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FIBONACCI SERIE DE FIBONACCI “Dos n´ umero consecutivos, sumados generan uno nuevo”. Comenzando con el cero y el uno. Le seguir´ıan 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc. Una operaci´ on aritm´etica en la que cada miembro es igual a la suma de los dos precedentes xn = xn − 1 + xn − 2

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La Serie de Fibonacci (Leonardo de Pisa, 1170-1240), antes mostrada, en abstracto, est´a encarnada en la arquitectura del Nautilo (Nautilus), la concha marina, cuya secci´ on produce la figura, que es uno de los ejercicios m´ as comunes en el dibujo arquitect´ onico (Espiral de Durero, aproximaci´ on con arcos de circunferencia θ 2/π de la espiral logar´ıtmica r = a b , b = ϕ = 1.358456, de grado α = arctan(ln b) = 17.03239◦ (0.297271 rad), Alberto Durero (Albrecht D¨ urer), 1471-1528) [1,2,6]. No obstante, esta operaci´on sencilla produce una belleza incalculable, que se dir´ıa que es de oro puro. Ya veremos por qu´e.

Fig 1. La serie de Fibonacci representada en abstracto (arriba), est´a encarnada en la arquitectura del Nautilo (abajo). 1

La serie de Fibonacci se origin´ o de la resoluci´ on del problema de la cr´ıa de conejos. En la cr´ıa de conejos, contando siempre en parejas, ´estas se reproducen cada mes, dando como producto de su uni´on una nueva pareja, la cual no se puede reproducir hasta cuando son adultos un mes despu´es. As´ı, comenzando con una pareja, despu´es de un mes cuando son adultos se reproducen. Para el segundo mes son dos parejas, pero s´olo la m´ as antigua se reproduce, por lo que para el tercer mes son tres parejas, una de las cuales es todav´ia muy joven. Dos de estas tres parejas se reproducen, por lo que al cuarto mes son cinco parejas, dos de las cuales son j´ovenes. La tres parejas adultas se reproducen y al quinto mes son en total ocho parejas, tres de las cuales son j´ovenes. Y as´ı sucesivamente. El n´ umero de parejas totales por mes, sigue la secuencia de la serie de Fibonacci, mostrado en la fig.2 de abajo, quien public´ o los resultados de su descubrimiento en su libro Liber Adasis de 1202. De esta forma acredit´o su nombre a la f´ ormula para las pr´ oximas generaciones.

Fig 2. La serie de Fibonacci como soluci´on al problema de la reproducci´on de conejos. La serie de Fibonacci tambi´en posee la caracter´ıstica que, en el infinito, cada elemento entre el anterior es un n´ umero ∆ = xn /xn − 1 particular. Dividiendo la serie (1) entre xn − 1 resulta xn − 2 xn =1+ xn − 1 xn − 1

∆≈1+

1 ∆

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o reorganizando la expresi´on anterior ∆2 − ∆ − 1 ≈ 0 cuya soluciones son

√ 1± 5 ∆≈ 2

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En el caso positivo, ∆ coincide con la proporci´ on a´urea ϕ o proporci´ on de oro. Este resultado es independiente de los dos n´ umeros iniciales que se escogan para generar la serie de Fibonacci [7]. Otra caracter´ıstica de la serie de Fibonacci, es que la serie de los residuos rn al dividir sus elementos por d, es decir rn = xn − d ∗ cn , es una serie peri´odica. Se tienen, por ejemplo, per´ıodos de 16 veces, 20 veces ´o 60 veces, si el divisor es d = 7, d = 5 o´ d = 10. Estas series peri´odicas de los residuos se han usado para generar m´ usica [8]. Compositores como Bach o Mozart usaban este patr´ on matem´atico para recrear 2

los acordes de sus piezas. Si no, s´olo se debe prestar atenci´on a cualquier interpretaci´ on de estos genios musicales. La Espiral Dorada simula los movimientos c´ıclicos de las notas musicales y permite que el sonido sea armonioso. PROPORCION AUREA La raz´on creada dividiendo cada n´ umero de la serie de Fibonacci por el n´ umero que le precede se ´ aproxima al valor A = ϕ ≈ 1.618033989..., siendo A = L/l la Proporci´on Aurea o´ Dorada, y su inversa coincide exactamente con la resta de uno 1/A = A − 1. La relaci´on de los lados de todos los rect´ angulos involucrados en la figura 1 dan este resultado tambi´en, la proporci´on a´urea. La espiral de Durero de la figura 1 est´ a basada en rect´ angulos que tienen siempre la relaci´on a´urea en sus lados. En la espiral de Fibonacci cada rect´angulo tiene una relaci´ on de sus lados, que son elementos sucesivos de la serie. En el infinito ambas espirales son coincidentes y ambas son aproximaciones de la espiral logar´ıtmica de a´ngulo 17.03239 grados constante [6]. La raz´on es aproximada, esto es, la raz´on en la cual convergen no puede ser expresada en t´erminos de una fracci´on. Los pitag´ oricos descubrieron estos n´ umero y los llamaron Irracionales, y se dice que quedaron tan perturbados por ellos que establecieron la pena de muerte para cualquiera de su secta que revelase su existencia a las multitudes ignorantes. Hispano fu´e desterrado por desafiar la prohibici´ on. Se ahog´ o en el mar, destino que los pitag´ oricos atribuyeron a un castigo divino [1,2]. Algo parecido debi´ o ocurrir con los n´ umeros imaginarios, pero m´ as actualizado. Por ello, estos nombres tan extra˜ nos y ahora tan corrientes, que no nos detenemos a pensar en eso. No es casual que la proporci´on a´urea sea la f´ormula de una relaci´ on geom´etrica que aparece en el Parten´ on de Fidias, la Mona Lisa de Leonardo da Vinci y el Nacimiento de Venus de Boticelli; y es la base de la octava que se emplea en la m´ usica occidental desde los tiempos de Bach. Leonardo da Vinci bas´o sus trabajos art´ısticos y cient´ıficos, como Hombre Vitruvio y algunos de sus inventos, en la Espiral y la proporci´on Dorada. Toda la fecunda diversidad de esta simetr´ıa particular, expresada en infinidad de modos, desde conchas marinas, la cantidad y longitud de los ptalos de una margarita, las espirales de las pi˜ nas, las espirales de las galaxias hasta el clave bien temperado, deriva, por lo tanto, de una sola invariancia, la de la serie de Fibonacci. La comprensi´ on de que una sola simetr´ıa abstracta podr´ıa tener tantas manifestaciones fruct´ıferas y diversas deleit´o a los sabios del Renacimiento, quienes la citaban como prueba de la eficacia de las matem´aticas y de la sutileza de los designios de Dios [1,2]. La proporci´on a´urea, tambi´en denominada Dorada, casualmente, resulta ser una de las soluciones (en valor absoluto) de la ecuaci´ on cuadr´ atica y = x2 ± x − 1 = 0

(1 ∓ x)/x = x

x ± 1 = 1/x

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figura geom´etrica y sim´etrica en el plano x − y, que representa la siguiente complejidad, despu´es de la l´ınea recta. El caso negativo coincide con la ecuaci´ on (4). Las soluciones o ra´ıces de la par´abola anterior son su intersecci´on con el eje x. Las soluciones que nos interesan son √ √ 1+ 5 l 1 5−1 L ≈ 1.618033989... = =A−1= ≈ 0.618033989... (7) A=ϕ= = l 2 l A 2
√ La expresi´on decimal de ambas, 5/4 ± 1/2 = 1.25 ± 0.5, son iguales. Resulta que √ l l L−l L 1 = = = = −1=A−1 L = l + l = l/2 + l 5/2 A L l l l   

1 1 A = ϕ = 1 + ϕ = 1 + 1 + 1 + 1 + ···ϕ = 1 + = 1 + ϕ 1 + 1+ 1 1

1+···ϕ

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√ lo que nos indica que, si prolongamos un cuadrado de lado l, a partir de su mitad l/2, en la longitud l 5/2, que es la hipotenusa de un tri´ angulo rect´ angulo de lados l y l/2, nos da un rect´ angulo de longitud L, con la 3

geometr´ıa de la relaci´on a´urea. Esta era la manera en que los dibujantes, pintores, escultores, arquitectos, etc. obten´ıan de forma racional, lo que en principio era irracional. La primera expresi´ on de (9), ϕ2 = 1 + ϕ, es lo que se denomina el tri´ angulo de Kepler [5], por lo que satisface el teorema de pit´ agoras para un tri´ angulo √ umero a´ureo pueden expresarse en funci´ on de rect´angulo de lados 1 y ϕ e hipotenusa ϕ. Las potencias del n´ una suma de potencias de grados inferiores del mismo n´ umero, establecida una verdadera sucesi´on recurrente de potencias. El caso m´ as simple es: ϕn = ϕn−1 + ϕn−2 cualquiera sea n un n´ umero entero. Este caso es una sucesi´on recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores. En general, se tiene que j    j ϕn = (10) ϕ[n−(j+i)] i i=0

donde los exponentes son todos positivos si k = 2j ≤ n (i, j, n ∈ N), pero se permiten exponentes negativos ´ en ϕ que son exponentes positivos en 1/ϕ, la Secci´on Aurea. El icosaedro tiene en su interior 15 rect´ angulos a´ureos. Cada rect´ angulo contiene, en sus lados menores, a dos aristas opuestas, de las 30 que posee el icosaedro (ver figura 3 abajo). Las coordenadas cartesiana de los 12 v´ertices de un icosaedro centrado en el origen son (0, ±1, ±A), (±1, ±A, 0) y (±A, 0, ±1) [3]. Esto se debe a que dos lados del rect´angulo son aristas del icosaedro y los otros dos son las diagonales de dos pent´ agonos regulares paralelos girados 180 grados. La diagonal del pent´ agono regular est´ a en proporci´ on a´urea con el lado del pent´agono, que en este caso es la arista del icosaedro. El volumen del icosaedro es V = (5/6) (1 + ϕ) a3 , √ on a´urea y a el largo de una arista. En el icosaedro podemos siendo ϕ = ∆ = A = (1 + 5)/2 la relaci´ encontrar varias veces el n´ umero a´ureo ϕ. En la imagen de abajo se pueden apreciar algunas proporciones aureas presentes en el icosaedro (las distancias son las proyectadas horizontalmente sobre el plano vertical): ´

Fig 3. Relaciones en distancias para el icosaedro que se ajustan a la relaci´on a´urea. CD/AB = ϕ

EG/FG = ϕ

CL/CI = ϕ

AH/GN = ϕ

IK/HI = ϕ

GD/MD = ϕ

AD/GD = ϕ

KH/IK = ϕ

MN/BM = ϕ

BM/BF = ϕ

CI/LI = ϕ

MD/GM = ϕ

BN/MN = ϕ

FG/EF = ϕ

BF/FM = ϕ

BC/CG = ϕ

CG/GB = ϕ

GD/AG = ϕ

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En un pentagrama y un dodecaedro se observa la relaci´ on a´urea (ver figura 4)

Fig 4. Un pentagrama ilustrando las relaciones ´aurea contenidas. Un dodecaedro con tres rect´angulos dorados insertados tocando los centros de los pent´ agonos. Se satisfacen las siguientes relaciones con los lados coloreados de un pentagrama [4] ϕ=

verde azul rojo = = verde azul p´ urpura

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En un dodecaedro se pueden isertar tambi´en rect´angulos dorados como muestra la figura 4. Los 12 v´ertices de un icosaedro con aristas de longitud 2 pueden expresarse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos (0, ±1, ±ϕ) (±1, ±ϕ, 0) (±ϕ, 0, ±1) (12) √ como ya se observ´o en la figura 2. Los 20 v´ertices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/ϕ = 5 − 1 tambi´en se pueden dar en t´erminos similares (±1, ±1, ±1)

(0, ±1/ϕ, ±ϕ)

(±1/ϕ, ±ϕ, 0)

(±ϕ, 0, ±1/ϕ)

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Los 12 v´ertices de los tres rect´angulos a´ureos coinciden con los centros de las caras de un dodecaedro. Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen V y su a´rea A total se pueden expresar tambi´en en t´erminos del n´ umero a´ureo
4+7ϕ 3 a V= (14) A = 3 15 + 20 ϕ a2 2 Si tres rect´angulos a´ureos se solapan perpendicularmente en sus centros, los 12 v´ertices de los tres rect´angulos aureos coinciden exactamente con los v´ertices de un icosaedro, y con los centros de las caras pentagonales de ´ un dodecaedro [5]. As´ı, la geometr´ıa, como extensi´on de las matem´aticas, se aplica a casi cualquier a´mbito de la vida. Aunque parezca u ´ nicamente u ´ til en la escuela, la matem´ atica es una ciencia que revela lo extraordinario en las cosas m´as simples. Quiz´ as por eso se debe aprender con m´as dedicaci´ on. Hay muchos misterios en el mundo que todav´ıa no tienen una f´ ormula num´erica que los descubra, pero que se esperan descubrir. 5

REFERENCIAS: [1] Ferris, T. La Aventura del Universo, de Arist´ oteles a la Teor´ıa de los Cuantos: Una Historia sin Fin. Grijalbo Mondadori (Barcelona), 1990. [2] Ferris, T. Coming of Age in The Milky Way. William Morrow & Co (Nueva York), 1980. [3] https://es.wikipedia.org/wiki/Icosaedro [4] https://es.wikipedia.org/wiki/Pentagrama (geometr´ıa) [5] https://es.wikipedia.org/wiki/N´ umero ´aureo [6] https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral logar´ıtmica [7] https://www.youtube.com/watch?v=dTWKKvlZB08, Golden Proof - Numberphile [8] https://www.youtube.com/watch?v=Nu-lW-Ifyec, Fibonacci Mystery - Numberphile Andr´es L. Granados M., 09/Marzo/2016. Revisado 24/Diciembre/2017.

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