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F´ısica aplicada a estructuras Curso 12/13 Aquitectura

Est´ atica 1.

Principios Generales

P 1.1 Redondee cada una de las siguientes cantidades a tres cifras significativas: (a) 4,65735 m, (b) 55,578 s, (c) 4555 N, (d) 2768 kg, (e) 45320 kN, (f) 568(105 ) mm, (g) 0,00563 mg. P 1.2 En el sistema americano se emplean las siguientes unidades fundamentales: foot (1 ft = 0,3048 m), slug (1 slug = 14,5939 kg) y el segundo. La fuerza se mide en libras o pounds (lb). uan sobre el gancho. De¿Cu´antos newtons son una libra? Exprese la res- P 2.2 Dos fuerzas act´ termine la magnitud de la fuerza resultante y su puesta con cuatro cifras significativas. direcci´on medida en sentido horario desde el eje x. P 1.3 El pascal (Pa) es la unidad de presi´on en el SI. Es realmente una unidad de presi´on muy peque˜ na. Se define la atm´osfera como la presi´on atmosf´erica a nivel del mar. Se sabe que vale 1 atm = 14,7 lb/in2 , siendo la pulgada o inch 1 in = 1/12 ft. Calcule cu´antos pascales son una atm´osfera. P 1.4 Despu´es de realizar muchos c´alculos, obtenemos para un cuerpo la siguiente aceleraci´on: a = 0,2v/t2 + πv 2 /s, siendo v la velocidad, t el tiempo y s una coordenada espacial. ¿Qu´e t´ermino debe de estar equivocado?

2.

Vectores de Fuerzas

P 2.1 Determine la magnitud de la fuerza re- P 2.3 Determine la magnitud de la fuerza resulsultante actuando sobre el soporte y su direcci´on tante y su direcci´on medida en sentido antihorario desde el eje x positivo. medida en sentido horario desde el eje x.

1

P 2.7 Si la resultante de la fuerza actuando sobre el corchete es de 750 N dirigida a lo largo del eje x positivo, determine la magnitud de F y su direcci´on θ.

P 2.4 Si la fuerza F debe de tener una componente a lo largo del eje u de Fu = 6 kN, determine la magnitud de F y la magnitud su componente Fv a lo largo del eje v.

P 2.8 Determine la magnitud de la fuerza resultante y su direcci´on θ medida en sentido antihorario desde el eje x positivo.

P 2.5 Resuelva cada fuerza actuando sobre el poste en sus componentes x e y.

P 2.6 Determine la magnitud y direcci´on de la P 2.9 Exprese la fuerza como un vector cartesiano. fuerza resultante. 2

P 2.13 Exprese la fuerza como un vector cartesiano. P 2.10 Exprese la fuerza como un vector cartesiano.

P 2.11 Exprese la fuerza como un vector cartesiano.

P 2.14 Exprese la fuerza como un vector cartesiano.

P 2.12 Exprese el vector posici´on rAB en forma cartesiana, y determine entonces su magnitud y P 2.15 Determine la magnitud de la fuerza resultante en A. a´ngulos directores. 3

P 2.18 Determine el a´ngulo θ entre la fuerza y la l´ınea OA. Determine la componente de proyecci´on de la fuerza a lo largo de la l´ınea OA.

P 2.16 Determine el a´ngulo θ entre la fuerza y P 2.19 Encuentre la magnitud de la componenla l´ınea AO. te de la fuerza proyectada a lo largo del tubo en la direcci´on OA.

P 2.17 Determine el a´ngulo θ entre la fuerza y la l´ınea AB.

3.

Equilibrio de una part´ıcula

P 3.1 El contenedor tiene un peso de 550 N. Determine la fuerza en cada cable.

4

P 3.4 El bloque tiene una masa de 5 kg y descansa sobre un plano sin rozamiento. Determine la longitud original del muelle sin estirar.

P 3.2 La viga tiene un peso de 7 kN. Determine el cable ABC m´as corto que puede usarse para levantarla si el peso m´aximo que el cable puede aguantar es de 15 kN.

P 3.5 Si la masa del cilindro C es de 40 kg, determine la masa del cilindro A de manera que todo est´e en la posici´on que se muestra.

P 3.3 Si el bloque de 5 kg est´a suspendido de la polea B, determine la fuerza en la cuerda ABC. Despreciar el tama˜ no y el peso de la polea.

P 3.6 Determine la tensi´on de los cables AB, BC, y CD, necesarias para sostener los sem´aforos de 10 kg y 15 kg en B y C, respectivamente. Encontrar tambi´en el a´ngulo θ.

5

P 3.7 Determine la magnitud de las fuerzas F1 , P 3.9 Determine la tensi´on en los cables AB, F2 y F3 , de manera que la part´ıcula se mantiene AC, y AD. en equilibrio.

4.

Sistemas de fuerzas

P 4.1 Determine el momento de la fuerza sobre el punto O.

P 3.8 Determine la tensi´on en los cables AB, AC, y AD.

6

P 4.2 Determine el momento de la fuerza sobre el punto O.

P 4.6 Determine el momento de la fuerza sobre el punto O.

P 4.3 Determine el momento de la fuerza sobre el punto O.

P 4.7 Determine el momento resultante producido por las fuerzas sobre el punto O.

P 4.4 Determine el momento de la fuerza sobre el punto O.

P 4.8 Determine el momento resultante producido por las fuerzas sobre el punto O.

P 4.5 Determine el momento de la fuerza sobre el punto O. Despreciar el grosor de los elementos. 7

P 4.9 Determine el momento resultante producido por las fuerzas sobre el punto O.

P 4.13 Determine la magnitud del momento de la fuerza F = {300i − 200j + 150k} N sobre el eje x, y sobre el eje OA. Expresar el resultado como un vector cartesiano.

P 4.10 Determine el momento de la fuerza F sobre el punto O. Expresar el resultado como un vector cartesiano.

P 4.11 Determine el momento de la fuerza F sobre el punto O. Expresar el resultado como un P 4.14 Determine la magnitud del momento de la fuerza de 200 N sobre el eje x. vector cartesiano.

P 4.12 Si F1 = {100i − 120j + 75k} N y F2 = {−200i + 250j + 100k} N, determine el momento resultante producido por esas fuerzas sobre el punto O. Expresar el resultado como un vector P 4.15 Determine la magnitud del momento de la fuerza sobre el eje y. cartesiano. 8

P 4.19 Determine el momento de par resultante que act´ ua sobre la placa triangular. P 4.16 Determine el momento de la fuerza F = {50i − 40j + 20k} N sobre el eje AB. Exprese el resultado como un vector cartesiano.

P 4.20 Determine la magnitud de F de manera P 4.17 Determine el momento de la fuerza F que el momento del par resultante sobre la viga es 1,5 kN·m en sentido horario. sobre los ejes x, y, z. Emplee an´alisis escalar.

P 4.18 Determine el momento de par resultante P 4.21 Determine el momento de par sobre la viga. que act´ ua sobre la viga. 9

P 4.24 Reemplace el sistema de cargas por uno equivalente actuando en el punto A formado por una fuerza resultante y un momento de par.

P 4.22 Determine el momento de par resultante que act´ ua sobre la uni´on de las tuber´ıas.

P 4.25 Reemplace el sistema de cargas por uno equivalente de fuerza y momento de par actuando sobre el punto A.

P 4.23 Determine el momento de par sobre las tuber´ıas y expresar el resultado como un vector cartesiano.

P 4.26 Reemplace el sistema de cargas por una fuerza resultante equivalente y un momento de par actuando en el punto A.

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P 4.27 Reemplace el sistema de cargas por una P 4.30 Reemplace el sistema de cargas por fuerza resultante equivalente y un momento de una fuerza resultante equivalente y especifique en par actuando en el punto A. qu´e punto la l´ınea de acci´on de la resultante intersecta la viga medido desde O.

P 4.28 Reemplace el sistema de cargas por una P 4.31 Reemplace el sistema de cargas por fuerza resultante equivalente y un momento de una fuerza resultante equivalente y especifique en qu´e punto la l´ınea de acci´on de la resultante inpar actuando en el punto O. tersecta el elemento medido desde A.

P 4.32 Reemplace el sistema de cargas por una fuerza resultante equivalente y especifique en qu´e punto la l´ınea de acci´on de la resultante inP 4.29 Reemplace el sistema de cargas por una tersecta el elemento medido desde A. fuerza resultante equivalente y un momento de par actuando en el punto O.

P 4.33 Reemplace el sistema de cargas por una fuerza resultante equivalente y especifique en q´ ue punto la l´ınea de acci´on de la resultante intersecta el elemento AB medido desde A. 11

P 4.36 Determine la fuerza resultante y especifique d´onde act´ ua sobre la viga desde A.

P 4.37 Determine la fuerza resultante y especifique d´onde act´ ua sobre la viga desde A.

P 4.34 Reemplace las cargas mostradas por una u ´nica fuerza equivalente y especifique las coordenadas (x, y), de su l´ınea z de acci´on.

P 4.38 Determine la fuerza resultante y especifique d´onde act´ ua sobre la viga desde A.

P 4.35 Reemplace las cargas mostradas por una u ´nica fuerza equivalente y especifique las coordenadas (x, y), de su l´ınea z de acci´on. P 4.39 Determine la fuerza resultante y especifique d´onde act´ ua sobre la viga desde A.

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P 4.40 Determine la fuerza resultante y especifique d´onde act´ ua sobre la viga desde A.

P 5.3 La estructura est´a soportada por una articulaci´on en A y otra m´ovil en B. Determine la P 4.41 Determine la fuerza resultante y especi- reacci´on de los soportes. fique d´onde act´ ua sobre la viga desde A.

5.

Equilibrio del cuerpo r´ıgido

P 5.4 Determine las componentes de la reacci´on en el soporte A. Desprecie el grosor de la viga.

P 5.1 Determine las componentes horizontales y verticales de las reacciones de los soportes. Despreciar el grosor de la viga.

P 5.5 La barra de 25 kg tiene el centro de masa P 5.2 Determine las componentes horizontales en G. Si est´a sujeta por una biela sin rozamiento y verticales de las reacciones de la articulaci´on A C, una articulaci´on m´ovil en A y una cuerda AB, determine la reacci´on de esos soportes. y de la reacci´on de la viga en C. 13

P 5.6 Determine las reacciones en los contactos P 5.9 La barra est´a sujeta por arandelas sin sin rozamiento A, B y C sobre la barra. rozamiento en A, B y C, y por dos fuerzas. Determine la reacci´on de los soportes.

P 5.7 La placa tiene un peso uniforme de 500 P 5.10 Determine las reacciones en las arranN. Determine la tensi´on de cada uno de los cables delas sin rozamiento A, B y C de la uni´on de que la soportan. tuber´ıas.

P 5.8 Determine la reacci´on del soporte de ro- P 5.11 Determine las fuerzas en los cables BD, dadura A, la reacci´on de la uni´on de bola D y la CE, y CF y las reacciones en la uni´on de bola A tensi´on en el cable BC para la placa. sobre el bloque. 14

P 5.12 Determine las componentes de las reacciones que el soporte A y el cable BC ejercen sobre la barra. P 6.3 Determine la fuerza en los miembros AE y DC. Establece si los miembros est´an en tensi´on o compresi´on.

6.

An´ alisis estructural

P 6.4 Determine la carga P m´axima que puede un P 6.1 Determine la fuerza en cada miembro de aplicarse a la estructura de manera que ning´ la estructura. Diga si los miembros est´an en com- miembro est´e sujeto a una fuerza que exceda o 2 kN de tensi´on o 1,5 kN en compresi´on. presi´on o en tensi´on.

P 6.2 Determine la fuerza en cada miembro de la estructura y determine si los miembros est´an P 6.5 Indetifique los miembros que no soportan carga en la estructura. Resuelva la en tensi´on o compresi´on. 15

P 6.6 Determine la fuerza en cada miembro de la estructura. Establezca si los miembros est´an en P 6.9 Determine la fuerza en los miembros EF , tensi´on o comprensi´on. CF y BC de la estructura. Indique si los miembros est´an en tensi´on o compresi´on.

P 6.7 Determine la fuerza en los miembros BC, P 6.10 Determine la fuerza en los miembros CF , y F E. Establezca si los miembros est´an en GF , GD y CD de la estructura. Indique si los miembros est´an en tensi´on o compresi´on. tensi´on o compresi´on.

P 6.8 Determine la fuerza en los miembros LK, KC y CD de la estructura de tipo Pratt. Indique P 6.11 Determine la fuerza en los miembros si los miembros est´an en tensi´on o compresi´on. DC, HI y JI de la estructura. Indique si los miembros est´an en tensi´on o compresi´on. Igual para los miembros KJ y KD. 16

P 6.14 Si se aplica una fuerza de 100 N a los mangos de la llave de fontanero, determine la fuerza ejercida sobre a tuber´ıa B de superficie lisa y la magnitud de la fuerza resultante en la articulaci´on A.

P 6.12 Determine la fuerza P necesaria para mantener el peso de 60 N en equilibro.

P 6.15 Determine las componentes horizontal y vertical de la reacci´on en la articulaci´on C.

P 6.13 Determine las componentes horizontal y vertical de la reacci´on en la articulaci´on C.

P 6.16 Determine la fuerza normal que el bloque A de 100 N de peso ejerce sobre el bloque B de 30 N de peso.

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P 7.2 Determine las solicitaciones C.

P 7.3 Determine las solicitaciones C. P 6.17 Determine la fuerza P necesaria para levantar la carga. Determine tambi´en la distancia x del gancho para lograr el equilibrio. Despreciar el peso de la viga.

P 7.4 Determine las solicitaciones C.

P 7.5 Determine las solicitaciones C.

7.

Fuerzas internas

P 7.1 Determine las solicitaciones (fuerza normal, fuerza cortante y momento) en el punto C.

P 7.6 Determine las solicitaciones en el punto C. Asumir que A es una uni´on articulada y B m´ovil. 18

P 7.10 Determine la fuerza cortante y el momento como una funci´on de x y dibujar los correspondientes diagramas.

P 7.7 Determine la fuerza cortante y el momento como una funci´on de x y dibujar los correspondientes diagramas. P 7.11 Determine la fuerza cortante y el momento como una funci´on de x para los intervalos 0 ≤ x < 3 m y 3 < x ≤ 6 m, y dibuja los correspondientes diagramas.

P 7.8 Determine la fuerza cortante y el momento como una funci´on de x y dibujar los correspondientes diagramas.

P 7.12 Determine la fuerza cortante y el momento como una funci´on de x para los intervalos 0 ≤ x < 3 m y 3 < x ≤ 6 m, y dibuja los correspondientes diagramas.

P 7.9 Determine la fuerza cortante y el momento como una funci´on de x y dibujar los correspondientes diagramas.

P 7.13 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento para la viga.

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P 7.17 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento para la viga.

P 7.14 Dibuje los diagramas de fuerza cortante P 7.18 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento para la viga. y momento para la viga.

P 7.15 Dibuje los diagramas de fuerza cortante P 7.19 Determine la fuerza P necesaria para y momento para la viga. mantener el cable en la posici´on mostrada, i.e. el segmento BC permanece horizontal. Calcule la distancia yB y la tensi´on m´axima que soporta el cable.

P 7.16 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento para la viga.

P 7.20 El cable soporta una carga distribuida uniformemente de w0 = 12 N/m. Determine la tensi´on en el cable en cada soporte A y B. Determine la m´axima carga uniforme w0 que podr´ıa sostener si la tensi´on m´axima que el cable puede soportar es de 20 kN. 20

8.

Fricci´ on

P 8.1 Si P = 200 N, determine la fricci´on entre el contenedor de 50 kg y el suelo. El coeficiente de rozamiento est´atico entre el contenedor y el suelo es µs = 0,3.

P 7.21 El puente tiene un peso por unidad de longitud de 80 kN/m. Est´a suspendido por cada lado mediante un cable. Determine la tensi´on de cada cable en los pilares A y B. Si cada uno de los cables puede soportar una tensi´on m´axima de 50 MN, determine la carga uniforme w0 causada por el peso del puente que puede permitirse.

P 7.22 Si la fuerza horizontal de arrastre es T = 20 kN y la cadena tiene una masa por unidad de longitud de 15 kg/m, determine la flecha o altura m´axima h. Despreciar el efecto de flotaci´on del agua sobre la cadena. El estado de movimiento de los barco es estacionario.

P 8.2 Determine la fuerza m´ınima P que evita el deslizamiento de la barra AB de 30 kg. La superficie en B no tiene rozamiento, mientras que el coeficiente de fricci´on est´atica entre la barra y la pared en A vale µs = 0,2.

P 8.3 Determine la fuerza m´axima P que puede aplicarse sin hacer que los contenedores de 50 kg cada uno se muevan. El coeficiente de rozamiento est´atico de cada contenedor con el suelo es µ = 0,25.

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P 8.4 Si el coeficiente de fricci´on est´atica en los puntos de contacto A y B es µ = 0,3, determine la fuerza m´axima P que puede aplicarse para que el rodillo de 100 kg no se mueva.

P 8.7 Determine la menor fuerza vertical P necesaria para mantener la cu˜ na entre los dos cilindros id´enticos, de peso W . El coeficiente de fricci´on est´atica de todas las superficies de contacto es µs = 0,1. Determine la menor fuerza vertical P necesaria para introducir la cu˜ na entre los dos cilindros cuando µs = 0,3. P 8.5 Determine la fuerza m´axima P que puede ser aplicada sin causar el movimiento del contenedor de 250 N, el cual tiene el centro de gravedad en el punto G. El coeficiente de fricci´on est´atica con el suelo es de µs = 0,4.

P 8.8 El mecanismo de elevaci´on consiste de una uni´on de tornillo de rosca simple cuadrada, de di´ametro medio 12 mm y paso de rosca de 5 mm. El coeficiente de fricci´on est´atica es µs = 0,4. Determine el momento M que deber´ıa aplicarse P 8.6 Determine la menor fuerza horizontal P al tornillo para empezar a levantar la carga de 30 requerida para levantar el cilindro de 100 kg. Los kN actuando al final del miembro ABC. coeficientes de fricci´on est´atica en los puntos de contacto A y B son µA = 0,6 y µB = 0,2 respectivamente, y entre la cu˜ na y el suelo µC = 0,3.

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P 8.9 Determine la magnitud de la fuerza horizontal P que debe de aplicarse al gato para producir una fuerza de sujecci´on de 600 N sobre el bloque. El tornillo de rosca simple cuadrada tienen un di´ametro medio de 25 mm y un paso de rosca de 7,5 mm. El coeficiente de fricci´on est´atica es µs = 0,25. Determine la fuerza de sujeci´on sobre el bloque si la fuerza aplicada a la palanca es de P = 30 N.

P 8.11 La barca tiene un peso de 2500 N (unos 250 kg) y se mantiene sobre uno de los lados de la cubierta de un barco mediante dos soportes A y B. Un hombre de 650 N de peso (unos 65 kg) sube a la barca, enrolla una cuerda en la barra C y la amarra a los extremos de la barca seg´ un se muestra. Si la barca se suelta de los soportes, determine el n´ umero m´ınimo de medias vueltas que la cuerda debe de dar para que la barca pueda bajarse al agua de manera segura a velocidad constante. Calcule tambi´en la fuerza normal entre el hombre y la barca. El coeficiente de fricci´on est´atica entre la cuerda y la barra es µs = 0,15. Ayuda: el problema requiere que la fuerza normal entre los pies del hombre y la barca sea la menor posible.

P 8.10 Un cilindro que tiene una masa de 250 kg est´a colgado por una cuerda que est´a enrollada sobre una barra. Determine la mayor fuerza vertical F que puede aplicarse a la cuerda sin mover el cilindro en los siguientes casos: la cuerda pasa (a) una vez sobre la barra β = 180◦ , (b) dos veces sobre la barra β = 540◦ . Tome µs = 0,2. Determine la menor fuerza vertical F necesaria para sostener P 8.12 El disco de embrague se usa en la transel cilindro el cilindro en los casos anteriores. misi´on est´andar de los autom´oviles. Si se emplean 23

cuatro muelles para unir los dos discos A y B, determine la fuerza en cada muelle necesaria para transmitir un momento de 1 kN·m a trav´es de los discos. El coeficiente de fricci´on est´atica entre A y B es µs = 0,3.

P 8.15 Determine la fuerza P requerida para vencer la fuerza de resistencia a la rodadura y mover hacia arriba la rueda de 50 kg a velocidad constante. Determine lo mismo para el caso en el que se debe de sostener la rueda mientras rueda hacia abajo por el plano inclinado a velocidad constante. El coeficiente de resistencia a la rodadura es a = 15 mm.

P 8.13 El eje de radio r est´a ajustado de manera holgada al cojinete de sustentaci´on. Si el eje transmite una fuerza vertical P al cojinete, y el coeficiente de fricci´on cinem´atico es µk , determine el momento M necesario para que le eje gire a velocidad constante.

9.

Centro de gravedad, de masa y centroide

P 9.1 Determine el centroide (¯ x, y¯) de la regi´on sombreada.

P 8.14 La carretilla junto con la carga pesan un total de 750 N. Si el coeficiente de resistencia a la rodadura es a = 0,75 mm, determine la fuerza P requerida para mover la carretilla con velocidad constante.

P 9.2 Determine el centroide (¯ x, y¯) de la regi´on sombreada. 24

P 9.6 Localice el centroide (¯ x, y¯, z¯) del s´olido homog´eneo formado por la rotaci´on la regi´on somP 9.3 Determine el centroide (¯ x, y¯) de la regi´on breada alrededor del eje z. sombreada.

P 9.7 Localice el centroide (¯ x, y¯, z¯) del cable doblado. P 9.4 Determine el centro de masa (¯ x, y¯) de la barra si su masa por unidad de longitud viene dada por m = m0 (1 + x2 /L2 ).

P 9.5 Localice el centroide (¯ x, y¯, z¯) del s´olido homog´eneo de revoluci´on formado por la rotaci´on P 9.8 Localice el centroide (¯ x, y¯) de la secci´on la regi´on sombreada alrededor del eje y. transversal de la viga.

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P 9.12 Determine el centro de masa (¯ x, y¯, z¯) del bloque homog´eneo. P 9.9 Localice el centroide (¯ x, y¯) de la secci´on transversal de la viga de madera.

P 9.13 Determine la superficie y el volumen del s´olido formado por la rotaci´on del a´rea sombreada 360◦ alrededor del eje z. P 9.10 Localice el centroide (¯ x, y¯) de la secci´on transversal.

P 9.14 Determine la superficie y el volumen del P 9.11 Localice el centro de masa (¯ x, y¯, z¯) del s´olido formado por la rotaci´on del a´rea sombreada bloque homog´eneo. 360◦ alrededor del eje z.

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P 9.15 Determine la superficie y el volumen del s´olido formado por la rotaci´on del a´rea sombreada 360◦ alrededor del eje z. P 9.17 Determine la magnitud de la fuerza hidrost´atica que act´ ua por unidad de longitud sobre el muro. La densidad del agua es ρ = 1 Mg/m3 .

P 9.18 Determine la magnitud de la fuerza hiP 9.16 Determine la superficie y el volumen del drost´atica que act´ ua sobre la compuerta AB, la s´olido formado por la rotaci´on del a´rea sombreada cual tiene una anchura de 4 m. La densidad del 360◦ alrededor del eje z. agua es ρ = 1 Mg/m3 .

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P 9.19 Determine la magnitud de la fuerza hiMomentos de inercia drost´atica que act´ ua sobre la compuerta AB, la 10. cual tiene una anchura de 1,5 m. La densidad del agua es ρ = 1 Mg/m3 . P 10.1 Determine el momento de inercia del a´rea sombreada alrededor del eje x.

P 9.20 Determine la magnitud de la fuerza hidrost´atica que act´ ua sobre la compuerta AB, la cual tiene una anchura de 2 m. La densidad del agua es ρ = 1 Mg/m3 . P 10.2 Determine el momento de inercia del a´rea sombreada alrededor del eje x.

P 9.21 Determine la magnitud de la fuerza hidrost´atica que act´ ua sobre la compuerta AB, la cual tiene una anchura de 2 m. La densidad del agua es ρ = 1 Mg/m3 . 28

P 10.3 Determine el momento de inercia del P 10.6 Determine el momento de inercia de la a´rea sombreada alrededor del eje y. secci´on transversal de la viga respecto a los ejes x e y del centroide.

P 10.7 Determine el momento de inercia de la P 10.4 Determine el momento de inercia del secci´on transversal de la viga respecto al eje y. a´rea sombreada alrededor del eje y.

P 10.5 Determine el momento de inercia de la secci´on transversal de la viga respecto a los ejes x e y del centroide. P 10.8 Determine el momento de inercia de la secci´on transversal de la viga respecto al eje x0 que pasa a trav´es del centroide.

29

P 10.9 Determine el producto de inercia del a´rea parab´olica respecto a los ejes x e y. Determine el producto de inercia de la mitad derecha del a´rea parab´olica, delimitada por las l´ıneas y = 2 y x = 0.

P 10.12 Determine el momento de inercia del p´endulo con respecto a un eje perpendicular a la P 10.10 Localice el centroide (¯ x, y¯) de la sec- p´agina y que pasa a trav´es del punto O. La barra ci´on transversal de la viga. Determine los momen- delgada tiene una masa de 10 kg y la esfera una tos y productos de inercia con respecto a los ejes masa de 15 kg. u y v de la secci´on. Los ejes tienen el origen en el centroide C. Repetir el c´alculo usando el c´ırculo de Mohr.

11. P 10.11 Determine la orientaci´on de los ejes principales con origen el centroide C de la secci´on transversal de la viga. Encontrar los momentos principales de inercia. Repetir los c´alulos empleando el c´ırculo de Mohr.

Trabajos virtuales

P 11.1 Determine la magnitud de la fuerza P necesaria para mantener en equilibrio la articulaci´on para θ = 60◦ . Cada miembro tiene una masa de 20 kg.

30

P 11.5 Determine el ´angulo θ de manera que P 11.2 Determine la magnitud de la fuerza P la barra de 50 kg est´e en equilibrio. El muelle no necesaria para mantener la barra de 50 kg, sin est´a deformado para θ = 60◦ . rozamiento, en equilibrio con θ = 60◦ .

P 11.6 La articulaci´on de tijera se encuentra sujeta por una fuerza de P = 150 N. Determine el P 11.3 El dispositivo est´a sujeto mediante una a´ngulo θ para el equilibrio. El muelle no est´a defuerza P = 2 kN. Determine el a´ngulo θ para el formado para θ = 0◦ . Desprecie la masa de los equilibrio. El muelle no est´a deformado cuando miembros. θ = 0◦ . Desprecie la masa de los miembros.

P 11.7 El miembro AB tiene una masa uniforme de 3 kg. Est´a enganchado a dos articulaciones en sus extremos. La barra BD, de masa despreciable, pasa a trav´es de una gu´ıa en el punto C. Si el muelle tiene una constante de rigidez k = 100 P 11.4 El dispositivo est´a sujeto mediante una N/m y no sufre deformaci´on para θ = 0◦ , deterfuerza P = 6 kN. Determine el a´ngulo θ para el mine el ´angulo θ e investigue la estabilidad en equilibrio. El muelle no est´a deformado cuando la posici´on de equilibrio. Desprecie la masa de la θ = 60◦ . Desprecie la masa de los miembros. gu´ıa. 31

P 11.8 Se hace un agujero c´onico en un cilindro, y se introduce por ´el en un soporte cuyo fulcro toca al agujero en A. Determine la m´ınima distancia d de manera que permanezca en equilibrio estable.

32