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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN MARCOS Villalta Sintonización de controladores PID

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Sintonización de controladores PID Facultad de Ingeniería Electrónica y Eléctrica – UNMSM

Resumen— En este laboratorio el objetivo es conocer acerca de las reglas de sintonía de controladores PID y los distintos métodos de sintonía como Ziegler- Nichols y el IMC que emplean parámetros que nos ayudaran en la sintonización. Índice de Términos—Matlab, Bode, Nyquist, margen de ganancia, margen de fase, retardo, estabilidad relativa, Simulink.

Abstract— In this laboratory the objective is to learn about the tuning rules of PID controllers and the different tuning methods such as Ziegler-Nichols and the IMC that use parameters that will help us in tuning. Key words — Matlab, PID, Ziegler- Nichols, IMC, lazo de control realimentado, Simulink.

I.

INTRODUCCIÓN El controlador Proporcional, Integral Derivativo (PID) es el más utilizado en el ámbito del control de procesos industriales. Y a pesar de que fue introducido hace más de 70 años, aún sigue siendo objeto de un estudio intenso en el área académica. El lazo de control realimentado más simple vendría dado por:

En términos generales, el controlador PID tiene el siguiente algoritmo de control

Donde: e(t): la señal de error, es decir, la diferencia entre la salida medida de la planta y el valor deseado y la salida medida en la planta e(t) = r(t) − y(t) u(t): es la señal de salida del controlador y entrada de la planta

Informe final de práctica de laboratorio – Versión 1.0

KP, Ti y Td: son los parámetros del controlador: Ganancia proporcional, Tiempo Integral y Tiempo derivativo respectivamente.

Al proceso de seleccionar los parámetros (Kp, Ti y Td) del controlador se le denomina sintonización del controlador. El desarrollo de métodos de sintonización ha sido extensa. En esta práctica se estudiarán dos de estos métodos. Para los cuales, tomaremos como proceso a: G(s) = 10 (0.1s+1) (0.05s+1) 2 , y una representación de este proceso con un sistema de primer orden más tiempo muerto. Para el desarrollo de esta práctica, el alumno deberá revisar el procedimiento de identificación de modelos de primer orden más tiempo muerto. Métodos de Sintonización -Método de Ziegler-Nichols[1] Este método está basado en la curva de reacción del proceso (G(s)). Considerando que el proceso puede ser identificado por un modelo de primer orden más tiempo muerto dado por:

Dónde: k es la ganancia del proceso, τ es la constante de tiempo y tm es el retardo del proceso.

Entonces, los parámetros del controlador PID se pueden encontrar siguiendo la Tabla 1.

En la práctica para encontrar los parámetros del controlador PID para nuestro proceso G(s), se utilizará su modelo de primer orden más tiempo muerto y luego aplicar las ecuaciones de la tabla 1. -Sintonización del controlador PID utilizando IMC (Internal Model Control) 4.2a- IMC De acuerdo con [2] , “la filosofía IMC se basa en el Principio del Modelo Interno que dice que el control puede ser alcanzado sólo si el sistema de control encapsula alguna representación del proceso a ser controlado”. Es más, si se diseña el controlador como el inverso de la planta, alcanzaríamos un “control perfecto” a lazo abierto. La idea entonces del IMC, es encontrar controladores que cumplan con el principio del Modelo Interno, pero con plantas funcionando en realimentación. No obstante, la inversión de la planta es imposible, ya sea por información limitada o porque la inversión implicaría la creación de un sistema que no sea físicamente realizable. La estrategia de IMC se observa en la Figura

Siguiendo el desarrollo en nos damos cuenta que, para este sistema:

Donde: G̃ (s) es el modelo del proceso G(s) es el proceso R(s) es el valor deseado d(s) es la perturbación

Si hacemos CIMC(s) = 𝐺˜(𝑠)−1 y G̃ (s) = G(s) teóricamente tendríamos un Control perfecto. Pero G̃ (s) puede incluir una parte no invertible como ceros con parte real positiva y/o retardos puros. Por lo que dividimos nuestro modelo en un parte invertible (G̃ +(s)), y otra (G̃ −(s)) que no se puede invertir, de manera que:

Por otro lado, debido a las diferencias entre el proceso y el modelo del proceso, se suele utilizar un filtro Gf(s) para atenuar los errores en el modelado.

Donde n nos ayuda a hacer que 𝐺IMC sea propia, es decir, que el orden del denominador sea mayor que el del numerador. Para el desarrollo de la práctica 4, el valor de n se tomará igual a 1 mientras que el valor de se tomará como la mitad de 𝑟, para que el filtro sea más rápido que la dinámica del proceso. De manera que el controlador queda de la siguiente manera:

4.2b – Aplicación del IMC para la sintonización de Controladores PID Si nuestro proceso puede ser representado por un modelo de primer orden con retardo. Y a este retardo se le aplica la aproximación de Padé. Entonces, a partir de la estrategia de control IMC se podría hallar una sintonía para controladores PID. Veámoslo en el siguiente ejemplo: En la figura 3 se muestra la estructura general IMC. La cual puede ser reducida a una estructura convencional de lazo cerrado, reordenando los bloques de la estructura tal como se muestra en las figuras 4 y 5.

Donde:

Si el modelo del proceso viene dado como un modelo de primer orden con retardo, es decir:

Tenemos:

Y reemplazamos el término de retardo por su aproximación de Padé en la ecuación 10, obtenemos:

Reemplazando las ecuaciones 6,9 y 11 en la ecuación 7:

Teniendo en cuenta la función de transferencia del controlador PID ideal:

Comparando la ecuación 12 con la ecuación 13, se obtienen los parámetros KP, Ti y Td , los cuales se muestran en la Tabla 2.

MATERIALES Y MÉTODOS

II.

a. Equipos, materiales y herramientas utilizados Utilizamos un entorno de programación llamado Matlab y simulink.

b. 1.

Procedimiento

En Matlab®/Simulink halle la respuesta de nuestro proceso: 𝐺(𝑠) =

10

(0.1𝑠 + 1)(0.05𝑠 + 1)2 En Matlab®/Simulink programe el lazo de control realimentado de la figura 1 considerando la ley de control del controlador PID según con la ecuación 1.

2.

3. I.

II.

Sintonización del controlador PID Método de Ziegler-Nichols i. Con el modelo de primer orden con tiempo muerto de nuestro proceso, encuentre los parámetros del controlador PID usando el método de Ziegler- Nichols KP =0.2230, Ti=0.1480 y Td=0.0370 ii. Realice una simulación del comportamiento del sistema de control ante un cambio en la consigna (escalón unitario) usando la sintonía obtenida. iii. Grafique la salida del sistema junto con la consigna del sistema. iv. De obtener un sobre impulso mayor al 25%. Realice un ajuste fino de los parámetros. Método de IMC i. Con el modelo de primer orden con tiempo muerto de nuestro proceso, encuentre los parámetros del controlador PID usando el método del IMC, considerando 𝑟𝑓=𝑟/2. KP = ii. iii. iv.

, Ti=

y Td=

Realice una simulación del comportamiento del sistema de control ante un cambio en la consigna (escalón unitario) usando la sintonía obtenida. Grafique la salida del sistema junto con la consigna del sistema. Repita la simulación considerando 𝑟𝑓= 𝑟 /8 y 𝑟𝑓=2 𝑟. ¿Cuál es el efecto en la respuesta del sistema?

4.

Compare estas dos respuestas ¿Cuál tiene un mejor desempeño? Justifique su respuesta basado en algún criterio integral

5.

Ahora en el lazo de control realimentado programado en el ejercicio 2, agregue una entrada de perturbación en la entrada del proceso.

6.

Simule el sistema con una perturbación escalón de magnitud del 2% de la entrada tanto para la sintonía obtenida por el método Ziegler-Nichols como para la obtenida usando IMC.

7. 8.

Compare estas dos respuestas ¿Cuál tiene un mejor desempeño? Justifique su respuesta basado en algún criterio integral. Investigue sobre alguna regla de sintonía para controladores PID basado en los criterios de desempeño de los sistemas de control (IAE, ISE, ITAE). 9. Sintonice un controlador PID para el proceso G(s) basado en el regla investigada en el punto anterior. 10. Compárela con las sintonías anteriores.

III.

RESULTADOS

Pregunta 1

Figura. 7 Respuesta de la función de transferencia ante un escalón unitario en Matlab

Simulink

Figura. 8 Respuesta de la función de transferencia ante un escalón unitario en Simulink

Pregunta 2

Figura. 9 Diagrama de bloques con un controlador PID.

Figura. 10 Respuesta con el controlador PID.

Pregunta 3 Sintonización del controlador PID

Método Ziegler-Nichols %Pregunta 3 método Ziegler-Nichols Vin=out.entrada; Vout=out.salida; Tiempo=out.tout; ymax=max(Vout); y632=0.632*ymax; indice=max(find (Vout