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FÍSICA BÁSICA II

o

θ h

hG dF

hP

FH

x

G B

G

B y

FÍS - 102 FÍSICA BÁSICA II TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS ING. LUCIO MAMANI CHOQUE ING. EDWIN FLORES MENACHO CAPITULO I “MECANICA DE FLUIDOS” SENAPI RESOLUCIÓN ADMINISTRATIVA NRO. 1-339/2020

Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE Ing. EDWIN FLORES MENACHO

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INDICE PROGRAMA OFICIAL DE FIS-102 FISICA BASICA II - TEORIA 1.- FUNDAMENTOS DE MECANICA DE FLUIDOS 2.- ELASTICIDAD Y MOVIMIENTO ONDULATORIO 3.- LEY CERO Y DILATACION TERMICA 4.- TRANSFERENCIA DEL CALOR 5.- PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA 6.- SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA 7.- FUERZA ELECTRICA Y LEY DE COULOMB 8.- CAMPO ELECTRICO Y LEY DE GAUSS 9.- POTENCIAL ELECTRICO Y CAPACITANCIA 10.- CIRCUITOS ELECTRICOS EN CORRIENTE CONTINUA

“ ESTUDIO, SACRIFICIO Y PERSEVERANCIA…….IMPLICAN EXITO DUDAS, DEJADEZ Y MALA VOLUNTAD…….IMPLICAN FRACASO “

ING. LUCIO MAMANI CHOQUE DOCENTE TITULAR INGENIERÍA PETROLERA FIS-100L FÍSICA BÁSICA I – LABORATORIO FIS-102 FÍSICA BÁSICA II - TEORIA

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CAP. 1 FUNDAMENTOS DE MECANICA DE FLUIDOS 1.1.- Definición de Fluido y Presión.- La mayor parte de la materia puede ser descrita clasificándola en tres partes: solida, liquida y gaseosa. Los sólidos y los líquidos llamados también materia condensada tienen algunas propiedades en común, por ejemplo son relativamente incompresibles y a la vez su densidad permanece casi constante cuando varía la temperatura. Por otra parte los gases son fácilmente compresibles y su densidad varía con la temperatura de manera sustancial. Desde otro punto de vista, podemos agrupar en forma conjunta a los gases y a los líquidos bajo la denominación de fluido. La palabra fluido proviene del latín “fluere” que significa fluir o manar. Los fluidos fluyen por ejemplo para adquirir la forma del recipiente que los contiene, los sólidos no comparten esta propiedad. De lo expuesto anteriormente se deduce que en los sólidos los átomos permanecen relativamente fijos en su ordenamiento, en tanto que los fluidos los átomos pueden moverse entre sí. La capacidad de fluir hace que un fluido sea incapaz de soportar un esfuerzo cortante y en condiciones estáticas la única componente de la fuerza que debe tomarse en cuenta es la que actúa en forma normal o perpendicular a la superficie del fluido. La magnitud de la fuerza normal por unidad de área se denomina presión, que es una magnitud física escalar. La fuerza ejercida por un fluido contra una superficie estará dada por:

dF  P  dA P

dF dA

Donde : P=Presion ( F=Fuerza ( A=Area (

) )

)

1.2.- Variación de la Presión con la profundidad.- Si un fluido está en equilibrio, cada porción del fluido también estará en equilibrio. Consideremos un recipiente abierto en su parte superior que contiene un fluido de densidad ρ, lleno hasta una altura h, dentro del cual podemos realizar el diagrama Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE Ing. EDWIN FLORES MENACHO

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de cuerpo libre de un pequeño elemento diferencial de volumen dv que tenga la forma de un cilindro de altura dz, es decir: Cota ó Superficie libre Remanso del liquido

Po (P+dP)A

ρ h dW

dz

P dA

z P

F

0

z

P  A  dm  g  ( P  dP)  A  0 P  A    dV  g  P  A  dP  A  0    A  dz  g  dP  A  0

dP     g   dz

Gradiente de presión (

)

Peso especifico del Liquido (

)

Para determinar la presión en el fondo del recipiente habrá que integrar la ecuación anterior:



PO

P

h

dP      dz 0

P0  P    h P  P0    h

“Ecuación fundamental de la Hidrostática”

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En forma alternativa el principio fundamental de la hidrostática puede ser expuesto de la siguiente manera: “La diferencia de presiones para un fluido cualquiera es igual al peso específico del fluido por la distancia de separación entre estos dos puntos” 1.3.- Variación de la Presión con la altura en la atmosfera.- La presión del aire varía notablemente cuando ascendemos a grandes alturas en la atmosfera. Considerando que esta variación es lineal:   kP dP     g  k  P  g dz

dP   k  g  dz P

Ln

P  k  g  z P0 P  P0  e  kgz

1.4.- Principio de Pascal.- Fue presentado en 1652 y este principio establece que “La presión aplicada a un fluido confinado se transmite íntegramente a todas las partes del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene” Una aplicación muy importante de este principio, que se usa a menudo para levantar un objeto pesado como por ejemplo un automóvil, se denomina palanca hidráulica, mas conocida como gata hidráulica. A continuación se muestra el principio de funcionamiento de este dispositivo considerando que es la fuerza que debemos aplicar y es igual al peso del objeto que queremos levantar, es decir:

mg F1

1

A1

A2

2

Isobara

F2

ρ

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F1 F2  A1 A2

“Principio de Pascal” 1.5.- Principio de Arquímedes.- Este principio establece que: “Todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido sufre un empuje de abajo hacia arriba por una fuerza de magnitud igual al del peso del fluido desalojado”. La fuerza de empuje o fuerza de flotación actúa en el centro de gravedad de la parte del cuerpo que se encuentra sumergida, este punto también se denomina punto de flotación o metacentro.

CG

W MC

CG=Centro de gravedad MC=Metacentro

E

Geometricamente el metacentro es el centro de gravedad del volumen sumergido. La magnitud de la fuerza de empuje se calcula por la siguiente ecuación:

Donde: Empuje (N) Densidad del liquido (kg/m3) Volumen sumergido (m3) Cuando un cuerpo se sumerge dentro de un fluido pueden ocurrir dos cosas: - Si la densidad del cuerpo es mayor que la del fluido, el cuerpo se hunde, en este caso debemos referirnos a una sumersión. - Si la densidad del cuerpo es menor que la del fluido, el cuerpo flota, en este caso debemos referirnos a una flotación. Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE Ing. EDWIN FLORES MENACHO

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En este caso debemos hablar de estabilidad: Si el peso del cuerpo y la fuerza de empuje se encuentran en una misma línea vertical el cuerpo flota en equilibrio y es estable, en el otro caso el cuerpo flota ladeándose y es inestable. 1.6.- Fuerzas sobre superficies planas sumergidas.- Cuando una lamina, placa o compuerta se sumergue en un liquido de densidad de forma horzontal, sobre toda la placa actúa una fuerza denominada fuerza hidroestatica, la cual esta concentrada en el centro de gravedad de la compuerta, es decir:

FH

CG=Centro de gravedad

Si la placa se desvía un angulo respecto de la horizontal, el punto de aplicación de la fuerza hidrostatica se desplaza a otro punto denomiando Centro de Presiones Se puede demostrar que el centro de presiones siempre se encuentra por debajo del centro de gravedad ( ). Determinemos la magnitud de la fuerza hidrostatica y la profundidad del centro de presiones: o

θ h

hG dF

hP

FH

x

G B

G

B y

G: Centro de Gravedad, B: Centro de presiones.

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Consideremos un elemento diferencial, despreciando el efecto de la presión atmosférica, la presión ejercida sobre este elemento estará dado por: P   h

La fuerza que esta presión origina estará dado por: dF  P  dA    h  dA

dF    y  sen  dA

F    sen  y  dA    sen  yG  A

La anterior integral se define como el primer momento de área:

F    hG  A El punto donde actúa esta fuerza total se denomina centro de presiones y se puede demostrar que se encuentra por debajo del centro de gravedad de la superficie plana sumergida:

dM 0  dF  y M 0     y  sen  dA  y M 0    sen  y 2  dA

La anterior integral se define como el segundo momento de área o momento de inercia del área respecto al eje horizontal que pasa por o (saliendo de la página)

M 0    sen  I 0  F  y P F  y P    sen  ( I G  A  yG2 )

  sen  yG  A  y P    sen  (I G  A  yG2 ) yG  A  y P  I G  A  yG2 yP 

IG  yG yG  A

Donde: Profundidad del centro de presiones (m) Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE Ing. EDWIN FLORES MENACHO

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Profundidad del centro de gravedad (m) Momento de inercia respecto del centro de gravedad (m4) Area de la placa o compuerta (m2) 1.7.- Dinámica de Fluidos.- Consideraremos en características generales del movimiento de los fluidos:

primer

lugar algunas

1.- El flujo puede ser estacionario o no estacionario. Si las variables p, ρ y v son constantes en el tiempo se dice que el flujo es estacionario. 2.- El flujo puede ser compresible o incompresible, Si la ρ es independiente de la posición (x,y,z) y del t se dice que el flujo es incompresible. 3.- El flujo puede ser viscoso o no viscoso. Cuando un fluido fluye de modo que no disipe energía por medio de fuerzas viscosas, se dice que el fluido es no viscoso. 4.- El flujo puede ser rotatorio o no rotatorio. Cuando un elemento del fluido en movimiento no gira en torno a un eje que pase por el centro de masa del elemento, se dice que el flujo es no rotatorio. Por todo lo expuesto para simplificar la descripción matemática del movimiento de un fluido, supondremos que el fluido tiene un flujo estacionario, incompresible, no viscoso y no rotatorio. A este tipo de flujo se lo conoce como flujo ideal a veces denominado flujo uniforme. 1.8.- Ecuación de Continuidad.- En el flujo estacionario la velocidad en un punto dado es constante en el tiempo. Consideremos los puntos P, Q y R dentro de un fluido por los cuales cada partícula del fluido pasa por estos puntos, esta trayectoria se conoce como Línea de Corriente. Puesto que un fluido está conformado por varios elementos diferenciales de fluido, existen varias líneas de corriente, las cuales en conjunto se denominan tubo de flujo o haz de líneas de corriente, tambien denominado Tubo de Flujo.

vR

vQ

2

R

vP P

dV2

Q

Línea de Corriente

Tubo de Flujo dV1 1

Suponiendo que el flujo es uniforme, las líneas de corriente presentan las siguientes características: Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE Ing. EDWIN FLORES MENACHO

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- Dos o más líneas de corriente no se cruzan. - Las líneas de corriente son continuas. - Se cumple la ley de la conservación de la masa, pues no existen fuentes ni sumideros. Paro este tubo de flujo necesariamente se debe cumplir la ley de la observación de la masa, pues no existen fuentes ni tampoco sumideros, de fluido:

(

)

(

)

(

)

(

)

La ecuación anterior se denomina ecuación de continuidad que en su forma diferencial suele expresarse de la siguiente manera:

(

)

Basados en el hecho de que el flujo es uniforme y consecuentemente es estacionario:

“Ecuación de la Continuidad” Analicemos dimensionalmente la anterior ecuación: [

]

[

]

“Caudal Volumetrico” Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE Ing. EDWIN FLORES MENACHO

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Es decir para calcular el caudal volumetrico en una tubería, se necesitan conocer el diámetro de tubería y la velocidad del flujo en ese punto. 1.9.- Ecuación de Euler.- Es una ecuación que se basa en el análisis cinemático del movimiento de un elemento diferencial de un fluido, el cual es considerado tan pequeño que adopta la forma de un pequeño cilindro de longitud dL y área A.

(P+dP)A

dz

dm g

z

dz

θ

θ PA

(

)

“Ecuación de Euler” 1.10.- Ecuación de Bernoulli.- Es una ecuación fundamental de la Dinámica de Fluidos, se deduce a partir de la ecuación de Euler y podríamos decir sin temor a equivocarnos que es una consecuencia de la Ley de la Conservación de la Energía:

(

)

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(

)

(

)

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“Ecuación de Bernoulli” Se puede apreciar que para cualquier fluido en movimiento, ya sea en la posición 1 o en la posición 2, el flujo tiene 3 tipos de energías: Energía potencial, energía cinética y la energía de presión. La sumatoria de estas energías debe permanecer constante en cualquier punto. 1.11.- Ecuación de Torricelli.- Esta ecuación se utiliza para calcular caudales o para calcular el tiempo de vaciado de recipientes, se deduce a partir de la ecuación de Bernoulli considerando que el fluido en movimiento desciende con una velocidad despreciable:

A2

2

ρ

y

NR 1

A1

√ 1.12.- Métodos experimentales utilizados en Mecánica de Fluidos.-

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Balanza de Jolly.- Aplicando el principio de Arquímedes, con este método se puede determinar la densidad de un cuerpo de masa y forma geométricamente desconocidas. Inicialmente se suspende en el aire este cuerpo en equilibrio con un resorte de constante de rigidez k y se mide la elongación x1, posteriormente se introduce todo este sistema en un fluido en reposo y nuevamente se mide la elongación x2 es decir: k  x1  m1  g

E  k  x2  m1  g

 L  g  V1  k  x2  m1  g  L  g  V1  k  x2  1  V1  g

V1 

1 

k  x2 ( 1   L )  g

m1 k  x1  ( 1   L )  V1 k  x2

 1   L 

x1 x1  x 2

Tubo de Venturi.- En la figura el diámetro de la tubería principal es D y de la garganta es d. Determinar la velocidad del flujo del agua sabiendo que la diferencia de alturas en el el manometro es h. H2O d

D

h

Hg

H2O

1

2

D

d

NR

y h A

B Hg

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Ecuación de Bernoulli:

(

)

( )

Por la Ecuación de Continuidad:

( )

( )

(

)

( ) Reemplazando (2), (3) en (1): [( )

(

)

( (

√

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) (

(( )

) )

(( )

( ) √

]

) )

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1.13.- Vaciado de depósitos.- La ecuación de continuidad y la ecuación de Torricelli nos ayudan a calcular el tiempo en que un recipiente de forma geométrica conocida se vacía. Para calcular este tiempo se debe realizar un análisis de caudales:

PROBLEMAS RESUELTOS CAPITULO 1 1.- Un gas está contenido en un dispositivo de cilindro y un émbolo en posición vertical. El émbolo tiene una masa de 4 kg y un área de sección transversal de 35 cm2. Un resorte comprimido arriba del émbolo ejerce una fuerza de 60 N sobre éste. Si la presión atmosférica es de 95 kPa, determine la presión en el interior del cilindro.

PatmA

Fk

A PA meg Datos: Equilibrio en el eje vertical:

( )

2.- Calcule la fuerza total que se ejerce sobre el fondo del sistema mostrado.

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FÍSICA BÁSICA II Calculamos la presión total ejercida en el punto más bajo del depósito.

Donde:

Entonces la ecuación para la fuerza:

3.- Dos esferas 1 y 2 de de volumen cada una y de densidades relativas 0,4 y 0,6 respectivamente unidas a una cuerda, flotan sumergidas en un líquido de peso , hallar: a) El Peso b) La tensión en la cuerda de manera que ambas esferas floten en equilibrio Esfera 1: ( ) Empuje Peso: Esfera

2: ( )

(1)+(2) además Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE Ing. EDWIN FLORES MENACHO

=0

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FÍSICA BÁSICA II =0 =0

a) En la ecuación (1):

4.- Determinar la fracción visible de un iceberg que flota en agua de mar si la densidad del hielo es 917 kg/m3 y densidad del agua de mar es 1030 Kg/m3 E

V2

V1

V1

W

( )

Equilibrio Hidrostático : ( )

( )

(3) en (2): Fracción de volumen del volumen sumergido V1: (

)

Volumen total del hielo VH:

(

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)

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5.- En un recipiente se vierte mercurio y agua. Un cubo de un material desconocido de 20 [cm] de arista flota en la superficie de separación de dos líquidos, sumergido 12 [cm] en mercurio. ¿Cuál es la densidad del material desconocido? Considere la densidad del mercurio igual a

Construyendo el DCL tenemos:

∑

Dónde:

Luego:

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6.- La figura muestra un cubo de arista “S” que flota en un fluido. a) Obtenga una relación para encontrar x con los pesos específicos del fluido y del cubo. b) Si se llena con un fluido menos pesado hasta el tope del cubo como muestra la figura. Hallar la relación para encontrar x.

a) Por equilibrio debe cumplirse:

Entonces: b) Por equilibrio:

( (

) )

7.- Calcular la profundidad a la cual está sumergida un bloque de densidad variable el cual se encuentra dentro de un líquido de densidad variable Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE Ing. EDWIN FLORES MENACHO

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La aceleración de la gravedad también varía con la altura de acuerdo a :

. Considere a,b y c como constantes.

H B

y

Sea A la sección transversal del bloque y h la profundidad a la cual está sumergida: El peso total del bloque se puede calcular mediante: dW  dm  g   B  dV  g

dW  a  y  A  dy  c  y 2  A  a  c  y 3  dy 

W 

Aa c  H 4 4

El empuje total ejercido sobre él bloque se puede calcular mediante:

dE  dV   L  g  A  dy  b  y  c  y 2 dE  A  b  c  y 3  dy



En equilibrio debe cumplirse:

E

A  b  c  h4 4

h4

a H b

E W

A  b  c  h4 Aa c  H 4  4 4



8.- La densidad de una solución de una sal varia con la profundidad según la ecuación:

   0  a0  z donde:

0  1

g g y a 0  0.01 4 . 3 cm cm

En esta solución se introduce un pequeño cubo de masa m=1.2g, de arista a=1cm ¿A qué profundidad el cubo se encontrara en equilibrio?

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E

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 dm g   

SOL

 dv  g  g

SOL

z1  a

 

0

 a0  z a 2  dz

z1

a  z2 E  g  a  0  z  0 2

z1  a

2

z1





a  2 2   g  a 2  0 z1  a  z1   0 z1  a   z1   2  





a   E  g  a 2  a   0  0 a 2  2  a  z1  2   En condiciones de equilibrio:

 Fy  0

E  m g



a  g  a 2 a   0  0  a 2  2  a  z1 2  a3  0 

  m  g 

1 4  a  a0  a 3  a0  z1  m 2

1   m  a 3    0   a  a0  2   z1  3 a  a0

9.- Un corcho cilíndrico de masa m1 y sección transversal A1 flota en un líquido de densidad ρ. El corcho está conectado por medio de una cuerda sin masa de longitud L a un cilindro de aluminio de masa m2 y sección transversal A2 . El cilindro de aluminio puede deslizarse sin rozamiento por un orificio hermético en el Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE Ing. EDWIN FLORES MENACHO

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fondo del recipiente. Calcular la profundidad h a la que se encuentra la base del corcho para que el sistema de los dos cilindros se encuentre en equilibrio. E1  T  m1  g  0 E1  h  A1    g

P2 

T    g  ( h  L) A2

10.- Dos esferitas 1 y 2 de de volumen cada una y de densidades relativas 0.4 y 0.6 respectivamente unidas a una cuerda, flotan sumergidas en un líquido de peso , hallar: a) El Peso b) La tensión en la cuerda de manera que ambas esferas floten en equilibrio Esfera 1: ( ) Empuje Peso: Esfera 2: ( )

(1)+(2) además

=0 =0 =0

a) En la ecuación (1):

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11.- La figura muestra una compuerta rectangular que contiene agua tras ella. Si la profundidad del agua es de 6.00 pies calcular la magnitud y ubicación de la fuerza resultante sobre la compuerta. Después calcule las fuerzas sobre la bisagra en la puerta superior y sobre el tope en el fondo.

Encontramos la fuerza F: (

)

El lugar donde actuara la fuerza F será el centro de presiones (cp):

( )

(

)

Para hallar las fuerzas:

……..(1)

Y la sumatoria de momentos en la bisagra:

En……... (1): 12.- La pared mostrada de la figura tiene 4m de ancho, calcule la fuerza total sobre la pared debida a la presión del aceite. Además, determine la ubicación del centro de presiones y muestre la fuerza resultante sobre la pared. Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE Ing. EDWIN FLORES MENACHO

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√

(

(

√

)

√ )

√

13.- Una compuerta rectangular de 200 kg y 5 m de ancho, que se muestra en la figura, está articulada en B y se apoya contra el piso en A, formando un ángulo de 45° con la horizontal. La compuerta se va a abrir por su borde inferior por medio de la aplicación de una fuerza normal en su centro. Determine la fuerza mínima F necesaria para abrir la compuerta.

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θ

Bx

hG

hP

By

FH

x

G

F

P

Ay

W

( )

Fuerza hidrostática: ;

( ) De la figura

Momento de inercia sección rectangular: (

)

En (2)

Para Fuerza mínima la reacción normal en A debe ser Sumatoria de momentos respecto del punto B: ∑ ( ) Distancia entre G y P: En (3):

(

)

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(

)

(

) Página 25

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14.- Para la compuerta inclinada de la figura de diámetro 2.4m, calcular el módulo de la fuerza debida al líquido y su ubicación debido al líquido. Tomar la densidad relativa del líquido como 1,1 30°

3m

6m D=2.4m

Fuerza hidrostática:

30°

( ) θ

;

hG=3m

hP

x

FH

G P

D=2.4m

( ) De la figura: y

Momento de Inercia del circulo:

En (2):

(

)

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15.- Determine la ubicación del centro de presiones y la fuerza resultante sobre el portillo circular. Todas las unidades están en el S.I. El portillo circular está centrado en el lado inclinado del tanque.

(

)

(

)

16.- En el sistema mostrado, determinar la fuerza hidrostática que ejerce el agua que actúa sobre la compuerta y su punto de aplicación, detrminar la ubicación del centro de presiones. L=2m, .

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θ

θ ρ

hG

hP

x

G

FH

G1

P

G G2

y

De la figura el centroide del área A es:

( )

En (2):

Para el triángulo el momento de inercia es: (

)

(

(

))

Para el rectangulo el momento de inercia es: (

)

(

)

Momento de inercia total: La fuerza resultante debida a la acción del líquido es: …………….(2)

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( )

17.- Calcular la fuerza total sobre la compuerta que retiene agua, como se muestra en la figura. a  1,5

m s2

H  3m

a  b  0,5m

L  4m

.

  30

  2 2 AC  4  4   22.3m 2 2 4   F1    ( g  a )  hcg  Ac  1000  (9,81  1,5)   0,.5   sen30   (22.3)  378.3kN 2  

F2  P  Ac  0.5  22.3  11.15 103 kN F3  Patm.  Ac  101.325103  22.3  2259.5kN

FR  F3  F1  F2  1881,2kN FR  188,2  103 N

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FÍSICA BÁSICA II   (2) 4

yCP  y g 

4  (4)3 8 12  2,49m 2  (22,4)

I  2 yg  A



hCP  0,5  2,49  sen  30  1,74m. 18.- Por una tubería horizontal circula agua. El diámetro de las secciones 1 y 3 es de 20 cm, reduciéndose en la sección 2 a la mitad. Considere g= 10 m/s2. Calcular el caudal, expresado en litros por segundo, si la diferencia de presiones entre ambas secciones es 30 Pa

1

2

3

Ecuación de la continuidad: De donde:

Teorema de Bernoulli para la tubería horizontal:

De donde:

y

Luego el caudal es: 19.- El tubo Venturi tiene área transversal de 40cm2 en la parte más ancha y de 10cm2 en la constricción. Por el tubo fluye agua cuyo caudal es de 6x10 -3 m3/s. Calcular: a) La rapidez de flujo en las porciones ancha y angosta b) La diferencia de presión entre estas porciones c) La diferencia de altura h entre las columnas de mercurio en el tubo manométrico en U. Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE Ing. EDWIN FLORES MENACHO

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a) Ecuación de Continuidad:

b) Ecuación de Bernoulli:

(

Diferencia de presiones: (

)

)

c) Teorema de Pascal en el manometro U: (

(

)

)

(

)

20.- En un tubo Venturi está provisto con resortes idénticos de longitud inicial X 0, con el paso del fluido se deforman a las longitudes X 1 y X2 en la entrada y salida respectivamente. Determinar la constante de rigidez de cada resorte.

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Ecuación de Bernoulli entre (1) y (2):

1 

V12 V2  P1   2  2  P2 2 2

Q0  2  A  V1 



Q 4  Q0 A  V2  V1  0 ;V2  4 2 A A

  Q02   Q02  P  8   P2 1 8  A2 A2

63    Q02 P1  P2  .......... .......... .(1) 8  A2 P1  P0 

K   x0  x1   3    g  x1 A

P2  P0 

K   x0  x 2   3    g  x2 A

P1  P2 

K   x2  x1     g  3  x1  2  x2 .......... .....2  A

Igualando (1) y (2): K  x2  x1  63    Q02    g  3  x1  2  x2  = A 8  A2

63    Q02  A    g  3  x1  2  x 2  K  8 A x 2  x1  21.- ¿Qué altura alcanzará el chorro en las condiciones mostradas en la figura? Con la ecuación de Bernoulli: Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE Ing. EDWIN FLORES MENACHO

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Donde: La ecuación se reduce a:

(

)

22.- Una tubería de de diámetro conduce de agua. La tubería se divide en dos ramales, como se ve en la figura. Si la velocidad en la tubería de es de . Cual es la velocidad en la tubería de .

Por ecuación de continuidad:

̇

̇

̇

̇

Donde: ̇

(

)

̇ Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE Ing. EDWIN FLORES MENACHO

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̇

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̇

̇ ̇ (

)

23.- Para el sistema mostrado en la figura, calcular: a) El flujo volumétrico de agua que sale de la tubería, y b) La presión en el punto A.

a) Con la ecuación de Bernoulli:

Donde: La ecuación se reduce a: Despejando

√

:

√ ̇

(

)

̇

b) Con la ecuación de Bernoulli entre los puntos B y 1:

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Donde: La ecuación se reduce a: Aplicando la ecuación de continuidad:

( (

(

) )

)

24.- Calcular la fuerza que debe aplicarse en la compuerta mostrada en la figura.

g EFECTIVA  g  a (En Ascenso) hcg C  1 

1 3 L  L 2 2

hcg T  1 

2 5 L  L 3 3

3 Pc  P0    g E  hcg C  P0    g  a   L 2 5 PT  P0    g E  hcg T  P0    g  a   L 3

FTOTAL  FC  FT  PC  AC  PT  AT 3  5  1   FTOTAL   P0     g  a   L   L   P0     g  a   L    L2 2  3  2   3  3 5  FTOTAL    P0     g  a   L      L2  2 3  2

19 3  FTOTAL    P0     g  a   L   L2 6 2 

25.- Calcular la fuerza que debe aplicarse en la compuerta mostrada en la figura. Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE Ing. EDWIN FLORES MENACHO

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g a 4 1 tg    g g 4 tg 

5b  h 1  3b 4

20b  4h  3h 17b  4h

h hcg C  h 

17 b 4

b 17 1 15  b  b  b 2 4 2 4

1 17 1 47 hcg T  h   b  b  b  b 3 4 3 12 Pc  P0    g  hcg C  P0    g 

15 b 4

PT  P0    g  hcg T  P0    g 

47 b 12

FTOTAL  FC  FT FTOTAL  PC  AC   PT  AT  15 47   b   b FTOTAL   P0     b     P0     b   4 12   2   4 2

2

5  15 47   FTOTAL    P0    b       b 2  8 48   4

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137 5  FTOTAL    P0    b  b2 48 4 

26.- Determinar el caudal de un vertedero triangular, cuyo ángulo de escotadura es y altura H Aplicando la Ecuacion de Bernoulli:

( )

√ Pero:

( ) ( )

Del gráfico: 3 en 2

( )

√

5 en 4 También del gráfico: ( )

( )

(

)

( )

(6) en (2): (

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)

√

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FACULTAD de INGENIERÍA ∫

FÍSICA BÁSICA II ∫ (

√

)

|

√

√

(

)

√

[

]

( )

√ Pero:

√ 27.- Determinar el tiempo de vaciado en horas que se requiere para evacuar un tanque cilíndrico que tiene un radio R=4m y una altura H = 5m a través de un orificio redondo de radio r=1/24 m situado en el fondo del tanque.

y

R

dV=A dy x= R

1

dy

H

2 r

x ( )

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√

√ √ ∫

√

[

√

∫

]

√

√

√

√ ( )

28.- Una taza hemisférica de radio R está llena de agua. Si existe un pequeño orificio de radio r en el fondo de la superficie, determine el tiempo de vaciado. Realizando una vista frontal de la esfera se tiene una semicircunferencia cuya ( ) ( ) ecuación es: ( ) Utilizando las ecuaciones de vaciado y Torricelli: (siendo el punto 1 genérico y el punto 2 de escurrimiento)

y

R

dV=A dy

1

x

dy

R

2 r

x ( )

√

√ [

√

[

√ √ Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE Ing. EDWIN FLORES MENACHO

(

∫

∫[

) ] ] ]

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[

√

FÍSICA BÁSICA II

]

√

(

)

√ 29.- Calcular el tiempo en que se llena la esfera de radio R

QENTRADA  QSALIDA  QACUMULACION

QENTRADA  0 0    V2 

dm dl

dm     A0  V2 ……………. (1) dl

Bernoulli entre: (1) y

(2)

E1  E2

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FACULTAD de INGENIERÍA 1  V12 2

 P1  1  g Z 1

 2  V22 2

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 P2   2  g Z 2

1 V12 0 2

Donde:

P1  P2  0 Z2  0

Entonces tenemos: V2  2gZ1 ……………… (2) Reemplazando (2) en (1) 

dV   A  2  g  Z1 dt

dV     A  2  g  Z1 dt

Válida para el cono o esfera: 

Debe cumplirse:

1 A0  2  g



A  Z   dZ Z

  dt …………. (3)

V EsferaV ParcialCono 4     R 3   r 2  h ……………………. (4) 3 3

Despreciando el radio del orificio: tg  r

Reemplazando (5) en (4):

4  R3 

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R r  H h

R  h ............(5) H R 2  h3  H2

h  3 4 R  H 2

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Cuando el cono tenga la altura h  4  R  H 3

2

la esfera se habrá llenado.

Volviendo a (3):



tv

0

1

dt  

tv 



A0  2  g

1 A0  2  g

A  ( Z )  dZ

h

H



h

H

Z

A  ( Z )  dZ Z 2

R    Z   dZ 2 1   x  dZ  H  tv      A0  2  g Z A0  2  g Z tv 

  R2  R    100 

 

2

2 g  H 2



H

h

3

Z 2  dZ

H

tv 

5 2

102 Z  2 5 2 g  H 2



2 104   g 5 H 2

H

5

 h5



h



2 103   H 2  H  h5 g H2

tv  2 

tv  200

2 g

tv  200 

t v  200 

   H  

3

2 g

   H  

2 g

   



45  R 5  H 10   H 12 

3

H 6

45  R 5  H2   45  R 5 H2

   

30.- Hallar el tiempo de vaciado del líquido de densidad 

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dV   ABQQ  V  y .......... ...... 1 dt

Ecuación de Bernoulli entre 1 y 2:

1 V12  V2   y1  2  2  y2 1 2 2 2

V1  2  g  y a  y   a0  y  0

a y   c1  y  c2   b y   c3  y  c4 

a y   a  y  H

a  a0  y  a0 H b  b0 b y    y  b0 H a y  

A y   a y   b y   c1  y  c2 c3  y c 4   A  y 2  B  y  C De 1:

dV   ABQQ V  y  dt A y   dy   ABQQ  dt V y t0

 dt   0

tV 

1 ABQQ

0

 H

A  y

2



 B  y  C  dy 2 g  y

H 3 1 1    1    A  y 2  B  y 2  C  y 2   dy a0  b0  2  g 0  

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FACULTAD de INGENIERÍA tV 

tV 

1 a0  b0  2  g

FÍSICA BÁSICA II 5 3 1 2  2    A  H 2  B  H 2  2C  H 2  3 5 

2 H 1 1      c1  c3  H 2  c1  c4  c2  c3   H  2  a0  b0 2 g 5 3 

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PROBLEMAS PROPUESTOS CAPITULO 1 1.- Un tanque para almacenar ácido sulfúrico tiene 1,5 m de diámetro y 4,0 de altura. Si el ácido tiene una gravedad especifica de 1,80, calcule la presión en el fondo del tanque. Este se encuentra abierto a la atmosfera en la parte superior. R.- 70,6 kPa 2.- Se está diseñando una campana de buceo que resista la presión del mar a 250 metros de profundidad. a) ¿Cuánto vale la presión manométrica a esa profundidad? (Desprecie el cambio de la densidad del agua con la profundidad) b) A está profundidad, ¿Qué fuerza neta ejercen al exterior y el aire interior hacia la ventanilla circular de de diámetro si la presión dentro de la campana es la que hay en la superficie del agua? (Desprecia la pequeña variación de la presión sobre la superficie de la ventanilla) R.a) b) 3.- Un cubo de densidad ρc , arista “a” flota en un fluido de densidad ρ1, una profundidad x. a) Obtener una relación para encontrar x, en función de las densidades del fluido y del cubo. R.- ρc*a/ ρ1 b) Si se llena con un fluido menos pesado de densidad ρ 2 hasta el tope del cubo. Hallar la relación para encontrar x. R.- (ρc- ρ1)*a/( ρ1- ρ2) 4.- Un palo cilíndrico de densidad 0,7g/cc, de 4cm2 de sección transversal y longitud L=1m se sumerge de tal manera que sobresale h=10cm, lastrado en su parte inferior se encuentra una esfera de cobre de densidad 8,8g/cc. Determinar el volumen de la esfera. R.- V=10,26 cc 5.- Se mide la presión manométrica del aire que está en el tanque, como se muestra en la figura, y resulta ser de 65 kPa. Determine diferencia h en los niveles de mercurio. R.- 0,47 m

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6.- En la figura se muestra un tanque que tiene una parte abierta a la atmosfera y la otra sellada con aire por encima del aceite. El aceite tiene una gravedad específica de 0,85. Calcular la presión manométrica en los puntos A, B, C, D, E y F, y además calcule la presión del aire en el lado izquierdo del tanque. Respuesta:

7.- Se conecta un tubo de agua a un manómetro de U doble, como se muestra en la figura, en un lugar donde la presión atmosférica local es de 14.2 psia. Determine la presión absoluta en el centro del tubo. R.- Ptubo de agua = 22.3 PSI

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8.- Una prensa hidráulica para compactar muestras de polvo tiene un cilindro grande de 10,0cm de diámetro y un cilindro pequeño con diámetro de 2,0 cm. Se adapta una palanca al cilindro pequeño, como se indica. La muestra, que se coloca en el cilindro grande, tiene un área de4,0cm². ¿Cuál es la presión sobre la muestra si se aplican 350N a la palanca? R.- 44 MPa

9.- Para el manómetro compuesto que se muestra en la figura, calcule la presión en el punto A. R..

10.- Una morsa se encuentra sobre un bloque de hielo en el ártico. La densidad ⁄ ⁄ del agua de mar es y la densidad del hielo es , el volumen emergente del hielo es de , si este volumen es una vigésima parte del volumen sumergido. Calcule: a. El peso del bloque del hielo b. El peso de la morsa

R.a)

b)

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11.- Un cable anclado en el fondo de un lago sostiene una esfera hueca de plástico bajo su superficie. El volumen de la esfera es de 0.3 m3 y la tensión del cable 900 N. ¿Qué masa tiene la esfera? El cable se rompe y la esfera sube a la superficie. Cuando está en equilibrio, ¿qué fracción del volumen de la esfera estará sumergida?. Densidad del agua de mar 1,03 g/cm3 R.- m=217.2 kg

Fracción de la esfera sumergida, 0,21/0,3=0,7=70%

12.- Un globo esférico inflado con helio de densidad 0,1kg/m3 y volumen 1m3, está unido por una cuerda a un bloque de densidad 1100kg/m3 y volumen 0,005m3 sumergido totalmente en agua. Si el bloque está en equilibrio, calcule el peso del material del que está fabricado el globo. La densidad del aire es 1,2kg/m 3 y g=10 m/s2. R.- 6 N

13.- Una esfera compacta flota entre dos líquidos de densidades relativas 0,8 y 1,2. Sabiendo que la línea de separación pasa por el centro de la esfera; determinar el peso específico de la esfera. R.- 9,81 K N/m3

14.- Una barra de longitud L, área transversal A y masa m, se sumerge dentro de agua, el extremo que se encuentra en el agua se une a una cuerda la cual se ancla en el piso, como se muestra en la figura. La barra flota con de su longitud sumergida, encontrar: a. La tensión en la cuerda. b. La densidad de la barra.

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R.a) b)

Cilindro de madera tiene un diámetro de . Flota en agua con diámetro sobre el agua. Determinar la densidad de la madera

de su

R.-

15.- Un cubo de densidad ρc , arista “a” flota en un fluido de densidad ρ1, una profundidad x. c) Obtener una relación para encontrar x, en función de las densidades del fluido y del cubo. R.- ρc*a/ ρ1 d) Si se llena con un fluido menos pesado de densidad ρ2 hasta el tope del cubo. Hallar la relación para encontrar x. R.- (ρc- ρ1)*a/( ρ1- ρ2) 16.- Un palo cilíndrico de densidad 0,7g/cc, de 4cm2 de sección transversal y longitud L=1m se sumerge de tal manera que sobresale h=10cm, lastrado en su parte inferior se encuentra una esfera de cobre de densidad 8,8g/cc. Determinar el volumen de la esfera. R.- V=10,26cc

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17.- Calcule la magnitud de la fuerza resultante sobre el área indicada y la localización del centro de presión R.- FR = 11,97 KN ycp = 1,693 m

18.- Por una tubería horizontal de 20 mm de diámetro circula un fluido con una velocidad de 3 m/s. a) Calcular el caudal en l/min. b) Calcular la velocidad en otra sección de la misma línea de 10 mm de diámetro. c) Si el fluido es agua, calcular la diferencia de alturas entre dos tubos verticales colocados verticalmente antes y después del estrechamiento. Densidad del agua 1g/cm3 R.- a) Q = 56,52 l/min b) v2 = 12 m/s c) h = 6,88 m

H

1

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2

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19.- En el venturimetro mostrado en la figura, la lectura del manómetro diferencial es 36 cm, determinar el caudal que pasa por el venturimetro, suponiendo despreciables las pérdidas de energía entre 1 y 2 que s e encuentran separadas una distancia de 75cm. R.= 0,17 3/

20.- Se tiene aire a 110 kPa y 50°C que fluye hacia arriba por un ducto inclinado de 6 cm de diámetro, a razón de 45 L/s. Entonces, mediante un reductor, el diámetro del ducto se reduce hasta 4 cm. Se mide el cambio de presión de uno a otro extremo del reductor mediante un manómetro de agua. La diferencia de elevación entre los dos puntos del tubo en donde se fijan las dos ramas del manómetro es de 0.20 m. Determine la altura diferencial entre los niveles del fluido de las dos ramas del manómetro. R.- h = 6,24 cm

21.- Considere un tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales (ver figura). Los radios internos de la sección principal y del estrechamiento son 40 cm y 10 cm respectivamente. Cuando circula un caudal de agua de 300 L/s, el nivel del agua en los tubos de la izquierda y derecha se encuentra a 5,00 m por encima del eje de la tubería. a) ¿Hasta qué altura subirá el agua por el tubo central?, b) ¿Cuál es la presión manométrica en los puntos A y B?, c) ¿Para qué caudal de agua se succionará aire por el tubo central?. R.- a) 36,6 cm; b) 49000 Pa y 3583,6 Pa; c) 312 L/s

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22.- A través del medidor Venturi de la figura fluye hacia abajo aceite con densidad relativa de 0,9. Si la deflexión del manómetro es 28 pulgadas, calcule el flujo volumétrico, en pie3/s, del aceite.

R.- 1,04 pie3/s 23.- Supongan que la velocidad del aire en la parte superior del ala de un avión es de 100 m/s y la parte inferior de 80 m/s. Supongan que la densidad del aire es de 1 kg/m3. a) ¿Cuál es la diferencia de presión sobre los lados del ala? b) Suponiendo que el avión tenga un masa de mínima del ala para que el avión vuele?

¿Cuál debe ser el área

R.a) b) 24.- Un sifón es un aparato para extraer líquido de un recipiente difícil de acceder. Cuando se logre hacer fluir el líquido, encontrar: a) ¿ A qué velocidad sale el líquido por la manguera en el punto “c”?, b) ¿Cuál es la presión del líquido en el punto más elevado “B” , c) ¿Cuál es la mayor altura h posible a la que el sifón puede elevar el agua? R.) ) √ ( b)

(

)

c)

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25.- Un tanque presurizado de agua tiene un orificio de 10 cm de diámetro en el fondo, donde el agua se descarga hacia la atmósfera. El nivel del agua está 3 m arriba de la salida. La presión del aire en el tanque, arriba del nivel del agua, es de 300 kPa (presión absoluta) en tanto que la presión atmosférica es de 100 kPa. Desprecie los efectos de la fricción y determine la razón inicial de descarga del agua del tanque. R.- 0,168 m3/s

26.- Para evitar la necesidad de detener un tren para que sea abastecido de agua, a veces se utiliza el siguiente procedimiento: Entre los rieles se dispone un canal con agua sobre el cual se deja caer un tubo, como se muestra en la figura. El agua asciende por el tubo e ingresa al dispositivo que está en el en el vagón. ¿Con que velocidad debe moverse el tren para que el agua pueda levantarse a una altura de 3.5m si en el intervalo de tiempo durante el cual el tren recorre una distancia de 1 Km en un deposito ingresan 3 m3 de agua? El diámetro del tubo es de 10 cm. R.-

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27.- Agua fluye constantemente de un gran tanque abierto mostrado en la figura. Si los efectos viscosos son insignificantes, determinar: a) el flujo volumétrico, Q, y b) la lectura del manómetro, h. R.- a) 0,0696 m3/s; b) 0,574 m

28.- ¿Qué altura alcanzará el chorro de fluido, en la figura que se muestra? R.- 1,675 m

29.- Calcule el tiempo de vaciado del recipiente cilíndrico de altura H=1.2m el diámetro del orificio es la décima parte del diámetro del deposito

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R.-

30.- Calcule el tiempo de descarga del depósito cónico siendo

⁄

R.√ Cual es el tiempo de vaciado de un recipiente paraboloide de dimensión básica " " con orificio de diámetro " " que contiene un líquido de densidad " " sometido a la gravedad. R.-

31.- Un deposito cilíndrico de 1m2 de base, abierto por su extremo superior , contiene 100 litros de agua y 500 litros de aceite de densidad 0,8 g /cm 3 .Si en su parte inferior se abre un orificio de 10 cm2 sección y el proceso de vaciado del agua obedece al régimen de Bernoulli .¿ cuánto tiempo transcurrirá hasta que empiece a salir aceite? R.- 33,7 s

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FACULTAD de INGENIERÍA

FÍSICA BÁSICA II

32.- En la figura adjunto se muestra una tubería descargando agua con un gasto de 1.5 litros por segundo, en un tanque, A, que tiene un diámetro de 120 cm, el cual a su vez descarga a través de una llave de paso con un diámetro de ½ pulgada a otro tanque, B, de 60 cm de diámetro y 90 cm de altura (h3). El tanque A se encuentra sobre un pedestal a una altura h2 = 1.5 m sobre el nivel del suelo. El tanque B se encuentra sobre el suelo. Calcular: a) La altura a la cual el nivel del agua en el tanque A se estabiliza. b) La velocidad a la cual llega el agua al tanque B. c) El tiempo en que tarda en llenarse el tanque B.

R.)

2,03

b) 7,57m/s

c) 5,3min

Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE Ing. EDWIN FLORES MENACHO

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