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1. OBJETIVOS: Verificación experimental del modelo matemático que expresa la variación del campo eléctrico, en las placas planas y paralelas en función de la diferencia de potencial eléctrico o voltaje, manteniendo la distancia de separación entre ellos constante. Determinación del valor de la distancia de separación de las placas con un error Probable del 1% 2. FUNDAMENTO TEORICO

La presencia de carga eléctrica en una región del espacio modifica las características de dicho espacio dando lugar a un campo eléctrico. Así pues, podemos considerar un campo eléctrico como una región del espacio cuyas propiedades han sido modificadas por la presencia de una carga eléctrica, de tal modo que al introducir en dicho campo eléctrico una nueva carga eléctrica, ésta experimentará una fuerza. El campo eléctrico se representa matemáticamente mediante el vector campo eléctrico, definido como el cociente entre la fuerza eléctrica que experimenta una carga testigo y el valor de esa carga testigo (una carga testigo positiva).

La definición más intuitiva del campo eléctrico se la puede dar mediante la ley de Coulomb. Esta ley, una vez generalizada, permite expresar el campo entre distribuciones de carga en reposo relativo. Sin embargo, para cargas en movimiento se requiere una definición más formal y completa, se requiere el uso de cuadrivectores y el principio de mínima acción. A continuación se describen ambas.

3. HIPOTESIS EXPERIMENTAL: El campo eléctrico entre las placas planas o paralelas varia en forma proporcional al voltaje aplicado a las mismas manteniendo constante la distancia de separación; es decir el campo eléctrico varia en una línea recta en función del voltaje y que pasa por el origen de coordenadas

4. INSTALACION DEL SISTEMA DE EXPERIMENTACION:

5. REGISTRO DE DATOS EXPERIMENTALES Tabla Nº1 INSTRUMENTO VOLTIMETRO ELECTROMETRO

CLASE 0.5 0.5

ESC. MAXIMA 200 20

Tabla Nº2 MAGNITUD Distancia “d”

MEDIDA 1.0 ± 0.1 [Cm]

 Errores Absolutos de los instrumentos Para el Voltímetro: 𝛿𝑉 =

𝜀% ∗ 𝐸𝑠𝑐𝑀𝑎𝑥 100

𝛿𝑉 =

0.5 ∗ 200 100

𝛿𝑉 = 1 [ 𝑉 ] Para el Electrómetro: 𝛿𝐸 =

𝜀% ∗ 𝐸𝑠𝑐𝑀𝑎𝑥 100

𝛿𝐸 =

0.5 ∗ 20 100

𝛿𝐸 = 0.1 [ 𝐾𝑣/𝑚 ]  Límites de medidas Para el Voltímetro: 𝑉𝐿 = 𝛿𝑉 ∗ 10 𝑉𝐿 = 1 ∗ 10 𝑉𝐿 = 10 [V]

ERROR ABSOLUTO 1 0.1

UNID. [V] [Kv/m]

Para el Electrómetro: 𝐸𝐿 = 𝛿𝐼 ∗ 10 𝐸𝐿 = 0.1 ∗ 10 𝐸𝐿 = 1 [ 𝐾𝑣/𝑚 ]  Tabulación de datos Tabla Nº3 Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

V±δV [V] 42.8 ± 1 50.2 ± 1 51.8 ± 1 62.0 ± 1 68.2 ± 1 73.2 ± 1 78.5 ± 1 86.8 ± 1 96.0 ± 1 99.2 ± 1 104.4 ± 1 105.7 ± 1

E ± δE [ Kv/m ] 4.29 ± 0.1 5.02 ± 0.1 5.16 ± 0.1 6.27 ± 0.1 6.85 ± 0.1 7.35 ± 0.1 7.88 ± 0.1 8.69 ± 0.1 9.62 ± 0.1 9.93 ± 0.1 10.45 ± 0.1 10.57 ± 0.1

6. RESULTADOS EXPERIMENTALES 6.1. PRUEBA DEL MODELO MATEMATICO  PREPARACION DE LA TABLA DE DATOS EXPERIMENTALES Tabla No. 4 Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

V±δV [V] 42.8 ± 1 50.2 ± 1 51.8 ± 1 62.0 ± 1 68.2 ± 1 73.2 ± 1 78.5 ± 1 86.8 ± 1 96.0 ± 1 99.2 ± 1 104.4 ± 1 105.7 ± 1

E ± δE [ v/m ] 4290 ± 100 5020 ± 100 5160 ± 100 6270 ± 100 6850 ± 100 7350 ± 100 7880 ± 100 8690 ± 100 9620 ± 100 9930 ± 100 10450 ± 100 10570 ± 100

12000

𝑉 𝑑

E=

𝑉 0.01

PRUEBA DEL MODELO MATEMATICO E=V/C ; E=V/0.01

10000

y=Campo Electrico

E=

8000 6000 4000 2000 0 0

20

40

60

80

100

120

x=Voltaje

ANALISIS Existe un alto grado de correspondencia entre los datos experimentales y el modelo matemático teórico de manera que el modelo matemático es capaz de representar a los datos experimentales 6.2. VALOR DE “d”

𝑑 = 0.009 ± 0.001 [m]

𝜀𝑑 % = 11.111 [%]

ANALISIS El valor de nuestra distancia es muy cercana al valor que queríamos comprobar con un margen de error muy pequeño lo cual demuestra que nuestro experimento fue realizado de buena manera

6.3. MODELO MATEMATICO Y SU COMPORTAMIENTO 𝑌=

𝑋𝛽 ∝

𝑌=

𝑋𝛽 ∝

𝑌=

14000

𝑋 0.999 0.009

MODELO MATEMATICO AJUSTADO A LOS DATOS EXPERIMENTAALES Y=X^B/A

12000 10000 8000 Y=E [V/m] 6000 4000 2000 0 0

20

40

60

80

100

X=Voltaje [V]

120

7. CUESTIONARIO 7.1. ¿Por qué el campo eléctrico entre las placas disminuye o aumenta cuando la distancia separación aumenta o disminuye respectivamente?  Esto se debe debido a que ambas son inversamente proporcionales y esto se puede comprobar en la siguiente formula: E=

𝑉 𝑑

A mayor distancia el campo eléctrico disminuye y viceversa 7.2. El campo eléctrico entre las placas ¿Depende de la diferencia de potencial eléctrico o de la distancia de separación?  Depende de ambas dependiendo si ambas son constantes o variables :  Distancia constante: El campo eléctrico esta en función del diferencial de potencial eléctrico y ambas son proporcionales  Diferencial de potencial eléctrico constante: El campo eléctrico está en función a la distancia y ambas son inversamente proporcionales 7.3. ¿Qué propiedades deben cumplir el campo vectorial del ampo eléctrico para ser considerado como un campo eléctrico uniforme?  El campo eléctrico uniforme tiene que cumplir con: tiene la misma magnitud, dirección y sentido en todos los puntos del espacio, independiente de la distancia. 7.4. Si la distancia de separación entre placas se hace cero: ¿El campo eléctrico que valor adquiere?  Para responder partimos de: Por definición, TRABAJO ( W ) es el producto de la Fuerza eléctrica ( F ) por la distancia ( d ) a la que actúa W=Fxd y si nuestra distancia es igual a cero pues no realiza trabajo entonces tenemos : V=

𝑊 𝑞

Entonces nuestro diferencial de potencial seria cero y por consiguiente:

E=

Nuestro campo eléctrico se hace nulo

𝑉 𝑑

7.5. Si del modelo matemático se despeja la diferencia de potencial eléctrico queda como V = Ed ¿La diferencia de potencial eléctrico o voltaje V depende de la distancia d? justificar su respuesta.  Si porque: a mayor distancia menor es la intensidad del campo eléctrico y por consiguiente la diferencia de potencial eléctrico será menos y viceversa. 7.6 ¿Existen evidencias a favor o en contra de la hipótesis experimental? Y ¿Cuáles son?  Existen evidencias a favor ya que nuestra hipótesis experimental señala “ El campo eléctrico entre las placas planas o paralelas varia en forma proporcional al voltaje aplicado manteniendo la distancia constante”. Seria el ejemplo de tener 2 imanes con polarización apuesta entonces notaremos que se atraen esto se debe al campo eléctrico que general y esta atracción se hace mas fuerte mientras mas se acercan pero disminuye al separarlas 7.6. Cuando se introduce un material aislante en medio del campo eléctrico entre las placas este último: a) Disminuye debilitándose. Esto debido a que las líneas de acción del campo eléctrico han sido interferidas por el material aislante haciendo incluso casi nulo el campo eléctrico

7.7. Cuando aumenta la distancia de separación entre placas, para una tensión constante las líneas de campo eléctrico son: b) Disminuye debilitándose hasta hacerse casi nulo

8. CONCLUSIONES  A medida que el diferencial de potencial eléctrico aumenta el campo eléctrico aumenta y si el diferencial de potencial eléctrico disminuye entonces el campo eléctrico disminuye por tanto el campo eléctrico y el diferencial de potencial eléctrico son proporcionales  Cuando se introduce un aislante en medio del campo eléctrico este se debilita tendiendo a cero

9. BIBLIOGRAFIA  Guía de informe de laboratorio – Ing. Jaime Burgos Manrique  Física universitaria II – Sears Zemansky

10. APENDICE 10.1. PRUEBA DEL MODELO

12000

𝑉 𝑑

E=

𝑉 0.01

PRUEBA DEL MODELO MATEMATICO E=V/C ; E=V/0.01

10000

y=Campo Electrico

E=

8000 6000 4000 2000 0 0

20

40

60

80

100

120

x=Voltaje

10.2.

DETERMINACION DE “d” E=

𝑉 𝑑

μ=

𝑋𝛽 𝛼

Dónde: α=d=0.01 [m], β=1, µ=E, X=V. Son parámetros o valores reales a ser verificados

La función estimadora La función estimadora de la expresión universal es: 𝑌=

𝑋𝐵 𝐴

Transformando por linealizacion: ln(𝑌) = 𝐵 ln(𝑋) − ln(𝐴) dónde: 𝑦 = ln(𝑌),

𝑥 = ln(𝑋)

𝑎 = −ln(𝐴) b=B La función lineal queda como: 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 Utilizando la tabla auxiliar se tiene: Tabla No.5 Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∑

x 3.75653810259 3.91601502670 3.94739014927 4.12713438505 4.22244456485 4.29319542097 4.36309862479 4.46360662167 4.56434819147 4.59713801429 4.64822967545 4.66060489288 51.5597437

y 8.36404201192 8.52118521269 8.54869185848 8.74353163363 8.83200393126 8.90245559221 8.97208318285 9.06992821826 9.17159954366 9.20331575704 9.25435725739 9.26577507886 106.848969

X^2 14.1115785 15.3351737 15.5818890 17.0332382 17.8290381 18.4315269 19.0366296 19.9237841 20.8332744 21.1336779 21.6060391 21.7212380 222.577088

X*y 31.4198425 33.3690893 33.7450220 36.0857301 37.2926470 38.1998160 39.1460838 40.4845917 41.8623738 42.3089127 43.0163780 43.1841167 460.134769

 Calculo de “b” 𝑏=

𝑏=

𝑛∑𝑥𝑦 − ∑𝑥∑𝑦 𝑛∑𝑥 2 − (∑𝑥)2

12(460.134769) − (51.5597437)(106.848969) 12(222.577088) − (51.5597437)2 𝑏 = 0.999511591638

 Calculo de “a” 𝑎= 𝑎=

∑𝑦 − 𝑏∑𝑥 𝑛

(106.848969) − (0.999511591638)(51.5597437) 12 𝑎 = 4.60953395917

 Entonces: 𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏𝑥

𝑦̂ = 4.60953395917 + 0.999511591638 ∗ 𝑥

 Nuestros nuevos valores serán: Tabla No.6 Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x 3.75653810259 3.91601502670 3.94739014927 4.12713438505 4.22244456485 4.29319542097 4.36309862479 4.46360662167 4.56434819147 4.59713801429 4.64822967545 4.66060489288

𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏𝑥 8.36423734 8.52363637 8.55499617 8.73465262 8.82991625 8.90063255 8.97050161 9.07096052 9.17165288 9.20442669 9.25549340 9.26786257

Figura 2

9.4 9.3 9.2 9.1 9 8.9 y 8.8 8.7 8.6 8.5 8.4 8.3

LINEA RECTA AJUSTADA A LOS DATOS LINEALIZADOS

0

1

2

3

4

5

x

DESVIACION ESTANDAR DE LA FUNCION ESTIMADA Tabla No. 7 Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x 3.75653810259 3.91601502670 3.94739014927 4.12713438505 4.22244456485 4.29319542097 4.36309862479 4.46360662167 4.56434819147 4.59713801429 4.64822967545 4.66060489288

y 8.36404201192 8.52118521269 8.54869185848 8.74353163363 8.83200393126 8.90245559221 8.97208318285 9.06992821826 9.17159954366 9.20331575704 9.25435725739 9.26577507886

𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏𝑥 8.36423734 8.52363637 8.55499617 8.73465262 8.82991625 8.90063255 8.97050161 9.07096052 9.17165288 9.20442669 9.25549340 9.26786257

(𝑦 − 𝑦̂)2 3,81519E-08 6,00818E-06 3,97443E-05 7,88369E-05 4,35843E-06 3,32349E-06 2,50137E-06 1,06564E-06 2,84528E-09 1,23418E-06 1,29082E-06 4,35763E-06 0,000142762

∑(𝑦 − 𝑦̂)2 𝑆𝑦 = √ 𝑛−2 0,000142762 12−2

𝑆𝑦 = √

𝑆𝑦 = 0.00377838589877

Desviaciones estándar de A y B 𝑆𝑥𝑥 = ∑𝑋 2 − 𝑆𝑥𝑥 = (222.577088) −

(∑𝑥)2 𝑛 (51.5597437)2 12

𝑆𝑥𝑥 = 1.043157132

Para A

σA = |

|

∂A ∑x 2 | Sy √ ∂a nSxx

∂A | = ea = e−4.60953395917 = 0.00995645734242 ∂a

222.577088 σA = |0.00995645734242| ∗ (0.00377838589877)√ 12 ∗ (1.043157132) σA = 0.000158630206062

Para B σB = |

| σB = |1|

∂B Sy | ∂b √𝑆𝑥𝑥

∂A |=1 ∂a

0.00377838589877 √1.043157132

σB = 0.00369940130928

Errores absolutos de A y B Grados de libertad 𝑣 =𝑛−2 𝑣 = 12 − 2 𝑣 = 10 Error probable 𝛼% = 1%

𝑃 = 99%

Coeficiente de confianza 𝑡𝛼/2 𝑡𝛼/2 = 3.355

Para A 𝛿𝐴 = 𝑡𝛼/2 ∗ σA 𝛿𝐴 = 3.355 ∗ 0.000158630206062 𝛿𝐴 = 0.000532204341338 Para B 𝛿𝐵 = 𝑡𝛼/2 ∗ σB 𝛿𝐵 = 3.355 ∗ 0.00369940130928

𝛿𝐵 = 0.0124114913926 Intervalos de confianza para los parámetros 𝛼 = 𝐴𝑝 ± 𝛿𝐴 𝐴𝑝 = 𝐴 = 𝑒 −𝑎 𝑒 𝑎 = 𝑒 −4.60953395917 = 0.00995645734242 Para el parámetro α=d=0.01 𝛼 = 0.009 ± 0.001

Para el parámetro β=1 𝛽 = 𝐵 ± 𝛿𝑏 B=b 𝛿𝐵 = 𝛿𝑏 = 0.0124114913926 𝐵𝑝 = 𝑏 = 0.999511591638 𝛽 = 0.999 ± 0.012

Prueba de hipótesis estadística de los parámetros Para α = d = 0.01

Ho: α = 0.01 H1: α ≠ 0.01

Valor critico 𝑡𝐴 = 𝑡𝐴 =

𝐴− 𝛼 𝜎𝐴

0.00995645734242 − 0.01 0.509647558921 𝑡𝐴 = −0.0000875976651227

Análisis

El valor crítico 𝑡𝐴 está en el intervalo como: −3.355 < −0.0000875976651227 < 3.355 Zona de aceptación de Ho por tanto la diferencia entre el valor medido R=280 [Ω] y el determinado experimentalmente no son significativamente diferentes por tanto se acepta la hipótesis o. Efectivamente α = d = 0.009

Para β1

Ho: β = 1 H1: β ≠ 1

Valor critico 𝑡𝐵 =

𝐵− 𝛽 𝜎𝐵

𝑡𝐵 =

0.999511591638 − 1 0.00369940130928

𝑡𝐵 = −0.132023622518 Análisis El valor critico 𝑡𝐵 está en el intervalo como: −3.355 < −0.132023622518 < 3.355 Zona de aceptación de Ho por tanto la diferencia entre el valor de la potencia β=1 y el determinado experimentalmente no son significativamente diferentes por tanto se acepta la hipótesis Ho. Efectivamente la potencia es β=1 Resultados El valor de A estima al valor de α=d=0.01 [m] por tanto: d=A 𝛿𝑑 = 𝛿𝐴 = 0.001[𝑚] La distancia probable es: 𝑑𝑝 = 𝐴 = 0.009 [𝑚] El resultado es: 𝑑 = 𝑑𝑝 ± 𝛿𝑑 𝑑 = 0.009 ± 0.001 [m]

Error relativo porcentual 𝜀𝑑 % =

𝜀𝑑 % =

𝛿𝑑 ∗ 100 𝑑𝑝

0.001 ∗ 100 0.009

𝜀𝑑 % = 11.111 [%]

Para β=1, B estima al valor de β por tanto se tiene: B=b δB = δb = 0.0124114913926 𝐵𝑝 = 𝑏 = 0.999511591638 𝛽 = 𝛽𝑝 ± 𝛿𝐵

𝛽 = 0,999 ± 0.012 Error relativo porcentual 𝜀𝐵 % =

𝜀𝐵 % =

𝛿𝐵 ∗ 100 𝐵𝑝

0.0124114913926 ∗ 100 0.999511591638 𝜀𝐵 % = 1.241[%]

Modelo ajustado a los datos experimentales 𝑌= 𝑌=

14000

𝑋𝛽 ∝

𝑋 0.999 0.009

MODELO MATEMATICO AJUSTADO A LOS DATOS EXPERIMENTAALES Y=X^B/A

12000 10000 8000 Y=E [V/m] 6000 4000 2000 0 0

20

40

60

80

100

X=Voltaje [V]

120