. Si φ = π, 3π, 5π …, la amplitud es nula, llamada interferencia destructiva. El fenómeno de interferencia también se puede establecer por la diferencia de distancias recorridas por dos ondas idénticas. I. Ruiz

INTERFERENCIA DE ONDAS SONORAS ARMÓNICAS Se consideran dos fuentes idénticas separadas a una distancia d, que emiten 2 ondas armónicas en fase. r1 es la distancia de la fuente 1 al punto P. r2 es la distancia de la fuente 2 al punto P. Para que las dos ondas estén en fase en el punto P, interferencia constructiva, se cumple la relación: r1 − r2 = n λ

n = 0,1, 2, 3,...

Para que al punto P, las dos ondas lleguen desfasadas con 180° o π y se de una interferencia destructiva, se debe cumplir la relación:  2 n +1 r1 − r2 =  λ 2  

n = 0,1, 2, 3,... I. Ruiz

ONDAS ESTACIONARIAS EN COLUMNAS DE AIRE La onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos ondas idénticas que viajan en sentidos contrarios. y = y1 + y2 = ym [sin (k x − ω t ) + sin (k x + ω t + φ )]

Aplicando identidades trigonométricas, la onda estacionaria esta dada por: y = [ A sin(kx) + B cos (kx)] cos (ω t + φ )

Se tienen los siguientes casos: i) Tubo de longitud L con ambos extremos libres, cuyas condiciones de frontera están dadas por las relaciones: Para x = 0 Para x = L

dy dx dy dx

=0 x=0

=0 x=L

I. Ruiz

ONDAS ESTACIONARIAS EN COLUMNAS DE AIRE i) Tubo de longitud L con un extremo cerrado y el otro extremo abierto, cuyas condiciones de frontera están dadas por las relaciones: Para x = 0 Para x = L

y=0

dy dx

=0 x=L

i) Tubo de longitud L con ambos extremos cerrados, cuyas condiciones de frontera están dadas por las relaciones: Para x = 0 Para x = L

y=0

y ( L) = 0 I. Ruiz

PULSACIÓN Es el resultado de la superposición de dos ondas armónicas casi idénticas, sus frecuencias angulares como sus números de onda son aproximadamente iguales: y = y1 + y2 = ym [sin ( k x − ω t ) + sin ( k ' x − ω ' t )]

Aplicando identidades trigonométricas, la onda estacionaria esta dada por:  ∆k x − ∆ω t  y = 2 ym cos  sin(k x + ω t )  2  

La amplitud modulada se propaga con la velocidad de grupo: dω ω − ω ' vg = = k −k'

dk

La frecuencia de pulsación está dada por: fP = f − f '

I. Ruiz