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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIER´IA CIVIL, ARQUITECTURA Y URBANISMO ´ ESCUELA PROFESIONAL CIENCIAS F´ISICO MATEMATICAS

Primera Pr´ actica-Preprofesional Informe Responsable: Est. Arturo Flores Condori

Asesor: Lic. Antonio Holguino Huarza PUNO 2010

´ PERU

Z

Universidad Nacional del Altiplano Facultad de Ingeniería Civil y Arquitectura Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas

AL

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DE ASUNTO FECHA

: : :

Y X

Lic. Juan Carlos Benavides Huanca Director de Estudios de la Escuela Profesional Cs. F´ısico Matem´aticas Lic. Antonio Holguino Huarza Informe de las Pr´acticas Pre Profesionales 18 de Enero del 2010

Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las pr´acticas realizadas por el Estudiante ARTURO FLORES CONDORI, el cual detallo a continuaci´on: 1. Mediante MEMORANDO N-064-2008-DE-EPCFM–FICA-UNA. Se designa Al estudiante ARTURO FLORES CONDORI, para que realice pr´acticas pre-profesionales en la escuela profesional de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica en la asignatura de FISICA I la misma que realizo bajo mi asesor´ıa. 2. El estudiante realiz´o la pr´actica a partir de la fecha 06 de Octubre del 2008 y culminando el 19 de Enero del 2009, acumulando un total de 30 horas horas acad´emicas, que consiste en desarrollar la parte practica de la asignatura de FISICA I, correspondiente al I semestre de la E.P. de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica. 3. Durante la realizaci´on de la pr´actica pre-profesional el estudiante en menci´on demostr´o, responsabilidad y dominio de los temas, tanto en la preparaci´on de sus sesiones, como en su desenvolvimiento ante los estudiantes y dem´as tareas asignadas. 4. Concluida la pr´actica pre-profesional el estudiante alcanz´o los objetivos establecidos, siendo as´ı; solicito a Ud. se˜ nor Director realizar los tr´amites necesarios para la expedici´on de la respectiva Resoluci´on. Es cuanto informo a Ud. para los fines que el interesado tenga por conveniente.

Atentamente,

Asesor Lic. ANTONIO HOLGUINO HUARZA UNA-Puno

Z

Universidad Nacional del Altiplano Facultad de Ingeniería Civil y Arquitectura Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas

AL

:

DE ASUNTO FECHA

: : :

Y X

Lic. Antonio Holguino Huarza Asesor de Pr´acticas Est. Arturo Flores Condori Informe de las Pr´acticas Pre Profesionales 10 de Agosto del 2009

Es grato dirigirme a Ud. sobre las pr´acticas que realice el cual detallo a continuaci´on: 1. Mediante el MEMORANDO N-064-2008-DE-EPCFM–FICA-UNA.de fecha, Puno C.U, Setiembre 22 del 2008, se me designa a su persona como asesor, para que realice las pr´acticas pre-profesionales en la Escuela Profesional de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica en la asignatura de F´ısica I. 2. Inici´e la pr´actica el d´ıa 06 de Octubre del 2008, terminando el 19 de Enero del 2009, acumulando satisfactoriamente las 30 horas horas acad´emicas pedidas. 3. Los detalles de la pr´actica pre-profesional se encuentran en la documentaci´on adjunta en este informe. En cuanto puedo informar a Ud. para los fines consiguientes.

Atentamente,

ARTURO FLORES CONDORI Practicante UNA-Puno

´ PRESENTACION Estas notas se originan por las pr´acticas pre-profesionales realizada del 06 de Octubre del 2008, terminando el 19 de Enero del 2009 en la asignatura de F´ISICA I en la Escuela Profesional de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica de la Universidad Nacional del Altiplano Puno. La primera parte contiene todos los datos personales, del lugar donde se realizaron las pr´acticas pre-profesionales y los datos de la asignatura. La segunda parte justifica la realizaci´on de las pr´acticas pre-profesionales. Y el tercera parte menciona los objetivos de la pr´actica pre-profesional. Como una cuarta parte de estas notas menciona el contenido de la asignatura de F´ısica I estos lo conforman del Cuarto al noveno cap´ıtulo, donde el Cuarto cap´ıtulo se refiere a estudio de los Vectores, El Capitulo Quinto est´a dedicado al estudio a las fuerzas y el equilibrio de los Cuerpos, poniendo ´enfasis en el desarrollo de las condiciones que debe cumplir las fuerzas al actuar sobre un cuerpo, El Capitulo Sexto, hace el estudio a los cuerpos o part´ıculas en movimiento sin tomar en cuenta las causas que originan dicho movimiento, El Capitulo S´eptimo est´a dedicado al estudio de Din´amica, trabajo y energ´ıa, El Octavo cap´ıtulo est´a dedicado al estudio de la cantidad de movimiento, impulso y choques, y el Noveno Cap´ıtulo estudia la Rotaci´on de Cuerpos R´ıgidos. Finalmente, en D´ecimo Cap´ıtulo se se˜ nal´o la metodolog´ıa usada para el curso de F´ısica I, en Onceavo Cap´ıtulo se presenta la cronograma de actividades de acuerdo a los temas realizados y en el Doceavo Cap´ıtulo presentamos la relaci´on de Estudiantes y sus asistencias a la asignatura de F´ısica I. Al final se especifica la bibliograf´ıa usada para el desarrollo de estas notas. Espero que este informe sirva como referencia para futuras pr´acticas pre-profesionales que se realicen referentes a la Asignatura.

.

ARTURO FLORES CONDORI

´Indice general Presentaci´ on

III

Indice General

IV

1. Datos Informativos

2

2. Justificaci´ on

3

3. Objetivos 3.1. Objetivos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Objetivos Espec´ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 6

4. Vectores 4.1. Vectores Unitarios . . . . . . . . . . 4.2. Componentes de un Vector . . . . . . 4.3. Producto Escalar o Producto Punto . 4.4. Producto Vectorial o Producto Cruz 4.5. Problemas Resueltos . . . . . . . . .

. . . . .

5. Est´ atica 5.1. Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Primera Condici´on de Equilibrio 5.1.2. Segunda condici´on de Equilibrio 5.2. Momento o Torque de una Fuerza . . . 5.3. Centro de Masa . . . . . . . . . . . . . 5.4. Problemas Resueltos . . . . . . . . . .

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6. Cinem´ atica 6.1. Movimiento Curvilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Movimiento Rectilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Movimiento Rectilineo Uniforme (MRU) . . . . . . . . . 6.2.2. Movimiento Rectilineo Uniformemente Variado (MRUV) 6.3. Movimiento de Proyectiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

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7 . 7 . 8 . 8 . 9 . 10

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13 13 13 13 14 14 14

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21 21 23 24 25 26 28

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´INDICE GENERAL

1

7. Din´ amica, Trabajo y Energ´ıa 7.1. La Din´amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Peso de los Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Fuerzas de Fricci´on o Rozamiento (f~) . . . . . . . 7.5. Trabajo y Energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2. Energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3. El Principio de la Conservaci´on de Energ´ıa 7.6. Ejercicio Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

33 33 33 33 34 35 35 35 36 36

8. Cantidad de Movimiento, Impulso y Choques 8.1. Cantidad de Movimiento e Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Choques o Colisiones de Part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42 42 43 43

9. Rotaci´ on de Cuerpos R´ıgidos 9.1. Cuerpos R´ıgidos . . . . . . . . . 9.2. Traslaciones y Rotaciones . . . 9.3. Momento de Inercia . . . . . . . 9.4. Momentos de Inercia Especiales 9.5. Problemas Resueltos . . . . . .

49 49 49 49 50 51

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10.Metodolog´ıa 55 10.1. Estrategias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 10.2. T´ecnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 10.3. M´etodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 11.Temas y Cronograma de Actividades 56 11.1. Temas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 11.2. Cronograma de Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 12.Relaci´ on de Estudiantes y Asistencia 58 12.1. Relaci´on de Estudiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 12.2. Asistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Bibliograf´ıa

60

Arturo

Flores

Condori

Cap´ıtulo 1 Datos Informativos Responsable DNI C´ odigo Nivel Semestre Duraci´ on

Asesor Condici´ on Categor´ıa

: : : : : :

Arturo Flores Condori 42221680 040706 Quinto Noveno Del 06 de Octubre del 2008 y culminando el 19 de Enero del 2009

: Lic. Antonio Holguino Huarza : Nombrado : Auxiliar

Asignatura Escuela Profesional Instituci´ on Lugar

: : : :

F´ısica I Ing. Mec´anica El´ectrica Universidad Nacional del Altiplano Puno

Naturaleza de la Asignatura N´ umero de Horas Cr´ editos Prerrequisito A˜ no Acad´ emico Semestre ´ Area Grupo

: : : : : : : :

Obligatorio 3T+2P=5 Hrs. 4 Ninguno 2008 I Formaci´on General ´ Unico

2

Cap´ıtulo 2 Justificaci´ on Las pr´acticas pre-profesionales en la Escuela Profesional de Ciencias F´ısico Matem´aticas, son de mucha importancia para poner en practica los conocimientos y experiencias adquiridas durante nuestra permanencia como estudiante, en la din´amica del proceso ense˜ nanzaaprendizaje y la experimentaci´on te´orica; as´ı mismo construimos una s´olida base adquiriendo destreza y habilidad para nuestro buen desempe˜ no como profesionales. Por otro lado, las pr´acticas pre-profesionales son para dar cumplimiento a uno de los requisitos exigidos dentro del Programa Acad´emico de la Facultad de Ingenier´ıa Civil y Arquitectura de Nuestra Universidad Nacional del Altiplano para la obtenci´on del grado acad´emico de Bachiller, el cual tiene sustento legal en:

1. Constituci´ on Pol´ıtica del Per´ u ´ La Constituci´on Pol´ıtica del Per´ u de 1993, es la actual constituci´on del Per´ u. Esta es considerada como la norma jur´ıdica suprema y v´ertice de todo el ordenamiento jur´ıdico que regula la vida dentro del pa´ıs. Art. 14 La educaci´on promueve el conocimiento, el aprendizaje y la pr´actica de las humanidades, la ciencia, la t´ecnica, las artes, la educaci´on f´ısica y el deporte; prepara para la vida, el trabajo y fomenta la solidaridad. Art. 18 La educaci´on universitaria tiene como fines la formaci´on profesional, la difusi´on cultural, la creaci´on intelectual y art´ıstica y la investigaci´on cient´ıfica y tecnol´ogica. El estado garantiza la libertad de c´atedra y rechaza la intolerancia. Las universidades son promovidas por entidades privadas o p´ ublicas. La ley fija las condiciones para autorizar su funcionamiento. La universidad es la comunidad de profesores, alumnos y graduados. Participan en ella los representantes de los promotores, de acuerdo a ley. Cada universidad es aut´onoma en su r´egimen normativo, de gobierno, acad´emico, administrativo y econ´omico. Las universidades se rigen por sus propios estatutos en el marco de la Constituci´on y de las leyes.

3

2. Justificaci´ on

4

2. Ley Universitaria No 23733 Dado en la casa de gobierno en Lima, a los nueve d´ıas del mes de diciembre de mil novecientos ochenta y tres. En el gobierno de: FERNANDO BELAUNDE TERRY, y siendo PATRICIO REY DE CASTRO, Ministro de Educaci´on. Art. 9 Cada universidad organiza y establece su r´egimen acad´emico por facultades a sus necesidades y caracter´ısticas. Art. 18 Cada universidad se˜ nala los requisitos para la obtenci´on de los grados acad´emicos y de los t´ıtulos profesionales correspondientes y las carreras que ofrece. Art. 23 Los t´ıtulos profesionales de licenciado o su equivalente requieren de estudios de una duraci´on no menor de diez semestres acad´emicos o la aprobaci´on de los a˜ nos o cr´editos correspondientes, incluidos los de cultura general que los preceden. Adem´as son requisitos la obtenci´on previa del Bachillerato respectivo y, cuando sea aplicable, el haber efectuado pr´actica profesional calificada. Para obtener el t´ıtulo de licenciado o sus equivalentes, se requiere de una tesis o de un examen profesional. La segunda especialidad requiere la licenciatura u otro t´ıtulo profesional equivalente previo. Da acceso al t´ıtulo, o a la certificaci´on o menci´on correspondientes.

3. Estatuto de la Universidad Nacional del Altiplano Aprobado en asamblea universitaria del 06 al 19 de enero de 2005. Art. 19 La universidad se integra por unidades acad´emicas fundamentales denominadas facultades estos organizan y desarrollan actividades de investigaci´on, proyecci´on social y presentaci´on de servicios. Art. 122 La actividad acad´emica en una escuela profesional comprende: - Formaci´on general. - Formaci´on b´asica profesional. - Formaci´on profesional. - Investigaci´on. - Orientaci´on profesional. - Proyecci´on y extensi´on universitaria. Su dise˜ no involucra la programaci´on curricular te´orico-pr´actica de cada asignatura; proyectos de investigaci´on sobre la realidad regional, nacional y mundial; plan de actividades de proyecci´on y extensi´on universitaria; y un plan de pr´acticas preprofesionales.

Arturo

Flores

Condori

2. Justificaci´ on

5

4. Curricula de la Escuela Profesional Ciencias F´ısico Matem´ aticas Art. 40 El presente reglamento se sustenta en el estatuto de la U.N.A. que contempla la realizaci´on de pr´acticas pre profesionales en la formaci´on de todos los estudiantes de la universidad. Art. 41 Los estudiantes de la Carrera Profesional de Cs. F´ısico Matem´aticas est´an obligados a realizar pr´acticas pre profesionales pudiendo efectuarse despu´es de haber logrado un m´ınimo de 170 cr´editos. Art. 42 Las pr´acticas pre profesionales de la Carrera Profesional de Cs. F´ısico Matem´aticas ser´an pr´acticas productivas y pr´acticas de investigaci´on. Art. 43 Las pr´acticas productivas comprender´an pr´acticas pedag´ogicas en centros de ense˜ nanza de nivel medio superior y universidades; pr´acticas en centros productivos, convenio, proyectos y otros que requieran la participaci´on de F´ısicos Matem´aticos. Art. 44 Las pr´acticas de investigaci´on se realizan en la U.N.A. bajo la direcci´on de un profesor designado espec´ıficamente con este fin. Art. 45 Las pr´acticas productivas de investigaci´on tendr´an una duraci´on de un semestre acad´emico. Art. 46 Los estudiantes, despu´es de haber cumplido con sus pr´acticas productivas y/o de investigaci´on presentar´an el informe a la instituci´on donde se realiz´o y esta a su vez informar´a de su desarrollo a la Direcci´on de Carrera quien lo remitir´a a la comisi´on de pr´acticas pre profesionales para su aprobaci´on o desaprobaci´on. Art. 47 En el caso de que la pr´actica productiva y/o pr´acticas de investigaci´on se realice en la Universidad Nacional del Altiplano el practicante presentar´a el informe al docente a cargo, ´este a su vez informar´a su desarrollo a la Direcci´on de la Carrera para el visto bueno de la comisi´on de pr´acticas Pre profesionales. Art. 48 Los aspectos no contemplados en el presente reglamento ser´an absueltos por la Comisi´on de pr´acticas pre profesionales.

Arturo

Flores

Condori

Cap´ıtulo 3 Objetivos 3.1.

Objetivos Generales

Las pr´acticas pre-profesionales tienen como objetivo: • Consolidar los conocimientos adquiridos previamente en las aulas. • Complementar nuestra formaci´on profesional, a trav´es del contacto con el mundo laboral, antes de terminar nuestros estudios.

3.2.

Objetivos Espec´ıficos

• Poner en pr´actica los conocimientos adquiridos previamente en las aulas, en la ense˜ nanza de la F´ısica. • Realizar labores participativas que nos coadyuven al perfeccionamiento profesional y a la formaci´on cient´ıfica y del conocimiento de la F´ısica, adecu´andonos a los requerimientos de la regi´on y del pa´ıs para contribuir a su desarrollo y transformaci´on socio-econ´omica. • Promover el intercambio acad´emico con las escuelas profesionales, experimentado y mostr´andoles que la F´ısica es la ciencia mas b´asica para la descripci´on de fen´omenos naturales, y as´ı mismo adquiriendo destreza y habilidad en la din´amica de ense˜ nanzaaprendizaje.

6

Cap´ıtulo 4 Vectores Un vector.- es un segmento de recta, que tiene direcci´on, sentido y origen. Las Q

®

®

A

A

®

A

®

®

B

-A

b)

c)

P

a)

Figura 4.1: siguientes definiciones son fundamentales: ~yB ~ so iguales si tienen la misma magnitud y direcci´on prescindiendo 1. Dos vectores A ~=B ~ se ilustra en la figura 4.1.b) de sus puntos de origen. As´ı, A ~ pero con la misma longitud 2. Un vector cuya direcci´on es opuesta a la del vector A ~ se denota por −A como en la figura 4.1c) ~ y B ~ de la figura 4.2b) es un vector C, ~ el 3. La suma o resultante de los vectores A ~ en el extremo de A ~ y uniendo el origen de cual se forman colocando el origen de B ~ con el extremo de B ~ (ver figura 4.2b). Escribimos C ~ =A ~ + B, ~ esta definici´on es A equivalente a la ley del paralelogramo para la suma de vectores como se indica en la figura 4.2c).

4.1.

Vectores Unitarios

Los vectores que tienen longitud igual a la unidad son llamados vectores unitarios. Si ~ ~ > 0, entonces A/|| ~ A|| ~ = ~u es un vector unitario que A es un vector con longitud ||A|| ~ de donde: tiene la misma direcci´on de A, ~ = ||A||~ ~ u A

(4.1)

4. Vectores

8 ®

A

®

B

®

®

® ®

C=A+B

A

®

A ®

B ® ®

B

® ®

C=A+B

a)

b)

c)

Figura 4.2:

4.2.

Componentes de un Vector

~ con su oriSean (A1 , A2 , A3 ) las coordenadas rectangulares del extremo del vector A ˆ ˆ ˆ gen en O. Los vectores A1 i, A2 j, A3 k se llaman componentes rectangulares vectoriales o ~ en las direcciones x, y y z respectivamente, en la figura. simplemente componente de A Z

®

(A1,A2,A3)

A

A3 k Y A1i A2 j X

Figura 4.3: ~ por lo tanto podemos escribir: La suma o resultante de A1ˆi, A2ˆj y A3 kˆ es el vector A, ~ = A1ˆi + A2ˆj + A3 kˆ A ~ es: La magnitud de A ~ = A = ||A||

(4.2)

q A21 + A22 + A23

(4.3)

En particular, el vector de posici´on o radio vector ~r de O al punto (x, y, z) se escribe: ~r = xˆi + yˆj + z kˆ y su magnitud es: r = ||~r|| =

4.3.

(4.4)

p

x2 + y 2 + z 2

(4.5)

Producto Escalar o Producto Punto

~ yB ~ de notado por A ~ · B, ~ se El producto escalar o producto punto de dos vectores A ~ ~ define como el producto de las magnitudes de A, B y el coseno del ´angulo que forman

Arturo

Flores

Condori

4. Vectores estos vectores; es decir:

9

~·B ~ = AB cos θ ; 0 ≤ θ ≤ π A

(4.6)

~·B ~ es una cantidad escalar, mas no un vector. Obs´ervese que el producto A Las siguientes leyes son validad: ~·B ~ =B ~ ·A ~ 1. A ~ · (B ~ + C) ~ =A ~·B ~ +A ~·C ~ 2. A ~ · B) ~ = (pA) ~ ·B ~ =A ~ · (pB) ~ = (A ~ · B)p; ~ 3. p(A donde p es un escalar. 4. ˆi · ˆi = ˆj · ˆj = kˆ · kˆ = 1; ˆi · ˆj = ˆj · kˆ = kˆ · ˆi = 0 ˆ yB ~ = A1ˆi + A2ˆj + A3 k; ~ = B1ˆi + B2ˆj + B3 kˆ entonces: 5. Si A ~·B ~ = A 1 B1 + A 2 B2 + A 3 B3 A ~·B ~ = 0 y estos vectores son no nulos, entonces A ~yB ~ son perpendiculares. 6. Si A

4.4.

Producto Vectorial o Producto Cruz

~yB ~ es un vector C ~ =A ~ × B. ~ La magnitud El producto vectorial o producto cruz de A ~ ×B ~ se define como el producto de las magnitudes de A, ~ B ~ y el seno del ´angulo entre de A ellos, es: ~ × B|| ~ = AB sen θ ; 0 ≤ θ ≤ π ||A (4.7) ~ = A ~×B ~ es perpendicular al plano formado por A ~ y B. ~ Si La direcci´on del vector C ~=B ~ o si son paralelos, entonces sen θ = 0 y definimos que ||A ~ × B|| ~ =0 A Los siguientes leyes son importantes: ~×B ~ = −B ~ ×A ~ 1. A ~ × (B ~ + C) ~ =A ~×B ~ +A ~×C ~ 2. A ~ × B) ~ = (pA) ~ ×B ~ =A ~ × (pB) ~ = (A ~ × B)p ~ donde p es un escalar. 3. p(A ˆ ˆj × kˆ = ˆi; kˆ × ˆi = ˆj 4. ˆi × ˆi = ˆj × ˆj = kˆ × kˆ = 0 y ˆi × ˆj = k; ˆ yB ~ = B1ˆi + B2ˆj + B3 kˆ entonces: ~ = A1ˆi + A2ˆj + A3 k; 5. Si A ¯ ¯ ¯ ˆi ˆ ¯ ˆj k ¯ ¯ ~×B ~ = ¯ A1 A2 A3 ¯ A ¯ ¯ ¯ B1 B2 B3 ¯ ~ × B||=area ~ ~yB ~ 6. ||A del paralelogramo con lados A ~×B ~ = ~0 y estos vectores son no nulos, entonces A ~yB ~ son paralelos. 7. Si A

Arturo

Flores

Condori

4. Vectores

4.5.

10

Problemas Resueltos

Problema 4.1 Determinar el area del paralelogramo que tiene por diagonales a los vectores P~ = 6ˆi + ~ = 2ˆi − 6ˆj + 8kˆ 2ˆj − 4kˆ y Q Soluci´ on: ®

b

®

P

®

Q ®

a

De la figura tenemos:

~ = ~a − ~b P~ = ~a + ~b; y Q

~ = (~a + ~b) × (~a − ~b) = ~a × −~b + ~b × ~a P~ × Q = −(~a × ~b) + (~b × ~a) = −(~a × ~b) − (~a × ~b) = −2(~a × ~b) ~ P~ × Q ⇒ ~a × ~b = − 2 Pero como:

Luego:

¯ ¯ ¯ ~ ~ P × Q = ¯¯ ¯

¯ ˆi ˆj kˆ ¯¯ 6 2 −4 ¯¯ = 8ˆi + 56ˆj + 40kˆ 2 −6 8 ¯

~ |P~ × Q| Aparalel = |~a × ~b| = 2 1√ 2 8 + 562 + 402 2 = 34,6u2 .

⇒ Aparalel =

por lo tanto, el ´area del paralelogramo que tiene los diagonales, es: 34,6u2 . Problema 4.2 ~ el vector R ~ = mP~ + nQ, ~ tal como se indica en la figura , Si Dados los vectores P~ y Q, P = 3; Q = 5 y R = 10. Hallar la relaci´on m/n. Soluci´ on:De la figura:

~ = P ˆi + Qˆj R

Arturo

Flores

Condori

4. Vectores

11 Y ®

Q

®

R

45° ®

X

P

Luego sabiendo que:

~ = Qˆj P~ = P ˆi; Q ~ = mP~ + nQ ~ R

tenemos: ~ = mP ˆi + nQˆj R ~ = 3mˆi + 5nˆj = P~ + Q ~ R ~ = 3mˆi + 5nˆj = 10 cos 45ˆi + 10 sin 45ˆj R igualando miembro a miembro:

Luego, la relaci´on de

m n

√ √ 3m = 5 2; 5n = 5 2

es: m 5 = n 3

Problema 4.3 ˆ ~ si P~ = 2ˆi + 2ˆj + 2k; Determinar un vector unitario perpendicular al vector P~ y Q, ~ = 4ˆi + 6ˆj − 2kˆ Q De la figura sea: ®

C

~ = Cxˆi + Cy ˆj + Cz kˆ C

®

Q

Adem´as:

Soluci´ on: ®

uC

· · · (∗)

~ ~uc ⊥ P~ ; ~uc ⊥ Q

Luego: ®

P

Entonces:

~ ⊥ P~ ⇒ C ~ · P~ = 0 C ~ ⊥Q ~ ⇒ C ~ ·Q ~ =0 C

ˆ · (2ˆi + 2ˆj + 2k) ˆ =0 i) (Cxˆi + Cy ˆj + Cz k) ⇒ 2Cx + 2Cy + 2Cz = 0

· · · (1)

Arturo

Flores

Condori

4. Vectores

12

ˆ · (4ˆi + 6ˆj − 2k) ˆ =0 ii) (Cxˆi + Cy ˆj + Cz k) ⇒ 4Cx + 6Cy − 2Cz = 0

· · · (2)

Sumando (1) y (2) tenemos: 6Cx + 8Cy = 0 4 Cx = − Cy 3

· · · (3)

De (3) en (2):

4 4(− )Cy + 6Cy − 2Cz = 0 3 1 Cz = Cy 3 Reemplazando (3) y (4) en (∗) se tiene:

· · · (4)

~ = − 4 Cyˆi + Cy ˆj + 1 Cy kˆ C 3 3 1 4 ˆ ~ = Cy (− ˆi + ˆj + k) C 3 3 entonces: r

16 1 ~ C = ||C|| = | ± Cy | +1+ 9 9 √ 26 C = ± Cy 3 Luego:

ˆ ~ Cy (− 34ˆi + ˆj + 13 k) C √ ~uc = = C ± 326 Cy √ 3 26 4ˆ ˆ 1 ˆ ~uc = (− i + j + k) 26 3 3

~ por consiguiente, el vector unitario perpendicular al vector P~ y Q,es: √ 3 26 4ˆ ˆ 1 ˆ (− i + j + k) ~uc = 26 3 3

Arturo

Flores

Condori

Cap´ıtulo 5 Est´ atica La Est´atica es una parte de la f´ısica que estudia a las fuerzas y el equilibrio de los cuerpos, es decir estudia las condiciones que debe de cumplir las fuerzas para que al actuar sobre un cuerpo que hagan que mantengan en una condici´on de equilibrio. Como dijimos que es la parte de la mec´anica que estudia el caso particular cuando: X F~ = ~0 (5.1) Es decir: cuando la aceleraci´on es nula, o la velocidad sea constante. Nota: que no hay distinci´on entre un cuerpo en reposo y otro que este con velocidad uniforme, habr´a un sistema de referencia inercial en el cual est´a en reposo. En un sistema de coordenadas cartesiano rectangular, las condiciones de equilibrio para una part´ıcula ser´an: ΣFx = 0; ΣFy = 0; ΣFz = 0 (5.2)

5.1.

Equilibrio

Se dice que un cuerpo esta en equilibrio, cuando esta en un estado de reposo.

5.1.1.

Primera Condici´ on de Equilibrio

La suma algebraica de las fuerzas aplicadas a un cuerpo o masa puntual debe ser cero, haciendo ~a = ~0: X F~ = ΣFxˆi + ΣFy ˆj + ΣFz kˆ = ~0 ΣFx = 0; ΣFy = 0; ΣFz = 0

5.1.2.

(5.3)

Segunda condici´ on de Equilibrio

La suma algebraica de momentos de un sistema de fuerzas aplicadas a un cuerpo r´ıgido debe ser cero, haciendo ~a = ~0: X ~ = ΣMxˆi + ΣMy ˆj + ΣMz kˆ = ~0 M 13

5. Est´ atica

14 ΣMx = 0; ΣMy = 0; ΣMz = 0

5.2.

(5.4)

Momento o Torque de una Fuerza

El momento de una magnitud vectorial, mide la acci´on de hacer girar o rotar un cuerpo al aplicar una fuerza con respecto a un eje de giro. Al estudiar un cuerpo r´ıgido y las rotaciones veremos que adem´as de la fuerza es necesario considerar donde esta aplicada la fuerza.Introducimos otra nueva cantidad f´ısica, ~ o ) con respecto a un punto O, definido por: denominada torque (T~o ) o momento (M ~ o = ~r × F~ T~o = M ~ o ⊥ ~r y M ~ o ⊥ F~ donde: M En funci´on de sus componentes cartesianas sera: ¯ ¯ ˆi ˆj kˆ ¯ ~ Mo = ¯¯ x y z ¯ Fx Fy Fz

5.3.

(5.5)

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(5.6)

Centro de Masa

Todo cuerpo est´a constituido por part´ıculas, sobre la cual act´ ua el campo gravitatorio, que est´a sometido a la acci´on de una fuerza, llamado peso.

5.4.

Problemas Resueltos

Problema 5.1 Un bal´on descansa contra el poste al que est´a atado, como se muestra en la figura. Si el cordel L mide 1.40m el bal´on tiene 0.110m de radio y una masa de 0.270kg ¿Qu´e tensi´on hay en la cuerda y que fuerza ejerce el poste sobre el bal´on?. Suponga que no hay fricci´on entre el poste y el bal´on (el cordel est´a atado al bal´on de modo que una linea a lo largo del cordel pasa por el centro del bal´on). g = 9,8m/s2 .

L=1.40 m

r

r=0.110 m

Figura 5.1:

Arturo

Flores

Condori

5. Est´ atica

15

Soluci´ on: Donde los datos del problema, tenemos L = 1,40m, r = 0,110m y m = 0,270kg. Planteando el problema y haciendo el diagrama de cuerpo libre para los vectores de fuerza de cada interacci´on entre el poste y bal´on. T T

FR

Þ W FR W

De los datos del problema y de la figura 5.1 obtenemos: sen θ =

r 0,110m, = = 0073 T 1,51m

⇒

4,17◦

Adem´as del diagrama de cuerpo libre se tiene: W mg = T T mg T = cos 4,17◦ (0,270kg)(9,8m/s2 ) = = 2,65N 0,99

Cosθ =

La fuerza de reacci´on entre el poste y el bal´on con la tensi´on tenemos el sen θ, entonces FR T = T sen θ = (2,65)(0,073) = 0,193N

sen θ = FR

por consiguiente, la tensi´on y la fuerza que ejerce el poste sobre el bal´on es: T = 2,65N Y FR = 0,193N . Problema 5.2 Le piden dise˜ nar el m´ovil decorativo que se muestra en la figura. Los hilos y varillas tiene peso despreciable, y las varillas deben colgar horizontales. 1. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada varilla 2. Calcule los pesos de la esfera A, B, C. Adem´as calcule las tensiones en los alambres S1 , S2 y S3 .

Arturo

Flores

Condori

5. Est´ atica

16

2cm 3cm

6cm 5cm 4cm

C 8cm

B A

6.0 N

Soluci´ on: i) Analizando en la varilla inferior

T3 4cm

8cm P

6.0 N

A

Aplicando las condiciones de equilibrio obtenemos: X MP = 0 : (6N )(4cm) = A(8cm) ⇒ A = 3N X F~ = 0 : T3 = 6N + A = 6N + 3N ⇒ T3 = 9N ii) Analizando de la misma forma en la varilla media, tenemos

T2 3cm

5cm P

B

T3 =9.0 N

X MP = 0 : B(3cm) = 9N (5cm) ⇒ B = 15N X F~ = 0 : T2 = B + T3 = 15N + 9N ⇒ T2 = 24N

Arturo

Flores

Condori

5. Est´ atica

17

iii) Analizando en la varilla superior

T1 2cm

6cm P

C

T2 =24 N

X MP = 0 : (24N )(2cm) = C(6cm) ⇒ C = 8N X F~ = 0 : T1 = T2 + C = 24N + 8N ⇒ T1 = 32N

Problema 5.3 Una viga uniforme de 250kg se sostiene con un cable unido al techo, como se muestra en la figura. El extremo inferior de la viga descanza en el piso 1. Calcule la tensi´on en el cable 2. ¿Qu´e coeficiente de fricci´on est´atico m´ınimo debe hacer entre la viga y el piso para que la viga permanesca en esta posici´on?(g = 9,8m/s2 )

160°

40°

Soluci´ on: Haciendo el diagrama de cuerpo libre: T T Sen60°

D.C.L.

T Sen20°

20° 60° 40° T Cos60°

L/ 2 Y

P mg Sen40°

®

n

fs

L/ 2 40°

40°

mg Cos40°

mg X

Arturo

Flores

Condori

5. Est´ atica

18

Para nuestro caso se debe cumplir con las siguientes condiciones i)

X M0 = 0, entonces µ ¶ L T sen 20 (L) − mg cos 40◦ = 0 2 ◦

T = ii)

1 mg 2

cos 40◦ (L) = 2743N sen 20◦

X F~i = 0, entonces X Fy = 0 n − mg + T sen 60◦ = 0 n = (mg) − T sen 60◦ n = 73,8N Entonces

X Fx = 0 ⇒ fs = T cos 60◦ = 1372N

Luego , si f s = µs n ⇒ µs =

fs 1372N = = 18,5 n 73,8N

∴ µs = 18,5 (El piso debe estar muy rugoso para que la viga no se deslice) Problema 5.4 3 Determinar el centro de masa de la figura indicada y = x3 4 Y

3

y= 3 x 4

6

0

2

X

Soluci´ on:

Arturo

Flores

Condori

5. Est´ atica

19

Usando elementos diferenciales verticales tal como se indica en la siguiente la figura, tenemos que el ´area diferencial del mismo es: Y 6 3

y= 3 x 4

h=6 x= x

yCM = y 2

0

x

El ´area total ser´a:

Z A

=∈20

X

2 dx

2

ydx = 0

¯2 3 3 3 x4 ¯¯ x dx = . ¯ = 3 4 4 4 0

Hallando el valor de x¯: Z x¯A =

x¯CM dA Z

Z

2

⇒ x¯(3) =

2

xydx = 0

Z

0

3 3 x xdx 4

2

3 x4 dx 4 0 3(32) 24 x¯(3) = = = 4,8 4(5) 5 x¯(3) =

Hallando el valor de y¯: Z y¯A =

y¯CM dA Z

2

y ydx 0 2 Z 2 2 y = dx 0 2 Z µ ¶2 1 2 3 ⇒ y¯A = x6 dx 2 0 4 =

Arturo

Flores

Condori

5. Est´ atica

20

y Pero y¯CM = , entonces 2 9 y¯(3) = 32

Z

2

x6 dx 0 ¯2 9 x7 ¯¯ = 32 7 ¯0 9 (2)7 1 y¯ = = 1,7 32 7 3

∴ CM = (1,6, 1,7) Problema 5.5 Una caja de 85N con naranjas se empuja por un piso horizontal, fren´andose a una raz´on constante de 0,90m/s cada segundo. La fuerza de empuje tiene una componente horizontal de 20N y una vertical de 25N hacia abajo. Calcule el coeficiente de fricci´on cin´etica entre la caja y el piso. Soluci´ on: El coeficiente de fricci´on cin´etica es la raz´on de fk /n, y la fuerza normal tiene una magnitud de 85N + 25N = 110N . La fuerza de fricci´on, de FH − fk = ma = w ag es: µ ¶ −0,9m/s2 a = 28N. fk = FH − w = 20N − 85N g 9,80m/s2 (Nota, la aceleraci´on es negativa), y entonces el coeficiente de fricci´on cin´etica entre la caja y el piso, es: µk = 28N/110N = 0,25. Problema 5.6 La posesi´on de un helic´optero de entrenamiento de 2,75 × 105 N que se esta probando est´a dada por ~r = (0,020m/s3 )t3bi + (2,2m/s)tb j − (0,060m/s2 )t2 b k. Determine la fuerza neta sobre el helic´optero en t = 5s. Soluci´ on: Diferenciando, la aceleraci´on de un helic´optero en funci´on del tiempo es: ¡ ¢ ¡ ¢ ~a = 0,120m/s3 tbi − 0,12m/s2 b k adem´as, y en t = 5s, la aceleraci´on es: ¡ ¢ ¡ ¢ ~a = 0,60m/s2 tbi − 0,12m/s2 b k la fuerza sobre el helic´optero, es entonces: ¢ ¢ i ¡ (2,75 × 105 N ) h¡ W 2 b 2 b k 0,60m/s i − 0,12m/s F = m~a = ~a = g (9,80m/s2 ) ¡ ¢ ¡ ¢ F = 1,7 × 104 N bi − 3,4 × 103 N b k.

Arturo

Flores

Condori

Cap´ıtulo 6 Cinem´ atica La cinem´atica es una parte de la mec´anica que estudia a los cuerpos o part´ıculas en movimiento, sin tomar en cuenta las causas que originan dicho movimiento, es decir la trayectoria que describe los cuerpos o part´ıculas en movimiento. Movimiento.- Es un cambio continuo de la posici´on de un cuerpo o part´ıcula con respecto a otro, considerando la figura siguiente. Se dice que una part´ıcula esta en movimiento cuando la part´ıcula cambia de posici´on con respecto a un sistema de referencia. Z A tA

Dr

rA

B tB

rB O X

∆~r = ~rB − ~rA

Pto. de referencia

Y

(vector de desplazamiento)

(6.1)

donde ~r = xbi + yb j + zb k, |∆~r| = d

6.1.

Movimiento Curvilineo

Velocidad La velocidad es una magnitud vectorial cuyo m´odulo lo mide la rapidez de cambio de posici´on en un unidad de tiempo

21

6. Cinem´ atica

22

Velocidad Media Se define como la raz´on de la variaci´on de la posici´on sobre la variaci´on del tiempo. ¾ Vm = ∆r , escalarmente ∆t (6.2) r V~m = ∆~ vectorialmente ∆t ½ ∆~r = ~rB − ~rA donde: ∆t = tB − tA

Velocidad Instantanea La velocidad instantanea se define como la posici´on de variaci´on de un instante. matem´aticamente se define como el l´ımite de Vm cuando el intervalo de tiempo se hace ∆~r d~r peque˜ no o tiene a cero. Si ∆t → 0, entonces ~v = l´ım = ∆t→0 ∆t dt ~v =

d~r dt

F´ormula de Velocidad Instantanea

, vy = dy y vz = Adem´as ~v = vxbi + vyb j + vz b k de donde vx = dx dt dt q |~v | = v = x2x + vy2 + vz2

dz , dt

(6.3) entonces (6.4)

Aceleraci´ on Es una magnitud vectorial cuyo m´odulo mide la rapidez con la que un m´ovil cambia de velocidad en una unidad de tiempo.

Aceleraci´ on Media t1

v1

aT Dr

aN a r1

t2 v2

Z r2

Y

X

~am = ½ donde:

∆~v ~v2 − ~v1 = ∆t t2 − t1

(6.5)

∆~v = ~v2 − ~v1 ∆t = t2 − t1

Arturo

Flores

Condori

6. Cinem´ atica

23

Aceleraci´ on Instantanea Si ∆t → 0 entonces ~a = l´ım

∆t→0

∆~v d~v = ∆t dt ~a =

d~v d2~r = 2 dt dt

(6.6)

Adem´as ~a = axbi + ayb j + az b k q a = |~a| = a2x + a2y + a2z

(6.7) (6.8)

Su unidad de aceleraci´on en S.I. (m/s2 ) Nota: La aceleraci´on media tiene la direcci´on de variaci´on de velocidad ∆~v Para la aceleraci´on instantanea viene hacer la derivada con respecto al tiempo.

6.2.

Movimiento Rectilineo

Un cuerpo o part´ıcula se dice que esta en movimiento rectilineo, cuando se desplaza en una trayectoria recta. t2

t1

X x2 P 2

P1 x1

∆x = x2 − x1 ∆t = t2 − t1 ∆~r = ∆xbi

(6.9)

El Desplazamiento El desplazamiento de la part´ıcula es un vector que apunta de P1 a P2 a lo largo del eje X. La componente x del desplazamiento es simplemente el cambio en el valor de x. ∆x = x2 − x1

(6.10)

Velocidad Velocidad Media.- Definimos la velocidad media de la part´ıcula durante este tiempo como una cantidad vectorial cuya componente x es el cambio en x dividido entre el intervalo de tiempo ∆t. ~vm =

∆~xb i; ∆t

vm =

x2 − x1 ∆x = ∆t t2 − t1

(6.11)

Arturo

Flores

Condori

6. Cinem´ atica

24

Velocidad Instantanea.- Es el l´ımite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo se acerca a 0, es igual a la tasa instantanea de cambio de posici´on con el tiempo.  ∆x dx   vx = l´ım = ∆t→0 ∆t dt (6.12) dx   ~vx = bi dt La unidad en S.I. es: ms−1 , Km/h

Aceleraci´ on La aceleraci´on tambi´en es una cantidad vectorial, que describe la tasa de cambio de la velocidad con el tiempo. Aceleraci´ on Media.- Definamos la am de la part´ıcula al moverse de P1 a P2 como un vector cuya componente x es ∆vx , el cambio en la componente x de la velocidad, dividida entre el intervalo de tiempo ∆t. ¾ bi ~am = ∆v ∆t (6.13) −v1x x am = ∆v = v2x ∆t t2 −t1 Aceleraci´ on Instantanea.- Es el l´ımite de la ~am cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero. Entonces, la aceleraci´on instantanea es la tasa instantanea de cambio de la velocidad con el tiempo; as´ı  ∆vx dvx   ax = l´ım = ∆t→0 ∆t dt (6.14) dv 2   ~ax = bi = ddt2xbi dt Las unidades en S.I. son: ms−2 , Km/h2

6.2.1.

Movimiento Rectilineo Uniforme (MRU)

Cuando el m´ovil transcurre distancias iguales y tiempos iguales entonces el movimiento es MRU, es decir, la aceleraci´on es nula, la velocidad es constante, as´ı, v = cte, v = Z

x

dx = cte Zdt t

dx = x0

vdt

⇒

x − x0 = vt

0

x = x0 + vt

(6.15)

Gr´aficamente

Arturo

Flores

Condori

6. Cinem´ atica

25

(x)m L x

a x0 t(s) t

t0

donde v = tan α =

6.2.2.

x − x0 t − t0

Movimiento Rectilineo Uniformemente Variado (MRUV)

Cuando la aceleraci´on es constante o la aceleraci´on no varia con el tiempo, es decir, dv a = cte de la ecuaci´on (6.14) tenemos a = = cte, integrando dt Z v Z t adt dv = v0

0

v|vv0

= at|t0

⇒

v − v0 = at

v = v0 ± at Si v = v0 ± at, entonces dx = v0 ± at dt Z x Z t dx = (v0 ± at)dt x0

(6.16)

x|xx0 = (v0 ± at)t|t0

⇒

0

a x − x0 = v0 t ± t2 2 1 2 x = x0 + v0 t ± at 2 ⇒

⇒

(6.17)

dv , por la Regla de la Cadena tenemos: dt dv dv dx dv a= = ⇒ a=v dt dx dt dt Entonces adx = vdv, integrando se tiene Z v Z x vdv = adx v0 x0 ¯v v 2 ¯¯ = ax|xx0 ¯ 2 v0 Luego si a =

⇒ si x0 = 0 se tiene

v 2 v02 − = a(x − x0 ) ; 2 2

v 2 = v02 ± 2a(x − x0 )

v 2 = v02 ± 2ax

(6.18)

Arturo

Flores

Condori

6. Cinem´ atica

6.3.

26

Movimiento de Proyectiles

En el movimiento de proyectiles sin resistencia del aire, la componente x de la aceleraci´on es cero y la componente y es constante e igual a −g; as´ı podemos analizar el movimiento de un proyectil como una combinaci´on de movimiento horizontal con velocidad constante y movimiento vertical con aceleraci´on constante, es decir ay = −g(b j)

ax = 0 con g = 9,8 m/ss 2, pero ~ay =

(6.19)

d~v , entonces dt d~v = −g(b j) dt Z v Z t d~v = − g(b j)dt v0

0

~v − ~v0 = −gt(b j) Y

(6.20)

vy=0 B m

y

vx=cte

v0Sena

v0

C

Hmax a x

v0Cosa

X

y=0

Rmax

Sea ~v = vxbi + vyb j + vz b k ~v0 = v0 cos αbi + v0 sen αb j + 0b k Luego de (6.20) tenemos

~v − ~v0 = −gtb j

entonces (vxbi + vyb j) − (v0 cos αb j + vo sen αb j) = 0bi − gtb j (vx − v0 cos α)bi + (vy − sen α)b j/ = obi − gtb j igualando se obtiene ½

vx − v0 cos α = 0 vy − v0 sen α − gt

Arturo

Flores

Condori

6. Cinem´ atica

27

entonces vx = v0 cos α (M U ) vy = v0 sen α − gt (M U V ) De la ecuaci´on (6.22) se sabe que vy =

(6.21) (6.22)

dy , entonces dt

dy = v0 sen α − gt Z y dt Z t dy = (v0 sen α − gt)dt 0

0

1 y = v0 sen αt − gt2 2

De la ecuaci´on (6.21) se sabe que vx =

(6.23)

dx , entonces dt

dx = v0 cos α Z x dt Z t dx = v0 cos αdt 0

0

x = v0 cos αt

(6.24)

x en (6.23) tenemos: v0 cos α µ ¶ µ ¶2 x x g y = v0 sen α − v0 cos α 2 v0 cos α 2 1 xg y = x tan α − 2 v0 cos2 α g sec2 αx2 y = x tan α − 2v0

De la ecuaci´on (6.24) despejamos “t”: t =

(6.25)

Si vy = 0 en (6.22), entonces 0 = v0 sen α − gt

⇒

t=

v0 sen α g

en (6.23) tenemos µ

¶ µ ¶2 v0 sen α g v0 sen α y = v0 sen α − g 2 g v 2 sen2 α v02 − sen2 α y = 0 g 2g 2 2 v sen α y = 0 Altura m´axima 2g

(6.26)

Arturo

Flores

Condori

6. Cinem´ atica

28

Para alcance m´aximo y = 0 en (6.22) se tiene: g 0 = v0 sen αt − t2 2 g 2 t − v0 sen αt = 0 µ2 ¶ ½ gt t¡ = 0 ¢ t − v0 sen α = 0 ⇒ gt − v0 sen α = 0 2 2 De aqu´ı tenemos t=

2v0 sen α g

(6.27)

Reemplazando en la (6.24) ¶ 2v0 sen α x = v0 cos α g 2 v0 sen α cos α v02 sen 2α x = = g g 2 v sen 2α x = 0 Alcance m´aximo g µ

Cuando 2α =

π 2

⇒ α = π4 , entonces Hmax =

6.4.

(6.28)

v02 2g

(6.29)

Problemas Resueltos

Problema 6.1 Una part´ıcula se mueve en el plano XY de acuerdo a las relaciones de ax = −4 sen 3t y ay = cos 3t, cuando t = 0 seg, x = 0, y = 2, vx = 6m/s y vy = 2m/s. Determinar la poseci´on ~r y la velocidad ~v , en t = π6 seg Soluci´ on: Del problema tenemos

~a = −5 sen 3tbi + cos 3tb j

d~v = −5 sen 3tbi + cos 3tb j, integramos dt Z ~v Z t = (−5 sen 3tbi + cos 3tb j)dt 6bi+2b j 0 ¸ · ¸ · 1 5 1 5 b b b b b b cos 3ti + sen 3tj − cos 0i + sen 0j ~v − (6i + 2j) = 3 3 3 3 µ ¶ ¶ µ 5 13 b 1 ~v = cos 3t + sen 3t + 2 b j i+ 3 3 3

sabiendo que ~a =

Arturo

Flores

(6.30)

Condori

6. Cinem´ atica

29

Lugo para t = π6 seg µ ¶ ¶ ¡π¢ 13 b 1 5 π cos 2 + i+ sen 3 6 + 2 b ~v = j 3 3 3 13b 7 b ~v = i+ j 3 3 s µ ¶2 µ ¶2 13 7 v = + = 4,9 m/seg 3 3 µ

(6.31) (6.32)

Ahora calculamos la posici´on, de (6.30) tenemos: ¶ µ µ ¶ d~r 5 13 b 1 ~v = = cos 3t + i+ sen 3t + 2 b j dt 3 3 3 ¸ · ¸ ¶ Z ~r Z t µ· 1 5 13 b i+ cos 3t + sen 3t + 2 b j dt = 3 3 3 b b 0i+2j 0 ½· ¸ · ¸ ¾ 5 13 1 bi + − cos 3t + 2t b ~r − 2b j = sen 3t + j − 9 3 9 ¸ · ¸ ¾ ½· 5 13 b 1 sen 0 + i + − cos 0 + 2(0) b j 9 3 9 · ¸ · ¸ 5 13 b 1 19 b ~r = sen 3t + t i + − cos 3t + 2t + j 9 3 9 9 · ¸ · ¸ 5 13π b π 19 b ~rπ/6 = + i+ + j 9 18 3 9 ~r = 2,82bi + 3,16b j p 2 (2,82) + (3,16)2 = 4,235 m d=r = Problema 6.2 Un plano inclinado forma un ´angulo “α” con la horizontal si dispara un proyectil desde el punto m´as bajo del plano inclinado con rapidez inicial v0 formando un ´angulo β con la horizontal. 1. Demostrar que el alcance R sobre el plano inclinado es R =

(2v02 sen(βα)) cos β g cos2 α

2. Probar que el alcance m´aximo sobre el plano inclinado se da por Rmax = que se obtiene cuando β =

π 4

+

α 2

Arturo

v02 , g(1 + sen α)

Flores

Condori

6. Cinem´ atica

30

Soluci´ on:

y

R

b

v0

vy=v0Senb

v0

b

a x

vhoriz=v0Cosb

x=vhoriz 1. Luego x = v0 cos βt

(6.33)

1 y = v0 sen βt − gt2 2

(6.34)

y = x tan α

(6.35)

Adem´as tan α = xy , entonces

Reemplanzando (6.33) y (6.34) en (6.35) tenemos t2 = v0 cos βt. tan α 2 · ¸ gt t v0 (sen β − cos β tan α) − = 0 2 v0 sen βt − g

t=0

∧

v0 (sen β cos β tan α) −

gt = 0, entonces 2

2v0 (sen β − cos β tan α) g ´ cos α 2v0 ³ t = sen β − cos β tan α g cos α 2v00 sen(β − α) t = g cos α t =

(6.36)

En (6.33) x = 6v0 cos βt x

=

µ v0 cos β

2v0 sen(β − α) g cos α

¶ (6.37)

Pero x = R cos α, entonces R cos α = , luego

2v02 (β − α) cos β g cos α

2v02 sen(β − α) cos β R= g cos2 α

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6. Cinem´ atica

31

dR dR 2v02 2. = 0; = {cos(β − α) cos β − sen(β − α) sen β} = 0, entonces dβ dβ g cos2 α 2v02 (cos(β − α) + β) = 0 g cos α cos(2β − α) = 0 si 2β =

π 2

+ α, entonces β=

luego tenemos: Rm´ax

2v02 sen

¡π 4

π α + 4 2 ¢ ¡ ¢ − α2 cos π4 + α2 g cos2 α

√ ³ α´ 2 α α´ sen + = cos − sen 4 2 2 2 2 √ ³π α´ ³ 2 α α´ cos + = cos − sen 4 2 2 2 2 ³π

Entonces reemplazando, se tiene: Rm´ax Rm´ax Rm´ax Rm´ax

µ ¶³ 2v02 1 α α ´2 = cos − sen g cos2 α 2 2 2 µ ¶ 2 2 1 − sen α v0 = 2 g cos α 1 + sen α v02 = g(1 + sen α)

Problema 6.3 Dos autos, A y B, viajan en linea recta. La distancia de A respecto al punto de partida esta dada por XA (t) = αt + βt2 , con α = 2,6m/s y β = 1,2m/s2 . La distancia entre B y el punto partida es XB (t) = γt2 − δt3 , con γ = 2,8m/s2 y δ = 0,2m/s3 . a) ¿En que instantes los dos autos est´an en el mismo punto? b) ¿En que instantes A y B tienen la misma aceleraci´on?. Soluci´ on: Para, a) ambos autos est´an en origen t = 0, entonces la soluci´on es encontrar por la posesi´on; es decir: XA = XB , tenemos: αt + βt2 = γt2 − δt3 δt3 + (β − γ) t2 + αt = 0 δt2 + (β − γ) t + α = 0 ¸ · q 1 2 t = (β − γ) ± (β − γ) − 4αδ 2δ ⇒ t1 = 2,27seg. ; t2 = 5,73seg.

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6. Cinem´ atica

32

Para, b) haciendo la segunda derivada de XA y XB y donde la posesiones son iguales; entonces se tiene: Si,

00

XA (t) = αt + βt2 ⇒ ~aA = XA (t) = 2β 00 XB (t) = γt2 − δt3 ⇒ ~aB = XB (t) = 2γ − 6δt 2β = 2γ − 6δt −2β + 2γ ⇒t = = 2,67seg. 6δ

Problema 6.4 Una ave vuela en el plano xy con velocidad ~v = (α − βt2 ) bi+γtb j, donde α = 2,4m/s, β = 1,6m/s3 y γ = 4,0m/s2 . La direcci´on +y es vertical hacia arriba. En t = 0, el ave est´a en el origen. a) Calcule los vectores de posesi´on y aceleraci´on del ave en funci´on del t. b) ¿qu´e altura (coordenada y) tiene el ave al volar sobre x = 0 por primera vez despu´es de t = 0? Soluci´ on: Para, a) Integrando la velocidad ~v , se tiene: µ ¶ β 3 b ³ γ 2´ b ~r = αt − t i + t j 3 2 Adem´as, diferenciando la ~v tenemos: ~a = (−2β) bi + γb j. Para, b) El tiempo positivo a lo cual x = 0 Es dado por ah´ı t2 = 3α/β. En este tiempo, la coordenada y es: y =

γ 2 3αγ 3 (2,4m/s) (4,0m/s2 ) t = = = 9,0m 2 2β 2 (1,6m/s3 )

Problema 6.5 Una pistola que dispara una luz bengala le imprime una rapidez inicial de 120m/s. a) Si la bengala se dispara 55o sobre la horizontal en los salares planos de Utah, ¿qu´e alcance horizontal tiene? Haga caso omiso de la resistencia del aire. b) Si la bengala se dispara con el mismo ´angulo en el mar de la Tranquilidad en la Luna, donde g = 1,6m/s2 , ¿qu´e alcance tiene? Soluci´ on: El alcance de un proyectil esta dado por R = v02 sen 2α0 /g. entonces se tiene: para a): ¡ ¢ R = (120m/s)2 sen 110o / 9,8m/s2 = 1,38km. Para b):

¢ ¡ R = (120m/s)2 sen 110o / 1,6m/s2 = 8,4km.

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Cap´ıtulo 7 Din´ amica, Trabajo y Energ´ıa 7.1.

La Din´ amica

La Din´amica es una parte de la mec´anica que estudia las causas que originan un movimiento.

7.2.

Leyes de Newton

• Primera Ley de Newton (Ley de energ´ıa).- “Que todos los cuerpos en reposo, tiende a seguir en reposo o de movimiento rectilineo uniforme. Mientras no haya una fuerza que modifique dicho estado” • Segunda Ley de Newton (Principio fundamental de din´ amica).- “La fuerza resultante que act´ ua sobre un cuerpo es directamente proporcional a la aceleraci´on por la masa y que tiene la misma direcci´on y sentido”, es decir F~ = m~a, su m´odulo es F = ma • Tercera Ley de Newton (Ley de acci´ on y reacci´ on).- “A toda acci´on se opone siempre una reacci´on de igual magnitud y de sentido contrario en la misma linea de acci´on”

7.3.

Peso de los Cuerpos

• Masa.- Es una medida inerte del cuerpo o una magnitud escalar, la masa es constante • Peso.- Es una magnitud vectorial que se define como la fuerza gravitacional que ejerce la tierra sobre el cuerpo. La direcci´on y sentido es hacia la tierra; es decir P~ = m~g

33

(7.1)

7. Din´ amica, Trabajo y Energ´ıa

7.4.

34

Fuerzas de Fricci´ on o Rozamiento (f~)

Se llama fuerza de fricci´on a la fuerza tangencial que act´ ua en la superficie de dos cuerpos en contacto y que se opone al movimiento relativo de una de ellos con respecto al otro. Las fuerzas tangenciales son paralelas a las superficies que est´an en contacto. La fuerza f~ es directamente proporcional a la fuerza normal (f αN ) ®

W

m

®

F

®

f

®

N

f = µN

(7.2)

Donde: W = peso N = normal F = fuerza exterior f = resistencia

A) Fuerza de Fricci´ on Est´ atico (fs ) Es la fuerza tangencial entre 2 cuerpos en contacto, cuando ambas est´an en reposo y se manifiestan cuando una se va a desplazar con respecto a otro. f s = µs N

(7.3)

donde: µs = coeficiente de fricci´on est´atica.

B) Fuerza de Fricci´ on Cin´ etico (fk ) Es una fuerza tangencial presente entre dos superficies en contacto, cuando una de ellas se est´a desplazando con respecto a otra. f k = µk N

(7.4)

donde: µk = coeficiente de fricci´on cin´etica. Este coeficiente, tambi´en depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto y siempre es menor que el coeficiente de rozamiento est´atico (µk < µs )

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7. Din´ amica, Trabajo y Energ´ıa

7.5.

Trabajo y Energ´ıa

7.5.1.

Trabajo

35

El trabajo es una magnitud escalar que mide la superficie de la resistencia del cuerpo durante un determinado camino. Matem´aticamente el trabajo realizado por la fuerza F sobre el cuerpo es igual al producto escalar de la fuerza por el desplazamiento. WAB = F~ · ~r = F r cos θlabelec042

(7.5)

Observaciones: 1. Si la fuerza y el desplazamiento tiene la misma direcci´on y sentido, entonces el trabajo realizado del punto A a B es igual a la fuerza por la distancia recorrida (si F~ ||~r ⇒ WAB F.d, θ = 0◦ ) 2. si la fuerza aplicada es perpendicular al vector desplazamiento, entonces WAB = 0, θ = 90◦ 3. Si la fuerza es paralela al vector desplazamiento en sentido opuesto, entonces F~ ||~r(θ = 180◦ ), WAB = −F d Trabajo producido de una fuerza en funci´on de sus componentes en una trayectoria curvil´ınea tenemos: Z B F~ · d~r WAB = A

Si F~ = Fxbi + fyb j + Fz b k d~r = dxbi + dyb j + dz b k ⇒

F~ .d~r = Fx dx + Fy dy + Fz dz Z rB WAB = (Fx dx + Fy dy + Fz dz)

(7.6)

rA

7.5.2.

Energ´ıa

La Energ´ıa es la capacidad para la cual se dice que la energ´ıa es una magnitud escalar que expresa la capacidad que tiene todo cuerpo de realizar el trabajo, en consecuencia la energ´ıa de un cuerpo de un sistema si mide por el trabajo de ella puede realizar.

Energ´ıa Cin´ etica (Ek ) La Energ´ıa Cin´etica es una forma de energ´ıa que tiene una capacidad de realizar un trabajo. 1 (7.7) Ek = mv 2 2

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7. Din´ amica, Trabajo y Energ´ıa

36

Energ´ıa Potencial (Ep ) Y A d r® ®

B

®

p=mg

®

®

p=mg

yA

yB X

Z

yB

WAB =

p~d~r;

p~ = −mgb j

ZyAyB WAB =

−mgdy yA

Trabajo realizado de la part´ıcula de la posici´on de la part´ıcula WAB = −mgyB + mgyA WAB = mgyA − mgyB en forma general la Ep est´a definida por: Ep = mgy = mgh

7.5.3.

(7.8)

El Principio de la Conservaci´ on de Energ´ıa

Cuando es un sistema s´olo realizan o hay una fuerza conservativa, que puede ser la gravitatoria o el´astica, luego el trabajo realizado por esta fuerza es conservativa y se le asocia un cambio de energ´ıa potencial. as´ı: ∆W = −∆U y por el T.T.E : W = ∆k, luego ∆k = −∆U ∆K + ∆U = 0 (7.9) Nota: • Cuando en un sistema existen fuerzas no conservativas que realizan un trabajo total, entonces: F NC (7.10) EMf inal = EMinicial + Wtotal F NC Donde, Wtotal es el trabajo realizada por las fuerzas no conservativas.

7.6.

Ejercicio Resueltos

Problema 7.1 Los bloques P y Q se encuentran sobre un plano inclinado cuyo ´angulo con la horizontal es de 30◦ como se muestra en la figura. Las masas son 7kg y 14kg respectivamente, Q

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7. Din´ amica, Trabajo y Energ´ıa

37

e liso, el coeficiente de fricci´on para P es µk = 0,3. ¿Co qu´e aceleraci´on los bloques se deslizan hacia abajo?. Encontrar la fuerzas de contacto entre los bloques.

Q P 30°

Soluci´ on:

D.C.L. ®

a

®

FC ®

a

Q

P ®

FC 30°

fK

30°

®

NP

®

NQ

®

WP

®

WQ

Recordando la 2da ley de Newton F~ = m~a Para el cuerpo P X F~y = m~a ⇒

WP cos 30◦ + NP = mp~ay NP = WP cos 30◦

(7.11)

Como fk = µk Np entonces fk = µWP cos 30◦ fk = 17,8 N adem´as X F~x = m~a F~C + WP sen 30◦ + f~k = mp~ax FC (−bi) + WP sen 30◦ (−bi) + fk (bi) = mP ax (−bi) Reemplazando datos tenemos: FC + 16,5 = 7 Kg ax

(7.12)

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7. Din´ amica, Trabajo y Energ´ıa

38

Para el cuerpo Q: •

X F~y = m~ay ⇒ WQ cos 30◦ − NQ = mQ (0), entonces NQ = WQ cos 30◦

(7.13)

igualmente •

X F~x = m~ax ⇒ WQ sen 30◦ + F~C = mQ~ax WQ sen 30◦ (−bi) + F~C (bi) = mQ ax (−bi)

Reemplazando valores −68,6 + FC = −14ax −FC + 68,6 = 14ax

(7.14)

Sumando (7.13) y (7.14) se tiene: 85,1 = 21ax de aqu´ı ax = 4,05 m/s2 En (7.13) FC + 16,5 = 4Kg(4,5 m/s2 ) FC = 28,37 − 16,5 FC = 11,87 N Problema 7.2 Una presa hidroel´ectrica tiene tras de si un lago con ´area de 3 × 106 y costados verticales abajo del nivel de agua, el cual est´a 150m arriba de la base de la presa. Cuando el agua pasa por turbina en la base de la presa, su energ´ıa mec´anica se convierte en energ´ıa el´ectrica con eficiencia del 90 %. 1. Si la energ´ıa potencial gravitacional se toma como cero en la base de la presa, ¿cu´anta energ´ıa hay almacenada en el metro superior del agua del lago?. 2. La densidad de agua en 100 Kg/m3 ¿Qu´e volumen de agua deber´a pasar por la presa para producir KW atts − hora de energ´ıa el´ectrica? Soluci´ on: 1. Ealmacenada = mgh = (ρV )gh = ρA(1m)gh Reemplazando datos: Ealmac. = (1000 Kg/m3 )(3 × 106 m2 )(1m)(9,8m/s2 )(150m) = 4,4 × 1012 J

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7. Din´ amica, Trabajo y Energ´ıa

39

2. El 90 % de la Ealmc es convertida en energ´ıa el´ectrica, entonces (0,90)mgh = 1000 KW h (0,90)ρV gh = 1000 KW h reemplazando datos V V

1000 KW h(3600 seg/1h) (0,90)(1000 Kg/m3 )(150m)(9,8m/s2 ) = 2,7 × 103 m3

=

Problema 7.3 Un tejo de 5Kg en soltado en A y al resbalar sobre la superficie ´aspera se disipa 920J de energ´ıa en forma de calor, al desplazarse desde A hasta B. ¿Qu´e m´odulo tiene la reacci´on cuando el tejo pasa por B?(g = 10m/s2 ) A 20m

23m

mk=0.5 B 37°

R=5m

Soluci´ on:Analizando en el punto B ®

vB

R

fk

N Nivel de Referencia

mgCos53° 53° mgSen53° mg

En el recorrido de A a B se cumple W F.N.C = ∆EM

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7. Din´ amica, Trabajo y Energ´ıa

40

donde F.N.C. fuerzas no conservativas W fk = EM B − EM A W fk = (EkB + EPB ) − (EkA + EPA ) 1 −920 = (5)VB2 − 5(10)(20) 2 vB2 = 32

(7.15)

en (B): aplicando 2da ley de Newton en la direcci´on radial X v2 Fradiales = maR ⇒ N + mg cos 53◦ = m B R

(7.16)

(7.15) en (7.16) tenemos: N = 2N (fuerza normal en B) La fricci´on cin´etica (fk ) en (B) es: fk = µk N = (0,5)(2N ) = 1N luego, la reacci´on (R) cuando el tejo pasa por (B) ser´a: q √ R = N 2 + fk2 = 22 + 12 N √ R = 5N Problema 7.4 Una caja de 6,0kg que se mueve a 3,0m/s sobre una superficie horizontal sin fricci´on choca con un resorte ligero cuya constante de fuerza es de 75N/cm. Use el teorema de trabajo - energ´ıa para determinar la compresi´on maxima del resorte. Soluci´ on: Sabiendo que, Wtot = K2 − K1 entonces, K1 =

1 2 mv 2 0

;

K2 = 0

el trabajo es dada por la fuerza elastica. Wtot = − 21 kx2 , donde x es la cantidad de compresi´on; es decir 1 1 − kx2 = − mv02 2 2 p x = v0 m/k = 8,5cm. Problema 7.5 Un objeto que puede moverse a lo largo del eje x es atraido hacia el origen con una fuerza de magnitud F = αx3 (α = 4,00N/m3 ). ¿Cuando vale F cuando el objeto est´a a) en x = 1,00m? b) ¿En x = 2,00m? c) ¿cu´ando trabajo efect´ ua F cuando el objeto se mueve de x = 1,00m a x = 2,00m? ¿Es este trabajo positivo o negativo?

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7. Din´ amica, Trabajo y Energ´ıa

41

Soluci´ on: Para a): αx3a =

¡

¢ 4,00N/m3 (1,00m)3 = 4,00N

Para b): αx3b =

¡

¢ 4,00N/m3 (2,00m)3 = 32,0N

Rx c) La ecuaci´on W = x12 Fx dx le da el trabajo necesitado para mover un objeto en contra de la fuerza; El trabajo hecho por la fuerza es la negativa de ´este, Z x2 ¢ α¡ − αx3 dx = − x42 − x41 . 4 x1 cuando el objeto se mueve de x1 = xa = 1,00m y x2 = xb = 2,00m , lo tanto este trabajo es negativo.

W = −15,0J, por

Problema 7.6 Una fuerza neta de magnitud (5,00N/m2 )x2 que forma un ´angulo constante de 31o con el eje +x act´ ua sobre un objeto de 0,250kg mientras ´este se mueve paralelo al eje x. ¿Qu´e rapidez tiene el objeto en 1,50m si su rapidez era de 4,00m/s en x = 1,00m? Soluci´ on: RP RP Como en la siguiente ecuaci´on: W = P12 F cos φdl = P12 F~ · d~l, dl = dx y φ = 31o es constante, y entonces se tiene: Z P2 Z x2 W = F cos φdl = F cos φdx P1 x1 Z 1,50m ¡ ¢ 2 o = 5,00N/m cos 31 x2 dx 1,00m

⇒ W = 3,39J. La velocidad final del objeto es entonces: s

r v2 =

2W v12 + = m

(4,00m/s)2 +

2 (3,39J) (0,250kg)

v2 = 6,57m/s.

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Cap´ıtulo 8 Cantidad de Movimiento, Impulso y Choques 8.1.

Cantidad de Movimiento e Impulso

d~v Consideremos una part´ıcula de masa constantes “m”. Puesto que ~a = , podemos dt escribir la segunda ley de Newton para esta part´ıcula as´ı: X d~v d F~ = m = (m~v ) dt dt As´ı, la segunda ley de Newton dice que la fuerza neta

X

(8.1) F~ que act´ ua sobre una part´ıcula

es igual a la rapidez de cambio de la combinaci´on m~v , el producto de la masa y la velocidad de la part´ıcula. Llamamos a esta combinaci´on “cantidad de movimiento” de la part´ıcula. Si usamos el s´ımbolo P~ para la cantidad de movimiento, tenemos: P~ = m~v (Definici´on de cantidad de movimiento) Consideremos primero una part´ıcula sobre la que act´ ua una fuerza neta constante

(8.2) X

F~

~ se define durante un tiempo ∆t de t1 a t2 . El impulso de la fuerza neta, denotado con J, como el producto de la fuerza neta y el intervalo de tiempo: J~ =

X

F~ (t2 − t1 ) =

X F~ ∆t (Definici´on de impulso)

(8.3)

X dP~ dP~ F~ es constante, tambi´en es constante. En tal caso, es igual al dt dt cambio total de cantidad de movimiento P~2 − P~1 durante el intervalo t2 − t1 divido entre

Si la fuerza neta

42

8. Cantidad de Movimiento, Impulso y Choques

43

el intervalo X

P~2 − P~1 F~ = t2 − t1

X F~ (t2 − t1 ) = P~2 − P~1 J~ = P~2 − P~1

8.2.

(8.4)

Choques o Colisiones de Part´ıculas

Una colisi´on puede ser frontal u oblicua. En los problemas de colisiones es fundamental el siguiente principio llamado “regla de colisiones de Newton” 0 las velocidades relativas de las esferas a lo largo de la normal com´ un Sea v12 y v21 antes y despu´es de la colisi´on. Entonces 0 v12 = −²v12

La cantidad ² llamado el coeficiente de restituci´on, depende de los materiales de los objetos y se forma generalmente como una constante cuyo valor varia entre 0 y 1. Si ² = 0 la colisi´on se denomina totalmente inel´astica o simplemente inel´astica. Si ² = 1 la colisi´on se denomina totalmente el´astica o simplemente el´astica.

8.3.

Problemas Resueltos

Problema 8.1 Una granada de 2Kg se encuentra en reposo y explota en 3 pedazos. Como si m1 = 0,6Kg, m2 = 0,6Kg y m3 = 0,8Kg, la velocidad de los 2 primeros fragmentos despu´es de la explosi´on son 100m/s y hacen un ´angulo de 60◦ . ¿cu´al ser´a la velocidad del tercer fragmento? Soluci´ on:

®

v2

®

v1 2

1 60° v1Cos60°

60°

v2Cos60° 3 ®

v3

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8. Cantidad de Movimiento, Impulso y Choques

44

Por la conservaci´on de momentum, se tiene: ~0 = m1~v1 + m~v2 + m3~v3 ~0 = 0,6Kg(−v1 cos 60◦bi + v1 sen 60◦b j) + 0,6Kg(v2 cos 60◦bi + v2 sen 60◦b j) + 0,8Kg(~v3 )

Dando valores tenemos: √ √ ~0 = 6(−50bi + 50 3b j) + 6(50bi + 50 3b j) + 8~v3 √ √ b b b 0i + 0j = 600 3j + 8 3 Luego √ ~v3 = 0bi − 75 3b j √ j ~v3 = −75 3b Problema 8.2 considere la superficie cil´ındrica de la figura desde la altura h se deja deslizar un bloque 1 de masa m que choca el´asticamente con otro bloque 2 de masa 2m que se encuentra en el punto m´as bajo del cilindro y en reposo. si entre los bloques y la superficie cil´ındrica no hay roce, calcule las alturas m´aximas a la que llegan los bloques 1 y 2 despu´es del choque. (1)

m

R

®

g h

2m (2)

Soluci´ on: Primeramente por la conservaci´on de energ´ıa, (justo antes del chocar con el bloque 2) es: p v2 = 2gh (8.5) En el momento que se produce el choque se conserva el P~ del sistema y la Ek (energ´ıa cin´etica). Antes del choque las velocidades de los bloques son v, 0 . Ahora llamemos v1 y v2 las velocidades de los bloques respectivamente justo despu´es del choque. Por la conservaci´on de momentum, se tiene: mv = mv1 + 2mv2

(8.6)

1 2 1 2 1 mv = mv1 + 2mv22 2 2 2

(8.7)

Por la conservaci´on de la energ´ıa

Arturo

Flores

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8. Cantidad de Movimiento, Impulso y Choques

45

podemos escribir (8.6) y (8.7) como: v − v1 = 2v2 v 2 − v12 = 2v22

(8.8) (8.9)

v + v1 = v2

(8.10)

dividiendo (8.9) y (8.8) obtenemos

De (8.8) y (8.10) se tiene

1 2 v1 = v , v2 = v 3 3 Para calcular las alturas, usamos conservaci´on de energ´ıa. Para cada uno de ello, tenemos: v12 1 v2 1 = = h 2g 9 (2g) 9 2 2 v 4v 4 = 2 = = h 2g 9(2g) 9

h1 = h2

Problema 8.3 Un bandido suelta una carreta con dos cajas de oro (masa total = 300Kg) que esta en reposo 50mm cuesta arriba de una pendiente de 6.0◦ (ver figura). el plan es que la carreta baje la cuesta, ruede por terreno plano y luego caiga en un ca˜ n´on donde sus c´omplices esperan. Sin embargo, en un ´arbol a 40m del borde del ca˜ n´on est´an el llanero solitario (masa 75Kg) y toro (masa 60Kg), quienes se dejan caer verticalmente sobre la carreta al pasar. 1. Si nuestros heroes necesitan 5 seg. para tomar el oro y saltar, ¿lo lograr´an antes de que la carreta se despe˜ ne?. La carreta rueda con fricci´on despreciable. 2. Cuando los heroes caen en la carreta ¿Si se conserva la energ´ıa cin´etica del sistema de los heroes m´as la carreta?

300kg

L=50m h=LSen6.0°

6.0° 40m al cañon

Soluci´ on:

Arturo

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8. Cantidad de Movimiento, Impulso y Choques

46

1. La carreta, depues de llegar abajo de la colina, tenemos la velocidad por principio de conservaci´on de energ´ıa: p v2 = 2gL sen 6,0◦ = 10m/s ; h1 = L0 sen6,0◦ Luego despues de la colisi´on la velocidad es: Por principio de momentum, tenemos m1 v1 = m2 v2 300(10m/s) = (450Kg)v2 µ ¶ 300Kg v2 = 10m/s = 6,9m/s 450Kg Entonces quiere decir que en 5 seg. la carreta no alcanz´o el borde. 2. La colisi´on es completamente inelastica, entonces la energ´ıa cin´etica no se conserva. Luego el cambio de Ek es: 1 1 (435Kg)(6,9m/s)2 − (300Kg)(10m/s) = −4769 J 2 2 entonces aproximadamente 4800 J es la perdida. Problema 8.4 Un ob´ us de 12Kg es disparado con un ´angulo de 55◦ sobre la horizontal con una rapidez de 150Km/s en el cenit de la trayectoria, el ob´ us estalla en do fragmentos, uno con 3 veces m´as masa que el otro. Los dos fragmentos llegan al suelo al mismo tempo. Suponga que la resistencia del aire es depreciable. Si el fragmento m´as pesado cae en el punto desde el cu´al se lanz´o el ob´ us. ¿D´onde caer´a el fragmento m´as ligero y cuanta energ´ıa habr´a liberado en la explosi´on? Soluci´ on: Los fragmentos son 3Kg y 9Kg, el tiempo m´aximo que alcanza de altura es igual a tiempo de ca´ıda a la tierra, es decir 9kg

vg

v3

3kg

v0 q vx=v0Cosq Luego

Arturo

Flores

Condori

8. Cantidad de Movimiento, Impulso y Choques

47

vg = v0 sen θ − gt 0 = (150m/s) sen 55◦ − 9,8m/s2 .t t = 12,5 seg los viajes del fragmento pesado es hacia atr´as del punto de comienzo, entonces la velocidades son reverso. vx = v0 cos θ = (150m/s) cos 55◦ = 86,0m/s a despu´es de la explosi´on, este es vg Ahora conseguimos v3 , usando la conservaci´on de momentum M v0 = m3 v3 + mg vg (12Kg)(86m/s) = (3Kg)v3 + (9Kg)(−86m/s) v3 = 602m/s Luego el alcance del fragmento m´as veloz es: x3 = xantes de expl. + xdesp. de expl. = (86m/s)(12,5seg) + (602m/s)(12,5m/s) x3 = 8600 m ahora la energ´ıa liberada = EDesp. EDesp.

Expl.

− EAntes

Expl.

Expl.

− EAntes

Expl. ,

entonces

1 1 1 m3 v32 + mg vg2 − (m3 + mg )vg2 2 2 2 1 1 1 2 = (3Kg)(602m/s) + (9Kg)(86m/s)2 − (12Kg)(86m/s)2 2 2 2 = 5,33 × 105 J

=

Problema 8.5 Un lanzador de disco aplica una fuerza neta dada por (αt2 ) bi + (β + γt) b j, a un disco de 2,00kg (α = 25,0N/s2 , β = 30,0N y γ = 5,0N/s). Si el disco estaba originalmente en reposo, ¿qu´e velocidad tiene despu´es de que la fuerza neta ha actuado durante 0,500s? Exprese su respuesta en t´erminos de los vectores unitarios bi y b j. Soluci´ on: Sabiendo que, P~ =

Z

¢ ¡ ¢ αt3 /3 bi + βt + γt2 /2 b j ¡ ¢ ¡ ¢ = 8,33N/s2 t3 bi + 30,0N t + 2,5N/st2 b j

F~ dt =

¡

despu´es de 0,500s, P~ = (1,04kg.m/s) bi + (15,63kg.m/s) b j, y la velocidad es: ~v = P~ /m = (0,52m/s) bi + (7,82m/s) b j.

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Flores

Condori

8. Cantidad de Movimiento, Impulso y Choques

48

Problema 8.6 Una pelota de masa M , que se mueve horizontalmente a 5,00m/s, choca el´asticamente con un bloque de masa 3M que inicialmente est´a colgado en reposo del techo sujeto al extremo de un alambre de 50,0cm. Determine el ´angulo m´aximo de oscilaci´on del bloque despu´es del impacto. Soluci´ on: Colisi´on: La conservaci´on de momento da, mv0 = mv1 + (3m) v3 ⇒ v0 = v1 + 3v3

· · · (1)

por la conservaci´on de energ´ıa, se tiene: 1 2 1 2 1 mv0 = mv + (3m) v32 2 2 1 2 ⇒ v02 = v12 + 3v32

· · · (2)

De las ecuaciones (1) y (2) para v3 , se tiene: v3 = 2,50m/s. La conservaci´ on de energ´ıa despu´es de la colisi´ on: 1 (3m) v32 = (3m) gh = (3m) gl (1 − cos θ) 2 As´ı, resolviendo para θ se tiene: θ = 68,8o .

Arturo

Flores

Condori

Cap´ıtulo 9 Rotaci´ on de Cuerpos R´ıgidos 9.1.

Cuerpos R´ıgidos

Un sistema de part´ıculas en el que la distancia entre dos part´ıculas cualesquiera no cambia a pesar de las fuerzas que act´ uen, se llama un cuerpo r´ıgido.

9.2.

Traslaciones y Rotaciones

Un desplazamiento de un cuerpo r´ıgido es un cambio de una posici´on a otra. Si durante un desplazamiento todos los puntos del cuerpo permanecen fijos sobre una linea, el desplazamiento es una rotaci´on alrededor de la linea. Si durante un desplazamiento todos lo puntos del cuerpo r´ıgido se mueven entre si en l´ıneas paralelas, el desplazamiento es una traslaci´on.

9.3.

Momento de Inercia

Una cantidad geom´etrica de gran importancia al discutir el movimiento de cuerpos r´ıgidos es el momento de inercia. El momento de inercia de una part´ıcula de masa m con respecto a una l´ınea o eje AB se define como: I = mr2 (9.1) donde r es la distancia de la masa a la l´ınea El momento de inercia de un sistema de part´ıculas de masas m1 , m2 , . . . , mN se define con respecto a la linea o eje AB como N X 2 I= mν rν2 = m1 r12 + m2 r22 + · · · + mN rN ν=1

Donde r1 , r2 , . . . , rN son sus distancias respectivas a AB

49

(9.2)

9. Rotaci´ on de Cuerpos R´ıgidos

50 A

m1

r1 rv mv

r dm B

R

Figura 9.1: El momento de inercia de una distribuci´on continua de masa, como la del cuerpo r´ıgido s´olido R de la figura 9.1 est´a dado por: Z I r2 dm (9.3) R

donde r es la distancia desde AB al elemento de masa dm

9.4.

Momentos de Inercia Especiales

En la siguiente tabla aparecen los momentos de inercia de varios cuerpos r´ıgidos que se presentan en la pr´actica. Se supone en todos los casos que el cuerpo tiene densidad uniforme (es decir constante). Cuerpo R´ıgido 1. Cilindro Circular S´olido; de radio a y masa M con respecto al eje del cilindro. 2. Cilindro Circular Hueco; de radio a y masa M con respecto al eje del cilindro. Espesor de la pared despreciable

Momento de Inercia 1 M a2 2 M a2 2 M a2 5

3. Esfera S´olida; de radio a y masa M , con respecto a un di´ametro. 4. Esfera Hueca; de radio a y masa M , con respecto al di´ametro, espesor de la esfera despreciable. 5. Placa Rectangular; de lados a y b y de masa M alrededor de un eje perpendicular a la placa y que pasa por el centro de masa. 6. Varilla Delgada; de longitud a y masa M , con respecto

M a2 1 M (a2 + b2 ) 2 1 M a2 12

a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el centro de masa.

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Flores

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9. Rotaci´ on de Cuerpos R´ıgidos

9.5.

51

Problemas Resueltos

Problema 9.1 Determinar el momento de inercia de un cilindro hueco con respecto a su eje de simetr´ıa. El cilindro de densidad uniforme tiene una masa total M y radios R1 y R2 Soluci´ on: eje L

R2 R1

r dr

En este caso se trata de una distribuci´on continua de masa, entonces, ρ = sabiendo que V = πr2 L ⇒ dV = 2πrLdr, luego Z I = r2 dm

M dM = V dV

reemplazando tenemos Z

R2

I =

Z 2

R1

adem´as ρ =

R2

r (ρ2πrLdr) = 2πLρ

M M = ⇒ 2πρL = 2 V π (R2 − R12 ) L

r3 dr

R1 2M (R22 −R12 )

¯ 2M r4 ¯¯ R2 I = R (R22 − R12 ) 4 ¯ 1 1 M (R24 − R12 ) I = 2 (R22 − R12 ) 1 I = M (R22 − R12 ) 2 note que I es independiente de L. De aqu´ı podemos obtener los momentos de inercia obtenidos anteriormente ½ ¾ R1 = 0 Para disco ⇒ I = 12 M R2 R2 = R Para aro {R1 ≈ R2 = R} ⇒ I = M R2

Arturo

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9. Rotaci´ on de Cuerpos R´ıgidos

52

Problema 9.2 Determinar el momento de inercia de una esfera con respecto a un di´ametro. La esfera de densidad uniforme tiene una masa total M y radio R. Considerar 1. Esfera s´olida 2. C´ascara esf´erica Soluci´ on: 1. Esfera s´olida R

r d

x

ρ =

M M = 4 3 V πR 3

dx

⇒ ρπ =

3M 4 R3

r 2 = R 2 − x2 dm = ρdV = ρπr2 dx 3M 2 dm = (R − x2 )dx 4 R3 dividimos la esfera en discos de radio r y espesor dx tomando como elemento diferencial un disco, si momento de inercia como sabemos, ser´a: · ¸ 1 1 3M 2 2 2 dI = (dm)r = (R − x )dx (R2 − x2 ) 2 2 4 R3 3M 2 dI = (R − x2 )2 dx 8 R3 Luego, para toda la esfera, integrando para una semiesfera por simetr´ıa y duplicado, se tiene · Z R ¸ 3M 2 2 2 2 (R − x ) dx I = 8 R3 o Z 3M R 4 I = (R − 2R2 x2 + x4 )dx 4 R3 0 µ ¶ 3M 2 5 R5 5 I = R − R + 4 R3 3 5 µ ¶ 8 5 3M R I = 4 R3 15 2 M R2 I = 5

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9. Rotaci´ on de Cuerpos R´ıgidos

53

2. C´ascara esf´erica Rdq

e

R

r

dq q

d

M M = ⇒ 2πρ V 4πR2 e 1 eR4 = M R2 2 r = R sen θ dv = (2πr)(Rdθ)(e) = 2πeR2 sen θdθ ρ =

Tomemos como elemento diferencial un aro de radio r, ancho Rdθ y espesor e. El momento de inercia del cascar´on ser´a: Z Z 2 I = r dm = ρ r2 dV Z I = ρ (R sen θ)2 (2πeR2 sen θ)dθ Z π 4 I = 2πρeR sen3 θdθ Z 0π 1 sen3 θdθ I = M R2 2 0 ¯π ¯ 1 cos θ 2 2 I = MR − (2 + sen θ)¯¯ 2 3 0 · µ ¶¸ µ ¶ 2 2 1 4 1 2 2 MR − − = MR I = 2 3 3 2 3 2 I = M R2 3 Problema 9.3 Una esfera consiste en un centro esf´erico s´olido de madera con densidad de 800 Kg/m3 y radio de 0,2m, cubierto por una capa delgada de plomo con densidad por ´area de 20Kg/m2 . Calcule el momento de inercia de esta esfera en torno a un eje que pasa por su centro. Soluci´ on:

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9. Rotaci´ on de Cuerpos R´ıgidos

54

Del problema I = Imad + Iplomo 2 3 = mM R2 + mP R2 5 2

(9.4)

Sabiendo que 4 mM = ρM VM = ρM πR3 3 mP = δP AP = δP 4πR2 Entonces en (9.4) I = = = I =

µ ¶ ¢ 4 3 2 2¡ ρM πR R2 + δP 4πR2 R2 5 3 3 µ ¶ 8 4 ρM R πR + δP 3 5 µ ¶ (800Kg/m3 )(0,2m) 8 4 2 π(0,20m) + 20Kg/m 3 5 0,70Kgm2

Problema 9.4 Un disco compuesto de di´ametro exterior de 140,0cm, es hecho de un material s´olido y uniforme de 50,0cm de radio con densidad de ´area de 3,00g/cm2 rodeada por un anillo conc´entrico cuyo radio interior es de 50,0cm y radio exterior de 70,0cm con densidad de ´area de 2,00g/cm2 . Calcule el momento de inercia de este objeto alrededor de un eje perpendicular al plano del objeto y que pasa a trav´es de su centro. Soluci´ on: Del problema, I = Id + Ir (d = disco, r=radio) Para Disco: ¡ ¢ md = 3,00g/cm3 πrd2 = 23,56kg 1 ⇒ Id = md rd2 = 2,945kg.m2 2 Para Radio: Si, (r1 = 50,0cm, r2 = 70,0cm) ¡ ¢ ¡ ¢ mr = 2,00g/cm3 π r22 − r12 = 15,08kg 1 ⇒ Ir = mr (r1 + r2 ) = 5,580kg · m2 2 ∴ I = Id + Ir = 8,52kg · m2

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Cap´ıtulo 10 Metodolog´ıa 10.1.

Estrategias

El desarrollo del curso, se realiz´o primeramente utilizando la estrategia del aprendizaje significativo en la parte te´orica, brindando fundamento te´orico de los temas a desarrollar y posteriormente resolviendo problemas correspondiente al mismo tema.

10.2.

T´ ecnicas

Los medios y materiales para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje son: • Auditivo: de acceso personal, esto es, voz humana. • Visual: empleo de pizarra, plum´on, tiza y mota.

10.3.

M´ etodos

El m´etodo a utilizar en el desarrollo del curso es el m´etodo inductivo en la resoluci´on de los ejercicios, deductivo para la explicaci´on te´orica.

55

Cap´ıtulo 11 Temas y Cronograma de Actividades 11.1.

Temas 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 5.1 5.2 5.3 6.1 6.2 6.3 6.4

Vectores Unitarios Componentes de un Vector Producto Escalar Producto vectorial Problemas Resueltos Equilibrio Momento o Torque de una Fuerza Centro de Masa Problemas Resueltos Movimiento Curvilineo Aceleraci´on Movimiento Rectilineo Movimiento de Proyectiles Problemas Resueltos Din´amica Leyes de Newton Peso de los Cuerpos Fuerza de Fricci´on o Rozamiento Trabajo y Energ´ıa Problemas Resueltos Cantidad de Movimiento e Impulso Choques o Colisiones de Part´ıculas Problemas Resueltos Cuerpos R´ıgidos Traslaciones y Rotaciones Momentos de Inercia Especiales Problemas Resueltos

56

11.2.

Cronograma de Actividades Fecha Tema 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 5.1 5.2 5.3 6.1 6.2 6.3 6.4

Octubre 6 13 20 27 • • • • • • • • • • •

Noviembre 3 10 17 24

•

•

• • • • •

•

Diciembre 1 15 22 29

Enero 5 12 19

• • • • • • •

•

• • • •

• • • • •

•

Cap´ıtulo 12 Relaci´ on de Estudiantes y Asistencia 12.1.

Relaci´ on de Estudiantes No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Apellidos y Nombres ANCHAPURI MAMANI Luis Alfredo ALANOCA CRUZ Gerber Leandro AYAMAMANI CHOQUE Abraham CCANCAPA SURCO Max Harry CCAPA PAJA Joaquin CCALLO CHEJE Irron Richard CHISLLA VALERIANO Eliseo CHAQUILLA BUSTINZA Jhonatan CRUZ YUGRA Frank Rolex CHOQUE LEON Antony CHOQUE MANSANARES Romulo FLORES AGUILAR Victor Alberto FLORES ZAMALLOA Oliver GALINDO COILA Joseph HUAYTA QUISPE Maico Helver HUARACHI HUARICALLO David ´ Edwin HIDALGO OTAZU HANCCO VILCA Kenty HUISA ARUQUIPE Kiver HUARACHI NINA Paul HUANCA CONDORI Yhony LUNA TURPO Joel Paul LUQUE ANCCO Leonel MAMANI LIPA Basilio MAMANI TIPULA Elmer Yhovani

58

C´ odigo 081621 080897 081622 081623 081624 074064 074070 080899 081627 074071 081625 080900 081539 072218 081630 081629 081626 071357 074079 080902 080115 080902 081632 081633 081634

12.2.

Asistencia

No Ord. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

06 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Octubre 13 20 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

27 •

• •

•

• • • • • • •

Noviembre 3 10 17 24 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Diciembre 01 15 22 29 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Asesor Lic. ANTONIO HOLGUINO HUARZA UNA-Puno

Enero 5 12 19 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Bibliograf´ıa [1] Sears, F. & Zemansky, M. & Young, H. & Freedman, R.(2004) F´ısica Universitaria, (11va ed.), Pearson Educacion, Mexico, Tomo I. [2] Serway, Raymond. (1997)Fisica,(4a ed.), Mc Graw Hill, Mexico, Tomo I. [3] Alonso, M. Finn, E. MECANICA,(1986), (1a ed.), Addison-Wesley Iberoamericana, Mexico,Vol. I. [4] Hunberto LEYVA, N.F´ısica I, teoria y problemas,(1995), (1ra ed.) ´ ´ [5] I. V. SAVELIEV. Curso de F´ısica General,(1984), Editorial MIR, MOSCU,Tomo I. [6] S. FRISH, A. TIMOREVA. Curso de F´ısica General,(1968), Editorial MIR, ´ MOSCU,Tomo I.

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