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ESCUELA DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍAS APLICADAS INGENIERÍA EN MECATRÓNICA, INGENIERÍA EN REDES Y TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA EN INFORMÁTICA Y MULTIMEDIA INGENIERÍA MATEMATICA I

Autor: Samuel Pérez Semestre:1 Tema: Investigación sobre la serie Fibonacci Fecha de publicación: 13/11/10 Profesor: Ing. Alberto Romero

Introducción EL objetivo de esta investigación es ampliar el conocimiento sobre la serie Fibonacci, ver cuales son sus usos, entender como funciona y poder descifrarla y entenderla a profundidad con el propósito de mejorar los conocimientos sobre este tema de una forma concreta.

La serie Fibonacci Esta sucesión numérica se encuentra alrededor nuestro en todo el mundo sin que nos demos cuenta, como por ejemplo, en las matemáticas, en programas de computador, se lo puedo usar para calcular juegos de asar, e incluso se encuentra en la biología. Al punto al que quiero llegar es que esta serie siendo tan simple como voy a explicar, puede tener tantas propiedades y niveles de complejidad y es interesante ver de donde surge y como va evolucionando a un ritmo constante.

La historia de la serie Fibonacci Esta sucesión numérica se vuelve famosa por Leonardo Pisan mejor conocido como Fibonacci (1170-1250), Leonardo Fibonacci nació en Pisa pero fue educado en Bugia, al norte de África donde tuvo una gran influencia de parte de matemáticos árabes durante su formación. Escribió muchos textos matemáticos e hizo algunos descubrimientos significativos e importantes, la serie original fue descubierta por matemáticos indios nacidos A.C. Fibonacci lo que hizo fue redactar un libro sobre esta serie, lo que el buscaba era una solución a un problema, "Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?.". (Este es el problema a partir del que comienza la solución). Los trabajos de Leonardo eran tan complejos que fueron muy difíciles para sus que sus contemporáneos lo entendieran. Siglos mas tarde en Paris en el año 1842 Édouard Lucas retoma el trabajo de Fibonacci y gracias a el se conoce la serie por su nombre actual. Su trabajo fue descubrir varias propiedades de esta serie. Otros científicos que trabajaron en esta serie fueron Johannes Kepler y Robert Simson. ANALISIS DE LA SERIE

Como es la sucesión Fibonacci y donde se encuentra La sucesión Fibonacci funciona por la suma de los dos números anteriores.

0 1 1 2 3 5 8 13 21 … n “2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, 13=8+5 Para cualquier valor mayor que 3 contenido en la secuencia, la proporción entre cualesquiera dos números consecutivos es 1,618, o Sección Áurea.”

Lo interesante de esta serie es que se encuentra alrededor nuestro como por ejemplo: “La cantidad de espirales logarítmicas en cada grupo sigue números de Fibonacci consecutivos, Las abejas también tienen relación con las series de Fibonacci: si se observan las celdas hexagonales de una colmena y se coloca a una abeja en una cualquiera de ellas, y se le permite alimentar a la larva, suponiendo que continuará siempre por la celda contigua de la derecha, veremos que hay sólo una ruta posible para la siguiente celdilla; dos hacia la segunda, tres hasta la tercera, cinco hasta la cuarta, ocho rutas posibles hacia la quinta, etcétera.” La mano humana también tiene las proporciones de Fibonacci, ya que las falanges crecen según la sucesión.

(Imagen tomada de Google) Aquí podemos ver que la falange siguiente crece a una proporción del 61% (aproximadamente) respecto a la anterior. Fibonacci tiene la propiedad que la serie crece de forma constante en un 61.80% entre cada proporción entonces podemos ver claramente que Fibonacci es aplicable para medir la proporción de las falanges de las manos. Fibonacci en la naturaleza podemos encontrarlo en muchas cosas, en los caparazones de los moluscos Nautilus, en las hojas de los helechos, en el brócoli y el romanescu, en los accidentes geográficos, en los árboles y sus hojas, en los cristales de hielo, algunos rayos que salen con forma fractal, etc.

Propiedades de la serie La serie Fibonacci tiene varias propiedades, pero una de las mas importantes es que sus proporciones se aproximan al número aureo ya que el cociente de dos

números consecutivos de la serie se aproxima a la razón áurea. “Esto es: an+1/an tiende a (1 + ! 5)/2”

Formulas para la demostración de Fibonacci Hay varias formas de encontrar Fibonacci unas de ellas son: La función generadora Una función generadora se usa para “una sucesión en una serie donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión.”

Función explícita “Para poder utilizar esta fórmula se necesita calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico.”

Forma matricial En esta manera se puede obtener a través de dos sistemas de ecuación lineales.

Fibonacci a pesar de tener el fundamento tan básico de ser la suma de los dos números anteriores. Tiene un nivel de complejidad que va mas allá de lo que

uno espera, y lo increíble de esta sucesión es su forma de aparecer en todo al igual que el número áureo. http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesión_de_Fibonacci http://www22.brinkster.com/nosolomates/ayuda/fibonacci.htm http://itmochis.blogcindario.com/2005/09/00037-la-serie-o-progresion-de-fibonacciaprende-a-programarlo-en-c.html http://www.portalplanetasedna.com.ar/codigo08.htm http://www.ciberconta.unizar.es/LECCION/fin005/700.HTM http://www.muchapasta.com/forex/forex,Indicadores%20marketiva%202.php http://html.rincondelvago.com/fibonacci.html http://www.ite.educacion.es/formacion/enred/web_espiral/naturaleza/vegetal/fibon acci/fibonacci.htm http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/31-2-o-fibo3.html