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• David Beteta

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DCL

K1= 25 K2= 50 Teniendo en cuenta que: Ke = k1 + k2

√

⟹ T = 2π

√

T = 2π T = 2π

√

T = 2π

√

T= 2π 5

s

m ke 3 25+50

3 75

1 25

T = 2π

1 5

⟹

Para determinar el periodo ⟹ T = 2π

√

m k

T = 2π

√

2 200

T = 2π

√

1 100

T = 2π

1 10

⟹

T=

π s 5

Para la ecuación será: Como no está en el equilibrio X = A cos WT W=

2π T

=

2π π 5

= 10

Sabemos que: A=

w k

rad 5

⟹ X=

X = 0,05 cos (10T)

X = AcosWT 10 ( 100 )

cos 10T

Solución: M = 0.5 kg V(x) (T) =

(3.60 cms )

[(

sen

4.71 s−1 ) T −

π 2

]

De esta ecuación podemos despejar: W = 4.71 rad/s WA = 3.60 cm/s −2

A=

3.60 × 10 4.71

T = 1.33 s

a)

T

b)

Amplitud:

⟹ 7.64 × 10-3m

=

2π w

⟹ T=

2π 4.71

⟹

A = 7.64mm

c)

amáx = W2A ⟹ amáx (7.64 × 10-3) (4.71)2 amáx = 0.169 m/s2

d)

constante elástica del resorte: Si

W=

√

k m

K= 11.1 n/m

⟹

k = w2m

K = (0.5) (4.71)2 ⟹

A = -2.70 m/s2

cuando

X = 0.3 m

m = 0.4 kg

Si

F=ma ⟹

F = 1.08 N

También: F = kx ⟹ K =

F = (0.4) (2.70) ⟹ F X

⟹

El periodo será: T = 2π

√

T = 2π

√

m k 0.4 3.6

T = 2.09s

1.08 0.3

= 3.6 N/m

Solucion:  Aplicando primera ley de equibrio para el resorte con respecto al bloque m

∑FY = 0 ⟹

F = mg

^

F = KX0

X0 = deformacion del resorte

⟹ KX0 = mg



⟹

X0 =

mg K

Haciendo un DCL para el bloque M: Si

∑FY = 0 F = Mg

^

F = KX

KX = Mg X=

Mg K

…2

 La amplitud sera: A = X + X0 A=

=

Mg K

+

g ( M +m ) K

mg K

…1

A=

g ( M + m) K

A =

10 (8+2) 400

… Reemplazando datos.

⟹ A=

Sabemos que para dos resortes: Si

X1

=

X2

= Xe

∑F = F1 + F2 PERO: F1 = K1 X1 F2 = K2 X2 ⟹ Ke Xe = K1X1 + K2X2 X 1 (K 1+ K 2) Xe

Ke =

En

Ke = K1 + K2

la nueva fórmula será a partir de: T = 2π

√

⟹ Reemplazando Ke = K

m K

100 400

⟹ A = 0.25m.

T = 2π

T = 2π

√ √

m (K 1+ K 2)

4 ( 80+20 )

T= 2π 5 s

Si

F = 5 H2

a = 10 π2 m/s2

^

En el extremo su aceleración es máxima:

amáx = 10 πm2/s2

Usando la frecuencia para hallar la angular:

W = 2πf ⟹

W = 2π (5)

Se sabe que en el extremo su aceleración es:

amáx = AW2 … despejando A

A=

amáx w2

⟹

10π rad/s

10 π ¿2 ¿ A = 10 π 2 ¿

10c m

⟹ 0.1 m

=

1 1 1 = + K e K1 K2

K 1

K 2

Ke =constante de equilibrio

M Si cortamos a la mitad la constante será:

1 1 = ⟹ K e=2 K 1 1 Ke 2K

Para el nuevo periodo será:

T = 2π

√

m K

⟹ T = 2π

Sabiendo que: teorema de Steiner

I = I cm + MD2 I = MR2 + MR2 I = 2MR2

Reemplazando en la fórmula de periodo: T = 2π

√

I MgR

√

m 2K

T = 2π

√

2 M R2 MgR

T = 2π

√

2R g

T = 2π

√

2(12.5 ×10−2) π2

…

reemplazando los datos

T = 1s

m = 0.5 kg K = 450 N/m

W=

√

k m

√

=

A = 0.04m a. Rapidez máxima. Vmáx = WA ⟹ Vmáx = (30) (0.04) = 1.2m/s b. Velocidad cuando:

X = -0.015m 2

V=W

√A +X 2

2

2

0.04 ¿ −(−0.015) ¿ ⟹ V = 30 √¿

V = 1.11m/n

450 0.5

=30 rad/s

c. La aceleración máxima. amáx = W2A = (30)2 (0.04)

amáx = 36m/s2 d. La aceleración en:

X = -0.015m

a = W2A

si

⟹ a = W2X

⟹

X=A

e. Energía mecánica: Pero

a = (30)2 (0.015) = 13.5 m/s2 Em = Ek + Ep 1

Em = Ek ⟹ E = 2 KA2 =

1 2 2 (450) (0.04)

E = 0.36J ⟹ 360KJ

DATOS: Et = 30 UJ

(U = micra)

(mN = milinewton) (m = 10-3)

Fmáx = 1.5 m N T = 25 � = 45° ⟹ � =

(U = 10-6)

π 4

Ecuación del movimiento: X = Asen (WT + �)

2π T

⟹ W=

Si T = 2

⟹ W=

2π 2

⟹ W = πs

De la energía mecánica: KA 2 2

Em = También se sabe que: Em =

⬌ F = KX

KAA 2

⟹

X=A ⟹ Em

=

F = KA FA 2

Reemplazando los datos: A=

( Em ) 2 F

( 30× 10−6 ) 2

⟹ A = (1.5 × 10−3) A = 0.04 m

La ecuación será: X = 0.04 sen (πT + π 4 )

Solución:

= 0.04 m

 Para el resorte la fuerza será: F = KX pero X=A F = KA… 1  El razonamiento en la caja será = U ⟹ Fs = UN…2 Pero sabemos que: F

FS

∑Fx =0

⟹ F = Fs

 Analizando el primer DCL ⟹ N = mg + Mg N = (M+m)g  Despejando 1 ⟹ F = KA F

A= K

A=

⟹ A=

u ( M +m ) g K

Solución: Teniendo la ecuación del movimiento: X (t) = 7.40cm

cos

[ ( 4.16 s−1) T −2.42 ]

Podemos deducir: A = 7.40cm W = 4.16 rad/s

m = 1.50kg

uN K

⟹

� = -2.42 a) Periodo de la oscilación completa: 2π W

T=

2π 4.16

⟹ T=

= 1.51s

b) Constante de rigidez del resorte:

√

W=

K M

⟹

K = (4.16)2 (1.5)

K = W2 m =

26N/m

c) Vmáx ⟹ WA −2 Vmáx ⟹ (4.16) (7.40 ×10 ¿ = 0.31m/s

Vmáx = 0.31 m/s d) Fuerza máxima: F = KX ⬌ X = A ⟹ F = KA F = (26) (7.40 ×

10−2 ¿

= 1.92 N

F = 1.92N

a) hallando la masa: T = 2π

√

m K … despejando “m”

T 2π

2

( )

m k

=

k

⟹ m= 102 )

m = (2.5 ×

T 2π

2

( )

0.2 2π

2

( )

m = 0.25 kg

⬌

b) si F = KX

X=A

F = KA También: A=

F = m.a F K

⟹ A=

m. a K

⟹ A=

( 0.25 ) (12) ( 2.5 ) ×10 2

= 0.012m

c) Fmáx ⟹ F = m.a ⟹ F = (0.25) (12) = 3N

Solución: Dato: el coeficiente de fricción entre m y H es μ. Haciendo un DCL del bloque m, para saber las fuerzas que actúan sobre el bloque. a

m

F N

mg

Por la segunda ley de Newton: F = m.a Pero

^

N = mg F = ma μN = ma μ.mg = ma μg = a … 1

sabemos

⬌

F = KX

X=A

por la ley de HOOKE que: ⟹

F = KA … 2

Para la segunda ley de Newton: ∑F = m.a F = (m+M)a F = (m+M)μg Pero: F = KA ⟹

KA = (M+m)μg A=

( M +m ) μg K

F=μN

En T = 0

⟹

A = 3cm

Su frecuencia angular sera: 5 rad / s

W=

√

K m

=

√

25 1

Para hallar el � se tomara T = 0 ⟹ A = 3cm X = A cos ( WT+�) 0 = 3 cos (�) � = 90° ⟹ π/2

La ecuacion del movimiento sera:

X = Asen (WT+�) X = 3sen ( 5T+π/2)

La ecuación de la velocidad sera:

V = AW cos (WT+�) V = (3) (5) cos (5T+π/2) V = 15cos ( 5T + π/2)

⟹

P.E

4cm a= 0.16 m/s2

DETERMINA LA ECUACIÓN EN EL MOVIMIENTO:

SI

a = AW2

⟹ 0.16 = 0.04W2 W = 2 rad/s

W2 =

0.16 0.04

⟹ W2 = 4

Para la fase inicial.

T=0

X = A sen (WT + �) ⇔

� =

3π 2

Y = 4sen (2T+

3π 2

)

⟹

Su deformación es 6.25cm → pero sabemos que

10kg

F = KX

⇔ X=A

F = KA K=

F A

1600N/m

Con una nueva masa entonces su periodo será:

T = 2π

√

m K

= 2π

√

16 1600

= 2π (0.1)

T = 0.2 πs

⟹ k=

( 10 ) (10) 0.0625

⟹

Longitud inicial = L Si se aumenta el 21% ⟹ L+0.21L

El

1.21 L

⟹ nuevo periodo será: T = 2π

√

L g

4 = 2π

√

L g

√

L g

√

g L

2

=

4 2π

( )

2

=

2π 4

( )

G=L 2π 4

2

( )

T = 2π

T = 2π

T = 2π

√

1.21 L g

√( ) √( )

1.21 L 2π 2 L 4 1.21 2π 2 4

T = 4.4s

K = 10N/m 100g

10cm

300g 100g 10cm

El periodo será:

T = 2π

√

m K

T = 2π

√

(m1+ m2 ) K

T = 2π

√

0.4 10

T=

2π s 5

Solución: F = 0.85 H2 A = 18.0 cm

⟹

W = 2πF

W = 2π (0.85) = 5.34rad/s

La amplitud será: A = 18.8cm

a)

amáx

y

amáx = W2A a

y

b

a = w2x

A = 0.18m

vmáx

vmáx = WA

b)

⟹

⟹

vmáx = (5.34) (0.18) = 0.961 m/s

⟹

amáx = (5.34)2(0.18) = 5.13 m/s2

⟹ X = 9.0cm ⟹

2 2 v = w √ A −X

⟹ 0.09m

a = (5.34)2(0.09) = 2.57 m/s2 0.09 ¿ ¿ ⟹ v = (5.34) (0.18)2−¿ √¿

v = 0.83 m/s

X1 = 0.02 sen (5πT +

π 2

)

X2 = 0.03 sen (5πT +

π 4

)

Hallar amplitud y fase inicial:

� = arc tg

[

A1 senX 1+ A 2 senX 2 A 1 cosX 1+ A 2 cosX 2

]

� = arc tg

[

π π 0.02 sen + 0.03 sen 2 4 π π 0.02cos + 0.03cos 2 4

]

� = arc tg

[

0.041 0+ 0.021

]

� = 62, 87°

� = 62° 52´ 12´´

0

0

-A

p.e

0

A

40cm

Si t = 0 ⟹ X = t10cm

W=

V máx A

Vmáx = 2m/s

W=

2 0.2

Solución: La amplitud será:

A = 20cm

= 10m/s

Con T = 0 ⟹ X = 10cm, con esta información hallaremos el desfasaje, ⟹ �

⟹ X = A sen (WT + �) 10 = 20sen (W (0) +�) ⇔ T = 0 10 20

1 2

= sen� ⟹ sen � =

⟹ � =30°

por convercion 180°

π

30°

X

π 6 La ecuación de la velocidad será: V = AW cos (WT +�) V = 0.2(10) cos (10T + π/6) π V = 2 cos (10T+ 6

0

0

)

0

75 cm Si:

⟹X=

30 π 180

⟹X=

⟹

X = 7 cm

V = 48cm/s

⟹ Tomaremos esta ecuación por ser lo que describe la velocidad en cualquier posición.

V=W

√ A 2−X 2

48×10-2 = W

√(0.75)2−(0.07)2

2

W=

2

0.75 ¿ −(0.07) ¿ 48 ×1 0−2 ¿

−2

=

48 ×10 0.75

W = 0.64 rad/s

Reemplazando en la fórmula de periodo nos queda:

W=

2π T

⟹ T= T = 9.8 s

2π 0.64

= 0.13π

Por datos nos dice que:

K1 = K2 = K3 = K4 = 100 N / m

Tomaremos la constante de equilibrio de equivalencias por:

Ke = K1+K2+K3+K4… reemplazando Ke = 400 Reemplazamos en la formula del periodo:

T = 2π

√

m Ke

= 2π

T=

√ π 55

4 400

= 2π

√

1 100

1

= 2π 10

10g 40g

F = 50 × 10-3 × 10

Hallar: F = (10×10-3) (10)

F = 0.5 N

F = 0.1N Si ⟹ F = KX

X=

F X

K=

0.1

K = 0.08

F K

=

X = 0.4 ⟹ 1.25N/m

X = A cos WT X = 0.4 cos 5 T

Si W=

√

K m

W=

√

1.25 50 ×10−3

W = 5rad/s

0.5 1.25