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• Harol Anthony Mines Manosalva

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Una onda viajera de frecuencia igual a 20 Hz(c/s) y 8 pies de longitud de onda se propaga a lo largo de una cuerda. El máximo desplazamiento de cualquier punto respecto del equilibrio es de 0,5 pies. a) Escriba una expresión para el desplazamiento de un punto cualquiera en la cuerda en función de su posición “x” y del tiempo “t”. b) ¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda? c) En 𝑡 = 3⁄160 s, halle la velocidad y aceleración del punto de la cuerda situado en “x”. d) Si la tensión de la cuerda es de 64 lb-f, ¿Cuánto pesa un tramo de 1 pie? SOLUCION 𝑓 = 20 𝐻𝑧 ….. frecuencia 𝜆 = 8 𝑝𝑖𝑒𝑠 ….. Longitud de onda 𝜉0 =0,5 pies …… Amplitud a) Desplazamiento de un punto cualquiera de la cuerda en función de “x” y “t”. Asumiendo que es un punto de la cuerda en 𝑡 = 0 , y para 𝑥 = 0 se encuentra en la posición de desplazamiento nulo.

𝜉(𝑥,𝑡) =𝜉

0

𝑥 𝑡 sin 2𝜋( −𝑝) 𝜆

𝑥 = 𝜉0 sin 2𝜋 ( − 𝑡𝑓) 𝜆 Para 𝑓 = 20 𝐻𝑧

𝜆 = 8 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝜉0 = 0.5 𝑝𝑖𝑒

𝜉(𝑥,𝑡)=0.5 𝑠𝑒𝑛[2𝜋(𝑥−20𝑡)] 8

b) La velocidad de propagación de las ondas: 𝑣 = 𝜆𝑓 = 8 𝑝𝑖𝑒 20𝑠 −1 = 160 𝑝𝑖𝑒/𝑠 c) La velocidad y aceleración para 𝑥 = 0, y 𝑡 = 3/160𝑠. Sabemos que:

𝜉(𝑥,𝑡) =𝜉

0

𝑦(𝑥,𝑡) =𝜉

0

𝑥 𝑡 sin 2𝜋( − ) 𝜆 𝑝 𝑥 𝑡 sin 2𝜋( − ) 𝜆 𝑝

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad, esto es:

𝑉

𝑑𝑦 𝑥 𝑡 2𝜋 𝑦=𝑑𝑡 =𝑦0 𝑐𝑜𝑠2𝜋( −𝑝)(− 𝑝 ) 𝜆

= 𝑦0 𝑐𝑜𝑠2𝜋 (

2𝜋𝑥 − 2𝜋𝑓𝑡)(−2𝜋𝑓) 𝜆

= (−2𝜋𝑓) 𝑦0 cos(

2𝜋×0 8

3

− 2𝜋. 20 𝐻𝑧 160 𝑠)

3 = (−2𝜋. 20𝐻𝑧)0,5𝑝𝑖𝑒 cos (− 𝜋) 4

= −20𝜋

𝑝𝑖𝑒 540 cos(− ) 𝑠 4

= −20𝜋

𝑝𝑖𝑒 (−cos135°) 𝑠

= 44,42882938 𝑝𝑖𝑒/𝑠

𝑎

𝑦=

𝑑𝑣 2𝜋𝑥 =−2𝜋𝑦0 [−𝑠𝑒𝑛 ( −2𝜋𝑓𝑡)(−2𝜋𝑓) 𝑑𝑡 𝜆

0 20 × 3 = (−2𝜋)2 𝑦0 [−𝑠𝑒𝑛2𝜋( − ) 8 160 = 4𝜋 2 . 202 0,5 𝑝𝑖𝑒/𝑠 2 [−𝑠𝑒𝑛2𝜋 (− = 800 𝜋 2 𝑝𝑖𝑒/𝑠 2 [−𝑠𝑒𝑛2𝜋 (−

20 × 3 )] 160

3𝜋 )] 4

= 800 𝜋 2 𝑝𝑖𝑒/𝑠 2 [−𝑠𝑒𝑛2𝜋(−135)]

𝑎𝑦 =5583,09136 𝑝𝑖𝑒/𝑠2 d) Peso de 1 pie de la cuerda, para t= 64 lb-f, y “v=160 pie/s” 𝑉 = √𝑇/𝑢 𝑉2 =

𝑈 = 𝑚/𝐿

𝑇 𝑇 𝑇 →𝑈= 2= 𝑢 𝑉 (𝜆𝑓)2

𝑈=

64 𝑙𝑏 − 𝑓 1602 𝑝𝑖𝑒/𝑠 2

𝑈 = 2,5. 10−3

𝑙𝑏 − 𝑓 1 ∗ 𝑝𝑖𝑒/𝑠 2 𝑝𝑖𝑒

𝑈 = 2,5. 10−3

𝑆𝐿𝑈𝐺 𝑚 = 𝑃𝐼𝐸 𝐿

∴ 𝑚 = 2,5. 10−3 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑊 = 𝑚𝑔 = 2,5. 10−3 𝑠𝑙𝑢𝑔 × 32 𝑝𝑖𝑒/𝑠 2 𝑊 = 0,0805

𝑙𝑏 − 𝑓 × 𝑝𝑖𝑒/𝑠 2 𝑝𝑖𝑒/𝑠 2

𝑊 = 0,0805 𝑙𝑏 − 𝑓